FIDES ET RATIOVOL. 8: (67-74), SEPTIEMBRE 2014ISSN 2071- 081XLa
Funcin de produccin COBB DOUGLASThe role of production COBB -
DOUGLASBruno E. Vargas BiesuzInstituto de Investigacin de Ciencias
Econmicas yFinancieras, Universidad La Salle. La Paz - Bolivia
[email protected] presente trabajo, explica el
origen y algunas caractersticas importantes de una de las funciones
de produccin de mayor aplicacin en la economa y la ingeniera
industrial, la funcin Cobb Douglas. Por otra parte, para una mejor
apreciacin de la teora explicada, se ha escrito en un lenguaje de
programacin especializado, el programa informtico que permite
visualizar en un grfico la funcin de produccin tratada.Palabras
Clave: Empresa, factores productivos, grafico tridimensional,
produccin, producto marginal, rendimientos crecientes de
escala.AbstractThis paper explains the origin and some important
aspects of one of the most important mathematic relation applied in
economics and industrial ingineering,Cobb- Douglas production
function. Furthermore, to appreciate in the bether way the
explained theory, it was writhen the informatics program to show
the graphic of the production function .Keywords Enterprise,
productive inputs, three dimensional graphic, production, marginal
product, scale increasing outputs.INTRODUCCIONEl tema central de la
ciencia econmica es la produccin de bienes y servicios. La
actividad de produccin se efecta a travs de unidades productivas
llamadas empresas. Debido al desarrollo tecnolgico y al standard de
vida alcanzado por la sociedad moderna, existen millones de
productos y consiguientemente millones de empresas. Cada producto
demandado y consumido en la sociedad ha sido elaborado o producido
combinando distintas cantidades de factores de67Bruno E. Vargas
Biesuzproduccin. Por ejemplo, para producir cierta cantidad de
trigo, la empresa agrcola deber utilizar distintas cantidades de
factores productivos como: trabajo humano medido en horas
laborales, bienes de capital como equipos o maquinaria, parcelas de
tierra, recursos naturales y, por supuesto cierto nivel de
conocimientos tecnolgicos.La teora econmica de la produccin, se
ocupa precisamente de este tema particular y su objetivo es brindar
al empresario o directivo, informacin necesaria para que la empresa
organice de manera eficiente su proceso de produccin, utilizando
eficientemente esos factores productivos, limitados y costosos y as
maximizar las ganancias o beneficios de los propietarios.Objetivos
El objetivo general del presente artculo es difundir lo ms
claramente posible la teora econmica relacionada a una funcin de
produccin particular. Los objetivos especficos son:Conocer las
caractersticas fundamentales de la funcin de produccin Cobb
Douglas. Desarrollar el programa informtico en un lenguaje de
programacin adecuado, para visualizar grficamente la forma de la
funciones de produccin estudiada. * Graficar la funcin de produccin
Cobb Douglas. ContenidoLas Funciones de Produccin Una funcin de
produccin muestra las distintas cantidades de producto que se puede
obtener combinando distintas cantidades de factores productivos y
dado cierto nivel de conocimientos o tecnologa.Esto se puede
expresar en trminos de funciones matemticas de la siguiente forma:Q
= f ( T, L, Rn, K )Donde Q es la cantidad de producto obtenido, T
representa el factor tierra, L el factor trabajo, Rn los recursos
naturales, K los bienes de capital (maquinara, equipo,
infraestructura productiva, herramientas, etc). Para simplificar
esta expresin multidimensional, frecuentemente se la reduce a una
funcin tridimensional como por ejemplo:Q = f ( L, K )68LA FUNCIN DE
PRODUCCIN COBB DOUGLASEsta relacin indica que la cantidad de
produccin (Q), depende ahora, solamente de la combinacin de
distintas cantidades de trabajo (L) y capital (K). Los otros
factores, en este caso, recursos naturales y tierra se los
considera invariables o constantes. De esto, entender el lector que
cada producto que se oferta en los mercados tiene una funcin de
produccin.Las funciones de produccin pueden ser expresadas en forma
de tablas. Estas registran o muestran precisamente las cantidades
de produccin obtenida con las distintas cantidades de factores
productivos usados. A partir de la informacin recolectada en las
tablas y con mtodos economtricos, se pueden obtener las ecuaciones
correspondientes y a partir de estas, elaborar los grficos que
muestran la forma que tienen las funciones de produccin.La Funcin
de Produccin COBB DOUGLAS. Una funcin de produccin particularmente
especial y muy til en los anlisis micro y macroeconmicos, es la
funcin de produccin Cobb Douglas. Para conocer el origen de esta
famosa funcin de produccin, nos referiremos a lo explicado por
Gregory Mankiw [1].Este autor pregunta: qu funcin de produccin
concreta describe la manera en que las economas reales transforman
el capital y el trabajo en produccin? Seala luego que la respuesta
a esta pregunta fue fruto de la colaboracin histrica de un senador
estadounidense y un matemtico. Sigue explicando que, Paul Douglas
fue senador de estados Unidos por Illinois desde 1949 hasta 1966.
En 1927, sin embargo, cuando an era profesor de economa, observ un
hecho sorprendente: la distribucin de la renta nacional entre el
capital y el trabajo se haba mantenido ms o menos constante durante
un largo perodo. En otras palabras, a medida que la economa se haba
vuelto ms prspera con el paso del tiempo, la renta de los
trabajadores (o sus ingresos) y la renta de los propietarios del
capital (o sus utilidades), haba crecido casi exactamente a la
misma tasa. Esta observacin llev a Douglas a preguntarse bajo qu
condiciones las participaciones de los factores se mantenan
constantes.Sigue explicando el citado autor que, Douglas pregunt a
Charles Cobb, matemtico, si exista una funcin de produccin que
produjera participaciones constantes de los factores si stos
siempre ganaban su producto marginal. La funcin de produccin
necesitara tener la propiedad de que:Renta del capital = PMgK * K =
* Y,y,Renta del trabajo = PMgL * L = ( 1 )*Y,69Bruno E. Vargas
Biesuzdonde es una constante comprendida entre cero y uno que mide
la participacin del capital en la renta. Es decir, determina la
proporcin de la renta (o ingresos) que obtiene el factor capital y
la que obtiene el trabajo. Cobb demostr que la funcin que tena esta
propiedad era:Y = f ( K , L ) = A K L (1-)donde A es un parmetro
mayor que cero que mide la productividad de la tecnologa existente.
Esta funcin lleg a conocerse con el nombre de funcin de produccin
Cobb Douglas.Propiedades fundamentales de la Funcin de Produccin
COBB DOUGLAS.Una de las propiedades ms notables de la funcin de
produccin que nos ocupa, es la llamada de los rendimientos
constantes de escala. Estos de dan cuando un incremento porcentual
similar en los factores productivos, determina un aumento
porcentual de la misma magnitud en el producto obtenido. Por
ejemplo, tomando el caso de nuestra funcin de produccin, si
aumentamos el factor tierra (L), en un dos por ciento y el factor
capital (K), tambin en un dos por ciento, se espera que el
incremento en la cantidad producida sea del dos por ciento.La
demostracin de esta propiedad es como sigue:Sea Q = f (K , L )f (
K, L ) = A K L (1- )Multiplicando la funcin por un factor constante
i.e. g, se tiene:F ( gK, gL ) = A ( gK ) ( gL )(1-)= A g K g(1-)
L(1-)a continuacin se realizan operaciones matemticas bsicas:f (
gK, gL ) = A g g(1-)K L(1-) = A g g g- K L(1-)f ( gK, gL ) = Ag K
L(1-)pero:g A K L(1-) = g f ( K, L )por tanto: f ( gK, gL ) = g f
(K, L) = g QSe observa que el producto Q, aumenta en la misma
proporcin que el incremento g, es decir existen rendimientos
constantes de escala.Esta propiedad se puede observar ms
objetivamente a partir de una funcin de produccin Cobb Douglas,
expresada en forma tabular, en la que los factores productivos son
Tierra (T) y Trabajo (L):70LA FUNCIN DE PRODUCCIN COBB DOUGLASTabla
1. Funcin de produccin en forma tabularFuente: Samuelson P.A. &
Nordhaus W.D. (1992). Economa. Madrid. Mc. Graw Hill. Pg.
131Asumamos que se estn utilizando dos unidades de factor Tierra y,
dos unidades de factor trabajo. Se observa que la produccin
obtenida con esta cantidad de factores es 282 unidades de producto
(Q). Ahora incremntense ambos factores hasta tres unidades, es
decir un incremento del 50 %. La cantidad total producida es de 423
unidades y el incremento obtenido en la produccin, con respecto al
anterior nivel, es tambin del 50 %.Antes de proseguir, cabe aclarar
que la informacin contenida en la tabla puede ser resultado de una
investigacin en el campo agrcola. Una vez obtenida la informacin
numrica de campo, se la regresiona con mtodos economtricos y se
obtiene la expresin matemtica correspondiente o ecuacin; en este
caso es de la forma:Q=100(1)(2*T*L)alternativamente:Q=100*2(
0,5)*T( 0,5 )*L(0,5)que es precisamente una funcin Cobb Douglas.
Para verificar los datos de la tabla, reemplace en la frmula, por
ejemplo el factor tierra (T) con el valor 4 y, el factor trabajo
(L) con el valor 5, el resultado Q ser 632.71Bruno E. Vargas
BiesuzOtra de las propiedades fundamentales de esta funcin de
produccin, tiene que ver con la Productividad Marginal de los
factores. Se entiende por productividad marginal de un factor, a la
variacin en la cantidad producida (Q), debido al incremento
unitario de uno de los factores productivos, manteniendo los otros
constantes.Analicemos el caso de la productividad marginal del
factor trabajo (L).Sea la funcin de produccin, de la forma:Q = f (
T , L ) = f ( T, L ) = A T L (1- )El producto marginal del factor
productivo tierra (PMgTi), se obtiene derivando parcialmente la
funcin original con respecto al factor T, como sigue:PMgT = Q = A T
( 1 ) L (1 ) -1 = ( 1 ) A T L TAnlogamente, la productividad
marginal del factor trabajo (PMgL) es:PMgL = Q = A T -1 L (1 ) -1 =
A T (-1) L (1 )LNuevamente, veamos los resultados de estas
expresiones, de una forma ms objetiva, a partir de la informacin de
la tabla 01.Si la cantidad utilizada del factor tierra es cuatro
(4) y la cantidad de factor trabajo es dos (2), la cantidad de
producto (Q) obtenido es de 400 unidades. Ahora mantengamos
constante el factor tierra en el nivel de cuatro e incrementemos en
una unidad el factor trabajo, es decir aumentemos L hasta tres (3).
La cantidad de produccin es ahora de 490 unidades. La productividad
marginal del factor trabajo es de 90 unidades, la diferencia entre
490 y 400.EL GRFICO DE LA FUNCIN DE PRODUCCIN COBB DOUGLASA
continuacin se observa cmo es el grfico de la funcin de produccin
Cobb Douglas, obtenida de la informacin de la Tabla 1:Q=100
(2*T*L)72LA FUNCIN DE PRODUCCIN COBB DOUGLASYa que se tienen dos
variables independientes (Ti y L), y una variable dependiente (Q),
el grfico es tridimensional.El anterior grfico ha sido obtenido
elaborando el programa que sigue, en el lenguaje de programacin del
software MATLAB.>> % PROGRAMA EN MATLAB%>>% GRAFICO 3D
FUNCION DE PRODUCCION COBB - DOUGLAS%clc l=0:0.1:6; a=0:0.1:6;
[L,A]=meshgrid(l,a) Q=100.*sqrt(2.*L.*A); surf(L,A,Q) view(0,90)
xlabel(Trabajo);ylabel(Tierra);zlabel(Produccin) Conclusiones y
RecomendacionesSe espera haber contribuido a un mejor entendimiento
de la economa de la produccin a partir del desarrollo terico
expuesto. Asimismo, que el lector pueda no solo estudiar la teora
con ecuaciones y tablas, elementos que definen las funciones de
produccin, sino tambin pueda visualizar grficamente las
figuras73Bruno E. Vargas Biesuzque les corresponden. Finalmente, el
programa informtico elaborado puede ser utilizado por los
estudiosos del tema, para visualizar otras ecuaciones o funciones
de produccin. Para esto solo bastar modificar algunos elementos de
los comandos del programa.ReferenciasMankiw G. (2006).
Macroeconoma. Barcelona. Antoni Bosch Editor.Samuelson P.A. &
Nordhaus W.D. (1992). Economa. Madrid. Mc. Graw Hill.Gilat A.
(2006). MATLAB Una introduccin con ejemplos prcticos. Espaa.
Editorial Revert.Recibido: 17/04/2014Aceptado: 14/07/201474
