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“El Universo es contingente, no necesario.”
M. Bunge
Unidad 9Suma y re sta d e fra c c io ne s algebraicas
Objetivos
Introducción
M uchos de los conocimientos que hemos desarrollado aquí los seguirás utilizando
a lo largo de los otros cursos de matemáticas, en materias de diversa índole y
posiblemente en tu vida profesional. Una de las preguntas que casi siempre formulan
los estudiantes cuando se enfrentan con aprendizajes de cierta complejidad es ¿para qué sirven?
Por suerte muchas veces esta pregunta puede ser contestada más o menos fácilmente, aunque para
ser honestos jamás completamente. Cuando algún estudiante la formula, se le intenta convencer
de que le será útil y si se puede llegará incluso a deslumbrarse con las potencialidades de esos
aprendizajes, pero nunca se puede, en el comienzo del estudio, comprender las implicaciones
profundas que entrañan dichos conocimientos. En la educación elemental pudimos entender
(o quizás simplemente aceptar) que las superficies se medían en unidades cuadráticas (m2, cm2,
etc.), pero no es hasta que uno estudia la lógica del álgebra cuando se puede comprender desde
otra perspectiva ese porqué.
Algo parecido nos sucederá en las siguientes dos unidades. Son sin duda de suma importancia,
pero no será hasta que usen estos aprendizajes para la comprensión y aplicación de otros aprendizajes,
que podrá comprenderse cabalmente su importancia.
No nos queda más que emprender esta nueva aventura con la intención de que resulte
interesante para todos, especialmente para ti.
9.1. Fracciones algebraicas equivalentes
Quizás la complicación mayor para la suma y resta de fracciones (algebraicas o aritméticas)
sea la elección de un buen denominador común. Muchas veces “salimos” del apuro multiplicando
todos los denominadores. Este procedimiento es válido cuando las cantidades (aritméticas) son
pequeñas, pero se vuelve una trampa cuando los números son grandes o cuando, como es el caso
ahora, tratamos con fracciones algebraicas.
El mejor común denominador para la suma de dos o más fracciones (algebraicas o aritméticas)
es siempre el mínimo común múltiplo visto en el capítulo precedente.
Para comenzar un buen estudio referente a la suma y resta de fracciones algebraicas,
retomemos el concepto de fracción equivalente:
Decimos que dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número.
mat emát ic as 1
349
Aritméticamente, esto significa que una puede obtenerse de la otra multiplicando el
numerador y el denominador por un mismo número, o en otras palabras si son iguales (recuerda
el significado que tiene, en matemáticas el concepto de igualdad).
De la misma manera, dos fracciones algebraicas son equivalentes si se puede establecer
entre ellas una relación de igualdad .
En símbolos es equivalente a si ,
y viceversa: si , entonces es equivalente a .
Cuando en matemáticas una afirmación es verdadera en ambos sentidos, colocamos la frase
“ ... si, y sólo si ...” que se simboliza , de manera que podemos decir:
es equivalente a
claro está, con b 0 y d 0
Así, por ejemplo, son fracciones equivalentes
, a a
, a ab b
, etcétera.
Si las simplificas podrás corroborarlo.
¿Cómo hallar una fracción equivalente a otra dada? Simplemente multiplicando el numerador
y el denominador por cualquier número distinto de cero (¿por qué debe ser distinto de cero?). Por
ejemplo , para hallar una fracción equivalente a: podemos multiplicarla por 7/7 y obtener
la fracción equivalente:
o lo que es lo mismo .
El problema con las fracciones equivalentes es que en general uno no escoge el número por
el cual debe multiplicar “arriba” y “abajo” . Es preciso practicar el encontrar fracciones equivalentes
con un denominador dado. Esto es lo que vamos a hacer ahora.
Unidad 2
350
Ejemplos :
1. H allar una fracción equivalente a con denominador (8 b2 c).
Solución :
Para poder encontrar la fracción equivalente debemos saber por cuál monomio fue multiplicado
(2 b c) para formar (8 b2 c). Esto se reduce a dividir este último entre el primero, es decir,
Es verdad que (4 b) (2 b c) = 8 b2 c.
Entonces, la fracción equivalente será ya que:
2. H allar una fracción equivalente a con denominador (21 y3 z2).
Solución:
Dividamos 21y3z2 entre 7y:
= 3 y2 z2
Entonces la fracción buscada es – ya que:
¿Por qué no simplificamos esta última fracción? ¿Qué obtendríamos?
Ejercicio 1
1. Encuentra una fracción equivalente a x
con denominador (8 x).
2. Encuentra una fracción equivalente a con denominador (18 x y3).
3. Encuentra una fracción equivalente a (– 4 x y) con denominador (3 y z2).
4. Encuentra una fracción equivalente a b
con denominador (16 a b3).
mat emát ic as 1
351
9.1.1. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor
Para que sumemos fracciones es preciso obtener el mínimo común denominador. Éste es el
nombre que a veces usamos en la suma y resta de fracciones, pero no es más que el viejo conocido
mínimo común múltiplo (m.c.m. de los denominadores).
Por otra parte, para simplificar una fracción hasta su mínima expresión
(llamada fracción irreductible) es necesario obtener el máximo de los
divisores comunes (m.c.d. más conocido como máximo común divisor ).
Para inferir la forma de obtener el m.c.m. y el m.c.d. de expresiones
algebraicas vamos a obtenerlos para tres números enteros. Obtengamos
el m.c.m. y el m.c.d. para los números 24, 36 y 60. Para ello, primero
tengamos en cuenta la:
Descomposición de un número en sus factores primos :
Si hacemos uso del lenguaje, este título ya lo dice todo. Los números primos son aquellos
que tienen solamente dos divisores positivos. Todo número distinto de cero es divisible (es decir,
el residuo de la división entera es cero) por 1 y por sí mismo,
aa
1 y
aa
1 (si a 0)
Por lo que esta definición nos indica que un número es primo si no tiene otro divisor que
no sean ni el 1 ni él mismo.
Los primeros números primos son:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, etc.
Por lo tanto, descomponer a un número en sus factores primos significa poder expresarlo como
la multiplicación (factores) de números primos, por ejemplo, el 12 se puede descomponer como:
12 = 22 3. Como 24 es 2 12, 24 = 23 3
m.c.d.Un algoritmo cómodo para hallar el m.c.d. de dos o más números es colocarlos en columna
e irlos dividiendo por divisores comunes paso a paso. En el caso del 24, 36 y 60 es:
24 36 60 2
12 18 30 2
6 9 15 3
2 3 5
¿Cuáles son el m.c.d. y el m.c.m. de dos números pr imos?
Unidad 2
352
Ya no es posible encontrar otro divisor común, por lo que el máximo común divisor de 24,
36 y 60 es: m.c.d. (24, 36, 60) = 2 2 3 = 22 3 = 12
m.c.m.
El algoritmo para hallar el m.c.m. de dos o más números es similar al anterior, pero una
vez que ya no existen divisores comunes se sigue hasta que cada número llegue al 1. En el caso del
24, 36 y 60 es:
24 36 60 2 12 18 30 2 6 9 15 3 2 3 5 2 1 3 1 5
1
Entonces el mínimo común múltiplo de 24, 36 y 60 es:
m.c.m. (24, 36, 60) = 2 × 2 × 3 × 2 × 3 × 5 = 23 × 32 × 5 = 360
H agámoslo ahora para expresiones algebraicas.
Ejemplos :
3. H alla el m.c.d. y el m.c.m. de (6 a2 b) y (10 a3 b2)
H agamos la tabla:
6 a2 b 10 a3 b2 2
3 a2 b 5 a3 b2 a
3 a b 5 a2 b2 a
3 b 5 a b2 b
3 5 a b 3
1 5 a b 5
a b a
b b
1
Entonces: m.c.d. (6 a2 b, 10 a3 b2) = 2 a a b = 2 a2 b
y
m.c.m. (6 a2 b, 10 a3 b2) = 2 a a b a b = 30 a3 b2
Para mayor comodidad muchas veces separamos los coeficientes de sus partes literales. Para
mostrarlo vamos a resolver el ejemplo anterior siguiendo este procedimiento:
mat emát ic as 1
353
H agamos la tabla:
6 10 2 a2 b a3 b2 a
3 5 a b a2 b2 a
b a b2 b
1 a b a
3 5 3 1
1 5 5 b b
1 1
Entonces: m.c.d. (6 a2 b, 10 a3 b2) = 2 a a b = 2 a2 b
y
m.c.m. (6 a2 b, 10 a3 b2) = 2 a a b a b = 30 a3 b2
dos números cualesquiera?
relativos a dos o más números enteros que no tienen divisores comunes salvo el 1, que es el
divisor universal, aunque ellos mismos no sean números primos. Por ejemplo, el 6 es primo
relativo del 35).
son primas relativas?
Ejercicio 2
H alla el m.c.d. y el m.c.m. de las siguientes expresiones algebraicas:
1. (4 x3) y (6 x2)
2. (4 x3) , (6 x2) y (12 x3)
3. (15 a x2) , (6 a2) y (3 a)
Si estuviste atento te habrás dado cuenta que ya hemos simplificado fracciones. Para una
eficiente simplificación (es decir, para llegar a la fracción irreductible) debemos usar el m.c.d.
Unidad 2
354
9.1.2. Suma de fracciones algebraicas con denominador constante
Vamos a recurrir a la suma aritmética para inferir el procedimiento algebraico. Si queremos
sumar:
Primero :Buscamos un común denominador. El mejor es siempre el mínimo común múltiplo que en
este caso es 30. A veces, para “evitarnos” problemas, multiplicamos los denominadores (en este caso 150) sin darnos cuenta que a veces este acto puede complicar más las operaciones a realizar ya que manejaríamos números más grandes de lo necesario.
Segundo :
D ividimos el común denominador entre cada uno de los denominadores de las fracciones
sumandos y ese cociente lo multiplicamos por los numeradores respectivos.
Tercero :
Sumamos los numeradores así obtenidos:
El punto esencial a comprender está en el paso 2. ¿Por qué dividimos el común denominador
entre los denominadores y ese cociente lo multiplicamos por los numeradores? Ve que si distribuimos
el denominador 30 tenemos:
Donde 4/30 es equivalente a 2/15 y 9/30 es equivalente a 3/10, pero ambos tienen el mismo
denominador y por lo tanto pueden ser sumados. Si te fijas este algoritmo lo que hace es mecanizar
lo que hicimos en el comienzo de esta unidad, donde debiste hallar fracciones equivalentes con
denominador dado, en este caso el m.c.m. de los denominadores de las fracciones sumandos.
Este algoritmo puede trasladarse sin problemas a la suma de fracciones algebraicas con
denominadores constantes (es decir, sin literales) como veremos a continuación.
mat emát ic as 1
355
Ejemplos :
H allar las sumas siguientes:
4. x x
Si seguimos los pasos que usamos para la suma aritmética, debemos hallar primero un común
denominador entre 2 y 3. El m.c.m. (2, 3) = 6, por lo tanto:x x
Luego dividimos 6 2 = 3 y 6 3 = 2 y a estos cocientes los multiplicamos por los
numeradores respectivos, es decir: x x x x
Ahora sumamos los numeradores. Es posible que algebraicamente este último paso no sea
realizable, ya que no necesariamente los términos resultantes de este proceso serán semejantes. En
este caso sí es posible, así que:x x x x x
Entonces la suma buscada es x o si prefieres x , para que quede más clara la estructura de monomio.
5.
Vamos a hacerlo directamente. Tú debes analizar este ejemplo para luego poder hacer solo
los ejercicios.
6. x x
x x x x
Aplicando la propiedad distributiva: x x
Sumando términos semejantes: x
O bien: x
, simplificando: = x
Por lo tanto: x xx
Unidad 2
356
Ejercicio 3
Calcula las sumas siguientes:
1. x x2 2
2. x x
3. y y
4. y y
5.
6. x x
7. x x x x
9.2. Suma de fracciones algebraicas con denominador algebraico
Pero las fracciones algebraicas no necesariamente tendrán denominador constante. Sin
embargo, la operación es la misma sólo que en forma algebraica. Sigamos los pasos que usamos
para sumar fracciones algebraicas con denominador constante. Para ello usaremos la suma:
Primero:
Buscamos un común denominador. El mejor es siempre el mínimo común múltiplo que en
este caso es 30 x2 y.
mat emát ic as 1
357
Segundo :
D ividimos el común denominador entre cada uno de los denominadores de las fracciones
sumandos y ese cociente lo multiplicamos por los numeradores respectivos. Algebraicamente:
7 (2 y) = 14 y
y
8 (3 x) = 24 x
Entonces:
Tercero :
Sumamos los numeradores así obtenidos, pero en este caso los numeradores no son términos
semejantes, por lo que la expresión obtenida es definitiva.
Al igual que cuando operamos fracciones aritméticas, cuando dividimos el común denominador
entre los denominadores y ese cociente lo multiplicamos por los numeradores, obtenemos fracciones
algebraicas equivalentes a las que se quieren sumar pero con un mismo denominador:
Donde es equivalente a x
, y equivalente a , pero ambos tienen
el mismo denominador y por lo tanto pueden ser sumados. Si te fijas este algoritmo lo que hace es
mecanizar lo que hicimos en el ejercicio 1 de esta unidad, donde hallamos fracciones equivalentes
con denominador dado, en este caso el m.c.m. de los denominadores de las fracciones sumandos.
Ejemplos :
H allemos las siguientes sumas:
7. Denominadores iguales: x x
Solución :
Como en este caso, los denominadores son iguales, la fracción suma es simplemente la suma
de los numeradores con el mismo denominador. Es decir:
Unidad 2
358
x x x x
8. Denominadores que difieren en su coeficiente: x x
Solución:
Como en este caso, los denominadores tienen la misma parte literal, el común denominador
(mínimo común múltiplo) es el monomio que tenga la misma parte literal y, como coeficiente, el
m.c.m. de los coeficientes de los denominadores, es decir: 15 x. Por lo tanto:
x x x x
Que es una fracción irreductible (no se puede simplificar).
Observa que el 9 y el 20 se obtienen de dividir el común denominador (15 x) entre cada
uno de los denominadores y esos cocientes multiplicarlos por su numerador respectivo, es decir:
xx
y x
x
9. Un denominador es múltiplo del otro: x x
Solución:
Como en este caso el primer denominador es múltiplo del segundo, entonces el común
denominador es el denominador de la primera fracción, y por lo tanto:
x x x x x
Donde la última igualdad surge de la simplificación de la fracción anterior dividiendo
numerador y denominador entre 3.
10. Los denominadores son primos relativos:
Solución:Como en este caso, los denominadores son primos relativos (es decir, que no tienen factores
comunes), el común denominador es el producto de ambos, es decir (5 x) (3 y) = 15 x y
Donde los numeradores no son semejantes.
mat emát ic as 1
359
11. Caso general: los denominadores tienen factores comunes pero uno no es múltiplo del
otro:
Solución :
Como en este caso, los denominadores tienen factores comunes debemos hallar el común
denominador, que en este caso es: 60 x2 y3, y entonces:
Donde los numeradores no son semejantes.
Ejercicio 4
Ahora practica tú realizando las siguientes sumas:
1. a a
=
2. =
3. =
4. =
5. =
9.3. Resta de fracciones algebraicas
La resta de fracciones algebraicas es muy similar a la suma, salvo porque no es conmutativa.
En las restas con fracciones algebraicas encontramos los siguientes casos: restas de fracciones con
denominador constante y restas de fracciones con denominador algebraico. Revisemos varios
ejemplos sobre el primer caso de resta.
Unidad 2
360
9.3.1. Resta de fracciones algebraicas con denominador constante
Comencemos, como lo hicimos con la suma, por el caso más simple: la resta con
denominadores constantes. Para ello veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplos :
H alla las restas siguientes:
12. x x
Si seguimos los pasos que usamos para la suma con denominadores
constantes, tenemos primero que hallar un común denominador entre 2 y 3.
El m.c.m. (2, 3) = 6, por lo tanto
x x
Luego dividimos 6 2 = 3 y 6 3 = 2 y a estos cocientes los
multiplicamos por los numeradores respectivos, es decir:
x x x x
Ahora restamos los numeradores:
x x x x x
Entonces la resta buscada es x6
o si prefieres x .
13.
Vamos a hacerlo directamente. Tú debes analizar este ejemplo para luego poder hacer solo
los ejercicios.
14. x x x
x x x x x x
¿Es posible obtener el m.c.d. y el m.c.m. de números
enteros negativos?
mat emát ic as 1
361
Aplicando la propiedad distributiva
x x x
Sumando (algebraicamente) términos semejantes
x
o bien x
. Simplificando x
Ejercicio 5
H allar las restas siguientes:
1. x x5 5
=
2. x x
=
3. =
4. m m
=
5. =
6. x x x
=
7. x x
=
9.3.2. Resta de fracciones algebraicas con denominador algebraico
Vamos ahora a analizar el caso general: la resta con denominadores algebraicos. Para ello
comencemos analizando el siguiente caso:
Unidad 2
362
Primero :
Buscamos un común denominador que en este caso es 24 x2 y3.
Segundo :
D ividimos el común denominador entre cada uno de los denominadores de las fracciones
que queremos restar y ese cociente lo multiplicamos por los numeradores respectivos. Es decir:
= 3 y2 13 (3 y2) = 39 y2 y
= 2x 5 (2 x) = 10 x
Entonces:
Tercero :
Sumamos los numeradores así obtenidos, pero en este caso los numeradores no son términos
semejantes, por lo que la expresión obtenida es:
Ejemplos :
H allemos las siguientes restas:
15. (denominadores iguales) x x
Solución :
Como en este caso los denominadores son iguales, entonces la fracción resta es simplemente
la resta de los numeradores con el mismo denominador. Es decir:
x x x x x
16. Denominadores que difieren en su coeficiente: x x
Solución :
Como en este caso los denominadores tienen la misma parte literal, buscamos el m.c.m. de
los coeficientes de los denominadores, es decir: 42 x. Por lo tanto:
mat emát ic as 1
363
x x x x, que es una fracción irreductible.
17. Un denominador es múltiplo del otro:
Solución :
Como en este caso el primer denominador es múltiplo del segundo, entonces el común
denominador es el denominador de la primera fracción, y por lo tanto:
18. Los denominadores son primos relativos:
Solución :
En este caso el común denominador es el producto de ambos, es decir (5 x) (3 y) = 15 x y
Donde los numeradores no son semejantes.
19. Caso general: los denominadores tienen factores comunes pero uno no es múltiplo del
otro:
Solución :
Como en este caso los denominadores tienen factores comunes, entonces debemos hallar el
común denominador, que en este caso es 60 x2 y3, y entonces:
Ejercicio 6
Ahora practica tú realizando las siguientes restas:
1. a a
=
Unidad 2
364
2.
3.
4.
5.
9.4. Suma algebraica de fracciones algebraicas
En general las sumas y las restas de fracciones algebraicas pueden aparecer en forma
combinada. A esta combinación se le llama suma algebraica de fracciones algebraicas y su
operación es la combinación de la suma y de la resta de fracciones. Aprovechemos esta sección para
realizar algunas operaciones un poco más complejas.
Ejemplos :
20. x x x x x
21. x x
x xx
xx
22. xx
xx x x x
x xx x x
x x
23. x xx x x x
x x
=
x x xx x
x xx x
x xx x
24. x
x x xx x
xx x
x x
mat emát ic as 1
365
x x x x x xx
x x x x x x x xx
=x x x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x xx
=x x x x
x
=x x
x
Ejercicio 7
Ahora te toca practicar a ti. Realiza las siguientes sumas algebraicas.
1. a a a
=
2. =
3. x
xx x
=
4. x x
xx
=
Unidad 2
366
Nota histórica
Nació Leibniz en Leipzig, donde ingresó a la Universidad a la edad de 15 años. Estudió
teología, leyes, filosofía y matemáticas.
A los 20 años estaba listo para obtener su doctorado en leyes, pero le fue negado por su corta
edad, por lo que se trasladó a Nuremberg, donde se doctoró. Le fue ofrecido el cargo de profesor
de leyes que rechazó para entrar al servicio diplomático.
Como representante del gobierno viajó mucho. En 1671 inventó una máquina de cálculo
concebida a partir de un principio nuevo y diferente a la de Pascal. Podía efectuar las cuatro
operaciones aritméticas fundamentales de manera automática.
En 1672 viajó a París, donde conoció a H uygens, quien al advertir tanto sus dotes como
su ignorancia en matemáticas, le sugirió algunas lecturas y lo motivó para emprender seriamente
el estudio de las matemáticas. Es H uygens quien se hizo cargo de la formación matemática de
Leibniz.
En 1673 una misión política lo llevó a Londres donde consiguió una copia de las Lectiones
Geometricae de Barrow y pasó a ser miembro de la Royal Society. Alrededor de esta fecha data la
pugna entre Newton y Leibniz sobre el origen del Cálculo.
Leibniz desarrolló una notación para el cálculo netamente diferente a la de Newton. En la
revista Acta Euroditorum, Leibniz publicó una explicación del cálculo integral, poniendo énfasis en
la relación inversa entre la diferenciación y la integración con el teorema fundamental del cálculo.
El cálculo de Newton y Leibniz mostró que todas las funciones no algebraicas jugaban un papel
importante en este nuevo análisis. Si se excluyeran las funciones trascendentes no existirían las
integrales de funciones algebraicas como:
1x
ó x
y más aún las operaciones de su nuevo análisis podían aplicarse a series infinitas, al igual que a
expresiones algebraicas finitas.
Los últimos años de su vida se vieron ensombrecidos por su controversia con Newton sobre
el descubrimiento del cálculo diferencial e integral.
* Tomado de “Apuntes para una pared de matemáticas”, Doris Cetina Vadillo (en proceso de publicación).
mat emát ic as 1
367
Respuestas a los ejercicios
1. x x
x
2.
3. (– 4 x y) =
4.
1. (4 x3) y (6 x2)
4 6 2 x 3 x 2 x 2 3 x2 x x x 1 2 3 2 x 1 x 1 3 3 1 1
1
Entonces: m.c.d. (4 x3, 6 x2)= 2 x x = 2 x2
y
m.c.m. (4 x3, 6 x2)= 2 x x x = 22 3 x3 = 12 x3
2. (4 x3) , (6 x2) y (12 x3)
4 6 12 2 x 3 x2 x3 x 2 3 6 x2 x x2 x x 1 x 2 3 6 2 x 1 x x 1 3 3 3 1 1
1 1
Ej. 1
Ej. 2
Unidad 2
368
Ej. 3
Entonces: m.c.d. (4 x3 , 6 x2 , 12 x3)= 2 x x = 2 x2
y
m.c.m. (4 x3 , 6 x2, 12 x3)= 2 x x x = 22 3 x3 = 12 x3
3. (15 a x2) , (6 a2) y (3 a)
15 6 3 3 a x 2 a2 a a
5 2 1 x2 a 1
5 2 1 2 x2 a 1 x 5 1 5 x a x
1 1 a a
1
Entonces: m.c.d. (15 a x2, 6 a2, 3 a)= 3 a
y
m.c.m. (15 a x2, 6 a2, 3 a)= 3 a x x a a2 x2 = 30 a2 x2
1. x x x x xx x
Que puede interpretarse como la mitad de una cantidad “x” más la otra mitad, da la
unidad, es decir, la cantidad “x” .
2. x x x x x
x
Es decir que la mitad de una cantidad más su cuarta parte es las tres cuartas partes del
total.
3. y y y y y
y
4. y y y y yy
5.
6. x x x x x x
x xx
mat emát ic as 1
369
Ej. 4
Ej. 5
7. x x x x
x x x x
x x x x
x
x x
1. a a a
2.
3.
4.
5.
1. x x
2. x x x x x
3.
4. m m m m m
Unidad 2
370
5.
6. x x x x x x
x x x
7. x x x x x x
1. a a a
2.
3.
4.
5.
1. a a a a a a a
2.
=
Ej. 6
Ej. 7
mat emát ic as 1
371
3. x
xx x2
=x x x x x
x x
=x x x x
x x
=x x x x
x x
= x x
x x
4. x x
xx
xx
x
= x x x
x
= x x x x
x
= x x x x
x
= x x
x
Unidad 2
372
Autoevaluación
1. Decimos que dos fracciones son equivalentes si:
a) Tienen el mismo numerador.
b) Tienen el mismo denominador.
c) Tienen el mismo numerador y el mismo denominador.
d) Representan el mismo número.
2. ¿Cuál de las siguientes fracciones algebraicas es equivalente a: ?
a)
b)
c)
d)
3. ¿Cuál de las siguientes fracciones algebraicas es equivalente a: con denominador 12 xy?
a)
b)
c)
d)
Matemáticas 1 (Álgebra 1) Unidad 9. Suma y resta de fracciones algebraicas
Nombre:
Grupo: Número de cuenta:
Profesor: Campus:
373
4. ¿Cuál es la suma de x x
a) x
b) x
c) x
d) x
5. ¿Cuál es la suma de ?
a)
b)
c)
d)
6. es igual a:
a)
b)
c)
d)
Unidad 2
374
7. ¿Cuál es el m.c.m. de (4 x2) y (6 x y3)?
a) 10 x3 y3
b) 12 x3 y3
c) 12 x2 y3
d) 2 x
8. ¿Cuál es el m.c.d. de (12 x2 y2) y (18 x y3)?
a) 36 x3 y3
b) 6 x y2
c) 12 x2 y3
d) 6 x y
9. es igual a:
a)
b)
c)
d)
10. es igual a:
a)
b)
c)
d)
mat emát ic as 1
375
376
