Universidad de las Fuerzas Armadas – ESPE

Vibraciones

Vibración libre con amortiguamiento

viscoso en sistemas de 2GL

Esteban Medina A.

NRC 2295

10 de agosto de 2015

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Contenido Introducción ................................................................................................................................................. 3

Ecuaciones de Movimiento ..................................................................................................................... 4

Vibraciones amortiguadas para sistemas de N grados de libertad ......................................... 4

Amortiguamiento proporcional ........................................................................................................ 4

Amortiguamiento no-proporcional ................................................................................................. 5

Ejemplo ....................................................................................................................................................... 5

Comparación del comportamiento vibratorio de sistemas lineales y no-lineales ........ 7

Conclusiones ................................................................................................................................................. 9

Recomendaciones ....................................................................................................................................... 9

Bibliografía .................................................................................................................................................... 9

Índice de Gráficos

Figura 1. Sistema de dos grados de libertad…………………………………………………..……....3

Figura 2. Sistema de dos grados de libertad

con amortiguamiento viscoso………………………….…………………………………………..…..…..5

Figura 3. Captura de pantalla de MatLAB

para ejercicio 1……………………………………………….……………………….…………………..……....6

Figura 4. Comportamiento lineal y no-lineal

(resorte duro y resorte blando) de un elemento elástico………………………………..……..…8

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Introducción Se ha comprobado que muchos sistemas reales se pueden modelar con buena

aproximación mediante sistemas de un sólo grado de libertad. Sin embargo, hay casos

en que esto no es posible. Por ejemplo, en los sistemas formados por varios sólidos

rígidos unidos por elementos elásticos, como los mostrados en la figura 1. En esos

casos, excepto en condiciones de movimiento muy concretas, el estudio del

comportamiento de los sistemas no puede hacerse con modelos tan simples como los

de un grado de libertad.

Figura 1. Sistema de dos grados de libertad

Con los métodos numéricos existentes hoy en día, principalmente el de elementos

finitos, es posible analizar una máquina en su forma real. Sin embargo, esto

frecuentemente conduce a un análisis muy largo y complicado y a la obtención de

mucha información que no era requerida.

En muchos análisis de máquinas y estructuras es conveniente sustituirlas por un

simplificado modelo matemático que:

1) Se adapte mejor al cálculo matemático

2) Tenga la exactitud requerida.

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Ecuaciones de Movimiento Los sistemas de N grados de libertad pueden escribirse en forma matricial:

Dónde:

Vibraciones amortiguadas para sistemas de N grados de libertad Se ha visto que el amortiguamiento no tiene influencia en la respuesta estacionaria en

las zonas alejadas de las resonancias, y por lo tanto, se puede despreciar.

Amortiguamiento proporcional

Se llama amortiguamiento proporcional, al amortiguamiento que es proporcional a la

matriz de masa y/o matriz de rigidez, es decir, cuando:

Siendo a, b constantes.

De aquí podemos definir que cuando el amortiguamiento es proporcional:

Los modos de vibrar son reales, e iguales al sistema conservativo asociado

Se pueden desacoplar las ecuaciones del movimiento

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Entonces de las ecuaciones de movimiento se da:

Amortiguamiento no-proporcional

Cuando no se satisface los requerimientos indicados, el amortiguamiento es no-

proporcional, lo que trae como consecuencia:

1. No se pueden desacoplar las ecuaciones del movimiento. La matriz de

amortiguamiento no es diagonal.

2. Los modos de vibrar no son reales, son cantidades complejas. Físicamente significa

que las diferentes masas no llegan a sus posiciones extremas al mismo tiempo, sino

que desfasadas (por lo tanto ya no se puede hablar de la deformada o forma de

vibrar).

Ejemplo

Determinar para el sistema de la figura 2, las frecuencias naturales y modos de vibrar

para:

Figura 2. Sistema de dos grados de libertad con amortiguamiento viscoso

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Utilizando el programa MatLAB desarrollamos la ecuación y obtenemos los siguientes

resultados:

Figura 3. Captura de pantalla de MatLAB para ejercicio 1

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Comparación del comportamiento vibratorio de sistemas lineales y no-

lineales

En general las máquinas y estructuras tienen un comportamiento aproximadamente

lineal. Sin embargo, bajo ciertas circunstancias las máquinas tienen un

comportamiento no-lineal. Las causas más frecuentes de no linealidades en las

máquinas se genera cuando la relación entre la fuerza que genera el elemento elástico

(modelado por un resorte) y su deformación no siguen una relación lineal.

En la Figura 4 muestra el comportamiento de un resorte con comportamiento lineal,

con comportamiento de resorte “duro” y con comportamiento de “resorte blando”.

Cuando la relación existente entre la fuerza aplicada al resorte y su deformación es

como la indicada en la curva superior, se dice que el resorte tiene comportamiento de

resorte “duro”, pues para obtener un determinado desplazamiento de él, se requiere

una fuerza mayor que la requerida si hubiese tenido comportamiento lineal. Cuando la

relación existente entre la fuerza aplicada al resorte y su deformación es como la

indicada en la curva inferior, se dice que el resorte tiene comportamiento de resorte

“blando”, pues para obtener un determinado desplazamiento de él, se requiere una

fuerza menor que la requerida si hubiese tenido comportamiento lineal.

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Figura 4. Comportamiento lineal y no-lineal (resorte duro y resorte blando) de un

elemento elástico

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Conclusiones

Cuando la máquina tiene comportamiento lineal, las frecuencias naturales de

ellas son independientes de la amplitud vibratoria con que ellas vibren

libremente. Estas frecuencias naturales solo dependen de la rigidez y de la

masa del sistema vibrando, es decir, son unas constantes.

Cuando la máquina tiene comportamiento no-lineal, las frecuencias naturales

de ellas son dependientes de la amplitud vibratoria con que ellas vibren

libremente, por lo tanto no son unas constantes características de las

propiedades de rigidez y masa del sistema. La línea punteada de la figura

muestra como aumenta (en el caso de un resorte duro) la frecuencia natural

con la amplitud de las vibraciones.

Los amortiguadores de tipo viscos se añaden a propósito a los sistemas

mecánicos para limitar o regular la vibración.

Los amortiguadores viscosos son considerados lineales, es decir, el módulo de

la fuerza de amortiguamiento viscoso es directamente proporcional a la

celeridad con que se extiende o comprime el amortiguador.

Recomendaciones

Al consultar temas de vibración con amortiguamiento viscoso en dos grados de

libertad, primero es muy necesario entender temas básicos como vibración con

amortiguamiento en un grado de libertad, que es amortiguamiento viscoso,

como se representan y las características de los amortiguadores de tipo

viscoso, etc.

La constante de proporcionalidad para amortiguamientos viscosos se la

denomina “c”, mientras que la constante de un resorte se la denomina “k”, es

importante diferenciar estos dos elementos.

Bibliografía

Universidad de Sevilla. (2010). Recuperado el 10 de agosto de 2015, de

https://rodas5.us.es/items/1a6a99ca-ad0b-247c-c02f-

431220495b70/2/viewcontent?_sl.t=true

Chapra. (2007). Métodos Numéricos para Ingenieros. McGraw-Hill.

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Riley, W. (1994). Ingeniería mecánica: Dinámica. Barcelona: Reverté.