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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTEFACULTAD DE INGENIERAMETODOLOGA DE LA INVESTIGACINCIENTFICAPROFESORA: VIVIANA POLISENA

AO: 2008/2009

LMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Otro enfoque para su estudio

REA: MATEMTICA

ASIGNATURA: ANLISIS MATEMTICO II

Por Claudia Durnbeck


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PLANTEAMIENTOTRABAJO FINAL

POSGRADO: METODOLOGA DE LA INVESTIGACIN

TEMA: LMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLESREA: MATEMTICAASIGNATURA: ANLISIS MATEMTICO II

Referencias para una adecuada interpretacin de esta propuesta: Cuando nombremos Lmite: Estaremos refirindonos al Lmite

de una funcin de Dos variables. Cuando digamos Lmite Doble: Estaremos refirindonos al

Lmite tambin llamado Lmite Simultneo, que es cuando las

dos variables tienden juntas al punto en cuestin.

FUNDAMENTACIN:

El concepto de Lmite de funciones de Dos Variables, tambin llamadoLmite Doble, se desarrolla, en general, en primer ao de las distintasFacultades de Ingeniera.En esta etapa del estudio universitario, encontramos alumnoshabituados a resolver ejercicios con resultado nicos, lo que les

permite llegar a conclusiones irrefutables sobre el problema planteado.La dificultad que representa explicar y comprender el tema Lmite deFunciones de dos Variables se debe, a m entender, a las siguientesrazones:

1. Se inicia el desarrollo del tema con la expresin, que define elLmite Doble:

Con

Interpretarla, implica, conocer el significado de los operadores ycuantificadores que en ella interviene y, en general, la mayorason nuevos para alumnos de este nivel.


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Tambin su comprensin, implica tener claros ciertos conceptoscomo: Dominio de una funcin, punto de acumulacin, entornoreducido de un punto distancia entre puntos en , y otros.

Hacemos un grfico escueto, difcil de comprender, sealado a

dnde estn ubicados los elementos que intervienen en ladefinicin y hablamos de caminos

2. Las posibilidades de elegir el camino(*) para acercarnos a unpunto, en el espacio de 2-dim, no son nicas, ni finitas, muy porel contrariolas posibilidades de eleccin son infinitas.En la prctica, lo que se hace, es encontrar el valor de Lmite poralgunos caminos, teniendo en cuenta que si existe, es nico, sipor esas trayectorias, elegidas arbitrariamente, se llega almismo resultado, entonces se supone que el lmite existe y suvalor corresponde al hallado.Suponer un resultado, no es algo que resulte cmodo enmatemtica, creo que la incertidumbre no es familiar en ellenguaje de la matemtica bsica, y es lo que hace que el temapropuesto, sea uno de los pocos en el que los docentesaceleramos, para cruzar rpido el puente y llegar al prximo

tema y los alumnos quedan con el interroganteperoentoncesexiste el lmite, no?(*) Distintas curvas planas, cuyas ecuaciones ya deben serconocidas, su dominio, estar incluidas en el Dominio de nuestrafuncin y el punto pertenecer a ella.

3. Para afirmar que el Lmite de una funcin en un punto existeirrefutablemente, se debe probar que l mismoverifica la

definicin y no siempre es posible hacerlo, depende de laexpresin de la funcin, e incluso en los casos posibles, para elalumno es una tarea muy difcil.Sin certeza, no hay comodidad matemtica.


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Si bien admito que el estudio del Lmite de funciones de dos Variablespuede ser poco atractivo o antiptico, lo que fundamenta mi inquietud,es que lo utilizamos como hiptesis en muchos teoremas ydefiniciones, como en el tema inmediato : Continuidad,el que a suvez, es la base para fundamentar otras Definiciones y Teoremas.Sin haber entendido adecuadamente el concepto de Lmite defunciones de dos variables

HIPTESIS:

Es posible desarrollar el tema, sin utilizar, al menosinicialmente, las expresiones: Infinitos (caminos) vs. nico (valor

del Lmite) yes posibleque exista?

Si la funcin est definida naturalmente en el punto, el lmiteest resuelto?

Sera conveniente comenzar el estudio del Lmite de unafuncin, analizando en el punto, previamente, el comportamiento

Algebraico de la funcin?

Es suficiente hallar mecnicamente el Lmite es necesariojustificar su existencia?

Cul es la prestacin ms interesante que brindan los lmitesReiterados o Iterados?

Los Lmites Reiteradosson lmites direccionales?


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OBJETIVOS:

Encontrar otra manera de comenzar el desarrollo del tema queno sea por la Definicin. Es decir, No comenzar por la definicin.

Representar grficamente la situacin del Lmite de manera claray didctica, para usar sta representacin como partida en eldesarrollo del tema.

Utilizar el Concepto ya estudiado de Lmite de funciones de unaVariables, como apoyo, destacando las diferencias yconcordancias.

Transmitir los conceptos de L. Simultneo, L. Iterados y L.Direccionales, con herramientas didcticas y pedaggicasaccesibles, de modo que el alumno pueda descubrir lasdiferencias y las concordancias que hay entre ellos, y aspotenciar su valor como herramientas en el estudio del Lmite.

Utilizar las representaciones Grficas de la funcin estudiada,

como gua en el estudio.

Relacionar conceptos vistos en cursos anteriores, como lgebra,Anlisis Matemtico I y Geometra, de modo que nos sirvan deapoyo en este estudio.

Por ltimo: Encontrar un procedimiento ms estimulante para elalumno que el tradicional, con respecto al estudio de Lmite.Teniendo como meta, que el alumno se involucre en lasinvestigaciones propuestas, es decir, en el anlisis algebraico dela funcin y la interpretacin de su representacin grfica.


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Lmite de Funciones de Dos Variables

Otro enfoque para su estudio

Desarrollo


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Pensemos en la idea Intuitiva del concepto de Lmite: En general, seentiende como una barrera hasta la cual podremos llegar. Hablamoscotidianamente de lmites entre Pases, de los lmites entre terrenos,de los lmites que deben tener nuestros hijosCuando hablamos delos lmites de Funciones, nos referimos al valor al cual ellas tienden,cuando nos acercamos a cierto elemento de su dominio, que de algnmodo, es tambin hasta dnde llegan.

Usamos este concepto intuitivamente en cursos de Geometra,cuando definimos longitud de una circunferencia como el Lmite al quetiende una sucesin de permetros de Polgonos circunscriptos oinscriptos en ella, cuando la longitud de los lados tiende a cero.Tambin en cursos de Fsica, cuando nos referimos a la velocidadinstantnea comoel Lmite de la velocidad media para intervalos de

tiempo cada vez ms pequeos. Y hay muchos ejemplos para la ideade lmite de funciones de una variable independiente.

Para el estudio del lmite de funciones de una variable independiente,hemos visto que el problema se reduce a observar cmo se comportala funcin al acercarnos a un punto del Dominio por derecha eizquierda, movindonos en general, sobre la recta Y=0.

En el caso de funciones de dos variables independientes, para

acercarnos a un punto del Dominio, , tenemos infinitasopciones, infinitos caminos para llegar a l. Y es justamente esto, loque hace complejo el estudio del Lmite de funciones de DosVariables, pues si recordamos La unicidad del Lmite, propiedad vistapara funciones de una variable, y tambin vlida para funciones dedos variables, Si el Lmite existe, es nico e independiente del caminoutilizado y nunca podremos verificar que por todas estas opciones,llegamos al mismo resultado.

Conclusin 1:

Es por eso, que solamente si el Lmite hallado, verifica la definicin,podremos asegurar la existencia del Lmite.

Veremos un ejemplo, tomando una funcin sencilla, que nos ilustrarsobre el comportamiento de los valores de una funcin escalar de dos


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variables, cuando los puntos del Dominio se aproximan a un punto quepuede o no pertenecer a l.

Sea: y estudiemos su comportamiento en

Dominio de la funcin, todo el plano R2, solo representamos el primeroctante.

Realizamos una tabla de valores en las proximidades de (3;2), con elobjeto de vincular este estudio, con el de funciones de una variable.


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Tomemos valores sobre las rectas x=3 e y=2.

Observemos la tabla y el grfico, sinolvidar que nos estamos moviendosobre las rectas x=3 e y=2.Cuanto ms nos acercamos al punto delDominio (3;2) , la funcin se aproxima alnmero real 5. La diferencia entre f(x;y)y 5 ser ms pequea, cuando los (x;y)

estn ms cerca de (3;2).

Consideremos que el valor absoluto deesta diferencia es menor que dos milsimo:

X y F(x;y)

2,991 2 4,991

2,995 2 4,995

2,999 2 4,999

3 2 5

3 1,999 4,999

3 1,995 4,9953 1,991 4,991


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Volvamos a la tabla y tomemos (x,y)=(3;1,9999) para verificar:

Vemos que a los (x;y) que se encuentren a una distancia de (3;2)inferior a 0,001 le corresponden por medio de la funcin, valoresreales que estn a una distancia menor que 0,002 de 5.

Debemos tener en cuenta que fijamos previamente el nmero 0,002 yde ah se desprendi el nmero 0,001, por lo tanto es .

Del desarrollo anterior deducimos que para cualquier nmero

(en el ejemplo ), es suficiente elegir (en elejemplo )

Porque si:

Conclusin 2:Tomamos una funcin sencilla, conocida por los alumnos y de fcilrepresentacin, realizamos un desarrollo similar al que se hace parafunciones de una variable y relacionamos este nuevo concepto.

Analizamos grfica y analticamente grupalmente y luego definimos.

Generalizando la deduccin anterior, expresamos la Definicin deLmite de funciones de Dos variables:

Literalmente:(Sugerimos ser muy explcitos para tener una mejor llegada al alumno,siempre relacionar con la grfica, para lograr una rpida interpretacin)

x Y f(x;y)

3 1,9999 4,9999


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El Lmite de la funcin f(x;y)cuando (x;y) tiende o se aproxima alpunto de acumulacin del Dominio de la funcin (a;b,) es igual nmeroreal L, si y solo si, para todo nmero real psilon ( , positivo, existe

en correspondencia o dependiente de l, otro nmero real Delta( , tambin positivo, de tal modo que para todo punto (x;y) deldominio que pertenezca al entorno reducido del punto (a;b) de radioDelta, entonces la diferencia entre el valor de la funcin en ese punto yel nmero real L, tomada en valor absoluto, es menor que psilon.

(Observemos la representacin de la funcin, junto con los alumnos einterpretemos grficamente la definicin, antes de expresarlasimblicamente)

Simblicamente:

Con

No es necesario que la funcin este definida en (a;b) para que elLmite en ese punto exista.

Hasta el momento, hicimos un desarrollo similar al que algunosautores hacen para Lmite de funciones de una variable.

Observemos la diferencia: Cuando hablamos de distancia en R, solotenemos la posibilidad de tomarla de un lado o del otro del punto. Encambio, para hablar de distancia en R2, tenemos que hablar deEntorno.

Conclusin 3:Usamos los conceptos adquiridos para funciones de una variable yestablecemos las diferencias con este nuevo concepto: El entorno enR2.


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Definicin:

Dado un punto y un nmero real , llamaremosEntorno del punto , de radio , al conjunto de todos los puntos

pertenecientes al cuyas distancias a son menores que .Simblicamente:

Ser Entorno Reducido, cuando el punto no pertenezca alEntorno.

Recordemos Distancia en :

Este Disco con centro en el punto al cual nos aproximamos, abre unabanico de infinitos caminos posibles. El Entorno no necesariamentetiene que ser circular, pero es comn trabajar con este tipo. Serepresenta en por un crculo de centro y radio r.

Si el resultado del Lmite no es el mismo para todas las trayectoriasposibles de acercarnos al punto entonces el Lmite no existe.

Debemos tener en cuenta que si el Lmite existe, es independiente delcamino elegido y de que el camino debe contener al punto.


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Llamamos caminos o trayectorias a subconjuntos de que estnincluidos en el Dominio de la funcin o que su interseccin con ste,no sea vaca y que contengan al punto donde se quiere calcular ellmite. Ejemplos: Rectas, Parbolas, Hiprbola o un sub conjunto depuntos. A los lmites por estos caminos se los llama LmitesRestringidos a ciertos subconjunto del Dominio de la Funcin.

Antes de ver algunos ejemplos, distinguiremos dos situaciones:

a)Cuando la funcin est definida en el punto donde queremosestudiar el lmite, es decir, no hay indeterminacin cuando calculo el

Lmite Doble o Simultneo.

b)Cuando la funcin no est definida en el punto donde queremos

calcular el lmite, es decir, se produce una indeterminacin al calcularel Lmite Doble.

En el caso a), cuando no hay indeterminacin, problema resuelto: El

Lmite Doble existe. Debemos pensarlo intuitivamente, el Lmite alcual tender, ser igual al valor que tome naturalmentela funcin.

El caso b) es el que nos va a ocupar, cuando el Lmite doblesimultneo no existe, lo que genera la necesidad de usar otroscaminos para buscar el lmite.

Veamos algunos Ejemplos.

1er. Ejemplo:

Hallar

Previamente, estudiamos cual es el Dominio de la funcin.


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Son todos los puntos del plano a excepcin del punto (0;0). Comoya hemos dicho, no es necesario que el punto donde se estudia elLmite pertenezca al Dominio de la funcin, pero si debe ser un puntode acumulacin, es decir, es necesario que est definida para lospunto de un entorno reducido de, en este caso, de (0;0).

Haciendo uso de los programas con los que contamos actualmente,por ejemplo el Derive, graficamos la funcin a estudiar, para obtenerla informacin que orientar el anlisis. Sugerimos hacerla rotar,aplicar zoom, cambiar los colores, etc.

Observemos esta primera posicin de la grfica y prestemos atencina lo que sucede en (0;0), teniendo en cuenta la referencia que figuraarriba a la izquierda, con respecto a la posicin de los ejes.

l

Vemos que aparentemente en (0;0) hay una irregularidad, la hacemosrotar de tal modo de observar desde arriba como se comporta en elorigen.


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Y en esta posicin vemos el agujero en (0;0), lo que No implica queel Lmite no exista, pues puede no estar definida en el punto y sinembargo tener Lmite en l.

Aplicamos el L. D.:

Pertenece al grupo b) pues obtenemos una indeterminacin.

Recurramos a otros caminos para, descartar la existencia del Lmite,encontrando dos Lmites distintos, por distintas trayectorias unmismo valor, con lo que tendremos es un candidato a Lmite y

deberemos probarlo por Definicin para asegurar la absolutaexistencia, lo que es, en la mayora de los casos, muy complicado.

Introducimos el siguiente concepto:


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Lmites Reiterados o Sucesivos:

stos no perteneces al grupo de los Lmites Restringidos.

Definicin:

Son dos Lmites, en los cuales, se hace tender primero una variable yluego otra, en la funcin resultante. Simplemente, es unprocedimiento que permite transformar el Lmite de una funcin dedos variables en el clculo del lmite de una funcin de una variable.Los Lmites Reiterados, presuponen que un cierto entorno reducido debsobre la recta x=a y un cierto entorno reducido de asobre larecta y=bexisten las funciones y respectivamente.

La potencia de estos Lmites en cierto sentido es escasa, pueden noexistir y si el doble. Ms adelante veremos un ejemplo que ilustra esto.Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando losReiterado, el problema est resulto, el Lmite de la funcin de dosvariables No existe.


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En conclusin, son sumamente tiles para probar la No existencia delLmite.

Volvamos el ejemplo y apliquemos los Lmites Reiterados:

Este resultado de la aplicacin de Lmites Reiterados, nos ilusionasobre la existencia del Lmite por haber obtenido el mismo valor pordos caminos distintosPero sabemos que esto no indica nada, lo ideal hubiera sido que ellostengan resultados distintos, as podramos concluir en la No existenciadel Lmite.Debemos seguir trabajando.

Conclusin 4:Explicamos en forma sencilla, que son y para qu son tiles losLmites Iterados o Reiterados, como as tambin sus limitaciones,definindolos e ilustrando con un ejemplo.

Tomemos ahora la trayectoria , Parbola incluida en el Dominiode la funcin y que pasa por el punto (0;0), apropiado.

Entonces:

No podemos sacar ninguna conclusin con esta indeterminacinobtenida, el camino elegido, no nos proporciona ningn dato.


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(La idea didctica es, en este primer ejercicio, transitar por distintoscaminos, que NO nos lleven por un tobogn a la solucin, para quelos alumnos puedan ver que nosotros tambin erramos en la eleccinde trayectorias y que quede claro, que cuando no nos brindan datos,debemos descartarlos)

Tomemos ahora la trayectoria y=x, siempre repasando: Est incluidaen el Dominio de la funcin y contiene al punto de estudio.

Hemos encontrado dos valores distintos del Lmite.La funcin NO puede tener Lmite en (0;0) porque en un entorno delpunto, hay elementos para los cuales la funcin tiende y para otros a0 (ver resultado de los Lmites Iterados).

2do. Ejemplo:

Hallar :

Elegimos un ejercicio cuya funcin es similar a la del ejemplo anteriorcon el propsito de llamar la atencin del alumno sobre la definicin decada una. Cuando arribemos a una conclusin de este segundoejemplo, haremos las comparaciones.

Observemos su Representacin grfica:


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Aplicando L.D. simultneo, tenemos:

Indeterminacin, caso b), debemos seguir

estudindolo por otros caminos.

Hallemos los Iterados:

IgualesTomamos otra trayectoria, por ejemplo y=mx, haz de rectasque pasan por el origen, recordemos que el resultado tiene que serindependiente de m, de lo contrario tendramos infinitassoluciones,para .

Encontramos un candidato a Lmite, es 0. Debemos intentar probarque para ese valor se cumple la definicin, de otro modo, no podremosasegurar la existencia del mismo.

:


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Comparemos el Ejercicio 1 con el 2, teniendo en cuenta que en ambos

casos, buscamos el Lmite en (0;0).Las funciones son:

Ejemplo 1)

Ejemplo 2)

Funciones del mismo tipo, ambas cociente de polinomios de dosvariables.

Analizamos con el alumno, porqu la 1) No tiene lmite y la 2) S,siendo muy parecidas? Con la intensin de que haga este tipo deanlisis, como Mtodo, antes de comenzar a resolver un ejercicio,


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como as tambin, observar previamente las grficas, porque estainformacin puede orientarlo en cmo encarar la demostracin, sipara la No Existencia o para la Existencia.

En 1) el Polinomio del numerador es de igual grado que el dedenominador. Si atendemos a la parte algebraica, que pasar paravalores prximos a (0;0)podemos imaginar e incluso probar con

puntos tales que . Sabemos que los puntos de esteentorno reducirn su valor cuanto ms prximos estn a (0;0) y porser de igual grado numerador y denominador , lo harnsimultneamente, de modo que la indeterminacin es inevitable alllegar al punto. Esto nos dispone a buscar la prueba de que No existelmite. Para ello, sugerimos, Pispear la funcin para detectar en quesubconjunto del Dominio la funcin tendra infinitos lmites unodistinto a alguno ya determinado.

En 2) El polinomio del numerador es de mayor grado que el dedenominador, por lo tanto, al acercarnos a (0;0), el numerador seachicar ms rpidamente, que el denominador, de esta forma, alaproximarnos a (0;0), tendremos el cociente 0/nmero, lo que nos da0. Estas consideraciones nos orientan a probar la Existencia delLmite. Siempre recordando que solo la comprobacin por la Definicinnos asegura la existencia.

Conclusin 5:Consideramos que el anlisis del comportamiento algebraico de lafuncin debe hacerse, antes de comenzar con la mecnica de pruebas

por distintos caminos. Debemos apoyarnos y confiar en los cursosprevios a ste, como lgebra, Anlisis Matemtico I y Geometra, losalumnos ya tienen los conceptos para hacer este tipo de estudio yusarlos les genera confianza y estmulo. Depende de nosotros,docente, el encontrar los disparadores de su inters.

Ahora comparemos las grficas. Si pensamos en el clculo del Lmite,como una accin, al aproximarnos, como dice la definicin, estamosen movimiento. Ahora bien, si nos imaginamos sobre una alfombra,deslizndonos por una y otra superficie, cul de las dos tiene laanatoma de hacernos llegar a (0;0)? En el ej. 1) nos frenaramos,pues es una superficie de suaves pendientes, por el contrario, en el ej.


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2) chocaramos con el eje z en (0;0), por ser pronunciada suinclinacin hacia el punto en estudio. Es otro elemento ms, pocoortodoxo matemticamente, pero que nos gua con respecto al rumbo,el estudio del Lmite.

Analicemos un par de funciones:

Es una funcin exponencial, con exponente x.y. Para ningn puntodel plano , se van a presentar inconvenientes , ninguno va a poderprovocar una indeterminacin. Por lo tanto, va a existir el Lmite entodos ellos, caso a).

Vemos la grfica donde se aprecia la regularidad de la funcin:

Vista de arriba no presenta agujeros, lo que nos indica que estafuncin se portar bien, en todos los puntos de su Dominio.


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Tanto el anlisis grfico como el analtico, nos orientan a probar laexistencia del Lmite.

La funcin no est definida en (0;0)

Apliquemos el L.D. simultneo:

Pero si pispeamos la funcin y trabajamos algebraicamente

Podemos calcular el Lmite del producto, como el producto de losLmites, por propiedad de esta aplicacin:


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Conclusin 6:Recordemos al alumno, los conceptos ya estudiados y hagamos quelos relacionen en todos los temas posibles. Ellos tienden a encapsularlos conceptos y no establecen relaciones, como tampoco los usan deapoyo. De este modo los estimularemos para que optimicen loestudiado anteriormente.

Observemos la grfica:

Apreciamos el corte, es decir, la indefinicin que la funcin presentaen el origen de coordenadas. Pero como el L.D. simultneo nos da unresultado real, deberemos intentar comprobarlo por definicin, quedarnos con el candidato a Lmite, L=-1.

Conclusin 7:Atendiendo a la Definicin y a la Grfica de la funcin, el alumno,

encontrar un sendero por donde transitar con mayor comodidad,que utilizando la prctica tradicional en la bsqueda del Lmite aciegas. Y los profesores, no correremos tanto, cuando tengamos quedesarrollar el tema.


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(*) Desmitificando a los Lmites Iterados:

Todos vamos a estar de acuerdo en lo siguiente: Al alumno lefascinan los Lmites Iterados. Esto es as, porque ellos les soncmodos, en un simple paso, tiene algo conocido, como funciones deuna variable, para trabajar.Esto hace que los usen con frecuencia y que sobrevaloren el resultadoque ellos arrojan.Podemos darle el siguiente ejemplo, cuando nos encontremos con laafirmacin: el L. D. no existe porque no pueden hallar los Iterados.

En general, los alumnos concluiran en que la funcin no tiene lmite.Probemos que si lo tiene, a pesar de que uno de los Iterados noexiste.

Estudiemos el Lmite Radial, o Restringido a el haz de recta y=mx:

El candidato es 0. Probemos por definicin, en este caso es posible:


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Esta desigualdad por hiptesis.


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BIBLIOGRAFA:

Introduccin al Anlisis Matemtico (Clculo 1 y 2)Hebe Rabuffetti

Clculo 2Spinadel, Vera N. Clculo 2

Larson Clculo Diferencial e Integral

Antonio Aburto Barragan Clculo Diferencial e Integral

N. Piskunov Anlisis Matemtico 1 y 2

J. Rey Pastor Clculo de Varias Variables

M. Besada- J. GarcaM.A. MirsC. Vazaquez

Consultas en Internet:

www.newgrupos.com www.elprisma.com www.slta.uma.es www.cidse.itcr.ac.cr
http://www.newgrupos.com/http://www.newgrupos.com/http://www.slta.uma.es/http://www.slta.uma.es/http://www.cidse.itcr.ac.cr/http://www.cidse.itcr.ac.cr/http://www.cidse.itcr.ac.cr/http://www.slta.uma.es/http://www.newgrupos.com/

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