Variable Compleja. La Derivada

7/23/2019 Variable Compleja. La Derivada

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Universidad Nacional Autónoma de México

F

E

ACATLAN

Facultad de Estudios Superiores

Acatlán



VARIABLE COMPLEJA:

la derivada



UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

Dr. José Narro Robles

Rector

Dr. Sergio Alcocer Martínez de Ca stro

Secretario General

VARIABLE COMPLEJA:

la derivada

Manuel Valadez Rodríguez

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN

Dr J Alejandro Salcedo Aquino

Director

Dr. Darío Rivera Vargas

Secretario General

Mtro. Adalberto López López

Secretario de E studios Profesionales

Fís. Mat. Jorge Luis Suárez Madariaga

Coordinador de Servicios Académicos

Mtra. Nora del Consuelo Goris Mayans

Jefa de la División de M atemáticas e Ingeniería

D.G. Víctor Hugo Huerta González

Jefe de la Unidad de Servicios Editoriales

ACATIAN

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO




Variable compleja: la derivada

Manuel Valadez Rodríguez

A

Margarita, Sandra, Alberto y Patito.

Primera edición: 2010

Portada: D.G. Víctor Hugo Hu erta González

D.R. © UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

Ciudad U niversitaria, Delegación Coyoacán,

C. P. 04510 , México, Distrito Federal.


Av. Alcanfores y San Juan T otoltepec, sin.

C. P. 53150, Naucalpan de Juárez, Estado de Méx ico.

Unidad d e Servicios Editoriales.

ISBN: 978-607-02-1918-4

Prohibida la reproducción total o parcial

por cualquier medio sin la autorización escrita

del titular de los derechos patrimoniales.

Impreso y hecho en México

Printed and made in Mexico



Índice general

PRÓLOGO...........................................................................................

5

1. LOS NUMEROS COMPLEJOS ...............................................

7

1.1. Definición y propiedades fundamentales ......................................

7

1.2. La desigualdad del triángulo ......................................................12

1.3. La forma polar. Potencias y raíces .............................................19

. FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA ..............

31

2.1. Topología Básica ........................................................................31

2.2. Funciones Complejas ............................. ............................. .......34

2.3. Límites y Continuidad ................................................................43

2.4. La derivada de las funciones complejas .....................................

58

2.5. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann .......................................... 65

BIBLIOGRAFÍA ..............................................................................78

ÍN DICE ALF ABÉ TICO .................................................................80



Prólogo

El material que se presenta aquí corresponde a, aproximadamente, el 60% del

contenido del programa de estudios de la materia de VARIABLE COMPLEJA que

se lleva en la carrera de MATEMÁTICAS APLICADAS Y COMPUTACIÓN (MAC),

de la FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES (FES) Acatlán. En varias ocasiones

me tocó a mí impartir dicha materia.

Para elaborar las notas que me sirvieron de apoyo en el desarrollo del curso, recur-

rí a textos de diferentes niveles de exposición sobre el tema; todos ellos de excelentes

autores. Con el tiempo dichos textos me fueron dando un panorama que consideré

propicio para ofrecer una propuesta personal. Debo reconocer, sin embargo, que re-

sulta bastante complicado plantear esquemas muy distintos y, sobre todo, mejores que

los que ofrecen esos autores. La idea es, entonces, presentar un material que, al menos

en contenido, en orden y en nivel, resulte razonablemente apropiado para los alumnos

de MAC que cursan la materia. Sería un halago para mí q ue esto se usara en otros

lugares.

La revisión del material para su publicación, estuvo a cargo del Matemático Patri-

cio Paredes y del Ingeniero Domingo V ite, quienes son profesores de la FES Acatlán.

Agradezco a ellos todas sus atenciones y, sobre todo, sus com entarios y sugerencias.

El hecho de que el texto lleve menos errores, es debido a ellos. Los que subsisten son,

por supuesto, de mi absoluta responsabilidad. Cabe mencionar que el profesor Vite

usó estas notas, todavía en manuscrito, cuando le tocó impartir la materia en cuestión:

fue un detalle que le agradezco.

Con respecto a la presentación del material creo que es de justicia citar lo sigu-

iente: después de que uno pone en juego todas sus habilidades tratando de que lo



plasmado en papel (manuscrito) sea entendible para los demás, cosa que a menudo no

se consigue, lo siguiente es dejar el trabajo en manos de expertos. Así lo hice. Q uiero

dejar constancia aquí, no solo de mi reconocimiento sino también de mi gratitud in-

finita a Sonia Vértiz y Sandra Murillo, ambas alumnas de la carrera de Actuaría, por

darle al material la elegante presentación que ahora tiene. Sonia me acompañó hasta el

final soportando todas mis necedades y aprensiones. Debo decir q ue ninguna de ellas

era experta en esto cuando empezamos a trabajar: ahora lo son ambas.

Otras personas colaboraron con nosotros a lo largo del proceso de aprendizaje y

durante el desarrollo del trabajo, proporcionandonos asesorías en el área de cómputo:

siempre que les solicité apoyo acudieron amab lemente a darnoslo. Estoy muy agrade-

cido con Marcos Schtulmann y César Tort, estudiantes de la carrera de MAC, con

Sebastián Bejos egresado de la misma carrera y con Mayra Díaz, profesora en la FES

Acatlán. El señor Bejos aparte de habernos b rindado el apoyo citado fue quién elaboró

todas las figuras que aparecen en el texto: muchas gracias.

Finalmente quiero referirme a una pequeña parte del personal administrativo de

la FES: Maestra N ora Goris, Jefa de la División de Matemáticas e Ingeniería, Fis.

Mat. Jorge L. Suárez Madariaga, Coordinador de Servicios Académicos y D.G. Vic-

tor Hugo Huerta, Jefe de la Unidad de Servicios Editoriales; sin ustedes en la parte

administrativa, estoy seguro de que las cosas habrían sido más complicadas: gracias.

FES Acatlán, Octubre del 2009.

Capítulo 1

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

1.1. Definición y propiedades fundamentales

No obstante que el conjunto de los números reales cubre gran parte de las necesi-

dades teóricas y prácticas del álgeb ra y el análisis, no es s uficiente para resolver cier

-

to tipo de problemas, aún en casos relativamente simples con los que seguramente

la mayoría de los lectores ya se ha enfrentado. El ejem plo clásico lo representa la

ecuación x

2

+ 1 = 0, la cual no admite solución real. Resulta entonces necesario ex-

tender el concepto de número de tal forma que se puedan resolver estos problemas.

Para ello se recurre a los llamados números complejos.

Existen diversas maneras de introducir el concepto de número complejo, aquí lo

haremos usando parejas ordenadas de números reales.

Definición 1.1.

Se definen los

números complejos

como el conjunto de las parejas

ordenadas (x, y)

de números reales y se establecen para ellos las operaciones de

suma y

producto como sigue: si

Zi = (XI ,Y 1

) y Z2 =

(x2,y2)

son números complejos, entonces

Zi +Z2 =

( x

+X2,y1 +y2),

ZIZ2 = (XI x2

-yly2,xIy2+x2yl).

A la primera componente de la pareja ordenada z = (x,y) se le denomina

parte real

de z y

se le denota por Rez y

a la segunda componente se le conoce como

parte

6



se le escribe como

Imz;

en símbolos

eales, existe una pareja ordenada ( x, 0), única, asociada con él. Por otra parte, de las

definiciones de suma y producto de complejos especificadas en (1. l), tenemos que si

Rez=x,

mz=y.

1.2)

x, 0) y (y, 0) son elementos de C, entonces

para denotar el conjunto de los números complejos junto con

En cuanto a la relación de

igualdad

entre los elementos de C, de la definición se

Zi = (

x,y) y

Z2 =

(x2,y2)

son iguales si, y sólo

decir,

Zi =Z2

i, y sólo si

1 = X2,

i

= Y2

1.3)

C es un campo.

Es relativamente sencillo probar esta afirmación ya que la mayor parte de las

son consecuencia de las propiedades del campo de los

se deja como ejercicio. En lo sucesivo emplearemos el

o al

campo de los números

Como en el caso de los húmeros reales, en el campo C se definen la diferencia y

de los inversos aditivo y multiplicativo, respectivamente. Así,

Zi y Z2

en C, se establece

Zi —

Z2 = z +

( — z2)

1.4)

Si Z2

no es el número complejo cero,

z

I

Z1Z2

1.5)

Z2

El subconjunto de C formado por las parejas ordenadas de la forma

reales; esto es, la asociación

É l

x,0) + (y,O) =

(x+y,0)

+y,

(x,0)(y,0) = (y,0) —*xy.

De las definiciones propuestas para operar con los elementos de C, queda claro

que todo número complejo z = (x, y) se puede escribir como

tl

X , Y ) = (x,0)+(O,1)(y,0). 1.7)

Definición 1.2.

Al número complejo (0,1) se le denota por

i

y se le denomina

unidad

imaginaria y a los elementos de C de la forma (O,y) se les conoce como números

imaginarios puros.

Si se multiplica el número (0,1) por sí mismo, resulta (0, 1)(0, 1) = (-1,0), de

manera que, en términos del isomorfismo planteado en la proposición 1.2, nos queda

= (-1,0) + -* — 1, que es precisamente la propiedad que se pide para el número

complejo

i.

En cuanto a la manipulación algebraica, resulta conveniente escribir el núm ero

complejo z =

(x, y)

como x +

iy. Esta representación de z es sugerida por la igual-

dad (1.7), en donde vemos que d icho número se puede escribir en términos de los

números reales que lo identifican. En esta nueva representación, las operaciones de

suma y producto entre los elementos de C pueden ser manejadas como las opera-

ciones correspondientes con los números reales, debiendo escribir un — 1 en aquellas

partes en que aparezca el cuadrado de la unidad imaginaria. Ob viamente, si z =

x + iy

es un número complejo, entonces

Rez = x

e

Imz = y.

En la representación propuesta, z es un núm ero imaginario puro si, y sólo si z =

iy,

con y real.

isomorfismo.

x,0)<— +x,

1.6)

jemplo 1.1.

Dados

Zi = XI

+

yi

y Z2 = X2

+ iy2,

tenemos

Es claro que la correspondencia propuesta en (1.6) es 1 a 1, ya que, dado z =

(x,

0)

que le corresponde, e inversamente, dado x en los

Zi +Z2 =

( x 1

+x2)

+i(y

+y2),

ZIZ2 =

(xJx2—yly2)+i(xIy2+x2yI).

9



Si en (1.5)

Zi

= 1 +Oi = 1, nos queda

—= —1

Z 2

(1.8)

Ejemplo 1.2.

Demuestre que si

Zi y Z2

son números complejos diferentes de cero,

entonces

(z1z2

' =

zj z,

1.9)

y que, además,

(1.10)

ZIZ2 i Z2

Para probar (1.9) tomamos en cuenta que C es un campo y que, por lo tanto, se

verifican las leyes conmutativa y asociativa entre sus elementos, además, dado que Zi

Y

Z2

se proponen distintos de cero, tenemos que existen elementos

z1 1 y z

2

1

no nulos

enC, tales que ziz

= Z2Z2

= 1.

De esta forma,

1 = (z1z )(z2z ) = (Z1Z2)(z

Z ' ),

y de aquí que

(zlz2)

=

z z . Para justificar la igualdad (1.10) aplicamos (1.8) y

(1.9). Nos queda

Aplicando las propiedades establecidas en el ejem plo anterior, se obtiene

1

1_i

1+l ,

T(2+)(1-3i)

Ejemplo 1.4.

Demuestre que si z es un elemento de C, entonces, —z = (-1 )z.

En virtud de que C es un cam po, para cualquier número complejo z se tiene

0 = Oz = (1-1)z=z+(—l)z.

Sumando — z a ambos lados se llega de inmediato a la igualdad propuesta.

Ejercicios 1.1.

1.

Pruebe que el conjunto de los números complejos, considerados éstos como

parejas ordenadas de núm eros reales, junto con las operaciones de suma y pro-

ducto definidas en (1. l), es un campo.

2. Pruebe las igualdades (1.11) y (1.12).

3.

Encuentre los números complejos z = x + iy que satisfacen las igualdades sigu-

ientes

(a)

(1 - i)z = 1, b) (3— 2i)z = 1 + 2i,

c)

(1 +

ib)z = 1 - ib.

— 1

1 —1

(Z] Z2) =z1z2=--

Z1Z2

1 Z2

como se quería probar.

Otras propiedades simples pero importantes de los números complejos, son las

siguientes: si

Z,Zi .....

Z

son elementos de C y si z 0, entonces,

Z1+Z2++Z Z 1 +Z 2++

n

z

Y ,

Si

Z3 y Z4

no son cero, se cumple

ZIZ2 - Z1 Z2

(1.12)

Z3Z4

3 Z4

Ejemplo 1.3.

Exprese en la forma x + iy el producto

1

2+i 1 —3i

10

4.

Ob tenga las partes real e imaginaria del número complejo z, cuando

1

+i

+2i

(a) z=

23

b) z

1--- ,

c)

z=

3

i

5.

Exprese en la forma x +

iy

el producto

zlz2

cuando zi = (1 + i)/(2 -

i)

y

Z2 =

(1 +3i)/(3+i).

6.

Comprube que los números complejos

Zi

= 1

+

i

y Z2 =

1 -

i

satisfacen la

ecuación

z2

- 2z + 2 = 0.

7.

Sean

Zi y Z2

números complejos tales que

Zi + Z2 y z1Z2

son, ambos, números

reales negativos. Pruebe que

Zi y Z2

deben ser reales.

1 1



Figura 1.1:

1.2.

La desigualdad del triángulo

La definición de número complejo como pareja ordenada de números reales sug-

iere la posibilidad de representar los elementos de C mediante puntos en el plano. Se

proponen dos ejes mutuamente perpendiculares x y y y se marca sobre cada uno de

ellos una unidad de distancia a partir del origen, como se indica en la figura (1.1).

Se conviene en llamarle al eje horizontal

eje real y

al vertical

eje imaginario. El

número complejo z

=

x +

iy

se representa, geométricamente, por un radio vector que

parte del origen y llega al punto (x,y)

del plano, como se ve en la figura mencionada,

donde se ha representado el número —1 + 2i. En este contexto, al plano

xy

se le de-

nomina plano complejo

o

plano

z.

La representación geométrica de la suma de números complejos coincide con la

suma vectorial en el espacio IR

2

. Por ejemplo, la suma de los números 1 + 2i

y

3 +

i

queda representada por el radio vector que va del origen al punto (4,3), como se

muestra en la figura (1.2).

Los núm eros reales quedan representados en el plano com plejo por radio vectores

sobre el eje x y los imaginarios puros, por radio vectores sobre el eje y. Posteriormente

se dará una interpretación geométrica del producto de nú meros complejos.

Debe observarse que, aún cuando existen semejanzas entre el plano complejo y el

12

Figura

1.2:

plano cartesiano IR 2

éstos no son lo mismo. Por ej emplo, en el plano cartesiano no se

define un producto de parejas ordenadas.

Definición 1.3. Dado el número complejo z = x +

iy, se define el módulo o

valor

absoluto de z, denotado por

I z i ,

como el núm ero real no negativo.

IzI=V x

2

+y2 .

1.13)

En estos términos, queda claro que

I z i

~

O y

I z i

= O si, y sólo si z = O. Por otra

parte, considerando

z

como la pareja ordenada

(x,y)

,el lado derecho de la igualdad

(1.13) representaría la m agnitud del vector correspondiente.

Aún cuando en general la desigualdad

Zi <Z2

para números complejos

Zi

y

Z2

carece de sentido (C no es un campo ordenado), la expresión

I z i 1

<

1 2 1

si lo tiene.

Geométricamente esta última desigualdad significa que el punto del plano, correspon-

diente al número

Z i

se encuentra más cerca del origen que el punto que corresponde

al número

Z2.

Definición 1.4.

Dado un elemento z =

x +

iy

de C, se define un elemento Z en

llamado

complejo conjugado de

z, mediante la expresión Z

= x-

y.

Geométricamente, el conjugado de un número complejo z representa la reflexión

de z en el eje real, ya que si z es la pareja ordenada

(x ,y), Z quedará representado por

la pareja ordenada (x, — y). En la figura (1.3) se muestran el número z y su conjugado.

13



Resulta de aquí,

z i -

IZ2

i

2

2

1 ~l

Z2) (_Z1Z2=

—

Z1Z2

— =

1 Z 2 1 2 Z2

2

Otra expresión que es directa a partir de (1.16) es

y

Para probar la expresión (1.15) se emplean también propiedades ya establecidas

como la (1.12) y la igualdad

z 1

2

=zz.

1.16)

=

I z I ,

1.17)

Figura 1.3:

Se verifica trivialmente que el com plejo conjugado de Z es z; esto es,

= z y

que z si, y sólo si

lmz = O. Además, se establece la relación

Iz

2

=

z. Esto

último se comprueba fácilmente tomando z

=

x

+ iy, ya q ue, de esta forma,

zZ

=

(x +

¡y) (X

-

y)

= x2

+y

=

z 1 2 .

En seguida se dan otras propiedades de los conju-

gados de números complejos.

Proposición 1.3.

Si z

, Z2,••

,

son elementos de C, entonces

Z1+Z2++Zn++ +

1.14)

Z1Z2Zn=j2 ..

Ejemplo

1.5.

Pruebe que para números complejos cualesquiera z1 y

Z2,

se cumple

Zi Z2

=Zi-

y que, Si

Z2

O, entonces

z

T

)

=

1.15)

Z

Para probar la primera de estas igualdades empleamos el resultado obtenido en el

ejemplo 1.4

y

las propiedades señaladas en la proposición 1.3. Se tiene entonces que

Z1 —Z2

=

+(—

z2)

=

+(

—

l)Z2

(— 1 )f2

= fl

-

1 4

ya que, de la expresión referida se tiene

2

==

z z

=

Iz

2

Sacando raíz a ambos

lados se llega a (1.17).

Ejemplo 1.6.

Si zo

=

x

+

¡yo es un número complejo fijo, la igualdad

Iz

-o

=

R

representa la

circunferencia de radio

R

con centro en el punto zo.

Si z

=

x+ ¡y,

se tiene para este caso que

Iz

-

0 1 2

=

(x—xo)

2

+ ( y

— yo) 2

. por tanto,

la expresión

Iz

-

o

= R es equivalente a

(x—xo) 2

+(y—yo) 2

R2

que

es la ecuación de una circunferencia con las características señaladas.

Las relaciones que se dan a continuación corresponden a propiedades muy sencil-

las pero importantes de los nú meros complejos.

Proposición 1.4.

Para números complejos cualesquiera

Zi ,Z2,.

_

,,

Zn,

se cumple

Z Z 2 Z

n

=

Iz1lIz2IIzfl I;

además Si

Z2

O, se verifica

Zi

-

z 1

Z2-

21

Aplicando (1.16), resulta

IZ1Z2 ..

Z n I

2 =

Z1Z2Zn) Z1Z2Zn)

=

ZIf1) Z22) ... Znn)

l z l I I z 2 I I z 3 I . . . I z n D 2 .

15

1.18)

(1.19)



Sacando raíz a ambos lados se llega a (1.18). Para la igualdad (1.19) tenemos que

i z i +Z2 12 = izii

2

+2Re(zi)

+

1 z 2 i

2

1 z 1 i

2

+

IzIliz2i+iz2i 2

=

i z 1 1

+iz21)2,

quedando de aquí que

(1.20)

l lZI+Z2ilZli+iZ2L

1.24)

I

Para probar la parte izquierda de la desigualdad

(1.23)

tenemos en cuenta que,

según

(1.24)

izil =

izi +Z2Z21

Zi +z21+1z21;

1.25)

(1.21)

or tanto,

izIl

—

Iz2iiZ1+Z2i.

1.26)

(1.22)

videntemente, el desarrollo propuesto para

Z i

en

(1.25)

se puede efectuar también

¡ ) , i r a

Z2,

en cuyo caso se llega a que

2

Z1

/

Zi( Zi\

\

iZi

izil

Z 2

Z 2 2

2 Z 2

Z 2 1

Nuevamente, al extraer raíz a ambos lados, se llega al resultado deseado.

Una consecuencia inmediata de

(1.18) es la igualdad

zi

= Izi,

la cual se verifica para todo entero positivo n.

Proposición

1.5. Si z es un número complejo, se verifica

z+2 — Z

Rez= ---, mz= — --,

además, se cumplen tamb ién las desigualdades

Rez < iRezi

zi,

mz:5 ¡Imz1

z

La prueba de estas relaciones es muy sencilla; por ejemplo, la primera desigualdad

(1.22)

es una consencuencia del hecho de que si x es un número real, entonces, x

lxi

/x2 + y

2 ,

para todo número real y.

Teorema 1.1. Para números complejos cualesquiera

Zi y Z2,

se cumple

IZIIiZ211

z i

+Z2i

Zii+iZ2i.

1.23)

Probaremos primero la desigualdad derecha. Haciendo uso de

(1.16)

tenemos que

I z i

+z21

2

= (zi +Z2)(Z1 +Z2)

= (z1+z2)(+)

= Zi+Z1Z2+Z2+Z2Z2

= iz1l

2 +(zi+)+lz2i

.

Ahora, de la primera igualdad

(1.21)

tenemos que

z

+

2Re(zi )'

de

(1.22)y (1.18) que

Re(zi)

ziI =

Iziiiz2i.De esta forma,

—

( i z l i

— iz2i)

zi +Z21.

I)c esta expresión y de (1.26)

se deduce que

i Z l 1

—

iZ21IIZI+Z2I.

1.27)

Las expresiones

(1.24) y (1.27)

prueban el teorema.

Tomando en cuenta el hecho de que para todo número complejo

z

se cumple que

z i

=

z, queda claro que (1.23)

es equivalente a

iiZiiiZ2ii

z i

21

ZIi+iZ2i.

Definición 1.5. A la expresión

(1.24)

se le conoce como

desigualdad del triángu-

lo y puede ser generalizada a cualquier colección de números complejos; esto es, si

i'I,z2,. . .

, Zn

son elementos de C, entonces,

ZI+Z2+"+ZniiZii+iZ2I+"+iZni.

1.28)

16

7



Figura 1.4:

Ejemplo

1.7. Demuestre que si z es un elemento de C tal que

I z l

=

2, entonces

1

<

z4 -4z2 +3

(1.29)

Para el polinomio del denominador tenemos

z 4 -4z

2

+3=(z4 -4z

2

+4)-1=(z2 -2)

2

-1=(z2 -3)(z2 — l).

Tomando en cuenta que z se encuentra sobre el círculo

I z i

=

2, usando (1.27) nos

queda

1 z

4

— 4z 2

+31

= 1 z

2

-311z

2

— 1 1

~

3, de donde se sigue (1.29).

Ejemplo 1 8 Describa geometricamente el conjunto de puntos determinado por la

relación.

IIm(—i)I <2. 1.30)

Haciendo z

=

x

iy nos queda que Z

= x (y + 1), de manera que, según

la desigualdad propuesta nos queda IIm(

)

=

y + 11 <2. Vemos de aquí que el

conjunto de puntos descrito por (1.30) corresponde a la franja horizontal del plano

complejo acotada superiormente por la recta y

=

1 e

inferiormente por la recta y

=

— 3 ,

sin incluir dichas rectas. En la figura (1.4) se m uestra el conjunto mencionado.

Ejercicios 1.2.

1.

Pruebe las igualdades (1.14)

y

(1.21).

2. Demuestre que

v izI

~

: Rez +

IImzI, para todo número com plejo z.

1 8

3.

Sea a un número real positivo. Describa, geométricamente, la región del plano

complejo formada por los puntos z que satisfacen la expresión

Rezl +

IImzI

a.

4.

Describa, geométricamente, la región del plano complejo que consiste de todos

los puntos z para los cuales I

Z 1 4 <

2a 2 Re(z

2

).

5. Compruebe que 1(2+5)(/—

i ) I

=

vI2 z+

5

I.

6. En cada uno de los siguientes casos, haga una gráfica del conjunto de puntos z

que satisfacen la condición especificada.

(a)

Iz

-

+

i

=

1 ,

b)

z

+

, c) Re (z )

= 2,

(d)

12z—iI=4.

7. Pruebe que los puntos z que satisfacen la relación z

2 +

=

2 se encuentran

todos sobre la

hipérbola cuya ecuación es x2

-

2

=

1 .

8. Pruebe que la igualdad

Iz

-

i1

=

Iz

+

u 1

corresponde a la ecuación de una

elipse

con focos en los puntos (0, — 4) y (0, 4).

9. Pruebe que la igualdad I

z

1

=

Iz +

il

corresponde a la ecuación de una

recta

de pendiente — 1 que pasa por el origen.

10. Demuestre que Si

Z3

y

Z4

son números complejos tales que IZ31

4 1 ,

entonces,

para cualesquiera

Zi

y

Z2

complejos se verifica

Z1 Z2 <

Iz1l+1z21

Z3 Z4 -

1 1 z 3 1 - 1 z 4 1 1

1 3

La forma polar. Potencias y raíces.

La transformación en el plano de coordenadas cartesianas rectangulares a coorde-

nadas polares y la definición analítica de las funciones seno y coseno, son dos recursos

que facilitan, en gran medida, los cálculos relativos a potencias y raíces de números

complejos.

1 9



Un punto

(x, y)

en el plano cartesiano se puede expresar en coordenadas polares

(r,

6) usando la transformación

x= reos ø,

=rsenø,

1.31)

la cual, mediante una elección adecuada de los valores de

r

y

6, admite la transforma-

ción inversa

_ _ _ _ _

r=:j/+y,

=tan().

1.32)

Dado el número complejo z = x + iy, en términos de la transformación (1.31),

podemos expresarlo como

z= r(cosø+isenO).

1.33)

Ahora, puesto que el seno y el coseno son funciones periódicas de período 2ir, queda

claro que en la representación anterior el número z tiene asociada una cantidad infinita

de expresiones; a saber,

z =

r[cos(8

+ 2k7r)

+

isen(6

+ 2kiv)],

= O,±1,±2,...

1.34)

Definición 1.6.

A la expresión dada para z en ( 1.33) se le denominaforina

polar de

z y al ángulo O que se mide en radianes a partir de la parte positiva del eje x se le da

el nombre de

argumento de z y

se le denota por

argz.

Al valor de argz que satisface

— ir <argz < ir se le conoce como

valor principal de

argz y se le escribe como

Argz.

Es pertinente hacer algunas observaciones sobre los conceptos definidos aquí: en

la representación polar de z el número

r

coincide con el módulo de z, además, de la

segunda igualdad (1.32) se puede ver que si z = O, el ángulo 6 queda indeterminado.

Se conviene entonces en que se empleará la forma (1.33) para expresar un núm ero

complejo z, siempre y cuando éste no sea cero.

Ejemplo 1.9.

Exprese en forma polar el número complejo — 1 +

Para este caso tenemos que

r

= Izi = 2

y ,

dado que

O

= tan

(-v)

=

e

(1.33) nos queda

/

ir

7 r

z=2cos--+isen---

Teorema 1.2. Sean

Zi y

Z2 números complejos diferentes de cero. Entonces,

arg(zIz2)

=argzi +argz2.

1.35)

e l

Usando las identidades

sen(a±13) = senacos

l ±cosasenj3,

cos(a±J3) = cosacosfl senasenfi,

y escribiendo

ri

= Izi 1'

r2

= z21

,

61 = argzi y

6 2

= argZ2, encontramos

ZIZ 2 = [ri(cosøi + isenoi)1[r2(cos62 + isen62)]

= rir2[(cosOl cosü2 - senøi senø2) + i(cosøj senø2 + senøj cos62)]

= rIr2[cos(61+62)+isen(01+02)],

con lo cual queda probada la igualdad

(1.35).

Como consecuencia de que la representación polar de un número complejo no es

única, queda claro que si 01 = argzl

y

02 = argz2. entonces

arg(z1z2)=01+02+2k7r; k=O,±1,±2,...; (1.36)

es decir, la suma 61 + 0

2

es solo un argumento del producto Z1Z 2. Por otra parte,

como se verá en el siguiente ejemplo, la igualdad no se cumple en general, cuando se

sustituye argz por

Argz.

Ejemplo 1.10.

Determine el valor de

Arg

(z Z2), cuando zi = — 1 y Z2 =

i.

Dado que Z1Z2 =

— i ,

tenemos que Arg(zlz2) = Arg(—i)

= — ir/2, mientras que

Argzi + Argz2

= ir + 7r/2 = 37r/2, cantidad que no cumple con el hecho de que

— i r

<Argzi +Argz2

ir. Lógicamente, si en lugar de

Argzi

y

Argz2

se trabaja con

argzi yargz2, la expresión (1.35) se satisface ya que

arg

(zlz2) =

arg(—i)

=

3ir12

=

argzj +argz2.

El producto de un número complejo z por la unidad imaginaria

i,

se puede inter-

pretar geométricamente como una rotación de ir/2 radianes del radiovector z en el

sentido positivo; ésto es, en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Esto es

inmediato si se expresa

i en forma polar

ir

r

Í

= cos + isen

2 1



(1.38)

(

Z 2

Z I

\

arg

=argzl

—

argz2

J

(1.42)=e0

e'

0

si z = r(cose+isene),de (1.35) nos queda

iz

=

r [cos (e

+

isen

(e

+

Teorema 1.3.

Si

z1

= ri(cose

i

+isenei) yz2 = r2(cose2+isen02), entonces

r1

-

- - —[cos(Oi -e2)+isen(e1

—e

2

)]

1.37)

Z 2

, por tanto

La prueba de este enunciado es totalmente semejante a la realizada para probar el

eorema 1.2.

En términos de coo rdenadas polares resulta muy sencilla la

interpretación ge-

métrica

del producto de números complejos. Sean

Zi

=

rl

(cose1 + isene j

) y Z2 =

r2(cose2 + isen62) dos elementos de C. Para el producto de

Zi y

Z2 nos queda

ZIZ2 = rir2[cos(e1 +

e2

)

+ isen(01 + e2)].

emos así que el módulo del producto Z1Z2 es

I z i 1

veces el módulo de Z2 o equivalen-

emente, IZ21 veces el módulo de

Zi

y el argumento de

Zi

Z2 es el argumento de

Zi

al

ue se la han sumado

argz2 radianes. En la figura 1.5 se esquematizan estos conceptos.

Como se dijo al principio de esta sección, otra representación útil en el manejo

lgebraico de los números complejos es la llamadaforma

exponencial,

que se obtiene

e las definiciones analíticas de las funciones

seno y coseno.

Estas se establecen a

ravés de las igualdades

e +

e

9

t

-

e0

cose=

en=

partir de ellas se obtienen lo que se conoce como

fórmula

de Euler

e'

6

=cose+isenO.

En términos de esta igualdad, el número complejo z = r(cos

e + isen ) se puede

z=re'

6

1.41)

22

Figura 1.5:

Definición 1.7.

A la expresión dada aquí se le denominaforma exponencial de z .

Usando la igualdad (1.40) se verifica fácilmente que

e

i 0 l

e

¡ 0

2 = ¿(61+82)

,

además, escribiendo

-O

en vez de

e,

se obtiene

e() = e 6

y de aquí que

e 6

e_

6

= 1,

y por tanto

Con respecto alas representaciones polar r(cos

e + isen e) y exponencial re , del

número complejo z, tenemos que Z = r(cos

O

- isen O ) = re

o

- , demás si z 0, el

inverso multiplicativo de z queda, en la forma exponencial, como

— 1

Ø

Z= -=

-

e

Z

e'

La forma exponencial para el producto y el cociente de dos números complejos

Zi y

Z2 queda como

Z 1 Z 2 =

r l r2e i ( 01 +8 2 ),

=

r1 i

Z 2

2

23

(1.39)

(1.40)



(1.43)

(1.44)

z n

= zo

n

soluciones distintas dadas por

Wk

= Cú)

= m,m + 1

.....

m + n - 1,

Zi

= ri e''

y

Z2 = r2e'.

Se debe aclarar también que en virtud

z=rexp[i(O+2kn)],

=O,±l,±2,...

Sea zo un número complejo dado, con iz

o

¡ =

ro y argzo

= 00 y sea

n

m

es cualquier entero y

27ri)

c=.i'exp(

con=exp

( 1

. 45

)

fl

Para probar este enunciado se propone z =

re ' 9 ,

con lo que (1.43) queda como

(re 9

) = r e 9 = rØe

0 0

r = ro y nO = O +

2kr

k

= O, ±l, ±2,...) o, equivalentemente, cuando

r=,

=00±2k7r;

=O,±1,±2,...

eros

wk

=

xp [ (OO+2k1;

=O,±l,±2,...

1.46)

n

;Ir- exp [

(Oø + 2k7

1=

/

Oo \

2k7ri \

exp (

exp

n

fl 1

flj

r

2iri1/c

= Yexp(—lexp(--)l

\n

L

flJ]

24

de manera que tomando

c

y

c o

como en (1.45)

se llega a que

wk=cco;

=O,±1,±2

.....

como se propone en el enunciado.

Para probar que son exactamente n

soluciones distintas

wk,

supóngase que

m

es un

entero cualquiera y que y q son enteros tales que

y

m < p, q m+n— 1. Si

Wp = W

q ,

entonces, de (1.44) tenemos que

oÇ =

, por tanto

2plr 2qr

=

2sjr,

n

donde

s

es un entero (debe notarse que ip - q

n - 1).

Ahora, esta igualdad implica

que p = q +

ns,

pero, por las condiciones impuestas sobre p y q tenem os que

s

= O o,

de manera equivalente, que p = q, lo cual es una contradicción. Luego, si p qL q, w

p no

puede ser igual a

W

q

probándose con esto que existen al menos

n

números complejos

distintos

wk

que satisfacen la igualdad

w

= z o .

Finalmente, si

s y p son enteros y

m < p m + n - 1,

resulta

wp+ns

=

C W , Ç

=

cco,Ço),

pero

ONIs = [

exp

exp(27ris)

= cos(2ns) + isen(2rs) = 1;

es decir,

w

y de aquí que existen a lo más

n

enteros p tales que

w

= Zo.

Se

concluye entonces que existen exactamente

n

números complejos distintos

w tales

que

W p

n

=

zo,

quedando con ello probado el teorema.

Definición 1.8.

A los números complejos

wk

que aparecen en (1.44) se les conoce

como las

n raíces n-ésimas de z o

y, en dicha igualdad, se acostumbra a tomar

k

=

O,1,...,n—l; esto es, m=O.

Corolario 1.1.

Los números complejos

k = m,m + 1.....

+ n - 1)correspon-

den a las n raíces n-ésimas de la unidad.

Esto es evidente si se toma en (1.43) zo = 1, ya que en tal caso nos queda

r0

= 1

y Oo

= O, siguiéndose de aquí que

wk =

25



Determine las soluciones de la ecuación

z

3

= -

8i.

Para este caso tenemos que

ro

= 8

y

00 = 37r/2, de manera que, según ( 1.45),

c

c o 3

quedan dados por

c=2exp(f) =2i,

co3=exP(_) =-(1-iV).

estas igualdades, encontramos

=-(1-i\./),

0_- 1

+is./ ,

1.47)

ando de aquí que las tres raíces cúbicas de -8i son

w0=cw=2i,

i=cco

3 =-V-i,

2=cc0=V'-i

(ú 3

dados en (1.47), estos corresponden a las tres raíces

0), (»

3

y w.

Calcule las 4 raíces cuartas de la unidad.

De acuerdo con la segunda igualdad

(1.45),

dichas raíces están dadas por

k

/kri'\

(1)4

=O,1,2,3.

k, encontramos

040

= e

° = 1,

(2ri\ V

V

04 = exp

cos + iSen

04

=exp(iri)

=cos2r+isen2v= -1,

(

37ri'\

2v .32v

0 4

=eXP_ -

) =cos -

-+isen

-

Figura 1.6:

De esta forma, las raíces cuartas de 1 son 1,

i,

-1

y

-i.

Dichas raíces están represen-

tadas gráficamente en la figura (1.6b).

Como se puede apreciar en esta figura, las n

raíces n-ésimas de un número com-

plejo

Z o

= roe

°

,

geométricamente respresentan los vértices de un n-ágono regular

inscrito en un círculo de radio

Ejemplo 1.13.

Encuentre todos los números com plejos z tales que

z

4

= -

1 +

Sea

z0 = -

1 +

e tiene entonces que

ro

= 2 y

O o

= tan -

'(--'í3_) = 22v/3.

Luego, usando la expresión (1.45) nos queda

c=exp)

= ___

Por otra parte, como se vió en el ejemplo anterior, las cuatro raíces cuartas de la unidad

son ± 1 y ±i,

de manera que las cuatro raíces cuartas del número -1 + quedan

como

±+),

l-i\).

26

7



Ejercicios 1.3.

1.

Encuentre un valor de

argz

cuando

(a) z=

b)

z= 22i

c)

z = ()6

2. Exprese en la forma x + iy el número complejo z, cuando:

(a) z

= (-1 - i) 3 6 , b)

z=(-1+ ¡)

9. Suponga que los puntos

Zi ,Z 2.....

n

se encuentran todos a un mismo lado de

una recta que pasa por el origen del plano complejo. Dem uestre que

(a )

Los puntos z 'z2

1

. . . ,

, están situados del mismo lado de dicha recta,

indicando de que recta se trata.

(b)

10. Pruebe que para números complejos cualesquiera z ,Z2,. . .

, Zn

se cumple que

arg(zlz2

...n)

=argzl

+argz2+»+argz

3. Resuelva la ecuación Z =

z z,

donde

n es un entero no negativo.

4. Pruebe que si

c gá

1 es cualquier raíz n-ésima de la unidad, entonces, 1 +

c

+

5.

Use el principio de inducción para probar qu e el teorema del binomio

(a+b)'

=

()a_'b .

k

E

se sigue cumpliendo cuando a y

b

son números complejos.

6. Determine todos los valores de z para los cuales

(a) z

3

= 1,

b)

z 4

= 1, c)

z

5

= 1, d)

z

6

= — 8,

(e) z

5

= 4 + 3i,

f)

z

2

= 3 +

4i.

7. Demuestre que si a es un número real tal que a

<

1, entonces

1 - acosx

(a)

Eakcoskx=

a2-2acosx+l

k=O

a senx

(b )

aksenkx= a2-2acosx+1

k = O

8. Sean zi, Z2 y Z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo y sean al, a

y a3 números reales no negativos tales que al + a2 + a3 = 1. Dem uestre que

el punto z = alzl + a2z2 + a3z3 está en el interior o en la frontera de dicho

triángulo y recíprocamente.

28

t



Capítulo 2

FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA

2.1. Topología Básica

Definición 2.1.

Sea

Zo

un número complejo dado y sea e cualquier número positivo.

Entonces, al conjunto de puntos

y

definido por

V

= {

z/Iz— zol

<e}'

se le denomina E-entorno del punto

Zo y

se dice que el conjunto

V es un

E-entorno

punteado si

V = {z/O

<

1 z — z o l

<E}.

Se puede verificar fácilmente que el E-entorno de un punto

Z o

es un disco de radio

E

con centro en

zo.

Si el E-entorno es punteado, el conjunto es el mism o que el anterior

al que se le suprime el pu nto zo.

Definición

2.2. Dado un conjunto S de números complejos y un punto zo de S, dec-

imos que zo es un punto interior de S si existe algún E-entorno V de zo cuyos puntos

pertenecen todos a S y se llama a zo punto exterior de S si existe algún E-entorno

V

de

Zo

que no contiene puntos de S. Si

zo

no es de ninguno de los dos tipos mencionados,

diremos que

Z o

es un

punto frontera de S. Al

conjunto de todos los puntos frontera de

un conjunto S se le denomina la

frontera de S.

Ejemplo 2 1 Sea

Zo = xO + ¡

yo un número complejo fijo y sea S el conjunto de

números com plejos especificado por

S={z=x+iy/Iz—zol

<r;xxo}.

d e l

31



Figura 2.1:

Entonces, la frontera de S está constituida por la cincunferencia (x - xo

) 2+ (y -

yo) 2 =

r2

y el segmento de recta x = xo, yo -

r <y <

yo +

r.

El conjunto S y su frontera se

muestran en la figura

2.1.

Por supuesto, la frontera del conjunto

S'

={z=x+iy/Iz—zol

<r;xXo},

es la misma que la del conjunto

S.

Ejemplo

2.2. Determine la frontera del conjunto

S={z =x+y/Oxl,0yl;xy,EQ},

donde Q es el conjunto de los números racionales. Sea E un número positivo, si z =

x + iy es cualquier punto del rectángulo O < x < 1,0 < y < 1, el £ -entorno de z contiene

tanto puntos de 5

como puntos que no son de S. Luego, la frontera de S es el rectángulo

mencionado.

Definición 2.3.

Sea 5

un conjunto de puntos. Se dice que 5 es

abierto

si no contiene

a

ninguno de sus puntos frontera y se llama

cerrado

si contiene a todos sus puntos

frontera. Si se denota por

dS

a la frontera de 5, al conjunto = SU

dS

se le denomina

cierre o cerradura de S.

32

Es evidente la existencia de conjuntos que nos son ni abiertos ni cerrados; el con-

junto S' del ejemplo

2.1

tiene esta característica.

Definición

2.4. Un conjunto S se llama

acotado

si existe un número positivo

R

de tal

forma que todo punto de S es un pu nto interior del conjunto

C

= {

z / I z 1 < R},

si no existe tal

R,

decimos que S es

no acotado.

Ejemplo

2.3. El conjunto de los puntos z tales que

Rez> 0 es no acotado mientras

que el conjunto

S={z=x+iy/3x+4y< 12;x>0,y>0},

es acotado. En este caso se puede elegir, por ejemplo,

R = 5.

Definición

2.5. Un punto

z O

se llama

punto de acumulación de un conjunto 5

si todo

entorno punteado de

Z o

contienen al menos un punto de S.

Ejemplo 2.4.

En el conjunto

S=jz n

/z

n

=—;n=123

n

ci único punto de acumulación es

z = 0. Los puntos de acumulación del conjunto

S

propuesto en el ejemplo

2.2

coinciden con sus puntos frontera, en referencia al

conjunto propuesto en el ejemplo

2. 1,

los puntos de acumulación de

S son los mismos

que los de

5,

agregando la frontera de

S.

Ejemplo

2.5.

Demuestre que un conjunto con un número finito de puntos no puede

tener puntos de acumulación.

Sean

zI,z2 .....

z, n

números complejos y sea

= {z1,z2,...,z},

Con cada

k

=

1 ,

2.....

asignamos un número positivo

£=mn{zk—z=1,2,...,n;ik}.

Si se toma = ', queda claro que el E-entorno punteado

V del punto

Z k

no contiene

ningún punto de

S.

Luego,

Z k

no es un punto de acumulación de S.

33



Definición 2.6.

Un conjunto S se llama conexo

si dada cualquier partición del mismo

en dos subconjuntos S1 y

S2,

al menos uno de éstos contiene un punto de acumulación

del otro. En el plano complejo a un conjunto abierto y conexo se le llama

dominio y ,

en general, a cualquier conjunto conexo se le denomina

región.

Ejercicios 2.1.

1. Demuestre que un conjunto es abierto si, y sólo si, todo punto de S es un punto

interior de S.

2. Demuestre que un conjunto S es ab ierto si, y sólo si, su complemento S' es

cerrado.

3. Demuestre que el plano complejo es ab ierto y cerrado a la vez.

4. Si 5°

es el conjunto que consiste de todos los puntos interiores de un conjunto

S. Demuestre que

(a )

El complemento de

50

es la cerradura del complemento de S.

(b )

Si S' es un subconjunto ab ierto de S, entonces, S'

c

5°.

Al conjunto S° definido aquí se le denomina el interior de S.

5.

Sea

5

un conjunto conexo y sean zi

y Z2

dos puntos de S. Demuestre que existe

una curva

C,

totalmente contenida en S, que une

Zi

con

Z2.

2.2. Funciones Com plejas.

Definición

2.7. Si

5

es un conjunto de núm eros complejos, una función

f :

S — + C s e

denominafi4nción

compleja de una variable com pleja.

La terminología que se emplea para los conceptos q ue están alrededor de las fun-

ciones complejas de una variable com pleja es la misma q ue la usada en el análisis real;

incluso la notación es prácticamente la misma, en particular, si la imagen de un punto

z del dominio S de la función, es w ,

se escribe w

= f(z).

34

Se sobreentiende que para definir completamente una función es necesario dar una

regla de asignación y un dom inio. Si este último se omite, convenimos que es el may-

or conjunto posible, es decir, aquel que consiste de todos los puntos z para los cuales

tiene sentido aplicar la regla.

Considérese la función

f :

S — C y sea wo un elemento de la imagen de

f,

en-

tonces, existe un elemento

Zo

de S y dos números reales

uo

y yo tales que

w 0

= f(zo) =

uO +

ivo. 2.1)

Evidentemente, esto ocurre para cada elemento

w

de la imangen de

f, y

por tanto, si

z =

x + iy

pertenece a S, deben existir funciones reales de dos variables reales u y y

tales que

f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).

2.2)

En el caso particular de la igualdad (2.1) tenemos que si zo = xo +

¡yo,

entonces

uç

j

= u(xo,yo) y yo

=

v(xo, YO) .

Por supuesto, se tiene también la posibilidad de disponer de una expresión para la

función

f

n términos de coordenadas polares. Si se toma z = re'0

en (2.2), para las

funciones u y y que aparecen en el lado derecho, resulta

u(x,y)

= u(x(r,O),y(r,9)) =

v(x,y) = v(x(r,6),y(r,6))

=

con lo que la igualdad mencionada queda com o

f(z) =(r,O)+ir)(r,O). 2.3)

Ejemplo 2 6

Determine el dominio de las funciones que se dan a continuación y

obtenga para ellas, expresiones como las dadas en (2.2) y (2.3):

1

(a) f(z) =

z2,

b) f(z)

—

c) f(z) =

I z 2 .

-

(a)

En este caso el dominio es todo el plano complejo. Tomando z =

x + iy,

nos

queda

35



f(z) =x

2 — y2

+2ixy,

t a n d o e n t o n c e s

u(x,y) =x 2

—y 2

,

(x,y) =2xy.

re

1

,

se obtiene z

2

=

r

2 e 2 1 0 quedando entonces que

f(z) =

(r,6) +ii(r,O),

donde

(r, 0) = r

2

cos2ø,

(r,6)

= r - sen2e.

(b)

El dominio de definición de la función

f

s todo punto del plano complejo,

i y

de — i .

Por otra parte, dado que

(z2+1)(z2+1) =

1z14+2Rez2+1

= (x

2 +y2

-1)

2

+4x

2 ,

f

z2 +1 2

— y

2

+1

xy

M)

(z 2 + 1) (z 2 + 1)

x

2 + y2 - 1)2 + 4x2 - (

x

2 +y2 - 1) 2 +

4x 2 '

x2 —y 2 +1

xy

v(x,y) = -

(x,y)= (x

2 +y2

-1)

2 +4x2

'

x

2

+y -1) 2 +4x

2

Se verifica también de manera m uy sencilla que, para este caso

1+r2 cos20 2 sen20

1 +r

2

(r2 +2cos2O)

1-I-r 2 (r2 +2cos2O)

(c) El dominio de la función

f(z)

= 1z12 es, evidentemente, todo el plano com ple-

f

n las formas (2.2)

y

(2.3) se obtiene

f(z)=x

+y2 ,

(z)=

r.

claro que, para este caso, y = 11 = O.

Se emplea en ocasiones el calificativo de

función real de variable compleja para

(c) del ejemplo anterior y se dice que

s una

función compleja de variable real si el dominio de

f

onsiste de números

Definición

2.8. Sea S un subconjunto de C y sea

f

una función compleja de una

variable compleja con dominio S. Si

T

es un subconjunto de S, al conjunto

f(T) = {w = f (z)/z E T},

se le llama

imagen de T bajo f.

A la imagen del conjunto S que es, por definición, la

imagen de la función

f,

se le denomina también,

recorrido def

Dado un elemento w

de

f(S),

al conjunto de los puntos z de S para los cuales w

=

f(z)

se le conoce como

imagen inversa de w.

Mediante el uso de

métodos gráficos

en muchas ocasiones es posible obtener algu-

na información sobre el comportamiento de las funciones complejas de una variable

compleja. Para determinar características geométricas de aspectos relacionados con

una de tales funciones no es posible, por supuesto, elaborar una gráfica de ésta sobre

dos ejes mutuamente perpendiculares, como ocurría con las funciones reales de vari-

able real, ya que para las primeras, tanto los elementos del dominio como sus imágenes

se encuentran sobre un plano; es conveniente hablar entonces de transformaciones o

aplicaciones. A veces resultará adecuado usar el mismo plano para graficar un conjun-

to de puntos y sus imágenes bajo determinada función, quedando en otras ocasiones

la elección de dos planos distintos a los cuales llamaremos plano

z y

plano w

como

la opción más apropiada para elaborar tal gráfica. En el primer caso se habla de una

transformación

y en el segundo de una aplicación.

La elección de una posibilidad o la

otra será sugerida, la mayor parte de las veces, por la estructura general de la función

que se analiza. Los siguientes ejemplos tratan de ilustrar algunos de los elementos

que intervienen en el tratamiento gráfico de las funciones complejas de una variable

compleja.

Ejemplo

2.7. Determine la región

R'

del plano

uy

en la que se transforma la región

R={(x,y)/l <x2}

2.4)

del plano (x,y), bajo la función

f(z)=z

2

.

Tomando z = x + iy la función propuesta queda como

f(z) =x

2

— y

2 +2ixy,

2.5)

36

7



X:

X:

( a )

b)

Figura 2.2:

u(x,y)

=

x

2

—y 2 ,

(x,y) = 2xy.

c

la recta =

c

del plano

xy

se transforma bajo f

n la parábola

v=±

2

cI/1

u

2.6)

uy.

Queda claro de aquí que si e toma valores en el intervalo 1 < x < 2,

u

y que se abren hacia la izquierda del plano uy.

La frontera de la

R' se generará tomando

c

= 1

y

e = 2 en (2.6) y, para cualquier otro valor de

en el intervalo en cuestión, la parábola correpondiente quedará dentro de la zona

2.2b.

Así, bajo la transformación

(2.5),

la banda dada en (2.4)

R' = {(u, v)14C2(C2

_U)

=v2},

de la figura

2.2b.

38

Ejemplo 2.8. Considérese la función

f(z) =

2.7)

Determínese la región

R' del plano uy

en la que se transforma la región

R

del plano

xy

especificada por

R= {(x,y)/x 2 +(y+l)

i}.

2.8)

bajo la función propuesta.

Multiplicando y dividiendo la igualdad (2.7) por el conjugado del número

i +

z ,

resulta

f(z)

= u(x,y)

+

iv(x,y),

donde

1—x

2 —y 2

x

u(x,y)

=

x2+(y+

1)2'

(x,y)

=

x

2

+(y+

1)2

2.9)

Si a es cualqier número positivo y proponemo s

x

2

+(y+l)

2

=a2 , 2.10)

de las igualdades (2.9) se llega a que

u=

.(1_x2_y2),

= 2.11)

Ahora, de (2.10) tenemos que

y

= — 1 ±

42 -x2

quedando entonces

y

2

= 1 + a 2-

x2 ±2Va

2 —

x

2

, y de aquí,

1

_ X 2 _ Y 2

= _

a

2

±2Ya2_x2

No representa mayor dificultad el comb inar este resultado con la segunda igualdad

(2.11) para llegar, de la primera de éstas, a que

(u+1) 2

+v

2

=().

2.12)

39



(a)

=

1 en (2.10) vemos que la frontera de la región

R

se transforma en la

(u

+

1)2

+

y

2

=

4, del plano

uy;

asimismo, vemos que si se recorre

-

2

+ (Y+ 1)2

=

a, que queda en el interior de la región

R

se transforma, según la

aldad (2.12), en una cincunferencia de radio mayor que 2 en el plano

uy. Se puede

cluir entonces que la imagen de la región

R

dada en (2.8) es el conjunto

R'={(u,v)/(u+1)2

+v

2

>4}.

R

y

R'

se esquematizan en las figuras 2.3a y

2.3b,

respectivamente.

V

b )

Figura 2.3:

rmine la forma de la región

R'

del plano

w

en la que se transforma

egión

R

=

{z =x+iy/jzl> 1;x> 0,

y>

0,}

1

f(z)=z+-

z

Tomando z

= re 6

y expresando

f

n forma polar, nos queda

f(z)

=

(r,9) +ii(r,ø),

donde

(r,8)=

coso,

r,0)=

(

r-- senO.

2.13)

r)

)

Si se grafica la imagen de la frontera de la región

R

encontramos lo siguiente: para

6

= 7c /2 y r > 1, resulta

=

O

y i

= r—

. ~

0. Luego, los puntos citados del plano

z se transforman bajo

f

n la parte positiva del eje

r,

correspondiendo valores cre-

cientes de rj a valores creciente de

r.

De manera semejante, con

6 =

O y

r > 1, nos

quedan

= r +1

~

2y

T 7

=

0, quedando la imagen de tales puntos sobre el eje

,

a

la derecha de

=

2. También en este caso un incremento en el valor de

r

corresponde

a un incremento en el valor de 1 (a partir de

= 2). Para la parte de la frontera de

la región R

formada por el arco del círculo

I z i

= 1 que queda en el primer cuadrante

del plano z tenemos que

r

=

1 y O <

O

<r/2, en cuyo caso resultan 1

= 2cos6 y

=

0. Así, cuando el arco mencionado se recorre en sentido positivo desde

6 = O

hasta

6

=

7r/2, en el plano ITI se describe un segemento de recta situado sobre el eje

y que va desde 1

=

2 hasta 1

=

0, como se indica en la figura

2.4b.

Supóngase ahora que

r

=

rl

> 1,

y

sean

a

=

r

+

-

=

rl

--

r1

l

Entonces, de las igualdades (2.13) se obtiene

2

a2

b

Puesto que tanto a como

b

son positivos y a>

b,

tenemos que cualquier arco

circular de radio mayor que 1 que este ubicado en el primer cuadrante del plano z,

quedará transformado bajo

f

n un arco de la elipse cuyos ejes mayor y menor están

sobre los ejes 1 y r, respectivamente, y tienen longitudes 2a y

2b.

Dicho arco será la

parte de la elipse ubicada en el primer cuadrante del plano

w.

Las partes sombreadas

de las figuras 2.4a y

2.4b

corresponden a las regiones

R

y

R={,r,)/>0,71 >0}.

40

1



Figura 2.4:

transformación

f, los

puntos A, B

y

C del plano z se transforman en los puntos

l , B'

y

C'

del plano

w.

Estas características se muestran en la figura citada.

2.2.

1.

Suponga que a es un nú mero real positivo distinto de 1 .Pruebe q ue los números

complejos z que satisfacen la igualdad

1 — Z

=a

1+z

describen una circunferencia. ¿Qué ocurre cuando a = 1?

2. Suponga que a,

b, c y d

son números com plejos tales que ad

- bc O.

De-

muestre que la función

f

definida por

az

+ b

f(z)

= cz+d'

transforma círculos y rectas en círculos y rectas.

3.

Describa geométricamente la región

R'

del plano w en la cual se transforma la

región

R = {z/ -

1 <

Imz

< O} del plano z bajo la transformación

f

dada por

1 — z

f( z

=

T

--

4. Determine la región

R'

del plano

w

en la cual se transforma la región

R =

{z/

lRe(iz)

+

Im(iz) < 1

}

del plano z bajo la transformación

f

dada por

f(z) =

iz.

5.

Sea

f

la transformación definida por

f(z) = (z -

a) donde a es un número

real positivo y sea R

la región del plano z específicada por

R =

{ z/ iz - al a}.

Obtenga la región

R'

del plano

w

en la cual se transforma

R

bajo

f.

6.

Sean a y

ro

reales positivos y sea

R

la región del plano z establecida por R =

{z/ Iz - ¡

al

<r } .

Determine la región R'

en el plano w

en la cual se transforma

R bajo la función

f(z) = hz.

7. Sea R

la región del plano z específicada por

R = {z/ IRezi +

lImzl < l}. Obtenga

la región

R'

del plano w

sobre la cual se transforma R

bajo la función

f(z) =

(z -

1)/(z+ 1).

8.

Si

f

es la función compleja de variable compleja dada po r

f(z)

=x+excosy+i(y+exseny),

describa la región R'

de plano

w

en la cual se transforman las líneas y =

± v,

bajo f.

9.

Describa geométricamente la región

R'

del plano

w en la cual se transforma la

región

R = {

z/

2

<

i,imz >

o},

bajo la transformación

f(z) = z +z .

2 3

Límites y Continuidad

Definición 2 9

Sea

f

una función compleja de una variable com pleja definida en

todos los puntos de un entorno punteado del punto z. Se dice q ue

el límite de f

42

3



Figura

2.5:

Z o

es el número

w O ,

y se escribe

límf(z) =w,

z - . z o

(2.14)

frontera de dicho dominio, exigiendo que se cumpla (2.14) siempre que z pertenezca

a la intersección del entorno punteado de zo y el dominio de

f.

Teorema 2.1. Si existe el límite de

f

uando z tiende a zo, éste es único.

Supóngase que existen dos números complejos

wO

y

wI

tales que

lím f(z)

= wj

ím

f(z) =

wl,

z — z o

— z o

entonces para todo e

> O existen núm eros positivos

6o

y 31 tales que

If(z)—wol<e

iempre que

<Iz—zol<.

5

o ,

¡f (z) — wil

<e

iempre que

<

Iz—zo

<6k.

sea = mín {6, 6 }, se tiene entonces que

Iwi—wol = I(f(z)

- w0 )

-

f(z) -

wi)

If(z)—woI+f(z)—wiI

< 2e,

e

> O existe un número positivo 6 tal que

If(z) — wol

<

< 1 z - z o 1

<6.

siempre que 0<

Iz—zol

<6. Se deduce de aquí que

Iwi

-wol

= 0; esto es,

w l

=

wj

(2.15)

, por tanto, el límite es único.

Teorema 2.2. Sean

f

g funciones complejas de una variable com pleja y supóngase

que

La definición de límite significa que si (2.14) se cumple, entonces, dado cualquier

ntrar un número positivo 3 de tal forma

f,

el 6-entorno del punto

Z o

se transforma en un subconjunto

w o ;

en otras palabras, que se puede garantizar que todos los

f(z)

se encuentrar en el interior del --entorno del punto wo con tal de tomar

z o .

En la figura

2.5

la

uy corresponderá a la imagen del 6-entorno de

Zo,

bajo la

f.

Por otra parte, es evidente que si (2.14) se verifica, entonces If(z) -

w 0

< E

< Iz— zo

<6', para cualquier número positivo .5' menor que 6. Se

la definición de límite está dada únicamente para puntos

f,

sin embargo, ésta se puede extender al caso de puntos

límf(z) =

a,

ímg(z)

=1

3 ,

Z

-

O

-

O

entonces,

(a ) lím

[f (z)

+g(z)]

=

a+13,

Z

-

O

(b )

lim

[f (z)

— g(z)I

=

a

- ¡3,

ZZQ

(c )

lím

[f(z)g(z)J

=

Z

-

Q

y si /3 0, entonces

- J (z)l

(d )

liml—I= -.

z-zo

[g(z)j

3

(2.16)

44 ___

5



Probaremos los incisos (a) y

(c).

Si (2.16) se cumple, entonces, para todo número

prefijado

e

debemos poder encontrar números positivos 81 y

8 2

tales que

If(z)—al<e

iempre que

<Iz—zoI<81,

2.17)

lg(z)

— 1

3

<e

iempre que

< lz — zol <82.

Si se toma 8

= mín {3

, 82}, resulta

l(f(z) +g(z)) -

(a+J

)j

= l(f(z) —a)+ (g(z)

-/3)1

< 2e,

siempre que 0

<

iz -

z01 <6. Se sigue de aquí que la igualdad dada en (a) se verifica

siempre que se cum plan las relaciones (2.16).

Para probar

(c)

suponemos nuevamente que las igualdades (2.16) se satisfacen.

Entonces, para cada número positivo e

existen números positivos 31 y 82 de tal forma

que las expresiones (2.17) son válidas. Si, como en el caso anterior, se toma 6 =

mín{61,82}, resulta

if(z)g(z)

- aPI =

i(f(z)

- a)(g(z) -/3) + a(g(z) —/3)

+f3

( f (z ) — a) l

if(z)

— alig(z)

— /31+

ialig(z)

—

Ji+

3

11f(z) -al

< e 2

+ Cal +l/3De,

siempre que O

<

I z -

z 1

<

6. Se sigue de aquí q ue la igualdad (c) del teorema se

cumple.

Ejemplo 2.10. Demuestre que lím(3iz-2) = 1.

Z*

-1

Se debe probar que para todo número positivo

e

existe un 6 positivo de tal forma

que

I(3iz-2)

—

<e,

siempre que O <

i z +

il <6. Se tiene para esto que

(3iz-2)-11 = i3iz-31

= 3

h z —

I I

= 3

1z+ii<e ,

46

siempre que 0< iz+ii <e/3.

Ejemplo 2.11.

Demuestre que si

f(z)

= 2x + iy

2

, entonces

límf(z) =

4i.

Sea

e

un número positivo dado, se tiene

If(z)

-

i1 = 1(2x+

iy2 ) -« =

12X+ ¡ (Y2

- 4)1

2

x

+

y+ 211y

— 2

1

Si se propone

2

1 x I <

y+2iiy-21

<,

2.18)

resulta lf(z) — 4ii

<e.

Ahora 2

i x I

<e/2 si lxi <e/4 y, si se elige ¡

y

-21

<

1, resulta

iy+2 = iy-2+41 iy-21+4<5,

luego, según la segunda expresión (2.18), tenemos que

y+211y-21 <51y-21< ,

se satisface siempre que iy-

2

<e/lO. Sea 6 = mín{1,e/10}, entonces

If(z)

-

4

i

<e,

siempre que

0< lz-2ii =

lx+i(y-2)1

ki+IY-

2

<6,

y de aquí que lím(2x +

iy

2

) =

4i,


Teorema 2.3.

Considérese la función

f(z)

=

u(x,y)+iv(x,y)

y

sean Zo =

xo

+

¡ y o

y

wo

=

uo

+ iv

o

. Entonces,

límf(z)=wo

2.19)

Z

-

ZO

si y sólo si

l ím

X I

y)

= uo

ím

(x,y)

=

yO.

2.20)

( x , y ) — ( x o , y o )

x , y ) — . ( x o , y o )

47



Supóngase primero que se verifica la igualdad (2.19), entonces, para cada

E

posi-

tivo existe un 6 positivo tal que

f (z)— wol =

(u—u0)+i(v—v0) <E,

La prueba se hace por inducción. Para

n = 1 es claro que

lfm z = zo,

2.23)

z — z o

ya que si

E

es cualquier número positivo, entonces,

I z —

z o l

<E,

toda vez que O <

z - zol <6 =

E.

Supóngase ahora que (2.22) se cumple paran = k;

esto es, supóngase

que

siempre que

0< z—zol

=

I(x—X0) +i(y

—

Yo)¡< 3.

De estas expresiones encontramos que

U —

U 0 1 < 1

(u—uo)+i(v—vo)

<E,

siempre que O

< 1

(x - x0) +

i(y - yo)

<6 y, por tanto, se verifica la primera igualdad

(2.20). De manera semejante tenemos que

v

—

vol<I(u

—

uo)+i(v

—

vo)l<E

siempre que O

< 1

(x - xo) + i(y - yo)

<6, de donde se sigue la segunda de las igual-

dades mencionadas. Inversamente, supóngase que se verifican las igualdades (2.20),

entonces, para todo

E> O exiten números positivos 81 y

6 2

tales que

1

- uol <E/2

siempre que 0< ,.,/(x_x

o

) 2

+(y_y

) 2

< 31 y

1v—vol <E/2

siempre que 0<

/( x

—

xo)

2 + ( y—

y o ) 2

<62. Si se define

8

= m ín{61,62}, resulta

l(u—uo)+i(v—vo)J

<

lu — uol+ 1v—vol <E,

siempre que 0< ./(x—xo)2+(y—yo)2 =

(x—xo)+i(y—yo)i

< 6. Se sigue de

aquí la expresión (2.19).

Ejemplo

2.12. Si e es una constante compleja, entonces

lím e =

c.

2.21)

Z

-

Z O

La prueba es trivial. Dado

E >

0, se toma la 6 como

E o como cualquier otro

número positivo.

Ejemplo 2.13. Demuestre que si

n

es un nú mero entero postivo, entonces

(2.22)

ZZO

48

límz

k

=z

o.

2.24)

Usando la expresión

(c)

del teorema 2.2 obtenemos para

n

=

k +

1

lím lím

(zzk) = (

lím z)( lím

z k),

Z

-

Ø

-O

-O

-O

de manera que de (2.23) y ( 2.24) resulta

lím

k+1 - k - k+1

Z —Z0Z0—Z 0

Z

-

O

quedando entonces probada la igualdad (2.22)

Ejemplo 2.14.

Pruebe que si P

es un polinomio complejo, entonces

lím

P(z)

= P(zo).

2.25)

z — + z o

Supóngase que

P

está dado por la expresión

P(z)

= k Z k ,

donde las a1

son constantes complejas. Si se aplican las igualdades (a) y

(c)

del

teorema 2.2 y las expresiones (2.21) y (2.22) probadas en los ejemplos anteriores,

49



N

Figura 2.6:

lím

P(z)

= lím

k z k

Z-ZO

_ZokO

= ím(ak z k )

k=O

= (lim a k )(lim z k)

k=O

Z ZO ZO

=

Y

akZO

= P(zo),

2.15. Demuestre que si lím

f(z)

=W

entonces

Z—*ZØ

lím If(z)I = Iwol.

z — . z o

(2.26)

Recordando que para nú meros complejos cualesquiera zi

y Z2

se cumple la de-

1 I z i 1 -

1211

z i - Z2

nos queda para este caso que, para todo núm ero pos-

e existe un 6 positivo tal que

If(z)I -

I w o l l

f(z) — wol

<e,

< I z — zol <6, de donde se sigue inmediatamente (2.26).

Finalizamos esta parte correspondiente a los límites de funciones complejas de

relacionados con la igualdad

límf(z)

=w0,

z - . z o

Zo

o

w0 o ambos tienen módulo infinito. Para

aquí, el significado de la igualdad en cuestión.

50

Como hem os visto en todo lo que llevamos de esta sección, el hecho de que la

igualdad (2.27) se verifique significa que siempre es posible ubicar el punto

f(z)

en

un cierto entorno de wj, sin importar que tan pequeño sea éste, con tal de tomar z en

un entorno punteado de zo, suficientemente pequeño.

Considérese ahora lo siguiente: en el espacio euclideano tridimensional R 3 se

elige una esfera de radio unitario con centro en el origen de coordenadas y se identi-

fica el plano xy con el plano complejo. Dado un punto z = (, i) de dicho plano, se

traza una línea recta que pasa por éste y por el

polo norte N de

la

esfera. La recta se

intersecta con la superficie esférica en el punto P, como se indica en la figura (2.6).

Si el procedimiento señalado se realiza con cada uno de los puntos del plano xy,

se obtiene una correspondencia uno a uno entre los puntos de la superficie esférica

distintos de

N

y los puntos de dicho plano. Por ejemplo, los puntos que se encuentran

en el hemisferio norte de la superficie esférica se corresponderían con los puntos del

plano xy situados en el exterior de la circunferencia con ecuación

x2 +Y2

= 1

y ,

de

manera semejante, los puntos del hemisferio sur de la esfera quedarían asignados a

los puntos que se encuentran en el interior de la circunferencia mencionada. En cuan-

to a los puntos del ecuado r de la esfera, la correspondencia sería con e llos mismos.

En estos términos, definimos un punto del plano complejo, al cual llamaremos

punto

del infinito y denotaremos por

o c

como aquel q ue bajo la correspondencia descrita

51

(2.27)



N

de la superficie esférica. A la correspondencia biunívo-

proyección estereográfica,

a la esfera

esfera de Riemann y

al plano complejo,junto con el punto del infinito, se

plano complejo extendido.

Si

£

es un núm ero positivo pequeño, b ajo la proyección estereográfica, los puntos

xteriores al círculo

I z i

>

1/e, corresponderían a puntos sobre la esfera que se en-

uentran muy próximos al polo norte

N.

Se puede definir entonces el conjunto de los

números z q ue satisfacen

1

Iz>-,

£

como un entorno del punto

co.

Volviendo a la definición de limite, analizamos ahora la expresión (2.27) para el

caso en que w o es el punto del infinito. Considérese la igualdad

lím

f(z)

=0o

2.28)

z-.zo

En términos de la definición tenemos que la igualdad se cumple si para cada e

>

O

existe un número positivo 3 tal que

1

If(z)I>

-, 2.29)

siempre que O

<

I z -

zo

< 3

. Ahora bien, la desigualdad (2.29) es equivalente a

If(z)H <e,obien

Se concluye de aquí que

lím

f(z)

= co

i y sólo si

ím ---- = 0.

2.30)

z-zQ

-zo

f(z)

De manera semejante se puede establecer que

límf(z)

= wo

i y sólo si

ímf () =

wO,

2.31)

52

y, combinando (2.30) y (2.31) se puede llegara que

1

z_

ímf(z)

= oc

i y sólo si

ím f(i/)

= 0

z_—

Ejemplo 2.16. Sea

f

la función definida por

iz

+3

entonces, lírnf(z)

= co,

ya que de (2.30) resulta

1z+1

- 0,

=

iz + 3

cuando z tiende a -1; esto es lím

7 C 5

= 0. De manera semejante, si la función

f

se

define por

2z +

i

resulta

iímf(z)

= 2, ya que por (2.3 1) tenemos

- 1\ (2/z)+i

2 + iz

hmf - = lim

lim

2.

z—.O \ZJ

— O

(1/z) + 1

— + O

1 +z

Definición 2.10.

Se dice que

una función

f

es continua en un punto zo

de su dominio

si para todo número positivo

e existe un 3

>

O tal que

f(z)

—

f(zo)

<E

2.33)

siempre que

Iz - z

o

< S . Si la función es continua en cada punto de una región

R

decimos quef es continua en R.

Aún cuando los conceptos de límite y de continuidad de una función en un pun-

to son totalmente diferentes, se puede observar que exiten también semejanzas entre

ellos. En virtud, de tales semejanzas, los resultados obtenidos en el teorema 2.2 para

límites se extienden fácilmente al caso de la continuidad. Así, se puede afirmar que la

suma, la diferencia, el producto y el cociente (cuando la operación tiene sentido) de

funciones continuas, es una función continua. Las pruebas de estas afirmaciones son

totalmente semejantes a las presentadas en el teorema m encionado.

53

(2.32)



La composición de funciones continuas es una función continua.

w

= f(z)

una función definida en todos los puntos z de un cierto entorno del

g(w)

una función cuyo dominio de definición contiene la imagen de ese

o

está definida en todo z del entorno propuesto.

f

s continua en zo y que g es continua en wo =

f(zo).

Entonces, para

E >

O existe un número positivo 6' tal que

La prueba de este teorema es totalmente análoga a la del teorema 2.3 correspondi-

ente a límites.

Volviendo al concepto de continuidad, se observa que si la función

f

está definida

en un cierto entorno del punto zo, entonces,

f

es continua en zo si, y sólo si

límf(z)

=f(zo).

2.36)

z - . z o

(gof)(z) - (

g

of)(zo )

=

g(f(z))

—

g(f(zo))I

= g(w)—g(w0)

<

E ,

Como una consecuencia directa de esta observación se puede afirmar, sin entrar en

mayores detalles, que los polinomios complejos son funciones continuas en todo el

plano y que los cocientes de polinomios

(funciones racionales),

también lo son, excep-

to en aquellos puntos que corresponden a raíces del denominador. Del mismo modo,

en virtud del teorema 2.4 tenemos que la función

f

efinida por

f(z)

—

f(zo)J

< 6'.

2.34)

(z)

= ¿)' + isen(x

2 - 2xy

3 ),

6'

existe un

6 >

O tal que ( 2.34) se verifica

I z — z o 1

<6. Luego, dado

E

>0 existe un

6

>0 tal que

(gof)(z) - (

g of)(z o )

<

E,

Iz

—

zO

<6.

2.2. Si

f

es una función continua y no nula en un punto

zO,

entonces,

0

O en algún entorno de ese punto.

f

s continua en zo, tenemos que para cada

E

>

O existe un número

6

tal que

If(z)

— f(zo)l <E,

I z

- Zo

< S. Elegimos E =

If(zo) /2, según lo anterior, resulta

lf(z)

—

f(zo)l <f(zo)I,

2.35)

I z - z o I

< 6.

Si

f(z) fuera cero en algún z de este E-entorno, se llegaría a

a la proposición.

Una función

f(z)

=

u(x , y ) + iv(x , y )

es continua en un punto

zO =

funciones componentes

u y y

lo son allí.

es una función continua en todo punto del plano complejo. En el siguiente enunciado

referente a continuidad de funciones, se presenta uno de los resultados más impor

-

tantes para las aplicaciones del análisis numérico.

Teorema

2.5.

Supóngase que

f

es una función continua en una región cerrada y aco-

tada R

del plano complejo. Entonces, exite un número real no negativo

M , tal que

f(z)

<M,

2.37)

para todo z de

R.

Otro concepto importante en las aplicaciones es el que se describ e en seguida.

Definición 2.11.

Se dice que una función

f

es

uniformemente con tinua en una región

R

del plano complejo si para todo número positivo

E

exite un número positivo

6 tal

que la desigualdad

lf(z2)

— f(zi ) I

<E,

se cumple para cualesquiera dos puntos zi y Z2 de

R

para los cuales 1Z2

- Zi

< 6.

Corolario 2.1. Si

f

es una función continua en una región cerrada y acotada

R del

plano complejo, entonces,

f

es uniformemente continua en

R.

54

5



1. Pruebe que si z O es un nú mero complejo tal que I

z 1

< 1, entonces

izk=_L

k=O

2. Sean

R

una región cerrada y acotada del plano complejo y

f na función con-

tinua en R.

Demuestre que existe un número positivo

M tal que

lf(z) 1

M , para

todo z en

R.

3. Sean

f

g dos funciones complejas de variable compleja y suponga que

límf(z)

= O .

Z •- Zø

Establezca las condiciones sobre la función g bajo las cuales

lím

(f(z)g(z))

=

O .

Z

- Z O

. Suponga que a,

b, c

y

d

son números complejos tales que

ad-c

O, y sea

f


f(z)

=

(az +

b)

/

cz

+

d). Demuestre que

(a )

Si

c

=

O, entonces,

límf(z) =

oo.

(b ) Si c

O, entonces, límf(z)

= a/e y lím

f(z)

= 00

Z°°

-—d/c

Justifique las siguientes igualdades:

(a) lím

z 2

-

(b)

lim

00

z

2z— l ) 2

-

— * i

z 2

+l

Z 2

+ i

(c)

lím

0

z

00

z—1

f(z)

=

u(x,y) +iv(x,y),

acotada

R

del plano complejo, entonces,

v

2

es una función uniformemente continua en

R

y alcanza un máximo en algún

decir, existe una constante no negativa

M ,

del tal forma que

6.

Sea p el polinomio complejo dado por

p(z) =

ao + az + + az y supon-

ga

que la o

~: lai

+

l a , , 1 .

Demuestre que p no tiene raíces en la región

R

=

{z/Izl

< 1}.

7.

Determine los valores de

z

para los que lim(z/z)'

2

tiene módulo finito.

8.

Sea

f

a función compleja de variable compleja definida por

(a) f(z)zRez

z 2

Rez)(Imz)

-

b) f(z)

=

c) f(z)

=

z 2

(d) f(z)

= (Rez) 2 — (Imz) 2

Pruebe que

f

s continua en todo z O. ¿ Es posible definir

f

n z =

O de tal

forma que sea continua allí?

9.

Sea z =

(x ,y)

un punto en el plano co mplejo al cual, bajo la proyección es-

tereográfica le corresponde el punto

P

= ,

7, Ç) de la esfera de Riemann.

Demuestre que los componentes de

P

en términos de x y y están dados por

2x

y

2 +y2 -1

x2 +y2

+l

2 +y

2

+1

2

+y2 +1

Obtenga las relaciones que definen x y y en términos de 1

1 7

y Ç.

10.

Determine los conjuntos de puntos en el plano complejo en los que, bajo la

proyección estereográfica, se transforman los paralelos y los meridianos de la

esfera de Riemann. ¿Cómo se transforman en el plano complejo b ajo dicha

proyección, las circunferencias, en general, en la esfera de R iemann?

11.

Si z i y Z 2 son las proyecciones estereográficas de los extremos de un diámetro

de la esfera de Riemann y si la esfera se gira un ángulo 6 respecto a dicho

diámetro, demuestre que

W — Z 1

—

Z 1

=

exp

WZ2 Z2

donde w

=

f(z)

es la transformación inducida por una rotación arbitraria de la

esfera, alrededor de un diámetro.

56

7



La derivada de las funciones complejas.

2.12. Sea

f

una función compleja de una variable compleja y sea zo un

f.

Supóngase que el límite

f'

zo)

= lfm

f(z)

—

f(zo)

Z-ZQ

—Zo

límite es

la derivada de

f

en

z o y

que

f

s

djferen-

en

z o .

Empleando la transformación Lz = z - zo, se puede expresar el límite

f'(zo)

en la

f'(zo)

= lím

f(zo+Lz)—f(zo)

LZ

f

se puede construir una nueva función

f

ediante

- f(z+z)—f(z)

f'(z) =

lim

2.39)

A z — O

z

f(z) = w y f(z

+

Lz)

- f(z) = Aw,

queda como

-

f (z) =

lim

1w

A z — O

LZ

A la función

f

efinida en (2.39) se le denomina la

derivada de la función

f

los puntos de una cierta región

R

se dice que

f

es

Otra flotación comunmente empleada para la derivada de

f

es

df(z) /dz;

es decir,

= df(z)

''

z

f'(zo) = df(zo) - df(z)

dz - dz

Z=ZØ

Como ocurre en el análisis real, resulta relativamente sencillo probar que si

c

es

una constante compleja y si

f

s una función compleja de una variable compleja,

diferenciable en z, entonces

-(cf(z))

= C

df(z)

2.40)

dz

z

ya que

d

m

c hm

f(z +

iz) - cf(z)

(z

+Lz) -

(z)

dz z — O

Z

z—.O

z

que corresponde a la expresión (2.40).

También se puede probar que la diferenciabilidad de una función

f

n un punto z

implica la continuidad de

f

n dicho punto. Para ello tenemos que

lím(f(z)

—f(zo))

= iím(

f(zo)

(z—zo))

z — z o — • z o

- ZO

f(z)

—

f(zo)

= (lím

( l ím(z— zo))

z — z o

- ZO

- Z Ø

= f (z)O

=0,

y por tanto

límf(z)

=f(zo)

,

z — . z o

que es precisamente la igualdad (2.36).

Otras propiedades importantes de las derivadas de las funciones complejas de una

variable compleja se da en el siguiente teorema. Se podrá observar de inmediato que

éstas tienen su expresión correspondiente para el caso real; de hecho, las propiedades

que aquí se presentan deben reducirse a las de las derivadas de las funciones reales de

variable real, cuando la parte imaginaria de los nú meros involucrados sea nula.

Teorema 2.6.

Si

f

y g son funciones complejas de una variable compleja, diferencia-

bles en z, entonces,

(2.38)

58

11

9



dz

nz

n-'

2.41)

Definiendo

f(z) =Z

n

,

tenemos que

f(z+Az)—f(z) =

( z +Az )z z

()z

z)_Z

n

k

' (

n)Zn-kNZk.

Ejemplo 2.18. Demuestre que si n es un entero positivo, entonces,

d df(z) + dg(z)

(a)

(f(z)+g(z))— dz

z

(b) (f(z)g(z)) =f(z) g (z)

f(z)

---+g(z) dz

, entonces,

(c)

d (f(z»

=

g(z)f'(z) — f(z)g'(z)

dz g(z

g(z))

2

en el inciso

(c).

Para ello suponemos que

g(z) O

g(z + Az)

no se anule. Definimos una

Ø

como Ø = f/g,

quedando entonces que

d (f (z) )

--

lím

(z+Az)-4(z)

dz g(z)

z-O z

Ahora, dividiendo la igualdad por

Az,

encontramos

f(z+Az)—f(z)

Az

)zn-z-i

k=]

(z+Az) —(z) - f(z+Az)f(z)

- g(z+Az) g(z)

= g(z)f(z+Az) —f(z)g(z+Az)

g(z)g(z + Az)

1

(f(z+Az) —

f(z)) -

= g(z+Az)

g(z)g(z±Az) (g(z+Az) —g(z)).

g

es continua en z y que, por tanto, g(z + Az) ----> g(z)

cuando

al dividir por

Az

toda la expresión anterior y tomar el límite cuando

Az

tiende

dØ(z) - f(z) - f(z)g'(z)

dz - g(z)

g(z)) 2

(c)

del teorema.

fl

n_2A++I

n _ 1

=

)

2

Como puede verse aquí, excepto el primer término del miembro derecho, todos van

multiplicados por alguna potencia positiva de

Az,

de manera que todos ellos se anulan

cuando

Az -

0. Se sigue de aquí (2.41).

De la expresión

(a)

del teorema 2.5

y

de las igualdades (2.40)

y

(2.41) se deduce

que si P

es el polinomio complejo definido por

P(z)

=

Lakzk,

entonces,

dP(z)

dz -

akz''

k = 1

60

1



Determine la derivada, en caso que exista, de la función

f

efinida por

=

1 z 1 2 .

Se tiene para este caso que

Teorema

2.7. Supóngase que

f y g

son funciones tales que

f

tiene derivada en

Zo y

g

tiene derivada en

f(zo).

Entonces, la composición

g f

tiene derivada en zo y

f(z + ¿z) - f(z) -

Iz + \zI

2

_

z1

2

tz

A Z

- (z+z)(z+iz)—z

Lz

Lz

=

LZ

Lz

a cero a través de

Lz = Lz y,

por tanto,

- f(z + Az) - f(z)

hin

+z.

A z — * O

z

Az -+ O

a través de puntos de la forma (O,

Ay) , nos queda

= —Az

resultando en este caso que

lím f(z+Az)—f(z)

Lz-.O Z

valor de z en el cual coinciden estos límites es z = O, concluyén-

el origen y

Esto último se obtiene también fácilmente a partir de la igualdad (2.38),

Tomando en cuenta que la función tratada en el ejemplo anterior es continua en

continuidad y diferenciabilidad de una función: si

f

es

Z o

del plano complejo, entonces, es continua en

sin embargo, la continuidad de

f

en

Z o

no garantiza su diferenciabilidad allí.

A continuación establecemos la regla de la cadena para funciones complejas de

para calcular derivadas.

62

(gof)'(zo) =g'(f(zo))f'(zo).

2.42)

Dado que

g

es diferenciable en el punto wo

= f(zo),

tenemos que existe algún

--entorno de este punto que está contenido en el dominio de

g.

Así, para cada

w de tal

entorno se define una función G mediante la expresión

g(w)11(W0)

G(w)

= g'(wo) uando

/=wo

w

-

= O

uando

=wo.

Se observa que esta función es continua en w, ya que

lím

G(w)

= O.

w—*w0

Ahora, en la expresión dada para G podemos sumar a ambos lados la cantidad

g' (wc)

y podemos después m ultiplicar el resultado por

w - wo para ob tener

g(w) - g(wo) = (G(w) + g'(wo))(w-

wo),

2.43)

igualdad que es válida aún cuando

w

= w o. Por otra parte, en virtud de que

f

es

continua en zo, correspondiendo al e citado antes existe un número positivo 3 tal que

w

-

o

<e siempre que

I z - z o 1

<. Para cada z en ese 5-entorno tomamos

f(z)

= w

y escribimos la igualdad (2.43) en la forma

g(f(z)) —g(f(zo)) = (G(w) +g'(f(zo))(f(z) — f(zo)).

De esta forma, tomando en cuenta que

g(f(z)) - g(f(zo)) = (go f) (z) - (gof)

( z O )

al dividir la igualdad anterior por

z - Zo y

tomar el límite cuando z --> zo, llegamos a la

expresión (2.42).

Con los elementos que se han podido desarrollar hasta el momento, es posible cal-

cular ya la derivada de una cantidad considerable de funciones. Vemos por ejemplo

que, combinando la igualdad (2.41) con la expresión

(c) del teorema 2.5, podemos

derivar cualquier función que esté dada como un cociente de polinomios comple-

jos. Si adicionalmente se emplea la expresión (2.42), el nú mero de funciones que

se puede derivar aumenta sustancialmente. Los siguientes ejemplos ilustran algunas

aplicaciones de los elementos citados.

63



2.

Pruebe que el teorema del valor medio para funciones reales de variable real no

se extiende al caso de funciones complejas de una variable compleja, haciendo

ver que si

f(z) =

Z

3

,

Zi

= 1

y

Z2 =

i, entonces, no existe un punto zo sobre el

segmento de recta que une los puntos

Zi y Z 2 ,

tal que

2.20. Considérese la función

F definida por

F(z)

=(Z2_).

f y g

como

f(z)=z2_,

(z)=z4,

F = g o f,

de manera que, de la expresión

(2.42) se obtiene

F'(z) = (gof)'(z)=g'(f(z))f'(z)

-

4(z2

1)3 d

(Z

2 _

'

z dz

)

4

3

= -(z —1)

3

(2 z 3 +1).

2.21. Sean

f y g

las funciones definidas por

f(z)=—,

(z)=z2_

o f.

Se observa que g

o f = f 2

+ f

o

f,

de manera que para la derivada se obtiene

o bien

2

(gof)'(z) = 1

.

2.4.

1. Demuestre que si todas las raíces de un polimio complejo p tienen parte real

negativa, entonces, lo mismo ocurre con la derivada p' de

p.

f(z2)

—

f(zj) = (z2

—

zi)f

'

(

zo).

3. Sea p el polinomio complejo dado por

p(z) = ao + al z + +

az' .

Demuestre

que los coeficientes ao, ai,. . . a, de p se pueden escribir como

ak= k

=O,1 .... n.

4. Obtenga la derivada de la función

f,

cuando

(a)

f(z)=(2z

3

+1) 5

,

b) f(z)= (z2+1)2'

c) f(z)= 2-3z2

(z-1) 2

5.

Pruebe la expresión dada en el inciso

(b) del teorema

2.6.

2.5.

Las

ecuaciones de Cauchy-Riemann

En esta sección se presentan condiciones necesarias y suficientes para garantizar

la existencia de la derivada de las funciones complejas de una variable compleja. A

través de la teoría que aquí se desarrolle, nos daremos cuenta que, a diferencia de lo

que ocurre con las funciones tales de variable real, en el caso complejo no es sencillo

construir funciones diferenciables. Dada f = u + iv, para garantizar la existencia de

J', las funciones componentes u y y deben cum plir con ciertos requerimientos.

Teorema 2.8. Supóngase que la función

f(z) = u(x,y) + iv(x,y),

64

5



f

zo) existe, de manera que podemos hacer que Az tienda a O en

hm

f(zo+Lz)—f(zo)

Az

(2.48)

ismo. Por ejemplo, si hacemos que Az - O a través de puntos de la forma

u(xO

+ Ax,yo) -

u(xo,YO)

(xo

+ Ax,yo) - v(xo,yo

f'(zo)

= lím

z hm

A X

x-.O

X

= Ux(X0,YO)

+ivx(XO,yO),

¡yo,

entonces, las primeras derivadas parciales de

u y y

existen en (xo,yo) y satisfacen las expresiones

que corresponde a la expresión

(2.45).

Ahora bien, si para hacer que Az -* O, en vez

de tomar puntos sob re el eje real se eligen puntos sobre el eje imaginario; es decir,

puntos de la forma (0, A

y

), de (2.47)

y

(2.48) nos queda

y

,

y

= - VX,

2.44)

f' (zo)

se puede escribir en la forma

f'(zo) =u(xo,

Y O )

+iv(xo,yo),

2.45)

f'(zo)

= Vy(XO

,

yo)

¡UY (XO,yo).

2.46)

Escribiendo Az =

A x

+

¡Ay

y tomando en cuenta que en términos de

u y y

la

f

aluada en zo + Az queda como

f'(zo)

= lím

u(xo,yo+ AY)

—u(x0,yo)

+i

lím

v(xo,yo+

AY)

—v(xo,yo

Ay—O

A y

-.O

A y

= Vy(xO,yo) -

iV

y

(XO,yO),

que es la igualdad (2.46). Finalmente, de (2.45)

y

(2.46) se deduce que en el punto

(xo,yo) se verifican las igualdades

u

x

=

v,

y

u,

=

— v

s

,


Definición

2.13. A las expresiones dadas en (2.44) se les conoce com o

ecuaciones

de Cauchy- Riemann.

I

eorema

2.9. Supóngase que la función compleja de variable compleja

f

xpresada

como

f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

(2.47)

stá definida en todo punto de algún s-entomo de

Zo

= xo

+ ¡ yo

. Supóngase además

que las funciones uy

y

tienen primeras derivadas parciales continuas en (xo,yo) y que,

en dicho punto, satisfacen las igualdades (2.44). Entonces,

f'(zo)

existe.

En virtud de que

u

y

y

son funciones continuamente diferenciables en (xo,yo),

para todo punto

(xO

+

Ax,yo

+ Ay) podemos escribir

A u

= ux(xo,yo)Ax+uy(xo,yo)Ay+

IAzIsj,

2.49)

A v

=

vx(xo,yo)Ax+vy(xo,yo)Ay+

AzIe2,

donde Az = Ax +

¡Ay es tal que O

< lAz1 <e y

e1 y £

2 son funciones de Ax y Ay tales

que

líme=O,

=1,2.

Ahora bien, dado que Aw =

f(zo

+ Az)

- f(zo)

= Au +

¡Av,

de las igualdades

(2.49) resulta

A w

=

(u1(x01yo)Ax+u(x0

1

yo)Ay-i_

lAzici)

+i(vx(x0,yo)Ax+v y

(x0,yo)Ay+IAzIe2)

=

(u

x

(xo,yo) +ivx

(xo,yo))Ax+ (u

y

(xo,yo) +iv(xo,yo))Ay+ (e

+ie2)IAzI,

66

7

f(zo

+ Az) =

u(xØ

+ Ax,yo + Ay) +

iv(xo +

Ax,yo + Ay),

f(zo+Az) —f(zo)

-

(x o +Ax,yo+AY)

— u(xo ,

Y O )

Az

x+¡Ay

v(xø+Ax,y0+ AY) —v(xø,yo

+i

x+¡Ay



quedando de las ecuaciones de Cauchy-Riemann (2.44) la expresión

= (U

(xo,yo) +iv

x (xo,yo))I.\z+ (s

+i2) IL\zI.

IzI

\z es igual a 1, al dividir la expresión anterior por Az

ímite cuando Lz — > 0, obtenemos

Lw

f'(zo)

= lím - =

Ux(xO,yo)

+

iv

x

(xo,yo),

L\z—O ¿Z

o el teorema.

Quedaría fuera de toda discusión la utilidad que representaría el poder manejar

expresiones

(2.45)

y (2.46) en coordenadas

a este objetivo.

Considérese la función compleja de una variable com pleja

f

ada por

De manera análoga para la función y

resulta

( Vr )\

cose

eno

\

( v

V

e —

—rsenø rcosO )

\ v,

Ahora, si

r >

O la matriz que aparece en estas igualdades es inversible, con inversa

i( rcosø —seno

r

rsenø cosO

de manera que se pueden obtener la derivadas parciales de

u

y

y respecto a x y y, en

términos de las parciales respecto a r

y O, a partir de

u

x

l(rcosø

—seno \(ur

UY j =

senO cosO

u0

2.50)

v

x

1/rcosO

—senO\/v,

'\

y

)

=

\ rsenO cosO

V O

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

upóngase que u

y

y

satisfacen las ecuaciones Cauchy-Riemann en un punto dado

0, entonces, de la primera ecuación (2.44)

y

de las expresiones (2.50) se obtiene

U rCO5 O —

enO

= Vr

sen O +

V9

O ,

lo cual es equivalente a

(ur_

ve)cos6_(uo+V

r

)senO=O.

Evidentemen te, esta igualdad se cump lirá para todos los valores de O si y sólo si se

verifican las igualdades

1

Ur =V9,

9

r,

2.51)

r

que representan las

ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar.

Por otra parte, usando nuevamente las expresiones (2.50) para calcular

u., y v,

encontramos

u + iv = u cos O

-

1

u 0 senO +

i(vrcosO - . 9

senO),

x=rcosO,

=rsenO.

u

y

y

en términos de las variables r y 6 resulta

u(x,y) = u(x(r,O),y(r,O)),

v(x,y) = v(x(r,O),y(r,6)),

u

las expresiones

9 u

udx t9udy

=

+--

=ucosO+usenO,

r dyar

au cudxduy

do

dX de ay do

atricial como

( Ur

)

COSO

en O \ (

u,

u

—rsenø rcos6 )

k

U Y

68 9



(2.51),

se puede llevar a la forma

ux

+ivx

=UCOSØ+VrSenO+ZVrCOSØ

r

SenO

= (u

r

+ivr

)(cosø-isenü)

=e

°

(u r

+ivr ).

f

es diferenciable en el punto z =

re

i0

(z

O), entonces

f'(z)

= e

°

(u r

(r,6) +iv

r

(r,O)).

2.52)

-jo

-----(uø(r,9) +ivo(r,O)).

2.53)

2.22. Para todo número z =

re

io

con

r> O y — 2v <

O < 7r, se define la

f

mediante

f(z)=fz.

.fre

°

" 2 ,

tenemos

(e

f(z)=ficos

+isen-

u(r,O)

=/cos-, (r,O)

= [rsen

Ur) Vr

y sustituyendo en (2.52)

encontramos

e

°

f'(z) =—

cos-+isen-

2\ .

1

= 2(rei

)

1

Definición 2.14.

Una función compleja de una variable compleja f se llama

analítica

en un conjunto abierto S si es diferenciable en S. En particular se dice que f es analíti-

ca en un punto

zo si es diferenciable en un entorno de z. Si

f

es analítica en todos los

puntos del plano complejo finito, decimos que

f

s una función entera.

En términos de esta definición se debe entender que si se hace referencia a una fun-

ción analítica en una región cerrada, dicha región será un subconjunto de una región

abierta en la que

f es analítica.

Definición 2.15. Sea

f

una función compleja de una variable compleja y sea zo un

punto tal que

f

o es analítica en

Z o

pero lo es en un punto de todo entorno de zo. Se

dice entonces que

Z o

es un punto singular de

f

que es una

singularidad de

f.

En virtud de las propiedades de la derivada de las funciones complejas de una

variable compleja, establecidas en los Teoremas

2.5 y 2.6,

se deduce que la suma, el

producto y la com posición de funciones analíticas son, a su vez, funciones a nalíticas.

Lo mismo ocurre para el cociente, el cual es una función analítica en todos los puntos

donde no se anula la función del denominador.

Ejemplo

2.23. Considérense las funciones

f(z)

= 2 ,

(z) =

y sea P el polinomio complejo dado por

P(z)

= Lakz

k .

Como se vio en el ejemplo

2.19,

la función

f

ada aquí tiene derivada ú nicamente

en el punto z = O, de manera que no es analítica en ninguna parte. En cuanto a g,

ésta es analítica en cualquier región en la que no se encuentre el punto z = -

2i;

dicho

punto es una singularidad de g ya q ue, para todo núm ero positivo s, el conjunto de

los puntos z tales que O < Iz

+ 2i1

<s, contiene un punto donde g es analítica. En

referencia al polinomio P,

tenemos que éste es diferenciab le en todas partes y, por

tanto, es una función entera.

Teorema 2.10.

Sea

D

un dominio en el plano complejo y supóngase que f es una

función tal que

f(z) = O, para todo z de D.

Entonces,

f

es constante sobre

D.

70

1



f a representación

f(z) = u(x,y) +iv(x,y).

= O para todo z de D,

según las expresiones (2.45)

y (2.46) nos queda que

u,

=

v =

v,

= O, luego, las derivadas direccionales de

u y y

se anulan en todo

D,

en cualquier dirección. Se infiere de aquí que para ciertas constantes a y

y y = b; esto es

f(z) =

a +

ib para todo z de D,


Sea h

una función real de dos variables reales, dos veces contin-

h es armónica en

S si

h.+ h

y

= 0,

2.54)

Supóngase que

f(z)

= u(x,y)

+

iv(x,y) es una función analítica en

D

y que las derivadas parciales de segundo orden de

u

y

y

son continuas

entonces, las funciones

u

y

y son armónicas en

D.

continuidad de las segundas derivadas parciales de

u

y

y

en

D

u

xy

= Uyx

y

v, =vyx en todo

D.

Derivando la primera ecuación (2.44)

u

+

v

+

v

= O, que es lo

2.24. La función

u

definida por

u(x,y)

=

eY(2xycosx+ (x

2

—y 2 )

seny),

todo el plano complejo ya que es la parte real del producto

f y

g, donde

f(z) = —

iz 2 ,

(z) =

e(cosx+isenx).

h dada por

h(x,y)

=ln\/x

2

+y

2

,

contenga el punto z = 0.

Definición 2 17

Si dos funciones

u

y

y

son armónicas en un dominio

D y si sus

primeras derivadas parciales satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en

D,

se

dice que y es una armónica conjugada de u.

De esta definición es prácticamente inmediato el siguiente resultado.

Teorema 2.12.

Una función

f(z)

= u(x,y) + iv(x,y)

es analítica en un dominio D y

sus funciones componentes

u

y

y

son dos veces continuamente diferenciables en

D si ,

y sólo si

y

es una armónica conjugada de

u.

Se verifica fácilmente que si una función

y

es una armónica conjugada de otra

función

u

entonces,

— u

es una armónica conjugada de

y.

Esto se deduce del teorema

anterior y del hecho que si

f

es una función analítica en un dominio

D,

entonces, -

if

es también analítica en

D.

Las funciones u

y

y

serán armónicas conjugadas una de la

otra, únicamente en el caso en que am bas sean constantes.

A diferencia de lo que ocurre en el análisis real donde "usualmente" las funciones

que se construyen resultan ser derivables, en el caso complejo esto no es así. Se ob-

serva de los teoremas 2.8 y 2.9 que para poder garantizar la diferenciabilidad de la

función

f(z) =u(x,y)+iv(x,y),

2.55)

al proponer una de las funciones

u

o y,

la otra no se puede elegir arbitrariamente, sino

que deber ser tal que se satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann (2.44). Sin em-

bargo, dada una de estas funciones es posible construir la otra de tal forma q ue la suma

u + iv

sea analítica, imponiendo únicamente ciertas condiciones de integrab ilidad a la

función dada. Supóngase por ejemplo que se conoce

u,

el problema consiste entonces

en encontrar una

y

que sea una función armónica conjugada de

u.

De esta forma, si se

han de verificar las ecuaciones de Cauchy-Riemann de la primera igualdad (2.44) nos

queda

y

v(x,y)=f u(x,)di+(x),

2.56)

donde

Ø

es una función que depende sólo de x. Ahora, dado que

v

x

(x,y)

=

fux

(xti)dii +'(x),

72

3



= _uy(x,y)

-

f

u.(x,n)dn

4 , la expresión

Ø(x)

=c_fXuy(,y)d_fXu()d

c

es una contaste arbitraria. Finalmente, sustituyendo este resultado en

(2.56),

x

v(x,y)=c_f u

y

(y)d+f ux(x

7

1)d?1_f d1

2.57)

estas funciones,

u

y

y

la

f

ada en

(2.55) es una función

donde existan las integrales involucradas en el

2.25. Sea u


u(x,y)

=

y3

- 3x

2 y.

2.58)

y

que sea una armónica conjugada de u.

De la función propuesta u

y de la primera ecuación (2.44) tenemos que

v y (x,y)

=

—6xy.

y

v(x,y) = —

3xy2+4,(x),

2.59)

0

es una función a determinar. Tomando en cuenta la segunda igualdad (2.44)

3y 2

-3x

=3y2 — Ø'(x),

74

de donde es inmediato que 4 ,

está dada por 4 , (x) = x 3

+ c,

donde

c es una constante

arbitraria. Sustituyendo ésta

4 ,

en (2.59) nos queda v(x,y)

= x 3 - 3x 2 + c. De esta

forma, la función

f

efinida por

f(z) =

y3

- 3x2

y +

i(x3

-

32 + c),

es una función entera, que se puede escribir como

f(z) =

i( z 3

+

c), ya que

y 3

-3x

2 y+i(x3

-3xy

2 +c) =

i(x3

_32

—i(y

3

—3 x 2

y) +c)

i(x

3

+3x

2

(iy) +3x(iy)

2

+ (

iy )

3

+c)

i((x+iy)

3 +c)

Ejercicios 2.5.

1.

Suponga que la función

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) es analítica en un dominio

D.

Pruebe que en

D,

el jacobiano de las funciones

u

y

y

respecto a las variables x y

y, es igual a

If'(z)12.

2.

Pruebe que no existe una función entera f uya derivada

f'

sea la función

f'(z) = Rez.

3.

Sea S el conjunto dado por S =

{z

= re

9

/r > ;O

<

0 <2Jr}. Demuestre que

la función g definida por g(z) = In r

+

iO

es analítica en S, con derivada g' (z) =

z_

1

. Pruebe entonces que la función compuesta g(z

2 + 1)

es analítica en la

región

R = {z/Rez > O,lmz >

O}, con derivada

2z/(z 2

+ 1).

4.

Considere la función

f

definida por

f(z) = \/

(Rez) (Imz)

1 .

Pruebe que en z = O

f

satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero que no tiene derivada allí.

5.

Suponga que la función

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) satisface las siguientes condi-

ciones en el punto z:

(a )

las funciones componentes

u

y

y

son diferenciables,

(b )

existe el límite

7 5



lím

Étf(z)

Lz-O

LZ

Demuestre que o bien

f(z)

o bien

f(z)

es diferenciable en z.

Obtenga una armónica conjugada de la función

u

definida por

u(x,y) =x(1+ 22.

Suponga que

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

es analítica en una cierta región

R.

De-

muestre que en todo punto de

R

se verifica la igualdad

49udu

vdv

ax ay

xdy

que relaciona dos funciones arbitrarias, queda como

u(x,y) = f(z) + g(). In-

versamente, pruebe que

si f y

g son funciones analíticas, entonces,

u (x , y ) =

f(z) +g(Z) es una función armónica.

12.

Suponga que

w = f(z)

es una función que transforma el círculo

I z I

= r,

del

plano z en la curva

C del plano

w.

Demuestre que la curvatura

ic

de C

está dada

por

1

+Re(zf )(z)/f'(z))

Jzf'(z)

13.

Demuestre que

si f

es una función analítica en una región

R,

entonces, existe

una función analítica

f*

en la región

R,

simétrica a

R

con respecto al eje real,

tal que

f(2) =f*(

z

)

.

Si f(z) = u(x,y) + iv(x,y),

encuentre una función

y

de tal forma que

f

sea

analítica en alguna región, cuando

(a) u(x,y)=esenx,

b) u(x,y) = cosxcoshy,

(c) u(x,y) =x/(x

2

+y2

).

Suponga que

f

es una función analítica en el interior y sobre la frontera de un

disco unitario. Suponga además que

lf(z)l

1 cuando

I z I

1 y que

f(0) = O .

Demuestre que If

(z)I IzI,

cuando

I z I

< 1.

Suponga que

fI,f2.....f,

son funciones analíticas y que

If(z1)I 2

+

If(z2)I 2

+

+

If(z) 12

es una función armónica . Demuestre que cada

fk

es constante.

.

Escribiendo

M )

= f(x,y) = f

demuestre que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se convierten en

0, en cuyo caso resulta g'(z)

= af/dz.

Demuestre que en este contexto, la

ecuación de Laplace queda como

a

2 u(x,y) /dzdz =

O, y su solución g eneral,

76

7



Bibliografía

[1 ] Alhfors P., COMPLEX ANALYSIS, McGraw-Hill Book Co., USA, 1966.

[2 ] Arfken G., MATHEMATICAL METHODS FOR PHYSICISTS, Academic Press,

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México, 1992.

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[6 ]

Polya-Latta, VARIABLE C OMPLEJA, Limusa, México, 1991.

78

9



, función, 71

abierto, 32

acotado, 33

cenado, 32

cerradura de un, 32

conexo, 34

frontera de un, 31

imagen de un, 37

interior de un, 34

no acotado, 33

punto de acumulación de un, 33

punto exterior de un, 31

punto frontera de un, 31

punto interior de un, 31

continua, función, 53

continuidad, 43

continuidad de una función, 53

derivada, 58

de un cociente, 60

de un producto, 60

de una función, 58

de una suma, 60

desigualdad del triángulo, 17

diferenciable, función,

58

dominio, 34

ecuación(es) de

Cauchy Riemann, 67

una circunferencia, 15

una elipse, 19

una hipérbola, 19

una recta, 19

eje imaginario, 12

eje real, 12

entorno del punto

0 0 ,

52

esfera de Riemann, 52

fórmula de Euler, 22

forma exponencial de un complejo, 23

forma polar de un complejo, 20

frontera de un conjunto, 31

función armónica, 72

función armónica conjugada, 73

función compleja, 34

analítica, 71

continua en un punto, 53

continua en una región, 53

derivada de una, 58

diferenciable, 58

dominio de una, 35

entera, 71

límite de una, 43

recomido de una, 37

singularidad de una, 71

uniformemente continua,

55

función compleja de variable real, 36

función real de variable compleja, 36

funciones racionales,

55

imagen de un conjunto, 37

imagen inversa de un punto, 37

interior de un conjunto, 34

interpretación geométrica

de la suma, 13

de los números complejos, 12

del producto, 23

límite de una función, 43

módulo de un complejo, 13

número(s) complejo(s), 7

argumento de un, 20

campo de los, 8

conjugado de un, 13

forma exponencial de un, 23

forma polar de un, 20

igualdad de, 8

interpretación geométrica de los, 12

módulo de un, 13

operaciones con, 7

parte imaginaria de un, 8

parte real de un, 7

producto de, 7

raíces n-ésima de un, 25

suma de, 7

números imaginarios puros, 9

no acotado, conjunto, 33

parte imaginaria de un complejo, 8

parte real de un complejo, 7

plano

w, 37

plano z, 37

plano complejo, 12

plano complejo extendido, 52

polo norte, 51

potencias y raices, 19

proyección estereográfica, 52

punto de acumulación, 33

punto del infinito, 51

punto exterior de un conjunto, 31

punto frontera de un conjunto, 31

punto interior de un conjunto, 31

punto singular de una función, 71

raíces n-ésimas de la unidad, 25

raíces n-ésimas de un complejo, 25

recorrido de una función, 37

región, 34

regla de la cadena, 62

singularidad de una función, 71

topología básica, 31

transformación, 37

80

1



55

82



Variable compleja: la derivada de Manuel

Valadez Rodríguez se termino de imprimir

en diciembre de 2010 en los talleres de

REGRADI, S.A. de C.V., Mendelssohn

no. 142, Col. Vallejo, Delegación Gustavo

A. Madero, C.P. 07870 México, D.F. Tel.:

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La edición consta de 500 ejemplares y en

los interiores se utilizó papel cultural color

paja de 90 g, en los forros cartulina couché

cubierta brillante de 300g con acabado

plastificado mate.



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Variable Compleja. La Derivada