Instrucciones:
1. Si lo desea, puede imprimir este documento, responder directamente en su cuaderno de asignatura o responderla en computador y enviarla por correo electrónico.
2. Lea atentamente cada explicación del contenido para luego responder las actividades.
3. El tiempo estimado para realizar cada una es de hora y media cada día.
4. Administre eficientemente su tiempo, comience por aquellas preguntas en las que tiene mayor dominio y deje las preguntas más desafiantes para el final.
5. Revise sus respuestas las veces que sea necesario.
6. Si tienes alguna duda durante la realización de esta guía no dudes en contactarme al mail: vanessa.machuca@cmdr.cl estaré atenta para revisar tus consultas.
7. Esta guía será evaluada con un porcentaje de logro del 0% al 100%, para luego ser convertida a una calificación del 1 al 7. Su calificación equivaldrá al 20% del promedio final de la asignatura.
“Razones trigonométricas”
En esta guía encontraras los contenidos priorizados, según la propuesta ministerial, que van en busca de comprender las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo, y sus aplicaciones en el cálculo de medidas y situaciones cotidianas.
CRONOGRAMA DE APOYO ZOOM
Estimados padres, apoderados y estudiantes, la siguiente tabla ordena los contenidos que se trabajarán semanalmente en los apoyos virtuales vía Zoom. Quedan cordialmente invitados a seguir participando activamente en estas instancias para aclarar dudas y responder inquietudes.
Fecha
332 410 2235
02
Aplicar ángulos notables, para encontrar los lados un de un triángulo rectángulo.
332 410 2235
03
Aplicar razones trigonométricas y ángulos notables para encontrar el valor del ángulo.
332 410 2235
Resolver problemas que involucren la aplicación de razones trigonométricas en diversos contextos.
332 410 2235
INTRODUCCIÓN A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
La trigonometría, es una rama de la matemática que estudia principalmente las relaciones establecidas entre los lados y los ángulos de un triángulo. Etimológicamente es “la medición de los triángulos”.
Algunos conceptos elementales:
· Para esta unidad enteremos dos tipos de ángulos:
I) ángulo de elevación: ángulo formado por la línea horizontal del campo visual y la línea localizada hacia arriba.
II) Ángulo de depresión: ángulo formado por la línea horizontal del campo visual y la línea localizada hacia abajo.
Como lo muestra la siguiente imagen:
· Cateto opuesto: es él lado del triángulo que esta opuesto al ángulo a trabajar.
· Cateto adyacente: es él lado del triángulo que esta al lado del ángulo a trabajar.
· Hipotenusa: es el lado opuesto al ángulo recto del triángulo.
¡Ahora veremos cómo utilizar las razones trigonométricas!
CLASE 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
· Utilizaremos la esta ocasión solo triángulos rectángulos, a partir de ellos se generarán razones (divisiones), que siempre cumplen con una proporción establecidas.
· Las tres principales razones son: seno, coseno y tangente, de ellas se derivan sus inversas cotangente, secante y cosecante.
Observemos el siguiente triángulo:
Si utilizamos el ángulo , diremos que su cateto opuesto es a, y su cateto adyacente es b.
Además, veremos que las razones trigonométricas de este triángulo asociadas al ángulo , son las razones obtenidas entre los tres lados del triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de los lados a,b y c.
Razones principales
·
seno del ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto (co) y la hipotenusa (hip).
· Coseno del ángulo se define como la rzón entre el cateto adyacente (ca) y la hipotenusa (hip).
· Tangente del ángulo
Se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Razones inversas
· cotangente del ángulo se define como la razón entre el cateto adyacente (ca) y cateto opuesto (co).
· secante del ángulo se define como la rzón entre el hipotenusa (hip) y el cateto adyacente (ca).
· cosecante del ángulo Se define como la razón entre la hipotenusa (hip) y el cateto opuesto (co).
Una forma de recordar es utilizar lo siguiente:
sen
Cos
A partir de los siguientes triángulos encontremos las razones asociadas:
Para determinar las razones del siguiente triángulo, utilizaremos el ángulo en D.
Recordemos la tablita de “cocacocahiphip”
· sen D=
Recuerda que el co: cateto opuesto al ángulo a trabajar, ca: cateto adyacente al ángulo, hip: hipotenusa del triángulo.
· cos D =
· tag D =
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
¡Ahora, hazlo tú!
I. Identifica en el siguiente triángulo las razones trigonométricas del ángulo en E.
· Sen E=
· Cos E=
· Tg E=
· Cotg E =
· Sec E=
· Cosec E =
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II. Completa calculando aproximadamente seno, coseno y tangente del ángulo .
¿es cierto que el ? ¿existen otras igualdades? Justifica.
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III) Analiza cada triángulo. Luego, determina el valor de x completando cada desarrollo.
Para finalizar…
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INTRODUCCIÓN AL NUEVO CONTENIDO
Objetivo: Aplicar ángulos notables, para encontrar los lados un de un triángulo rectángulo.
En la clase anterior vimos cuales son las razones trigonométricas relacionadas a un triángulo rectángulo para esta ocasión.
En la clase de hoy trabajaremos con valores de los ángulos más esenciales.
ÁNGULOS NOTABLES
Los ángulos notables son aquellos, en donde los podemos determinar de manera más fácil, ya que aparecen de forma más cotidiana en nuestra vida, los principales son 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Pero ¿cómo podemos determinarlos?
0°
30°
45°
60°
90°
Sen
0
1
Cos
1
0
tg
0
1
indefinido
Ojo! Para saber como armar la tabla utilizaremos los siguientes pasos:
Paso 1: completar en la primera fila los ángulos notables, y en la primera columna seno, coseno y tangente.
Paso 2: escribir los números del cero al 4 (uno en cada casilla) de la fila seno, escribir los números del 4 al cero (uno en cada casilla) de la fila coseno.
Paso 3: a los números ubicarlos ponerles una raíz, y dividirlos en 2 (cada uno de ellos).
Paso 4: Resolver lo que se pueda resolver, para que quede un poco más simple.
Paso 5: Para formar los valores de la tangente, debemos dividir seno entre coseno, en cada uno de ellos. Y listo!
Ahora utilicémoslos para encontrar los valores de algunos lados del triángulo.
PRÁCTICA GUIADA
¿Cómo podemos determinar el valor del lado BC?
Para determinar la medida del lado BC, debemos escoger uno de los ángulos a utilizar, para esta ocasión utilizaremos el ángulo de 30°.
Paso 1: si utilizamos el ángulo de 30°, además, tenemos el valor de la hipotenusa del triángulo la cuál es 16 mm. Por otra parte, la incógnita es el cateto opuesto a 30°. Debemos pensar cuál de nuestras razones utiliza cateto opuesto e hipotenusa. (mirar clase 1).
Paso 2: cómo podemos ver, la razón a utilizar será seno, entonces reemplazamos.
Paso 3: diremos entonces que,
Paso 4: reemplazar el valor del seno de 30°. (mirar tabla más arriba).
Paso 5: reemplazamos y resolvemos, , entonces
Por lo tanto, el lado BC es 8mm.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
¡Ahora, hazlo tú!
I. Observa cada uno de los triángulos y la información entregada, para encontrar los lados pertinentes.
¿Cuál es la medida de los lados PQ y PR?
Si , ¿cuál es la medida de x?
Si , ¿Cuál es la medida de x?
II. Sin utilizar calculadora, determina el valor de las siguientes expresiones.
a.
b. =
c.
d.
Para finalizar…
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Objetivo: Aplicar razones trigonométricas y ángulos notables para encontrar el valor del ángulo.
En esta clase utilizaremos lo las razones trigonométricas y los ángulos notables para encontrar la medida de los ángulos de un triángulo.
Ejemplo:
¿Cuál es el valor del ángulo en el siguiente triángulo?
Para determinar el valor del ángulo debemos generar una razón trigonométrica que cumpla con las informaciones entregadas en la imagen adjunta.
Observemos que las medidas que nos proporciona la imagen es 2 la cual representa a la hipotenusa del triángulo y que es el cateto opuesto al ángulo buscado. Usamos entonces el seno del ángulo.
Tenemos que:
Ahora debemos buscar en nuesra tabla donde coincida seno y
Entonces el ángulo es 60°.
Ahora utilicemos lo aprendido en algunos ejercicios en conjunto!
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
¡Es importante que recuerdes muy bien como utilizar y crear la tabla de ángulos notables!
I. De los siguientes triángulos obtén las medidas de los ángulos y los lados faltantes.
II. Lee atentamente la siguiente situación y responde lo solicitado. Haz un bosquejo de la situación para ayudarte.
La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 18m y el ángulo que forma este respecto al suelo es de 30°. ¿A qué altura está el volantín?
Para finalizar…
1) ¿Qué estrategias utilizaste para resolver lo anterior?
2) ¿has podido completar el trabajo sin problemas?
3) ¿Qué es lo que debo recordar para poder resolver de buena forma los problemas de situaciones cotidianas?
4) ¿Qué es lo que debes reforzar?, anótalo y cométalo en clase zoom.
¡Ahora puedes descansar!
Objetivo: Resolver problemas que involucren la aplicación de razones trigonométricas en diversos contextos.
Ya estamos llegando al final, es momento de que pongamos a prueba lo aprendido en situaciones cotidianas.
Es muy importante que:
· Siempre realices un dibujo de la situación, y en el anotes los datos entregados.
· Esto ayudará a que puedas identificar los datos que posees, y las razones que puedes utilizar.
· Luego de esto puedes hacer el trabajo algebraico.
· Siempre regresa al enunciado y responde lo que se solicitó.
PRÁCTICA GUIADA
Leamos la siguiente situación:
Violeta sube un resbalín que tiene una inclinación de 30° y 3m de longitud. ¿Cuál es la mayor altura que Violeta puede alcanzar?
Lo primero es realizar un dibujo de la situación:
Observemos que la medida del resbalín es de 3m, y que el ángulo de inclinación siempre corresponderá a un ángulo de elevación. Además, tenemos que nuestra incógnita será la altura máxima.
Con los datos ordenados en la imagen adjunta, podemos apreciar que poseemos la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo. Utilizamos entonces el seno del ángulo.
Entonces la máxima altura será 1,5m.
IMPORTANTE
Debemos siempre recordar nuestras razones con el uso de “cocacocahiphip” y la tabla de ángulos notables.
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
¡Ahora, hazlo tú! Utiliza lo aprendido a lo largo de las clases para resolver los siguientes problemas. Recuerda en todos realizar un dibujo de la situación.
a. Un edificio tiene una altura de 72m. Cuando el sol tiene un ángulo de elevación de 30°, ¿qué medida tiene la sombra que proyecta el edificio?
b. Un avión se encuentra a 2100m de altura cuando comienza si descenso para aterrizar. ¿A qué distancia se encuentra la pista de aterrizaje, si para bajar aplica un ángulo de depresión de 60°?
c. Alejandro está recostado en una plaza y observa desde el piso un edificio de 110m de alto. Si e edificio está a una distancia de 110m, ¿cuál es el ángulo de elevación con el que Alejandro lo observa?
d. Una palmera proyecta una sombra de 12m en el suelo. Si el ángulo de elevación respecto a la parte más alta del árbol es tal que su tangente es 0,7. ¿cuál es la altura de la palmera?
e. Desde un faro que se encuentra a 28m sobre el nivel del mar, se observa un bote con un ángulo de depresión de 60°. ¿cuál es la distancia entre el punto de observación y el bote?
REFLEXIONEMOS SOBRE NUESTRO TRABAJO
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