25
Universidad de Salamanca - Escuela de Educación y Turismo

Universidad de Salamanca - Escuela de Educación y …ocw.usal.es/ciencias-sociales-1/curso-cero-matematicas-para... · MAXIMO o MINIMO relativo, de tal forma que: Si f’’(x0)

Embed Size (px)

Citation preview

Universidad de Salamanca - Escuela de Educación y Turismo

�������������������� ��������������������� �������������

��������

����������� ������������ ����������������������

���������������

� ��� �������

� ��������������������� ����

� � ��������� �������� ���������������� �����

� �������������������� ���������������

� ����������� ����� �! ����� "� ��#�

� $����������������%���� "��&� "����

� %'� ��������'� �����

������������

� %������������ ������������������������()��*��� �������� ��������� ��������������������������� � ����()������(�(#�

� ���� �'� ��� �� ���������������+�,��������-��.*�����-����� ��� �����/� ��*�0� �,*�����1����23$�� -� �*���� ���� ���

� %��� ����������� ����������������� ���������� �������� ����� �-�� ����� 4� ������ �.� ��������������������� ��*��������� �'������ �-�� ���"������������������������������������� ����������������������-'������� �� �����

����������������������������

� ��� �������� ���������������� ��������������� �������������������������������������%'� �����#5��√√√√ ��*�������#��������������� ��� �������������������

� 6��� ���� ������������ � �7������������������������ ��������� ��� �����������������5���!#������������ !8 ����" ��*����!���*����������������� � �������������������� ������� � ������������ �-������������*�������4������������� ���

� ��� �������� ���������������� ��������������� �������������������������������������%'� �����#5��√√√√ ��*�������#��������������� ��� �������������������

� 6��� ���� ������������ � �7������������������������ ��������� ��� �����������������5���!#������������ !8 ����" ��*����!���*����������������� � �������������������� ������� � ������������ �-������������*�������4������������� ���

��������������������������������

� �� ������������������ � *��������7��������� ��� ������������������������ �����7�������������������������������������������� ����!8*���7��������� ��������������������� ���������������������� ���������1��������

������

f(x)0

�������������������������������

��������

( ) ( ) ( ) ( )� �� � � � � � � � �+ = +� �� �SUMA

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� � � � � � � � � � � � �= +� �� �PRODUCTO

( ) ( )� � �� � � � � � �=� �� �

PRODUCTO POR UN

NÚMERO

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) �

� � � �� � � � � � � � � ��� � � �

� � −=� �

� �� � � �COCIENTE

�������������������������������

������������

SUMA

PRODUCTO

PRODUCTO POR UN

NÚMERO

COCIENTE

x2+x4 D=> 2x+4x3

Ejemplos:

x2x5 D=> 2xx5+5x4x2=2x1+5+5x4+2=7x6

10x5 D=> 10 .( 5x4)=50x4

x2/x4 D=> (2x.x4-4x3.x2) / (x4. x4)

=2x1+4-4x3+2 / (x4+4 )= (2x5-4x5)/x8= -2x5/x8

�������������������������������

��������������

( ) ( ) �

�� � � �

�= =

( ) �

� � �

� �

−� �= = − � �

( ){ } ( ) ( )

� � �� �

� � � � � � � �−

=� � � �� � � �

( )( )

( )� �

�� � � � �

� �

� � =� �

( ) ( )( )�

� �� � �

� � � �

� �= −� �

� �� � � �

( ) �� �� � �� −=

POTENCIA

�������������������������������

���������� ��

POTENCIA: Ejemplos

!9�25:9�!9;<59!= ����!#>�25:>����!#>;<����!�5>���!����!

!<?> 25:<?>�!<?>;<�

5<?>�!;<?>�5<?�>�!<?>#����!#<?>

25:�<?�>����!#<?>##����!

<?!5!;< 25:;<�!;<;<���5��;<�!;>��5;<?!>

<?!��25:�;<?�!>##��<5;<?!>

!�����������������������

���������

����� ������������������� ������������������������ ������ �#� �7�� ������ ���������� ����������������

( ){ } ( ) ( )� � �� � � � � � � � �=� � � �� � � �

( )( ){ } ( )( ) ( ) ( )� � � � �� � � � � � � � � � � � � �=� � � � � �� � � � � �

Ejemplo: sen(3x5) D=> cos(3x5).5.3x4 =cos(3x5).15x4

!�����������������������

�������������

( )�� �� � �=

( ) � ��� � �= −

( ) ���� ���� � �= +

( )�

�� ��

� �

�=

( )�

�� �

� �

−=−

[ ] �

�� ���

� �

�=

+

( )( )

( )�

�� �� � �

� � � � �

� �

=� �� �− � �� �( )

( )( )

�� � � �

� � � � �

� �

−=� �� �− � �� �

( )( )

( )�

�� ��� � �

� � � � �

� �=� �� �

+ � �� �

( ) ( ) ( )�� � � �� � � � � � �=� �� �

( ) ( ) ( ) � � ���� � � � � � �= −� �� �

( ) ( ) ( )���� ��� � �� � � � � � �� �= +� �� � � �

TRIGONOMÉTRICA

FUNCIONES ARCO(Inversa o recíproca de las trigonométricas)

!�����������������������

��������������

( )� �� � �=

( ) ���� �� � � �=

( ) ��� �

�=

( ) ��� �

���� �

� �=

( ) ( ) ( )� �� � � �

� � � � �� � =� �

( ) ( ) ( )��� � �� � � �

� � � � � �� � =� �

( ) ( ) ( )�� � �� � � � �

� �=� �� �

( ) ( ) ( ) ��� � � �

���� � � � �

� � �=� �� �

EXPONENCIALES

LOGARÍTMICAS

�����������������"��#����

�$����

� ����� ���������@������� ����� ������� �������7����!������� ���������������� �� ��������� �� ������������������$�"*�����������������!#�7�������������� ��-������������ ����*�������7���

� ���������� �����3�!8#����������*�������������!#����� � ���������!8�

� ���������� �����3�!8#�����������*�������������!#����� �� ���������!8�

�����������������"��#����

�$��������

Cuando su derivada f’(x0) es igual a 0, la función f(x) tiene un MAXIMO o MINIMO relativo, de tal forma que:

Si f’’(x0) es negativa, f’(x) será decreciente, es decir pasaráde positiva a negativa en el punto x0, siendo por tanto este punto un MAXIMO RELATIVO. La función es cóncava (miramos desde abajo).

Si f’’(x0) es positiva, f’(x) será creciente, es decir pasará de negativa a positiva en el punto x0, siendo por tanto este punto un MINIMO RELATIVO. La función es convexa.

�����������������"��#����

�$���������

������������

%��������������&�����$����$����

� ��������������� �������������� "������� ��� �������� ���������*����� ������������� -4������������������������ "���� "������$��"����� � � ����������������������������� ���� ����������������

� �������������������*��� ����� ���������-��*���������� ���; ����*�����

� A-����������� ����� � ������������� ����� �

� A-�������������������� � ���������������������� �������

&'�������'����������"

Ejercicio 1 solución:

Ejercicio 2 solución:

Ejercicio 3 solución:

Ejercicio 4 solución:

Ejercicio 5 solución:

&'�������'�����������"

Ejercicio 6 solución:

Ejercicio 7 solución:

Ejercicio 8 solución:

Ejercicio 9 solución:

Ejercicio 10 solución:

&'�������'������������"

Ejercicio 11 solución:

Ejercicio 12 solución:

Ejercicio 13 solución:

Ejercicio 14 solución:

Ejercicio 15 solución:

f(x)=e(3x2+x3-5x+7)6�

f’(x)=6e(3x2+x3-5x+7)6(3x

2+x

3-5x+7)(6x+3x

2-5)�

f’(x)=8xsen(2x-2)+ 2cos(2x-2)(4x2-8)

�������������������

����������������������

f’(x)=6xtg(2x3-2)+ 6x2(3x2+1)(1+tg2(2x3-2))

&'�������'������������

Una empresa del sector turístico que actúa en un mercado monopolístico presenta la siguiente función de costes C=x3/3-x2+4x +10 y sabiendo que la función de demanda es p=20-x (x≤20). Calcular el equilibrio del mercado y su elasticidad en ese punto.

La condición de maximización del beneficio en este mercado es igualar el ingreso marginal (derivada de los ingresos totales) a su coste marginal (derivada de los costes totales)

Ing.totales= p.x=(20-x).x=20x-x2, calculamos ahora los ingresos marginales l’(x)=D(20x-x2)=20-2x

Costes marginales, se obtienen derivando la función de costes totales; C’(x)=D(x3/3-x2+4x +10 )=3x2/3 -2x +4

&'�������'��������� �

Igualando las dos derivadas obtenemos la cantidad de equilibrio:l’(x)=20-2x=C’(x)=x2 -2x +4 => x2 +2x -2x -20 +4 =0 => x2 -16 =0 =>x=4

Con la ecuación de demanda obtenemos precio de equilibrio; p=20-4=16

Para obtener la elasticidad demanda-precio, partimos de su definición; ε=-(dx/dp).p/x

Derivando por tanto la ecuación de demanda, p=20-x => x=20-p, obtenemos que ε=-(dx/dp).p/x=-(d(20-p)/dp).p/x=-(-1).p/x=p/x=16/4=4 (elástica; una variación del precio tiene una repercusión más que proporcional en la cantidad demandada).

&'�������'�������� �

Determinar el número de empresas de un mercado que actúa en competencia perfecta a largo plazo, conociéndose los siguientes datos:

Curva de costes a largo del sector; CL=x3/3-5x2+9x Función de demanda; p=59058-10x (∀x 0 y ≤5906)

La condición de maximización del beneficio en este mercado es igualar el precio al coste marginal (derivada de los costes totales); p=C’

Costes marginales, se obtienen derivando la función de costes totales; C’(x)=D(x3/3-5x2+9x)=x2-10x+9. Igualamos esta función a 0 para determinar si existe un mínimo o máximo;x2-10x+9=0 =>x=(-.(-10)+-(102-4.1.9)1/2)/2.1=(10+-(100-36)1/2)/2 =(10+8)/2=9 y (10-8)/2=1

&'�������'�������� ��

Con la segunda derivada, determinamos si existe un mínimo o máximo en aquellos puntos en los que la primera derivada de C’(x) se anula.C’’(x)=D(C’(x))=D(x2-10x+9)=2x-10, entoncesC’’(9)=2*9-10=8>0 Existe un mínimo (sólo nos interesa éste)C’’(1)=2.1-10=-8<0 Existe un máximo.

Ahora obtenemos la cantidad y precio de equilibrio p=C’(x)=> 59058-10x= x2-10x+9 =>59058-9= x2 => x=(59049)1/2=243. El precio de equilibrio será p= 59058-10.(243)=59058-2430=56628.

Como sabemos por el enunciado que estamos en un mercado a largo plazo y en competencia perfecta, y tenemos ya determinado el volumen de producción de este mercado en equilibrio (243), así como su mínimo (9), el número de empresas vendrá determinado por su cociente 243/9=27.

(�)�������$�

� B� ����.�6� ����*�)"��� ����� ������� �������������6��� �������%������$��4 �����>�88>#

� �� � �*�$���������� ���-�������6��� �������2�������-�����������>889#

� )�.7��.������*�6C D��4���� ������ ��������6��� ������-�������� �����������������2�������-�����������>88E#�

� $��������1����*�$������6��� ������������ ����#��F+%2��<GH8#�