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“No existen respuestas definitivas, y ello simplemente porque no existen preguntas finales” .
Mario Bunge
Unidad 8División de monomios y polinomios
Objetivos
Introducción
L a división es una operación que entraña cierta dificultad. H abitualmente pensamos en
la división como un mecanismo para repartir. Esta visión de la operación inversa de la
multiplicación es, aun siendo correcta, parcial. Deja de lado la noción tan importante de
razón e implica la incomprensión de la división de irracionales. Por ello, en esta unidad haremos
una constante referencia a tu experiencia previa. Recordaremos cómo aprendiste a dividir números
enteros entre una, dos o más cifras y a partir de ello nos referiremos al algoritmo para dividir
polinomios luego de concebir la división de monomios. Sin embargo, no nos quedaremos en el
algoritmo. H aremos, además, un estudio más o menos detallado de la división como operación.
8.1. División de monomios
La cuarta operación aritmética es la división. En esta unidad veremos que la división aritmética
es un caso de la división más general de monomios y polinomios. Para ello recordemos, primero,
que una fracción con igual numerador y denominador es igual a la unidad (1).
Pero la división más general de dos cantidades iguales es siempre igual a uno:
Y esta relación sigue siendo verdadera aunque los números involucrados estén expresados
en formas diferentes, siempre y cuando sigan representando la misma cantidad:
Esta propiedad puede ser expresada fácilmente en lenguaje algebraico:
aa
1 con a 0
En donde debemos hacer la salvedad del cero, ya que como viste en las primeras unidades:
La división entre cero no tiene sentido matemático.
mat emát ic as 1
30 9
Ejemplos:
1.
Donde los puntos suspensivos o el arco arriba del 6 quieren decir que hay
infinitos 6. Pero
ó 0.66 ó 0.666666666666666666
Por más que pongas “muchos” 6, nunca será igual.
2.
3.
4.
5. Un automóvil recorre 120 kilómetros en dos horas a velocidad constante. ¿A qué velocidad
viaja?
Solución:
Como recordarás de tus cursos de física, la velocidad de un móvil que viaja a velocidad
constante (en realidad deberíamos decir en movimiento rectilíneo uniforme) se calcula como el
cociente de la distancia recorrida entre el tiempo empleado, es decir: v= d/t.
Si hallamos el valor numérico de esta expresión para d = 120 km, y t = 2 h, tenemos que
la velocidad del automóvil es:
v
Que a veces escribimos v = 60 km/h.
6. Calcular el área de un triángulo de 3.4 metros de base y 2.1 metros de altura.
Solución:Como recordarás
2
Sustituyendo los valores, tenemos: A
¿Qué hacemos con los exponentes para dividir monomios?
Unidad 8
310
Ejercicio 1
Iden tifica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:
1. Verdadero Falso
2. Verdadero Falso
3. Verdadero Falso
4. Verdadero Falso
8.1.1. La división, el cociente y el residuo
¿Cuál va adentro de la “casita”? Los maestros estamos acostumbrados a esta pregunta.
Algunos, ante esta pregunta cambian de color hasta llegar al morado intenso, y al hacer esto no nos
percatamos que esta confusión viene de una no comprensión total de la división. Ésta es (junto con
las raíces cuadradas, cúbicas, etc.) de las operaciones que más trabajo cuesta aprender. Recordemos
qué es el cociente, el dividendo, etcétera.
Supongamos que queremos repartir 21 dulces entre 4 niños. Posiblemente te hayas regocijado
pensando que sobra un dulce y que por justicia te corresponde. En este momento no nos interesa
si repartimos dulces, lápices o lo que sea. Cuando no podíamos hacer la cuenta mentalmente
recurríamos a un algoritmo: el de la “casita” :
5 cociente (c)
divisor (d) 4 21 dividendo (D)
1 residuo (r)
Recuerda que cuando empezaste a dividir no sabías sacar decimales. Realizabas lo que se
llama división entera. En ella estamos interesados y, a diferencia de las otras operaciones vistas con
anterioridad, además del cociente (resultado de la división), hay otro número: el residuo o resto
que debe cumplir el ser menor que el divisor y mayor o igual a cero. En este caso, el algoritmo de
la división (ver unidad 3) dice que:
21 = (4) (5) + 1 ya que 0 1 < 4
mat emát ic as 1
311
Con símbolos, dividir el dividendo (D) entre el divisor (d ) es hallar dos números: el cociente
(c) y el residuo (r) tales que:
D = d c + r con 0 r < d
Fíjate que la división es una operación no conmutativa (es decir, que a b no es lo mismo
que b a) lo que hace que haya cierta asimetría:
El dividendo (D) es el número que está siendo dividido (el que va dentro
de la “casita”).
El divisor (d) es el número que divide (el que va afuera de la “casita”).
El cociente (c) es el resultado de la división. En una repartición es lo que le
tocaría a cada uno (el que va arriba de la “casita”).
El residuo o resto (r ) es lo que sobra de la repartición (el que va abajo y
debe ser menor que el divisor).
Fíjate que el vocablo “ divisor ” t iene dos acepciones que se dist inguen por el
contexto. En una división cualquiera el “divisor” es el número que divide al dividendo. En un
contexto distinto, decimos que un “divisor” de otro número es aquel que lo divide exactamente,
es decir, que en la división deja un residuo cero.
8.1.2. Ley de los exponentes
Después de este breve repaso de la aritmética de la división estamos en condiciones de
comenzar el estudio algebraico de la división. Para ello pensemos en los siguientes ejemplos.
Ejemplos:
7. Calcular 25 22.
Como decíamos en una unidad anterior, es preferible la notación:
Fíjate que:
o bien
8. Calcular
¿Cuál es el divisor y cuál el cociente de 15 = 2 7 + 1?
Unidad 8
312
Para que esta expresión tenga sentido a 0. Recuerda que hay que tener cuidado ya que la
división entre cero no tiene sentido. Siguiendo lo que hicimos en el ejemplo anterior:
“m” veces
am aaa ... a
an aa ... a
“n” veces
Supongamos, en un principio que “m” (el exponente del numerador o dividendo) es mayor
que “n” (el exponente del denominador o divisor). Entonces “m” se puede escribir como:
m = n + (m – n)
Nota que esta expresión es siempre verdadera, ya que si quitamos los paréntesis, las “n” se
cancelan y queda la identidad m m. Esta expresión quiere decir que a “m” lo podemos escribir
como la suma de “n” más el sobrante “m – n” . Entonces
Entonces podemos decir que para dividir potencias de igual base restamos exponentes.
En símbolos siempre que a 0
9. Calcula 64/16.Podríamos hacer la división directamente pero para mostrar esta propiedad de los exponentes
vamos a convertir esta división a potencias de 2. Como 64 = 26 y 16 = 24, entonces
10. Calcular
Vamos a aprovechar este ejemplo para sacar una conclusión importante. Por un lado podemos
simplemente decir que 53/ 53= 1.
=
“n” veces “m–n” veces
“n” veces
“m–n” veces
...
mat emát ic as 1
313
Esto sucede porque toda fracción cuyo numerador sea igual al denominador es igual a 1 (si
quiero repartir 125 dulces entre 125 niños, le toca a un dulce por niño).
Si por otra parte, restamos exponentes, vemos que:
Entonces, , pero una de las propiedades importantes de la igualdad es la
llamada transitividad (o propiedad transitiva) que señala que si una misma cantidad es igual
a otras dos (1 y 50), estas cantidades deben ser iguales entre sí, es decir: 50 = 1.
En forma más general, si tenemos (siempre que a 0), entonces:
y 1
Por lo tanto podemos asegurar que: a0 = 1 siempre que a 0.
Ejemplo:
11.Calcular
Este ejemplo también lo vamos a aprovechar para sacar una conclusión importante. Por un
lado
Por otro lado . Por transitividad, podemos decir que:
Entonces, podemos asegurar que:
aa
1 1 siempre que a 0
En forma más general si tenemos (con a 0), al hacer ahora que “m” (el exponente del
numerador o dividendo) sea menor que “n” (el exponente del denominador o divisor), entonces
“n” podemos escribirlo como n = m + (n – m). Observa que esta expresión es siempre verdadera
(siendo m mayor, menor o igual a n) ya que si quitamos los paréntesis, las “m” se cancelan y queda
la identidad n n. Esta expresión quiere decir que a “n” lo podemos escribir como la suma de “m”
más el sobrante “n–m”. Entonces:
Unidad 8
314
Que es lo mismo que 1
Pero como el 1 elevado a cualquier potencia es igual a 1 (recuerda que es el neutro
multiplicativo), entonces
1 pero, por lo visto antes
1 1
aa , entonces y multiplicando
exponentes, tenemos que:
, o bien , es decir:
que es la misma relación que hallamos antes para el caso en que m > n, y que podemos
concluir que es totalmente general (para m > n, ó m = n, ó m < n) y donde un exponente negativo
significa el inverso multiplicativo del número, es decir:
2–1= y 8 –1= y 547–1=
pero también
y y
Ejercicio 2
Calcula las siguientes potencias:
1.
“m” veces
“n–m” veces “m” veces “n–m” veces
mat emát ic as 1
315
2. (23)–2 =
3. =
4. (x2) (x3) (x –6) =
8.1.3. División de monomios
Ya estamos en condiciones de hablar de la división de monomios. Si estuviste atento es muy
posible que ya puedas decir cómo hacerlo. Si no es así, hagámoslo paso a
paso.
Dividamos xx
Usando las propiedades que ya conocemos, podemos decir que:
xx
xx
x x
¡Claro!
E1 cociente de dos monomios es el cociente de los coeficientes y la resta de los exponentes
de cada literal cuyas bases coincidan.
Ejemplos:
Efectúa las siguientes divisiones:
12.
ya que: xx
x x yy
y y
13.
ya que: xx
x x x yy
y y
14.
¿Recuerdascuándo se usa la “ley de los signos”?
Unidad 8
316
ya que: xx
x x yy
y y
y 1 1 1 1
15.
Donde los dos signos igual quieren decir que las tres expresiones son totalmente equivalentes
(iguales).
de una flor o la armonía de la música?
entre la distancia (que se puede expresar en metros, kilómetros, etc.) y el tiempo (que se puede
expresar en segundos, horas, etc.), ¿en qué unidades se mide la velocidad?
se mide la aceleración?
árboles, etc.) llamado población y la superficie que ocupa, ¿en qué unidades se mide la densidad
de población?
Ejemplos :
16. En física estudiaste que para un movimiento acelerado siendo “x”
la posición final, “x0” la posición inicial (ambas medidas en unidades de distancia, por ejemplo,
metros), “v0” la velocidad inicial (medida por ejemplo en m/s), “a” la aceleración (medida por
ejemplo en m/s2) y “ t” el tiempo (medido por ejemplo en segundos). Calcula la posición final de
un automóvil que partiendo de una posición de 5 m y a una velocidad inicial de 6 m/s, acelera a
razón de 2 m/s2 durante 7 s.
Se nos pide hallar el valor numérico de la expresión
para x0 = 5 m v t = 7 s a
Date cuenta que 1/2 no tiene unidades (es adimensional), es decir, se trata de un monomio
que consta sólo de coeficiente (o si quieres con cualquier parte literal elevada a la cero), y t2 ya
mat emát ic as 1
317
está definido ya que es el tiempo al cuadrado. Recuerda que una misma letra usada en una misma
situación tiene el mismo significado.
Recuerda la prioridad de operaciones: primero se operan potencias y raíces, luego
mult iplicaciones y divisiones, y por últ imo sumas y restas. Por ello tenemos que hacer
primero (7s) 2.
H agamos ahora los productos:
x
Es decir:
x = 5 m + 42 m + 49 m = 96 m
que al llegar a la suma (o resta) ¡son términos semejantes! No podía ser de otra forma.
Cada vez que usemos una fórmula matemática en cualquier disciplina, el álgebra de las unidades
debe ser consistente con el álgebra de monomios y polinomios. De la afirmación anterior y de las
operaciones concluimos que la posición pedida es de x = 96 m, es decir, 96 metros.
H asta ahora hemos realizado divisiones de monomios donde conocemos los exponentes,
pero las relaciones que hemos estudiado siguen siendo válidas si los exponentes también son
representados por letras como lo mostraremos en los ejemplos siguientes.
Ejemplos:
17.
ya que aunque no sepamos el valor que puede asumir el exponente “m”.
18 .
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318
Ejercicio 3
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. =
2. =
3. =
4.
5. =
6. =
8.2. División de polinomios
Ya llegamos a la división de polinomios. En esta sección deberás usar todo lo aprendido
hasta ahora. Las matemáticas son como aquellas películas complejas y apasionantes en las que si te
pierdes un fragmento (porque tenías hambre o quisiste ir al baño) ya te cuesta seguir la trama. Sin
embargo, a diferencia de ellas, en las matemáticas siempre hay tiempo para volver atrás y recuperar la
trama. No tengas miedo ni vergüenza de volver. Un libro de matemáticas no se lee secuencialmente
(una sección después de otra) sino “ interactivamente” , volviendo a las secciones que causaron más
dificultades para releer desde otra perspectiva.
Comencemos la división de polinomios por el caso más fácil: la división de un polinomio
entre un monomio.
mat emát ic as 1
319
8.2.1. División de un polinomio por un monomio
¿Cómo sumas o restas fracciones? Por ejemplo, sumemos (suma algebraica):
como el denominador es el mismo, el común denominador es el mismo, y basta sumar (y/o
restar) los numeradores. Es decir:
No nos interesa, en este momento, hallar el resultado sino estudiar esta relación. Recuerda que
en matemáticas “ igual” quiere decir “ igual” . Esta igualdad puede verse al revés (como si pusiéramos
un espejo) usando una propiedad importante de la igualdad llamada de simetría . Entonces:
que podría entenderse como una propiedad “distributiva” de un denominador entre los
numeradores.
Si entendimos esta propiedad y usamos lo aprendido hasta ahora, estamos en condiciones
de dividir un polinomio entre un monomio. H agámoslo desde los ejemplos.
Ejemplos:
19. Si queremos dividir (64x5 + 16x4 – 8x2 + 32x) entre (8x2) podemos utilizar la notación
de fracción y aplicar la propiedad descrita más arriba haciendo:
x x x xx
xx
xx
xx
xx
Donde cada término (recuerda la diferencia que hicimos entre término y monomio) es una
división de monomios que ya sabemos hacer. Es decir:x x x x
xx
xxx
xx
xx
x x x
20. Dividir =
Entonces:
=
Unidad 8
320
21. Verifica que:
Ejercicio 4
Realiza las siguientes divisiones de polinomios entre monomios:
1. =
2. =
3. =
8.2.2. División de polinomios
Vamos a estudiar en este apartado un algoritmo, es decir, una forma de hallar el cociente
y el residuo de una división de polinomios. Para ello hagamos consciente cómo dividir números
enteros (como división entera, o sea sin “bajar” decimales).
Por medio del siguiente ejemplo obtendremos la división entre polinomios:
Ejemplo :
22. ¿Estás preparado? Dividamos (16 x6 + l0x5 + 4x4) entre (4x + 2). Para ello sigamos el
algoritmo usado para números enteros.
Primero : Colocamos el dividendo (16 x6 + 10 x5 + 4 x4) dentro de la “casita” y el divisor
(4 x + 2) afuera.x x x x
Segundo : Cada “cifra” está dada por cada monomio del dividendo.
Tercero : Tomemos el primer monomio (16 x6) y dividámoslo entre el primer monomio del
divisor (4x). Así encontramos un monomio en el que el divisor quepa enteramente. En este caso:
xx
x
El monomio buscado es 4 x5. Una vez encontrado este monomio lo colocamos “arriba” de
la “casita” , ya que formará parte del cociente.
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321
x x x x
x
Cuarto : Multiplicas (4 x5) por (4 x + 2)
Aquí debemos usar la propiedad distributiva ya que es una multiplicación de un monomio
por un polinomio: (4 x5) (4 x + 2) = 16 x6 + 8 x5.
Aquí es preciso que rememores cuando dividíamos números. A este polinomio (16 x6 + 8 x5)
le cambiamos de signo (a todo el polinomio, ¿recuerdas la resta de polinomios?), lo colocamos
debajo del polinomio dividendo, cuidando que los términos semejantes queden uno debajo del
otro y lo “sumamos” al polinomio dividendo (suma algebraica):
x x x x
x x
x
x
Nota que el primer sumando siempre debe ser cero (16 x6 –16 x6) porque así fue buscado.
Si esto no pasa es una señal de que algo estamos haciendo mal.
Quinto : “Bajas” otro periodo (es decir, el monomio+ 4 x4) que junto con el 2 x5 forman
el nuevo polinomio y repites los pasos desde el tercero. Es decir:
x x x x
x x
x x
x
x5 entre 4 x que da 1/2 x 4 y lo colocamos al lado del 4 x5 (cociente).
x x x x
x x
x x
x x
x4 por (4 x + 2) siendo igual a 2 x5 + x4
x5 – x4
x5 + 4 x4
Unidad 8
322
x x x x
x x
x x
x x
x
x x
¿H asta cuándo seguimos este algoritmo? H asta que el grado del residuo sea menor que el del
divisor. En nuestro caso el residuo (3 x4) tiene grado 4 y el divisor (4 x + 2) grado 1 por lo que
podemos seguir dividiendo. ¿Cómo? “Bajando” monomios de grados convenientes y coeficientes cero.
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
Vamos a completarlo:
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x x x x x
mat emát ic as 1
323
La división aritmética que tú estás acostumbrado a realizar termina cuando el residuo es
menor que el divisor. ¿Cuándo termina la división de polinomios? La relación de los polinomios se
deriva de sus grados. La división de polinomios termina cuando el grado del polinomio residuo es menor
que el grado del polinomio divisor. En otras palabras, en la división de polinomios se cumple que:
Grado del polinomio residuo < grado del polinomio divisor.
Ejemplos :
D ividir los siguientes polinomios:
23. (5 x2 + 30 x + 45) entre (x + 3)
x x x
x x
x
x
x
Para comprobar que la división es correcta, usamos el algoritmo de la división:
(x + 3)(5x + 15) = 5x2 + 15x + 15x + 45 = 5x2 + 30x + 45
Que es el dividendo y por lo tanto la división es correcta.
24. (27x3 – 27x2 + 9x + 5) entre (3x – 1)
x x x x
x x
x x
x x
x
x
x xx
Para comprobar esta división, multipliquemos el divisor (3 x – 1 ) por el cociente (9x2 – 6 x+ 1)
y luego le sumamos el residuo (6).
(3x – 1) (9x2 – 6x + 1) + 6 = 27x3 – 18x2 + 3x – 9x2 + 6x – 1 + 6
= 27 x3 – 27x2 + 9x + 5
que es el dividendo.
Unidad 8
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25. (x4 – 256 ) entre (x – 4)
En esta división aparece una complicación: el polinomio dividendo
no está completo (faltan los monomios de tercero, segundo y primer grado).
Para dividir sin complicaciones conviene completar el polinomio con los
monomios necesarios y coeficiente cero: en lugar de x4 – 256, escribimos
x4 + 0x3 + 0 x2 + 0x – 256, y por lo tanto la división buscada será:
x x x x x
x x
x x
x x
x x
x xx
x
x
x x x
Para comprobar no hace falta completar el polinomio, es decir:
(x – 4) (x3 + 4x2 + 16x + 64) + 0 = x4 + 4x3 + 16x2 + 64x – 4x3 – 16x2 – 64x – 256
= x4 + 0x3 + 0x2 + 0x – 256
= x4 – 256
Ejercicio 5
Realiza las siguientes divisiones de polinomios:
1. (5x2 + 20x + 25) entre (x + 2).
2. (x3 – 9x2 + 27x + 27) entre (x – 3).
3. (x3 – 130) entre (x – 5).
4. (x5 – 8x4 + 16x3) entre (x2 – 2x).
¿A qué se llamará
divisor de un polinomio?
mat emát ic as 1
325
8.2.3. Teorema del residuo
Un teorema muy importante sobre todo para las dos últimas unidades de este libro y para
tus cursos posteriores de matemáticas es el teorema del resto o teorema del residuo. Para comprenderlo
debemos ponernos de acuerdo en la notación o forma de escribir los polinomios y su significado.
Un polinomio de grado “n” en la variable “x” se puede escribir en forma general
anxn + an–1 x
n–1+ ... + a1x + a0
donde an, an–1, ..., a1 y a0 son los coeficientes de cada monomio. Por ejemplo, en el
polinomio5x4 – 7x3 + x2 + 2x + 9
de grado 4, n = 4 y por lo tanto n –1 = 3, n – 2 = 2, etcétera. En este caso an = a4 = 5.
Nota que a4 no quiere decir que el coeficiente tome el valor 4 sino que es el coeficiente del monomio
de grado 4 en la variable “x” . Entonces, para el ejemplo anterior tenemos que:
a4 = 5, a3 = –7, a2 = 1, a1 = 2, y a0 = 9
Como verás, a3 es negativo y esto no es contradictorio con la forma de escribir genéricamente
un polinomio, al cual escribimos con signos positivos, ya que si un coeficiente es negativo, por
ley de signos mantiene su signo. Lo mismo ocurre si un coeficiente es cero. El polinomio con
coeficientes:a3 = 2/3, a2 = 0, a1 = –1, y a0 = 8
es un polinomio de grado 3 (ya que es el mayor grado de los monomios) que se escribe:
2/3 x3 + 0 x2 – 1 x + 8 o mejor aún: 2/3 x3 – x + 8
Recuerda el algoritmo de la división enunciado primero para números reales y luego utilizado
para comprobar las divisiones de polinomios que hemos realizado. Si llamamos D(x) al polinomio
dividendo, d(x) al divisor, c(x) al cociente y r(x) al residuo, tenemos que:
El algoritmo de la división dice que: D(x) = [d(x)] [ c(x)] + r(x)
Supongamos que el divisor es de la forma (x – k) donde “k” es una cantidad cualquiera
(significa que es un número). Fíjate que aunque usemos letras en ambos casos, “x” es la variable
del polinomio, mientras que “k” representa una cantidad cualquiera pero específica. En este caso el
algoritmo de la división se escribirá de la forma: D(x) = (x – k) [ c(x)] + r, donde el residuo ya no
depende de la variable “x” , ya que como sabemos su grado debe ser menor al grado del polinomio
divisor y en este caso el grado de (x – k) es 1 y, por lo tanto, el residuo debe tener grado cero, es
decir, debe ser solamente un coeficiente (la “x” estará elevada a la potencia cero y sabemos que
x0 = 1 y en consecuencia no aparece en la expresión).
Unidad 8
326
Si evaluamos los polinomios para el valor de x = k (es decir, que
hallamos los valores numéricos de sus expresiones algebraicas, que en este
caso son polinomios), tenemos D(k) = (k – k) [c(k)] + r pero el primer
término del segundo miembro es cero ya que está multiplicado por (k – k)
que es igual a cero y por lo tanto: D(k) = r
Lo anterior significa que el polinomio dividendo evaluado en el
valor “k” es numéricamente igual al residuo de la división de ese polinomio por el divisor (x – k).
Esto es precisamente lo que dice el teorema del residuo :
E1 residuo de dividir un polinomio D(x) entre (x – k) es el valor numérico del polinomio
dividendo evaluado en x = k. En símbolos: r = D(k)
Lo que significa que r = an kn + an–1 k
n–1 + ... + a1 k + a0
Esta ecuación indica que hallar el valor numérico de D(x) para x = k significa sustituir las
“x” del polinomio dividendo por el valor “k” .
Si te fijas en el ejemplo 25, vimos que la división de (x4 – 256) entre (x – 4) era exacta (es
decir, arrojaba un residuo cero). Esto es fácilmente comprobable por medio del teorema del residuo.
En este caso D(x) = x4 – 256 y k = 4 (ten cuidado: existe un cambio de signo en el valor de “k” , o
sea, como el divisor es x – 4, k = 4). Entonces, de acuerdo con el teorema del residuo: r = D(4),
o bien podemos afirmar que el residuo de dividir (x4 – 256) entre (x – 4) es numéricamente igual
a evaluar (x4 – 256) para k = 4, es decir:
r = (4)4– 256
r = 256 – 256
r = 0
Ejemplos :
Utilizar el teorema del residuo para decidir si las divisiones siguientes son exactas o no:
26. (x2 – 14x + 49) entre (x – 7).
Solución :
En este caso el polinomio dividendo es:
D(x) = x2 – 14x + 49 y k = 7 (recuerda que se cambia el signo)
Entonces el residuo será:
D(7) = 72 – (14)(7) + 49 = 49 – 98 + 49 = 0
Lo que quiere decir que si dividimos (x2 – 14x + 49) entre (x – 7) el residuo será cero y
por lo tanto concluimos que la división es exacta.
¿De qué otra factor ización
es un caso par t icular la di ferencia de
cuadrados?
mat emát ic as 1
327
27. (x2 + 14x + 49) entre (x + 7).
En este caso el polinomio dividendo es:
D(x) = x2 + 14x + 49 y k = –7 [ recuerda que se cambia el signo y (x + 7) = x–(–7)]
Entonces el residuo será: D(–7) = (–7)2 + ( 14) (–7) + 49 = 49 – 98 + 49 = 0 lo que
quiere decir que la división es exacta.
28.(3x5 + 4x2 + 9) entre (x + 2)
En este caso el polinomio dividendo es
D(x) = 3x5 + 4x2 + 9 y k = –2
Entonces el residuo será:
D(–2) = 3(–2)5 + 4 (–2)2 + 9 = 3 (–32) + 4 (4) + 9 = –71
Lo que quiere decir que la división no es exacta.
Ejercicio 6
Utilizar el teorema del residuo para decidir si las divisiones siguientes son exactas o no:
1. (3x2 – 30x + 75) entre (x – 5)
2. (x3 + 64) entre (x + 4)
3. (5 x2 – 8 x + 6) entre (x – 3)
8.3. Cocientes notables
Una aplicación importante del teorema del residuo es la posibilidad de factorizar polinomios,
proceso que será de suma importancia en las unidades siguientes. Pero antes de profundizar en estas
operaciones vamos a definir qué entenderemos por cocientes notables:
Se llaman cocientes notables a aquellos cocientes que pueden ser resueltos por simple
inspección.
Un ejemplo fácil de un cociente notable es: xx
= x + 5 que es evidentemente verdadero.
Entonces diremos que (x + 5) divide a (x + 5)2.
Unidad 8
328
Por lo que se dice que:
Un polinomio d (x) divide exactamente a otro D(x) si el residuo de la división de D(x)
entre d (x) es cero.
Al igual que para números enteros diremos que en el caso anterior D(x) es múltiplo de d(x)
o que d(x) es un divisor de D(x).
Ahora veremos los siete casos de productos notables:
I . Trinomio cuadrado perfecto : se llama trinomio cuadrado perfecto al desarrollo del
cuadrado de un binomio. Es decir:
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2 y (x – a)2 = x2 – 2ax + a2
trinomio cuadrado perfecto trinomio cuadrado perfecto
Lo cual puedes comprobar fácilmente multiplicando o usando el teorema del residuo.
Entonces diremos que:
(x + a) divide a (x2 + 2 ax + a2) y (x – a) divide a (x2 – 2 ax + a2)
Como ejemplo, podemos ver que si a = 3, entonces 2 a x = 6 x, y a2 = 9, entonces:
(x + 3) divide a (x2 + 6x + 9) y (x – 3) divide a (x2 – 6x + 9)
I I . Cubo de un binomio : es el desarrollo del cubo de un binomio. Es decir:
(x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3 y (x – a)3 = x3 – 3ax2 + 3a2x – a3
Entonces diremos que:
(x + a) divide a (x3 + 3 a x2 + 3 a2 x + a3) y (x – a) divide a (x3 – 3 a x2 + 3 a2 x – a3)
Como ejemplo, podemos ver que si a = 2, entonces 3 a x2 = 6 x2, 3 a2 x = 12 x, y a3 = 8,
entonces:
(x + 2) divide a (x3 + 6x2 + 12x + 8) y (x – 2) divide a (x3 – 6x2 + 12x – 8)
I I I . Diferencia de cuadrados : el producto de la suma por la diferencia de dos expresiones
es la diferencia de sus cuadrados. Es decir:
(x + a) (x – a) = x2 – a2
diferencia de cuadrados
mat emát ic as 1
329
Entonces diremos que: (x + a) y (x – a) dividen a (x2 – a2)Como ejemplo podemos ver que si a = 7, entonces a2 = 49, entonces:
(x + 7) divide a (x2 – 49) y (x – 7) divide a (x2 – 49)
IV. Productos de binomios con un término común : como su nombre lo indica, este producto se refiere a (x + a) (x + b) que multiplicando nos da:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + abLo cual significa que:
(x + a) y (x + b) dividen a [x2 + (a + b) x + ab]
Como ejemplo, podemos ver que si a = 8 y b = 4, entonces (a + b) = 12 y ab = 32, entonces:
(x + 8) divide a (x2 + 12x + 32) y (x + 4) divide a (x2 + 12x + 32)
V . Diferencia de potencias iguales : como su nombre lo indica, esta diferencia se refiere a (xn – an) que puedes comprobar fácilmente (usando el teorema del residuo):
(x – a) divide a (xn – an)
Como ejemplo, si n = 5 y a = 2, entonces a5 = 32, y entonces podemos comprobar que:
(x – 2) divide a (x5 – 32)
o bien, si n = 4, y a = 3, entonces:
(x – 3) divide a (x4 – 81)
VI . Suma de potencias impares iguales : este caso se refiere a (xn + an) que puedes comprobar fácilmente (usando el teorema del residuo) que:
(x + a) divide a (xn + an)Para ver cómo funciona este caso, tomemos el ejemplo de que n = 3 y a = 4, entonces
podemos afirmar que:
(x + 4) divide a (x3 + 64)
El cual, usando el teorema del residuo, es fácil de comprobar.Pero, ¿qué sucede si el exponente “n” es par? Si “n” es par (xn) será positivo independientemente
del signo de “x” y por el teorema del residuo podemos afirmar que no es divisible por ningún monomio, o dicho de otra manera:
(xn + an), con “n” par, no es factorizable.
Unidad 8
330
Los casos V y VI podemos desarrollarlos más hallando el cociente de la división. Sea, por
ejemplo, el caso de factorizar xn – an. Por lo que hemos visto, este polinomio es divisible entre x – a,
por lo que:
Es decir que:
xn – an = (x – a) (xn–1 + axn–2 + a2xn–3 + ..........+ an–2 x + an–1)
Donde el segundo factor del segundo miembro se compone por monomios que comienzan
con xn–1 que es equivalente a:a0 x n–1
Y en los siguientes, el exponente de la “x” va disminuyendo hasta llegar a cero (an–1 = an–1 x0)
mientras que el exponente de la “a” va aumentando de cero hasta “n – l” . Por ejemplo, la factorización
de (x4 – 16) que es lo mismo que (x 4 – 2 4) es:
x4 – 24 = (x – 2) (20x3 + 21x2 + 22x1 + 23x0)
= (x – 2) (x3 + 2x2 + 4x + 8)
De igual manera puede verse que:
xn + an = (x + a) (xn – 1 – axn – 2 + a2xn – 3 + ... – an – 2x + an – 1)
que sigue las mismas reglas que para la diferencia, salvo que los signos del segundo factor del
segundo miembro son alternados (el primer monomio es positivo, el segundo negativo, etcétera).
VI I . Factor común : Este caso se refiere a cuando un mismo monomio multiplica un
polinomio:M(x) divide a [M(x) P(x)]
Como ejemplo veamos el siguiente polinomio:
2x5y2+ 4x3y–6x2y6
mat emát ic as 1
331
Que, como ves, todos los monomios contienen al factor (2x2y). Por lo tanto, si dividimos
el polinomio (2x5y2 + 4x3y – 6x2y6) entre (2x2y) obtenemos (x3y + 2x – 3y5). Entonces:
2x5y2 + 4x3y – 6x2y6 = (2x2y)(x3y + 2x – 3y5)
Vamos a ver cómo usar estos conocimientos:
Ejemplos :
Factoriza los siguientes polinomios:
29. x2 + 16x + 64
Solución :
(x2 + 16x + 64) es un trinomio cuadrado perfecto, ya que (2)(8)= 16 y 82 = 64, por lo tanto:
(x2 + 16x + 64) = (x + 8)2
30. x5 – 243
Solución :
Como 243= 35, entonces x5 – 243 = (x – 3)(x4 + 3x3+ 9x2 + 27x + 81)
31. x2 + 25
Solución:
Aunque 25 = 52, esta expresión no es factorizable por ser una suma.
32. x2– 16
Solución :
Como 16 = 42, entonces x2 – 16 = (x – 4)(x + 4), ya que es una diferencia de cuadrados.
Ejercicio 7
Factoriza los siguientes polinomios:
1. x3 + 27
2. 4x2 – 9
3. y2 – 14y + 49
4. x2+ 10x+ 16
5. 2x5+ 8x
Unidad 8
332
8.4. Radicación de monomios y polinomios
Finalizaremos esta unidad con la última de las operaciones aritméticas que conocemos: la
radicación. Para ello comenzaremos por la radicación de monomios para luego ver algunos casos
sencillos de radicación de polinomios.
8.4.1. Radicación de monomios
La radicación es a la potenciación lo que la división es a la multiplicación o la sustracción a
la adición. Encontrar la raíz cuadrada de un número es hallar el número que elevado al cuadrado
da el número original. Es decir que:
ya que
De igual manera, hallar la raíz cúbica de un número significa descubrir aquel número que
elevado al cubo dé el número original, por ejemplo:
ya que
En general podemos hallar la raíz n-ésima que significa encontrar la expresión que elevada
a la potencia n-ésima (“n”) dé la expresión original, es decir:
si y sólo si
Donde:
a” es el radicando .
n” es el índice de la raíz .
b” es la raíz n-ésima .
En particular si:
n = 2, “b” se llama raíz cuadrada .
n = 3, “b” se llama raíz cúbica .
Y a partir del índice 4, se nombra con los números ordinales.
n = 4, “b” se llama raíz cuarta .
n = 5, “b” se llama raíz quinta .
n = 6, “b” se llama raíz sexta .
Etcétera.
mat emát ic as 1
333
Entonces hallar la raíz n–ésima de un monomio es hallar el monomio que elevado a la
potencia “n” dé como resultado el monomio original. Veamos un ejemplo fácil.
H allar la x significa hallar el monomio que elevado al cubo dé 64x15. Este monomio
es evidentemente 4 x5 ya que (4 x5)3 = 64 x15. ¿Cómo encontramos esta raíz? Realizando las
operaciones inverses que usamos en la potenciación, es decir:
H allamos
Dividimos el exponente entre el índice,
Entonces x x
Por lo que podemos concluir que:
La raíz n-ésima de un monomio es: la raíz n-ésima de su coeficiente y; los exponentes
de cada literal serán los cocientes del exponente de la literal entre la “n” .
Ejemplos :
Encontrar las siguientes raíces:
33. x x x
34.
35. x x
Ejercicio 8
Encontrar las siguientes raíces:
1.
2. =
8.4.2. Radicación de polinomios
H abitualmente, la radicación de polinomios no se podrá expresar más que implícitamente
debido a que la radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta. H ay que tener
sumo cuidado del error común: 2 2 ¡cuidado!
Unidad 8
334
Sin embargo, en algunos casos sí podremos hacer algo como lo veremos en los siguientes ejemplos:
Ejemplos:
Encontrar las siguientes raíces:
36. x x
Como verás, el radicando de esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto:
x x x x
37. x x x
El radicando es un cuatrinomio cubo perfecto, por lo tanto:
x x x x x
Ejercicio 9
Encontrar las siguientes raíces:
1. x x x
2. x x
8.5. Resumen de las operaciones con monomiosH emos estudiado las operaciones con monomios y es común que nos encontremos algo
confundidos sobre los procedimientos que debemos seguir para sumar o multiplicar monomios,
ahora que hemos hablado de la radicación. Por ello vamos a hacer una revisión de todas las
operaciones con monomios.
H emos revisado seis operaciones elementales, las cuales podemos clasificar como directas e
inversas de acuerdo con el siguiente cuadro:
directas inversas
adición sustracción
multiplicación división
potenciación radicación
mat emát ic as 1
335
Si haces una relectura de ésta y las unidades anteriores, verás que para operar monomios
debes realizar la operación pedida a los coeficientes (para sumar monomios sumamos coeficientes y
para dividir monomios dividimos coeficientes, etc.) mientras que con los exponentes realizamos una
operación más sencilla en la línea descrita en el cuadro anterior (para dividir monomios restamos
exponentes y para elevarlos a una potencia multiplicamos exponentes, etc.)
Lo anterior está resumido en el siguiente cuadro:
Operaciones directas
monomios la parte literal
Adición. Se suman. No se operan. 3x2 + 4x2 = 7x2
x2 x3)=–20x5
x4)3=8x12
exponente.
Operaciones inversas
monomios la parte literal
Sustracción. Se restan. No se operan. 9x2 – 4x2 = 5x2
División. Se dividen. Se restan. xx
x
Radicación. Se extrae la raíz. Se dividen. x x
Se suman. Sólo si los monomios son semejantes.
Se restan. Sólo si los monomios son semejantes.
Unidad 8
336
Nota histórica
Pitágoras de Samos
Nació en la primera mitad del siglo IV a. C. en la isla egea de Samos, situada muy cerca de
Mileto, donde vivía Tales (por lo cual se ha afirmado que fue alumno de éste, aunque el hecho es
poco probable debido a que hay 50 años de diferencia de edad entre ellos).
Algunas coincidencias en intereses de estos dos matemáticos se explican por el hecho de que
ambos viajaron a Egipto, Babilonia y posiblemente a la India. Durante su viaje a Oriente, Pitágoras
recopiló no sólo información matemática y astronómica sino también mucho del conocimiento
religioso. É1 fue contemporáneo del Buda Siddharta Gautama, de Confucio y Lao-Tse, en una época
de suma importancia para el desarrollo de la religión y de la matemática. De regreso a Grecia se
estableció en Crotona, donde fundó una secta místico-religiosa. Los adeptos vivían en comunidad
de bienes, y seguían rigurosas reglas de comportamiento.
La escuela pitagórica fue una academia en la que se estudiaban filosofía, matemáticas y
ciencias naturales. En ella no sólo los bienes materiales eran de propiedad común, sino también el
conocimiento, aunque todos los descubrimientos se le atribuían al maestro (por ello es muy probable
que el teorema que lleva su nombre no sea propiamente de Pitágoras, sino de la comunidad, por
lo que sería razonable llamarlo teorema de los pitagóricos).
La filosofía pitagórica se basaba en la afirmación de que el número entero era la causa de las
distintas cualidades de los elementos del Universo. Con los pitagóricos, la geometría se convirtió
en una ciencia con identidad propia; con ella iniciaron la construcción de un sistema lógico de
relaciones entre el número y el espacio. A los pitagóricos se les atribuye:
Descubrieron también la existencia de magnitudes inconmensurables (que posiblemente fue
la causa de la ruptura de la escuela porque cuestionó sus fundamentos), e instituyeron la música
como ciencia matemática.
mat emát ic as 1
337
Respuestas a los ejercicios
1. Verdadero Falso
2. Verdadero Falso
3. Verdadero Falso
4. Verdadero Falso
1.
2.
o bien:
o bien:
3.
Recuerda que al multiplicar sumamos exponentes. Si uno de ellos es negativo, esa suma
se convierte en realidad en una resta. ¿Recuerdas a lo que llamamos suma algebraica?
4. x x x x x xx
Claro, para que x –6 tenga sentido, x 0 .
Ej. 1
Ej. 2
Unidad 8
338
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
1.
x x x
x x
x
x
x
Ej. 3
Ej. 4
Ej. 5
mat emát ic as 1
339
Comprobación:
(x + 2)(5x + 10)+ 5 = 5x2 + 10x + 10x + 20 + 5 = 5x2 + 20x + 25
E1 grado del polinomio residuo es cero y es menor que el grado del polinomio divisor
que es uno.
2.
x x x x
x x
x x
x x
x
x
x x
Comprobación:
(x – 3)(x2 – 6x + 9) + 54 = x3 – 6x2 + 9x – 3x2 + 18x – 27 + 54 = x3 – 9x2 + 27x + 27
Donde:
grado (54) < grado (x – 3)
ya que 0 < 1
3.
x x x x
x x
x x
x x
x
x
x xx
Unidad 8
340
Comprobación:(x–5) ( x2+ 5x+ 25)+ ( –5)= x3+ 5x2+ 25x–5x2– 25x–125–5 = x3 –130
Donde:
grado (–5) < grado (x – 5)
ya que 0 < 1
4.
x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x x
Comprobación: (x2 – 2x)(x3 – 6x2 + 4x + 8) + (16x) =
= x5 – 6x4 + 4x3 + 8x2 – 2x4 + 12x3 – 8x2 – 16x + 16x
= x5 – 8x4 + 16x3 Dondegrado (16 x) < grado (x2 – 2 x)
ya que 1< 2
l. D(x) = 3x2 – 30x + 75
D(5) = 3(5)2 – 30(5) + 75 = (3)(25) – 150 + 75 = 75 – 150 + 75 = 0, 1a división
es exacta.
2. D(x) = x3 + 64
D(–4) = (–4)3 + 64 = –64 + 64 = 0, la división es exacta.
3. D(x) = 5x2 – 8x + 6
D(3) = 5(3)2 – 8(3) + 6 = (5)(9)– 24 + 6= 45 – 24 + 6 = 27, la división no es exacta.
Ej. 6
mat emát ic as 1
341
1. x3 + 27 = (x + 3) (x2 – 3x + 9)
2. 4x2 – 9 = (2x – 3) (2x + 3)
3. y2 – 14y + 49 = ( y – 7)2
4. x2 + 10x + 16 = (x + 8)(x + 2)
5. 2x5 + 8x = (2x)(x4 + 4)
1.
2.
1. x x x x
2. x x x
Ej. 7
Ej. 8
Ej. 9
Unidad 8
342
Autoevaluación
1.
a) –8x3yz
b) –3x3yz
c) –8x3y
d) –3x3y
2.
a) –8x6yz–1
b) 3x6z–1
c)
d)
3.
a) –2xm–3yn–1z–5
b) –2xm–3yn–1z5
c) 4xm–3yn–1z–5
d) xm–3yn–1z–5
4. =
a) –4x3y3z–3xy–1z4 + 10x2y–1z–1
b) –4x3y3z–3x–1z4 + 10x2y–1z–1
c) –4x3y3z–3x–1y–1z4 + 10x2y–1z–1
d) –4x3y3z–3x–1y–1z4 + 10x2yz–1
Matemáticas 1 (Álgebra 1) Unidad 8. División de monomios y polinomios
Nombre:
Grupo: Número de cuenta:
Profesor: Campus:
343
5. =
a) xa–3y3z4 – 6x–1y–2
b) xa+ 3y3z4 – 6x–1y–2
c) xa–3y3z4 – 6x–1y2
d) xa+ 3y3z4 – 6x–1y2
6. El residuo de la división de (5x2 + 20x + 5) entre (x + 4) es:
a) 5
b) 10
c) 80
d) 165
7. El cociente de dividir (2x3 – 4x – 2) entre (2x + 2) es:
a) x2 + x – 1
b) x2 + 2x – 1
c) x2 – x – 1
d) x2 – 2x – 1
8. =
a) 3x6y4
b) 4.5x4y3
c) 3x4y3
d) 4.5x6y4
9. La factorización de (x3 – a3) es:
a) (x – a) (x2 + ax + a2)
b) (x + a) (x2 + ax + a2)
c) (x – a) (x2 – ax + a2)
d) (x + a) (x2 – ax + a2)
344
10. x x
a) x + 7
b) x – 7
c) x + 14
d) x2 + 14x + 49
11. Si D(x) es el polinomio dividendo, d(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el residuo, la condición
para finalizar la división de polinomios es:
a) Grado de d(x) < grado de r(x)
b) Grado de r(x) < grado de d(x)
e) Grado de r(x) < grado de D(x)
d) Grado de d(x) < grado de D(x)
12. Si D(x) es el polinomio dividendo, d(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el residuo; d(x) divide
exactamente a D(x) si:
a) Grado de d(x) < grado de r(x)
b) Grado de r(x) = 0
c) Grado de c(x) < grado de D(x)
d) r(x) = 0
345
