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VIBRACIONES TORSIONALES
El caso más simple de vibración torsional se puede observar al hacer oscilar un disco de
alto momento de inercia
Para inducir la vibración , desplazamos el disco un ángulo A y luego se libera para que vibre libremente en un modo angular o torsional. Suponiendo: El momento de inercia de la flecha es
despreciable comparado con el de la masa abultada.
No hay amortiguamiento
Considerando que el único par que actúa es la del resorte aplicado por la flecha al tener un desplazamiento angular del disco, el par del
resorte será:
Donde:
Kt = constante de torsión de la flecha del resorteθ = Desplazamiento angular( - ) = Signo indica que el sentido del par es opuesto al desplazamiento
También la ecuación del movimiento angular del disco se puede expresar así:
Donde:I = momento de inerciaα = aceleración angular instantánea
Igualando los pares:
Sabemos:
Θ y t son variables de la ecuación, es una ecuación diferencial homogénea, cuyo resultado es:
En las condiciones de frontera:
Reemplazando C1 y C2:
Es la ecuación del movimiento armónico simple mostrado por la curva para el que la frecuencia circular es:
Y la frecuencia cíclica será:
La constante K es el par T necesario para torcer un extremo de la flecha con relación al otro un ángulo unitario ф , de esta manera:
Para flechas de sección transversal circular:
Donde:G : Módulo de rigidezJ : momento polar de inercia del área transversal
L : longitudd : diámetroM : masa del discor : radio de giro del discoW : peso
VIBRACIÓN TORSIONAL DE UNA FLECHA CON DOS DISCOS
Para determinar la frecuencia torsional natural del sistema no rotatorio. Si se desplaza disco 1 un
determinado ángulo mediante la aplicación de un par, mientras que se mantiene al disco 2 por medio de un par torsión resistente igual, entonces cuando
se quiten los pares los discos vibrarán torsionalmente con alguna frecuencia natural.
Cuando la fase del disco 1 es el ángulo θ1 la fase del disco dos es θ2 que atrasa al disco 1 en θ1- θ2.
el par de la flecha que como un resorte de torsión que actúa en cada uno de los cuerpos libre es:
Para tener equilibrio torsional de la flecha , los pares de la flecha son los mismos en magnitud pero en sentido puesto.Se escriben las ecuaciones de movimiento de los dos discos:
Suponiendo que los movimientos torsionales de los discos son armónicos, se aplican las
siguientes soluciones:
sustituyendo:
Cualquiera de las ecuaciones da la frecuencia natural circular de vibración.
Para esto se requiere para tener equilibrio de los pares en la flecha, también que :
Sustituyendo y resolviendo:
En consecuencia se puede eliminar los términos de la amplitud:
Obteniendo nueva expresión para la frecuencia natural circular del sistema:
Y la frecuencia cíclica es:
La frecuencia torsional natural es independiente de la velocidad de la flecha. Sin embargo la velocidad de la flecha
es importante si la frecuencia perturbadora o torsional forzada f relacionada con la velocidad de la flecha coincide con la frecuencia torsional natural fn como para provocar
resonancia.
La frecuencia perturbadora depende no únicamente de la velocidad de la flecha sino también del numero de
perturbaciones por revolución.
f= Nn
Donde:N : número de álabes o perturbaciones por revoluciónn: velocidad de la flecha en Rev. por min
Si f coincide con fn entonces n será la velocidad critica torsional de la flecha.
VIBRACIÓN TORSIONAL PARA MUCHOS DISCOS
En el caso de tres discos:
En el caso de más discos la ecuación se hace cúbica y de mayor orden lo que da un número de
frecuencias naturales igual al número de secciones de la flecha.
