unidad - gc.scalahed.com

unidad �

2 � 0

5.3.interéssimple

En la actualidad el uso del dinero tiene diferentes vertientes, ya sea para gastar en bienes y

servicios o para invertir en un negocio, en una propiedad, etc., sin embargo, cuando se utiliza

el dinero para cualquiera de las dos anteriores opciones, y si el dinero no se tiene en propiedad,

este causa un sobrepago que normalmente denominamos interés. El manejo del interés se da

a partir de dos características, la primera cuando los intereses no forman parte de la propia

deuda, es decir no se capitalizan; la segunda es cuando los intereses se van a acumulando, es

decir se capitalizan. En este apartado se hablará de la primera característica.

Por ejemplo una de las principales funciones de los bancos y las financieras es prestar

dinero a las personas y empresas, en otras palabras otorgan créditos; facilitando la devolución

del dinero en plazos de tiempo, estableciendo un plazo para cancelar la deuda que se adquiere

al pedir prestado dinero para comprar o trabajar.

El crédito conlleva la aplicación de una de tasa de interés (sobrepago) a las operaciones

de préstamo de dinero; en éstas se calcula el costo del dinero en relación al monto solicitado y

a la tasa de interés vigente.

ElinterésEs el precio que se paga por el uso del dinero a lo largo de un periodo de tiempo.

La tasa de interés para una transacción determinada se expresa explícitamente de

manera frecuente; es decir: una asociación de ahorro y préstamo que puede ofrecer 6.5% de

rendimiento al año sobre sus depósitos de ahorro, o una compañía hipotecaria puede ofrecer

hipotecas de 20 años de viviendas a una tasa de interés de 12%.

Algunas veces la tasa de interés está implícita en la transacción que se efectúa, por

ejemplo, algunos bancos comerciales ofrecen cuentas corrientes gratis a los clientes que

mantienen un saldo mínimo de x cantidad, debido a que esta misma cantidad x podría ganar

interés si fuera depositado en una cuenta de ahorro, existe un costo de interés implícito para

los clientes del banco por mantener el saldo mínimo en sus cuentas.

El interés simple es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En

consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir,

la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés

es calculado sobre la misma base.

Interés simple, es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo) a

la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el periodo de transacción comercial.

análisis matemático Financiero

2 � 1

La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en

un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (periodos

menores de un año).

El monto que obtenemos con el interés simple aumenta linealmente (progresión

aritmética). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial, es indiferente la frecuencia

en la que estos intereses son cobrados o pagados. El interés simple no se capitaliza.

Suposicionesgeneralesparacalcularelinterés• Certeza. Es la suposición usada más restrictiva, se supone que todos los valores actuales

y futuros sean conocidos, y si no, se utilizarán técnicas que permitan su cálculo.

• Periodos discretos de tiempo. Este tiempo debe ser dividido en intervalos anuales

considerando desde que inicia hasta que termina el último día del año. El presente

inmediato se considera como el final del año cero.

• Cálculo de interés anual. Este interés se calcula una vez al año y el cálculo se hace al

final del mismo lo cual reafirma los periodos discretos de tiempo.

i cit=Debido a estas suposiciones puede definirse la ecuación para el interés

simple como:

Donde:

i = interés simple

c = capital inicial

i = tasa de interés anual

t = tiempo de inversión

Ejemplo 13

Si se realiza una inversión que produzca una entrada de efectivo dentro de dos años a

cambio de un flujo inmediato de efectivo, entonces se dice que tiene un flujo al final del

año cero y una entrada al final del año dos.

Ejemplo 14

Se realiza una inversión de $5 000 el día 15 de marzo, luego de esta fecha se vuelve el

tiempo cero, una entrada de efectivo de esa inversión ocurrirá dos años más tarde, es decir,

para el 15 de marzo del año dos, produciendo entradas de $1 000

unidad �

2 � 2

Flujo de efectivo 0 1 2

$5 000 $1 000

Ejemplo 15

¿En cuánto se convierte un capital de $1 600 000 a 10% en dos años a interés simple?

Como el interés que produce 1 peso en 1 año es de 10/100 pesos = 0.1 pesos, el

interés total es:

c = $1 600 000

t = 1 año

i = 0.1

CitI = c = ($1 600 000) (0.1) (1) = $160 000

Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo

$1 600 000. En el segundo año, el capital vuelve a producir otros $160 000

En los dos años el interés producido es:

$160 000 + $160 000 = $320 000

Por lo tanto, el capital se convierte a los dos años en:

1 600 000 + 320 000 = 1 920 000 pesos

Se puede obtener directamente el interés a los dos años:

i = (1 600 000) (0.1) (2) = 320 000 pesos

En general, si c es el capital, i es la tasa de interés anual y t es el tiempo en años,

entonces el interés simple es:

i cit=

Si el tiempo viene dado en meses la fórmula es:

12

número de mesest =

Si el tiempo viene expresado en días la fórmula es:

360

número de díast =

El interés simple tiene la propiedad de que el capital inicial permanece constante

durante un plazo.


2 � �

Ejemplo 16

Calcular el interés simple comercial de:

a) $2 500 durante 8 meses a 8%

b) $60 000 durante 63 días a 9%

c) $12 000 durante 3 meses a 8.5%

d) $15 000 a 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre del

mismo año.

a) c = $2 500

t = 8 meses

i= 0.08

Sustituyendo valores:

i = (2 500) (8/12) (0.08) = $133.33

b) c = $60 000

t = 63 días

i = 0.09

i = (60 000) (63/360) (0.09) = $945

c) c = $12 000

t = 3 meses

i = 0.085

i = (12 000) (3/12) (0.085) = $255

d) c = $15 000

i = 0.10

t =165 días

i = (15 000) (0.10/360) (165) = $687.50

Ejemplo 17

¿Cuál será el interés que se obtenga de un capital de $30 000 si se ha invertido durante 4

años a una tasa de interés de 14%?

c =$30 000

i =0.14

t = 4

unidad �

2 � �


i = =($30 000)(0.14)(4) $16 800

MontosimpleSe define como el valor acumulado del capital. Es la suma del capital más el interés, su ecuación es:

m c i= +

Pero si se sustituye

i= cit

Se tiene:

(1 )m c cit c it= + = +

Ejemplo 18

Una persona pide un préstamo por $10 000 a una tasa de interés de 4.5% anual durante

1 año, ¿cuál será el monto que pagará al final de este tiempo?

c =$10 000

i =0.045

t = 1

(1 )m c it= +


(1 ) $10 000(1 0.045(1)) $10 450m c it⇒ = + = + =

Por lo tanto el monto a pagar será de: $10 450

Ejemplo 19

¿Calcular el monto a pagar de una deuda de $75 000 al 1 de mayo, si se firmó un pagaré

el 16 de marzo del año en curso con un interés de 12%?

Utilizando las conversiones de tiempo de días a años (t/360)

t = 46 días = 0.127 777 años

i = 0.12

c = $75 000

(1 )m c it= +

75 000(1 0.12(0.127 777)) $76 150m = + =

El monto a pagar será de:

m = $76 150


2 � �

Gráficasdelproblemadeinteréssimple

{ }( , ( ))/ ( )f t f t m f t cit c= = = +

Para graficar un problema de interés simple, se

define una función lineal cuyo dominio es el

tiempo y cuyo rango o imagen es el interés

obtenido en determinado periodo de tiempo.

Donde: Ci es la pendiente de la función, c es la ordenada en el origen, todos mayores

a cero; esto no es otra cosa que la ecuación del monto simple.

Ejemplo 20

Elaborar la gráfica que presenta el monto de un capital de $1 a una tasa de interés simple

de 2% anual, determinando su dominio e imagen.

c = 1

i = 0.02

t = variable

( )f t cit c= +

f(t) = 1(0.02)t + 1

f(t) = 0.02 t + 1

f(t) = 1 + 0.02 t

Graficando entre 0 y 6

Dominio [0, 6] e imagen [1, 1.12]

0 1 2 3 4 5 6 7

1,6

0,8

f ( t )

t

unidad �

2 � �

ValorpresentePara encontrar el capital inicial que se requiere invertir durante cierto tiempo a determinada

tasa de interés para producir cierto monto, se requiere de un valor presente.

( 1)m cit c c it= + = +

Despejando C se tiene el valor presente:

1mc

it=

+

Ejemplo 21

Encontrar el valor presente de $1 400 pagaderos dentro de 5 años, si la tasa de interés

es de 2% anual.

Sustituyendo los datos proporcionados directamente en la ecuación obtenemos:

1 400 1 400$1 272.72

1 (0.02)5 1.1c = = =

+

EcuacionesdevalorEn ocasiones es necesario reemplazar una deuda o una serie de deudas por otra o por otro

conjunto de ellas con diferentes vencimientos. Para que tanto el acreedor como el deudor estén

satisfechos con el nuevo esquema de pagos, el valor de éstos debe ser equivalente al valor del

esquema original.

Las ecuaciones de valor son una igualdad o equivalencia entre dos colecciones de

obligaciones evaluadas en un mismo periodo. Cabe mencionar la importancia de determinar

para cada caso la fecha de valuación llamada fecha focal, ya que los montos de las obligaciones,

en los casos de interés simple varían respecto al tiempo.

Los diagramas de tiempo valor son una buena herramienta para el cálculo de las

ecuaciones de valor equivalentes.

1 2X X

Obligaciones AConsideradas enel tiempo 2

Fecha devaluación

Obligaciones BConsideradas enel tiempo 2

X Xn –1 n


2 � �

Ejemplo 21

Una empresa firma un pagaré por $180 000 a 90 días a 6%; 30 días después, firma otro

pagaré por $120 000 a 90 días sin intereses, 60 días después de la primera fecha, acuerda

pagar $40 000 y recoger los pagarés reemplazando éstos por uno sólo a 120 días, contados

desde la última fecha, con un rendimiento de 12%. Determine el pago convenido.

180 000 120 000 40 000 X

0 9030 60 180150120

Se determina la fecha focal de 180 días, se deben calcular los diferentes valores en

esta fecha para plantear la ecuación de valores equivalentes.

Valores recientes:

x ⇒ + + 140 000 1 (0.12)3

Valores anteriores:

⇒ + + + + 1 1 1180 000 1 (0.06) 1 (0.12) 120 000 1 (0.12)4 4 6

Se igualan valores:

140 000 1 (0.12)3

x + + =

1 1 1180 000 1 (0.06) 1 (0.12) 120 000 1 (0.12)4 4 6

+ + + +

40 000 1.04 180 000 1.015 1.03 120 000 1.02x + = + =

41 600 188 181 122 400x + = +

41 600 310 581x + =

x = −310 581 41 600

$268 981x = 0

unidad �

2 � �

actividad1

1. Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los siguientes problemas:

Depósitos en el año cero Tasa de interés Número de años Cantidad final

$10 000 8 % 12

$12 000 4 $14 000

11 % 7 $7 000

$8 000 4 % $9 000

$900 5 % $1 200

12 % 10 $35 000

$70 000 14 $80 000

$500 13 $1 000

2. Usted le pide prestados $2 000 a un banco en estos momentos y acuerda pagar el

préstamo haciendo un pago de $2 800, tres años después ¿qué tasa de interés le está

cobrando el banco?

3. Se depositan diez pagos anuales de $2 000 cada uno a una cuenta que paga 85% de

interés. Los pagos comenzarán 5 años más tarde, ¿cuánto dinero estará disponible

inmediatamente después del último pago?

4. ¿Cuál es el valor actual en el año cero de una anualidad de 10 pagos que paga $10 000

al año, si el primer pago se recibe 6 años después y si la tasa de descuento es 15%?

5. Encontrar el valor actual, a 5% de interés simple, de $1 800 000 con vencimiento en

9 meses.


2 � �

5.4 interéscompuesto

Con anterioridad hablamos de progresiones geométricas, de las cuales la aplicación más

clara es la que consideramos en el momento de calcular el interés compuesto sobre un

capital prestado.

Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el

banco paga intereses. Esos intereses se van acumulando e integrando a la propia deuda y a

esto se le conoce como capitalización. Es importante mencionar que en la actualidad el tipo

de interés que se maneja con mayor regularidad en los procesos comerciales y financieros es el

interés compuesto y uno de los principales ejemplos son las tarjetas de crédito.

interéscompuestoEs la cantidad que resulta de sumar al capital inicial todos los intereses calculados al final de

cada uno de los periodos contemplados en un tiempo determinado.

El crecimiento natural es una variación proporcional a la cantidad presente en todo

instante; tal es el caso del crecimiento de las bacterias o el de las células del cuerpo, cuyo

crecimiento es continuo en el tiempo. En la capitalización a interés compuesto encontramos

un crecimiento continuo en función del tiempo.

Periododecapitalización Ejemplo 22

Si un interés se capitaliza 4 veces al año, el periodo de capitalización es de 3 meses. Es decir

que en un año se tienen cuatro trimestres.

FrecuenciadecapitalizaciónEs el número de veces por año en que el interés se suma al capital.

Ejemplo 23

Si un interés se capitaliza trimestralmente, la frecuencia de capitalización es 4.

unidad �

2 � 0

ConversióndepagossimplesacompuestosCuando una cantidad acordada de dinero se deposita en una cuenta que soporta un interés y se le

permite que obtenga intereses por varios años, el valor monetario resultante recibe el nombre de

cantidad compuesta. Nos referimos al depósito de original como el capital. Al proceso de añadir

interés y determinar la cantidad compuesta resultante se le llama compuesto. La frecuencia del

compuesto es el número de veces anuales que el interés se le añade a la cuenta de depósito.

Ejemplo 24

Una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco pagará intereses

¿en cuánto se convierte un capital de $1 600 000 a 10% en dos años a interés compuesto?

a) El depósito se efectúa en el año cero. Al final del primer año la cantidad compuesta

disponible es:

cantidad compuesta = $1 600 000 + $1 600 000 (10%)

= $1 600 000 + $1 600 000 (0.1)

= $1 600 000 + $160 000

= $1 760 000

b) Al final del primer año los $160 000 ganados no se retiran, por lo que el capital,

al empezar el segundo año, es de $1 760 000.

cantidad compuesta = $1 760 000 + $1 1760 000 (10%)

= $1 760 000 + $1 1760 000 (0.1)

= $1 760 000 + $1 176 000

= $1 936 000

En el primer año la ganancia del capital es de:

$1 600 000 (0.1) = $160 000

En el segundo año el interés de $1 760 000 es:

($1 760 000) (0.1) = $176 000

Al final de los dos años el interés producido es:

$160 000 + $176 000 = $336 000

Utilizando el ejemplo anterior en donde el capital de $1 600 000 aumentó a una

cantidad compuesta de $1 936 000 en un periodo de dos años. El incremento del capital inicial

$336 000 se debió enteramente al interés. Se ganó la cantidad de $160 000 en el año 1, y

$176 000 en el año 2.


2 � 1

De los $336 000 ganados al final del periodo, $176 000 se produjeron en el segundo

año debido a 10% que se aplicó a $160 000 de los primeros intereses ganados en el primer año,

ya que se mantuvo en depósito en el segundo año; los $176 000 es el interés ganado sobre el

interés y recibe el nombre de interés compuesto.

La ecuación básica se puede obtener con las variables involucradas junto con sus

representaciones simbólicas.

Se tiene entonces que:

c = capital en el tiempo cero

i = tasa de interés anual

n = tiempo o número de periodos sobre los que el capital genera intereses compuestos.

ct = cantidad compuesta después de t años.

La cantidad compuesta disponible un año después que el principal se ha depositado es:

c1 = c + c (i) ⇒ c1 = c(1 + i)

Si a c1 se le permite ganar intereses por un año entonces:

c2 = c1 + c1 (i) ⇒ c2 = c1 (1 + i)

Sustituyendo c1

c2 = c( 1 + i)(1 + i) ⇒ c2 = c(1 + i)2

Entonces de acuerdo con los datos del ejemplo la ecuación quedará:

c = ($1 600 000) (1 + 0.1)2 = $1 936 000

1100

n

tic c = +

En general, el capital final o cantidad compuesta (ct) que se obtiene

a partir de un capital c en t años al tanto por ciento anuales (i), se

calcula con la fórmula.

Cuando el capital inicial se invierte durante varios periodos

y al final de cada periodo se suman los intereses obtenidos al capital y se reinvierten, se están

calculando intereses sobre intereses devengados.

Ejemplo 25

Encontrar el capital compuesto sobre $8 000 después de 3 años, si la tasa de interés anual

es de 4%.

c = $8 000

i = 4%

n = 3 años

unidad �

2 � 2

1100

n

tic c = +

33

348000 1 8000(1 0.4)

100c = + = +

3

3 8000(1.4) 8000(2.744) 21 952c = = =

c3 = $21 952

Montocompuestoovalorfuturo

(1 )nm c i= +Es la cantidad que resulta de sumar al capital inicial todos los intereses

calculados al final de cada uno de los periodos contemplados en el lapso

considerado; dicho de otra forma es el capital más los intereses capitalizados.

El monto de un capital al final de un periodo se obtiene multiplicando dicho capital

por el factor (1 + i), al final del segundo periodo se tiene:

(1 )(1 )m c i i= + +

Al final del tercer periodo:

(1 )(1 )m c i i= + + (1+i)

Generalizando:

(1 )nm c i= +

Donde:

m = monto compuesto

c = capital a invertir

i = interés ganado

n = tiempo

Ejemplo 26

Un banco ofrece una tasa de 10% para cuentas de ahorro. Encontrar el monto de un

depósito de $5 000 después de 5 años.

c = $5 000

i = 10%

n = 5 años

(1 )nm c i= +

5 55 000(1 0.1) 5 000(1.1) 5 000(1.61 051)=8 052.55m = + = =

$8 052.55m =


2 � �

Tasanominal,tasaefectivaytasasequivalentesCuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante

el lapso que dure la operación; se le llama así porque representa el porcentaje de rendimiento

aparente y se denota por (i)m.

Sin embargo si el interés se capitaliza semestral, trimestral o mensualmente, la

cantidad efectiva pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. La tasa

efectiva anual es menor que la tasa nominal anual debido a que el interés de esta última se

capitaliza m veces al año.

Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes

si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.

Tasa efectiva:

1 1mici

m = + −

De esta fórmula se puede despejar la tasa nominal

Tasa nominal:

1

(1 ) 1m mi m i

= + −

Nota: en caso de que el dinero se invierta durante n años, se t iene

la equivalencia:

m nmn ii

m

+ = +

(1 ) 1

Ejemplo 27

¿Cuál será la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal de 5% anual convertible

bimestralmente?

im = 0.05

m = 6

m nmn ii

m

+ = +

(1 ) 1

Sustituyendo:

60.051 16

i = + −

unidad �

2 � �

i = (1.008 333 333)6 – 1

i = 1.0 510 531 – 1

i = 0.0 510 531

Por lo tanto, la tasa efectiva equivalente será de 0.0 510 531, que es aproximadamente

5.11%

Ejemplo 28

Encontrar la tasa nominal im convertible trimestralmente, equivalente a una tasa efectiva de

5% anual.

i = 0.05

m = 4

1

(1 ) 1m mi m i

= + −


1 14 44 (1 0.05) 1 4 (1.05) 1mi

= + − = − =

4 1.012 1 4(0.012) 0.049 088mi = − = =

4.9%mi =

La tasa nominal convertible trimestralmente será de 0.049 088 que es

aproximadamente 4.91%

CálculodelatasadeinterésefectivaEn la fórmula del interés compuesto, si se conoce el valor presente c, el valor futuro m y el

tiempo n, sólo queda determinar el valor de i.

(1 )nm c i= +

(1 )nm ic

= +

Despejando i se tiene:1

1nmi

c = −


2 � �

Ejemplo 29

¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva, necesaria para que un capital inicial de $1 200 se

incremente a $1 600 en 6 años?.

m = $1 600

c = $1 200

n = 6


1166

1 6001 (1.3 333 333) 1 0.049 115

1200i i i

= − ⇒ = − ⇒ =

Por lo tanto, i = 4.91%

Cálculo del tiempo

Utilizando la ecuación del monto compuesto

m = c ( 1 + i ) n

Despejando n

m c n i= + +log log log(1 )

m P n i− = +log log log(1 )

m cn

i−

=+

log loglog(1 )

Ejemplo 30

Encontrar el tiempo n, en que un capital de $2 000 se convertirá en $3 500 si la tasa de

interés efectiva es de 4% anual.

m = $3 500

c = $200

i = 0.04

Sustituyendo valores en:

m cn

i−

=+

log loglog(1 )

n− −

= = = =+

log3 500 log 2 000 3.54 407 3.30 103 0.24 30414.271 286

log(1 0.04) 0.01 703 0.01 703

Por lo tanto:

n = 14.27 años

unidad �

2 � �

ValoractualainteréscompuestoEl valor actual a interés compuesto de un dinero que se reciba en fecha futura es aquel capital

que, a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de

dinero que se reciba en la fecha convenida.

Si el interés es efectivo:

(1 )nm c i= +

Si el interés es nominal:

1mnmim c

m

= +

Donde:

c = Capital inicial o valor presente

i = interés efectivo

im = interés nominal

n = tiempo

m = número de veces que se capitaliza el interés

La fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital

en un momento posterior.

Utilizando la ecuación:

(1 )nm c i= +

Se obtiene:

Para una tasa efectiva:

(1 )n

mci

=+

O bien para una tasa nominal:

1

1

mnm

mnm

m ic mmi

m

−

= = +

+

Ejemplo 31

Hallar el valor presente de $5 000 pagaderos en 5 años, a la tasa efectiva anual de 6%.

c = $5 000

i = 0.06

n = 5


2 � �

Sustituyendo valores en:

(1 )n

mci

=+

5 5

5 000 5 000(1 0.06) (1.06)

c = = =+

5 0003 736.29

1.3 382c = =

c = $3 736.29

Ejemplo 32

Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga 15% con capitalización

trimestral, para disponer de $20 000 al cabo de 10 años.

im = 0.15 efectiva trimestral

n = 10 años

m = 4

m = $20 000

c =?

1mnm

mcim

=

+

(10)(4) 40

20000 20000(1 0.0375)0.151

4

c = = =+ +

40

20 000 20 0004 586.75

(1.035) 4.3 607c = = =

$4 586.75c =

actividad2

1. Un joven empresario quiere saber cuál es el valor futuro de 14 000 que tiene disponibles

en este momento para ahorrar. Si la tasa de interés compuesto que asigna el banco es de

8% capitalizable bimestralmente y desea ahorrarlos durante 8 años.

2. Un prestamista desea ganar 15% anual sobre préstamos, cobrando intereses capitalizables

semestralmente. ¿Cuál es la tasa nominal que deberá cobrar?

unidad �

2 � �

3. Dos amigos desean saber cuál será el monto de 13 000 y 20 000 pesos respectivamente si

ambos ahorran ese dinero durante 8 años a 5.5% de interés, el primero trimestralmente

y el segundo semestralmente.

5.5 Evaluacióndealternativasfinancierasdenegocio

En la actualidad de los negocios, los procesos de toma de decisiones se dan a partir de llevar a

cabo adecuadas evaluaciones de diferentes opciones o alternativas, y el caso financiero no está

exento de ello. Por ello, es que la evaluación se debe llevar de la manera más objetiva posible,

donde la visión cuantitativa sea la base de una decisión efectiva. Hoy en día todas las empresas

deben de llevar a cabo una evaluación de alternativas financieras, si es que desean permanecer

en el mercado y desarrollarse en su entorno de negocios.

Para llevar a cabo una evaluación efectiva, primeramente hay que identificar si hay o

no alternativas de negocio, para enfrentarse a la toma de decisiones. Pero, ¿qué es la evaluación

de alternativas? La evaluación de alternativas de negocio consiste en comparar los costos con los

beneficios que estos generan, para así decidir sobre la conveniencia de llevarlos o no a cabo.

Esto pretende afrontar el problema de la asignación de recursos en forma explícita,

recomendando a través de distintas técnicas, la selección de una determinada iniciativa por

encima de otras alternativas del proyecto.

Se debe mencionar que la evaluación de alternativas de un negocio puede verse desde

una perspectiva financiera, económica y social en donde las dos primeras determinan la

capacidad de rentabilidad de un proyecto desde una cuestión meramente cuantitativa.

Para la evaluación social, interesa el flujo de recursos reales utilizados y producidos

por el negocio. Para la determinación de los costos y beneficios pertinentes, la evaluación social

precisará de la situación del país con la ejecución del proyecto versus esta misma situación pero

sin la realización del proyecto en cuestión.

análisisdealternativasUna vez generadas las alternativas y sus probables consecuencias cuantitativas, se selecciona la

mejor de ellas. Para ello se recomienda hacer las siguientes consideraciones.

1. Encontrar una diferenciación en tamaño de la alternativa, pues no se puede

llevar a cabo el mismo análisis para una alternativa mayor que otra. No se puede

invertir en un negocio más de lo que es posible de redituar.


2 � �

2. Considerar el método de análisis a aplicar, existen dos modalidades: los cualitativos

y los cuantitativos. Los métodos cuantitativos proporcionan un grado mayor

de precisión que los cualitativos, lo que reduce la incertidumbre y aumenta la

probabilidad de obtener éxito. Sin embargo, en la realidad la mezcla estratégica

de las dos modalidades coadyuva en la toma de decisiones más efectiva.

De esta forma, podemos definir a la evaluación de una alternativa de negocio como

un plan al cual si se le asignan recursos de capital y se le proporcionan insumos podrá generar

un bien o servicio que permita satisfacer una necesidad.

ObjetivoLa evaluación de alternativas de negocio de inversión tiene por objetivo conocer su rentabilidad

económica y social de manera que resuelva una necesidad humana en forma eficiente, segura

y rentable, asignando así de manera adecuada los recursos económicos con que se cuentan a la

mejor alternativa.

Conozcamos entonces cuáles pueden ser estos métodos que permiten llevar a cabo el

análisis de alternativas, a través de los métodos cuantitativos.

ValordeldineroatravésdeltiempoEs la relación que existe entre el interés y el tiempo lo que define el valor del dinero.

El dinero modifica su valor en el tiempo, por ello cualquier empresa debe considerar el

tiempo en las inversiones o préstamos que realiza, así como en la esquematización de las

diferentes alternativas.

Ahora bien, existen tres razones de peso para considerar el valor del dinero en el tiempo:

• El riesgo de ser infructuosos: riesgo de no recibir el capital en el momento futuro.

• El riesgo inflacionario: es el riesgo de que con el monto recibido no se obtenga el

mismo grado de satisfacción en el futuro que hoy.

• Costo de oportunidad: del uso del capital en un momento y no en otro o para una

situación y no para otra.

Valorfuturo:interéssimpleointeréscompuestoCualquier inversión razonable o dinero depositado, debe dar un aumento de valor en el tiempo.

La diferencia entre ambos intereses radica en que el interés compuesto genera intereses sobre

los intereses, en cambio en el interés simple, el interés es sólo función del capital.

unidad �

2 � 0

Ejemplo con interés simple

Supongamos que un empresario hace un préstamo a un año a uno de sus trabajadores

por $10 000 sin intereses. También tiene la opción de depositar la misma cantidad en un

banco durante una año que da un interés anual del 10% y finalmente también debe considerar

la opción de depositar la misma cantidad de capital, pero esta inversión pone como plazo

mínimo 3 años. ¿Cuál sería la mejor alternativa de negocio?

a) Préstamo al empleado:

$10 000

b) Depósito en el banco a un año:

$11 000

c) Depósito en el banco a tres años:

$13 000

En términos meramente matemáticos, parecería fácil decidir y seleccionar una

alternativa, ya que de primera instancia la opción 3 es la que mayor ganancia reditúa, sin

embargo, habría que contextualizar muy bien las opciones, y esa es una actividad inherente a la

evaluación de alternativas de negocio, es decir, el contextualizar las respuestas a la situación.

En nuestro caso la opción c) da mayor interés, pero que tal si el empresario a los

dos años requiere por un imprevisto su dinero, la respuesta sería que no podría hacer

uso de su capital hasta el término del periodo pactado, pero observemos si el empresario

decide hacerle el préstamo a su empleado, en primera instancia no recibiría ningún interés

por el préstamo, y parecería que es la peor opción o alternativa, sin embargo, que tal si

ese empleado ha sido un excelente colaborador y además esto incide en una motivación

personal que se verá ref lejada en un mayor nivel de aportación del empleado a través de su

trabajo en la empresa y esto genera más utilidades para el negocio.

Como podemos observar el proceso de evaluación de alternativas debe ir acompañado

de una adecuada contextualización y la visión estratégica del proyecto o negocio.

Ejemplo con interés compuesto

Supongamos que un inversionista deposita $10 000 en un banco a una tasa anual de

10%. ¿Cuánto tendrá al cabo de un año y al cabo de tres? ¿Cuál es la mejor opción?

a) Luego de un año, el inversionista tendrá:

$11 000

b) Al tercer año habrá conseguido tener:

$13 310


2 � 1

Y nuevamente la pregunta sería cuál es la mejor opción; la respuesta es: depende de la

contextualización y situación del inversionista y la empresa.

Y = Monto del capital

Y = i + xi

1+ni

1+3i

1+2i

1+i

0 1 2 3 n–2 n–1 n

Crecimiento del interés compuesto Periodos

EquivalenciaasumiendointeréscompuestoEn la mayoría de las estimaciones de las operaciones financieras se aplica el interés compuesto

por ser el más conveniente para tratar de respetar el valor del dinero en el tiempo. La forma en

que se manejan los flujos de efectivo puede ser de las siguientes formas:

• Flujos de efectivo únicos.

• Series uniformes de flujos de efectivo.

• Flujos de efectivo con gradientes aritméticos.

• Flujos de efectivo con gradientes geométricos.

FlujosdeefectivoúnicosExpresando gráficamente esto tenemos:

1 2 3 n–1 n

Valor presente y valor futuro periodos

Monto en F

el futuro

P

Dinero

presente

unidad �

2 � 2

Expresado matemáticamente tenemos:

F = P(1 + i)n

Donde

F = cantidad futura (monto)

P = cantidad presente (capital)

n = número de periodos (tiempo)

i = tasa de interés

Esto significa que para una cantidad de dinero prestada en el presente a un interés i

en n periodos de tiempo encontrará su equivalencia en el futuro, encontrando el valor al cual

corresponderá tener el dinero en el presente o en el futuro, una vez liquidado el préstamo, lo

cual nos permite tomar una decisión financiera más efectiva.

Ejemplo 33

Un inversionista solicita un préstamo al banco por la cantidad de $100 000 para comprar

máquinas despachadoras de café y refrescos para su negocio. El préstamo lo pagará al cabo

de 5 años, pagando por ello una tasa de interés de 22% anual. ¿Cuánto pagará al término

del periodo?

i = 22% = 0.22

P = 100 000

n = 5

F = P(1 + i)n

Sustituyendo

F = 100 000 (1 + 0.22)5

F = 270 270.80

El costo de su inversión expresada en pesos es: $170 270.80 (lo que pidió prestado

y lo que realmente pagó, da como resultado el costo de la inversión).

Esto es lo que hay que evaluar, si con la inversión y operación de las máquinas

despachadoras se recupera lo que tiene que pagar y si aun después de la liquidación

del préstamo queda un excedente.

SeriesuniformesdeflujosdeefectivoComo su nombre lo expresa, significa que al final de cada periodo, se depositará un efectivo

que en todo momento será constante, para ello será necesario llevarlo a equivalencias en el

presente y en el futuro.


2 � �

Representado gráficamente tenemos una serie de depósitos constantes al término de

cada periodo y su equivalencia en el futuro.

a a a a a a a

Serie uniforme de flujos de efectivo y cantidad futura

F

0 1 2 3 n–2 n–1 n

Expresado matemáticamente tenemos:

(1 ) 1

( )niF a

i+ −

=

Donde:

F = cantidad futura total acumulada al final de los periodos.

a = flujo neto al final de cada periodo.

n = numero de periodos en los cuales se estarán acumulando las cantidades a.

i = interés a pagar en cada periodo acumulado.

Esto significa que irá depositando cantidades iguales al final de cada periodo, en

tiempos iguales, y que en cada uno de ellos se cargará un interés fijo, que además es acumulativo

lo que incrementará el monto y lo llevará a equivalente en el tiempo, para su uso como si fuera

en el presente.

Ejemplo 34

El inversionista que solicitó un préstamo para máquinas despachadoras, quiere rentar uno

de sus kioscos y necesita saber cuánto recibirá al final del tercer año, si la renta se incrementa

en 05% mensual y la renta actual es de $25 000.

(1 ) 1 ( )

niF ai

+ −=

Sustituyendo:

36(1 .05) 1 2 5000( )

.05F + −

=

F = $2 395 908.06

unidad �

2 � �

FlujosdeefectivocongradientesaritméticosComo los negocios generan flujos de efectivo crecientes y decrecientes en incrementos

y decrementos constantes en cada periodo, se convierte en una necesidad, adquirir los

conocimientos y las habilidades necesarias para poder calcular estas variaciones y determinar

si la alternativa de negocio fue o será la adecuada.

Expresando gráficamente esto es: g

g

g

g

a1

1 2 3 n–2 n–1 n

Flujos de efectivo de gradiente aritmético

La expresión matemática de lo anterior es:

a2 = g

21 = ( )

(1 ) 1n

na gi i−

+ −

Donde:

a2 = flujos de gradiente del año 2 en adelante.

g = cantidad gradiente constante que se incrementará en cada flujo en cada periodo.

i = interés que se pagará en cada periodo.

n = periodos en los que se lleva a cabo el movimiento de la inversión.

Esto significa que a1, que es el flujo de efectivo del primer año, se verá incrementado en

un gradiente g de magnitud constante a partir del año dos, y por lo tanto a partir del segundo año y

para cada año hasta el año n2, se irán incrementando flujos de efectivo constantes de gradiente g.

Si embargo, en el siguiente esquema podemos ver de manera equivalente cómo se

van incrementando los flujos de efectivo en periodos iguales a tamaños de g iguales, lo que lo

convierte en una forma equivalente de observar el incremento constante de gradiente g a los

flujos de efectivo futuros.


2 � �

a2

a1

1 2 3 n–2 n–1 n

Flujos de efectivo equivalente

Ejemplo 35

El inversionista que cuenta con kioscos para servicio de cafetería y centros para sap piensa

abrir una cuenta de ahorros que paga una tasa de 16% anual. Su primer depósito será

de $50 000 y debido a que las ganancias por sus negocios se incrementan gradualmente,

también desea ahorrar incrementando sus depósitos en 10% anual constante. ¿Qué cantidad

deberá ahorrar, para que la cantidad acumulada al final de 5 años sea la misma?

21 = ( )

(1 ) 1n

na gi i−

+ −

Sustituyendo:

2 5

1 5=50 000+5 000 ( )0.16 (1 0.16) 1

a −+ −

21 5=50 000 + 5 000 ( )

0.16 1.1 003 416a −

a2 2A = 50 000 + 5 000(6.25 4.54)−

a2 = 50 000 + 5 000 (1.71)

a2 = 55 000 + 8 550

a2 = 58 550

FlujosdeefectivocongradientesgeométricosPensando en qué momentos podemos tener flujos de efectivo de gradiente geométrico,

concluimos que esta situación se presenta en situaciones inflacionarias o en épocas de

recesión, donde los flujos de efectivo se incrementan o decrementan de manera constante en

un factor Kth.

unidad �

2 � �

Expresado de manera gráfica tenemos: ai

ai–1

ai–2

a3

a2

a1

1 2 3 n–2 n–1 n

Flujos de efectivo con gradiente geométrico

Expresado de manera matemática tenemos:

11 (1 ) /(1 )

( )

n nj iP a

i j − + +

= −

Para:

i j≠

1 = ( ) 1n a

Pj+

Para:

i j=

Donde:

P = valor presente de los flujos de efectivo.

n = periodos de cambio.

a1= flujo neto de efectivo en cada periodo.

j = porcentaje fijo de cambio de cada flujo de efectivo.

Ejemplo 36

Un inversionista desea destinar un fondo de ahorro para construir un nuevo sap. Este

nuevo negocio contará con más servicios y nuevas tecnologías de tratamientos, la construcción

del centro se llevará a cabo en un año, mismo en el que se presentan situaciones inflacionarias

debido a los cambios políticos en el país. Los costos de construcción se incrementarán en 3.5%

trimestral. Si el inversionista inicia su ahorro depositándolo en una cuenta bancaria que paga

2.5% trimestral. ¿Cuánto tendría que depositar el inversionista si el primer pago de construcción

es de $100 000 y suponiendo que deberá pagarlo en el primer trimestre de la obra?


2 � �

1

1 (1 ) /(1 ) =

( )

n nj iP a

i j − + + −

Para:

i j≠

Sustituyendo:

4 41 (1 0.035) /(1 0.25)=100 000

(0.025 0.035)P

− + + −

Para i≠ j

P = 360 000

5.6.Ecuacionesdevalor

Existen diferentes problemas en los cálculos financieros, pero uno de ellos que es básico y muy

importante es el de las inversiones equivalentes, es decir, que en valor del dinero y el tiempo

produzcan el mismo resultado económico, lo cual puede ser supuesto y resuelto a través de las

ecuaciones de valor equivalente.

Lo anterior también puede utilizarse, para resolver entre diversas alternativas de

negocio existentes y desde el punto de vista financiero, es fundamental plantear ecuaciones de

valor equivalentes, para que por medio de ellas se logre identificar la opción que más satisfaga

las expectativas del inversionista.

EcuacióndevalorEs una igualdad entre dos conjuntos de obligaciones, valuadas todas a una misma fecha llamada

fecha focal.

FechafocalofechadevaluaciónEs la fecha que se elige para efectuar la equivalencia para cada caso y determina con exactitud

los montos de las obligaciones. Recordando que para los casos de interés simple los montos

varían de acuerdo con el tiempo.

La fecha focal es elegida arbitrariamente en la línea de tiempo a la cual harán referencia

las obligaciones y pagos para definir la ecuación de valor correspondiente.

Lo importante de un buen análisis para la determinación de esta fecha, se fundamenta

en el hecho de que debe corresponder estrictamente a lo pactado en los pagarés.

unidad �

2 � �

Si una persona decide en determinado tiempo cambiar la forma de liquidar alguna

de las obligaciones que haya acordado, mediante pagos de cantidades diferentes a las previstas

inicialmente y en tiempos distintos a los previamente establecidos, esto es posible siempre y

cuando sea equivalente el monto a pagar del monto inicial.

Derivado de lo anterior es importante recordar que:

1. Un mismo monto situado en dos fechas desiguales es diferente.

2. Cuando las fechas focales cambian producen variaciones en la determinación de

lo montos.

3. Únicamente si las fechas coinciden, es posible sumar, restar o igualar

distintos montos.

Si una persona adquiere una deuda que pagará entregando $100 el día de hoy y $50

dentro de un año, y decide liquidar su deuda con un pago único en este momento, sería un

error hacer el pago por la cantidad de $150 ya que debe solicitar una bonificación por el pago

anticipado de $50 que vence en un lapso de un año. En el supuesto que tanto el acreedor como

el deudor se sujeten a las reglas del interés simple, deben pactar una tasa de interés para la

operación, con lo cual se determinará el valor actual de los $50. Por lo tanto, si la tasa anual es

de 5% el valor actual de los $50 es:

Utilizando la fórmula:

( )1

sPrt

=+

Donde:

P = Capital inicial.

s = Monto.

r = Tasa de interés.

t = Tiempo medido en años.

Sustituyendo:

50 ( )1 (0.05)(1)

P =+

P = 47.62

De lo cual podemos afirmar que si la persona desea hacer un pago único el día de hoy

el monto será de $147.62

Continuando con el ejemplo, supongamos que el deudor no cuenta con los $100 para

pagarlos en este momento y solicita al acreedor una prorroga de un año para liquidar su deuda,

si el interés es el mismo el pago que deberá de hacer es:


2 � �

Utilizando la fórmula:

( )1

sPrt

=+

Donde:

s = monto

P = capital inicial

r = tasa de interés

t = tiempo medido en años

( )1

sPrt

=+

Despejamos el monto:

(1 )s P rt= +

Sustituyendo en la fórmula tenemos:

S = (100) (1 (0.05)(1))+

s = (100) (1.05)

s = 105

Por lo tanto el pago total a un año es de $155, de lo cual se puede resumir:

$100 ahora y $50 en un año son equivalentes

$147.62 ahora si la tasa de interés

En la resolución de problemas en los cuales se deban combinar diferentes capitales, estos

deben ser trasladados a la misma fecha, la cual se conoce como fecha focal o fecha de comparación.

Un método recomendado para la definición de una ecuación de valor es:

a) Elaborar un diagrama de tiempo donde se coloquen las obligaciones de un lado

de la línea y los pagos del otro.

b) Definir la fecha focal.

c) Plantear la ecuación de valor donde se igualen las obligaciones originales y los

correspondientes pagos, trasladando los montos a la fecha focal. Resulta evidente

que el traslado de los pagos puede darse de dos formas tomando como referencia

la fecha focal: la primera el traslado en el tiempo en sentido positivo (derecha) y

la segunda es en sentido negativo (izquierda), si se hace un traslado positivo se

capitaliza el pago, por lo tanto se aplican las fórmulas del monto, en cambio, si se

hace un traslado negativo se descuenta aplicando la fórmula de valor presente.

unidad �

2 � 0

Ejemplo 37

Una persona adquiere una deuda donde debe pagar $300 en 6 meses y $400 en un año. Si

decide que hace un pago único el día de hoy por el equivalente de su deuda teniendo una

tasa de interés simple de 20% ¿Cuál es el monto a pagar?

a) Elaboración del diagrama de tiempo.

Fecha focal

Deudas originales

$300 $400

0 6 12

$x pago al contado

Obligaciones

b) Definición de la fecha focal. Se tomará como fecha focal el día de hoy.

c) Planteamiento de la ecuación de valor.

Para el primer monto tendríamos:

1 ( )

1sP

rt=

+

Para el segundo monto tenemos:

2 =( )

1sP

rt+

El monto total a pagar a la fecha de hoy es:

Pt = P1 + P2

1 2t

21

= ( ) ( )1 1

s sPr t r t

++ +

Como el primer monto a pagar estaba definido a seis meses, eso equivale a medio

año o 0.5 de año, por lo tanto el t1 es 0.5

Sustituyendo tenemos:

300 400( ) ( )1 (0.20)(0.5) 1 (0.20)(1)tP = ++ +

O también:

300 400( ) ( )1 1 (0.20)(1)1 (0.20)( )2tP = +

++


2 � 1

300 400( ) ( )1.1 1.2tP = +

Pt =272.72+ 333.33

Pt = 606.05

Nota: Es recomendable para plantear una ecuación de valor asignar x a la

variable que se va a calcular.

300 400 $606.051 1 (0.20.1)1 (0.20. )2

x = + =++

Ejemplo 38

Una persona debe $1 000 a pagar en un año a un interés de 14%. Si realiza un trato en el

que liquidará su deuda en dos pagos de la misma cantidad a los 3 y 9 meses, ¿de cuánto

serán los pagos si se respeta el interés inicial?

Es necesario calcular cuál será el monto de la deuda de $1 000 a un año con un

interés de 14%.

(1 ) 1 000(1 (0.14 1)) 1 140s P rt= + = + ⋅ =


Pagos

Fecha focal

$1 140 Pagos al año

0 3 6 9 12

$x 3 meses

$x 9 meses

Obligaciones

b) Definición de la fecha focal. Se tomará como fecha focal el día de pago en 12 meses.


Para el primer pago tenemos:

(1 )s P rt= +

unidad �

2 � 2

Para el segundo pago tenemos:

(1 )s P rt= +

Total a pagar:

1 2(1 ) (1 )s P rt P rt= + + +

Sustituyendo:

3 1(1 (0.14)( ) (1 (0.14)( )4 4s P= + + +

O también:

(1 (0.14)(0.75) (1 (0.14)(0.25)s P P= + + +

Como:

s = 1 140 obtenido anteriormente

Tenemos ahora que:

1 140 = 1.10P + 1.035P

Sumando:

1 140 = 2.135P

Despejando P

1 140 532.71

2.135P = =

Cada pago será de $532.71

Nota: es recomendable en el planteamiento de la ecuación asignar x a la

variable a calcular.

3 1(1 (0.14. )) (1 (0.14. )) 1 1404 4

x x+ + + =

1.105 1.035 1 140x x+ =

Ejemplo 39

Una persona contrae una deuda de $6 000, acordando un primer pago de $2 000, después

de 4 meses, un segundo pago 8 meses después de la fecha inicial de $2 000. Si la tasa de

interés es de 9% ¿qué cantidad deberá pagar a los 12 meses para saldar la deuda?


b) Definición de la fecha focal. La fecha será el último día de pago.



2 � �

Pagos

Fecha focal

$6 000

0 4 8 12

$x 4 meses

$x 8 meses

Obligaciones

Nota: Es recomendable asignar la variable x para el valor a calcular.

x = P ( 1 + r t) – P ( 1 + r t) – P ( 1 + r t)

Sustituyendo tenemos:

2 1 = 6 000(1 (0.09)(1)) 2 000(1 (0.09)( ) 2 000(1 (0.09)( )3 3x + − + − +

x = (6 000) (1.09) – 1.06 – 1.03

x = 6 540 – 2 120 – 2 060

x = 2 360

Nota: Es recomendable en el planteamiento de la ecuación asignar x a la

variable a calcular.

2 1=6 000 (1 (0.09 1))– 2 000 (1 (0.09 )– 2 000(1 (0.09 )3 3

x + ⋅ + ⋅ + ⋅

Las ecuaciones de valor pueden presentarse también en los casos del interés compuesto,

para esta situación se tiene que si se desea conocer el valor de una cantidad en el futuro sólo basta

con aplicar el factor (1+i)n, y si se desea conocer el valor presente se aplicará el factor (1+i)-n.

Ejemplo 40

Una persona adquiere dos deudas, por una de ellas debe pagar $3 000 pasados 2 años y por

la otra debe pagar $2 000 al final del primer año. Se fija una tasa de interés anual de 12%

convertible cuatrimestralmente. ¿Cuánto es el monto que debe pagar el deudor si quiere

saldar su deuda hoy?

unidad �

2 � �


Fecha focal

1 2

x $2 000 $3 000

2 000 (1.04)–3

b) Definición de la fecha focal. La fecha focal es hoy.


–3 –62 000(1.04) 3 000(1.04) 1 778 2 370.94 $4 148.94x = + = + =

Ejemplo 41

Se compra un vehículo a un particular por la cantidad de $50 000 el comprador da un

adelanto de $10 000 y firma 2 pagarés de $5 000 cada uno que serán efectivos en los

siguientes dos años. Si se carga un interés de 7% convertible semestralmente, ¿de cuánto

debe ser el tercer pago que se efectuará al tercer año?


Fecha focal

1 2 3

$5 000 $5 000 x

Total: $50 000

Adelanto: $10 000

Saldo: $40 000

b) Definición de la fecha focal. Se toma como fecha focal el día del tercer pago.


3 240 000(1 0.035) 5 000(1 0.035) 5 000(1 0.035)x = + − + − +


2 � �

40 000(1.1 087) 5 000(1.0712) 5 000(1.035)x = − −

44 348 5 356 5 175x = − −

$3 3817x =

Este resultado se puede comprobar con la siguiente tabla:

Tasa de interés

Cantidad original 0.035 40 000

+ Interés al primer año 1 400

Total al primer año 41 400

– Primer abono 5 000

Saldo 36 400

+ Interés del segundo año 0.035 1 274

Total al segundo año 37 674

– Segundo abono 5 000

Saldo 32 674

+ Interés del tercer año 0.035 1 143.59

Total 33 817.59

actividad3

1. ¿Cuántos años se necesitan para que un depósito de $100 000 aumente a $120 000

cuando el interés anual es compuesto a 6%?

2. Un préstamo de $12 000 se pagará como el capital y el interés al final del año 3 haciendo

un pago de $15 000, ¿cuál es la tasa de interés sobre el préstamo?

3. Un inversionista contrae una deuda de $80 000, acordando un primer pago de $12 000

después de 3 meses, un segundo pago 6 meses después de la fecha inicial de $12 000. Si la

tasa de interés es de 6%, ¿qué cantidad deberá pagar a los 12 meses para saldar la deuda?

unidad �

2 � �

5.7. anualidades

En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales

de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no

siempre se refieran a periodos de pago anuales. Algunos ejemplos de anualidades son:

• Pagos mensuales por renta.

• Cobro quincenal o semanal por sueldo.

• Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito.

• Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

ConceptoUna anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:

1. Todos los pagos son de igual valor.

2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.

3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa.

4. El número de pagos debe ser igual al número de periodos.

Un ejemplo común de esta clase de pagos es la compra de una casa o un vehículo a

través de un crédito, el pago de una pensión, etcétera.

Al intervalo de tiempo entre cada uno de los pagos de la anualidad se le conoce como

intervalo de pago o periodo de renta.

Al tiempo transcurrido desde el comienzo del primer periodo hasta el final del último

se le llama plazo de la anualidad.

La renta periódica es el monto de cada uno de los pagos expresada en unidades monetarias.


2 � �

ClasificaciónLas anualidades pueden clasificarse a partir de diferentes criterios como se muestra en la

siguiente tabla:

Criterio Tipo Definición

Tiempo

CiertasSon aquellas en las que sus fechas de pago son fijas. Ejemplo, la compra

de un bien en la que se fija la fecha del primer pago y la del último.

Contingentes

Son aquellas en las que la fecha del primer pago, la fecha del último, o

ambas, no se fijan de antemano; depende de algún hecho en particular

que deberá ocurrir, pero que no se sabe cuando. Ejemplos, las pensiones

privadas, las del seguro social y las pólizas de seguros.

InterésSimples

Son aquellos en las que el periodo de pago coincide con el de capitalización

de los intereses. Por ejemplo, el pago de una renta mensual x con

intereses al y% anual capitalizable mensualmente.

Generales Son aquellos cuyo periodo de interés e intervalo de pago no coinciden.

Pagos

VencidosTambién se conocen como anualidades ordinarias y se trata de casos

en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de

cada periodo.

Anticipados

Son aquellos en los que los pagos se efectúan al inicio del intervalo del

pago, debiendo efectuarse el primer pago de inmediato. Por ejemplo,

las primas de seguros y rentas sobre la propiedad.

Iniciación

Inmediatas

• Anticipada

• Vencida

Son aquellas que se cobran inmediatamente después de la formalización

del contrato. Por ejemplo, la compra de bienes con pagos a mensualidades

y la primera se paga en el momento de la compra o un mes después.

DiferidasSon aquellas en las que los cobros o pagos serán un tiempo después de

adquirido el bien.

unidad �

2 � �

MontodeunaanualidadPara calcular el monto de una anualidad es necesario sumar cada una de las rentas periódicas

con su respectivo interés compuesto, por ejemplo:

Una persona deposita anualmente $500 en una cuenta que le paga 6% de interés

capitalizable anualmente, ¿cuál será el monto acumulado de la cuenta, después de realizar el

cuarto depósito?

a) Diagrama de tiempo.

Hoy Fecha focal

$1 140 Pagos al año

0 1 2 3 4

$500 $500 $500 $500

500(1.06)

500(1.06)2

500(1.06)3

b) Descripción de los pagos realizados.

Cuarto pago $500

Tercer pago 500 (1.06) $530

Segundo pago 500 (1.06)2 $561

Primer pago 500 (1.06)3 $595.51

Monto de la anualidad $2 186.31

determinacióndelmontoPara el ejemplo anterior no es de gran dificultad realizar los cálculos de cada uno de los

pagos para determinar el monto total de la anualidad, pero en caso de tener gran número

de pagos, el proceso se vuelve complejo y tedioso.

Considérese una anualidad ordinaria en donde r es el pago hecho al f inal de

cada uno de los n periodos e i es la tasa de interés por periodo. El diagrama de tiempo

es el siguiente:


2 � �

Valor presente Monto

r r ... r r

0 1 2 ... n–1 n Periodos

Ya que el primer pago se realiza al final del primer periodo, ganará intereses por (n-1)

periodos. El segundo pago ganará intereses por (n-2) periodos, etc. El pago final no genera

intereses. Si la fecha focal se localiza en el periodo n, entonces el monto o valor futuro de la

anualidad viene dado por: 1 2 –2 –1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n nm r r i r i r i r i= + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + +

Por lo tanto, podemos ver el diagrama de tiempo de la siguiente forma:


r r ... r r

0 1 2 ... n–1 n Periodos

1 ( 1 + i )

1 ( 1 + i )r–2

1 ( 1 + i ) r–1

ns

El símbolo ns se utiliza para representar el monto de un número de n pagos de una

unidad monetaria cada uno, a una tasa de interés por periodo igual a i.

Factorizando la ecuación se tiene que:1 2 –2 –11 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )n nm r i i i i = + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + +

Los sumandos dentro de los corchetes de la ecuación anterior constituyen una

progresión geométrica, donde el primer término es 1, la razón común es (1+ i) y el total de

términos es n. El álgebra demuestra que la suma de términos de una progresión geométrica es

igual a:

1( – 1)– 1

a rsr

=

Donde a es el primer término y r es la razón común, sustituyendo los valores del

problema sobre anualidades sobre la fórmula general, tenemos:

1 (1 ) – 1 (1 ) – 1(1 ) – 1

n n

n

i is r ri i

+ + = =+

unidad �

� 0 0

Donde:

ns = el monto de una anualidad ordinaria de n pagos.

r = valor de cada pago periódico.

i = tasa de interés.

n = número de periodos.

Ejemplo 42

Una persona deposita $500 anuales en una cuenta que paga 6% anual ¿qué cantidad habrá

en la cuenta después de que se realice el cuarto depósito?

(1 ) – 1n

n

is ri

+=

Tenemos:

r = 500

i = 0.06

n = 4

Sustituyendo:

4

4

(1 0.06) – 1500 2 187.31

0.06s +

= =

ValorpresentedeunaanualidadordinariaPara calcular el valor presente de una anualidad, se realiza la suma de los valores presentes de

cada uno de los pagos.

Suponga que tiene una anualidad con pagos de una unidad de moneda r (pesos, dólares,

centavos, etc.), durante n periodos, a una tasa de interés i por periodo. A partir de esto se realizan

descuentos de cada pago hasta el principio de la anualidad, esta suma se representa como na .


r r ... r r

0 1 2 ... n–1 n Pagos

1 ( 1 + i )–1

1 ( 1 + i )–2

.

.

.

1 ( 1 + i )r–1

1 ( 1 + i )–r

na


� 0 1

Si se escribe la suma de todos los pagos descontados teniendo como fecha focal el

inicio de la anualidad tenemos:–1 –2 –( –1) –(14 ) (1 ) (1 ) (1 )n n

na i i i i= + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + +

Ésta es una expresión que corresponde a una progresión aritmética, donde el primer

término es (1+ i)-1, la razón común es (1+ i)-1 y el número de términos es igual a n. Sustituyendo

estos valores en la fórmula general de progresiones geométricas tenemos:

{ }–1 –1

–1

(1 ) (1 ) 1

(1 ) 1n

i ia

i

+ + − =+ −

Si se multiplica el numerador y el denominador por (1+ i) obtenemos:

– – –(1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 1(1 )1 (1 ) 1 1

n n n

n

i i i ia

i i i i+ + − + − − +

= = = =− + − − −

Para obtener el valor de an, todo lo que debemos hacer es multiplicar por r, quedando

la siguiente fórmula:

–1 (1 ) n

n

ia ri

− +=

Donde:

an = Valor presente de una anualidad ordinaria con n número de pagos.

r = Valor de cada pago.

i = Tasa de interés por periodo.

n = Número de pagos.

Ejemplo 43

El señor Rodríguez adquiere un compromiso de pago de $1 000 al final de cada año

durante los siguientes 5 años. Si se maneja con una tasa de interés 7% anual, ¿cuál es el

equivalente en efectivo al día de hoy de la deuda?

Se tiene:

–1 (1 ) n

n

ia ri

− +=

Sustituyendo:

–51 (1 0.07)1 000 4 100.20

0.07na − += =

unidad �

� 0 2

actividad4

1. Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los problemas de anualidad

de interés compuesto.

Número de pagos Cantidad de pago Tasa de interés Cantidad compuesta

3 $1 000 8 %

7 $8 000 6 %

3 $2 000 $7 820

10 13 % $80 000

5 $500 $4 000

$6 400 2 % $104 470

20 $4 000 $204 000

$4 750 11 % $79 429

8 10 % $100 000

$9 000 16 % $31 554

2. Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los problemas de valor

actual de una anualidad.

$ Número de pagos Cantidad de un pago Tasa de interés

$2 000 9 %

$1 000 7 %

$5 000 14 %

$116 000 $8 000 %

$95 000 8 %

$100 000 $17 699 12 %

$8 000 $1 498 16 %

$88 000 $11 000 %

$200 000 $40 000 %

$300 000 17 %

3. Un contrato que cuesta $7 000 produce una anualidad de cuatro años de $2 000 anuales.

El primer pago se recibirá un año después ¿cuál es la tasa de rendimiento implícita en

este contrato?


� 0 �

5.8.amortizaciónydepreciación

Una de las aplicaciones de las progresiones aritméticas y de las geométricas la encontramos en

el cálculo de las depreciaciones a activos físicos.

La depreciación es la pérdida del valor de un activo físico como consecuencia de ser usado.

Para resolver las situaciones de depreciaciones es conveniente definir los siguientes conceptos.

1. Costo. Es el valor que un activo físico tiene en el momento de su adquisición.

2. Valor de salvamento. Es el valor del activo físico que se registra al final de su

vida útil.

3. Depreciación total. Es la cantidad que resulta de restar al costo del activo físico

el valor de salvamento.

4. Fondo para depreciación. Es el fondo donde se acumula una parte de las utilidades

de la empresa para reemplazar determinado activo físico al final de su vida útil.

5. Valor en libros de un activo físico. Es la cantidad que resulta de restar al costo

original del activo físico el fondo para la depreciación acumulada.

Causasdeladepreciación1. La duración física del activo; se incluyen las causas por:

• Agotamiento.

• Desgaste.

• Envejecimiento.

2. La duración económica del activo; se incluyen las causas por:

• Explotación por tiempo limitado.

• Envejecimiento técnico.

• Envejecimiento económico.

3. La duración del activo según la contabilidad; se incluyen las causas por:

• Consolidación.

• Política de dividendos.

• Políticas tributarias.

unidad �

� 0 �

CálculodeladepreciaciónPara poder calcular la depreciación hay que tener en cuenta:

1. El valor a depreciar.

2. El valor de recupero.

3. La vida útil.

4. El método a aplicar.

1. Valor a depreciar. Se refiere al costo de adquisición, sin olvidar, el valor que el bien

pueda tener para la empresa al dejar de ser útil en su actividad (se refiere al posible

valor de recupero).

Valor a depreciar Costo de adquisición del bien - Valor de recupero estimado al finalizar el uso=

2. Valor de recupero (recuperación). Es la estimación del valor que el bien tendrá para la

empresa una vez finalizada su utilización. Surge de la diferencia entre el precio de venta

estimado y todas las erogaciones necesarias para retirar el bien de servicio.

Valor de recupero Precio de venta estimado - Erogaciones para retirar el bien del servicio=

3. Vida útil. Es la duración que se le asigna a un bien como elemento de provecho para

la empresa.

Las bases utilizadas para la determinación de la vida útil son:

• Tiempo en años.

• Capacidad de producción (producción total).

• La elección de la base dependerá de la característica del bien y del uso que se le dará.

MétodosdedepreciaciónSon los métodos que permiten estimar el gasto por depreciación de los activos fijos:

1. Método de depreciación lineal.

2. Método de depreciación acelerado.

El valor estimado de la depreciación de un activo físico varía de acuerdo con el método

seleccionado para su determinación, sin embargo, la depreciación total a lo largo de la vida útil

del activo no puede ir más allá del valor de recuperación.


� 0 �

MétododedepreciaciónlinealoenlínearectaLa aplicación de este método de línea recta, supone que el activo se desgasta por igual en cada

periodo contable, este método se emplea con frecuencia debido a que es sencillo de calcular.

c sdn−

=

Donde:

d = monto de depreciación anual

c = costo del activo

s = valor de desecho

n = años de vida útil

Ejemplo 44

Utilizando el método de línea recta, depreciar una máquina con un valor de $585 000,

cuyo valor de desecho es de $40 000 y se estima una vida útil de 6 años.

c = $585 000

s = $40 000

n = 6

c sdn−

=

Sustituyendo:

585 000 40 000 545 00090 833.333

6 6c sd

n−−

= = = =

d= $90 833

Por tanto la depreciación anual es de:

$90 833.33

MétododedepreciaciónaceleradaEn este método se recupera la inversión inicial original de los activos fijos y diferidos a través

de la vía fiscal. Producen un gasto por depreciación más grande en los primeros años del uso

del activo fijo, que en los últimos años de su vida útil. Algunos de los métodos de depreciación

acelerada son:

unidad �

� 0 �

a) Método de depreciación creciente: Este método supone que el desgaste que se produce

es inferior en los primeros años y que aumenta progresivamente con el tiempo.

• creciente por suma de dígitos.

b) Método de depreciación decreciente: Este método determina cuotas de depreciación

con disminución progresiva hacia los últimos años de la vida útil.

• decreciente a porcentaje fijo sobre saldo.

Métododedepreciacióncreciente• Creciente por suma de dígitos de años. El método establece la identificación del

factor o fracción de depreciación La depreciación para cada año quedará expresada por

la fracción cuyo denominador es la suma de los números (desde 1 hasta n) de los años

de vida esperada del activo; y como numerador, el entero que corresponda al ordenar de

mayor a menor los años de vida útil del activo.

Identificación del denominador:

año 1 + año 2 + año 3 + .... + año n = denominador

O puede también utilizarse la fórmula:

( 1)

2n n s denominador+

= =

Donde n corresponde al tiempo de vida útil.

Identificación del numerador:

año n año n-1 año n-2 .... año 2 año 1

Ejemplo 45

Si la vida útil de un activo se estima en seis años, identificar las fracciones de depreciación.

El denominador corresponde a la suma de los números de 1 a n:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Y el numerador corresponde a los años en orden invertido:

año: 1º 2º 3º 4º 5º 6º

6 5 4 3 2 1

Y la fracción que se depreciará cada año es: ( año/21 )

Depreciación:

6 5 4 3 2 121 21 21 21 21 21

Generalizando la fracción puede expresarse como:

1

( 1)k n

i

n kfi

=

− −=

∑


� 0 �

Para obtener la depreciación al final de cada año se multiplica la fracción por la

base de depreciación.

( )i kd c s f= −

y la depreciación acumulada se obtiene multiplicando la base de depreciación

por la suma de las fracciones acumuladas hasta el año en cuestión.

1

( )j

j kk

d c s f=

= −

∑

Donde : j es el año en el que interesa calcular la depreciación acumulada.

Ejemplo 46

Utilizando los resultados de los ejercicios uno y dos, obtener la depreciación total acumulada

para el cuarto año.

Del ejercicio uno se tiene:

(c – s) = $545 000

Del ejercicio dos se tienen las fracciones:

6 5 4 3 2 121 21 21 21 21 21

Entonces la depreciación acumulada para j = 4 será:

46 5 4 3(545 000) (545 000)(0.8 571) 467 142.8621 21 21 21

d = + + + = =

d4 = $467 142.86

En la siguiente tabla se muestra un concentrado del cálculo del gasto anual por

depreciación, de acuerdo con el método de la suma de dígitos de años.

Método: suma de dígitos de años

Año Fracción Depreciación anual Depreciación total

1 6/21 155 714.29 155 714.29

2 5/21 129 761.90 285 476.19

3 4/21 103 809.52 389 285.71

4 3/21 77 857.14 467 142.85

5 2/21 51 904.76 519 047.61

6 1/21 25 952.38 544 999.99

El método da como resultado una importe de depreciación mayor en el primer año y

una cantidad cada vez menor en los años subsecuentes de vida útil.

unidad �

� 0 �

Métododedepreciacióndecreciente• Decreciente a porcentaje fijo sobre saldo. En este método se aplicará un porcentaje

constante sobre el valor en libros o valor por depreciar del activo. Puesto que el valor en

libros disminuye cada año, los cargos por depreciación son elevados al principio y luego

se hacen cada vez menores al aplicar el porcentaje fijo.

Sean:

c = El costo inicial que se supone igual al reemplazo.

v1, v2, v3, ......., vk = los valores en libros al final de los años 1, 2, ..., k;

n = El número de años de vida útil.

r = El porcentaje fijo.

el valor en libros al final del primer año:

1 0 0 (1 )v v v r c cr r= − = − −

Al final del segundo año:

2 1 1 1(1 ) (1 )(1 )v v v r v r c r r= − = − = − −

Sucesivamente para el año n:

(1 )nnv c r= −

Utilizando esta fórmula es posible conocer el valor en libros al final de cualquier año

que será igual al valor de salvamento (s).

(1 )nnv s c r= = −

Bajo este método la depreciación anual será dada por la siguiente fórmula:

1rn nd v= −

Ejemplo 47

Una compañía tiene un equipo cuyo valor es de $55 000. Se calcula que su vida útil será

de 4 años y que al final de ella su valor de desecho será de $10 000. Determínese la tasa de

depreciación que debe aplicarse.

c = $55 000

s = vn = $10 000

n = 4 años

(1 )nnv s c r= = −

Haciendo el despeje de r se tiene:

1 nsrc

= −


� 0 �

410 000

1 1 0.3 672 0.6 32855 000

r = − = − =

Por tanto el porcentaje a aplicar será de:

r = 63.28%

amortizaciónUna amortización es la disminución o extinción gradual de cualquier deuda durante un

tiempo determinado. La amortización de un préstamo se da cuando el prestatario paga

al prestamista un reembolso de dinero prestado en un cierto plazo con tasas de interés

estipuladas. Conceptos relacionados.

definicionesfundamentalesAmortización. Cualquier pago periódico o no destinado a reponer el principal de una deuda.

Liquidación. Cualquier pago que incluye la amortización y el pago de intereses de una deuda.

Fondo de amortización. Cantidad de recursos monetarios que se acumulan con el

objetivo de amortizar una inversión o deudas a través de una imposición cierta con tasa

y plazos preestablecidos.

Término o cuota del fondo de amortización. Los abonos colocados a la tasa del fondo de

amortización y cuyo monto corresponde con l al de u del que se desea amortizar.

En la actualidad es común contraer créditos o deudas para la adquisición de bienes.

Una forma de pago de estas deudas consiste en definir un número de pagos cada cierto tiempo

de una cantidad establecida, como ya estudiamos en capítulos anteriores a esto se le conoce

como anualidad. Se puede considerar que cada pago realizado se compone tanto del interés

como del pago del préstamo, por lo tanto, conforme se van realizando los pagos el saldo

deudor disminuye y en consecuencia el interés asociado al saldo decrece. Por lo tanto conforme

la deuda va disminuyendo, mayor parte del pago estará destinada a liquidar el saldo deudor, a

este proceso se le conoce como amortización.

unidad �

� 1 0

Formulario

Pago periódico 1 (1 ) n

ciri −=

− +

Donde:

r es la renta periódica

c es el monto de la anualidad

i es la tasa de interés

n es en número de pagos

Capital insoluto 1 (1 ) n

n

ira ri

−− +=

Donde:


i es la tasa de interés


Total de intereses

pagadosn r–c

Donde:


c es el monto de la anualidad


determinacióndelpagodeamortización

Ejemplo 48

Una persona adquiere una deuda de $2 000 con una tasa de interés de 10% anual, si debe

saldar la deuda en tres pagos anuales, ¿de qué monto son los pagos?

Como ya se sabe:

1 (1 ) n

ciri −=

− +

Donde:

r = Monto a pagar.

c = Monto de la anualidad.

i = Tasa de interés.

n = Número de pagos.

Por lo tanto si se tiene que:

c = 2 000

i = 0.10

n = 3


� 1 1

Sustituyendo en la fórmula:

3

2 000(0.10)1 (1 0.10)

r −=− +

3

2001 (1.10)

r −=−

200

1 (0.7 513)r =

−

200

0.2 486r =

804.23r =

Por lo tanto se requieren tres pagos de $804.23 para saldar la deuda.

Ejemplo 49

Una persona compra un automóvil mediante un crédito de $200 000 y que será pagado

en un plazo de 2 años con una tasa de interés 3% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el

monto de los pagos mensuales? y ¿cuánto es el cargo total debido a los intereses?

Si se tiene que:

c = 200 000

.03 0.002512

i = =

n = (12)(2) = 24

Sustituyendo en la fórmula inicial se tiene que:

1 (1 ) n

ciri −=

− +

24 24

200 000(0.0 025) 500 500 500 8 596.241 (1 0.0 025) 1 (1.0 025) 1 0.9 418 0.0 582

r − −= = = = =− + − −

Por lo tanto se deben realizar 24 pagos de:

$8 596.24

De lo anterior se tiene que:

(8 596.24)(24) = 206 309.81

Si a esto le restamos la anualidad de 200 000 quedan 6 309.81 producto de

los intereses.

unidad �

� 1 2

actividad5

1. Una persona hace una compra de $5 000 mediante un crédito, acordando que la

liquidación la realizará por medio de 10 pagos iguales, si la tasa de interés es de 12%

compuesto bimestralmente, ¿de cuánto serán los pagos fijos?

2. $150 000 se liquidan mediante 18 pagos trimestrales durante 5 años a una tasa de

interés de 29% anual, ¿a cuánto ascienden los pagos?

3. Para la compra de un departamento una persona recurre a un préstamo a crédito de

$1 200 000, si debe saldar el crédito por medio de pagos trimestrales durante los

siguientes 15 años a una tasa de 14% convertible trimestralmente, ¿de qué cantidad

serán los pagos a realizar? ¿Cuánto pagará esta persona de interés?

TablasdeamortizaciónEl proceso de liquidación de una deuda puede expresarse mediante una tabla, la cual se

conoce como tabla de amortización, en ésta pueden enunciarse diversos conceptos. Veamos

el siguiente ejemplo:

Ejemplo 50

Se adquiere un crédito de $1 000 a pagar durante cuatro anualidades con una tasa de

interés de 10% al año.

Si sabemos que

c = 1 000

i = 0.1

n = 4

sustituyendo en la fórmula general se tiene:

1 (1 ) n

ciri −=

− +

4 4

1 000(0.1) 100 100 100 315.461 (1 0.1) 1 (1.1) 1 0.6 830 0.3 170

r − −= = = = =− + − −

Por lo tanto para liquidar la deuda deberán realizarse cuatro pagos de $315.46,

cada uno de estos pagos se compone tanto del interés al saldo, como del abono al

capital, tal como lo muestra la siguiente tabla:


� 1 �

Periodo Capital al inicio del periodo Interés del periodo(i = 0.1) Pago fijo Abono al capital

0 1 000

1 784.54 100 315.46 215.46

2 547.53 78.45 315.46 237.01

3 285.92 53.85 315.46 261.61

4 –0.95 28.59 315.46 286.87

Total 260.89 1 261.84 1 000.95

actividad6

1. Un préstamo de $20 000 se amortizará con 12 pagos iguales realizados semestralmente.

Si la tasa de interés es de 14% convertible cuatrimestralmente. Determinar el pago

semestral y realizar la tabla de amortización.

2. Realice la tabla de amortización para un crédito de $50 000 con un interés de 4%

convertible bimestralmente. Con pagos semestrales durante 3 años.

3. Se compra un departamento de $1 450 000 con un enganche de $800 000 y pagos

semestrales a 5 años. Si la tasa de interés es de 7% capitalizable mensualmente. Calcule

el pago periódico y realice la tabla de amortización.

determinacióndeladeudapendientedeamortización.CapitalinsolutoEl capital insoluto es el saldo de la deuda pendiente de pagar, este dato es importante ya que

con frecuencia la parte deudora quiere liquidar la parte restante de su deuda por medio de un

pago único. O el acreedor desea traspasar la deuda por lo que se vuelve indispensable conocer

el saldo pendiente de amortizar.

Para el caso de que la deuda sea saldada en pocos pagos, si se necesita conocer el saldo

insoluto basta con construir una tabla de amortización y verificarlo. Pero en el caso de que se

haya preestablecido un gran número de pagos, este proceso puede ser tedioso.

Por lo que es mejor adoptar el siguiente método:

unidad �

� 1 �

1. Determinar el monto del pago periódico.

2. Calcular con el dato anterior el monto de la anualidad que queda pendiente de

pagar, tomando en cuenta que se desea saber únicamente los pagos que faltan por

realizar, por lo que al total de pagos habrá que restarle los ya realizados.

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 51

Un señor adquiere un crédito de $10 000 a 10 años con interés de 7.5% capitalizable

mensualmente. ¿Cuál es el capital insoluto después de haber realizado 7 pagos?

Tenemos:

c = 10 000

i = 0.075/12 = 0.006

n = 10

Sustituimos para conocer el monto del pago periódico:

1 (1 ) n

ciri −=

− +

10

10000(0.006) 60 60 1 033.331 (1 0.006) 1 0.9419 0.0580

r −= = = =− + −

Una vez conocido el pago se calculará el monto de las anualidades que no han sido

saldadas. Para esto es necesario tomar en cuenta que el total de periodos de pago son

10 y que hasta el momento se han hecho 7, por lo que falta por realizar 3 pagos.

Por lo tanto:

r = 1 033.33

i = 0.006

n = 3

1 (1 ) nic ri

−− +=

Sustituyendo:

31 (1 0.006) 1 (0.9822)1 033.3 1 033.3

0.006 0.006c

−− + −= = =

0.0 178

1 033.3 1 033.3(2.9643) 3 063.070.006

= =

Por lo tanto el saldo insoluto en el séptimo periodo es de $3 063.07, lo cual se

puede comprobar si se realiza la respectiva tabla de amortización.


� 1 �

Periodo Capital al inicio del periodo Interés del periodo (i=0.006) Pago fijo Abono al capital

0 10 000

1 9 026.67 60 1 033.33 973.33

2 8 047.50 54.16 1 033.33 979.19

3 7 062.46 48.29 1 033.33 985.04

4 6 071.50 42.37 1 033.33 990.96

5 5 074.60 36.43 1 033.33 996.90

6 4 071.72 30.45 1 033.33 1 002.88

7 3 062.82 24.43 1 033.33 1 008.90

8 2 047.86 18.38 1 033.33 1 014.95

9 1 026.82 12.29 1 033.33 1 021.04

10 –0.35 6.16 1 033.33 1 027.17

Total 332.95 10 333.30 10 000.35

actividad7

1. Se solicita un préstamo para la compra de una camioneta por $360 000, si se hacen pagos

mensuales durante 4 años y la tasa de interés es de 5.3% capitalizable mensualmente.

¿Cuál es el saldo insoluto después de 2.5 años?

2. Una persona compra un estéreo por $20 000 y acuerda realizar pagos semanales. Si la

tasa de interés es de 7% convertible semestralmente. ¿Cuánto adeuda en la semana 30?

3. Una deuda de $450 000, con interés de 2.3% convertible trimestralmente, se

amortiza mediante pagos mensuales durante 15 años. Determine el saldo insoluto

después de 7.5 años.

unidad �

� 1 �

CálculodelinterésenunperiododeterminadoOtro de los conceptos importantes en las amortizaciones es el interés correspondiente a un

cierto periodo, esto es posible a partir del concepto anterior. Si calculamos el capital insoluto

del periodo anterior éste se multiplica por la tasa de interés, con lo que se obtiene el interés

del periodo.

Ejemplo 52

Un préstamo de 2 000 se paga trimestralmente durante 2 años, si el interés es de 3%

convertible mensualmente. Determine el monto del pago y el interés que se genera en el

pago 20.

Si se sabe que:

1 (1 ) n

ciri −=

− +

c = 2 000

i = .03/12 = 0.0025

n = 12(4) = 48 Sustituyendo:

48

2 000(0.0 025) 5 5 44.271 (1 0.0 025) 1 (0.8 871) 0.1 129

r −= = = =− + −

Por lo tanto deben realizarse 48 pagos de $44.27

Para calcular el interés en el pago 20 es necesario conocer el capital insoluto en

el periodo anterior, a saber, el 19 y después multiplicar el resultado por la tasa

de interés.

Por lo tanto:

1 (1 ) nic ri

−− +=

r = 44.27

i = 0.0025

n = 48 – 19 = 29

Sustituyendo:

291 (1 0.0 025) 1 0.9 30144.27 44.27

0.0 025 0.0 025c

−− + −= = =

0.0 69944.27 44.27(27.94) 1 236.91

0.0 025= =


� 1 �

Finalmente:

i = 1 236.91(0.0 025)= 3.09

Queda como ejercicio al lector comprobar que esta cantidad coincide con la tabla de amortización

correspondiente al ejercicio.

actividad8

1. Se adquiere un televisor de plasma por $45 000 mediante un crédito de 12% anual

a pagos mensuales durante 2 años. ¿Cuánto se paga por concepto de intereses en la

mensualidad 18?

2. Se compra un servidor de $1 560 000 mediante un crédito, acordando pagos

bimestrales durante 3 años a una tasa de interés de 4.6% convertible trimestralmente.

¿Cuál es la cantidad por intereses en el pago 7, 11 y 17?

3. Una persona consigue un préstamo de $4 150 000 a pagar en 40 años, si la tasa de

interés es de 4% convertible semestralmente y realiza sus abonos cada mes. ¿Cuánto

paga en total de interés? ¿Cuál es el pago por intereses en el periodo 35, 145 y 406?

5.9. VPNyTIR:Elementosfundamentalesparaevaluarlaefectividaddeunproyecto

La evaluación de la efectividad de un proyecto de inversión tiene por objetivo conocer

su rentabilidad económica y social, de manera que solvente una necesidad humana en

forma eficiente, segura y rentable, determinando los recursos económicos con que cuente

la mejor alternativa.

Un proyecto de inversión se define como un método organizado y evaluado, al cual si

se le asigna capital y se le proporcionan insumos podrá formar un bien o servicio que permita

satisfacer una necesidad.

Se pueden extraer algunos puntos importantes en relación con la evaluación de la

efectividad de un proyecto de inversión:

unidad �

� 1 �

• Correcta asignación de los recursos.

• Igualar el valor adquisitivo de la moneda presente con la moneda futura y estar

seguros de que la inversión será realmente rentable.

• Decidir el ordenamiento de varios proyectos en función de su rentabilidad.

• Tomar una decisión de aceptación o rechazo.

Un proyecto de inversión contiene siempre un grado de riesgo, ya que se basa en

estimaciones futuras, por lo cual es conveniente realizar un estudio minucioso para disminuir

esa probabilidad de riesgo.

Por ello el desarrollo y formación de indicadores financieros, que muestren de manera

adecuada las características importantes del proyecto de inversión, nos permiten tomar

decisiones en tiempo y forma, las cuales repercutirán de manera importante en la consolidación

o truncamiento del proyecto.

Tiposdeproyectos1. Desde el punto de vista financiero:

a) No rentables. Tienen salidas de fondos definidos y cuantificables, pero que no

están orientados hacia la obtención de lucro o utilidad monetaria. Por ejemplo, los

proyectos de investigación.

b) Rentables. Se obtiene una utilidad directa y palpable.

c) No medibles. Son proyectos que tienen cuantificadas las salidas de efectivo,

pero no pueden determinar una utilidad con cierto grado de seguridad. Por

ejemplo, el desarrollo de un nuevo producto.

d) Reemplazo. Son proyectos que representan el análisis de la temporalidad de la vida

útil de un bien, prorrogada por nuevos gastos de mantenimiento y reparación de

los bienes existentes. Ejemplo de ello es la sustitución de maquinaria obsoleta

por nueva.

e) Expansión: Son los proyectos que aumentan la actual capacidad instalada de

producción o de venta. Un ejemplo de lo anterior es el hecho de incrementar la

inversión de activos fijos.

2. Desde el punto de vista de la finalidad del proyecto:

• Proyectos de reducción de costos.

• Proyectos de nuevos productos.

• Proyectos de diversificación de servicios.


� 1 �

• Proyectos de nuevos mercados.

• Proyectos de reemplazo de equipo.

• Proyectos de investigación y desarrollo.

3. Por el tamaño y actividades de la empresa:

• Proyectos para toda la empresa.

• Proyectos por divisiones.

• Proyectos por departamentos.

• Proyectos por productos o servicios.

indicadoresfinancierosLos indicadores financieros son obtenidos directamente de los estados financieros proforma.

Se seccionan para el análisis y la evaluación de sus componentes o cuentas más representativas.

Para ello se utiliza lo que se conoce como razones financieras.

Los principales indicadores, recomendados para evaluar un proyecto de inversión son

los siguientes:

• Tasa interna de rendimiento o de retorno (Tir).

• Valor presente neto (vPn).

• Índice del valor presente neto (ivPn).

• Periodo de recuperación de la inversión (Pri).

• Tasa promedio de rendimiento o de retorno (TPr).

• Tasa de rendimiento estimada mínima aceptada (Trema).

• Costo anual equivalente uniforme (caUe).

• Tasa promedio de rendimiento o de retorno (TPr).

Nos ocuparemos de aquellas que aportan los criterios de evaluación más importantes.

Valorpresenteneto(vPn)Es la diferencia entre la suma de los valores presentes de los flujos futuros y la inversión inicial.

Esto significa que:

• Indica la generación neta de recursos a valor presente.

• Obtiene flujos netos de efectivo (Fne).

• Realiza evaluaciones económicas.

• Permite evaluar inversiones individuales.

• Elegir entre varias propuestas de inversión competitivas.

unidad �

� 2 0

• Mide el impacto en la riqueza del accionista producida por el conjunto de

inversiones que constituyen la cartera de posibilidades de un inversionista.

• Es el criterio de evaluación de capital elegido.

La forma matemática de calcular el vPn es a través de esta ecuación:

1

= (1 ) 1x n

xx

x

vPn F i=

−

=

+ −∑

Donde:

vPn = valor presente neto.

Fx = flujo de efectivo.

t = tasa de descuento.

i = inversión inicial.

El valor presente neto es un indicador que comprende la actualización de los flujos del

proyecto a lo largo del horizonte de evaluación y considera que todos los beneficios en relación

a los costos deben ser comparados en el presente.

• Si el vPn es positivo se considera que el proyecto es favorable, ya que cubre

el nivel mínimo de rechazo representado por la tasa de descuento, y representa

el excedente que queda para el inversionista después de haberse recuperado la

inversión, los gastos financieros y la rentabilidad exigida por éste.

• Si el vPn es igual o cercano a cero, el proyecto apenas cubre el costo mínimo.

• Si el vPn es negativo, la rentabilidad está por debajo de la tasa de aceptación y por

lo tanto es un proyecto que debe descartarse.

Existen cuatro formas de calcular los indicadores vPn y Tir, para ello los datos se

toman del estado de resultados. Las modalidades son:

1. Producción constante, sin inflación, sin financiamiento.

2. Producción constante, con inflación y sin financiamiento.

3. Producción constante, con inflación y con financiamiento.

4. Producción variable, sin inflación y con financiamiento.

En el caso de la comparación de proyectos se deberá considerar que un proyecto es

mejor que otro cuando el vPn sea mayor.

Por lo tanto, si al flujo del proyecto se le descuentan los intereses y amortizaciones, el

saldo equivaldría a la recuperación del aporte del inversionista más la ganancia por el exigible


� 2 1

y un excedente igual al vPn del proyecto, que representaría la ganancia adicional a la mejor

alternativa de la inversión.

El tamaño óptimo corresponde al mayor valor actual neto de las alternativas

analizadas, es decir, cuando la diferencia entre ingresos y egresos actualizados se maximiza.

Si se determina la función curva, este punto se obtiene cuando la primera derivada es igual

a cero y la segunda es menor que cero, para asegurar que el punto sea máximo.

El mismo resultado se obtiene si se analiza el incremento de vPn que se logra con

aumentos de tamaño; en este caso.

Ejemplo 53

Una empresa de dulces desea hacer una inversión en equipo relacionado con el manejo

de materiales. Se estima que el nuevo equipo tiene un valor en el mercado de $100 000 y

representará para la compañía un ahorro en mano de obra y desperdicios de materiales del

orden de $40 000 anuales.

Se toma en consideración que la vida útil estimada para el nuevo equipo es de cinco años,

al final de los cuales se espera una recuperación monetaria de $20 000. Se recomienda

considerar que la empresa ha fijado una Trema (tasa de rendimiento mínima aceptable)

de 25%.

a) Utilizando la ecuación de vPn tenemos:

1 2 3

0 2 3(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n

n

a a a avPn aK K K K

= + + + + + + + +

b) Sustituyendo los valores en la ecuación.

2 3 4 5

40 000 40 000 40 000 40 000 60000100 000

(1 0.25) (1 0.25) (1 0.25) (1 0.25) (1 0.25)vPn

= − + + + + + + + + + +

vPn = $14 125

Como el vPn es positivo, se recomienda la compra del nuevo equipo.

Ejemplo 54

Se trata de la misma empresa con el mismo proyecto de inversión, pero ahora los

inversionistas fijan una Trema de 40%, ¿qué ocurre con el vPn?

1 2 3

0 2 3(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n

n

a a a avPn aK K K K

= + + + + + + + +

unidad �

� 2 2

a) Sustituyendo los valores en la ecuación

2 3 4 5

40 000 40 000 40 000 40 000 60 000100 000

(1 .40) (1 .40) (1 .40) (1 .40) (1 .40)vPn

= − + + + + + + + + + +

vPn = –$14 875

Como el VPN resultó negativo, la rentabilidad está por debajo de la tasa de

aceptación, por lo tanto el proyecto debe descartarse.

En la gráfica observamos la representación del vPn respecto a la tasa que esperan

los inversionistas. Notamos como la Trema queda por arriba de lo que ofrece

el proyecto.

vPn

14.1

25 40 Trema

14.8

SeleccióndeproyectosmutuamenteexcluyentesEsta metodología consiste en la selección de una alternativa entre varias mutuamente excluyentes,

para ello existen varios procedimientos equivalentes y son:

1. Valor presente de la inversión total.

2. Valor presente del incremento en la inversión.


� 2 �

ValorpresentedelainversióntotalEl valor de la alternativa que se prefiera con este procedimiento deberá ser mayor a cero, ya que con

esto se asegura que el rendimiento que se alcanza es mayor que el interés mínimo atractivo.

Ejemplo 55

Nuevamente la empresa anterior debe seleccionar una de las alternativas, utilizando una

Trema de 25%

a) Primeramente se calcula el vPn para cada alternativa:

1 2 3

0 2 3(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n

n

a a a avPn aK K K K

= + + + + + + + +

2 3 4 5

40 000 40 000 40 000 40 000 40 000100 000 7 571

(1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25)vPn

= − + + + + + = + + + + +

2 3 4 5

40 000 40 000 40 000 40 000 40 000100 000 = 35 142

(1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25)vPn

= − + + + + + + + + + +

2 3 4 5

40 000 40 000 40 000 40 000 40 000100 000 = 35 142

(1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25)vPn

= − + + + + + + + + + +

b) Se comparan los vPn obtenidos y se encuentra que el mayor corresponde a la

alternativa B.

a = 7 571

B = 35 142

c = 18 600

Ejemplo 56

Un empresario desea saber en qué proyecto debe invertir, de tal manera que elija la

alternativa que sea inmejorable.

a) Primeramente se calculan los Fne para los cuatro proyectos.

unidad �

� 2 �

n FNE

Tamaño individual Familiar Económico Gigante

1 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000

2 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000

3 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000

4 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000

5 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000

6 $2 400 000 $3 150 000 $3 160 000 $3 900 000

FNE $8 400 000 $11 400 000 $8 960 000 $6 000 000

Para esto se suman los ingresos de cada periodo para cada alternativa.

Fne=1 200 000+1 200 000+1 200 000+1 200 000+1 200 000+2 400 000=8 400 000

b) Se calcula el vPn para cada alternativa.

Proyectoindividual

11 200000(1 .20)

+

$1 000 000

2 2

1 200000(1 .20)

+

$833 333

3 3

1 200000(1 .20)

+

$694 444

4 4

1 200000(1 .20)

+

$578 704

5 5

1 200000(1 .20)

+

$482 253

6 6

1 200000(1 .20)

+

$803 755

FNE $4 392 490

Inversión inicial $3 000 000

VPN $1 392 490


� 2 �

Proyectofamiliar

11 650000(1 .20)

+

$1 375 000

2 2

1 650000(1 .20) +

$1 145 833

3 3

1 650000(1 .20)

+

$954 861

4 4

1 650000(1 .20)

+

$795 718

5 5

1 650000(1 .20)

+

$663 098

6 6

1 650000(1 .20)

+

$1 054 929

FNE $5 989 439


VPN $1 489 439

Proyectoeconómico

11 160000(1 .20)

+

$966 667

2 2

1 650000(1 .20)

+

$805 556

3 3

1 160000(1 .20)

+

$671 296

4 4

1 160000(1 .20)

+

$559 414

5 5

1 160000(1 .20)

+

$466 178

6 6

3 160000(1 .20)

+

$1 058 278

FNE $4 527 388


VPN –722 612

unidad �

� 2 �

Proyectogigante

11 800000(1 .20)

+

$1 500 000

2 2

1 800000(1 .20)

+

$1 250 000

3 3

1 800000(1 .20)

+

$1 041 667

4 4

1 800000(1 .20)

+

$868 056

5 5

1 800000(1 .20)

+

$723 380

6 6

3800000(1 .20)

+

$1 306 102

FNE $6 689 204


VPN 689 204

El proyecto económico se descarta por ser negativo, la alternativa que ofrece el vPn

más alto corresponde al proyecto familiar.

ValorpresentedelincrementodelainversiónPara este procedimiento se siguen los siguientes pasos:

1. Colocar las alternativas en un orden ascendente de acuerdo con la inversión inicial.

2. Seleccionar la alternativa de menor costo.

3. Comparar la mejor alternativa con la consecutiva dada del punto uno.

4. Repetir el procedimiento cuantas veces sea necesario hasta haber analizado todas

las alternativas.


� 2 �

Ejemplo 57

Nuevamente partiendo de nuestro ejemplo de la empresa anterior, aplicar los pasos dados

para determinar la mejor alternativa, considerando la Trema de 25%.

a) Ordenar las alternativas

5

1

40 000100 000 = 7 571

(1 .25)a ii

vPn=

= − + +

∑

5

1

40 00080 000 = 27 571

(1 .25)B a ii

vPn −=

= − + +

∑

5

1

40 00030 000 = –16 553

(1 .25)c B ii

vPn −=

= − + +

∑

b) Comparar las alternativas de acuerdo con el monto.

La alternativa más viable es la B, debido a que es la más alta y el vPn no es menor

a cero como en el tercer caso.

Tasainternaderetorno(Tir)Es la tasa a la que se transportan o descuentan los diferentes flujos futuros de efectivo a su

valor presente para igualar la inversión, es decir, la tasa de descuento que implica un valor

presente neto igual a cero.

(vPn = 0)

x n

x

vPn Fx=

=

= ∑ –n

1

(1+i) –1=0.00

Donde:

i= Inversión.

La Tir refleja el rendimiento de los fondos invertidos, siendo un elemento de juicio

muy usado y necesario cuando la selección de proyectos se hace bajo una óptica de racionalidad

y eficiencia financiera.

La Tir o rentabilidad financiera de un proyecto se define de dos formas:

1. Es aquella tasa de actualización que hace nulo el valor actual neto del proyecto, es

decir, cuando el vPn es cero, situación que se observa en la siguiente gráfica:

unidad �

� 2 �

15 +

0 2 6 8 10 2+2220181612 1++

Tir

vPn

–1 ++

1.09 +

2.+38

A diferencia del vPn la Tir supone que el cálculo de ésta va al encuentro de una tasa de

interés, generalmente mediante tanteos.

3. La Tir es la máxima tasa de interés que puede pagarse o que gana el capital no

amortizado en un periodo de tiempo y que conlleva la recuperación o consumo

del capital.

Para despejar confusiones, la Tir no es un rendimiento constante sobre la inversión

inicial, sino sobre la parte de la inversión no amortizada.

Esta característica mal entendida ha sido la base de críticas sobre la Tir, argumentando

que ésta implica la reinversión de los beneficios, sin embargo, reconociendo que el rendimiento

no es siempre sobre el capital inicial, se debe aceptar entonces que la tasa de rendimiento

calculada no implica la reinversión, pues no se considera la utilización que el inversionista haga

de los beneficios generados, ésa es una cuestión independiente al concepto Tir.

TIRconflujosconstantessininflación• Bajo ésta se consideran los Fne a lo largo del tiempo.

• La producción será constante.

• Los ingresos y los costos permanecen constantes.

Como la Tir espera la suma de los flujos descontados sea igual a la inversión inicial,

entonces la i actúa como tasa de descuento y por consecuencia los flujos a los que se les aplica,

se convierten en flujos descontados.

1 2

(1 )1 (1 )2 (1 )Fne Fne Fne n

P vst t t n

= + + + + + +


� 2 �

Ejemplo 58

La inversión inicial es:

P = $5 935 000

Fne del primer año:

a = $1 967 000

Se considera una anualidad ya que permanecen constantes durante los cinco años.

Tmar sin inflación es de 15%

vs = $3 129 000

Periodo = 5 años

a) 1 2 3 4 5 Fne Fne Fne Fne Fne a= = = = =

b) 5

5 5

(1 + i) + 3 1295 935 000 =1 967

i (1 + i) (1 + i)

c) La i que satisface a la Tir del proyecto es i = 27.6 734 469%

Este valor deEste valor de Tir se obtuvo de una manera de ensayo, es decir, que proponiendo

valores de interés (i) satisfagan el valor de la inversión.

La decisión de inversión con base en la tasa interna de retorno es también muyLa decisión de inversión con base en la tasa interna de retorno es también muy

sencilla, se debe seleccionar el proyecto cuya Tir sea mayor a la Trema, en caso contrario

se rechaza.

Un proyecto es mejor que otro cuando se posee una Tir más alta.

1 2

1 2 – 0(1 ) (1 ) (1 )n

F n e F n e F n e nTir it t t

= + + = + + +

Nomenclatura:

Tir = tasa Interna de Retorno.

Fne = flujo neto de efectivo.

t = tasa de descuento.

i = inversión inicial.

Cuando utilizamos el Valor Presente Neto (vPn) para calcular la Tir debemos

tomar en cuenta el mínimo común múltiplo de los años de vida útil de cada alternativa, sin

embargo, cuando se hace uso del caUe, sólo es necesario tomar en cuenta un ciclo de vida de

cada alternativa, pues lo que importa en este caso es el costo de un año; esto la puede hacer de

más fácil aplicación.

unidad �

� � 0

Se puede llevar a cabo la evaluación de proyectos de manera individual o de alternativas

de inversión.

Evaluación de proyectos de inversión individuales.

Ejemplo 59

Un terreno con una serie de recursos fértiles por su explotación produce $100 000

al f inal de cada mes durante un año; al f inal de este tiempo, el terreno podrá ser

vendido en $800 000. Si el precio de compra es de $1 500 000, hallar la Tasa Interna

de Retorno (Tir).

a) Primero se dibuja la línea de tiempo.

$800 000

$100 000 $100 000 $100 000 $100 000

1 2 3 12

$1 500 000

b) Luego se plantea una ecuación de valor en el punto cero.

–1–1 500 000 100 000 12 800 000 (1 ) 0a i i+ + + =

100 000 a 12i quiere decir que los doce flujos de efectivo de esta cantidad deberán

ser elevados a una tasa de retorno i, que es la que se desconoce y que será la que

se calcule para que satisfaga el valor de la venta del terreno.

La forma más sencilla de resolver este tipo de ecuación es elegir dos valores para i

no muy lejanos, de forma tal que al realizar los cálculos con uno de ellos, el valor

de la función sea positivo y con el otro sea negativo. Este método es conocido

como interpolación.


� � 1

c) Se resuelve la ecuación con tasas diferentes que la acerquen a cero.

1. Se toma al azar una tasa de interés i = 3% y se reemplaza en la ecuación de valor.

–1 500 000 + 100 000 a 12 3% + 800 000 (1 +0.03)-1 = 56.504

2. Ahora se toma una tasa de interés más alta para buscar un valor negativo y

aproximarse al valor cero. En este caso tomemos i = 4% y se reemplaza en la

ecuación de valor.

–1 500 000 + 100 000 a 12 4% + 800 000 (1 +0.04)-1 = –61 815

d) Ahora se sabe que el valor de la tasa de interés se encuentra entre los rangos de

3% y 4%, se realiza entonces la interpolación matemática para hallar el valor que

se busca.

1. Si 3% produce un valor de $56 504 y 4% uno de –61 815, la tasa de interés para

cero se hallaría así:

3 – – – – – 56 504

i – – – – – 0

4 – – – – – –61 815

2. Se utiliza la proporción entre diferencias que se correspondan:

i − −−

= − −

56 504 ( 61 815)3 43 (56 504 0)

3. Se despeja y calcula el valor para la tasa de interés, que en este caso sería:

i = 3 464%, que representaría la tasa efectiva mensual de retorno.

unidad �

� � 2

actividad9

1. Suponga que un proyecto requiere una inversión neta de 10 000 y promete una anualidad

de 4 años, cuyos flujos de caja son de 40 000 al año. Se supone que la tasa requerida de

rendimiento sea de 16%. ¿Cuál será el vPn?

2. Un inversionista desea saber qué proyecto le conviene llevar a cabo, para ello cuenta con

la siguiente información:

n A B C

1 $2 500 $4 600 $600

2 $2 650 $1 500 $1 100

3 $2 000 $1 900 $1 600

4 $2 900 $2 600 $1 850

Fne $10 050 $10 600 $5 150

Inversión inicial $5 700 $3 800 $2 200

Utilizando el criterio de vPn encuentre la alternativa de negocio que conviene al

inversionista.

3. Se piensa en un proyecto cuya inversión neta es de $60 000 con los siguientes flujos

de caja. Para los años 1, 2 y 3 $30 000, para los años 4, 5 y 6 de $19 000 y se requiere

obtener un rendimiento de 16%. Determinar si el proyecto se acepta o no con base en

el criterio de vPn.

4. Un ejecutivo financiero desea saber cuál es el valor de la Tir para una inversión de

$24 000 para cinco años con los siguientes flujos $5 000, $7 000, $9 000, $9 000 y

$12 000 respectivamente y una tasa de 18%.

5. Considerando el problema anterior (ejercicio 2) del inversionista que desea saber qué

proyecto le conviene llevar a cabo, entre el a, B, c y considerando el criterio del vPn

y la Tir, indique cuál es la alternativa recomendada si la tasa de rendimiento que el

inversionista espera obtener es de 19%.


� � �

5.10.aplicacióndelanálisismatemático-financieroalarentabilidadde laempresa

Las personas que están envueltas en un entorno socio-económico en constante cambio, en el

cual la incertidumbre de lo que pueda suceder con sus empresas es una constante, necesitan

disponer de métodos o instrumentos para evaluar su funcionamiento en cualquiera de los

periodos de su existencia; en el pasado, para apreciar la verdadera situación que corresponde

a sus actividades; en el presente, para realizar cambios en bien de la administración, y en el

futuro para realizar proyecciones que contribuyan al crecimiento de la misma.

La columna vertebral del análisis financiero se encuentra en la información que

proporcionan los estados financieros de la empresa. Esta información será relevante en

diferente medida y uso, ya sea por parte de quien la elabora y de quien la utilice, puesto que

cada interesado tiene objetivos específicos diferentes.

Entre los análisis más conocidos y usados están el balance general y el estado de

resultados (también llamado de pérdidas y ganancias) que son preparados, casi siempre, al

final del periodo de operaciones por los administradores, en los cuales se evalúa la capacidad

de la organización para generar flujos favorables según la recopilación de los datos contables

derivados de los hechos económicos.

También existen otros estados financieros que en ocasiones no son tomados en cuenta

y que proporcionan información útil e importante sobre el funcionamiento de la empresa,

entre éstos están el estado de cambios en el patrimonio, el de cambios en la situación financiera

y el de flujos de efectivo.

Los fundamentos del análisis matemático financiero son:

• Análisis de información que apoye la toma de decisiones.

• Determinar los costos de oportunidad.

• Información técnica.

• Interpretación de resultados.

• Retroalimentación.

En las finanzas existen muchos instrumentos de análisis útiles para investigar,

medir y evaluar el estado financiero de una empresa, el más recurrente es el llamado razones

financieras, ya que éstas pueden medir en un alto grado la eficacia y comportamiento de la

empresa, muestran una perspectiva amplia del escenario financiero y son capaces de precisar

el grado de liquidez, rentabilidad, apalancamiento financiero, cobertura y todo lo que tenga

que ver con su actividad.

unidad �

� � �

Las razones financieras son comparables con las de la competencia y llevan al análisis

y reflexión del funcionamiento de las empresas frente a sus competidores. A continuación se

explican los fundamentos de aplicación y cálculo de cada una de ellas.

Existen varias formas de clasificar las razones financieras, ya sea por el plazo en el

que nos proporcionan información y por el tipo de información que éstas arrojan, en ambos

casos, facilitarán el análisis oportuno de la misma. A continuación se presentan estas razones

financieras y cómo se encuentran contenidas en sus respectivas formas de presentar la

información (cabe mencionar que las razones pueden pertenecer a una o a ambas formas).

Es importante recordar que el estudio de las razones financieras es la forma más utilizada

del análisis contable. Las razones financieras pueden dividirse en cuatro grupos básicos:

• Liquidez

• Actividad

• Endeudamiento

• Rentabilidad

ÍndicesorazonesdeliquidezMuestran la capacidad que tiene la empresa para generar fondos suficientes para el pago de

sus obligaciones a corto plazo a medida que éstas se vencen. Invariablemente los indicadores

de liquidez están encaminados a determinar la capacidad del negocio para cancelar sus

obligaciones de corto plazo. Estas razones se adquieren utilizando cifras del balance general,

específicamente datos de las cuentas operacionales del balance.

ÍndicesorazonesdeactividadCalifican la liquidez de algunas cuentas operativas específicas, como las de cuentas por cobrar,

la de los inventarios y la de las cuentas por pagar. Evalúan la gestión o manejo que se hace de

las cuentas antes sugeridas, por eso se les llama razones de actividad.

Los indicadores de actividad miden la eficiencia del manejo de las cuentas operacionales

de la empresa, en especial las de los activos corrientes. Tienen un objetivo básico y es el de

determinar la rapidez o velocidad de rotación durante el periodo analizado, a mayor rotación más

liquidez, es decir, más rápido se convierten en efectivo. Para simplificar el cálculo normalmente

se toma el periodo anual de 360 días y el mensual de 30 días.


� � �

ÍndicesorazonesdeendeudamientoSon las diferentes relaciones de los rendimientos de la empresa.

ÍndicesderentabilidadEsta razón es denominada también rentabilidad de la inversión, rendimiento de la inversión o

rendimiento del activo.

Indica cuánto genera en utilidades para los socios cada peso invertido en la empresa.

Muestra el porcentaje de utilidad logrado con la inversión total del negocio (total de activos),

es decir, la utilidad que genera la entidad por cada cien pesos invertidos en activos.

LasrazonesfinancierasacortoplazoSe definen más por lo dinámico de los conceptos que se comparan que por los periodos que

reflejan, ya que para obtenerlas se toman los saldos finales de cada periodo, generalmente un

año. A continuación presentamos las relaciones más representativas y conocidas.

CapitaldetrabajoRepresenta el monto de recursos que la empresa tiene destinados para cubrir las erogaciones

necesarias para su operación. Puede expresarse en índice y, conocida como razón circulante,

significa que son las unidades monetarias que la empresa tiene para cubrir sus obligaciones a

corto plazo.

Usualmente se le ha llamado capital de trabajo, aunque el nombre correcto debe ser

capital neto de trabajo. Muestra de cuánto dispondría una empresa, después de pagar sus

obligaciones corrientes, para llevar a cabo sus operaciones en los meses siguientes de una

manera normal; también puede decirse que muestra la capacidad que tiene la empresa para

enfrentar los pasivos corrientes y operar normalmente.

( )capital de trabajo activo circulante Pasivo circulante= −

Por lo tanto, el capital de trabajo

significa cuánto le quedaría a

la empresa, representado en

activos corrientes, después de pagar en forma total los pasivos corrientes para desarrollar sus

operaciones normales.

unidad �

� � �

Ejemplo 60

Una empresa industrial de plásticos proporciona la siguiente información:

Concepto 31 Diciembre 31 Marzo 31 Mayo 30 Septiembre

Activo circulante

Efectivo 19 488 1 877 904 8 266

Cuentas por cobrar 8 344 8 189 10.017 62 968

Inventarios

Materias primas 20 118 6 863 783 619

Artículos en proceso 0 6 211 4 233 0

Artículos terminados 3 451 29 456 50 931 5 520

Sumas 51 445 52 596 66 868 77 373

Pasivo a corto plazo

Cuentas por pagar 173 472 740 295

Documentos por pagar 0 0 11 250 6 800

Sumas 173 472 11 990 7 095

Capital de trabajo 51 272 52 124 54 878 70 278

Utilizando la fórmula tenemos:

( )capital de trabajo activo circulante Pasivo circulante= −

Sustituyendo para cada periodo tenemos:

capital de trabajo= (51 445 –173)

51 272capital de trabajo =

PruebadelácidoRepresenta las unidades monetarias disponibles para cubrir los adeudos a los acreedores a

corto plazo. Esta razón es frecuentemente utilizada para evaluar la capacidad inmediata de

pago que tienen las empresas.


� � �

activo disponibleÁcido

Pasivo circulante=

La prueba ácida se puede considerar como un buen indicador

de liquidez inmediata. Esta razón ofrece un cálculo de la

liquidez solamente cuando los inventarios de la empresa no

puedan convertirse fácilmente a efectivo. Si el inventario es

bastante líquido (de fácil venta) el índice de corriente es preferible para analizar la liquidez.

Rotacióndeclientesporcobrar

Im

ingresos de operaciónr de c

porte de cuentas por cobrar a clientes=

im

Refleja el número de veces que han rotado

las cuentas por cobrar en el periodo. El

total de días del periodo generalmente es

un año, es decir, 360 días.

Total de días del periodo

número de días promedioÍndice de rotación de clientes por cobrar

=

Número de días promedio

en los que se recuperan las

cuentas por cobrar

5.10.1.Lasrazonesfinancierasalargoplazo

Son las que se obtienen de utilizar las cuentas o conceptos que se modifican en plazos

generalmente mayores a un año. El ejemplo clásico son las modificaciones al capital contable.

Otra característica es que utilizan el pasivo a largo plazo para obtener indicadores que proveen

de elementos para interpretar a la entidad económica en el largo plazo.

Razóndepropiedad

capital contable

razón de propiedadactivo total

=

Este índice refleja la proporción en que los dueños

o accionistas de la empresa han aportado para la

compra del total de los activos.

Razonesdeendeudamiento

Total del pasivo

razón de endeudamientoTotal del activo

=

Esta proporción es complementaria al punto

anterior ya que significa el porcentaje que se

adeuda del total del activo.

unidad �

� � �

RazóndeextremaliquidezEsta razón es de vital importancia para los acreedores de una empresa y refleja la capacidad de

pago que se tiene al finalizar un periodo.

activo circulante

razón de extrema liquidezTotal del pasivo

=

Representa las unidades monetarias

disponibles para cubrir el pasivo total.

Esta situación sólo se presentaría

al liquidar o disolver una empresa por

cualquier causa; ya sea legal, extinción por plazo, económica o que la empresa no pueda

continuar con el objetivo social.

ResultadosenfuncióndelvalordelasaccionesSe pueden evaluar los resultados mediante las siguientes razones:

Valorcontabledelasacciones

Total del capital contable

valor contable de acciónnúmero de acciones suscritas o pagadas

=

Representa el monto que se

paga a cada accionista al

terminar un periodo de

operaciones. Éste indica el

valor de cada título.

Lautilidadporacción

Utilidad neta

Utilidad por acciónnúmero de acciones suscritas o pagadas

=

Representa el total de

ganancias que se obtienen

por cada acción vigente

adquirida.

Acciones por rendimiento logrado en un ejercicio.

Tasaderendimiento

Utilidad netare n dim iento

capital contable= renrendimiento

Significa la rentabilidad de la inversión total de los

accionistas. Incluye la aportación de éstos y las

utilidades acumuladas.

La relevancia que posee una inversión futura, así como el determinar el momento en

que se podrán obtener utilidades, son evaluadas con el siguiente indicador:


� � �

PuntodeequilibrioÉste representa el volumen de la operación o nivel de utilización de la capacidad instalada, en el

cual los ingresos son iguales a los costos. Por abajo del punto de equilibrio la empresa obtiene

pérdidas y por arriba obtiene utilidades.

El punto de equilibrio cuando resulta muy alto, es decir, cercano a 100% indica que el

proyecto tiene alto margen de riesgo, ya que representa la posibilidad de no alcanzar el punto

de equilibrio e incurrir en pérdidas.

El punto de nivelación puede ser determinado de diferentes maneras, pero en todos

los casos los costos fijos son el punto en el cual debe centrarse su cálculo, ya que de no existir

costos fijos, el punto de equilibrio sería cero.

costos fijosPunto de equilibrio

valor Bruto de Pr oducción – costos var iables totales del activo=

Pr variables

RentabilidadToda empresa requiere medir la productividad de los fondos comprometidos en un negocio.

Recuerde que a largo plazo lo importante es garantizar la permanencia y crecimiento de la

empresa en el mercado y por ende su valor.

Estas razones permiten analizar y evaluar las utilidades de la empresa con respecto a

un nivel dado de ventas, de activos o la inversión de los socios.

Rendimientosobreinversiónpropia

Utilidad netacapital contable Utilidad neta

=−

rendimiento sobre inversión propia

Se refiere a la rentabilidad del capital efectivo de la empresa o índice de rendimiento sobre la

inversión propia de los accionistas. Expresado en otra forma es el índice de rendimiento que se

obtiene sobre el valor en libros.

Rendimientosobreinversióntotal

Utilidad netaactivo total

rendimiento sobre inversión total =

Rentabilidad de la inversión o índice

de rendimiento sobre la inversión

propia de los accionistas. Expresa la

eficiencia de la administración para generar utilidades.

unidad �

� � 0

RazonesdeutilidadEstas razones representan las utilidades que gana la empresa en el valor de cada venta. Éstas se

deben tener en cuenta deduciéndoles los cargos financieros o gubernamentales y determinan

solamente la utilidad de la operación de la empresa.

Margendeutilidadbruta

Utilidad brutaventas netas

=margen de utilidad bruta

Indica el porcentaje que queda sobre las

ventas después de que la empresa ha pagado sus

deudas. Eficiencia operativa de la organización.

Margendeutilidad

Utilidad netaventas netas

margen de utilidad=

Eficiencia integrada de la empresa o índice de

resultado fino de la actividad empresarial.

MargendeutilidadesoperacionalesRepresenta las utilidades netas que gana la empresa en el valor de cada venta. Éstas se deben

tener en cuenta deduciéndoles los cargos financieros o gubernamentales y determina solamente

la utilidad de la operación de la empresa.

MargennetodeutilidadesDetermina el porcentaje que queda en cada venta después de deducir todos los gastos,

incluyendo los impuestos.

RazonesdemovilidadEstas razones permiten analizar la rapidez con la que se recuperan las cuentas, es decir, la

rapidez con la que se mueven los inventarios y de manera indirecta muestra cuánto produce

una empresa.

RecuperacióndecuentasporcobrarDías promedio de recuperación de la cartera o eficiencia de cobranza. También denominado

plazo promedio de cobros, es una cifra más significativa debido a que nos muestra el tiempo

promedio en que están pagando los clientes. Indica cada cuándo, en promedio, le están pagando

las cuentas por cobrar a la empresa.


� � 1

*cuentas por cobrar díasventas netas a crédito

=recuperación de cuentas por cobrar (cartera)

RotacióndelactivototaloproductividaddelactivototalNúmero de veces que la empresa vende el equivalente al valor de sus diferentes activos o de

su activo total.

rotación del activo total o productividad del activo totalventas netasactivo total

=

Rotacióndeinventario

costo de lo vendidori

inventario promedio=

Éste mide la liquidez del inventario por medio de su

movimiento durante el periodo.

Plazopromediodeinventario

360 PPirotación de inventario

=

Representa el promedio de días que un artículo permanece

en el inventario de la empresa.

Rotacióndecuentasporcobrar

Prventas anuales

rccomedio de cuentas por cobrar

= Pr

Mide la liquidez de las cuentas por cobrar por medio

de su rotación.

Plazopromediodecuentasporcobrar

360PPccrotación de cuentas por cobrar

=Es una razón que indica la evaluación de la política

de créditos y cobros de la empresa.

Rotacióndecuentasporpagar

compras anualesrcP

Promedio de cuentas por cobrar=

Sirve para calcular el número de veces que las

cuentas por pagar se convierten en efectivo en el

curso del año.

unidad �

� � 2

Plazopromediodecuentasporpagar

360PPcProtación de cuentas por cobrar

=

Permite vislumbrar las normas de pago de la

empresa.

RazonesdeliquidezLa liquidez de una organización es juzgada por la capacidad para saldar las obligaciones

a corto plazo que se han adquirido a medida que éstas se vencen. Se refieren no solamente a

las finanzas totales de la empresa, sino a su habilidad para convertir en efectivo determinados

activos y pasivos corrientes.

Liquidezmediata

activo circulante

Liquidez mediataPasivo a corto plazo

=

Razón corriente o del circulante: la capacidad de

pago de la empresa a corto plazo.

Liquidezinmediata

activo circulante inventarioinmediata

capital contable−

=

Prueba de ácido. Suficiencia de la empresa

para cubrir, con recursos de rápida conversión

a efectivo, sus compromisos a corto plazo.

CapitaldetrabajoExcedente o déficit de recursos de rápida conversión a efectivo con los cuales se lleva a cabo la

operación de la empresa.

capital de trabajo activo circulante Pasivo a corto plazo= −

Índicedesolvencia

activo corrienteis

Pasivo corriente=

Éste considera la verdadera magnitud de la empresa en cualquier

instancia del tiempo y es comparable con diferentes entidades de la

misma actividad.


� � �

RazonesdeproductividadLos accionistas generalmente desean y obtienen un rendimiento superior al que reciben los

acreedores; esto se explica por el mayor riesgo que corren los accionistas según el nivel de

solvencia de la entidad.

Por otra parte, mientras mayores sean los fondos de los acreedores, mayores serán los

rendimientos de los accionistas; esto conlleva el uso de fondos a una tasa relativamente baja

(después del impuesto sobre la renta), ayudando a obtener mayores rendimientos para los fondos

invertidos por los accionistas, que se miden a partir de razones simples como son:

Eficienciadelaplanta

ventas netas

eficiencia de la plantaactivo fijo

=

Eficiencia en el uso de las inversiones de la empresa

en activos fijos; exceso o falta (insuficiencia) de

activos o ventas.

RazonesdeendeudamientoEstas razones indican el monto del dinero de terceros que se utiliza para generar utilidades,

éstas son de gran importancia, ya que estas deudas comprometen a la empresa en el transcurso

del tiempo.

apalancamientofinanciero

Pasivo total

apalancamiento financierocapital contable

=

Participación de los acreedores en

la empresa.

Estructuraoindependenciafinanciera

capital contable

estructura o independencia financieraPasivo total

=

Protección que ofrecen los

accionistas a los acreedores;

participación de los accionistas en

relación con terceros.

dependenciabancaria

Pr éstamos bancariosdependencia bancaria

activo total=

PrGrado en el cual los acreedores bancarios y

otras entidades financieras de cualquier

naturaleza participan en el financiamiento

de los activos de la empresa.

unidad �

� � �

Endeudamiento

Pasivo totalendeudamiento

activo total=

Porcentaje de los recursos totales de la empresa que son

financiados con dinero ajeno; participación de terceros en

la empresa.

Razónpasivo-capital

arg

Pasivoal oplazorPc

capitalcontable=

Pasivo a largo plazo Indica la relación entre los fondos a largo plazo que

suministran los acreedores y los que aportan los dueños de

las empresas.

Razónpasivoacapitalizacióntotal

argdeuda a l o plazorPcT

capitalizacióntotal=

deuda a largo plazo

Tiene el mismo objetivo de la razón anterior, pero también

sirve para calcular el porcentaje de los fondos a largo plazo

que suministran los acreedores, incluyendo las deudas de

largo plazo como el capital contable.

RazonesdecoberturaEstas razones evalúan la capacidad de la empresa para cubrir determinados cargos fijos.

Éstas se relacionan más frecuentemente con los cargos fijos que resultan por las deudas de

la empresa.

Vecesquesehaganadoelinterés

intint

Utilidades antes de ereses e impuestosvgi

erogación anual por ereses=

Utilidades antes de intereses e impuestoserogación anual por intereses

Calcula la capacidad de la empresa

para efectuar los pagos contractuales

de intereses.

Coberturatotaldelpasivo

intganancias antes de ereses e impuestoscTP

intereses más abonos al pasivo principal=

ganancias antes de intereses e impuestosEsta razón considera la capacidad de la

empresa para cumplir sus obligaciones

por intereses para rembolsar el principal

de los préstamos o hacer abonos a los fondos de amortización.


� � �

RazóndecoberturatotalEsta razón incluye todos los tipos de obligaciones, tanto los fijos como los temporales,

determina la capacidad de la empresa para cubrir todos sus cargos financieros.

, intUtilidades antes de pagos de arrendamientos ereses e impuestoscT

intereses abonos al pasivo principal pago de arrendamientos=

+ +

Utilidades antes depago de arrendamientos, intereses e impuestos

Al terminar el análisis de las anteriores razones financieras se deben tener los criterios

y las bases suficientes para la toma de decisiones que mejor le convengan a la empresa, aquellas

que ayuden a mantener los recursos obtenidos anteriormente y adquirir nuevos que garanticen

el beneficio económico futuro, también verificar y cumplir con las obligaciones con terceros

para así llegar al objetivo primordial de la gestión administrativa, posicionarse en el mercado

obteniendo amplios márgenes de utilidad con una vigencia permanente y sólida frente a los

competidores, otorgando un grado de satisfacción para todos los órganos gestores de esta

colectividad.

unidad �

� � �

actividad10

La empresa comercializadora Po-Pol-Chu presenta la siguiente información del comportamiento

que ha presentado en los últimos años, con la finalidad de crear una fusión con otra

comercializadora, que les brinde a ambas la oportunidad de crecer en el mercado y aumentar

su capacidad financiera.

Para ello se requiere generar un análisis financiero detallado, utilizando las anteriores

razones financieras.

Comercializadora Po-Pol-ChuBalance general (Millones pesos)

Concepto/periodo 2006 2005 2004 2003 2002 2001Ventas 80 137 100 135 180 220Clientes 140 190 110 200 210 300Inventario 100 150 100 150 180 340Circulante 320 477 310 485 570 860

Equipos 300 280 250 200 180 280Edificio 320 320 300 280 240 200Gastos diferidos 200 180 240 280 290 385Fijos 820 780 790 760 710 865

Suma del activo 1 140 1 257 1 100 1 245 1 280 1 725PasivoProveedores 100 110 100 114 60 120Impuestos por pagar 30 50 45 80 100 110Acreedores bancarios 20 23 28 30 32 38Acreedores diversos 22 26 21 28 30 35Préstamo bancario 200 260 190 220 160 200Suma pasivo 375 439 384 472 382 503Capital contable 59 52 50 60 46 100Capital social 200 200 200 200 200 200Aumento de capital 350 230 234 220 222 314Utilidades anteriores 85 180 123 153 230 320Utilidad del ejercicio 71 156 109 140 200 288Suma de capital 765 818 716 773 898 1 222Suma pasivo y capital 1 140 1 257 1 100 1 245 1 280 1 725Verificación 0 0 0 0 0 0

Utilidad bruta 655 1 401 2 037 1 261 868 1 638Pasivo a corto plazo 175 179 194 252 222 303


� � �

rendimiento sobre inversión propiaUtilidad neta

capital contable Utilidad neta=

−

Ejemplo 61

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

71 5.959 71

= −−

156 1.552 156

= −−

109 1.8420 109

= −−

140 1.7560 140

= −−

200 1.2946 200

= −−

288 1.53100 288

= −−

Análisis de rendimiento sobre inversión propia. Esta razón indica que la empresa está perdiendo

dinero por cada peso invertido de manera proporcional al resultado de cada año.

Rendimiento sobre inversión total=Utilidad neta

activo total

Ejemplo 62

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

71 0.0 6221 140

=156 0.1 242

1 256=

109 0.0991 100

=140 0.1 124

1 245=

200 0.1 5651 280

=288 0.1 669

1 725=

Análisis de rendimiento sobre inversión total. Esta razón indica que la empresa tiene ganancias

por cada peso invertido incrementando proporcionalmente al resultado de cada año. Se puede

observar que el rendimiento es muy pequeño y que a su vez éste se va reduciendo.

Margen de utilidad bruta=Utilidad brutaventas netas

Ejemplo 63

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

655 8.1880

=1 401

10.22137

=2 037

20.37100

= =1 261

9.34135

868 4.82180

= =1 638

7.44220

Recuperación de cuentas por cobrar (cartera) =*cuentas por cobrar días

ventas netas a crédito

unidad �

� � �

Ejemplo 64

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

140 *360 63080

=190 *360 499.2

137=

110 *360 396100

=200 *360 533.3

135=

210 *360 420180

=300 *360 490

220=

rotación del activo total o productividad del activo total =ventas netasactivo total

Ejemplo 65

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

80 0.0701 140

=137 0.108

1 257=

100 0.0901 100

=135 0.1084

1245=

180 0.1401 280

=220 0.1 275

1 725=

Análisis de rotación del activo total o productividad del activo total. Indica que la empresa

ha estado diminuyendo la venta de la diferencia de su activo o activos, está consumiendo

más de lo que produce.

activo circulante

Liquidez mediataPasivo a corto plazo

=

Ejemplo 66

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

320 1.82175

=477 2.66179

=310 1.59194

=485 1.92252

=570 2.56222

=860 2.83303

=

Análisis de liquidez mediata. Los resultados aquí mostrados indican que la empresa puede

cumplir con sus compromisos; pero también muestra que sus inventarios son muy altos o

que tienen poca rotación.

activo circulante inventario

Liquidez inmediatacapital contable

−=


� � �

Ejemplo 67

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

320 100 3.7259−

=477 150 6.28

52−

=310 100 4.2

50−

=485 150 5.58

60−

=570 180 8.47

46−

=860 340 5.2

100−

=

Análisis de liquidez inmediata. La empresa puede cumplir con gran facilidad sus

compromisos a corto plazo.

capital de trabajo activo circulante Pasivo a corto plazo= −

Ejemplo 68

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

320 175 145− = 477 179 298− = 310 194 116− = 485 252 233− = 570 222 348− = 860 303 557− =

Análisis de margen de utilidad bruta. Muestra la ganancia invertida en la empresa

antes de impuestos, es la ganancia por cada peso invertido. Para este caso se muestra

como del año 1997 al 2000 hubo crecimiento y del 2001 al 2002 hubo decrecimiento

en el margen de utilidad bruta.

ventas netas

eficiencia de la plantaactivo fijo

=

Ejemplo 69

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

80 0.97820

=137 0.1 756780

=100 0.126790

=135 0 177760

=180 0.253710

=220 0.254865

=

Análisis de eficiencia de la planta. Se observa que el rendimiento operativo de ésta disminuye

con los años.

Pasivo total

apalancamiento financierocapital contable

=

unidad �

� � 0

Ejemplo 70

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

375 6.3559

=439 8.4452

=384 7.6850

=472 7.8660

=382 8.3046

=503 5.03100

=

Análisis de apalancamiento financiero. Indica que el grado de participación de acreedores es

muy grande y pueden llegar a quedarse con el negocio.

capital contableestructura o independencia financiera=

Pasivo total

Ejemplo 71

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

59 0.157375

=52 0.118439

=50 0.130

384=

60 0.127472

=46 0.120

382=

100 0.198503

=

Análisis de estructura o independencia financiera. Como se observa, la empresa no

tiene compromisos fuertes con terceros, es bastante independiente y no tiene deudas

significativas.

Pr estamos bancariosdependencia bancaria

activo total=

Préstamos bancarios

Ejemplo 72

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

200 0 1751 140

.=260 0 2 068

1 257.=

190 0 1 7271 100

.=220 0 1 767

1245.=

160 0 1251 280

.=200 0 1 159

1 725.=


� � 1

Análisis de dependencia bancaria. La empresa es bastante independiente. Como se observó

en los otros análisis no tiene deudas ni préstamos fuertes, es bastante sana.

Pasivo totalendeudamiento

activo total=

Ejemplo 73

Años2006 2005 2004 2003 2002 2001

375 0.3 2891 140

=439 0.3 492

1 257=

384 0.3791 100

=472 0.379

1 245=

382 0.2 2031 280

=503 0.1 756

1 725=

Análisis del endeudamiento. Los recursos financiados con dinero ajeno son muy pocos,

esto es bueno, indica que la empresa es autosuficiente.

análisisdelactivocirculanteÉste nos indica que de 320 (millones de pesos/corrientes) 25% está invertido en las ventas,

43.75% en clientes y 31.25% en los inventarios.

análisisdeactivosfijosNos está indicando que de 810 (millones de pesos/corrientes) 36.58% está invertido en equipos,

39.02% en edificios y 24.39% en gastos diferidos.

análisisdeladeudaPodemos observar que por cada unidad monetaria que están invirtiendo en el negocio (ya

sea de los socios o prestado) 32.89% no es de los socios y por lo tanto habrá que pagarlos

algún día. De estos 375 (millones de pesos/corrientes) 15.08% habrá que pagarlos en

menos de 12 meses y 17.54% a un plazo mayor de 12 meses. También podemos observar

que por cada peso invertido en el negocio 17.54% corresponde a la aportación inicial

de los socios, 7.45% a las utilidades y 6.22% proviene de utilidades generadas en el

presente ejercicio.

unidad �

� � 2

análisisdelpasivoacortoplazoPasivo a corto plazo

Proveedores 100 58.13 %

Impuestos por pagar 30 17.44 %

Acreedores bancarios 20 11.62 %

Acreedores diversos 22 12.79 %

Que del total del pasivo a corto plazo y por cada peso que se debe de pagar en el corto

plazo 58.13% lo pagarán a los proveedores, 11.62% a acreedores bancarios, 17.44% son de

impuestos por pagar, mientras que 12.79% a acreedores diversos.

actividad11

Un inversionista que desea vender la clínica Cement Company, S.A., presenta los siguientes

datos correspondientes al periodo terminado el 31 de diciembre del año 1.

Cement Company, S.A.Balance general

Diciembre 31 del año 1 (Cifras en miles de pesos)Activos Pasivos

Corrientes Corrientes

Efectivo 10 000 Documentos por pagar 10 000

Cuentas por cobrar 50 000 Cuentas por pagar proveedores 65 260

Inventarios 70 000 Total corrientes 75 260

Total corrientes 130 000 Largo plazo 124 740

Total pasivo 200 000

Fijos

Terrenos 50 000 Patrimonio

Depreciables 150 000 Capital 60 000Depreciación acumulada ( 30 000) Utilidades retenidas 14 000

Total fijos netos 170 000 Utilidad del ejercicio 26 000

Total patrimonio 100 000

Total activos 300 000 Total pasivo y patrimonio 300 000

Nota: El inventario a enero 1/Año 1 era de 30 000


� � �

Cement Company, S.A.Estado de resultados

Periodo: año 1 (Cifras en millones de pesos)

Ingresos netos 435 000 100.00%

Menos costo de lo vendido 261 000 60.00%

Utilidad bruta 174 000 40.00%

Gastos de administración 28 000 6.43%

Gastos de ventas 16 000 3.68%

Utilidad operacional 130 000 29.89%

Gastos financieros (intereses) 90 000 20.69%

Utilidad antes de impuestos 40 000 9.20%

Impuestos (35%) 14 000 3.22%

Utilidad neta 26 000 5.98%

Nota: Los ingresos netos de contado fueron del orden de 160 000

Cuadro de razones

Razón Año -2 Año -1 Año 1 Estándar

Razón corriente 2.50 2.00 1.73 2.25

Prueba ácida 1.00 0.50 0.80 1.10

Rotación de cartera 5.00 4.50 5.50 6.00

Rotación de inventarios. 12.00 9.00 5.22 12.00

Rotación de cuentas por pagar 8.00 6.00 4.61 8.00

Rotación de activos 2.00 1.75 1.45 2.00

Pasivo total a activo total 0.35 0.40 0.67 0.50

Cobertura de intereses 2.50 2.00 1.44 2.00

Margen bruto 39.00% 40.00% 40.00% 40.00%

Margen neto 12.00% 11.00% 5.98% 10.00%

Rentabilidad del patrimonio 30.00% 28.10% 26.00% 29.00%

Rentabilidad del activo 24.00% 19.25% 8.67% 20.00%

Al ir explicando las diferentes razones o índices se tomará el caso anterior y se

aplicará lo enunciado en la teoría, para sacar las conclusiones generales del caso al finalizar.

unidad �

� � �

Para la venta, y utilizando la información anterior, se lleva a cabo un análisis de los

índices o razones de liquidez

capital de trabajo = (activo circulante –Pasivo circulante)

130 000 – 75 260 54 740capital neto de trabajo = =

Se puede decir que tiene un capital de trabajo de $54 740 con los cuales espera llevar

a cabo las operaciones del negocio en los meses siguientes.

razón corriente o índice de solvencia = activo corriente / Pasivo corriente

Esta razón debe ser mayor o igual a uno (1.00), si es menor significa que la empresa

no tiene la suficiente liquidez para cancelar sus obligaciones corrientes.

Solvencia Cement Company, S.A. (Año 1) = 130 000/75 260 = 1.73

Por cada peso que la empresa tiene que cancelar en el corto plazo, cuenta con $1.73

para respaldar el pago.

La empresa no tiene problemas de liquidez, sin embargo, comparando con los índices de

periodos anteriores la empresa presenta una disminución en el índice, pasó de 2.50 en 1997 a 2.00 en

1998 y continuó disminuyendo a 1.73 en 1999. Lo anterior significa que la empresa no está muy bien

en cuanto a la solvencia o liquidez que debe tener para cancelar las obligaciones de corto plazo.

Prueba ácida o índice de acidez = (activo corriente – inventarios) / Pasivo corriente

La prueba ácida de cement company , s.a. ( año ) ( – ) / . = =1 130 000 70 000 75 260 0 80

Por cada peso que la empresa tiene que cancelar en el corto plazo, cuenta con un

respaldo de fondos líquidos (no incluidos los fondos que pueden generar los inventarios) de

$0.80 para respaldar el pago.

Para la venta y utilizando la información anterior se lleva a cabo un análisis de los

índices o razones de actividad.

rotación de cuentas por cobrar=ventas a crédito del periodo / cuentas por cobrar promedio

Indique cuántas veces promedio giraron las cuentas por cobrar en el periodo.

Es de anotar que muchas veces no se tiene el dato de ventas a crédito, por lo cual se

puede tomar el total de ventas netas, teniendo en cuenta que los datos de comparación también

se calculen de la misma forma.

435 000 160 000 50 000 5 5rotación de cuentas por cobrar ( – ) / .= =

Significa que las cuentas por cobrar rotan 5.5 veces en el año. Según lo anterior la

empresa ha mejorado en 1999 en relación con los años anteriores.

Plazo promedio de cuentas por cobrar=días del periodo / rotación de cuentas por cobrar

= cuentas por cobrar promedio por días del periodo / ventas a crédito del periodo

el plazo promedio de cobros = 360 días / 5.5 = 65.45 días.


� � �

Lo anterior significa que a la empresa le toma 65.45 días hacer efectiva una cuenta por

cobrar. Al sector en promedio le toma sólo 60 días.

rotación de inventarios = costo de lo vendido / inventario promedio

{ } 261 000 / (70 000 30 000)/2 5.22rotación de inventarios = + =

Los inventarios rotan 5.22 veces en el año. Según lo anterior la empresa ha desmejorado

en 1999 con relación a los años anteriores.

actividad12

Para la misma empresa que se encuentra en análisis obtenga las siguientes razones y concluya

cómo se encuentra ésta.

Rotación de cuentas x pagar = compras a crédito del periodo / cuentas por pagar promedio

Plazo promedio de cuentas por pagar = días del periodo / rotación de cuentas por pagar

Rotación de activos (inversión) = ventas netas / Total activos

Rotación de activos corrientes = ventas netas / Total de activos corrientes

Rotación de activos fijos = ventas netas / Total de activos fijos

Margen bruto = Utilidad bruta / venta neta

Margen operacional = Utilidad operacional / venta neta = Uaii / venta neta

Margen de contribución = ventas netas – costos variables totales

Índice de contribución={(venta neta – costos variables) / venta neta } x 100%

= (margen de contribución / Precio de venta ) x 100%

Margen neto = Utilidad neta / venta neta

Potencial de utilidad = Utilidad neta / activo total

Rentabilidad del patrimonio = Utilidad neta / Patrimonio

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