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III. CALCULO INTEGRAL
III.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
III.1.1. EL CONCEPTO DE INTEGRAL
III.1.2. DEFINICION DE LA INTEGRAL DE RIEMANN
III.1.3. INTEGRALES INDEFINIDAS
III.1.4. FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION
III.2. METODOS DE INTEGRACION
III.2.1. INTEGRACION POR SUSTITUCION
III.2.2. INTEGRACION POR PARTES
III.2.3. INTEGRAL DEFINIDA
III.2.4. CALCULO DEL AREA DE UNA REGION PLANA
298
III. CALCULO INTEGRAL
En la unidad anterior, hemos conocido las técnicas para determinar la derivada de una
función real f(x), denotada por f´(x). Las reglas para determinar la derivada de una función
se pueden aprender bastante pronto y ser aplicadas con la misma seguridad con que nos
dedicamos a calcular una multiplicación. En la presente unidad nos preocuparemos de la
operación inversa al cálculo de la derivada de una función, conocida como el cálculo de la
integral de la función.
Esta unidad se compone de dos capítulos: LA INTEGRAL DE RIEMANN, donde nos
preocuparemos de definir el concepto de integral y conocer algunas de sus propiedades
básicas y los METODOS DE INTEGRACION, donde estudiaremos algunas técnicas para
determinar la integral de una función real y veremos su aplicación para el cálculo de áreas
de regiones planas.
299
III.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
Al finalizar el presente capítulo, el alumno deberá ser capaz de:
• Conocer la definición de la integral de Riemann.
• Conocer el concepto de integral indefinida o antiderivada
• Conocer las fórmulas básicas de integración de una función real.
300
III.1.1. EL CONCEPTO DE INTEGRAL
El origen del cálculo integral se remonta a más de 2000 años, cuando los griegos intentaban
resolver el problema del cálculo del área de una región cualquiera, ideando el
procedimiento que llamaron método de "exhausión". Este método consiste en que dada una
región cuya área se desea aproximar, se inscribe un polígono que la aproxime, pero tal que
su área sea de cálculo más fácil; luego se elige otra región poligonal que dé una
aproximación mejor y se continúa el proceso tomando polígonos con mayor número de
lados cada vez, tendiendo a llenar la región dada originalmente.
Gradualmente, el método de "exhausión" fue transformándose en lo que hoy se conoce
como Cálculo Integral, llegando a un mayor desarrollo en el siglo XVII, con las
contribuciones de Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716). En el siglo
XIX, fueron Augustin - Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866),
quienes le dieron la base matemática y lógica que conocemos hoy en día.
La aplicación más importante del cálculo de integrales, desde sus orígenes, corresponde a la
estimación del área de figuras irregulares, sin embargo existen un sin número de otras
aplicaciones, especialmente en física y geometría, como es el cálculo del trabajo de una
fuerza, el caudal de un fluido, la longitud de una cuerda, el volumen de un sólido en
revolución, etc.
El proceso de integración, veremos que no es más que una sofisticada forma de sumar una
cantidad innumerable de números reales. De hecho, el símbolo ∫, utilizado para representar
una integral corresponde a una estilización de la letra S, de suma.
En su desarrollo inicial, el proceso de integración se basaba en determinar la convergencia
de una serie. Posteriormente se desarrollaron las técnicas que permiten considerar a la
integración como el proceso inverso de la derivación, con lo que mucho del trabajo
relacionado con integración es actualmente la aplicación de fórmulas y desarrollo
algebraico apropiado.
Vamos a revisar un problema clásico de la mecánica física que servirá para fijar ideas sobre
el proceso de integración.
301
EJEMPLO III.1.1.1.
La aceleración debida a la gravedad cerca de la superficie terrestre es 9.8 [m/s2]. Esto
significa que la velocidad v de un cuerpo en caída libre en el vacío cerca de la superficie
terrestre cambia a razón de:
dtdv = 9.8[m/s2].
En problema surge al preguntarse: Si se deja caer un cuerpo desde el reposo, ¿Cuál es la
velocidad después de t segundos de soltarlo?
Para responder a esta pregunta, vamos a ordenar la información que conocemos:
• Como la aceleración es 9.8[m/s2]: dtdv = 9.8.
• Velocidad inicial del cuerpo es cero: v(0) = 0
• v(t) = dtdv t + C
Así, v(t) = 9.8t, pues v(0)=0 ⇒ 0 = 9.8 ⋅ 0 + C.
En forma más general, podemos considerar que el problema de determinar la velocidad de
un cuerpo que cae a partir de su aceleración, es un caso especial del problema de hallar una
función y = f(x) tal que
dxdv = f(x)
en algún intervalo ]a, b[ del eje x. Una ecuación como la anterior, esto es, que tiene una
derivada en su incógnita, se conoce como ecuación diferencial.
Una función y = F(x) se llama una solución de la ecuación diferencial, si F es
diferenciable en todo el dominio ]a, b[ y dxd F(x)=f(x). También decimos que F(x) es una
antiderivada o una primitiva de f(x).
De esta forma, resolver una ecuación diferencial de la forma dxdv = f(x), significa hallar
todas las funciones en el intervalo ]a, b[ que son antiderivadas de f.
Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces también F(x) + C es una antiderivada de f(x),
donde C es una constante cualquiera. Además, como se sabe que cualquier función y cuya
derivada sea f(x), sólo puede diferir de F en una constante C; se tiene que, todas las
soluciones de la ecuación dxdv = f(x), son de la forma: y = F(x) + C.
302
El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x,
y se denota por el símbolo: ∫ dxxf )( . Se tiene:
∫ dxxf )( = F(x) + C
Donde ∫ es el signo de integral, f(x) corresponde al integrando, dx es el elemento de
integración y expresa que la variable de integración es en este caso x, F(x) es la
antiderivada, y C es la constante de integración.
En los capítulos que siguen revisaremos cada uno de las técnicas más importantes de la
integración de funciones reales.
ACTIVIDAD III.1.1.2.
1. Pruebe que si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces también F(x) + C es una
antiderivada de f(x), donde C es una constante cualquiera.
2. Pruebe que todas las soluciones de la ecuación dxdv = f(x), son de la forma: y = F(x) +
C, donde F(x) es una antiderivada de f(x) y C es una constante arbitraria.
RESUMEN
En la presente sección se ha revisado de manera sucinta la historia del concepto matemático
de integral, fijando sus inicios sobre 2000 años atrás. Posteriormente se discute el problema
de determinar la velocidad que adquiere un cuerpo en caída libre, para ilustrar la necesidad
de introducir el concepto de integral. Se termina el capítulo, estableciendo la simbología
para: integral, integrando, elemento de integración, antiderivada y constante de integración.
AUTOEVALUACION
1. F(x) es el integrando de ∫ dxxf )( = F(x) + C.
2. C es la constante de integración de ∫ dxxf )( = F(x) + C.
3. f(x)=x2 es una ecuación diferencial.
4. F(x)=2x+1 es una solución para dxd f(x)=2.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Verdadero.
3. Falso.
303
4. Verdadero.
GLOSARIO
Dominio: Conjunto de partida de una función.
Ecuación diferencial: Ecuación donde la incógnita es una función que aparece expresada en
términos de sus derivadas.
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Funciones reales: funciones cuyo dominio y recorrido son números reales.
Números reales: los números naturales, enteros, racionales, e irracionales.
Polígonos: figuras geométricas delimitadas por trozos de rectas.
SIMBOLOS
f(x) : función real.
∫ dxxf )( : Antiderivada de f.
= : Igual que.
⇒ : Implica.
[a, b] : Intervalo de números reales.
dxd : Derivada con respecto a x.
304
III.1.2. DEFINICION DE LA INTEGRAL DE RIEMANN
De acuerdo a su desarrollo histórico, el concepto de integral formaliza la idea de área. En
efecto, es conocido que existen muchas fórmulas para calcular áreas de figuras planas, pero
no existe una fórmula general que nos permita encontrar el área de cualquier región (que no
sean un triángulo, un círculo, un rectángulo, etc.).
Para derivar una definición del área bajo una curva en un intervalo cerrado y la curva
siempre positiva, se introducen los conceptos de partición, suma superior e inferior de
Riemann. El tipo de región del que estamos hablando es mostrada en la figura anterior y la
denotaremos por R(f, a, b).
A continuación, veremos un razonamiento que nos servirá para formalizar el concepto de
integral. La definición permitirá encontrar el área de regiones suficientemente generales. El
número que asignaremos como área de R(f, a, b) lo llamaremos integral de f sobre [a, b].
La integral también se define para funciones que no cumplen con la restricción f(x) > 0. En
este caso la integral representa la diferencia entre el área que esta sobre el eje x y el área
que esta debajo del eje.
Pasemos a definir formalmente el área de una región R(f, a, b). Para fijar ideas,
consideremos que el intervalo [a, b] lo dividimos en cuatro subintervalos, tenemos:
[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], [x3, x4],
donde se cumple que:
a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 = b.
305
La numeración de los subíndices empieza por 0 de modo que el subíndice más grande sea
igual al número de subintervalos.
Sobre el primer intervalo [x0, x1] la función f tiene un valor mínimo m1 y el valor Máximo
M1.
Sobre el segundo intervalo [x1, x2] la función f tiene un valor mínimo m2 y el valor
Máximo M2.
Análogamente, sea mi el valor mínimo y Mi el valor Máximo de f sobre el intervalo i-ésimo
[xi-1, xi], esto es:
mi = ],[ 1 ii xxx
Min
−∈{f(x)}
Mi = ],[ 1 ii xxx
Max
−∈{f(x)}
Ahora, la "suma":
s = m1(x1 - x0) + m2 (x2 - x1) + m3(x3 - x2) + m4(x4 - x3)
representa el área total de los rectángulos dentro de la región R(f, a, b). Mientras que la
"suma":
S = M1(x1 - x0) + M2(x2 - x1) + M3(x3 - x2) + M4(x4 - x3),
representa el área total de los rectángulos que contienen la región R(f, a ,b).
Es importante destacar que se tiene la siguiente relación de orden: s ≤ Area(R(f, a, b)) ≤ S.
Cualquiera que sea la división que se haga del intervalo [a, b] intuitivamente se tiene que si
tomamos más subintervalos entonces s y S serán más cercanos y acotarán mejor el área. Se
306
tiene así, que si tomamos infinitos subintervalos, llegaremos a que s = S. El valor común
encontrado, corresponde al valor del área.
Para formalizar adecuadamente esto, estableceremos las siguientes definiciones:
Definición 1: Sea a < b. Llamaremos Partición del Intervalo [a, b] a toda colección finita de
puntos de [a, b], de los cuales uno es a y el otro b. Notación: P = {x0, x1, x3,...,xn}.
Los puntos de una partición son numerados en orden ascendente x0, x1, ...., xn de manera
que a = x0 < x1 < ...< xn = b.
Definición 2: Supongamos que f es acotada sobre [a, b] y P = {x0, x1, x3,...,xn} es una
partición de [a, b], sea,
mi = Min{f(x) : xi-1 ≤ x ≤ xi}
Mi = Max{f(x) : xi-1 ≤ x ≤ xi}
La suma de Riemann inferior de f para P, designada por L(f, p) (lower) se define por:
L(f, p) = ∑=
n
i 1mi(xi - xi-1).
La suma de Riemann superior de f para P, designada por U(f, p) (upper), se define por:
U(f, p) = ∑=
n
i 1Mi(xi - xi-1).
La suma inferior y superior correspondiente a s y S de la discusión anterior, supone la
representación de las áreas totales de los rectángulos que quedan por debajo y por encima
de la gráfica de f, respectivamente. Sin embargo, esta suma se ha definido sin recurrir al
concepto de "área".
Notemos que como f se supone acotada, mi y Mi siempre existen al definirlos como:
mi = Min{f(x)}
Mi = Max{f(x)},
siempre que f sea continua. Sin embargo, como la existencia del mínimo y máximo de f
sólo se garantiza cuando la función f es continua, para generalizar las definiciones
anteriores al caso de que no sea continua, se deben reemplazar el mínimo y máximo por el
ínfimo y el supremo, esto es:
mi = Inf{f(x)}
Mi = Sup{f(x)}
307
Estas son las definiciones que usualmente se utilizan en los libros para construir la suma
inferior y superior de Riemann.
Observemos que si P es una partición cualquiera, entonces se cumple que,
L(f, p) ≤ U(f, p) pues, mi(xi - xi-1) ≤ Mi(xi - xi-1) y,
∑=
n
i 1mi (xi - xi-1) ≤ ∑
=
n
i 1Mi (xi - xi-1)
Por otra parte, debería cumplirse que si p1 y p2 son dos particiones cualquiera, entonces,
L(f1, p1) ≤ U(f2, p2 )
De lo anterior, se concluye que cualquier suma superior U(f, p') es una cota superior para
el conjunto de todas las sumas inferiores L(f, p). En consecuencia, cualquiera suma superior
U(f, p') es mayor o igual que la cota superior mínima de todas las sumas inferiores. Así,
Sup{L(f, p): p partición de [a, b]} ≤ U(f, p') ∀ p'
Esto también significa que sup{L(f, p')} es una cota inferior para el conjunto de todas las
sumas superiores de f. Así,
Sup{L(f, p)} ≤ Inf {U(f, p)}.
Tanto éste sup como el inf se encuentran entre la suma inferior y la suma superior de f para
todas las particiones. Así,
L(f, p') ≤ sup{L(f, p)} ≤ U(f, p')
L(f, p') ≤ Inf {U(f, p)} ≤ U(f, p')
Un análisis cuidadoso nos muestra que solo se pueden dar dos situaciones:
• Sup{L(f, p')} = Inf{U(f, p)}. En este caso, este es el único número entre la suma
inferior y la suma superior de f para todas las particiones, y es en consecuencia un
candidato ideal para el área de R(f, a, b).
• Sup{L(f, p')} < Inf {U(f, p)}. En este caso, no es claro que sea posible definir un área
bajo la curva.
EJEMPLO III.1.2.1.
Encuentre la integral de la función real constante f(x) = C, entre a y b, que define la región
mostrada en la figura.
308
Si P = {x0, x1, x3,...,xn} es una partición cualquiera de [a, b], entonces mi = Mi = C. Luego,
L(f, p) = ∑=
n
i 1C(xi - xi-1) = C(b - a)
U(f, p) = ∑=
n
i 1C(xi - xi-1) = C(b - a)
En este caso, Sup {L(f, p)} = Inf {U(f, p)} = C(b - a) y, Area(R(f, a, b)) = C(b - a)
EJEMPLO III.1.2.2.
Determine la integral sobre el intervalo [0, 1] de la función real:
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
racionalx
irracionalxxf
,1
,0)(
Si P = {x0, x1, x3,...,xn} es una partición cualquiera para el intervalo [0, 1], entonces:
• mi=0. Puesto que existe un número irracional en [xi-1, xi ].
• Mi=1. Puesto que existe un número racional en [xi-1, xi].
Por lo tanto:
L(f, p) = ∑=
n
i 10(xi - xi-1) = 0
U(f, p) = ∑=
n
i 11(xi - xi-1) = b - a
Así, Sup{L(f, P)} < Inf{U(f, P)}, por lo que no existe el área bajo la curva para la región
de este ejemplo.
309
A continuación, definiremos el concepto de integral, en base a las sumas inferior y superior
de Riemann:
Definición 3: Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si solo si, S = I,
donde,
Sup{L(f, P): P partición de [a, b]}
Inf {U(f, P): P partición de [a, b]}
El número común, S = I recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota por
∫b
a
dxxf )( . El parámetro a es el límite de integración inferior, mientras que b es el límite de
integración superior, f(x) es el integrando, dx es el elemento de integración y ∫ es el signo
de integral.
Cuando f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b], se tiene que ∫b
a
dxxf )( es el área de R(f, a, b).
La definición anterior no es operativa. En realidad, para calcular integrales sólo se utilizan
en la práctica las fórmulas y técnicas de integración (o antiderivadas), tal como se ilustrará
en los próximos capítulos. Sin embargo, en el próximo ejemplo ilustraremos la manera de
encontrar la integral de una función de acuerdo con la definición de integral vista.
EJEMPLO III.1.2.3.
Determine la integral de f(x) = x sobre el intervalo [0, b], como se muestra en la figura.
Si P = {x0, x1, x3,...,xn} es una partición de [0, b], entonces mi = xi-1 y Mi = xi, luego:
L(f, p) = ∑=
n
i 1xi-1(xi - xi-1)
310
= x0(xi - x0) + x1(x2 - x1) + … +xn-1(xn - xn-1)
U(f, p) = ∑=
n
i 1xi-1(xi - xi-1)
= x1(x1 - x0) + x2(x2 - x1) + … + xn(xn - xn-1)
Estas fórmulas se simplifican si consideramos particiones Pn = {x0, x1, x3,...,xn} en n-
subintervalos iguales. En este caso la longitud de cada subintervalo longitud(xi-1, xi) = xi -xi-
1 = b / n. Así,
x0 = 0
x1 = b/n
x2 = 2b/n
M
xi = ib/n
M
xn = b
Entonces,
L(f, Pn) = ∑=
n
i 1xi-1(xi - xi-1)
= ∑=
n
i 1 (i-1)b/n ⋅ b/n
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑−
=
1
0
n
jj 2
2
nb (aquí j = i - 1)
= (1 + 2 + 3 + … +(n - 1)) 2
2
nb
= 2
)1( nn −2
2
nb (recordando que 1 + 2 + … + k =
2)1( +kk )
= 2
1 2bn
n −
Análogamente,
U(f, Pn) = ∑=
n
i 1xi(xi - xi-1)
= ∑=
n
i nib
1 nb
= 2
)1( nn +2
2
nb
311
= n
n 1+2
2b
Tenemos ahora que,
Sup{L(f, P)} = ∞→n
lim L(f, Pn)
= ∞→n
lim2
1 2bn
n −
= b2/2
Inf {U(f, P)} = ∞→n
lim U(f, Pn)
=∞→n
lim n
n 1+2
2b
= b2/2
Así, como Sup{L(f, P)} = Inf{U(f, P)} = b2 / 2, f es integrable en [a, b] y se tiene que:
2
2
0
bxdxb
=∫
Podemos construir una primera tabla de integrales, con los ejemplos y las actividades
propuestas en esta sección, como se muestra a continuación:
b
a
b
a
xdx =∫ = 1 (b – a)
b
a
b
a
xxdx 2
21
=∫ = 21 (b2 – a2)
b
a
b
a
xdxx 32
31
=∫ = 31 (b3 – a3)
Antes de proseguir con la justificación de como encontrar una integral (o un área bajo la
curva). Planteamos un teorema que establece condiciones suficientes para que una función
sea integrable:
Teorema : Si f es continua en [a, b], entonces f es integrable en (a, b).
Sin embargo, también existen funciones discontinuas que son integrables.
312
ACTIVIDAD III.1.2.4.
1. Pruebe que ∫b
a
xdx = 21 (b2 – a2).
2. Pruebe que ∫b
a
dxx 2 = 31 (b3 – a3).
3. Determine sí la función discontinua:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤=
1,2
1,1)(
xsi
xsixf
es integrable sobre el intervalo [0, 2].
RESUMEN
En esta sección se revisa la definición formal de la integral en el sentido de Riemann. Esta
consiste en considerar rectángulos que cubren cada vez mejor el área bajo la curva de la
función en un intervalo [a, b]. Cuando se consideran los rectángulos de ancho infinitamente
pequeños, la suma total de sus áreas corresponde a la integral de la función sobre el
intervalo.
AUTOEVALUACION
1. Para que una función sea integrable en el sentido de Riemann, debe cumplirse que la
suma superior e inferior de Riemann sean iguales.
2. Si f(x) ≥ 0, entonces la integral sobre [a, b] corresponde al área de la región R(f, a, b).
3. f es integrable sobre [a, b] ssi f es continua sobre [a, b].
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Verdadero.
3. Falso.
GLOSARIO
Cota inferior: número menor a todos los elementos de un conjunto de números reales.
Cota superior: número que es mayor que todos los elementos de un conjunto.
313
Función: relación que asocia cada preimagen una única imagen.
Intervalo cerrado: conjunto de números reales que forman un trozo de recta sobre la recta
real y contiene a sus extremos.
SIMBOLOS
f(x) : función real.
∫ dxxf )( : Antiderivada de f.
= : Igual que.
< : Menor que.
⇒ : Implica.
[a, b] : Intervalo de números reales.
dxd : Derivada con respecto a x.
Min : Mínimo
Max : Máximo
Sup : Supremo
Inf : Infimo.
U(f, P) : Suma superior de Riemann.
L(f, p) : Suma inferior de Riemann.
314
III.1.3. INTEGRALES INDEFINIDAS
La integral indefinida o antiderivada, corresponde de acuerdo a los teoremas fundamentales
del cálculo, a la operación inversa de la derivada de un función. Esto es, si,
∫ dxxf )( = F(X) + C,
se tiene que,
dxd (F(X) + C) = f(x).
La constante C que aparece, significa que existen infinitas funciones F(x) que comparten la
propiedad que al derivarlas den f(x), basta con sumar o restar una constante (cuya derivada
es cero).
EJEMPLO III.1.3.1.
Consideremos la integral indefinida: ∫ dxx 2 = 31 x3 + C.
En este caso se tiene, por ejemplo, que,
dxd (
31 x3 + 5) = x2
dxd (
31 x3 - 1) = x2
dxd (
31 x3 + π) = x2
Teorema Fundamental del Cálculo: Supongamos ahora que f es integrable sobre [a, b].
Podemos definir una nueva función f sobre [a, b] por F(x) = ∫x
a
dttf )( .
Hemos visto que f es integrable incluso no siendo continua, sin embargo se tiene el
siguiente teorema, que establece que f siempre es continua:
Teorema: Si f es integrable sobre [a, b] y f está definida sobre [a, b] por, F(x) = ∫x
a
dttf )( ,
entonces f es continua en [a, b].
Demostración: Queremos probar que cx
lim→
F(x) = F(c), ∀ c ∈ [a, b]. Ahora como f es
integrable sobre [a, b], f está acotada sobre [a, b].
315
Así, existe M tal que |f(x)| ≤ M, ∀ x ∈ [a, b]. Este acotamiento de f nos permite realizar las
siguientes relaciones, para establecer lo que ocurre con el límite en c:
• Si h > 0, entonces
F(c + h) - F(c) = ∫+hc
dttf0
)( - ∫c
dttf0
)(
= ∫+hc
c
dttf )(
y como
-M ≤ f(x) ≤ M
-Mh ≤ ∫+hc
c
dttf )( ≤ Mh
Así, -Mh ≤ f(c + h)- f(c) ≤ Mh.
• Si h < 0, entonces
F(c) - F(c + h) = ∫c
dttf0
)( - ∫+hc
dttf0
)(
= ∫+
c
hc
dttf )(
y,
Mh ≤ ∫+
c
hc
dttf )( ≤ -Mh
En resumen, |F(c + h) - F(c)| ≤ M|h| , luego 0→h
lim F(c + h) = F(c). Así f es continua en c, lo
que demuestra el teorema.
Sabemos ahora que si f es integrable, entonces F(x) = ∫x
a
dttf )( es continua. Estamos en
condiciones de establecer el siguiente teorema, que por su importancia, recibe el nombre de
"primer teorema fundamental del cálculo".
Teorema: (Primer teorema fundamental del cálculo) Sea f integrable sobre [a, b] y sea F(x)
= ∫X
dxtf0
)( . Si f es continua en c ∈ [a, b]; entonces f es derivable en c y F'(c) = f(c).
El lector interesado puede encontrar esta demostración en el texto de SPIVAK (pág. 358-
359). El teorema nos está diciendo que al aplicar la derivada sobre la integral, entonces se
anulan ambas operaciones.
316
Como corolario de este teorema, podemos establecer el "segundo teorema fundamental del
cálculo", que establece que al aplicar la integral sobre la derivada, se anulan ambas
operaciones.
Corolario: (Segundo teorema fundamental del cálculo) Si f es continua sobre [a, b] y t = g' ,
∀g, entonces ∫b
a
dxxf )( = g(b) - g(a)
Del primer y segundo teorema fundamental del cálculo, se desprende la importante
consecuencia de que la integral y la derivada son operaciones inversas entre si.
RESUMEN
En esta sección se ha visto que: La integral ∫b
a
dxxf )( se llama integral definida de f en [a,
b] y que la primera aplicación práctica de la Integral Definida es el área bajo la curva
(como se desprende la definición). En cambio, la integral ∫ dxxf )( se conoce como
integral indefinida o antiderivada de f(x) y como consecuencia del teorema fundamental del
cálculo, no es más que el proceso inverso de la derivada de una función.
AUTOEVALUACION
1. Si ∫ dxxf )( = F(x) + C, entonces f(x) es el integrando.
2. El primer teorema fundamental del cálculo establece que la derivada es la operación
inversa de la integral.
3. El segundo teorema fundamental del cálculo establece que la integral es la operación
inversa de la derivada.
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Verdadero.
3. Verdadero
GLOSARIO
Derivada: pendiente de la recta tangente a una función en un punto.
317
Función: relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Integrable: función donde la suma superior de Riemann es igual en el límite a la suma
inferior de Riemann.
SIMBOLOS
∀ : Para todo.
f(x) : función real.
∫ dxxf )( : Antiderivada de f.
= : Igual que.
≤ : Menor o igual que.
[a, b] : Intervalo de números reales.
dxd : Derivada con respecto a x.
0→hlim : limite cuando h tiende a cero.
318
III.1.4. FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION
Las fórmulas básicas de integración las deduciremos a continuación, una por una, para
formar una primera tabla de propiedades.
• ∫ dxdxdu = u(x) + C, pues [ ]
dxduCxu
dxd
=+)( . La integral de la derivada de una función
diferenciable u es u más una constante.
• ∫ ∫= dxxuadxxau )()( , pues [ ]dxduaxau
dxd
=)( . Una constante puede sacarse fuera del
signo de integral.
• [ ]∫ ∫∫ +=+ dxxvdxxudxxvxu )()()()( , pues [ ]dxdv
dxduxvxu
dxd
+=+ )()( . La integral de
la suma de dos funciones es la suma de sus integrales. Por supuesto, es posible
generalizar esta situación a la suma de cualquier número finito de funciones.
• Cnudx
dxduu
nn +
+=
+
∫ 1
1
, n ≠ 1, pues dxduuC
nu
dxd n
n
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
+
1
1
. Un caso especial de esta
propiedad se obtiene cuando u(x) = x. Cnxdxx
nn +
+=
+
∫ 1
1
• ∫ += Cudxdxdu
u||ln1 , pues [ ]
dxdu
uCu
dxd 1||ln =+
EJEMPLO III.1.4.1.
Encontrar la integral siguiente, aplicando las propiedades vistas:
∫ +− dxxx )25( 2 = ∫ 5xdx - ∫ x2dx + ∫ 2dx
= 5 ∫ xdx - ∫ x2dx + 2 ∫ dx
= 5x2/2 - x3/3 + 2x + C
EJEMPLO III.1.4.2.
Determine la siguiente integral:
∫ x1/2dx = 2/3 x3/2 + C
EJEMPLO III.1.4.3.
Encuentre la siguiente integral indefinida, aplicando las propiedades vistas:
∫ (x2 + 5)2dx = ∫ (x4 +10x2 +25)dx
319
= ∫ x4dx + ∫ 10x2dx + ∫ 25dx
= ∫ x4dx +10 ∫ x2dx +25 ∫ dx
= 1/5x5 +10 ⋅1/3 ⋅ x3 + 25x + C
EJEMPLO III.1.4..4.
Determine la siguiente integral indefinida:
∫ (x2 + 5)22xdx = ∫ u2du
= 1/3⋅ u3 + C = 1/3(x2 + 5)3 + C
Sobre la base de las conocidas fórmulas de derivadas, podemos establecer una primera tabla
de integrales:
∫ adx = ax + C
∫ xndx = xn+1/(n+1) +C, n ≠ -1
∫ dx/x = ln|x| + C
∫ exdx = ex + C
∫ sen(x)dx = - cos(x) + C
∫ cos(x)dx = sen(x) + C
∫ sec2(x)dx = tan(x) + C
∫ sec(x)tan(x)dx = sec(x) + C
EJEMPLO III.1.4.5.
Calcular la integral indefinida:
∫ (x2 + 4x3 - 7cos(x))dx = ∫ x2dx + 4 ∫ x3dx -7 ∫ cos(x)dx
= x3/3 + 4⋅ x4/4 -7sen(x) + C
= x3/3 + x4 - 7sen(x) + C
320
RESUMEN
Las principales propiedades de la integral indefinida, y que conforman en definitiva su
álgebra, se resumen a continuación:
• ∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
• ∫ ∫ ∫−=− dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
• ∫ ∫= dxxfCdxxCf )()(
321
III.2. METODOS DE INTEGRACION
En el presente capítulo se estudian algunas técnicas para determinar la integral de una
función real y algunas de sus aplicaciones (el cálculo del área de una figura plana). El lector
debe estar consciente de la existencia de diversas tablas de integrales, las cuales con la
ayuda de las técnicas básicas estudiadas aquí, permiten determinar la integral de cualquier
función real.
Los objetivos de este capítulo son:
• Conocer y aplicar la técnica de sustitución para obtener la integral indefinida de una
función real.
• Conocer y aplicar la técnica de integración por partes.
• Conocer el concepto de integral definida.
• Aplicar la integral indefinida para calcular el área de regiones planas.
322
III.2.1. INTEGRACION POR SUSTITUCION
Consiste en transformar una integral con un integrando complicado en una más sencilla,
usando la regla de la cadena para la composición de funciones. Se puede aplicar en todas
aquellas integrales en las que es posible detectar que una parte del integrando es la
derivada del restante.
Para resolver una integral ( ∫ dxxh )( ) por el método de sustitución, se debe descomponer el
integrando (h(x)dx) en dos partes: la que corresponde a la composición de dos funciones
(f(g(x))) y la derivada de la función más interior (g'(x)). Se procede a sustituir la función
g(x) por una variable u y su derivada g'(x) por du. Entonces se ha logrado reducir la
integral original ( ∫ dxxgxgf )('))(( ) al problema de integral f(u)du.
Para fijar ideas, supongamos que ∫ dxxf )( = F(x)+C, entonces para poder integrar,
∫ dxxgxgf )('))((
sustituimos g(x) por u (luego du=g'(x)dx). Así, se tiene:
∫ dxxgxgf )('))(( = ∫ duuf )(
= F(u) + C
= F(g(x)) + C
EJEMPLO III.2.1.1.
Sabemos que la integral de la función coseno, corresponde a la función seno, esto es,
∫ dxx)cos( = sen(x) + C, entonces, el método de integración por sustitución nos dice que,
∫ dxxgxg )('))(cos( = sen(g(x)) + C
En particular, si consideramos g(x)=x3 (y por lo tanto g'(x)=3x2), se tiene,
∫ dxxx 23 3)cos( = ∫ duu)cos(
= sen(u) + C
= sen(x3) + C (volviendo a la variable original).
Por supuesto, el éxito del método descansa en la habilidad para determinar la parte del
integrando que se ha de sustituir.
EJEMPLO III.2.1.2.
Determine la integral indefinida de ∫ xdxe x 22
323
El integrando 2xe 2xdx lo descomponemos en dos partes:
2xe que corresponde a la
función exponencial evaluada sobre la función g(x) = x2 y 2xdx que corresponde a la
derivada de x2. Realizamos la sustitución u = x2 y la integral se transforma de la siguiente
manera:
∫ xdxe x 22
= ∫ dueu
cuya integral corresponde a eu + C. Por último volvemos a la variable original y nos queda:
∫ xdxe x 22
= ∫ dueu = eu + C = 2xe + C
Existe la probabilidad de que en algunos casos no se pueda aplicar el método de sustitución.
El siguiente ejemplo ilustra una situación donde no es posible descomponer el integrando
en las dos partes necesarias para aplicar el método.
EJEMPLO III.2.1.3.
Considere la integral ∫ dxe x2
. En el presente caso, la sustitución obvia es u = x2, pero du =
2xdx no aparece en el integrando, por lo que no es posible aplicar el método.
En general la aplicación del método de sustitución se presenta de las siguientes formas:
• Cmxgdxxgxg
mm +
+=∫
+
1))(()('))((
1
, m ≠ 1
• ∫ += Cedxxge xgxg )()( )('
• ∫ += Cxgdxxgxg ))(ln()()('
En los ejemplos siguientes vamos a mostrar algunos de los detalles de la aplicación del
método a diversos tipos de integrandos.
EJEMPLO III.2.1.4.
Encuentre la integral indefinida (multiplicación de polinomios):
∫ +++ dxxxx 32 )32)(22(
Realizamos la sustitución: u = x2 + 2x + 3, de donde du = (2x + 2)dx; entonces:
∫ +++ dxxxx 32 )32)(22( = ∫ duu 3
= 4
4u + C
324
= (x2 + 2x + 3)4/ 4 + C
EJEMPLO III.2.1.5.
Encuentre la integral indefinida (cuociente de polinomios):
∫ +++
dxxxx
33
2
)33()1(
En este caso conviene realizar la sustitución: u = x3 + 3x + 3, con lo que se tiene du = (3x2
+ 3)dx, luego:
∫ +++
dxxxx
33
2
)33()1( = ∫ − duu 3
31
= 23
1 2
−⋅
−u + C
= - u-2 /6 + C
= - (x3 + 3x + 3)-2/6 + C
EJEMPLO III.2.1.6.
Encuentre la integral indefinida (multiplicación de funciones seno y coseno):
∫ dxxx )cos()sen(
Sustitución u = sen(x), du = cos(x)dx.
∫ dxxx )cos()sen( = ∫ udu
= u2/ 2 + C
= sen2(x)/ 2 + C
Se debe observar que en este caso también se podría haber considerado la sustitución u =
cos(x), llegando a un resultado equivalente al encontrado.
EJEMPLO III.2.1.7.
Encuentre la integral indefinida (multiplicación de potencia de seno o coseno con la otra
función trigonométrica):
∫ dxxx )cos()sen( 4
Sustitución u = sen(x), du = cos(x)dx.
∫ dxxx )cos()sen( 4 = ∫ duu 4
= u5/5 + C
= sen5(x) / 5 + C
325
EJEMPLO III.2.1.8.
Encuentre la integral indefinida (potencia impar de función trigonométrica seno o
coseno):
∫ dxx)(sen 3
Utilizamos primero la identidad trigonométrica sen2(x) = 1 - cos2(x), para transformar la
expresión a una más adecuada. La sustitución empleada posteriormente es u = cos(x).
∫ dxx)(sen 3 = ∫ ⋅ dxxx )(sen)sen( 2
= ∫ − dxxx ))(cos1)(sen( 2
= ∫ ∫− dxxxdxx )(cos)sen()sen( 2
= - cos(x) + C + ∫ duu 2
= - cos(x) + u3/3 + C
= - cos(x) + cos3(x)/3 + C
EJEMPLO III.2.1.9.
Encuentre la integral indefinida (cuociente de funciones trigonométricas):
∫ −+ dx
xxxx
3/1))cos()(sen()cos()sen( ,
si realizamos la sustitución u = sen(x) - cos(x), cuya derivada corresponde a du = sen (x) +
cos(x), se tiene:
∫ −+ dx
xxxx
3/1))cos()(sen()cos()sen( = ∫ 3/1u
du
= ∫ − duu 3/1
= 3u2/3/2 + C
= 3(sen(x) - cos(x))2/3/2 + C
Considere lo que habría sucedido si se hubiera pedido integrar la expresión
∫ −− dx
xxxx
3/1))cos()(sen()cos()sen(
¿Habría podido utilizar la misma sustitución? ¿Por qué?. (La respuesta es no).
EJEMPLO III.2.1.10.
Encuentre la integral indefinida (potencia de polinomios):
∫ + dxxx 3/232 )278(
326
Sustitución u = 8x3 + 27, de donde du = 24x2dx.
∫ + dxxx 3/232 )278( = ∫ duu24
3/2
= Cu +⋅ 3/5
53
241
= (8x3 + 27)5/3/40 + C
En términos generales, se debe observar que para encontrar una integral indefinida por el
método de sustitución, debemos reconocer en la función que se desea integrar el elemento
más complejo que aparezca. En el presente caso, (8x3 + 27)2/3, frente a x2. Posteriormente
eliminamos la función más externa, esto es la elevación a la potencia 2/3. Así nos
quedamos con el candidato a ser la sustitución adecuada, u = 8x3 + 27.
EJEMPLO III.2.1.11.
Encuentre la integral indefinida (raíces de funciones):
∫+
dxx
x3
2
1
En este caso, consideramos la sustitución: u = 1 + x3, du = 3x2, se tiene entonces:
∫+
dxx
x3
2
1 = ∫ u
du31
= ∫ − duu 2/1
31
= 2u1/2/3 + C
= 3132 x+ +C
EJEMPLO III.2.1.12.
Encuentre la integral indefinida (exponencial de polinomios):
∫ + dxe x 53
En este caso, realizamos la sustitución u = 3x + 5, de donde se obtiene que du = 3dx.
Reemplazando en la integral se tiene:
∫ + dxe x 53 = ∫ dueu
31
= eu/3 + C
= e3x+5/3 + C
Los próximos ejemplos refuerzan la aplicación de esta técnica a muchas situaciones de
integración comunes.
327
EJEMPLO III.2.1.13.
Encuentre la integral indefinida
∫ dxxx)sen()cos(
Sustitución u = sen (x), du = cos(x)dx.
∫ dxxx)sen()cos( = ∫ u
du
= ln|u| + C
= ln|sen (x)| + C
Se debe observar que la integral anterior, corresponde a la integral de la función
cotangente. Así,
∫ dxxan )(cot = ln|sen(x)| + C
= - ln|cosec (x)| + C.
Una técnica análoga puede ser aplicada para encontrar la integral indefinida de la función
tangente, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO III.2.1.14
Encuentre la integral indefinida de la función tangente:
∫ dxxtan )(
utilizando la sustitución u = cos(x), du = - sen(x)dx, se tiene:
∫ dxxtan )( = ∫ dxxx)cos()sen(
= - ∫ udu
= - ln|u| + C
= - ln|cos(x)| + C
= ln |1/cos(x)| + C
= ln|sec (x)| + C
EJEMPLO III.2.1.15.
Encuentre la integral indefinida:
∫ −92xdx
En el presente caso, el primer intento es con la sustitución u = x2 - 9, sin embargo, como du
= 2xdx, nos damos rápidamente cuenta que este camino no es adecuado. Por ese motivo, se
328
busca descomponer la función, de manera de intentar nuevas sustituciones. Para este caso,
se usó la propiedad:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−=
− 31
31
61
91
2 xxx
y se utilizaron las sustituciones u1 = x - 3 y u2 = x + 3.
∫ −92xdx = dx
xx∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
− 31
31
61
= ∫ −361
xdx - ∫ + 36
1xdx
= ∫∫ −2
2
1
1
61
61
udu
udu
= 21 ln61ln
61 uu − + C
= Cxx
++−
33ln
61
ACTIVIDAD III.2.1.16.
1. Encuentre la integral indefinida: ∫ + dxxx 4/1)1(
Solución:
Sustitución: u = 1 + x.
∫ + dxxx 4/1)1( = ∫ − duuu 4/1)1(
= ∫∫ − duuduu 4/14/5
= 24/5
14/9
54
94 CuCu +−+
= Cxx ++−+ 4/54/9 )1(54)1(
94
2. Encuentre la integral indefinida: ∫ ++ dx
xx
1)1sen(
Solución:
Sustitución: 1+x .
∫ ++ dx
xx
1)1sen( = 2 ∫ duu)sen(
= - 2cos(u) + C
= -2cos( 1+x ) + C.
3. Encuentre la integral indefinida: ∫ dxxe x )sen()cos( .
Solución:
Sustitución: u = cos(x).
329
∫ dxxe x )sen()cos( = - ∫ dueu
= -eu + C
= -ecos(x) + C
4. Encuentre la integral indefinida: dxx
xtan∫
)(
Solución:
Sustitución u = x . En realidad en la integral se realizan dos sustituciones.
dxx
xtan∫
)( = 2 ∫ duutan )(
= 2 Cu +)sec(ln
= 2 Cx +)sec(ln
5. Encuentre la integral indefinida: ∫ dxx210
Solución:
Sustitución: u = 2x.
∫ dxx210 = ∫ duu1021
= Cu
+)10ln(
1021
= Cx
+)10ln(
1021 2
6. Encuentre la integral indefinida ∫ −++ dxxxx )64sen()2( 2
Solución:
En este caso, realizamos la sustitución u = x2 + 4x – 6, con lo que se tiene du = (2x + 4)dx.
Así:
∫ −++ dxxxx )64sen()2( 2 = ∫ duu)sen(21
= Cu +− )cos(21
= - Cxx +−+ )64cos(21 2
7. Encuentre la integral indefinida: ∫ + dxxx 31
Solución:
Sustitución u = 1 + 3x, por lo que (u – 1)/3 = x. Además du=3dx, así se tienen los
siguientes reemplazos:
∫ + dxxx 31 = ∫ − duuu )1(91
330
= ( )∫∫ − duuduuu91
= ( )∫∫ − duuduu 2/12/3
91
= Cuu +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − 2/32/5
32
52
91
= Cxx ++−+ 2/32/5 )31(272)31(
452
EJERCICIO III.2.1.17.
1. Derive cada una de las soluciones de las actividades para verificar que efectivamente
son las integrales buscadas.
2. Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
a) ∫ + dxx 12
b) ∫ +++ dxxx
x32 )22(
)1(
c) ∫ dxxx
)(sen)cos(
3
d) ∫ +dx
xx
2))cos(3()sen(
e) ∫ + dxx 12
f) ∫ − dzzz 2/1)1(
g) ∫ dxx
x
)(cos
)sen(3
h) ∫ − xxdx
32
i) ∫ − dxxx )2sen(4)2cos(
j) ∫ − dxx 2999)97(
k) ∫ + dxx3 75
RESUMEN
En la presente sección, se revisa el método de sustitución, el que consiste en reemplazar
una parte del integrando por una variable, de manera de lograr simplificar el problema de
integración. Posteriormente se aplican las propiedades conocidas de las antiderivadas, para
finalmente retornar a la variable original.
331
AUTOEVALUACION
1. La función tan(x) se puede integrar por el método de sustitución.
2. El método de sustitución se puede aplicar a cualquier función polinómica.
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Falso.
GLOSARIO
Composición de funciones : Cuando una función se evalúa sobre otra que pasa a ser su
argumento.
Derivada : pendiente de la recta tangente de una función en un punto.
Función: relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función coseno: función trigonométrica.
Función cotangente: función trigonométrica.
Función diferenciable: función que es derivable en cada uno de los elementos de su
dominio.
Función exponencial: cuando la imagen es término de una exponencial.
Función logarítmica: cuando la imagen es término de un logaritmo.
Función polinómica: cuando la imagen es un polinomio.
Función seno: función trigonométrica.
Función tangente: función trigonométrica.
Función trascendente: cuando la imagen es una función trigonométrica, logarítmica o
exponencial.
Función trigonométrica: cuando la imagen es una relación trigonométrica.
332
Identidad trigonométrica: igualdad de términos trigonométricas que es válida para todos los
ángulos.
Integral indefinida: integral donde no se han definido los límites de integración.
Integrando : función que se va ha integrar.
Regla de la cadena: teorema que permite derivar funciones compuestas.
SIMBOLOS
f(x) : función real.
∫ dxxf )( : Antiderivada de f.
= : Igual que.
[a, b] : Intervalo de números reales.
dxd : Derivada con respecto a x.
Sen(x) : función seno.
Cos(x) : función coseno.
Tan(x) : función tangente.
Cotan(x) : función cotangente.
333
III.2.2. INTEGRACION POR PARTES
Se utiliza este método para integrar expresiones que se pueden escribir en forma de
producto de funciones diferenciables, donde resulta engorroso aplicar el método de
sustitución. En general, los productos pueden ser de polinomios por funciones
trigonométricas, logarítmicas o exponenciales.
La integración por partes, se basa en que si u = ϕ(x) y v = ψ(x) son funciones
diferenciables, se cumple la importante relación
∫∫ ⋅−⋅=⋅ .duvvudvu
Al aplicar este método, no siempre se obtiene la integral buscada en forma inmediata. A
veces, para reducir la integral dada a una inmediata, hay que emplear varias veces la
fórmula de integración por partes. En algunos casos, valiéndose de la integración por
partes, se obtiene una ecuación, de la que se determina la integral buscada. Por ejemplo, al
utilizar la integración por partes sobre funciones polinómicas, se debe aplicar tantas veces
como sea el orden (mayor exponente) del polinomio. Veremos a continuación algunos
casos clásicos.
Comenzamos estudiando el caso de integrar el producto de una función trascendente con
un polinomio. En esta situación integramos por partes tantas veces como sea el orden del
polinomio. Haciendo u = polinomio y dv = función trascendente. Recordemos que las
funciones trascendentes son: coseno, seno, exponencial, etc.
EJEMPLO III.2.2.1.
Encuentre la integral indefinida: ∫ dxxx )cos(
En este caso, el polinomio corresponde a u = x, mientras que la función trascendente
corresponde a dv =cos(x), se tiene así:
)sen()cos(xvdxdu
dxxdvxu====
de donde se sigue que:
∫ dxxx )cos( = ∫− dxxxx )sen()sen(
= Cxxx ++ )cos()sen(
EJEMPLO III.2.2.2.
Encuentre la integral indefinida: ∫ −+ dxxxx )2cos()57( 2
334
En este caso, el polinomio corresponde a u = x2 + 7x - 5, mientras que la función
trascendente es dv = cos(2x), de donde:
∫ −+ dxxxx )2cos()57( 2 = ( ) Cdxxxxxx ++−−+ ∫ )2sen()72(21)2sen(57
21 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=+==−+=
)2sen()72()2cos(57
21
2
xvdxxdudxxdvxxu
= ( ) Cdxxxxxxx +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−−−+ ∫ )2cos(
22)2cos()72(
21
21)2sen(57
21 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−===+=
)2cos(2)2sen(72
21 xvdxdu
dxxdvxu
= ( ) Cxxxxxx ++++−+ )2sen(41)2cos()72(
41)2sen(57
21 2
EJEMPLO III.2.2.3.
Encuentre la integral indefinida:
∫ dxxx )sen(
En este caso, u = x, mientras que dv = sen(x), de donde:
∫ dxxx )sen( = Cdxxxx ++− ∫ )cos()cos(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
==)cos(
)sen(xvdxdudxxdvxu
= Cxxx ++− )sen()cos(
EJEMPLO III.2.2.4.
Encuentre la integral indefinida:
∫ dxxx )cos(2
En este caso, u = x2, mientras que dv = cos(x). Como el polinomio es de orden 2, se llama
la atención en que se realicen dos integraciones por partes para resolver el problema.
∫ dxxx )cos(2 = Cdxxxxx +− ∫ )sen(2)sen(2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
====
)sen(2)cos(2
xvxdxdudxxdvxu
= Cxxxxx +−+ )sen(2)cos(2)sen(2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
==)cos(
)sen(xvdxdudxxdvxu
335
EJEMPLO III.2.2.5.
Encuentre la integral indefinida: ∫ dxex x2
∫ dxex x2 = Cdxxeex xx +− ∫22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
====
x
x
evxdxdudxedvxu
2
2
= ( ) Cdxexeex xxx +−− ∫22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
====
x
x
evdxdudxedvxu
= Cexeex xxx ++− 222
En el caso de potencias entre una función logaritmo y un polinomio, hacemos u =
logaritmos, dv = polinomio. Esto se realiza así, pues la derivada de la función logaritmo
natural corresponde al inverso multiplicativo del argumento,
dxdu
uu
dxd
⋅=1)ln(
EJEMPLO III.2.2.6.
Encuentre la integral indefinida: ∫ dxx)ln(
∫ dxx)ln( = Cdxx
xxx +− ∫1)ln(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛====
xvdxdudxdvxu
x1
)ln(
= Cdxxx +− ∫)ln(
= Cxxx +−)ln(
Si el logaritmo aparece como expresión de una función más compleja, puede ser necesario
tener que recurrir a integraciones por partes sucesivas, como se ilustra en el siguiente
ejemplo.
EJEMPLO III.2.2.7.
Encuentre la integral indefinida: ∫ dxxx )(ln 2
∫ dxxx )(ln 2 = ∫ +− Cdxxxxx )ln()(ln2
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
====
2212
2
)ln()(ln
xvdxxduxdxdvxu
x
336
= Cxdxxxxx+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− ∫2
1)ln(2
)(ln2
22
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛====
2211
)ln(xvdxduxdxdvxu
x
= Cxxxxx++− 2
22
2
41)ln(
2)(ln
2
En el caso de que el logaritmo no se encontrara en la base natural (del número de Euler),
se puede aplicar la propiedad de los logaritmos:
)ln()ln()(log
bxxb = ,
para reducir el problema al tratamiento anterior. Por supuesto, también es posible aplicar
las otras propiedades propias del álgebra de los logaritmos para simplificar planteamientos
de integrales cuando corresponda.
EJEMPLO III.2.2.8.
Encuentre la integral indefinida: ∫ dxx)log(
∫ dxx)log( = ∫ dxx)10ln()ln(
= ∫ dxx)ln()10ln(
1
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +− ∫ Cdx
xxxx 1)ln(
)10ln(1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛====
xvdxdudxdvxu
x1
)ln(
= ( )Cdxxx +− ∫)ln()10ln(
1
= ( )Cxxx +−)ln()10ln(
1
= )10ln()10ln()10ln(
)ln( Cxxx +−
= Cxxx +−)10ln(
)log(
337
Aprovechamos este ejemplo, para aclarar el comportamiento de las constantes de
integración.
Debido a que una constante de integración no es más que un número real arbitrario, la
suma de dos constantes de integración o la operación de una constante por otro número
real, corresponde también a otro número real arbitrario. Por este motivo, cuando
multiplicamos, dividimos, sumamos o restamos un número a una constante, esta lo absorbe.
Esto es lo que sucedió en el ejemplo anterior con la operación CC=
)10ln(.
Cuando se suman dos constantes de integración (situación común cuando se aplica
reiteradamente procedimientos de integración), debe quedar una sola.
Para terminar con esta sección, revisaremos la aplicación del método de integración por
partes en algunos problemas clásicos. Mucho de estos son tan especiales que requieren
manipulaciones tales como la de resolver una ecuación algebraica.
Un ejemplo típico del caso en que debemos resolver una ecuación para encontrar una
integral es el producto de una exponencial por una función seno o coseno.
EJEMPLO III.2.2.9.
Encuentre la integral indefinida: ∫ dxeax bx)cos(
∫ dxeax bx)cos( = bxeaxb
)cos(1 + ba∫ dxeax bx)sen( + C
(integración por partes con u = cos(ax) y dv = ebxdx)
∫ dxeax bx)cos( = bxeaxb
)cos(1 + ba
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − ∫ dxeax
baeax
bbxbx )cos()sen(1 + C
(integración por partes con u = sen(ax) y dv = ebxdx)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +2
22
bab
∫ dxeax bx)cos( = Ceaxbaeax
bbxbx ++ )sen()cos(1
2
∫ dxeax bx)cos( = Ceaxba
aeaxba
b bxbx ++
++
)sen()cos( 2222
EJEMPLO III.2.2.10.
Encuentre la integral indefinida: ∫ dxeax bx)sen(
El procedimiento para resolver esta integral es completamente análogo al mostrado en el
ejemplo anterior,
338
∫ dxeax bx)sen( = ∫ +− Cdxbxxeabbxxe
aaa )cos()sen(1
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+− axaxa ebx
babebx
baa
abbxxe
a)sen()cos()sen(1
2222 + C
= ( ) Cbxbbxaba
eax
+−+
)cos()sen(22
ACTIVIDAD III.2.2.11.
1. Encuentre la integral indefinida: ∫ dxxx )2sen(2
Solución:
∫ dxxx )2sen(2 = Cdxxxxx ++− ∫ )2cos()2cos(21 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−====
)2cos(2)2sen(
21
2
xvxdxdudxxdvxu
= Cdxxxxxx +−+− ∫ )2sen(21)2sen(
21)2cos(
21 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛====
)2sen()2cos(
21 xvdxdu
dxxdvxu
= Cxxxxx +++− )2cos(41)2sen(
21)2cos(
21 2
2. Encuentre la integral indefinida: ∫ dxaxx )cos(2
Solución:
∫ dxaxx )cos(2 = Cdxaxxa
axax
+− ∫ )sen(2)sen(2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
====
)sen(2)cos(
1
2
axvxdxdudxaxdvxu
a
= Cdxaxa
axax
aax
ax
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−− ∫ )cos(1)cos(2)sen(
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−====
)cos()sen(
1 axvdxdudxaxdvxu
a
= Caxa
axa
xaxax
+−+ )sen(2)cos(2)sen( 32
2
3. Encuentre la integral indefinida: ( )∫ + dxbxaxx )cos()sen(
339
Solución:
( )∫ + dxbxaxx )cos()sen( = ∫ ∫+ dxbxxdxaxx )cos()sen(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==−======
)sen()cos()cos()sen(
11 bxvdxduaxvdxdudxbxdvxudxaxdvxu
ba
= Cdxbxb
bxbxdxax
aax
ax
+−++− ∫∫ )sen(1)sen()cos(1)cos(
= Cbxb
bxbxax
aax
ax
++++− )cos(1)sen()sen(1)cos( 22
4. Encuentre la integral indefinida: ∫ dxex x42
Solución:
xdex x∫ 42 = ∫− dxxeex xx 442
21
4+ C
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
====
x
x
evxdxdudxedvxu
2
2
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −− ∫ dxexeex xxx 444
2
41
41
21
4+ C
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
====
x
x
evdxdudxedvxu
= Cexeex xxx ++− 4442
321
81
4
5. Encuentre la integral indefinida: ∫ − dxxe x
Solución:
∫ − dxxe x = Cdxexe xx ++− ∫ −−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−====
−
−
x
x
evdxdudxedvxu
= Cexe xx +−− −−
6. Encuentre la integral indefinida: ∫ dxx x22
Solución:
∫ dxx x22 = ∫− dxxx xx
2)2ln(
2)2ln(
22
+ C
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
==
)2ln(22
22
x
x
vxdxdudxdvxu
340
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− ∫ dxxx x
xx
2)2ln(
1)2ln(
2)2ln(
2)2ln(
22
+ C
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
==
)2ln(2
2x
x
vdxdudxdvxu
= Cxx xxx
+⋅
+−)2(ln
22)2(ln
22)2ln(
232
2
7. Encuentre la integral indefinida: dxxx )ln(∫
Solución:
dxxx )ln(∫ = ∫− dxxxx 2/12/3
32)ln(
32 + C
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
====
2/3321
)ln(xvdxdu
dxxdvxu
x
= Cxxx +− 2/32/3
94)ln(
32
8. Encuentre la integral indefinida: ∫ dxxx )cos(2
Solución:
∫ dxxx )cos(2 = Cdxxxxx
++ ∫ )sen()2ln(
2)cos()2ln(
2
= Cxxx xxx
+−+ ∫ )cos(2)2(ln
1)2(ln
)sen(2)2ln(
)cos(222
= Cxx xx
++
++ 1)2(ln
)sen(21)2(ln)cos(2)2ln( 22
9. Encuentre la integral indefinida: ∫ − dxxe x )sen(
Solución:
∫ − dxxe x )sen( = ∫ −− +− dxxexe xx )cos()sen( + C
= ∫ −−− −−− dxxexexe xxx )sen()cos()sen( + C
= 2
)cos()sen( xexe xx −− −− + C
341
EJERCICIOS III.2.2.12.
1. Calcule las siguientes integrales, correspondientes al caso de un polinomio por una
función trascendente.
a) ∫ dxex x23
b) ∫ dxex x42
c) ∫ dxxx )sen(2
d) ∫ dxxx )2sen(2
e) ∫ dxxx )cos(2
f) ∫ − dxex x4
g) ∫ + dxxx )12cos(
h) ∫ +−++ dxexx x 5102 )35(
i) ∫ + dxbxaxx ))cos()(sen(
j) ∫ dxaxx )cos(2
2. Encuentre las antiderivadas, correspondientes al caso de la integración de la potencia de
una función logarítmica, por un polinomio.
a) ∫ xdxx 22 ln
b) ∫ dxxx )ln(3
c) ∫ + dxx 12ln 3
d) ∫ dxxx )(log 2
e) ∫ dxxx )(log 22
f) ∫ dxxx )log(2
3. Encuentre las siguientes antiderivadas
∫ dxxe x )3cos(2
a) ∫ dxex x)cos(
b) ∫ dxex x)sen(
342
c) ∫ dxxx)ln(
d) ∫ dxx
x))ln(ln(
4. Demuestre que: ∫∫ ⋅−⋅=⋅ .duvvudvu
RESUMEN
En esta sección, se estudia la técnica de integración por partes para encontrar la derivada de
funciones compuestas. Se aborda en particular el estudio de los casos: multiplicación de un
polinomio por una función trascendente, multiplicación de polinomio por una potencia de
una función logarítmica y multiplicación de una función exponencial por una
trigonométrica (seno o coseno).
AUTOEVALUACION
1. Para encontrar la antiderivada de la función f(x) = excos(3x) se debe aplicar dos veces la
técnica de integración por partes y resolver una ecuación.
2. Se requiere derivar n+1 veces un polinomio de grado n para anularlo.
3. Para integral f(x) = x3cos(3x), se requiere aplicar tres veces integración por partes.
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Verdadero.
3. Verdadero.
GLOSARIO
Composición de funciones : evaluación de una función sobre otra.
Constante de integración: constante que aparece en el proceso de integración.
Derivada : pendiente de la recta tangente a una función en un punto.
Función: relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
343
Función coseno: función trigonométrica.
Función cotangente: función trigonométrica.
Función diferenciable: función que es derivable en cada uno de los elementos del dominio.
Función exponencial: cuando la imagen es una exponencial.
Función logarítmica: cuando la imagen es un logaritmo.
Función polinómica: cuando la imagen es un polinomio.
Función seno: función trigonométrica.
Función tangente: función trigonométrica.
Función trascendente: cuando la imagen es una relación trigonométrica, exponencial o
logarítmica.
Función trigonométrica: cuando la imagen es una relación trigonométrica.
Identidad trigonométrica: relación de igualdad entre expresiones trigonométricas que es
válida para todos los ángulos.
Integral indefinida: integral donde no se han definido los límites de integración.
Integrando : función que se va ha integrar.
Inverso multiplicativo : número asociada a un número real tal que si se multiplican da uno.
Número de Euler: número real irracional, correspondiente a 2.71…
Número real: números naturales, enteros, racionales e irracionales.
SIMBOLOS
f(x) : función real.
344
∫ dxxf )( : Antiderivada de f.
= : Igual que.
[a, b] : Intervalo de números reales.
dxd : Derivada con respecto a x.
Sen(x) : función seno.
Cos(x) : función coseno.
Tan(x) : función tangente.
Cotan(x) : función cotangente.
345
III.2.3. INTEGRAL DEFINIDA
Se ha mencionado que la integral surgió como una generalización del proceso para
determinar el área de una región plana. Sin embargo, hasta ahora sólo nos hemos
preocupado de conocer los métodos de integración de integrales indefinidas, esto es, de
acuerdo con los teoremas fundamentales del cálculo, el proceso inverso de derivar una
función. En la presente sección estudiaremos el concepto de integral definida, el que nos
permitirá encontrar áreas de prácticamente cualquier región plana.
La integral definida, consiste en evaluar la integral en los valores de entrada y salida de un
intervalo. Esto es, si f(x) es una función integrable y F(x) su primitiva (integral
indefinida), entonces
∫b
a
dxxf )( = b
axF )(
= F(b) - F(a)
Los parámetros a y b se conocen como límites de integración y deben ser constantes. La
expresión ∫b
a
dxxf )( se conoce como integral definida de f(x) sobre el intervalo [a, b], o
bien, integral de f(x) entre a y b.
En caso de que los límites de integración no sean constantes, se tiene una función definida
por medio de una expresión integral.
Se debe observar que una integral indefinida de f(x), es un conjunto de funciones (que
difieren por la constante de integración), tales que derivadas producen f(x). Mientras que
la integral definida de una función integrable f(x) sobre un intervalo [a, b] es un número
real.
EJEMPLO III.2.3.1.
Calcule la integral definida de f(x) = x sobre el intervalo [1, 3]:
∫3
1
xdx = 3
1
2
2x
= 9/2 – 1/2
= 4
346
Se observa que la constante de integración de la integral indefinida no se escribe, pues
desaparece durante la evaluación de la primitiva.
Si f(x) y g(x) son integrables en el intervalo de integración [a, b] (a ≤ x ≤ b), se tienen las
siguientes propiedades:
∫a
a
dxxf )( = 0
∫b
a
dxxf )( = - ∫a
b
dxxf )(
∫b
a
dxxCf )( = C ∫b
a
dxxf )(
∫ +b
a
dxxgxf ))()(( = ∫b
a
dxxf )( + ∫b
a
dxxg )(
∫c
a
dxxf )( + ∫b
c
dxxf )( = ∫b
a
dxxf )(
El siguiente teorema que revisaremos, es la base para justificar muchos de las propiedades
de la integral definida presentadas.
Teorema : Si a < c < b, y si f es integrable sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b]
y [c, d].
Recíprocamente, si f es integrable sobre [a, c] y [c, b], entonces f es integrable sobre [a,
b]. Se tiene además
∫∫ ∫ +=b
c
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
En consecuencia:
• ∫a
a
dxxf )( = 0, pues ∫a
a
dxxf )( = ∫a
a
dxxf )( + ∫a
a
dxxf )( ⇒ 0 = ∫a
a
dxxf )(
• ∫b
a
dxxf )( = - ∫a
b
dxxf )( , pues ∫a
a
dxxf )( = ∫b
a
dxxf )( + ∫a
b
dxxf )( ⇒ 0 = ∫b
a
dxxf )( +
∫a
b
dxxf )(
347
Otro teorema importante, presentado a continuación, nos permite estimar el valor de una
integral definida.
Teorema: Si f es integrable sobre [a, b] y si m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a, b], entonces
m(b - a) ≤ ∫b
a
dxxf )( ≤ M(b - a).
Como consecuencia de este teorema, es fácil demostrar que:
• ∫b
a
dxxf )( ≥ 0, si f(x) ≥ 0 , ∀ x ∈[a, b]
• ∫b
a
dxxf )( ≤ ∫b
a
dxxg )( , f ≤ g ∀ x ∈ [a, b]
Para encontrar una integral definida se utilizan los mismos métodos de integración usados
par encontrar integrales indefinidas, evaluándolos convenientemente al final.
EJEMPLO III.2.3.2.
Encuentre la integral definida ( )∫ −1
0
322 dxxx .
( )∫ −1
0
322 dxxx = 1
0
43
41
32 xx −
= 041
32
−−
= 12
38−
= 5 /12.
Cuando se realiza un cambio de variable, es recomendable cambiar también los límites de
integración, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO III.2.3.3.
Encuentre la integral definida ∫−
−3
2
2/ dxe x
∫−
−3
2
2/ dxe x = -2 ∫− 2/3
1
dueu
348
= 2 ∫−
1
2/3
dueu
= 21
2/3−
ue
= 2e – 2e-3/2
ACTIVIDAD III.2.3.4.
1. Calcule las siguientes integrales definidas:
a) ∫ +−+3
0
23 )25( dxxxx
b) xdxx∫ +−4
1
2 )100100100(
c) ∫ +++1
0
3/4234 )345( dxxxxx
d) dxxxex
x∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
2
1
594
e) ∫ −2
1
dxe x
f) ∫−
−−0
2
)( dxee xx
g) ∫−
−2
1
)21( dxe x
h) ∫ −2
0
2)1( dxx
i) ∫ +1
0
dxe bxa
j) ∫ +++2
2
2 |)|ln83( dxxe
xx x
2. Demuestre las siguientes igualdades:
a) ∫1
0
4dxx = 1/5
b) ∫1
0
dxe x = e - 1
349
c) ∫2/
0
)sen(π
dxx = 1
d) ∫3/
1
)(π
dxxtan = ln(2)
RESUMEN
En la presente sección se analiza el concepto de integral definida, esto es, evaluar la
integral indefinida de una función f(x) en los valores extremos de un intervalo de
integración [a, b]. La integral definida para una función f(x) sobre el intervalo [a, b]
siempre es un valor real y es único. Se ilustra mediante algunos ejemplos las propiedades
de la integral definida y la forma de cambiar los límites de integración cuando se realizan
sustituciones en el proceso de integrar.
AUTOEVALUACION
1. La expresión f(x) = ∫x
dttf0
)( , corresponde a una integral definida.
2. ∫∫ =a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
3. ∫ +0
0
2 )1( dxx = 0
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Falso.
3. Verdadero.
GLOSARIO
Constante de integración: constante que aparece en el proceso de integración.
Derivada: pendiente de la recta tangente a una función en un punto.
Función: relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función integrable: función que es integrable sobre cada intervalo propuesto.
Integral definida: cuando en una integral se definen los límites de integración.
350
Integral indefinida: integral donde no se han definido los límites de integración.
Límite de integración: extremos del intervalo de la recta real sobre el cual se va ha integrar
una función.
Número real: números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Primitiva: integral de una función.
SIMBOLOS
f(x) : función real.
∫ dxxf )( : Antiderivada de f.
= : Igual que.
≥ : mayor o igual que.
[a, b] : Intervalo de números reales.
dxd : Derivada con respecto a x.
351
III.2.4. CALCULO DEL AREA DE UNA REGION PLANA
El área de una función es un número real que determina la medida (en términos de
extensión) de su superficie. Existen varias fórmulas particulares que permiten calcular el
área de figuras geométricas planas (círculos, triángulos, cuadrados, rombos, etc.), todas las
cuales son variaciones obtenidas a partir de la fórmula para calcular el área de un
rectángulo, que equivale al producto de la longitud de sus lados (en la figura, Area = b ⋅ h).
El área de una figura geométrica es única para cada una de ellas. En lo que sigue, nos
preocuparemos de establecer un método para determinar el área de cualquier figura plana.
Supongamos que y1 = f1(x) e y2 = f2(x) son continuas para a ≤ x ≤ b y que f1(x) ≥ f2(x) para
a ≤ x ≤ b.
Entonces, la curva y1 está encima de la y2 sobre el intervalo [a, b]. Consideremos entonces,
el problema de hallar el área acotada por arriba por la curva y1, abajo por la curva y2 y a los
lados por las rectas x = a y x = b.
El área entre dos curvas puede aproximarse sumando las áreas de franjas rectangulares que
van de una curva a la otra.
352
Para definir el área cubrimos primero la región entre las curvas con n - rectángulos
verticales que van de curva a curva, cuya área es (y1 - y2)∆x = (f1(x) - f2(x)(∆x)), la suma
de las áreas de los n - rectángulos será:
Sn = ∑=
n
k 1(f1(xk) - f2(xk))∆x
= ∑=
n
k 1f1(xk)∆x - ∑
=
n
k 1f2(xk)∆x
El límite de Sn, n → ∞ corresponde al área entre las curvas, se tiene así:
Area = ∫∫ −b
a
b
a
dxxfdxxf )()( 21
EJEMPLO III.2.4.1.
Encuentre el área acotada por la parábola y = 2 - x2 y la recta y= -x que se muestra en la
figura.
353
Para encontrar la intersección entre ambas curvas resolvemos la ecuación: 2 - x2 = - x.
0 = x2 – x + 2
0 = (x - 2)(x + 1) ⇒ x = 2 ∨ x = - 1
Se tiene entonces
Area = ∫−
+−2
1
2 )2( dxxx
= 2
1
23
21
312
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +− xxx
= 4 - 8/3 + 2 + 2 - 1/3 - 1/2
=5 - 1/2
=9/2 [Unidades de Area].
A veces conviene buscar un área integrando una franja horizontal sobre un intervalo en el
eje y, como se ilustra con el siguiente ejemplo.
EJEMPLO III.2.4.2.
Halle el área acotada a la derecha por la recta y = x - 2 a la izquierda por la parábola x = y2
y debajo por el eje x.
Encontramos primero la intersección de las curvas, resolviendo la siguiente ecuación:
y = y2 - 2
y2 – y - 2 = 0
(y - 2)(y + 1) = 0 ⇒ y = 2 ∨ y = 1
354
Entonces,
Area = ∫ −+2
0
2 )2( dyyy
= 2
0
32
312
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ yyy
= 2 + 4 - 8/3
= 10/3 [Unidades de Area]
EJEMPLO III.2.4.3.
Encuentre el área de la región plana encerrada por el eje x y la función f(x) = sen(x) en el
intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
Este ejemplo, ilustra la importancia de conocer la gráfica de la región a la cual se esta
encontrando el área. Si no realizamos un bosquejo de la región, lo más probable es que
planteamos la siguiente solución:
Area = ∫π2
0
)sen( dxx = π2
0)cos(x−
= - cos(2π) + cos(0)
= - 1 + 1
= 0 [Unidades de Area]
Por supuesto, una revisión al bosquejo de la región nos deja claro que el área no puede ser
cero. El error, proviene de no percatarnos de que debemos dividir la región en dos áreas: la
primera donde la función f(x) = sen (x) se encuentra sobre el eje x y la segunda, donde el
eje x se encuentra sobre la función seno.
Así, tenemos la siguiente solución:
355
Area = ∫∫ −π
π
π 2
0
)sen()sen( dxxdxx
= π
π
π 2
0)cos()cos( xx +
= - cos(π) + cos(0) + cos(2π) - cos(π)
= 1 + 1 + 1 + 1
= 4[Unidades de Area]
EJEMPLO III.2.4.4.
Busque el área encerrada por las curvas: y = 9 - x2; x = - 3; x = 3; y = 0.
∫−
−3
3
2 )9( dxx = 3
3
3
39
−
−xx
= 27 – 9 + 27 - 9
= 36 [Unidades de Area]
EJEMPLO III.2.4.5.
Halle el área encerrada por las curvas: y = x
x 1− ; x = 1; x = 4; y = 0.
356
( )∫ −−4
1
2/12/1 dxxx = 4
1
2/12/3 232 xx −
= 32 8 – 4 -
32 + 2
= 8/3 [Unidades de Area]
EJEMPLO III.2.4.6.
Halle el área encerrada por las curvas y = 22 )1( +xx ; x = -2; x = 3; y = 0.
- ∫∫ ++
+−
3
022
0
222 )1()1(
dxx
xdxx
x = ∫∫ +−10
12
1
52 2
121
udu
udu
= 10
1
1
5
1211
21
uu−
= 11
21
101
21
51
21
11
21
+−−
= 1/2 – 1/10 – 1/20 + 1/2
= 17/20 [Unidades de Area]
El signo menos (-) es porque el área a calcular se encuentra en la parte negativa del eje y.
EJEMPLO III.2.4.7.
Halle el área encerrada por las curvas
4y = x3; y = x; x ≥ 0
357
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
4
0
3
4dxxx =
2
0
42
162xx
−
= 2 – 1 - 0
= 1 [Unidades de Area]
EJEMPLO III.2.4.8.
Halle el área encerrada por las curvas y = x2 - 7x + 6; el eje x; y las rectas: x = 2 y x = 6.
- ∫ +−6
2
2 )67( dxxx = 6
2
23
62
73
xxx−+−
= -72 + 126 – 36 + 38 -
228 + 12
= 3
56 [Unidades de Area]
358
Para finalizar, consideremos dos funciones continuas, f y g, tales que g(x) = f(x) + c en el
intervalo [a, b], donde c es una constante positiva fija. Entonces el área entre las gráficas de
f y g sobre [a, b] es:
∫ ∫=−b
a
b
a
cdxdxxxf |)()(| = c(b - a)
En otras palabras, si la distancia entre la frontera superior y la frontera inferior de una
región es constante, entonces el área de la región es el producto del ancho por el largo (al
igual que en el caso del rectángulo).
Este resultado corresponde a un caso particular del "Principio de Calaveri", que dice: Si
dos regiones tienen el mismo ancho en cada punto de un intervalo [a, b], entonces ellas
tienen la misma área. Esto es,
Si |f1(x) - g1(x)| = |f2(x) - g2(x)|, ∀ x ∈ [a, b], entonces
∫ −b
a
dxxgxf |)()(| 11 = ∫ −b
a
dxxgxf |)()(| 22
ACTIVIDAD III.2.4.9.
1. Encuentre el área de la región plana comprendida entre la gráfica de f y el eje x en el
intervalo especificado.
a) f(x) = x2, en [-2, 2].
b) f(x) = -x2, en [2, 5].
a) f(x) = 2x - x2, en [-1, 3].
2. Determine el área encerrada por el eje x y la gráfica de la función f(x) = x3 - 4x.
3. Determine el área encerrada por las gráficas de f(x) = 3x - x2 y f(x) = x2 - x.
4. Encuentre el área encerrada por la parábola y2 = 4x y la recta y = 2x - 4.
5. Muestre que el área delimitada por la curva x2/3 + y2/3 = a2/3, y los ejes cartesianos sobre
el primer cuadrante es 3/32 π a2 [Unidades de Area].
RESUMEN
En esta sección estudiamos la aplicación de la integral definida para encontrar el área de
figuras planas. La técnica se basa en integrar sobre las funciones que delimitan la región
horizontalmente (la diferencia entre ellas corresponde al integrando) sobre un intervalo del
eje x (cuyos límites forman los límites de integración). Se termina el capítulo revisando el
Principio de Calaveri, el cual establece que dos regiones del mismo ancho sobre un
intervalo, tienen la misma área.
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AUTOEVALUACION
1. El área de una región bajo el eje x tiene área negativa.
2. Dos figuras iguales tienen la misma área.
3. Si no existe la integral indefinida, entonces no existe el área bajo la curva, o es infinita.
4. El área siempre es un número real.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Verdadero.
3. Verdadero.
4. Verdadero.
GLOSARIO
Función: relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
Función continua: función cuya imagen no experimenta saltos ni discontinuidades.
Número real: número natural, entero, racional o irracional.
SIMBOLOS
f(x) : función real.
∫ dxxf )( : Antiderivada de f.
= : Igual que.
[a, b] : Intervalo de números reales.
