VBV

LA INTEGRAL DEFINIDA

1

Derivada Recta tangente

Integral Área

Entendemos: Área de una función f : región

comprendida entre la función y el eje X, entre dos líneas verticales.

2

3

Pensemos en como obtener el área bajo la función f

f(x)

Sabemos calcular el área de polígonos…

4

Podríamos …

x0 x1 x

f(x)

x2 x3 x4

Nosotros construiremos rectangulos!!!

5

En realidad…

Este es un problema muy antiguo (Arquimedes se plantea esto, pero son Newton y Leibniz los que lo resuelven).

Idea: Construir rectangulos “bajo” la curva f(x), encontrar el área de todos estos rectangulos.

Sea [a,b] un intervalo cerrado. Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-

intervalos no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que:

x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn

Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de [a,b]

6

Denotemos por Δxi la longitud de cada sub-intervalo tal que:

Δx1 = x1 – x0

Δx2 = x2 – x1

…Δxi = xi – xi-1

…Δxn-1 = xn-1 – xn-2

Δxn = xn – xn-1

Notar que Δxi corresponderá a la base de cada rectangulo.

7

A la longitud del sub-intervalo (o sub-intervalos) más largo de la partición P se llama norma de la partición y se le denota ||P||.

Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}

8

Ejemplo:

Considerar el intervalo [1,3] y construir una partición donde n=4.

9

Pensar en una partición para [a,b] Geométrica: a, ar, ar2,… arm, donde r0 Aritmética: a, a+d, a+2d, … a+md

10

PARTICIÓN GEOMÉTRICA

Se define r como la raíz n-ésima del cuociente: b/a

Se tiene: xi= x0*rn

Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi NO es constante .

11

PARTICIÓN ARITMÉTICA

Se define d=(b-a)/n Se tiene: xi= x0+id Notar que en esta partición la

amplitud de cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d.

Por esto, denotamos Δx=d.

12

Pensemos en la altura de cada rectángulo… Sea f : [a,b] una función acotada P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b] Para i = 1, . . . ,n denotamos: mi = inf { f (x) : x [xi-1 , xi ] }

Mi = sup { f (x) : x [xi-1 , xi ] }

Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el conjunto { f (x) : x [xi-1 , xi ] } es no vacío y acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.

13

14

DEF:SUMA INFERIOR de f asociada a P

i

n

1iiΔxm),(

Pfs

x1 x2 … xn-1 b=xna=x0

f

15

DEF:SUMA SUPERIOR de f asociada a P

i

n

1iiΔxM),(

PfS

x1 x2 … xn-1 b=xna=x0

f

Ejemplo:

Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2

Usando una partición con n=4.

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Proposición:

Para cada partición, se verifica: s(f,P) ≤ S(f,P)

Dem:mi ≤ Mi mi Δxi ≤ Mi Δxi

mi Δxi ≤ Mi Δxi

s(f,P) ≤ S(f,P)

17

Proposición:

P1 P2 s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1)

Dem:Pensar en agregar puntos (de a uno a

la partición P1).

18

Corolario:

Sean P1 y P2 dos particiones arbitrarias de [a,b]. Entonces:

m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a)

Además, si P= P1 P2 , entonces: s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)

19

DEF:INTEGRAL INFERIOR de f en [a,b]

b]}[a, de sparticione P:P), sup{s(f)( b

a

dxxf

20

DEF:INTEGRAL SUPERIOR de f en [a,b]

b

a

dxxf b]}[a, sparticione P:P), inf{S(f)(

21

OBS:

b

a

dxxf )( b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

22

DEF:

f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si:

Se escribe:

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

b

a

dxxf )(

23

Pensar en…

Alguna función que NO sea Riemann integrable.

24

Ejemplo: Calcular la integral de Riemann para

f(x)=x en [a,b]. Considerando las particiones

aritméticas: Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n} Se tiene que:

25

n

ababPfs n 2

)(

2),(

222

n

ababPfS n 2

)(

2),(

222

Pensar…

¿qué debe suceder para que …

??????26

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

Teorema

27

),(lim),(lim0||||0||||

nP

nP

PfSPfsnn

Si la norma de la partición Pn se aproxime a cero, la suma inferior y superior coinciden.

Esto es

Notar que es equivalente a decir:),(lim),(lim

||n

nn

nPfSPfs

OBS:

28

Si hacemos que la norma de la partición Pn se aproxime a cero.

Entonces, la suma de Riemann se aproximará a un valor A que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) y el eje x desde a hasta b.

n = 3 rectángulos

Veamos esto geometricamente…

n = 6 rectángulos

n = 12 rectángulos

n = 24 rectángulos

n = 48 rectángulos

n = 99 rectángulos

La integral definida plantea el límite de una suma de áreas.

b

a

dxxfÁrea )(

Interpretación …

Teorema Considere una sucesión de

particiones Pn de un intervalo [a,b] tales que:

y,

Entonces, f es Riemann integrable,

0||||lim Pn

n

0)},(),({lim

PnfsPnfSn

b

ann

dxxfPnfsPnfS )(),(lim),(lim

36

Ejercicios:

1. Construir 10 sub-intervalos para [0,1] usando la partición:

2. Sea f(x) = x2. Considerar una partición del intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo largo. Encontrar las sumas de riemann.

37

Definición:

Sea f : [a,b] una función acotada P una partición de [a,b] Una SUMA DE RIEMANN para la

función f respecto a la partición P es una suma finita de la forma:

38

],[;Δx)(),,( 1i

n

1ii iiii xxfPfS

39

En la grafica hemos considerado el punto medio de cada sub-intervalo.

x1 x2 … xn-1 b=xna=x0

f

0

y

x

y = f(x)

x0=a xn=bx1 x2 xn-1xixi-1

• • • • • • • • • •

Δ1x Δ2x Δix ΔnxΔn-1x… …

•

• •

•

•

••

•

••

w1 w2 wi wn-1 wn

Otra grafica…

Ejemplo:

Calcular la suma de riemann en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2

Usando una partición con n=4.

41

OBS:

Cuando la función considerada es continua la suma superior e inferior corresponde a la suma de Riemann.

Escribimos:

Para denotar que:

42

LPfS in

),,(lim

|),,(|||||..,0,0 LPfSPqt i

Propiedades:

Sean f,g : [a,b] acotadas e integrables.

Se cumple:

43

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.

44

Rdxxfdxxfb

a

b

a

,)()(

0)(0)( b

a

dxxfxf

b

a

b

a

dxxgdxxfbaxxgxf )()(],[),()(

b

a

b

a

dxxfdxxf |)(|)(

Proposición(Aditividad):

Si f : [a,b] es acotada e integrable, y para todo c [a , b] .

Se cumple: f es integrable en los intervalos [a ,

c ] y [c , b]. Además se verifica el reciproco.

45

c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Ejercicio

Sea f una función continua en 1, 5, si:

5

1

3

17)(4)( dxxfydxxf

Determine el valor de:

5

3)( dxxf

Definición:

Sea f : [a,b] acotada e integrable. Definimos:

47

0)( a

a

dxxf

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

Teorema:

S f : [a,b] es monótona entonces f es integrable.

48

Observación

Muchas de las funciones con las cuales se trabaja en cálculo son monótonas por intervalos.

Por la propiedad de aditividad y este teorema podemos argumentar la integrabilidad de prácticamente todas las funciones

elementales como por ejemplo ex , lnx,arctanx,etc.

49

Teorema:

S f : [a,b] es continua entonces f es integrable.

50

Teorema:

Si f : [a,b] es continua en [a , b] excepto en x0 , x1 , x2 , …, xn

Entonces, f es integrable en [a,b]. Además, se verifica:

51

o

o n

x

a

x

x

b

x

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxf1

)(...)()()(

Definición:

Sea f : [a,b] integrable . se define el VALOR PROMEDIO de f en

[a,b] por:

52

b

a

dxxfab

fAV )(1

)(

Teorema:

Sea f : [a,b] continua. Entonces existe c[a,b] tal que f ( c ) =

AV(f).

53

Ejercicios

Calcular:

Dem.

¿Qué valores de a y b maximizan el valor de

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4

0

][)2( dxx

abb

a

x eedxe

b

a

dxxx )( 2

?340

)41(3

2

2

dxx

Justificando su respuesta, responda lo siguiente:

¿Será correcto afirmar que:

a)

b)

1

0

1

02

1

12 )1(

2)1(

12

)1(1

x

dxx

dxx

Determine el valor de “ ” tal que:

2)23(1

2 dxxx

k

k

Se muestra al grafica de f . Usando fórmulas geométricas.

Evaluar y calcular el área representada por la integral.

f

9

3)( dxxf

9

3)( dxxf

21 ;21

11- ; 2-x )(

xx

xxf

2

1

dxxf

Sea:

Calcular