Unidad I - Logica y Conjuntos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAENJAEN – CAJAMARCA – PERÚ

LEY DE CREACIÓN N° 29304 – RESOLUCIÓN DE FUNCIONAMIENTO N° 647-2011-CONAFU

ELEMENTOS DE LOGICA Y CONJUNTOSI. ELEMENTOS DE LOGICA:

Idea de lógica de proposiciones

La lógica de proposiciones es la parte más elemental de la lógica moderna o matemática. En esta primera parte de la lógica, las inferencias se construyen sin tomar en cuenta la estructura interna de las proposiciones. Sólo se examinan las relaciones lógicas existentes entre proposiciones consideradas como un todo, y de ellas solo se toma en cuenta su propiedad de ser verdadera o falsa. Por esta razón emplea sólo variables proposicionales.

Concepto de proposición

El lenguaje, en sentido estricto, es un sistema convencional de signos, es decir un conjunto de sonidos y grafías con sentido, sujeto a una determinada articulación interna. Sirve para afirmar o negar (oraciones aseverativas o declarativas); expresar deseos (oraciones desiderativas); formular preguntas (oraciones interrogativas); expresar sorpresa o admiración (oraciones exclamativas o admirativas) e indicar exhortación, mandato o prohibición (oraciones exhortativas o imperativas).

De todas estas clases de oraciones la lógica toma en cuenta las declarativas o aseverativas, las únicas que pueden constituir proposiciones, según cumplan o no determinados requisitos.

La proposición, es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa. Ejemplos:

a) Dolly fue la primera oveja clonada.b) El átomo es una molécula.

Expresiones lingüísticas que no son proposiciones

Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones. En efecto, las oraciones interrogativas, las exhortativas, las desiderativas y las exclamativas no son proposiciones porque ninguna de ellas afirma o niega algo y, por lo tanto, no son verdaderas ni falsas. Asimismo, las oraciones dubitativas, así como los juicios de valor –no obstante afirman algo- no constituyen ejemplos de proposiciones, pues su verdad o falsedad no puede ser establecida. Ejemplo:

c) El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. ⇛ Proposición (oración aseverativa - verdadera)d) ¿Qué es lógica? ⇛ No es proposición (oración interrogativa)e) Debemos honrar a nuestros héroes. ⇛ No es proposición (oración imperativa)f) Sea en hora buena. ⇛ No es proposición (oración desiderativa)g) ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería! ⇛ No es proposición (oración exclamativa)h) Quizá llueva mañana. ⇛ No es proposición (oración dubitativa)i) Valentín es bueno. ⇛ No es proposición (constituye un juicio de valor)

Finalmente, toda proposición es una oración aseverativa, pero no toda oración aseverativa es una proposición. Ejemplos:

j) El triángulo es inteligente.k) Eduardo es un número racional.l) x+3=5m) a es capital del Perú.

“j)”, “k)”, “l)” y “m)” son ejemplos de oraciones aseverativas, mas no de proposiciones. “j)” y “k)” son expresiones lingüísticas que tienen apariencia de proposiciones, pero que realmente no lo son porque no tienen sentido decir de ellas que son verdaderas o falsas. Son pseudoproposiciones, es decir falsas proposiciones. “l)” y “m)” son también ejemplos de oraciones aseverativas, pero no de proposiciones; no son verdaderas ni falsas, porque en ellas figuran una o más letras sin interpretar, son ejemplos de funciones proposicionales.

n) El principal sospechoso de los atentados del 11 de setiembre de 2001 en los Estados Unidoso) El actual presidente de la República del Perú.

“n)” y “o)” no son proposiciones; son descripciones definidas, es decir, frases especiales que pueden ser reemplazadas por nombres propios. “n)” puede ser sustituida por Osama Bin Laden y “o)” por Ollanta Humala.

p) “La realidad es duración” (Bergson).q) “La materia se mueve en un ciclo eterno” (Engels).

Matemática Básica Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera Página 1

Elementos de la Lógica y Conjuntos Matemática Básica

r) “la ciencia y la religión son, ambas, vías respetables para adquirir creencias respetables, no obstante tratarse de creencias que son buenas para propósitos muy diferentes” (R. Rorty)

“”p)”, “q)” y “r)” no son proposiciones, sino filosofemas, enunciados filosóficos. Ninguna de ellos pueden calificarse de verdadero o falso. Su verdad o falsedad no puede ser establecida lógica o empíricamente.

Para que una expresión lingüística sea proposición debe cumplir con los siguientes requisitos: a) ser oración, b) ser oración aseverativa, y c) ser o bien verdadera o bien falsa.

Clases de proposiciones

Estas pueden ser de dos clases: atómicas y moleculares.

Las proposiciones atómicas (simples o elementales) carecen de conjunciones gramaticales típicas o conectivas (“y”, “o”, “si… entonces”, “si y solo si”) o del adverbio de negación “no”. Ejemplos:

a) San Marcos es la universidad más antigua de América.b) La Lógica es distinta de la Matemática.

Las proposiciones atómicas de acuerdo a sus elementos constitutivos pueden clasificarse en predicativas y relacionales.

Las proposiciones predicativas constan de sujeto y predicado. Ejemplos:

c) El número 2 es par.d) El espacio es relativo.

Las proposiciones relacionales constan de dos o más sujetos vinculados entre sí. Ejemplo:

e) Silvia es hermana de Angélica.f) 5 es mayor que 3.

Las proposiciones moleculares (compuestas o coligativas) contienen alguna conjunción gramatical típica o conectiva o el adverbio negativo “no”. Ejemplos:

g) La Lógica y la Matemática son ciencias formales.h) El tiempo es absoluto o es relativo.i) Si dos ángulos adyacentes forman un par lineal, entonces son suplementarios.j) Este número es par si y solo sí es divisible por dos.k) El Inca Garcilaso de la Vega no es un cronista puneño.

Ejercicios Nº 01Cuestionario:

1. ¿Qué es una proposición?

2. ¿Qué requisitos debe cumplir una expresión lingüística para que sea considerada proposición?

3. ¿Qué expresiones lingüísticas no constituyen ejemplos de proposición?

Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera Página 2


4. ¿Por qué las oraciones interrogativas, imperativas, desiderativas, admirativas y las dubitativas no constituyen

ejemplos de proposición?

5. ¿Qué semejanzas y diferencias existen entre las pseudoproposiciones y las funciones proposicionales?

6. Los filosofemas o enunciados filosóficos, ¿son o no ejemplos de proposiciones? ¿por qué?

7. ¿Qué clases de proposiciones hay y cuáles son las diferencias que existen entre ellas?

8. ¿Cómo se clasifican las proposiciones atómicas?

9. ¿Qué diferencia existe entre proposición predicativa y proposición relacional?

Reconocimiento de proposiciones

10. Analice las siguientes expresiones lingüísticas e indique si son o no proposiciones:

a) La nueva constitución del Perú fue sancionada y promulgada por la Asamblea Constituyente de 1993.

b) El presidente de la República es el Jefe del Estado y personifica la nación.



c) ¿Quién es el pez gordo del narcotráfico?

d) Sea en hora buena.

e) ¡Por fin llego el verano!

f) Los números racionales son inteligentes.

g) Que tengan ustedes buen viaje.

h) Solo sé que nada sé.

i) Juan es bondadoso.

j) No engañes nunca a nadie.

k) Quizá existan miles de millones de universos.

l) Los organismos superiores tienen pulmones por que necesitan respirar.

m) “a” es la capital del Perú.

n) x+ y= y+x

o) El número 5 sonrió.

p) Los cuerpos sin apoyo caen aceleradamente en proporción directa al cuadrado del tiempo de caída.

q) “x” es un número par.

r) Los elementos son partículas que se encuentran alrededor del núcleo del átomo.

s) La semana tiene 7 días.

Clasificación de las proposiciones moleculares

Las proposiciones moleculares, según el tipo de conjunción que llevan, se clasifican en conjuntivas,, disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el adverbio de negación “no” se llaman negativas.

Las proposiciones conjuntivas llevan la conjunción copulativa “y”, o sus expresiones equivalentes como “e”, “pero”, “aunque”, “aun cuando”, “tanto…. Como…”, “sino”, “ni… ni…”, “sin embargo”, “además”, etc. Ejemplos:a) “El” es un artículo y “de” es una preposición.

b) El número dos es par, pero el número tres es impar.

c) Silvia es inteligente, sin embargo es floja.

d) Tanto el padre como el hijo son melómanos.

e) Manuel e Ismael son universitarios.

f) La materia ni se crea ni se destruye.

g) Iré a vender aunque llueva.

h) Ingresaré a la universidad aun cuando no apruebe el examen de admisión.

Una proposición conjuntiva es conmutativa, es decir se puede permutar el orden de sus proposiciones componentes sin alterar la conjunción. Esto es posible en la lógica, pero no en el lenguaje natural. En efecto, la proposición “Angélica se casó y tuvo diez hijos” no significa lo mismo que “Angélica tuvo diez hijos y se casó”. En el lenguaje natural, la primera sugiere una relación de casualidad, en cambio la segunda no. Sin embargo, desde el punto de vista lógico, las dos proposiciones conjuntivas son equivalentes.



Las pseudoproposiciones conjuntivas son proposiciones que se presentan como si fuesen proposiciones conjuntivas, pero que en realidad son proposiciones atómicas relacionales. La “y”, de los ejemplos, tienen carácter de termino relacional y no propiamente de conjunción copulativa o conectiva. Ejemplos:

a) Sansón y Dalila son hermanos.b) Sansón y Dalila obsequian una bicicleta a Cleopatra.

Las proposiciones disyuntivas llevan la conjunción disyuntiva “o”, o sus expresiones equivalentes como “u”, “ya… ya”, “bien… bien”, “sea… sea”, “y/o”, etc.

En español la disyunción “o” tiene dos sentidos: uno inclusivo o débil y otro exclusivo o fuerte. La proposición disyuntiva inclusiva admite que las dos alternativas se den conjuntamente. La proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos alternativas se den conjuntamente. Ejemplo:

a) Pedro es tío o es sobrino.b) Elena está viva o está muerta.c) Roberto es profesor o es estudiante.d) Silvia es soltera o es casada.

“a)” y “c)” son proposiciones disyuntivas inclusivas o débiles porque en ellas no se excluye la posibilidad de que Pedro pueda ser al mismo tiempo tío y sobrino o de Roberto sea profesor y estudiante a la vez; en cambio “b)” y “d)” son proposiciones disyuntivas exclusivas o fuertes porque en ellas se excluye la posibilidad de que Elena pueda estar viva y muerta al mismo tiempo y que Silvia sea soltera y casada a la vez.

En español no existe un signo especial para la disyunción inclusiva y otro para la exclusiva, es decir, en ambos casos se usa la misma partícula “o”; mientras que en lógica si existen signos especiales para distinguirlas, como veremos más adelante.

Las proposiciones condicionales llevan la conjunción condicional compuesta “si… entonces”, o sus expresiones equivalentes como “si”, “siempre que”, “con tal que”, “puesto que”, “ya que”, “porque”, “cuando”, “de”, “a menos que”, “a no ser que”, “salvo que”, “sólo si”, “solamente si”. Ejemplos:a) Si es joven, entonces es rebelde.b) Es herbívoro si se alimenta de plantas.c) El número cuatro es par puesto que es divisible por dos.d) Se llama isósceles siempre que el triángulo tenga dos lados iguales.e) Cuando venga Raúl jugaremos ajedrez.f) De salir el sol iremos a la playa.g) La física relativista fue posible porque existió la mecánica clásica.h) Nuestra moneda se devalúa solamente si su valor disminuye.

Toda proposición condicional consta de dos elementos: antecedente y consecuente. La proposición que sigue a la palabra “si” se llama antecedente y la que sigue a la palabra “entonces” se denomina consecuente.

Toda proposición implicativa es condicional, pero no toda proposición condicional es implicativa. En efecto, sólo las proposiciones condicionales que son tautologías son implicativas.

Finalmente en toda proposición condicional el consecuente es condición necesaria del antecedente y el antecedente es condición suficiente del consecuente. Por ejemplo, en la proposición condicional “si los cuerpos se calientan, entonces se dilatan”, el consecuente “se dilatan” es condición necesaria del antecedente “se calientan” y el antecedente “se calientan” es condición suficiente del consecuente “se dilatan”.

Cuando en un párrafo, se encuentran los términos: “porque”, “puesto que”, “ya que”, “siempre que”, “cuando”, “sí”, “cada vez que”, “dado que”; estos términos, también, son conectivos condicionales. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos está el ANTECEDENTE. Por ejemplo: “Roberto aprobará el curso puesto que dio buen examen”. El antecedente es “Roberto dio buen examen”.

Las proposiciones bicondicionales llevan la conjunción compuesta “… si y sólo si… ”, o sus expresiones equivalentes como “cuando y sólo cuando”, “si…, entonces y sólo entonces…”, etc. Ejemplos:a) Es fundamental si y sólo si es talibán.b) Habrá cosecha cuando y sólo cuando llueva.c) Si apruebo el examen de admisión, entonces y sólo entonces ingresaré a la universidad.

Las proposiciones bicondicionales se caracterizan porque establecen dos condicionales, pero de sentido inverso. Por ejemplo, la proposición bicondicional “el triángulo es equilátero si y sólo si tiene tres lados iguales” establece dos condicionales de sentido inverso: “si es triángulo equilátero, entonces tiene tres lados iguales” y “si el triángulo tiene tres lados iguales, entonces es equilátero”.



En toda proposición bicondicional el antecedente es condición necesaria y suficiente del consecuente y el consecuente es condición necesaria y suficiente del antecedente.

Las proposiciones negativas llevan el adverbio de negación “no”, o sus expresiones equivalentes como “nunca”, “jamás”, “tampoco”, “no es verdad que”, “no es cierto que”, “es falso que”, “le falta”, “carece de”, “sin”, etc. Ejemplos:a) Nunca he oído esa música.b) Jamás he visto al vecino.c) Es imposible que el átomo sea molécula.d) Es falso que el juez sea fiscal.e) Al papá de Nelly le falta carácter.

Ejercicios Nº 02Clases de proposiciones

1. Diga si las siguientes proposiciones son atómicas o moleculares:

a) Osama y Omar son concuñados.

b) Toda inferencia inductiva es una inferencia en términos de probabilidad.

c) Hace unos años se consideraba al computador como una gran “calculadora”, pero hoy se habla de sus

logros intelectuales.

d) El oxígeno no produce oxido en presencia de metaloides.

e) Tanto la suma como la multiplicación de números naturales son asociativas.

f) Los peces son acuáticos puesto que respiran por branquias.

g) La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180o.

h) Gloria e Irene son contemporáneas.

i) El abuelo y la abuelita obsequiaron una muñeca a la nieta.

j) Hace aproximadamente 1 750 00 años el Homo Habilis desapareció para ser reemplazado por un individuo

más fornido, conocido como Homo Erectus.

Clasificación de las proposiciones moleculares

2. Diga si las siguientes proposiciones moleculares son conjuntivas, disyuntivas inclusivas, disyuntivas exclusivas,

condicionales, bicondicionales o negativas:

a) Si el ciclotrón bombardea el átomo, entonces acelera la velocidad de los protones.

b) Todos los cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

c) Un ejemplo típico de la falacia del círculo vicioso es la famosa prueba del quinto postulado de Euclides o

postulado de las paralelas.

d) El 20% de 150 es 30 ó 50.

e) Dos ángulos son suplementarios siempre que formen un par lineal.

f) La huelga continua, pues no hay solución.

g) Si consigo una beca, entonces y sólo entonces viajaré al extranjero.



h) Si se calienta un cuerpo, entonces se dilata; y si se enfría, entonces se contrae.

i) Cuando apruebe el examen de admisión ingresaré a la universidad.

j) David no es limeño ni loretano.

El lenguaje formalizado de la lógica proposicional

Existen dos tipos fundamentales de lenguajes: el natural y el formalizado. El lenguaje natural es el lenguaje usado en la vida familiar, en la vida cotidiana. Tiene una amplia gama de expresiva, es decir, sirve para comunicar expresiones, formular órdenes, expresar deseos, sentimientos, etc. Pertenecen a este lenguaje, por ejemplo, el español, el inglés, el francés, el alemán, entre otros. El formalizado es el lenguaje usado en la actividad científica. Sólo sirve para formular conocimientos. Es un lenguaje especializado. Pertenecen a este lenguaje, por ejemplo, el lenguaje lógico y el matemático.

Variables proposicionales y operadores lógicos

El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la forma o estructura de las proposiciones e inferencias. El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos: variables proposicionales y operadores o conectores lógicos.

Las variables proposicionales representan a cualquier proposición atómica. Son letras minúsculas de alfabeto castellano “p”, “q”, “r”, “s”, etc. Los operadores lógicos además de enlazar o conectar proposiciones establecen determinadas operaciones entre ellas.

Operadores o conectivos lógicos:

Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes conectivos lógicos tenemos: La conjunción, disyunción inclusiva, la disyunción exclusiva, implicación, bicondicional, negación, contradicción, esto mostraremos en el siguiente cuadro:

Una fórmula lógica, es decir, una formula bien formada (FBF) es una cadena de símbolos construida según reglas establecidas por sintaxis lógica. Puede ser de dos tipos: atómica y molecular. Una formula atómica es aquella que no contiene entre sus símbolos ningún operador y puede ser representada por una variable proposicional, mientras que una formula molecular contiene entre sus signos, al menos, un operador.

Formalización de proposiciones

Formalizar una proposición significa representarla simbólicamente. No es otra cosa que la que resulta de sustituir a toda proposición atómica distinta por una variable proposicional también distinta, a toda conjunción gramatical por el operador lógico correspondiente y el adverbio “no” por el operador negativo. Ejemplo:

a) Kant es filósofo, pero Frege es lógico.Forma lógica: Kant es filósofo y Frege es lógico.Fórmula:

p :Kant es filósofoq :Frege es lógicop∧q

b) No iremos al teatro a menos que venga RaúlForma lógica: Si Raúl bien, entonces iremos al teatro.Fórmula:

p :Raúlvieneq : iremos al teatro


Nombre Expresión Símbolo LógicoConjunción y ΛDisyunción inclusiva o débil o VDisyunción exclusiva o fuerte, contradicción

o… , o … ∆

Condicional Si, … entonces, … ⟹Bicondicional o doble implicación … sí y sólo sí … ⟺

Negación no


p⟹q

c) Einstein no es filósofo, sino físicoForma lógica: Einstein es físico y Einstein no es filósofoFórmula:

p :Einsteines fisicoq :Einstein es filósofop∧ q


1. Señale la diferencia que existe entre lenguaje natural y lenguaje formalizado.

2. ¿Por qué el lenguaje de la lógica se llama formalizado?

3. ¿De qué tipos de símbolos consta el lenguaje formalizado de la lógica?

4. ¿Qué diferencia existe entre variable proposicional y operador lógico?

5. ¿Qué es una fórmula lógica?

6. ¿Qué significa formalizar una proposición?

Formalización de proposiciones

7. Formalice las siguientes proposiciones: en cada caso halle su forma lógica y escriba la fórmula correspondiente.



Definición tabular de los operadores

LA CONJUNCION: la conjunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “y” que se simboliza p Λ q, donde el principio lógico es “la conjunción p Λ q es verdadero V, sólo cuando p es verdadero y q es verdadero, en todos los demás casos es falso F”. Su tabla de verdad es:

Ejemplo:

- “La lógica es una ciencia formal y la física es una ciencia factual”

p∧q⟺ {p :Lalógicaes unaciencia formalq :La físicaes unaciencia factual

LA DISYUNCION INCLUSIVA: la disyunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “o” que se simboliza p V q en el sentido inclusivo y/o, donde el principio lógico es “la disyunción p V q es falsa F, únicamente en el caso en que p y q son falsas, en cualquier otro caso es verdadera V”. Su tabla de verdad es:

Ejemplo:

- De dos idiomas: inglés y francés “Juan habla por lo menos un idioma”


p q p Λ q

V V V

V F F

F V F

F F F

p q p V q

V V V

V F V

F V V

F F F


p∨q⟺ {p :Juanhabla inglésq : Juanhabla frncés

LA DISYUNCION EXCLUSIVA: la disyunción EXCLUSIVA o FUERTE de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “o” que se simboliza p Δ q (se lee: “o p, o q”, “p o q, pero no ambas”), donde el principio lógico es “la disyunción fuerte p Δ q es falsa F, en el caso que p y q tengan valores de verdad opuestos y es falsa F si ambas tienen idénticos valores”. Su tabla de verdad es:

p△ q≅∼( p↔q)

Ejemplos:

- De dos idiomas: inglés y francés “Juan habla sólo un idioma”

p△ q⟺{p :Juanhabla inglésq : Juanhabla frncés

LA CONDICIONAL (IMPLICATIVA): la implicación o condicional de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “si,…, entonces,…”, o también “sólo sí” y se simboliza p → q, donde el principio lógico es “la proposición implicativa es falso F, únicamente en el caso que la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa, siendo verdadera en todos los demás casos”. Su tabla de verdad es:

Ejemplos:

- “Iré de viaje y me divertiré, si me saco la lotería”

r→( p∧q)⟺ { p : iré deviajeq :medivertiré

r :mesacolalotería

- “Pedro compra un libro sólo cuando tiene dinero”

p→q⟺ {p :Pedrocompraun libroq :Pedro tienedinero

- “Se apagarán las luces porque se interrumpió el fluido eléctrico”

p→q⟺ {p :se interrumpió el fluido eléctricoq :se apagaránlas luces

- “Roberto aprobará el curso puesto que dio buen examen”

p→q⟺ { p:R oberto dióbuen examenq :Roberto aprobaráel curso

LA BICONDICIONAL (EQUIVALENTE O IMPLICACION): la doble implicación o bicondicional de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta mediante el conectivo lógico “si y sólo sí”, y se simboliza p ↔ q, donde el principio lógico es “la proposición bicondicional es Verdadera V, en el caso que la proposiciones p y q son verdadera o son falsas, siendo falsa en todos los demás casos”. Su tabla de verdad es:


p q p Δ q

V V F

V F V

F V V

F F F

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V


p↔q≅ ( p→q )∧ (q→p )

La bicondicional también se denota por “p ≡ q” se lee: “p es equivalente a q”. Ejemplos:

- “Enrique ingresará a la universidad si y sólo si aprueba el examen de admisión”

p↔q⟺ { p :Enrique ingresará a launiversidadq :Enrique aprueba el examendeadmisión

- “a2 = 4 sí y sólo sí, a = 2 V a = - 2”

p↔(q∨ r)⟺ { p :a2=4q :a=2r : a=−2

- “x2 < 4 sí y sólo sí - 2 < x < 2”

p↔( p∧q)⟺ { p : x2<4q : x>−2r : x<2

LA NEGACION: dada una proposición p, llamaremos la negación de p, a otra proposición que denotaremos por ~p, y que se le asigna el valor opuesto a p, y su tabla de verdad es:

El principio lógico de la negación es: “si una proposición es verdadera V, su negación es falsa F” y recíprocamente”, si dicha proposición es falsa F, su negación es verdadera V”.

Ejemplos:

- “2 es primo” V su negación es: “2 no es primo” F

- “5 es par” F su negación es: “no es cierto que 5 es par” F

Uso de los signos de agrupación:

En un párrafo que se presentan proposiciones simples, conectivos lógicos, comas y puntos se requiere, para su representación simbólica, el buen uso de los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves).

Los signos de agrupación se usan para indicar la jerarquía de los conectivos lógicos y así evitar las ambigüedades en las FORMULAS.

Cuando no se usan correctamente los signos de agrupación las fórmulas carecen de sentido. Ejemplo:

- Si me aumentan el sueldo y ahorro, viajaré al Cuzco.La simbolización es:

( p∧q)→r⟺{p :meaumentanel sueldoq :ahorro

r :viajaré alCuzco

- O Cubilla juega si le contrata el Alianza Lima, o habrá protesta si no juega.La simbolización es:

(q→ p )∆(∼ p→r )⟺ { p :Cubillas juegaq :≤contratael AlianzaLima

r : habrá protesta


p ~p

V F

F V


- Las personas nadarán en el mar si la municipalidad da el permiso, sí y sólo sí, el clima no está frío.La simbolización es:

(q→ p )↔∼r⟺ {p : las personas nadaránenelmarq : lamunicipalidad dael permiso

r :el clima está fríoUna finalidad de los signos de agrupación es darle mayor a menor jerarquía a los conectivos. En general, “~” es la conectiva de menor jerarquía; le siguen el “Λ”,”V” que son de igual jerarquía; luego “→” y por último “↔” que es el de mayor jerarquía. Sin embargo, cada conectivo puede ser de mayor jerarquía si así lo indica el signo de colección. Por ejemplo:

- “No es el caso de que 9 es múltiplo de 3 o que 2 x 5 = 15”

( p∨q )⟺ {p :9esmúltiplo de3q :2 x5=15

Nótese que aquí la negación afecta a las variables dentro del paréntesis

- “Si el testigo no dice la verdad, entonces Juan es inocente o culpable”

∼ p→ (q∨r )⟺ {p :el testigo dice la verdadq : Juanes inocenter :Juan esculpable

Aquí, el símbolo de mayor jerarquía es “→”. Obsérvese que “~” sólo afecta a la variable “p” y que “V” está limitado por el paréntesis.

Definición tabular de fórmulas moleculares complejas (Esquemas moleculares)

Las fórmulas moleculares complejas definidas anteriormente a través de la tabla de verdad son elementales en la medida que contienen un solo operador y dos variables. En adelante trabajaremos con fórmulas moleculares complejas, es decir, fórmulas que contienen dos o más operadores distintos o dos o más veces el mismo operador. Para definir tabularmente fórmulas moleculares complejas se deben observar los siguientes pasos

Paso 1: dada la fórmula molecular compleja se establece la jerarquía entre sus operadores a través de los signos de agrupación:

Paso 2: se construye la tabla colocando las columnas que corresponde a las de los operadores de menor jerarquía aplicando sus respectivas definiciones:

Paso 3: se construye, finalmente, la columna principal que corresponde a la del operador de mayor jerarquía aplicando la definición correspondiente a la tabla de los operadores que la siguen en jerarquía:

Otro ejemplo: Definir tabularmente la fórmula:



Clasificación de las fórmulas moleculares por su columna principal

Las tablas de verdad nos permiten clasificar a las fórmulas moleculares, atendiendo a su columna principal, en tautológicas, consistentes y contradictorias.

Las fórmulas moleculares tautológicas (FMT), llamadas también leyes lógicas, son aquellas en que los valores de su columna principal son todos verdaderos. Ejemplo:

Las fórmulas moleculares consistentes (FMC), son aquellas en que algunos de los valores de su columna principal son verdaderos y algunos son falsos. Ejemplo:

Las fórmulas moleculares contradictorias (FMI), llamadas también fórmulas inconsistentes, son aquellas en que los valores de su columna principal son todos falsos. Ejemplo:


1. ¿Cómo se calcula el número de arreglos posibles de los valores veritativos de las variables?

2. ¿Cuándo una fórmula conjuntiva es verdadera?

3. ¿En qué caso es falsa una fórmula disyuntiva inclusiva?



4. ¿En qué caso es verdadera la fórmula disyuntiva exclusiva?

5. Una fórmula condicional. ¿Cuándo es falsa?

6. ¿en qué caso una fórmula bicondicional es verdadera?

7. Una fórmula negativa, ¿cuándo es verdadera y cuándo es falsa?

8. ¿A qué se denominan fórmulas moleculares complejas?

9. ¿Cómo se clasifican las formulas moleculares atendiendo a su columna principal?

10. ¿Qué características presentan la columna principal de cada una de las fórmulas moleculares posibles?

Formulas moleculares y tablas de verdad

11. Mediante la tabla de verdad determine si las siguientes fórmulas son tautológicas, consistentes o

contradictorias:

a) [ p→ ( p∧ p ) ]

b) ( p↔p )→ ( p∨ p )

c) ( p∧ p )↔ [ p∨ ( q∨ q ) ]

d) ( p→q )∨∼ (∼q→∼ p )


Notación:

A → B: se lee “A” implica a “B”

A →* B: se lee “A” no implica a “B”


e) ∼ [ ( p↔q )↔∼ (∼q∧q ) ]

f) [ (∼ p→∼ q )∧ (∼q→∼r ) ]→ (∼ p→∼ r )

g) ∼ { [( p→q )∧ (q→r ) ]→ (∼r→∼ p ) }

Resolver:

12. Dadas las proposiciones: p: Marcos es comerciante, q: Marcos es un próspero industrial y r: Marcos es

ingeniero. Simbolizar el enunciado: “Si no es el caso que Marcos sea un comerciante y un próspero industrial,

entonces es ingeniero o no es comerciante”

13. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

(1) (3 + 5 = 8) v (5 – 3 =4)

(2) (5 – 3 = 8) → (1 – 7 = 6)

(3) (3 + 8 = 11) Λ (7 – 4 > 1)

(4) (4 + 6 = 9) ↔ (5 – 2 = 4)

14. Dadas las proposiciones q: “4 es un número impar”, p y r cualesquiera tal que ~[(r v q) → (r → p)] es

verdadera; hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares:

A = r → (~p v ~q); B= [r ↔ (p Λ q)] ↔ (q Λ ~p); C= (r v ~p) Λ (q v p)

15. De la falsedad de la proposición: (p → ~q) v (~r → s) se deduce que el valor de verdad de los esquemas

moleculares: A=(~p Λ ~q) v (~q); B= [(~r v q)] ↔ [(~q v r) Λ s]; C= (p →q) → [(p v q) Λ ~q] son respectivamente:

16. Definamos p Ө q como una operación verdadera si p es falsa y q verdadera, y como falsa en todos los casos

restantes. Según esto, si r: “Juan es médico” y s: “Juan es deportista”; hallar la traducción de (~r) Ө s.

Implicación de fórmulas

Una fórmula “A” implica a “B” si y sólo si unidades en forma condicional, “A” como antecedente y “B” como consecuente, su columna principal resulta tautológica; si su columna es consistente o contradictoria, se dice que “A” no implica a “B”.

Ejemplo:

Si las columnas de las siguientes fórmulas son:

Determine, mediante la tabla de verdad, si:

1) “La conjunción de las negaciones de A y C implican a la negación de la conjunción de las negaciones de B y D”Procedimiento:- Se expresa simbólicamente el enunciado.


Notación:

A ≡ B: se lee “A” es equivalente a “B”

A ≢ B: se lee “A” no es equivalente a “B”


- Se evalúa la formula mediante la tabla de verdad.- Si su columna principal es tautológica se dice que “A” implica a “B”, si es consistente o contradictoria, se

dice que “A” no implica a “B”.(∼ A∧∼C )→∼ (∼B∧∼D )

2) “El bicondicional de la negación de A y la disyunción débil de C y D implica a la negación de la disyunción débil de B y la negación de A”

Equivalencia de fórmulas

Dos fórmulas “A” y “B” son equivalentes si y sólo si sus columnas principales son iguales, si sus columnas son diferentes, se dice que “A” y “B” no son equivalentes.

Ejemplo:

3) “La negación de la conjunción de las negaciones de C y D es equivalente a la conjunción de las negaciones del condicional de A y B y la disyunción débil de C y B”

∼ (∼C∧∼D )≢ [∼ (A→B )∧∼ (C∨B ) ]

La inferencia lógica

La inferencia es el proceso de pasar de un conjunto de premisas a una conclusión. La inferencia es una condicional de la forma: ( p1∧ p2∧ p3∧…∧ pn)→Q, donde p1 , p2 , p3 ,…, pn, son llamadas “premisas” y originan como consecuencia otra proposición “Q” llamada “conclusión”.

El resultado de la implicación puede ser:

- Si la implicación es una tautología (V), entonces se tiene una inferencia válida (o argumento válido).- Si la implicación es FALSO, entonces se tiene la llamada FALASIA.Análisis de inferencia a través de la tabla de verdad

La tabla de verdad es un algoritmo o procedimiento decisorio porque a través de la aplicación mecánica de un conjunto finito de reglas permite decidir la validez o invalidez de las inferencias. En efecto, una inferencia es válida, mediante la tabla de verdad, si y sólo si al ser formalizada y evaluada su fórmula condicional es una tautología; es invalida si la fórmula condicional es consistente o contradictoria.

Procedimiento:

Paso 1: se ordena la inferencia, pero en el caso de que su forma lógica haya sido alterada en el lenguaje natural, observando el esquema: premisas-conclusión.

Paso 2: se explicita su forma lógica.



Paso 3: se halla su fórmula, expresado simbólicamente sus premisas y conclusión.

Paso 4: se construye una fórmula condicional que tenga como antecedente a las premisas unidas por el operador conjuntivo y como consecuente a la conclusión.

Paso 5: se evalúa la fórmula condicional mediante la tabla de verdad. Si efectuada la evaluación la fórmula condicional es tautológica, entonces la inferencia es válida; si la fórmula es consistente o contradictoria, entonces no es válida.

Ejemplo:



Análisis de inferencia a través de la tabla de verdad

Cuando el número de variables pasa de tres se toma engorroso el método de la tabla de verdad. Para superar este inconveniente, se usa el método abreviado o de invalidez, que resulta mucho más corto si bien se encuentra estrechamente vinculado con el de la tabla de verdad.

El procedimiento es inverso pues en tanto que en la tabla de verdad se comienza por las variables y por el operador de menor jerarquía avanzando hacia el de mayor jerarquía cuyo valor queda determinado por la columna principal o cifra tabular, en cambio en el método abreviado se comienza por la cifra tabular y por el operador de mayor jerarquía y se avanza hacia el de menor jerarquía terminando en las variables.

El MÉTODO ABREVIADO, consistes en analizar la única posibilidad de ser FALSO la implicación: p→qV F⏟

F

Como podemos apreciar, la implicación es F sólo cuando el antecedente es Verdadero y el consecuente es Falso.

El análisis que haremos es a la inferencia ( p1∧ p2∧ p3∧…∧ pn)→Q .

Pasos a seguir:

1) Asignar el valor V (verdadero) a cada una de las premisas pi y de F (falso) a la conclusión.Como el antecedente es una conjunción de “n” premisas y el antecedente es V, entonces cada premisa pi necesariamente será verdadera.

Así tendremos:

F( p1∧ p2∧ p3∧…∧ pn)⏟→Q⏟

FV

2) Deducir el valor de cada una de las variables proposicionales, teniendo en cuenta las reglas para: ∧ ,∨ ,→,↔,△ ,∼ que se pueden presentar en cada premisa.

LA DECISION

1) Si cada una de las variables proposicionales tiene UN SOLO VALOR. Entonces la inferencia no es válida. Es decir no hay implicación puesto q la conjunción de premisas es V y la conclusión es F.

2) Si una variable proposicional llega a tener DOS VALORES A LA VEZ (V y F) , entonces quedará demostrado que no es posible que la conjunción de premisas son V y la concusión F. por tanto, hay implicación y la inferencia es válida

Ejemplo 1: establecer si es válida la inferencia la inferencia:

[ ( p↔ q )∧ (q∨ r )∧∼r ]→ q

Solución: empezamos escribiendo el esquema de la inferencia en la forma:

[ (p↔ q )⏟V

∧ (q∨r )⏟V

∧∼r⏟V ]→ q⏟

F

Analicemos:



1) Asignar F a la conclusión: q⏟F

Como la conclusión es una negación, entonces por la regla de la negación obtendremos: F para q, luego q es V.

2) Asignar V a cada premisa. Teniendo en cuenta los valores obtenidos en la conclusión se van analizando qué valores tendrán las variables en cada premisa.

Analizamos cada premisa:

p1:p↔ qF F⏟V

. Por lo deducido en la conclusión, ya tenemos que q es V entonces q es F. Como la Bicondicional

es V, entonces p es F

p3 :∼rV

. En la tercera premisa encontramos que r es V entonces el valor de verdad de r es F. estos dos

valores encontrados satisfacen el valor de verdad de la segunda premisa.

3) Como cada una de las variables cumple una sola función veritativa, decimos que la inferencia no es válida. Esto es, se ha demostrado que la conjunción de premisas es verdadera y la conclusión falsa

Ejemplo 2: establecer si es válida la inferencia la inferencia:

[ ( p→q )∧ (∼ p△∼r )∧ (r↔q ) ]→ (p→r )

Solución: empezamos escribiendo el esquema de la inferencia en la forma:

[ (p→q )⏟V

∧ (∼ p△∼r )⏟V

∧ (r↔q )⏟V ]→ ( p→r )⏟

F

Analicemos:

1) Asignar F a la conclusión: ( p→r )⏟

F

Como la conclusión es una implicación: F para ( p→r ), luego p es V y r es F.

2) Trasladamos estos valores en la primera y tercera premisa.

Analizamos cada premisa:

p1:p→qV V⏟

V

. Por lo deducido en la conclusión, ya tenemos que p es V entonces q es V.

p3 :r↔qF F⏟V

. En la tercera premisa encontramos que q es F puesto que r es F.

3) Como la variable q tiene los valores de V y F a la vez, concluimos afirmando que la inferencia es válida.

Ejercicios Nº 05Implicación de fórmulas:

1. Si



a) La conjunción de las negaciones de A y B implica a la negación del bicondicional de C y D.b) La negación de la conjunción y la disyunción débil de A y D implica a la negación del

condicional de A y B.c) El bicondicional de las negaciones de B y D implica a la negación de la disyunción fuerte de

la negación de A y la conjunción de las negaciones de C y B.d) La negación de la conjunción de A y el bicondicional de C y D implica a la disyunción fuerte

de la negación de B y el condicional de A y D.

Equivalencia de fórmulas:

2. Si:

e) la negación de la disyunción fuerte de las negaciones de C y D es equivalente a la negación de la conjunción de las negaciones de A y B.

a) la disyunción débil de las negaciones de A y B es equivalente a la negación del bicondicional de las negaciones de C y D.

b) la conjunción de las negaciones de A y C es equivalente a la negación de la disyunción débil de las negaciones de B y D.

c) la negación de la disyunción débil de C y la disyunción débil de A y D es equivalente a la negación del condicional de las negaciones de A y B.

Análisis de inferencia a través de la tabla de verdad

a)

b)

c)

Análisis de inferencia a través del método abreviado

d)

e)



f)

Determinar si son inferencias lógicas o falacias:

g) Si Maradona es argentino entonces es aficionado al fútbol. Pero, Maradona no es aficionado al fútbol. Por lo tanto, no es argentino.

[ ( p→q ) ⋀ (∼q ) ]→(∼ p){ p :Maradona esargentinoq :Maradonaes aficionado al fútbol

h) Como es hora de clases, se concluye que en el aula hay profesores y alumnos, dado que, si es hora de clases, en el aula hay profesores, y hay alumnos si en el aula hay profesores.

[ p∧ ( p→q ) ⋀ (q→r ) ]→(q∧ r){ p :es horade claseq :enel aula hay profesoresr :enel aula hay alumnos

i) Si Juan participa en un comité electoral de la Universidad entonces los estudiantes se enojarán con él, y si no participa en un comité electoral de la Universidad entonces las autoridades universitarias se enojarán con él. Pero Juan participará en un comité electoral de la Universidad o no participará. Por lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se enojarán con él.

[ ( p→q ) ⋀ (∼ p→r )∧( p∨∼ p)]→(q∨r ){ p: Juan partic ipa enuncomité electoralq : los estudiantes se enojaran conél

r : las autoridadesuniversitarias seenojaran con Juan

j) Si Anito decía la verdad, entonces Sócrates corrompía a la juventud y si el Tribunal lo condenó equivocadamente, entonces Anito no es el culpable. Pero Sócrates no corrompía a la juventud o Anito es el culpable. Por lo tanto, Anito no decía la verdad o el Tribunal no condenó a Sócrates equivocadamente.

[ ( p→q ) ⋀ (r→∼ s )∧(∼q∨ s) ]→(∼ p∨∼r ){ p :Anito decía laverdadq : Sócratescorrompíaa la juventud

r :el tribunal locondeno equivocadamentea Sócratess . Anito es el culpable

Leyes de la lógica proposicional

Las leyes lógicas son tautologías o formas lógicamente verdaderas. Son fórmulas verdaderas independientemente de los valores que asumen sus variables proposicionales componentes. Su estudio es tarea fundamental de la lógica de proposiciones, puesto que ellas constituyen un poderoso instrumento para el análisis de las inferencias. En efecto, una inferencia es válida si y sólo si tiene la forma de una ley lógica; en cambio, si una inferencia tiene la



apariencia de ser lógicamente válida, pero que al ser formalizada su estructura lógica no es la de una ley lógica o tautologías entonces se dice que es una inferencia no válida o falacia.

Los tres principios lógicos fundamentales conocidos por los filósofos y lógicos tradicionales fueron: el de identidad, el de no-contradicción y el del tercio excluido.

Los tres principios lógicos clásicos

1. Ley de identidad

{p⟶ pp⟷ p

“una proposición sólo son idénticos así mismo”

2. Ley no contradicción

∼ ( p∧∼ p ) “una proposición no puede ser verdadero y falso a la vez”

3. Ley del tercio excluido

p∨∼ p “una proposición es verdadero o es falso no hay una tercera posibilidad”

Equivalencias notables

1. Ley de la doble negación

∼(∼ p)≡ p “la negación de la negación es una afirmación”

2. Ley de la Idempotencia

a¿ p∧ p≡ pb¿ p∨ p≡ p

3. Leyes Conmutativas

a¿ p∧q≡q∧ pb¿ p∨q≡q∨ pc ¿ p⟷q≡q⟷ p

4. Leyes Asociativas

a¿ p∧ (q∧ r )≡ ( p∧q )∧ r b¿ p∨(q∨ r )≡( p∨q)∨r

c ¿ p⟷ (q⟷ r )≡( p⟷q)⟷ p

5. Leyes Distributivas

a¿ p∧ (q∨ r )≡ ( p∧q )∨( p∧r )b¿ p∨(q∧ r )≡( p∨q)∧( p∨ r )

c ¿ p→ (q∧ r )≡ (p→q )∧ (p→r )d ¿ p→ (q∨r )≡ (p→q )∨ (p→r )

6. Leyes De Morgan

a¿∼ ( p∧q )≡∼ p∨∼qb¿∼ ( p∨q )≡∼ p∧∼q

7. Leyes del Condicional

a¿ p→q≡∼ p∨q b¿∼ (p→q )≡ p∧∼ q

8. Leyes del Bicondicional

a¿ p⟷q≡ (p→q )∧(q→ p)b¿ p⟷q≡ (p∧q )∨(∼ p∧∼q)≡∼ ( p△ q )

9. Leyes de la Absorción

a¿ p∧ ( p∨q )≡ pb¿ p∧ (∼ p∨q )≡ p∧q

c ¿ p∨ (p∧q )≡ pd ¿ p∨ (∼ p∧q )≡ p∨q

10. Leyes de Transposición

a¿ p→q≡∼q→∼ pb¿ p⟷q≡∼q⟷∼ p

11. Leyes de Exportación

a¿ ( p∧q )→r≡ p→(q→r )

b¿ ( p1∧ p2∧…∧ pn )→r≡( p1∧ p2∧…∧ pn−1)→( pn→r )



12. Formas normales para la conjunción y disyunción

F.N. Conjuntiva

a¿T∧T ≡T b¿T∧ p≡ pc ¿C∧ p≡C

F.N. Disyuntiva

a¿C∨C≡C b¿C∨ p≡ pc ¿T ∨ p≡T

(T: Tautología, C: Contradicción, p: Esquema molecular cualquiera)

13. Elementos neutros para la Contradicción y la Tautología

a¿ p∧C≡Cb¿C∨T ≡T c¿ p∨T ≡T

Observación: estas leyes son muy usadas para simplificar los problemas, puesto que es válido reemplazar una proposición por su equivalente sin alterar el resultado.

Implicaciones notables:

Las implicaciones notables se pueden escribir de dos formas: en forma horizontal o en forma vertical.

a) Forma Horizontal:Cuando la conjunción de premisas que implica a la conclusión se escriben horizontalmente en forma explícita usando los conectivos: ¿ ,→

( p1∧p2∧. ..∧pn)→q

b) Forma Vertical: (Forma Clásica): en este caso no se escriben en forma explícita los conectivos: ¿ ,→

. La conjunción de premisas se escriben verticalmente una después de otra y al término de la última premisa se escribe una raya horizontal y tres puntos para luego escribir la conclusión. El razonamiento es: “ si ocurren

( p1∧p2∧. ..∧pn); por lo tanto ocurre q”.

Principales reglas y leyes de la lógica proposicional



Ejemplos:

1. “Si 2 es divisor de 4, entonces 2 es divisor de 8”“2 es divisor de 4” Por lo tanto: “2 es divisor de 8”

2. “Si Juan estudió entonces aprobó Matemática”“Juan no aprobó Matemática”“Luego Juan no estudió”

3. “x es número par o múltiplo de 5”“x no es par”∴

“x es múltiplo de 5”

4. “a es un número primo si y sólo si es múltiplo de 1 y de a”“a es múltiplo de a y de 1”∴

“a es número primo”

5. “Si 2 divide a x, entonces x es par”“si x es par, entonces es múltiplo de 2”



∴ “si 2 divide a x, entonces x es múltiplo de 2”

6. “2 divide a x, si y sólo si x es par”“ x es par, si y sólo si es múltiplo de 2”∴

“2 divide a x, si y sólo si x es múltiplo de 2”

7. “Juan y Manuel son menores de edad”∴

: “Juan es menor de edad”

8. “Ricardo Palma escribió Tradiciones Peruanas”∴

: “escribió “Tradiciones Peruanas” o “fue un gran poeta”

9. “Si hay agua, entonces hay vida”∴

: “si hay agua, entonces hay agua y” vida”

Análisis de inferencia mediante el método analógico

Este método consiste en comparar la forma o estructura de la inferencia que se quiere analizar con otra lógicamente valida.

Procedimiento:

1. Se explicita su forma lógica.2. Se halla la fórmula.3. Se confronta la fórmula obtenida con las de inferencias conocidas.

Si la fórmula coincide con una de estas reglas podemos inferir inequívocamente que la inferencia original es válida; pero si la fórmula obtenida atenta contra una de ellas entonces la inferencia no es válida.

Este método es muy práctico aunque limitado a la confrontación con una lista previa de reglas conocidas. Consecuentemente, presupone el empleo de ciertas reglas de la lógica proposicional.

Ejemplos de análisis de inferencias a través del método analógico







Ejercicios Nº 06Implicación de fórmulas:

1.

2.



3.

NOTA: en efecto, antes de efectuar el análisis de inferencias recordamos la lista de las principales reglas de la lógica proposicional y las leyes correspondientes:



4. Escriba el equivalente a las siguientes fórmulas aplicando las equivalencias tautológicas que se sugieren:



5. aplique las leyes de absorción (Abs.) a las siguientes fórmulas:



El método de la deducción natural

Es un método sintáctico y no algorítmico. Es sintáctico porque procede sólo por transformaciones de las fórmulas aplicando a las premisas una serie de reglas o leyes lógicas previamente adoptadas. Es no algorítmico porque el número de pasos no puede prescribirse previamente en su totalidad. Su eficiencia va de acuerdo a la capacidad natural o adquirida del que lo aplica.

Procedimiento: de acuerdo al método de la deducción natural, para evaluar una inferencia, es decir, para mostrar que la conclusión de una inferencia se sigue lógicamente de las premisas, es preciso indicar las reglas de inferencias validas elementales que conducen de las premisas a la conclusión. Dad una inferencia cualquiera, el proceso derivativo consta de los siguientes pasos:

1. Se asigna a cada proposición atómica su correspondiente variable.2. Se simbolizan las premisas y la conclusión disponiendo aquellas en forma vertical y escribiendo la conclusión a

continuación de la última premisa en el mismo renglón. Entre la última premisa y la conclusión se escribe una barra separadora “/” seguida del símbolo ”∴” que se lee “luego” o “por lo tanto”.

3. Se procede a ejecutar las derivaciones tomando como punto de partida cualquiera de las premisas, siempre que sea factible, e indicando a la derecha en forma abreviada de qué premisas y mediante qué ley o regla se ha obtenido la nueva expresión.

Modalidades de la deducción natural

Prueba directa (PD): sea la siguiente inferencia:





La prueba condicional (PC): es una modalidad dentro del método de la deducción natural y se aplica en los casos en que una inferencia tenga conclusión condicional o implicativa. En efecto, siendo la conclusión una fórmula condicional o implicativa necesariamente tendrá antecedente y consecuente. Para saber si una conclusión de este tipo se deriva de las premisas dadas se agrega el antecedente de la conclusión a las premisas, y, luego, aplicando a este nuevo conjunto de premisas las reglas o leyes lógicas ya conocidas, se realizan las derivaciones hasta obtener el consecuente de la conclusión.



La prueba por reducción al absurdo (PRA): esta es otra modalidad dentro del método de la deducción natural. Resulta de la fusión de la regla de la prueba condicional y de la noción de contradicción; de aquí su nombre de reducción al absurdo. Consiste en introducir como premisa adicional la negación de la conclusión para llegar a encontrar una contradicción en las premisas. Es decir, se supone la falsedad del antecedente, mostrando de esta manera que la conclusión se halla implicada en las premisas (demostración indirecta).

El sentido de esta demostración se puede entender fácilmente si se recuerda que por el modus tollens (MT) se puede deducir la negación del antecedente de una implicación cuando se niega el consecuente, es decir, cuando se sabe que el consecuente es falso.


El método de la deducción

natural fue propuesto en1934

por el investigador Gerhard

Gentzen. Desde entonces se

conocen diversas variantes de él

que algunos textos de lógica

presentan como reglas para

construir derivaciones.



El método de la deducción natural







II. TEORIA DE CONJUNTOS:

Definición:

Podemos entender por conjunto a la agrupación, asociación, colección, reunión, unión de integrantes homogéneos y heterogéneos, los cuales pueden ser naturaleza real o imaginaria. En conclusión pueden estar integrados por letras, números, meses de un año, astros, países mares etc., a los integrantes en general se les llama elementos del conjunto. Presentamos a continuación otros ejemplos.

- Conjunto formado por los libros de un estante.- Conjunto formado por los juguetes de un niño.- Conjunto formado por los países del África.- Conjunto formado por los elementos químicos.

Usualmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C, etc., y los elementos que lo determinan se designan por letras minúsculas: a, b, c, etc.

Si un conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3, 4, 5, 6 se escribe: A={1,2,3,4,5,6 }. Se lee: “A es el conjunto de los elementos 1, 2, 3, 4, 5, 6”.

Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia∈, en caso contrario se utiliza el símbolo∉.

Ejemplo 1: Sea el conjunto A={1,2,3,4,5,6 }, observamos que:

1∈ A 2∈ A 3∈ A 4∈ A 7∉ A 8∉ A .

Básicamente existen dos formas de definir a un conjunto:

Por Extensión: Llamado también por modo explícito, enumerativo o de forma tabular, donde cada elemento del conjunto es nombrado individualmente; se describe a cada uno de los elementos entre llaves y separados por comas. Por ejemplo:

P= {Tierra, Marte, Neptuno, Júpiter} Q= {Juan, Iván, Jorge}

Por Comprensión: Llamado también modo implícito, descriptivo o de forma constructiva, es cuando los elementos que forman el conjunto, enuncian una propiedad que los caracteriza a todos; los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo / que significa “tal que" o “tales que”. Por ejemplo:P= {x/x es un planeta} ⟹ Se lee El conjunto P formado por los elementos x tal que x es un planetaQ= {x/x es un elemento químico} ⟹ Se lee El conjunto Q formado por los elementos x tal que x es un

elemento químico.

Ejemplo 2: El conjunto de los resultados posibles de una tirada de un dado es: D={1,2,3,4,5,6 }

Esta forma de presentación textual del conjunto se denomina “por extensión”. Y la presentación “por comprensión” sería:

D={x / x∈N ,1≤x ≤6 } ó D= {x / x esunnatural comprendidoentre1 y6 }Se lee: “D es el conjunto de números x tal que x cumplen con dos condiciones, x es un número natural y x está comprendido entre 1 y 6”.

Otra forma de definir un conjunto es visualizar su contenido, representándolo gráficamente mediante Diagramas de Venn-Euler, haciendo uso de gráficas como: círculos, elipses, rectángulos u otras figuras geométricas de áreas plana, dentro de los cuales se ubican los elementos que le pertenecen y fuera a los elementos que no pertenecen al conjunto. A continuación representamos algunos conjuntos:

A = {a, e, i, o, u} y B={a, m, n, o, u} ⇒ AUB={a, e, i, o, u, m, n} ; A ∩ B= {a, o, u}


BA

aou

ei mn


Nota: “U” es el conjunto universal de todas las letras del alfabeto.

Ejemplo 3: El conjunto A={1,2,3,4,5,6}, se puede representar gráficamente por:

Solución:

Cuando todos los elementos del conjunto se pueden enumerar uno a uno, es decir pueden ser contados, es porque se trata de un conjunto finito (y con pocos elementos). En caso contrario, el conjunto es infinito.

Ejemplo 4:

- El conjunto de días de la semana es un conjunto … … … … …- N={x / xes unnúmeroimpar } es un conjunto … … … … …

- A={1,2,5,6,8,9 } es un conjunto … … … … …

- M={2,4,6,8,10,12 ,…} es un conjunto … … … … …

- Q={x / xes unhabitantede la tierra} es un conjunto … … … … …- El conjunto de los números reales es un conjunto … … … … …

Otros ejemplos de conjuntos infinitos son los siguientes conjuntos numéricos:

El Conjunto de los Números Naturales: N= {1,2,3 ,… } El Conjunto de los Números Enteros:Z={…,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3 ,… } El Conjunto de los Números Racionales:Q= {…,−5 /3 ,−1 ,−3/ 4 ,−0.5,0,1/2,0.75,1 ,… } El Conjunto de los Números Irracionales: I={…,−π ,−√5 ,√3 , e , π ,…} El Conjunto de los Números Reales: R={…,−π ,−√5 ,−1/2,0,3/2,2 , π ,√17 ,…} El conjunto de los Números Complejos: C={a+bi /a ,b∈R , i=√−1 }

Tipos de Conjuntos:

a. Conjunto Vacío o Nulo : Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por la letra griega (phi) ∅ o {}.

Ejemplo 5:

- A={x / x∈ , x2+4=0 } es vacío, porque no existe un número real que al elevarlo al cuadrado nos dé un

número negativo.- B= {x / x esunnúmeronatural entre3 y 4 } es vacío, porque no existe número natural entre 3 y 4.

- C={x∈Z /15 x2−11 x+2=0} es vacío, porque se obtiene: x=1/2, x=2/5 que no pertenecen a los

números enteros, al resolver la ecuación 15 x2−11 x+2=0

b. Conjunto Unitario : Es aquel que está formado por un solo y único elemento.

Ejemplo 6:

- A={x /x∈N ,1<x<3 } es unitario, porque solo existe un número natural entre 1 y 3 que es el número 2- B= {x / x∈ R ,x+2=0 } es unitario, porque solo existe un número real (x=−2) que se obtiene al resolver la ecuación x+2=0

- C={∅ } es unitario, porque tiene un elemento que es el símbolo del conjunto vacío.Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera Página 40

U


c. Conjunto Universal o Universo : Es aquel conjunto fijo que contiene todos los elementos del tema de estudio. Se le denota por la letra U. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.

Ejemplo 7:

- El conjunto universal U={x∈Z /−2≤x<7 } es universo de los conjuntos A={0,2,4 } B= {−2,0,1,2 }, C={1,3,5,6 }, porque todos los elementos de los conjuntos A, B y C pertenecen al conjunto U .

- Tratándose de las letras: U={x / x todas lasletras del alfabeto}

Relaciones entre Conjuntos:

Subconjuntos: Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B, o que A está contenido en B, o que A es parte de B. Se escribe A⊂B y se lee “A está incluido en B, o A está contenido en B o A es parte de B”.

Simbólicamente:

A⊂B⟺ {∀ x∈ A , x∈ A⟹ x∈B }En caso de que exista al menos un elemento del conjunto A que no sea elemento de B, entonces A no es subconjunto de B, lo denotamos: A⊄B.

Gráficamente, esto es:

Ejemplo 8:

- Sean los conjuntos A={2,4 }, B= {1,2,3,4,5 } y C={4,5,8 }, entonces A⊂B ya que todo elemento de A

está en B, pero C⊄B porque 8∈C y 8∉B- El conjunto N es subconjunto de los conjuntos Z ,Q ,R ,C , esto es: N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

Subconjunto Propio: A es un subconjunto propio de B, si en primer lugar A es un subconjunto de B, o A esta incluido en B, y en segundo lugar A no es igual a B, en todo caso no existe por lo menos un elemento de A que no está en B es decir: A= {1, 2, 3, 4,5} y B= {2,4}, B es subconjunto propio de A.

Observaciones

El Conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto, excepto de sí mismo. Cada conjunto está incluido en su universo respectivo. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, pero no es subconjunto propio de sí mismo.

Igualdad de Conjuntos : Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos. Es decir, si cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. Se escribe: A=B y se lee “el conjunto A es igual al conjunto B”.

Simbólicamente:

A=B⟺ A⊂B∧B⊂ A

Si el conjunto A no es igual a B, diremos que “A es diferente de B”, se denota: A≠B

Ejemplo 9:

- A={1,2,3 } y B= {1,1,3,2,3 }, son A=B, porque que tienen los mismos elementos 1,2,3, aunque el orden y

la repetición de los elementos en B no altera el conjunto.

- C={−1/2,3 } y D= {x∈R /2x2−5 x−3=0}, son iguales C=D, porque los elementos del conjunto C son

la solución de la ecuación 2 x2−5x−3=0, esto es:


Todos los elementos de A pertenecen a B

A⊂BU

B

A

A y B tienen elementos comunes

A⊄BU

AB

A y B no tienen elementos comunes

A⊄BU

AB


2 x2−5x−2=0⟹ (2x+1 ) ( x−3 )=0⟹x=−1/2ó x=3

Entonces, el conjunto D es: D= {−1/2,3 } que son precisamente los elementos de C.

- E={1,2,3,4 } y F={x∈Z /1<x ≤4 }, son diferentes E≠ F, porque 1∈E pero 1∉F

Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento común. Se simboliza:

Adisjunto con B⟺∄ x /x∈ A∧ x∈BEjemplo 10:

- A={x∈N / xes par }y B= {x∈N / x es impar }- F={1 ,2 ,3 , 4 ,5 ,6 } y G={a ,b , c , d , e , f }- Los conjuntos Q e I son conjuntos disjuntos.

Conjunto Potencia: Se llama así al conjunto que está formado por todos los subconjuntos que se forman de un conjunto dado. Se denota P(A), se lee potencia del conjunto A. por ejemplo: Hallar la potencia del siguiente conjunto: A= {1, 2,3}.

Donde A tiene 3 elementos ⇒ P(A)= {{1} ;{2} ;{3} ;{1,2} ;{1,3} ;{2,3} ;{1, 2, 3}}.

Simbólicamente: P (A )= {x / x⊂ A }

Si el conjunto A es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia de A tendrá 2n subconjuntos incluyendo al conjunto vacío y al mismo conjunto A.

Nota: Si: A= {r, s, t}, Entonces:

Subconjuntos de A

P(A)= {{r}; {s}; {t}; {r, s}; {s, t}; {r, s, t}}

Subconjunto propios de A A

Ejemplo 11: Sea el conjunto A={1,2 }. El total de subconjuntos es: 22=4, y son: {1 },{2}, {1,2 },∅ , el

conjunto potencia de A es: P (A )= {{1 }, {2 } , A ,∅ }Observaciones:

- Un elemento de P(A) es un subconjunto de A, es decir: x∈ P(A)⟺x⊂A

- ∅∈ P(A), puesto que el vacío es subconjunto de A, esto es: ∅⊂ A

- A∈P(A ), puesto que A es subconjunto de si mismo, esto es: A⊂ A

Propiedades del Conjunto Potencia: Para cualquier conjunto A se cumple:

- Si A⊂B⟺P(A )⊂P(B)

- Si B⊂ A⟺B∈P(A)

- Si A=B⟺ P (A )=P (B)



Ejercicios Nº 08





Operaciones con Conjuntos:

Entre los conjuntos es posible definir ciertas operaciones. Una operación pone en relación dos conjuntos y como resultado de dicha relación se obtiene un nuevo conjunto.

Unión de Conjuntos: Dados dos conjuntos, A y B, se llama unión de A con B a otro conjunto que tiene todos los elementos de A y que pertenecen a B ó a ambos. Se denota: A∪B y se lee “A unión B”. Simbólicamente:

A∪B={x∈U / x∈ A o x∈B }Gráficamente, esto es:

Ejemplo 12:

- Si A={x∈N /1< x<6 } y B= {x∈N /3<x<8 } Calcular A∪B

Calculamos los elementos de cada conjunto A y B

A={2,3,4,5 } y B= {4,5,6,7 }, entonces A∪B= {2,3,4,5 }∪ { 4,5,6,7 }= {2,3,4,5,6,7 }

- Si A={x∈N / xes par } y B= {x∈N / x es impar }, entonces

A∪B= {x∈N / x es par∨ xes impar }

- Dados los conjuntos: A={1,3,5,7,9 }, B= {2,4,6,8,10 }, C={2,3,5,7 } y D= {3,6,9 } Efectuar y construir los

diagramas respectivos: A∪B, C∪D, B∪D y A∪C

A∪B=¿

C∪D=¿

B∪D=¿

A∪C=¿

Intersección de Conjuntos: Dados dos conjuntos, A y B, cualesquiera del conjunto universal. La intersección de A y B, es otro conjunto que tiene todos los elementos comunes de A y B. Se denota: A∩B y se lee “A intersección B”. Simbólicamente:

A∩B={x∈U / x∈ A y x∈B }Gráficamente:


B

A

U

A y B no disjuntos

A∪B A∪B

A y B disjuntos

B

A

U

A∪B

A es subconjunto de BA

BU

A∩B

B

A

U

A∩B=∅

B

A

U

A∩B=A

A

BU


Ejemplo 13: Determinar la intersección de los siguientes conjuntos y representarlos en un diagrama de Venn:1) A={xϵ Z /−3<x<6 } y B= {xϵ Z /−1<x<8 }2) C={xϵ Z /−1≤x ≤1 } y D= {xϵ N /1<x<5 }3) E={x /x esuna vocal fuerte } y F={x / xes unavocal }Solución:1) Determinamos por extensión los conjuntos:

A={−2 ,−1,0,1,2,3,4,5 } y B= {0,1,2,3,4,5,6,7 }

A∩B= {0,1,2,3,4,5 }2) Determinamos por extensión los conjuntos:

C={−1,0,1 } y D= {2,3,4 }

C∩D=∅

3) Determinamos por extensión los conjuntos:

E={a , e , o } y F={a , e ,i , o , u }

E∩F={a , e , o }=E

Diferencia de Conjuntos: Dados dos conjuntos, A y B, cualesquiera del conjunto universal. La diferencia de A y B, es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B. Se denota: A−B y se lee “A menos B”. Simbólicamente:

A−B={x∈U /x∈ A y x∉B }

Gráficamente:

Ejemplo 14: Si A={2,3,4,5,9} y B= {1,2,5,7,8 }. La diferencia es: A−B={3,4,9 }

Complemento de un Conjunto: Dados dos conjuntos, A y B, cualesquiera del conjunto universal U, se cumple:

- Si A⊂B. El complemento del conjunto A con respecto al conjunto B o complemento relativo de A con

respecto a B, es la diferencia de A y B. se denota: CB A y se lee “complemento de A con respecto a B”.

Simbólicamente:

CB A=B−A= {x∈U /x∈B y x∉ A }


B

A

A−B

A y B no disjuntos

U

A−B

A y B disjuntos

B

A

U

A−B

B es subconjunto de A

B

AU


- Si A⊂U . El complemento del conjunto A o complemento absoluto de A, es el conjunto de elementos que

perteneciendo al universo no pertenecen al conjunto A. Se denota: A' y se lee “complemento de A”.

Simbólicamente:

A'=U−A={x∈U / x∈U y x∉ A }

Gráficamente:

Ejemplo 15: Si

U={x∈N /x ≤10 } y A={x∈N /5≤ x≤8 } Hallar A'

Solución: Calculamos los elementos, tenemos:

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 } y A={5,6,7,8 }, entonces A'=U−A={1,2,3,4,9,10 }

Ejemplo 16: Dados: A={x∈N /5≤ x≤9∧ x es par } y B= {x∈N /3≤ x≤10 }

Efectuar y construir el diagrama de CB A Solución:

A={6,8 } y B= {3,4,5,6,7,8,9,10 }, entonces: CB A=B−A= {3,4,5,7,9,10 }Diferencia Simétrica de Conjuntos: Dados dos conjuntos, A y B, cualesquiera del conjunto universal. La diferencia simétrica de A y B, es la unión menos la intersección de los conjunto A y B. Se denota: A∆ B y se lee “La diferencia simétrica de A y B”. Simbólicamente:

A∆ B= {x∈U / x∈ (A∪B ) y x∉ ( A∩B ) }A∆ B= (A∪B )−(A ∩B )=( A−B )∪ (B−A )

Gráficamente:

Ejemplo 17: sean A={1,2,3,4,6 } y B= {2,3,5,7 } Hallar A∆ B y B∆ A

Solución: Calculamos: A∪B= {1,2,3,4,5,6,7 } y A∩B= {2,3 }, entonces

A∆ B= (A∪B )−(A ∩B )={1,2,3,4,5,6,7 }−{2,3 }= {1,4,5,6,7 } ⟹ A ∆ B= {1,4,5,6,7 }

B∪ A= {1,2,3,4,5,6,7 } y B∩ A= {2,3 }

B∆ A= (B∪ A )−(B∩ A )={1,2,3,4,5,6,7 }−{2,3 } ⟹B ∆ A= {1,4,5,6,7 }

Ejemplo 18: Sea C={2,4,6,8 }, D= {1,3,5,7,9 } y E={4,6 } Hallar C ∆D y E∆C y graficar.

Solución: Calculamos: C∪D={1,2,3,4,5,6,7,8,9 } y C∩D=∅ , entonces:


CB A

A es subconjunto de B

A

BU

A

A'

A es subconjunto de U

U

A’

A subconjunto B

A

BU

A∆ B=B−A

A y B disjuntos

A∆ B=A∪B

B

A

U

A y B no disjuntos

B

A

U

A∆ B


C ∆D=(C∪D )−(C∩D )= {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }−∅= {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

C ∆D={1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

E∪C={2,4,6,8 } y E∩C={ 4,6 }, entonces:

E∆C=(E∪C )−(E∩C )= {2,4,6,8 }−{4,6 }= {2,8 }

E∆C= {2,8 }Propiedades de las Operaciones entre conjuntos: Sean los conjuntos A, B y C dentro del universo U. Las propiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las siguientes:

Propiedades Unión Intersección DiferenciaIdentidad A∪∅=A

A∪U=UA∩∅=∅A∩U=A

A−∅=A∅−A=∅

Idempotente A∪ A=A A∩ A=A A−A=∅Conmutativa A∪B=B∪A A∩B=B∩ A A−B≠ B−AAsociativa ( A∪B )∪C=A∪ (B∪C ) ( A∩B )∩C=A ∩ (B∩C ) A∩ (B−C )=( A∩B )− (A∩C )

Propiedades Distributivas de la Unión o Intersección:

A∩ (B∪C )= (A∩B )∪ ( A∩C ) A∪ (B∩C )=(A∪B )∩ ( A∪C )

Propiedades del Complemento:

( A' )'=A A∪ A'=U A∩ A'=∅ U '=∅ A−B=A∩B'

Leyes de Morgan:

( A∪B )'=A '∩B' ( A∩B )'=A'∪B'

Propiedades de la diferencia simétrica:

A∆ A=∅ A∆∅=A A∆ B=B∆ A ( A∆ B )∆C=A∆ (B∆C )

Cardinalidad de un Conjunto: Se le llama número cardinal o cardinalidad del conjunto, al número de elementos que tiene el conjunto. Se denota: n(A) y se lee: “el número de elementos de A” ó “el cardinal del conjunto A”.

Ejemplo 19: Si A={a ,b , c ,d }, B= {1,3,5,6,7 }, C={1,5,5,1,1 }, D=∅ y E={∅ }, entonces:

n ( A )=4 n (B )=5 n (C )=2 n (D )=0 n (E )=1

Propiedades del Cardinal de un Conjuntos:

n≥0 “el número de elementos de cualquier conjunto A es positivo o cero” Si A=∅ , entonces n ( A )=0 Si A y B son dos conjuntos finitos cualesquiera, entonces n ( A−B )=n ( A )−n (A∩B ) Si A y B son conjuntos finitos y disjuntos A∩B=∅ , entonces n ( A∪B )=n ( A )+n (B ) Si A y B son conjuntos finitos, tal que A∩B≠∅ , entonces:

n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n (A ∩B ) Si A, B y C son conjuntos finitos, tal que A∩B∩C=∅ , entonces:

n ( A∪B∪C )=n ( A )+n (B )+n (C )−n (A∩B )−n (A ∩C )−n (B∩C )+n ( A∩B∩C )

Ejemplo 20: Si los conjuntos A y B son tales que: n ( A∪B )=50, n ( A−B )=12 y n (B−A )=10 Hallar n ( A )+n (B)

Problemas con Conjuntos: Existen diferentes técnicas para resolver este tipo de problemas, mencionaremos tres:

Haciendo uso de los diagramas de Venn. Empleando tablas, en donde se representa la información pertinente y Utilizando fórmulas para obtener el número de elementos.

Ejemplo 21: PROBLEMAS



Un club deportivo tiene 80 miembros. De ellos 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 vóley. Además 6 juegan en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “z” es el total de las personas que practican exactamente dos deportes y “x” un solo deporte. Hallar “x - z”.

Solución:

De un grupo de 1800 estudiantes; el número de los que sólo rindieron el 2do. examen, es la mitad de los que rindieron el 1ro. El número de los que rindieron sólo el 1er. examen es el triple de los que rindieron ambos exámenes e igual al de los que no rindieron ningún examen. ¿Cuántos rindieron al menos un examen?

Solución:

Una sección de la UAP está formada por 35 alumnos entre varones y mujeres. Se sabe que:- 7 varones aprobaron Matemática I.- 6 varones aprobaron Lenguaje.- 5 varones y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos.- 5 aprobaron los dos cursos.- 11 aprobaron sólo Matemática I.- 16 varones hay en la sección.Se pide: ¿Cuántas mujeres aprobaron sólo Lenguaje?

Solución:

En una clase el 50% de los alumnos aprobaron aritmética, el 40% aprobó álgebra y el 30% aprobó geometría, el 20% de los que aprobaron aritmética también aprobaron geometría, el 20% de los que aprobaron geometría también aprobaron álgebra, el 40% de los que aprobaron aritmética y geometría también aprobaron álgebra y el 20% de los que aprobaron aritmética también aprobaron álgebra pero no geometría. ¿Qué porcentaje de la clase no aprobó ninguno de los tres cursos?

Solución:

Ejercicios Nº 08





EJERCICIOS PROPUESTOS

(1) Exprese cada uno de los siguientes conjuntos por extensión:1. A={x∈N /2≤ x<7 }2. B= {(2x−1 )/ x∈N∧ x≤3 }3. C={x2−4/ x∈Z∧−3<x ≤3 }

4. D={ xx+1

/ x∈N∧6<x<12}5. E={x∈N / xes divisor de36 }6. E={x∈N / xesmúltiplode13∧15<x<95 }

(2) Dado el conjunto A={1;2 ; {3 ;4 } ;5}, señalar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:

a. 2∈ Ab. 5⊂A

c. {3 ;4 }⊂ A d. {1 ;2;5 }⊂ A

n ( A )=5(3) Decir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: A={2 ; {3 }; {5 }}a. 2∈ Ab. {3 }∈ Ac. { {5 }}⊂ A

(4) Determinar por extensión el siguiente conjunto:C={x2−3 /x∈N∧2≤x<6 }

(5) Se tiene el conjunto A={x3−x / x∈N∧2≤ x≤5}. Hallar la suma de los elementos del conjunto A.



(6) Determinar por extensión el siguiente conjunto:C={x2+4 / x∈N∧ x≤4 }

(7) Si: B= {(x3−2 )∈N∧ x<5}. Hallar n(B)a. {2 }⊂Ab. 2 ;3∈ Ac. {4 }∈ A

(8) { {5 ;6 } }⊂ AExpresar el conjunto A por extensión: A={3x−2/ x∈N∧2< x≤5 }

(9) Expresar el conjunto B por extensión:B= {x2+2/ x∈Z∧−2<x<4 }

(10) Determinar el siguiente conjunto por extensión: Q= {2x / x∈N /0≤x ≤5 }

(11) Dado los conjuntos iguales: A={m;3 }; B= {n ;7 }. Hallar m+n

(12) Dado los conjuntos M= {2 ;3 ; x }; B= {1 ;2 ;3 } si M=N , hallar x.

(13) Dado los conjuntos iguales P= {x∈Z /−3<x≤1 }Q= {1 ;0 ;−1 ;a }. Hallar a

(14) Si A={2x / x∈N∧3<x<8 }, B= {x / x esunavocal } ¿Cuántos elementos tiene A∪B?

(15) Dado los conjuntos A={3x+4 /x∈N∧ x ≤4 } ,B={x2/ x∈Z∧−3<x≤4 } Hallar A−B

(16) Dado los conjuntos U={x∈N /x ≤10 } , A={x∈N /2<x<8 } , B= {x∈N /5<x<9 }. Realizar:

I . A' II . B' III . A△ B

(17) Dado los conjuntos U={1;2 ;3 ;4 } , A={1 ;2 }, B= {2 ;3 } ¿A qué es igual ( A∩B )∪ (A ∩B ' )?

(18) Dado el conjunto A={{4 ;3 };5 ;8 }; {8; {a ;b }} escribir sobre las líneas punteadas el símbolo correcto para que cada una de las siguientes proposiciones sea verdadera.a. 5….A b. 6….A c. {4 , 3}. .. . Ad. {8, {a, b}}. .. . A e. 8 . .. . {8, {a, b}} f. {{4 , 3}}. . .. Ag. {{4 , 3}}. . .. P( A ) h. {{4 , 3}; 5 }. .. .. A i. {{4 , 3}; 5 }. .. .. P( A )j. A={{4 , 3}; 6¿ }. .. .P (A ) k. {{4 , 3}; 5, 8 }. .. .. A

(19) Sean los conjuntos A={a;1 ; {2 }}; B={{4 ;3 } ;5 ;8; {8 ; {8 ; {a;b }}}};C= {0 ;{}}; D= {0 ;1; {2 }; {3 ;5 }}. Hallar:a. n( A ) b. n(B ) c. n(C ) d. P( A ) e. P(B)

(20) Sean los conjuntos U={x∈N /x ≤12 }; A={2x / x∈N∧ x≤6 }; B= {2 x+1/ x∈N∧ x≤5 } , Determinar:a. A∪B b. A∪C c. B∪C d. A∩B e. A∩Cf. B∩C g. A−B h. B−A i. A−C j. C−Ak. B−C l. C−B m. A´ n. B´ ñ. C´

o. C AB p. AΔB q. AΔC r. BΔC

(21) Sean A y B dos conjuntos tales que: n(AU B)=24, n(A−B)=10, n(B−A )=6, hallar: 5n(A) – 4n(B)

(22) En una ciudad el 40% de la población fuma, el 35% de la población bebe y el 70% de los que fuman, beben. ¿Qué porcentaje de la población no fuma ni bebe?

(23) En una reunión se observa que el 70% de las personas hablan castellano, 120 hablan inglés; y el 10% de las personas hablan inglés y castellano. ¿Cuántas personas hablan solamente castellano?



(24) En una reunión donde hay 100 personas se sabe que 40 no tienen hijos, 60 son varones, 10 mujeres están casadas, 25 personas casadas tienen hijos; hay 25 madres solteras. ¿Cuántos varones solteros tienen hijos?

(25) De un grupo de 1800 estudiantes; el número de los que sólo rindieron el 2do. examen, es la mitad de los que rindieron el 1ro. El número de los que rindieron sólo el 1er. examen es el triple de los que rindieron ambos exámenes e igual al de los que no rindieron ningún examen. ¿Cuántos rindieron al menos un examen?

(26) Una sección de la UNJ está formada por 35 alumnos entre varones y mujeres. Se sabe que: 7 varones aprobaron Matemática I. 6 varones aprobaron Lenguaje. 5 varones y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos. 5 aprobaron los dos cursos. 11 aprobaron sólo Matemática I. 16 varones hay en la sección.Se pide: ¿Cuántas mujeres aprobaron sólo Lenguaje?

(27) Ciertos datos obtenidos del estudio de un grupo de 1057 empleados en una fábrica textil, atendiendo a su raza, sexo, estado civil son como sigue: 525 individuos de color; 312 varones; 470 casados; 42 varones de color; 147 individuos casados de color; 86 varones casados; 25 varones de color casados. ¿Cuántos son sólo varones casados y cuántas son mujeres de color solteras?

(28) En la UNJ, de una encuesta aplicada a 120 alumnos, se tiene la siguiente información, acerca de las preferencias por las asignaturas: 50 prefieren Lengua, 68 prefieren Computación, 60 prefieren Matemática, 30 prefieren Lengua y computación, 40 prefieren Matemática y Computación, 30 prefieren Lengua y Matemática, y 20 prefieren las tres asignaturas.a. ¿Cuántos prefieren sólo una asignatura?b. ¿Cuántos prefieren solamente Lengua?c. ¿Cuántos prefieren solamente Computación?d. ¿Cuántos prefieren solamente Matemática?e. ¿Cuántos no prefieren ninguna asignatura?

(29) Una encuesta sobre 500 estudiantes de la UNJ inscritos en las asignaturas de Matemática, Física y Química durante el semestre, reveló los siguientes números de estudiantes en los cursos indicados: Matemática 329, Física 186, Química 295, Matemática y Física 83, Matemática y química 217, Física y Química 63. ¿Cuántos alumnos estarán inscritos en:a. ¿Los tres cursos?b. ¿Matemática pero no Química?c. ¿Física pero no Matemática?d. ¿Química pero no Física?e. ¿Matemática o Química pero no Física?f. ¿Matemática y Química pero no Física?g. ¿Matemática pero no Física ni Química?

Practica Calificada Nota:Nombre:……………………………

Fecha: .../05/131. Fíjate en las siguientes proposiciones y formaliza las expresiones que figuran a

continuación:

p = Argentina se moviliza.q = Brasil impone restricciones económicas.r = Cuba sigue enviando armas a Sudamérica.



s = La república Dominicana apela a las Naciones Unidas.

a) O bien Argentina se moviliza y Brasil impone restricciones comerciales, o bien Cuba sigue enviando armas a Sudamérica.

b) No se da el caso de que, o bien Argentina se movilice, o bien Brasil no imponga restricciones comerciales.

2. Si la proposición ( p∧q )→ (q→r ) es falsa. Hallar el valor de verdad de las siguientes

proposiciones.

[ ( p∧q )∨ (q∧∼r ) ]↔ (p∨∼r )

3. Comprobar la validez del siguiente enunciado: “Si estudio, entonces no perderé Matemática; y si no juego

futbol, entonces estudiaré; pero perdí Matemática. Por tanto, jugué futbol”

4. Hallar la proposición equivalente más simplificada de los siguientes circuitos:

5. Dado el conjunto A={1, 2, 3, φ , {2,3 } , {1 , {2,3 }} } , Determine la verdad o falsedad de:

a. {1 }∈ A

b. {2,3 }⊂ A

c. {1 , {2,3 }}∈ A

d. φ∈ A

e. {φ }∉ A

f. φ⊂ A

g. { {23 }}∈ A

h. {3 }∈ A

i. {φ }⊂ A

j. {1, 2, 3, φ , {2,3 } , {1 , {2,3 }}}⊃A

6. Dados los Conjuntos: U={x∈N / x≥2 ∧ x≺15 }, A={x∈U / x es primo ∧ x≺12 } ,

B= {x∈U / x es impar ∧ x≺12 } y D= {x∈U / x es impar }. Determine

a. C '−(B∩A ) b. ( A∩C )−(A∩B )

7. De un grupo de 1800 estudiantes; el número de los que sólo rindieron el 2do. examen, es la mitad de los que

rindieron el 1ro. El número de los que rindieron sólo el 1er. examen es el triple de los que rindieron ambos

exámenes e igual al de los que no rindieron ningún examen. ¿Cuántos rindieron al menos un examen?

8. En una ciudad el 40% de la población fuma, el 35% de la población bebe y el 70% de los que fuman, beben.

¿Qué porcentaje de la población no fuma ni bebe?

Suerte…Recuperación de la P.C.(2013-I)

Nota:Nombre:……………………………

Fecha: .../05/13


p

qp

r

p

q

r

q


1. Formaliza los siguientes enunciados, indicando qué enunciado simple corresponde a cada

variable que uses:

a) Si el aumento de la inflación implica la disminución de la balanza de pagos, entonces,

si no disminuye la balanza de pagos no aumenta la inflación.

b) Dejaré de beber cuando suba el alcohol, pero voy a dejar de fumar, tanto si sube el

tabaco como si no.

2. Formalice el siguiente enunciado y compruebe la validez del siguiente enunciado.

“Si un animal fabuloso se enfada, te quedas paralizado del susto; y si te quedas

paralizado del susto, entonces apelaras a su bondad y así no ser engullido. Por lo tanto, si

un animal fabuloso se enfada, tendrás que apelar a su bondad o serás engullido.”

3. Construye el circuito lógico para la siguiente proposición, simplifique y de como

respuesta el circuito lógico equivalente a: ( p→∼ q )∧ [ (q→∼ p )∨ (q→∼r ) ]

4. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12} el conjunto universal. Consideremos los subconjuntos, A

= {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11}, D = {2, 4, 8} y C = {2, 3, 6, 12}. Determina los

conjuntos:

a) (A ∪ B) ∩ C'

b) (B − D) ∪ (D − B)

5. Se le preguntó a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de

refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteniéndose lo siguientes resultados: El número de

estudiantes que prefirieron Pepsi pero no Coca Cola fue de 3. El número de estudiantes

que no prefirieron Pepsi fueron 6. Se desea saber:

a) ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi?

b) ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Coca Cola?

c) ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola?

d) ¿Cuántos de los encuestados prefirieron solo una de las dos bebidas?

Suerte…

Examen de Unidad – Matemática BásicaNota:

Nombre:……………………………Fecha: .../05/13



1. Formaliza los siguientes enunciados, indicando qué enunciado simple corresponde a cada variable

que uses:

a) “Dejaré de beber cuando suba el alcohol, pero voy a dejar de fumar, tanto si sube el tabaco

como si no”.

b) “Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y

dejaría que me internaran en un psiquiátrico”.

2. Formalice el siguiente enunciado y compruebe la validez del siguiente enunciado.

a) Si un triángulo tiene tres ángulos, un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos. Un triángulo tiene

tres ángulos y su suma vale dos ángulos rectos. Si los rombos tienen cuatro ángulos rectos, los

cuadrados no tienen cuatro ángulos rectos. Por tanto los rombos no tienen cuatro ángulos

rectos. (Use el método directo)

b) Si acepto este trabajo o dejo de pintar por falta de tiempo, entonces no realizaré mis sueños. He

aceptado el trabajo y he dejado de pintar. Por lo tanto, no realizaré mis sueños. (Use tabla)

3. Hallar la proposición equivalente más simplificada de los siguientes circuitos:

4. Problema: En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las

siguientes respuestas, 30 personas tomaban té con leche, 40 personas tomaban café con leche, 80

personas tomaban leche, 130 personas tomaban té o leche y 150 tomaban café o leche. a)

¿Cuántas personas tomaban té puro? b) ¿Cuántas personas tomaban leche pura? c) ¿Cuántas

personas tomaban café puro? d) ¿Cuántas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al

desayuno?

5. Responde:

a) Dados los conjuntos : A = { 1,2 } B = { 2,3,4 } y C = { 2 }. ¿Cuántos subconjuntos tiene

(A∩B∩C)b) Si el conjunto A tiene 5 elementos, el conjunto B tiene 3 elementos, y además se sabe que

(A∩B) tiene 2 elementos entonces, ¿cuál es la cardinalidad de (A∪B)?c) Dado que el conjunto A está definido como: A={(a ,b)/a∈N ,b∈N y a+b=12 } Entonces,

¿Cuál es el cardinal del conjunto A?

d) Si A = { a, b, c, d, e } , B = { b, c, e } y C = { a, e }, entonces ¿ Cuál es el conjunto

( A∩B )−C

Suerte…


p

qp

r

p

q

r

q


Ex. de Unidad – Mat. Básica-Recuperación Nota:

Nombre:……………………………Fecha: .../11/13

1. Formalice el siguiente enunciado y compruebe la validez del siguiente enunciado. (5

Puntos)

a) Si los astronautas observan un nuevo planeta con atmosfera fuera de nuestro sistema solar, la

tierra no será el único planeta habitable en el universo. O la tierra no es el único planeta

habitable o hay sistemas inexplorados. Por tanto, o los astronautas no observan un nuevo

planeta con atmosfera, fuera de nuestro sistema solar, o la tierra es el único planeta habitable

en el universo (Use tabla)

b) Todo número entero o es primo o es compuesto. Si es compuesto, es un producto de factores

primos, y si es un producto de factores primos, entonces es divisible por ellos. Pero si un número

entero es primo, no es compuesto, aunque es divisible por sí mismo y por la unidad, y

consiguientemente, también divisible por números primos. Por tanto, todo número entero es

divisible por números primos. (Use el método directo)

2. Hallar la proposición equivalente más simplificada del siguiente circuito: (4

Puntos)

3. Problema: En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las

siguientes respuestas, 30 personas tomaban té con leche, 40 personas tomaban café con leche, 80

personas tomaban leche, 130 personas tomaban té o leche y 150 tomaban café o leche. a)

¿Cuántas personas tomaban té puro? b) ¿Cuántas personas tomaban leche pura? c) ¿Cuántas

personas tomaban café puro? d) ¿Cuántas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al

desayuno? (5 Puntos)

4. Sea E={a , {a }}. Diga cuales de las proposiciones de más abajo son verdaderas y cuales son

falsas:

(3 Puntos)

a∈ E

{a }∈ E

a⊂E

{a }⊂E

φ∈ E

φ⊂E

5. Sean los conjuntos A={a ,b , c ,d } B={c ,d , e , f , g } y C= {b ,d , e , g } Determine: (3 Puntos)

( A∪C )−B

A−(B∩C )


∼∼

p∼p

q


( A∪B )−(A∩C )

Suerte…


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Unidad I - Logica y Conjuntos