UNIVERSIDADE DE SANTIAGO. ESCOLA …webspersoais.usc.es/.../1.1_Fundamentos_da_Topografia.pdf · en extensión para que se poda considerar plana sin erros apreciables. Máis ampliamente,

UNIVERSIDADE DE SANTIAGO. ESCOLA POLITÉCNICA SUPERIOR DE LUGO.

Área de Enxeñería Cartográfica, Xeodésica e Fotogrametría.

Topografía de Obra. EC

Profesor: José Antonio Pardiñas García.

TEMA 1.1. Fundamentos da Topografía - 1

TEMA 1.1. Fundamentos da Topografía.

SUMARIO

1.1. Topografía. Definición. Medicións para a representación gráfica de puntos e para o cálculo de superficies.

1.2. Clasificación dos ángulos. 1.3. Esquema de aplicacións ó campo profesional.

1.3. Unidades de medida usadas en Topografía 1.4. Fórmulas importantes a recordar.


Área de Enxeñería Cartográfica, Xeodésica e Fotogrametría

Topografía de Obra. EC.



Con este Tema de Introducción o que se pretende é establecer unha dinámica de relación aprendizaxe / utilidade para provocar, dalgún xeito, a necesidade de saber, seguindo o esquema do Curso, que consiste en determinar: a) Que traballos se poden facer coa Topografía. b) Con que se fan (Descrición e manexo de aparatos). c) Como se fan (Explicación da Metodoloxía a seguir).

1.1 TOPOGRAFÍA:

1.1.1. Definición.

A palabra Topografía, composta de dúas palabras gregas,- topos = lugar e graphos = escribir- é a Ciencia que se ocupa da medida e representación gráfica dunha porción de terra limitada en extensión para que se poda considerar plana sin erros apreciables. Máis ampliamente, a Topografía estudia a Metodoloxía para a toma de datos en campo, os instrumentos e o seu manexo, e o conxunto de principios e procedementos para representar graficamente, con formas e detalles, naturais e/ou artificiais, unha parte da superficie terrestre, dabondo pequena, para que se poida considerar substituída polo plano tanxente á mesma no seu centro, sen erro apreciable. A Topografía considera a Terra plana, para determinacións planimétricas (forma, posición e dimensións), nuha extensión aproximadamente igual á dun triángulo xeodésico de terceiro orden. Un triángulo deste tipo ten uns lados cunha lonxitude entre 10 e 15 Km. O obxecto da topografía é establecer os COÑECEMENTOS, fixa-los MÉTODOS e ensina-la PRÁCTICA para conseguir a representación de determinadas zonas de terreo, con tódolos seus detalles. Os obxectivos da Topografía son moi variados e podemos esquematizar as partes que compoñen a súa docencia nos seguintes apartados:

Coñecementos xeráis da materia.

Metodoloxía ou coñecemento científico dos procedementos de medición ou toma de datos de campo.

Instrumentación: descripción e procedementos de uso dos aparatos para as medicións de campo.

Metodoloxía ou coñecemento científico dos procedementos de cálculo, para a xestión dos datos de campo e a xeneración dos resultados.

Sistemas de representación gráfica e interpretación para a elaboración da Cartografía. Metodoloxía para os replanteos e as aplicacións. Este concepto clásico e parcial da Topografía foi perdendo parte da súa vixencia, co






desenvolvemento de outras Técnicas coma a Fotogrametría, que permiten obter unha información moi precisa sobre grandes extensións, á vez que introduce unha documentación informativa complementaria, a través da imaxen, que posibilita a realización de cartografía temática máis rica que a que pode acadarse cun levantamento topográfico. Pero a aparición de instrumentos electrónicos como a Estación Total, que facilita enormemente a utilización de aplicacións informáticas e que introduce unha precisión nos traballos topográficos que, ata a súa aparición, na década dos oitenta, só estaba reservada ás técnicas da Xeodesia, devolven un papel trascental á Topografía, para tódalas medicións de detalle, para Cartografía de escala grande e, sobre todo para a execución de proxectos por medio do replanteo. Ademáis, cada vez existen máis programas informáticos de cálculo topográfico que realizan cálculos e axustes de gran precisión e dispoñen de potentes editores gráficos ou están asociados con programas de DAO, que permiten a elaboración de Cartografía a escalas grandes, axeitada para estudios de detalle, proxectos e preparación de replanteos. Ó longo dun Proxecto de Enxeñería a Topografía está presente de comenzo a fin. Vexamos, en Proxectos de Vías, Obra Civil, Concentración Parcelaria, Ordenación do Territorio, vemos a Topografía para:

Cartografía de detalle a escalas grandes.

Cálculos e medicións de proxecto.

Replanteos.

Seguimento e execución da obra.

Control de calidade. A necesidade da Topografía ven marcada polos diversos fins que persigue a actividade humana, en tódolos seus campos, tanto públicos , como privados, militares ou civís. En esquema, podemos ver as principais aplicacións:

DEFENSA MILITAR. Servicio Xeográfico do Exército. MAPA NACIONAL. Instituto Xeográfico Nacional. CATASTRO. Fotogrametría. Parcelación. CONSTRUCCIÓNS PÚBLICAS. Estradas. Aeroportos. Embalses. CONCENTRACIÓN PARCELARIA. EXPLOTACIÓNS MINEIRAS. EXPROPIACIÓNS. Deslindes, etc...






1.1.2. Medicións a realizar para os traballos de campo.

Para coñecer a posición dun punto que pretendemos representar gráficamente nun plano, temos que

considerar dous aspectos:

a) Posición no plano sobre o que se proxecta a zona a representar. b) Altura con respecto a un plano de referencia.(COTA). A posición no plano, establécese por medio de coordenadas cartesianas. Cos aparatos medimos directa ou indirectamente os datos para as coordenadas polares (ángulos e distancias).

Aplicando a teoría de vectores:

Sexa un punto de coordenadas cartesianas A(x,y). O vector OA, de posición dese punto, ten as

seguintes coordenadas polares:

Vector OA=(r)

Módulo OA= r=2

1

2

1 yx

Argumento= = Arctg

1

1

x

y

Así, pois, se os valores de partida son as coordenadas polares r e o calculo de coordenadas cartesianas a partir delas faise aplicando as seguintes fórmulas de doada dedución:

X1= r Cos

Y1= r Sen

A diferenza entre estes cálculos e os realizados en Topografía está no feito de medir o argumento. En vectores, igual que en Trigonometría, os ángulos mídense dende o eixe positivo OX, xirando no sentido contrario ao das agullas do reloxo. En Topografía, os ángulos horizontais (argumento de cada vector, posición de cada punto) mídese dende o eixe positivo OY xirando no sentido das agullas do reloxo. Por iso o cálculo das coordenadas cartesianas experimenta unha pequena variación,

X

Y

A (x1,y1)

x1

y1

O

r






quedando así:

X1= D. Sen

Y1= D. Cos

O valor de D será a distancia horizontal resultante de proxectar o vectorOA

sobre o plano de representación. Chámase distancia reducida. En m momento explicásese m cálculo. O punto "o" situásese no aparello para a medición de ángulos e de distancias.

O ángulo recibe o nome de ángulo horizontal ou acimuntal. A altura con respecto a un plano de referencia (COTA ou ALTITUDE) pódese calcular tamén a partir dunhas coordenadas polares, constituídas pola distancia xeométrica e o ángulo vertical. Como se verá na clasificación de ángulos, os ángulos pódense medir con respecto a unha referencia horizontal ou con respecto ao cero vertical. En resumo, un punto no espazo quedaría definido polos dous ángulos (un horizontal e outro vertical) e unha distancia xeométrica.

X

Y

A (x1,y1)

x1

y1

0 graos horizontais

Norte

O

D






Figura 3

1.2 CLASIFICACIÓN DOS ÁNGULOS: Dende o aparato máis básico en topografía ata o máis complexo Estación Total (sen chegar ao GPS) medimos dous ángulos e unha distancia. Os ángulos son horizontais e verticais. 1- Ángulo formado por unha aliñación coa mediana magnética ou astronómica. Rumbos e Acimuts. O ángulo formado coa mediana magnética é unha aliñación calquera, chamámoslle RUMBO, se en lugar de tomar a liña de referencia coa MERIDIANA MAGNÉTICA, tomásemos a MERIDIANA ASTRONÓMICA, o ángulo formado dariámoslle o nome de ACIMUT. Polo tanto, as medicións horizontais poden facer referencia á mediana magnética, tomada como orixe

da graduación, e entón os ángulos medidos reciben o nome de RUMBOS DA ALIÑACIÓN, pero se a

liña de partida fose a meridiana astronómica, ao norte verdadeiro, entón diriamos que medimos o

ACIMUT DE TAL ALIÑACIÓN. Os ángulos horizontais pódense medir dunha e doutra forma, por

RUMBOS e por ACIMUTS.






Como máis adiante explicaremos, a variación que hai entre rumbos e acimuts é o que constitúe a DECLINACIÓN MAGNÉTICA, ángulo variable duns lugares a outros, por non coincidir o NORTE MAGNÉTICO co ASTRONÓMICO; de aí que as MERIDIANAS sexan distintas, formando entre ambas as dúas un ángulo coñecido co nome de DECLINACIÓN, dando orixe á primeira os rumbos, e a segunda os acimuts de cada aliñación.

1.2.1 CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTAIS

i. Segundo a graduación empregada nos limbos ou círculos horizontais, os ángulos poden ser SESAXESIMAIS e CENTESIMAIS, sendo preferible esta última graduación, porque simplifica as operacións, ao non operar con graos, minutos e segundos sesaxesimais e ademais porque estando dividida a circunferencia en 400 partes, en lugar de 360, as apreciacións do sistema Centesimal son máis precisas nos seus graos, minutos e segundos.

ii. Pola orde en que crece a graduación, poden ser os limbos de Graduación Directa ou Inversa, a primeira vai crecendo como as agullas do reloxo, e a segunda en sentido contrario; tamén se lles dan os nomes de NORMAL ou DEXTROSA á primeira e ANORMAL ou SINISTROSA á segunda.

Actualmente os Teodólitos electrónicos e Estacións Totais permiten a dobre posibilidade permitindo calquera das dúas configuracións.

1.2.2 CLASES DE ÁNGULOS VERTICAIS Os ángulos determinados por unha liña horizontal e unha liña inclinada concorrente nun punto, no cal situaremos outro limbo, ou círculo vertical, sobre o que apreciamos o ángulo e a súa apertura, tanto se é no sentido ascendente, como descendente. Este último chámase limbo ECLÍMETRO ou CENITAL. Os ángulos verticais podemos medilos:

i. A partir dunha liña horizontal, e entón chamámoslle ángulos de inclinación, e poderán ser ASCENDENTES ou DESCENDENTES, segundo o séxan as VISUAIS que temos que dirixir para OBSERVAR a altura ou depresión en que se atopa o EXTREMO DE LIÑA inclinada: lense sobre un LIMBO VERTICAL, que xeralmente ten o CERO de m GRADUACIÓN na liña HORIZONTAL, ou crece tanto cara a arriba coma cara a abaixo, coa súa numeración sesaxesimal ou centesimal, e por iso hai que ter en conta o signo POSITIVO se a visual é ascendente, e NEGATIVA se a visual é descendente.

ii. A partir dunha LIÑA VERTICAL, co CERO da súa GRADUACIÓN na parte superior do LIMBO VERTICAL, e como a prolongación chegaría ao CÉNIT, ou punto sobre a vertical, chámaselles ángulos CENITAIS, e loxicamente miden os ángulos complementarios dos ángulos de elevación ou de depresión.






Hai que observar que ás veces os Limbos están fixos e o que se move é un índice, e unha vez colimado o punto que se desexa mirar, e fixando ben co parafuso (tornillo) de presión a situación, afinando un pouco máis se fose preciso co parafuso (tornillo) de COINCIDENCIA, o INDICE marcáranos exactamente o ángulo que debemos ler coa axuda do NONIO (onde se aprecian ata segundos centesimais dependendo do tipo de instrumento. Noutras ocasións, os Limbos son móbiles e son arrastrados co movemento do anteollo, e cando xa está definido o punto a observar, o índice fixo determina o ángulo que se debe ler, coa axuda do nonio. Outro caso son os limbos dos instrumentos topográficos coñecidos como Estacións Totais que se verán máis adiante. Nos ángulos CENITAIS, non fai falta ter en conta o signo, pois xeralmente, se non chegan a 90º ou 100 g adoitan ser ángulos ascendentes, e se pasa de 90º ou 100 g son descendentes.

1.2.3 CLASES DE LIMBOS

i. Polo exposto dedúcese que os Limbos poden ser: Horizontais ou Verticais, tamén coñecidos co nome de Acimutais e Cenitais, ou eclímetros por medir coa horizontal dos Taquímetros preferentemente ángulos acimutais, e ser máis frecuente nos verticais, contar os graos a partir do CÉNIT.

ii. Pola división dos Limbos, estes poden ser: sesaxesimais e centesimais, sendo esta graduación moito máis empregada ca sesaxesimal, pola facilidade das operacións.

iii. Por crecer no sentido das agullas do reloxo, os Limbos chámanse de graduación directa, normal ou dextrosa, e os que teñan a numeración dos seus ángulos no sentido contrario ao das agullas do reloxo, son de graduación indirecta, anormal ou sinistrosa.

En ambos os dous Limbos a tendencia actual das fábricas construtoras, vai encamiñada á GRADUACIÓN CENTESIMAL e NORMAL ou DIRECTA, e nos ECLÍMETROS, con Limbos cenitais para que dean perfectamente ángulos CENITAIS. Na actualidade os Taquímetros electrónicos e as Estacións totais, ofrécennos a posibilidade de ser configurados con calquera das posibilidades mencionadas. a) Ángulos SESAXESIMAIS/ CENTESIMAIS. b) Graduación DEXTROSA/ SINISTROSA. c) Ángulos CENITAIS/ Ángulos HORIZONTAIS. Por iso e pola posibilidade de desenvolver a profesión en varias empresas, equipadas cada unha con material diferente ou distintas configuracións, é conveniente á hora do primeiro contacto cun instrumento topográfico, fixarnos detidamente en:

i. Na súa graduación, pois sería un grave erro confundir a sesaxesimal, coa centesimal.






ii. Se a graduación crece cara á dereita, ou cara á esquerda, para efectuar o xiro no sentido

máis conveniente.

iii. Ver se os ángulos verticais se miden dende o horizonte, e resultan de elevación ou de depresión, ou se son cenitais, en cuio caso os ángulos menores de 100 g ou 90º son ascendentes, e ao pasar destas cantidades, serán descendentes.

iv. Estudar detidamente no seu nonio, para coñecer a APRECIACIÓN do citado instrumento, xa

que os hai que aprecian minutos, e outros aprecian segundos de dez en dez, de vinte en vinte, isto nas dúas graduacións (sesaxesimal e centesimal).

RESUMO: TIPO DE ÁNGULOS. ÁNGULOS VERTICAIS Altura de horizonte Ángulos cenitais HORIZONTAIS Rumbo

Acimut






Si realizamos un corte vertical que pase polo plano determinado polo triángulo OAA' na figura 3, resulta o perfil que aparece na figura 4, no que se ve a relación entre as distancias Reducida, Xeométrica e Vertical.

O PC (x,y)

A'

Z

A (xa,ya)

Za

D

d Dv

Figura 4

OA = D = Distancia reducida ou proxectada

OA’ = d = Dg = Distancia xeométrica

AA’ = Dv = Distancia vertical = Desnivel entre A’ e O.

222 Dv D = d

1.2. ESQUEMA DE APLICACIÓNS Dende o punto de vista do ensino dunha materia práctica como a Topografía, fai falla marcarse uns esquemas mentais que orienten ó alumno e o predispoñan ó aprendizaxe da materia en base ás súas aplicacións profesionais, para que saiba "a priori" para que lle vai a servir o que se lle pretende ensinar. Por elo, con carácter orientativo e independentemente das propias iniciativas, o Enxeñeiro Técnico pode atoparse coas seguintes posibilidades:

a) Concentracións Parcelarias. b) Camiños rurais e forestais. c) Deslindes e expropiacións. d) Liñas eléctricas. e) Liñas de telecomunicación. f) Traballos de catastro. g) Valoracións e Particións de bens. h) Edificacións e instalacións. i) Ordenación do territorio (urbana e rural). j) Actualización Cartográfica. k) Arqueoloxía. Etc, Etc……






1.3. UNIDADES DE MEDIDA USADAS EN TOPOGRAFÍA.

Quedou claro que o que se vai a medir fundamentalmente son ángulos, e distancias para poder calcular superficies e volumes. Como queira que, dende o punto de vista físico, medir é comparar a magnitude a medir con unha unidade ben definida, compre coñecer ben as unidades que se teñen que manexar para as medicións e cálculos.

1.3.1. Unidades angulares:

X1C

2C3C

4C

N 0 Hz

A.- GRADUACIÓN SESAXESIMAL. (DEG)

Nome Valor

Circunferencia 360º graos

Cuadrante 90º graos

Grao (º) 60’ minutos

Minuto (‘) 60” segundos

Expresión de un ángulo de 42 graos 35 minutos e 25.3 segundos:

Expresión complexa: 42º 35' 25'',3.

Expresión pseudodecimal: 42º.35253. (Escribimos minutos e segundos como si perteneceran ó sistema de numeración decimal).

Expresión decimal: 42º.59036 (Calculamos a fracción de grao que representan os






minutos e os segundos). Proceso de cálculo: (35’ x 60” + 25”.3)/3600 = 0º.59036. 42º + 0º.59036 = 42º.59036

Este sistema de graduación é moi pouco intuitivo e a súa expresión decimal non é directa, senon que require un proceso de conversión. En Topografía non se usa na maioría dos países oocidentáis.

B.- GRADUACIÓN CENTESIMAL. (GRA)

Nome Valor

Circunferencia 400g (graos cent.)

Cuadrante 100g (graos cent.)

Grao (g) ou gon 100

c (minutos cent.)= 10000

cc

Minuto (c) 100

cc (segundos cent.)

1 mgon (miligon) (1/1000)g = 10000

cc /1000 = 10

cc (segundos cent.)

Expresión de un ángulo de 83 graos 74 minutos e 92,7 segundos: Expresión complexa: 83

g 74

c 92

cc,7

ou tamén a forma que será mais empregada Expresión decimal: 83

g,74927

Como pode verse, a graduación centesimal pode escribirse e calcularse en expresión decimal, sen variación algunha dos valores con respecto á súa forma complexa, porque pertenece ó sistema decimal. Por esta razón é a máis empregada nos aparatos topográficos e nos programas de cálculo.

C.- GRADUACIÓN CIRCULAR. (RAD) Utiliza como unidade o RADIÁN. O Radián é o valor de un ángulo central que abarca un arco de igual lonxitude que o seu radio.






Ángulo = s

r , medido en radiáns.

Si s=r = 1 radián. DATOS: s = arco subtendido polo ángulo. r = radio do arco.

Nome Valor

Circunferencia 2 radiáns

Cuadrante /2 radiáns

D.- GRADUACIÓN GON. A graduación gon é análoga á centesimal, pero sole aparecer esta nomenclatura en lugar da outra

Fig. 5.- O RADIAN.






nas indicacións dos aparatos electrónicos de medida angular. EQUIVALENCIAS: 1 gon = 1 grao centesimal. 1 miligon (mgon) = 10

-3 gon = 10

-3 graos = 10

cc.

E.- GRADUACIÓN MILITAR.

Graduación en milésimas artilleiras.- A graduación que veu utilizando o exército para as súas

medidas angulares é a correspondente ás Milésimas Artilleiras, que son unidades que equivalen ó

arco resultante de dividir a circunferencia en 6400 partes iguales.

Nome Valor

Circunferencia 6400 MA

Cuadrante 1600 MA

.- EQUIVALENCIAS E TRANSFORMACIÓNS: Para poder realizar as transformacións entre as unidades dos distintos sistemas de medición de ángulos, compre saber as equivalencias entre ángulos coñecidos e logo facer sinxelas proporcións para resolver. Sirve de base a CIRCUNFERENCIA ou o cadrante: Poñemos por exemplo as seguintes: F.1.- EQUIVALENCIAS.






En base a estas equivalencias establécense as seguintes Fórmulas de Transformación: F.2.- TRANSFORMACIÓNS:

F.2.1.- De graos sesaxesimais a centesimais:

g = 10

9 .

,7492583 =

,7492583 = ,3743375 9

10 =

e0,37433 = 3600

,61347"

,61347" = ,627" + 1320" 1320" = 22 Porque

,3743375 = : decimal forma En

,627" 22 75 = Sexa

gg

gg

37433,7537433,075__

e'

'

gg

gg (Rad) =

400

2 »«

(Rad) =

360

2 »« =

90

100






F.2.2.- De graos centesimais a sesaxesimais: O paso dos ángulos do sistema sesaxesimal de forma decimal a complexa e viceversa, pode facerse do mesmo xeito que na transformación anterior en tódolos casos.

= 9

10 . g

,241" 22 103 =

,241" = 60 0,6872 = ,68720

,687222 = 60 0,37812 = 0,37812 :complexa forma Pasamos

decimal forma en ,,37812103 = ,86458114 10

9 =

,86458114 = Sexa

g

gg

'

'

'

Pero as calculadoras teñen unha función de cambio da forma complexa á decimal e viceversa. Algunhas marcas introducen os datos da forma sesaxesimal coas teclas de numeración decimal realizando a transformación automáticamente. F.2.3.- De radiáns a graos:

= (Rad) . 180

= (Rad) . 200

Sexa (Rad) = 2,3756 rad

= 2,3756 . 180

= 136 ,11185 = 136 6 42,6"

= 135 , 6 42" ,6

Para pasar de graos sesaxesimais a radiáns, transfórmase o valor do ángulo en forma complexa á forma decimal tal e como xa se dixo antes.






1.3.2. Unidades de lonxitude: A fundamental é o METRO. Defínese como a lonxitude percorrida por un raio de luz, no vacío, nun tempo de 1/299.792.458 segundos. (Ter en conta que a velocidade da luz e preto de 299.792,458 m/s no vacío). A unidade de lonxitude, para medir distancias, compleméntase cos seus múltiplos e submúltiplos. MÚLTIPLOS: Decámetro (dam = 10 m), Hectómetro (Hm = 100 m), Quilómetro (Km = 1000 m). SUBMÚLTIPLOS: Decímetro (dm = 0.1 m), centímetro (cm = 0.01 m) e milímetro (mm = 0.001 m). 1.3.3. Unidades de superficie: A fundamental é o METRO CADRADO. Por definición, é a superficie de un cadrado de 1 m. de lado. En Topografía e Agrimensura, empréganse UNIDADES AGRARIAS para a expresión das superficies. Os seus nomes e equivalencias son os seguintes:

UNIDADE AGRARIA

E Q U I V A L E N C I A S

Km2 Hm

2 dam

2 m

2 Ha. área ca.

HECTÁREA Ha. 0,01 1 100 10.000 1 100 10.000

ÁREA a 10-4

0,01 1 100 0,01 1 100

CENTIÁREA ca 10-6

10-4

0,01 1 0,0001 0,01 1

A expresión de unha superficie en Has. debe de conter, polo menos, catro cifras decimais (ata as cas.). Superficie = 42.957 m

2 = 4,2957 Has. = 4 Has. 29 a e 57 cas.






1.4. FÓRMULAS IMPORTANTES A RECORDAR. 1.4.1. Suma dos ángulos interiores dun polígono:

Fórmulas necesaria para o cálculo de erros na medida dos ángulos dunha poligonal, en función do método utilizado. n = nº lados do polígono. Si = Suma ángulos interiores. Se = Suma ángulos exteriores. Si+e = Suma total ángulos.

1.4.2. Razóns trigonométricas: Definidas na trigonometría sobre a base do triángulo rectángulo, servirán de base para a resolución de calqueira tipo de triángulo por aplicación dos métodos e Teoremas axeitados.

1.4.3. Teorema de Pitágoras:

ig

eg

i+eg

S = (n - 2) . 200

S = (n + 2) . 200

S = n. 004

Sen C = c

a ; C =

b

c

C = b

a ; C =

a

b

Tg C = c

b ; C =

a

c

cot

Cos sec

cosec

Fig. 6.- TRIÁNGULO RECTÁNGULO.






Relación entre os lados dun triángulo rectángulo (catetos e hipotenusa), de aplicación ó cálculo dos mesmos e a todo tipo de demostracións e que se cumplan as relacións pitagóricas. 1.4.4. Teorema do Seno:

Fórmulas que permiten o cálculo dos datos descoñecidos dun triángulo (lados ou ángulos), cando entre os datos coñecidos fuguran un lado e o seu ángulo oposto.

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a = b + c

b = a - c

c = a - b

a

Sen A =

b

Sen B =

c

Sen C

Fig. 7.- TRIÁNGULO.






1.4.5. Teorema do Coseno:

Fórmula que permite, entre outros cálculos, o do primeiro ángulo dun triángulo si coñecemos os tres lados. Ou, como se ve na fórmula, o cálculo dun lado oposto a un ángulo cando se coñecen dous lados e o ángulo formado por eles. 1.4.6. Teorema fundamental da trigonometría:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a = b + c - 2.b.c. A

b = a + c - 2.a.c. B

c = a + b - 2.a.b. C

Cos

Cos

Cos

2 2

2 2

2 2

Sen + = 1

+ 1 =

1 + =

Cos

tan sec

cot cosec






1.4.7. Fórmula do Seno:

Fórmula moi interesante para o cálculo da Superficie de Triángulos cando se coñecen dous lados e o ángulo formado por eles. Este caso aparece en Topografía en tódolos traballos de radiación. 1.4.8. Fórmula de HERÓN:

Moi util para o cálculo da superficie de triángulos e, por elo, de polígonos sempre susceptibles de descomposición en triángulos, cando coñecemolos tres lados a, b, c. Sen lugar a dubidas a TOPOGRAFÍA utiliza a Trigonometría como Ciencia auxiliar de primeiro orde en tódolos seus cálculos e demostracións, polo que é indispensable dominalo cálculo trigonométrico si se quere traballar con eficacia nos cálculos topográficos. NOTA: Fórmulas desenvolvidas a partir dos datos do triángulo xeral da figura nº 7.

Superficie = S = 1

2.a.c.Sen B

Superficie = S = p(p - a)(p - b)(p - c)

p = a + b + c

2

p = SEMIPERIMETRO

Documents

UNIVERSIDADE DE SANTIAGO. ESCOLA …webspersoais.usc.es/.../1.1_Fundamentos_da_Topografia.pdf · en extensión para que se poda considerar plana sin erros apreciables. Máis ampliamente,