Embed Size (px)
Citation preview
CONJUNTOS
PUCESI
¿Qué es un conjunto? Un conjunto es una colección de objetos considerada
como un todo.
Los objetos de un conjunto son llamados elementos omiembros del conjunto.
Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa:números, personas, letras, otros conjuntos, etc.
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,etc.
Un conjunto no posee elementos repetidos. ¿?
2
Un conjunto es una colección de objetos consideradacomo un todo.
Los objetos de un conjunto son llamados elementos omiembros del conjunto.
Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa:números, personas, letras, otros conjuntos, etc.
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,etc.
Un conjunto no posee elementos repetidos. ¿?
RETO MATEMÁTICO
LOS TRES GATOSSi tres gatos atrapan tres ratas en tres minutos,
¿cuántos gatos atraparán 100 ratas en 100 minutos?
3
LOS TRES GATOSSi tres gatos atrapan tres ratas en tres minutos,
¿cuántos gatos atraparán 100 ratas en 100 minutos?
SIMBOLOS
4
SIMBOLOS
5
SIMBOLOS
6
Ejemplo
a A (a pertenece a A) b A (b no pertenece a A)
a
Relación de pertenencia
e
i co
u
V
7
Ejemplo
a A (a pertenece a A) b A (b no pertenece a A)
b
Formas de expresión de un conjunto
Para indicar un conjunto de utilizan llaves.
Hay distintas formas de expresarlo Enumerando sus elementos
A = {a, e, i, o, u}
Indicando alguna caracterización de sus elementosA = { x / x es una vocal }
8
Para indicar un conjunto de utilizan llaves.
Hay distintas formas de expresarlo Enumerando sus elementos
A = {a, e, i, o, u}
Indicando alguna caracterización de sus elementosA = { x / x es una vocal }
Tal que
Conjunto vacío Es aquel que no contiene elementos
Representación: o {}
Ejemplo:
B = { x / x N ^ 2x = 1}
9
B es un conjunto que no contiene elementos dadoque ningún número natural multiplicado por 2
puede dar como resultado 1
B = {}
Cardinalidad de un conjunto Se refiere a la cantidad de elementos que contiene un
conjunto Ejemplo:
La cardinalidad de A = { x / x es una vocal } es 5
La cardinalidad de B = { x / x N ^ 2x = 1} es 0
Un conjunto puede contener infinitos elementos.
10
Se refiere a la cantidad de elementos que contiene unconjunto
Ejemplo:
La cardinalidad de A = { x / x es una vocal } es 5
La cardinalidad de B = { x / x N ^ 2x = 1} es 0
Un conjunto puede contener infinitos elementos.
Igualdad de conjuntos Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos
elementos o si ambos son vacíos Dados los conjuntos A = { 0 , 3 } B = { x / x (x – 3) = 0 } C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
A = B ?
A = C ?
11
Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismoselementos o si ambos son vacíos
Dados los conjuntos A = { 0 , 3 } B = { x / x (x – 3) = 0 } C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
A = B ?
A = C ?
Subconjuntos de un conjunto Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de B es
también elemento de A, diremos que
B es un subconjunto de A B es una parte de A B está incluido A.
Esto se simboliza como B A
12
Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de B estambién elemento de A, diremos que
B es un subconjunto de A B es una parte de A B está incluido A.
Esto se simboliza como B A B
A
Subconjuntos de conjuntos Dados los conjuntos A = { 0 , 3 } B = { x / x (x – 3) = 0 } C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
A C C A pues 1 C y 1 A.
13
Dados los conjuntos A = { 0 , 3 } B = { x / x (x – 3) = 0 } C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
A C C A pues 1 C y 1 A.
Conjunto de partes de un conjunto Si A es un conjunto, llamaremos el conjunto de partes de
A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A,y lo denotaremos P(A).
En otras palabras:P(A) = { B / B A }
14
Si A es un conjunto, llamaremos el conjunto de partes deA, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A,y lo denotaremos P(A).
En otras palabras:P(A) = { B / B A }
Conjunto de partes de un conjunto
Ejemplos
A = {1} A tiene 1 elementoP(A) = { {}, {1} } P(A) tiene 2 elementos
A = {1, 2} A tiene 2 elementosP(A) = { { }, {1}, {2}, {1,2} } P(A) tiene 4 elementos
15
Ejemplos
A = {1} A tiene 1 elementoP(A) = { {}, {1} } P(A) tiene 2 elementos
A = {1, 2} A tiene 2 elementosP(A) = { { }, {1}, {2}, {1,2} } P(A) tiene 4 elementos
Operaciones de conjuntos Existen varias formas de obtener nuevos conjuntos a
partir de otros existentes:
Unión Intersección Diferencia Complemento
16
Existen varias formas de obtener nuevos conjuntos apartir de otros existentes:
Unión Intersección Diferencia Complemento
Operaciones de Conjuntos
UNION
17
A B = {x / x A x B }
Operaciones de Conjuntos
INTERSECCION
18
A B = { x / x A x B }
Operaciones de Conjuntos
DIFERENCIA
19
B – A = {x / x B x A }
Operaciones de Conjuntos
COMPLEMENTO
B
A
20
Si A BCBA= {x / x B x A }
CBA = B – A
A
Ejercicios Dados los conjuntos
A = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4}
Calcular
A B = A B = A – B = B – A = A B C = A – ( B – C) =
{ 1,2 }{ 1, 2, 3, 4, 5 }
21
Dados los conjuntosA = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4}
Calcular
A B = A B = A – B = B – A = A B C = A – ( B – C) =
{ 1, 2, 3, 4, 5 }{ 3 }{ 4, 5 }
{ 2 }
{ 2, 3 }
EjercicioColorear la parte que representa el conjunto
(A B) – ( A C)
22
EjercicioColorear la parte que representa el conjunto
(A B) – ( A C)
23
Producto Cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado
A × B, es el conjunto de todos los posibles paresordenados cuyo primer componente es un elemento deA y el segundo componente es un elemento de B.
A × B = { (x,y) / x A ^ y B }
24
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotadoA × B, es el conjunto de todos los posibles paresordenados cuyo primer componente es un elemento deA y el segundo componente es un elemento de B.
A × B = { (x,y) / x A ^ y B }
Producto Cartesiano
Ejemplo:Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
Note queA tiene 3 elementosB tiene 2 elementosA x B tiene 6 elementos.
25
Ejemplo:Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
Note queA tiene 3 elementosB tiene 2 elementosA x B tiene 6 elementos.
Producto Cartesiano
Ejemplo:A = { oro, copa, basto, espada }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
A x B = { (oro, 1), (oro,2),…,(oro,12), (copa,1),(copa,2), …,(copa,12), …,(espada,12) }
Note queA tiene 4 elementosB tiene 12 elementosA x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)
26
Ejemplo:A = { oro, copa, basto, espada }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
A x B = { (oro, 1), (oro,2),…,(oro,12), (copa,1),(copa,2), …,(copa,12), …,(espada,12) }
Note queA tiene 4 elementosB tiene 12 elementosA x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)
Producto CartesianoRepresentación en forma de Tabla Ejemplo:
A = { , } B = { , , }
27
Ejemplo:A = { , } B = { , , }
Producto CartesianoRepresentación en forma deDiagrama
Ejemplo:A = { , } B = { , , }
28
Ejemplo:A = { , } B = { , , }
Producto Cartesiano
Ejemplo:A = { , } B = { , , }
29
Ejemplo:A = { , } B = { , , }
Gráfico cartesiano Dados los conjuntos
A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 }el gráfico cartesiano de A x B es:
La segunda componentede cada elemento del
producto cartesiano esla ordenada
30
La primera componentede cada elemento del
producto cartesiano esla abscisa
La segunda componentede cada elemento del
producto cartesiano esla ordenada
Ejercicio : indicar el gráficocartesiano de A x B dondeA = { x / x R –1 x 1 }B = R
31
Ejercicio : indicar el gráficocartesiano de A x B dondeA = { x / x R 2 x < 5 }B = { x / x R 1 < x 3}
32
Ejercicio : indicar el gráficocartesiano de A x B dondeA = { x / x R 2 x < 5 }B = { x / x R 1 < x 3}
Relación entre elementos de conjuntos Hay casos en que no todos los pares ordenados de
un producto cartesiano de dos conjuntosresponden a una condición dada.
33
Relación entre elementos de conjuntos Se llama relación entre los conjuntos A y B a un
subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par
ordenado, varios o todos los que forman parte deA x B.
34
Relaciones Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos
de A con los de B
b estárelacionado
con 1
3 es elcorrespondiente
de d
35
b estárelacionado
con 1
3 es elcorrespondiente
de d
Conjuntos de salida y de llegada deun relación A es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada
36
Dominio de una relación Dom(R) = x / xA (x,y) R
Dom(R) = {b, c, d}
37
Dom(R) = x / xA (x,y) R
Dom(R) = {b, c, d}
Imagen de una relación Im(R) = y / yB (x,y) R
Im(R) = {1, 3, 4}
38
Im(R) = y / yB (x,y) R
Im(R) = {1, 3, 4}
Notación Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y
significa que (x,y) R , o sea, que x está relacionado cony por la relación R.
Ej: b R 1 porque (b,1) R
39
Si R es una relación entre A y B , la expresión x R ysignifica que (x,y) R , o sea, que x está relacionado cony por la relación R.
Ej: b R 1 porque (b,1) R
Relación definida en un conjunto Cuando los conjuntos de partida y de llegada de una
relación R son el mismo conjunto A, decimos que R esuna relación definida en A, o, simplemente, una relaciónen A.
Una relación R en A es entonces un subconjunto de A2 =A x A
40
Cuando los conjuntos de partida y de llegada de unarelación R son el mismo conjunto A, decimos que R esuna relación definida en A, o, simplemente, una relaciónen A.
Una relación R en A es entonces un subconjunto de A2 =A x A
Relación definida en un conjunto Ejemplo:
Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “esmadre de” R es una relación en H. Por qué? Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis)
R. Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H
x H.
41
Ejemplo:
Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “esmadre de” R es una relación en H. Por qué? Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis)
R. Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H
x H.
Representación de una relación Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
Los vértices delgrafo son los
elementos A y lasaristas dirigidasrepresentan loselementos de R
42
Para poder construir el grafo dirigido A debe contener unnúmero finito de elementos
Los vértices delgrafo son los
elementos A y lasaristas dirigidasrepresentan loselementos de R
Representación de una relación Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
43
R puede representarse como matriz donde 1 indica quehay relación y 0 que no hay relación
Propiedades de las relacionesdefinidas en un conjunto
Si establecemos una relación entre los elementos de unmismo conjunto, existen cinco propiedadesfundamentales que pueden cumplirse en esa relación
Propiedad reflexiva
Propiedad simétrica
Propiedad asimétrica
Propiedad antisimétrica
Propiedad transitiva
44
Si establecemos una relación entre los elementos de unmismo conjunto, existen cinco propiedadesfundamentales que pueden cumplirse en esa relación
Propiedad reflexiva
Propiedad simétrica
Propiedad asimétrica
Propiedad antisimétrica
Propiedad transitiva
Propiedad reflexiva
La propiedad reflexiva dice que todos los elementos deun conjunto están relacionados con si mismo
45
R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R
Propiedad simétrica
La propiedad simétrica dice que si un elemento estárelacionado con otro, éste segundo también estárelacionado con el primero
46
R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x)también pertenece a R
Propiedad Simétrica Ejemplo Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en A2 son
simétricas
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}
47
Ejemplo Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en A2 son
simétricas
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}
Propiedad asimétrica Una relación es asimétrica si ningún par ordenado de la
relación cumple la propiedad simétrica.
48
Propiedad antisimétrica Una relación es
antisimétrica cuandosólo cumplen lapropiedad simétrica lospares de elementosiguales y no la cumplenlos pares formados pordistintos elementos.
49
Una relación esantisimétrica cuandosólo cumplen lapropiedad simétrica lospares de elementosiguales y no la cumplenlos pares formados pordistintos elementos.
Propiedad antisimétrica Ejemplo Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en A2 son
antisimétricas
R = {(2, 2), (4, 4)}
S = {(2, 4)}
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}
50
Ejemplo Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en A2 son
antisimétricas
R = {(2, 2), (4, 4)}
S = {(2, 4)}
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}
Propiedad transitiva La propiedad transitiva dice que si un elemento está
relacionado con otro y éste está a su vez relacionado conun tercero, el primer elemento está relacionado con eltercero.
51
R es transitiva six ,y ,z , (x,y) R (y,z) R (x,z) R
Propiedad transitiva Ejemplo Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones en A2 son
transitivas
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}
52
Ejemplo Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones en A2 son
transitivas
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}
Ejercicio Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen las
siguientes relaciones
R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.
R2 = {(1, 1)}.
R3 = {(1, 2)}.
R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.
53
Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen lassiguientes relaciones
R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.
R2 = {(1, 1)}.
R3 = {(1, 2)}.
R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.
Ejercicio
Sea A = {2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y) / xA, yA, | x – y | es divisible por 3}
Escribir por extensión a R.
54
Sea A = {2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y) / xA, yA, | x – y | es divisible por 3}
Escribir por extensión a R.
Casos especiales Como casos especiales de las relaciones en un conjunto
se define:
Relaciones de orden: Permite ordenar loselementos a través de la relación.
Relación de equivalencia: Permite marcarcaracterísticas similares entre los elementosde un conjunto
55
Como casos especiales de las relaciones en un conjuntose define:
Relaciones de orden: Permite ordenar loselementos a través de la relación.
Relación de equivalencia: Permite marcarcaracterísticas similares entre los elementosde un conjunto
Relación de orden La relación de orden es aquella en que los elementos pueden
ordenarse a través de la relación. Ejemplo
56
Relación de Orden Pueden definirse dos tipos de relación:
Relación de orden amplio. Relación de orden estricto.
57
Relación de orden amplio Una relación de orden amplio es aquella que cumple las
propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
58
Relación de orden amplioEjemplo: R = “… es menor o igualque…”
59
Ejemplo: Indicar si las siguientesrelaciones son de orden amplio
Sea A es el conjunto de los naturales yR = {(x,y) / x,y A ^ “x divide a y”}
60
Sea A es el conjunto de los subconjuntos de unconjunto dado yR = {(x,y) / x,y A ^ “x está incluído en y”}
Relación de orden estricto Una relación de orden estricto es aquella que cumple
con las propiedades asimétrica y transitiva, y nocumple con la propiedad reflexiva.
61
Relación de orden estrictoEjemplo: R = “… es menor que…”
62
Relación de equivalencia Permite marcar características similares entre los
elementos de un conjunto
63
Relación de equivalencia Permite marcar características similares entre los
elementos de un conjunto mediante su clasificación,determinando una partición del mismo en clases deequivalencia.
Se llama partición de unconjunto A, a todo
conjunto de subconjuntosno vacíos, disjuntos dos ados, de modo que la unión
de dichos conjuntosformen el conjunto A.
64
Se llama partición de unconjunto A, a todo
conjunto de subconjuntosno vacíos, disjuntos dos ados, de modo que la unión
de dichos conjuntosformen el conjunto A.
Clase de Equivalencia Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto sobre
el que está definida, llamaremos clase de equivalenciadel elemento a K, al subconjunto a de K formado portodos los elementos de K que están relacionados con apor R. Esto es:
a = {x / x K ^ a R x }
65
Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto sobreel que está definida, llamaremos clase de equivalenciadel elemento a K, al subconjunto a de K formado portodos los elementos de K que están relacionados con apor R. Esto es:
a = {x / x K ^ a R x }
Así, llamamos representantede la clase al elemento a ydiremos que, si x a, a es
equivalente a x por R
Conjunto Cociente Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto sobre
el que está definida, llamaremos conjunto cociente Kpor R y lo notaremos K/R a la partición de K formadapor todas las clases de equivalencia determinadas en Kdada R.
66
Es decir, el conjunto cociente es elconjunto de todas las clases de
equivalencia que se puedan formarcon los elementos de K, dada R.
Ejemplo de Relación de Equivalencia Sea H el conjunto formado por todos los seres
humanos.
R= {(x, y) / x,y H ^ "x es compatriota de y"}
R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota desi mismo.
R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y escompatriota de x".
R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y escompatriota de z, entonces x es compatriota de z".
67
Sea H el conjunto formado por todos los sereshumanos.
R= {(x, y) / x,y H ^ "x es compatriota de y"}
R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota desi mismo.
R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y escompatriota de x".
R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y escompatriota de z, entonces x es compatriota de z".
Ejemplo de Relación de Equivalencia Sea H el conjunto formado por todos los seres
humanos.
R= {(x, y) / x,y H ^ "x es compatriota de y"}
Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estaráformada por sus compatriotas.
El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjuntoformado por todas las clases de equivalencias.
H/R es una partición de H.
68
Sea H el conjunto formado por todos los sereshumanos.
R= {(x, y) / x,y H ^ "x es compatriota de y"}
Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estaráformada por sus compatriotas.
El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjuntoformado por todas las clases de equivalencias.
H/R es una partición de H.
Ejercicio
¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son deequivalencia?
R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre},donde S = {a / a es cualquier persona}
S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x escongruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen elmismo resto al ser divididos por 2.
69
¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son deequivalencia?
R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre},donde S = {a / a es cualquier persona}
S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x escongruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen elmismo resto al ser divididos por 2.
MUCHAS GRACIASMUCHAS GRACIAS
PREGUNTAS /COMENTARIOS
LUIS DAVID NARVÁEZ MATEMÁTICA
