UNIVERSIDAD MILITAR BOLIVARIANA

ACADEMIA MILITAR DE LA ARMADA BOLIVARIANA

DIVISIÓN ACADÉMICA

FUERZAS Y MOMENTOS APLICADOS SOBRE UN BUQUE

PROBLEMA TIPO

APLICACIONES DE REMOLCADORES SOBRE BUQUES

UNIVERSIDAD MILITAR BOLIVARIANA

ACADEMIA MILITAR DE LA ARMADA BOLIVARIANA

DIVISIÓN ACADÉMICA

EJEMPLO N° 1

Se tienen cuatro remolcadores para llevar un transatlántico a su muelle. Cada remolcador ejerce una fuerza de 5000 lbs, según la dirección indicada en la figura.

Determinar las siguientes solicitudes:(a).-Diagrama del Cuerpo Libre. (b).-Identificar las componentes rectangulares de cada una de las fuerzas aplicada sobre el transatlántico en el diagrama del cuerpo libre. (c).-El sistema equivalente Fuerza – Par en el palo mayor O. (d).-El punto en el casco en el cual debe empujar un remolcador mas potente para producir el mismo efecto que los cuatro remolcadores originales.

MODELO PROPUESTO

3

70p50p

110p 90p 100p 200p

60°

45°

4

3

100p 100p

1 2

4

Aquí se pueden observar como actúan los remolcadores sobre el buque

a).- Diagrama del cuerpo libre b).-Componentes rectangulares de cada fuerza

O

F3y

F4x

F4y

F1x 70p50p

110p 90p 100p 200p

60°

45°

F2y

F2x

100p 100p

F1y F1

F2

F4

F3

DESARROLLO

F1= 5000 Cos 60° i - 5000Sen 60° j

F2= 3 i + 4 j

F3= 0 i - 5 j

F4= 5000 Cos 45° i + 5000Sen 45°j (Lbs-f)

A partir de la Ecuación General de la Fuerza

F = F x i + F y j

Más el Diagrama del cuerpo libre, se determina la expresión analítica de cada una de las fuerzas:

Cálculo de la fuerza resultante Fr = ( F1 + F2 + F3 + F4)

F1 = 2,5 i - 4,33 j

F2 = 3 i + 4 j

F3 = 0 i - 5 j

F4 = 3,54 i + 3,54 j

Fr = 9,04 i - 9,79 j (Lbs-f)

F1F1y

F1x

60°

CÁLCULO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES DE F1

F1x= 5000 Cos 60°

F1y = - 5000Sen 60°

Nota: De igual forma se procederá para el cálculo de F2 , F4 . En el caso de F3 esta tiene una sola componente en el eje “Y”.

Identificar los valores de las componentes rectangulares obtenidos para cada fuerza (F1, F2, F3, F4), según ejes (X - Y) en el diagrama.

O

F3y=-5 j

F4x=3,54 i

F4y=3,54 j

F1x= 2,5 i 70p50p

110p 90p 100p 200p

60°

45°

F2y=-4 j

F2x=3 i

100p 100p

F1y= - 4,33 j F1

F2

F4

.

F3 =

Cálculo del Momento Mor = r i x FiPara ello de acuerdo al diagrama del cuerpo libre, se identifican como actúan cada una de las componentes rectangulares en el punto de aplicación de las Fuerzas

F3y

F4x

F4y

F1x 70p50p

110p 90p 100p 200p

F2x

100p 100p

F1y

F2y

F4

O.

r1

M1 = (- 90 i + 50 j) x (2,50 i - 4,33 j)

M2 = ( 100 i + 70 j) x (3,00 i - 4,00 j)

M3 = ( 400 i + 70 j) x ( 0 i - 5 j)

M4 = ( 300 i - 70 j) x ( 3,54i + 3,54 j)

M total = - 1,035 K (Lbs-p)

CALCULO DEL MOMENTO TOTAL EN EL PUNTO “O”

M total = r i x F i (Producto vectorial)

CALCULO DEL MOMENTO PARA CADA FUERZA

(c).- El sistema equivalente Fuerza – Par en el palo mayor O.

O

9,04 i

- 9,79 j

M total = - 1,035 K (Lbs-p)

M total

Fr = 9,04 i - 9,79 j (Lbs-f)

Fr

.O

70p

x

(d).-El punto (A) en el casco, en el cual debe empujar un remolcador mas potente para producir el mismo efecto que los cuatro remolcadores originales. Fr: Fuerza ejercida por un solo remolcador r: vector de posición del punto A

Dados: r = x i ´+ 70 j MorFr = 9,04 i - 9,79 j Mor = - 1,035 k

Se requiere determinar el valor de X

AFr

r

Teoricamente

r x Fr = Mor (El producto vectorial de dos vectores otro vector)

( X i ´+ 70 j) x (9,04 i - 9,79 j) = - 1,035 k -X (9,79) k - (633) k = - 1,035 k

X = 41,1 p

DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE

F1 y F2y F3y

F4y

O 200 p 100p 100p70 p

DESARROLLOExpresión analítica de cada fuerza a partir del Diagrama del cuerpo libre y la Ecuación General:

F = F x i + F y j

F1= ( ) i + ( ) j F2= ( ) i + ( ) j F3= ( ) i + ( ) j F4= ( ) i + ( ) j

Cálculo de la fuerza resultante Fr = ( F1 + F2 + F3 + F4)

F1= ( ) i + ( ) j F2= ( ) i + ( ) j F3= ( ) i + ( ) j F4= ( ) i + ( ) j Fr = ( ) i + ( ) j (Lbs-f)

Cálculo del Momento M tot = r i x F i

Para ello de acuerdo al diagrama del cuerpo libre, se identifican como actúan cada una de las componentes rectangulares en el punto de aplicación de las Fuerzas

F1y = 1000 lbs F 2y = 2000 lbs F 3y = 2000 lbs

O 200 p 100 p 100 p70 p

F4y = 4000 lbs

M total = ri x Fi (Producto vectorial) M1 = ( ) i + ( ) j x ( ) i + ( ) j

M2 = ( ) i + ( ) j x ( ) i + ( ) j

M3 = ( ) i + ( ) j x ( ) i + ( ) j

M4 = ( ) i + ( ) j x ( ) i + ( ) j

M total = ( ) K (Lbs-p)

b.- La distancia de la fuerza resultante desde el punto de aplicación (A) al punto “ O “ sobre el cual tiende a girar el buque.

O

A

r

x

70 p

F r

Fr: Fuerza resultante ejercida r: vector de posición del punto A

Dados: r = x i ´+ 70 j ( p ) Fr = ( ) i + ( ) j (Lbs-f) M tot = ( ) k (Lbs-p)

Se requiere determinar el valor de X

X i ´+ 70 j x ( i + j = ( ) k X ( ) k + ( ) k = ( ) k

X = ( ) p

Teoricamente

r x Fr = M tot (El producto vectorial de dos vectores es otro vector)Cumpliendo con la ecuación anterior y relacionando lo obtenido se tiene: