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EJERCICIOS RESUELTOS. LA INTEGRAL INDEFINIDA.
1. Integración por partes: ( pág. 350)
12.
e) ∫ xexdx=¿
Hacemos: u = x d u = d x
dv = 1ex
dx v = ∫ e−x dx=−e− x
∫ xexdx=−xe− x+∫ e−x dx=¿−xe− x−e−x+c ¿
f) ∫ arcos x dx=¿¿
Hacemos: u = arc cos x d u = −1
√1−x2 d x
dv = dx v = x
∫ arcos x dx=¿ x·arc cosx+∫ x√1−x2
dx=x·arc cosx−√1−x2+C ¿
13.
c) ∫ ex · cosx dx Hacemos: u = ex d u = ex d x
dv = cos x dx v = sen x
∫ ex · cosx dx=ex · senx−∫ ex senx dx = (*)
Calculamos ∫ ex senx dx otra vez por partes:
u = ex d u = ex d x
dv = sen x dx v = - cos x
(*) = ex · senx−(−ex · cosx+∫ ex · cosx dx )=ex · senx+ex ·cos x−∫ ex · cosx dx
Pasando al primer miembro ∫ ex · cosx dx quedaría:
2 ∫ ex · cosx dx=ex · senx+ex ·cos x . Así la integral pedida será:
∫ ex ·cos x dx= ex · sen x+ex ·cos x
2+C
2. Integrales por sustitución. ( Pág. 351)
Ejercicios 16. A) ∫ dxx−√ x
; Hacemos el cambio x=t 2 entonces dx=2t·dt
Sustituyendo: ∫ dxx−√ x
=∫ 2 t dtt2−t
=∫ 2 t dtt ( t−1 )
=¿∫ 2(t−1)
dt=2 ln|t−1|+C ¿;
deshaciendo el cambio de variable; ∫ dxx−√ x
dx=2 ln|√ x−1|+C
16) b) ∫ x· 3√ x+2dx Se hace el cambio : x+2=t 3 d x = 3 t2
∫ ( t3−2 )· t 3 t 2dt=∫ (3 t 6−6 t 3 )dt=3 t7
7−6 t
4
4+C=3
73√( x+2 )7−3
23√ ( x+2 )4
PARA RESOLVER:
18) A) ∫ x+2x2+1
dx=∫ xx2+1
dx+∫ 2x2+1
dx=12ln x+2arc tagx+C
b) ∫ 1(x2−1 )2
dx=¿¿ Descomponiendo el denominador en producto de factores; el
denominador tiene factores lineales múltiples:
1(x2−1 )2
= 1( x−1 )2 · (x+1 )2
= Ax−1
+ B( x−1 )2
+ C(x+1)
+ D( x+1 )2
Calculando como siempre se obtiene A = −14 ; B =
14 C =
14 y D =
14 .La integral pedida
es :
∫ 1(x2−1 )2
dx=¿− 14 [ln|x−1|+ 1
x−1−ln|x+1|+ 1
x+1 ]+C ¿
f) ∫ 3 x−12 x2+8
dx el denominador no tiene raíces reales, es del tipo logaritmo- arco tangente.
∫ 3 x−12 x2+8
dx=∫ 3x2x2+8
dx−∫ 12 x2+8
dx
∫ 3 x2 x2+8
dx=14∫
4 ·3x2x2+8
dx=34∫
4 x2 x2+8
dx=34ln|2 x2+8|
∫ 12 x2+8
dx=∫18
1+( x2 )2 dx=
14∫
12
1+( x2 )2 dx=
14arc tg( x2 )
∫ 3 x−12 x2+8
dx=34ln|2 x2+8|− 1
4arc tg( x2 )+C
19) A) ∫ lnxx dx = ∫ 1x lnxdx=ln2 x2
+C
