Funciones Exponenciales y Logarıtmicas
David J. Coronado1
1Departamento de Formacion General y Ciencias BasicasUniversidad Simon Bolıvar
Matematicas I
D. Coronado Exponenciales y Logaritmos
Contenido
1 Funciones Exponenciales y LogarıtmicasFunciones ExponencialesExponencial Natural
2 Funciones LogarıtmicasFunciones Logarıtmicas GeneralesLogaritmo Natural
D. Coronado Exponenciales y Logaritmos
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1 Funciones Exponenciales y LogarıtmicasFunciones ExponencialesExponencial Natural
2 Funciones LogarıtmicasFunciones Logarıtmicas GeneralesLogaritmo Natural
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Exponenciales LogaritmosFunciones Logarıtmicas
Funciones ExponencialesExponencial Natural
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1 Funciones Exponenciales y LogarıtmicasFunciones ExponencialesExponencial Natural
2 Funciones LogarıtmicasFunciones Logarıtmicas GeneralesLogaritmo Natural
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Exponenciales LogaritmosFunciones Logarıtmicas
Funciones ExponencialesExponencial Natural
Funciones Exponenciales
La funcion f (x) = 2x se denomina funcion exponencial ya que lavariable x es un exponente.No la debemos confundir con la funcion g(x) = x2, en la cual lavariable es la base.Grafiquemosla
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Funciones ExponencialesExponencial Natural
Funciones Exponenciales
La funcion f (x) = 2x se denomina funcion exponencial ya que lavariable x es un exponente.No la debemos confundir con la funcion g(x) = x2, en la cual lavariable es la base.Grafiquemosla
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Funciones ExponencialesExponencial Natural
Funciones Exponenciales
La funcion f (x) = 2x se denomina funcion exponencial ya que lavariable x es un exponente.No la debemos confundir con la funcion g(x) = x2, en la cual lavariable es la base.Grafiquemosla
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Funciones Exponenciales
De manera general, una funcion exponenciales una funcion de la forma
f (x) = ax
donde a es un entero positivo (constante).
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Funciones Exponenciales
Recordemos ahora,que significa ax :
Si x = n, un entero positivo, tenemos que
an =
n−veces︷ ︸︸ ︷a · a · · · · · a
Si x = 0 entonces a0 = 1 y si x = −n (n-positivo) entonces
a−n =1
an
Si x ∈ Q, x = p/q con p, q ∈ Z, q > 0, tenemos
ax = ap/q =q√
ap = ( q√
a)p
¿Que significa si x /∈ Q? por ejemplo ¿que significa 2√
3?
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Funciones Exponenciales
Para calcular 2√
3, lo que haremos sera tomar aproximaciones: esdecir
como 1, 7 <√
3 < 1.8 tenemos que 21,7 < 2√
3 < 21.8
Haciendo mejores aproximaciones nos queda la siguiente tabla
1, 7 <√
3 < 1.8 ⇒ 21,7 < 2√
3 < 21.8
1, 73 <√
3 < 1.74 ⇒ 21,73 < 2√
3 < 21.74
1, 732 <√
3 < 1.733 ⇒ 21,732 < 2√
3 < 21.733
1, 7320 <√
3 < 1.7321 ⇒ 21,7320 < 2√
3 < 21.7321
......
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Funciones ExponencialesExponencial Natural
Funciones Exponenciales
Se puede demostrar, que existe exactamente un numero mayor que21,7, 21,73, 21,732, 21,7320, . . . y menor que21,8, 21,74, 21,733, 21,7321, . . .. Definimos ese numero como 2
√3. Ası
2√
3 ≈ 3.321997 . . .
Veamos algunas graficas, recordemos que a0 = 1 para toda a > 0:
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Funciones Exponenciales
Se puede demostrar, que existe exactamente un numero mayor que21,7, 21,73, 21,732, 21,7320, . . . y menor que21,8, 21,74, 21,733, 21,7321, . . .. Definimos ese numero como 2
√3. Ası
2√
3 ≈ 3.321997 . . .
Veamos algunas graficas, recordemos que a0 = 1 para toda a > 0:
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Funciones Exponenciales
Ejemplo
Grafique las siguientes funciones e indique dominio y rango:
1 y = 2x
2 y = 4x
3 y = 10x
4 y =(
12
)x5 y = 1x
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Funciones Exponenciales
Recordemos la regla de los exponentes:
Teorema (Regla de los Exponentes)
Si a, b son numeros positivos y x , y ∈ R. Entonces
1 ax+y = axay
2 ax−y = ax
ay
3 (ax)y = axy
4 (ab)x = axbx
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Ejemplo
Usando reflexiones y traslaciones, esboce las graficas de
y = 3− 2x
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Funciones ExponencialesExponencial Natural
Funcion Exponencial Natural
Como veremos mas adelante, muchas de las formulas en el calculose ven simplificadas si utilizamos como base el numero e, este estadado por
e = 2, 71828 . . .
Cuando usamos este numero como base, llamamos a la funcionexponencial natural. La denotamos como
exp x = ex
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Funciones ExponencialesExponencial Natural
Funcion Exponencial Natural
Como veremos mas adelante, muchas de las formulas en el calculose ven simplificadas si utilizamos como base el numero e, este estadado por
e = 2, 71828 . . .
Cuando usamos este numero como base, llamamos a la funcionexponencial natural. La denotamos como
exp x = ex
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Funcion Exponencial Natural
Veamos como con su grafica, graficaremos la funcion y = 12 e−x − 1
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Funciones Logarıtmicas
Si a > 0 y a 6= 1, la funcion exponencial f (x) = ax es siemprecreciente o decreciente, por lo tanto es inyectiva y tiene inversa.Esta inversa se denomina funcion logaritmo con base a y se denotapor loga.
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Funciones Logarıtmicas GeneralesLogaritmo Natural
Funciones Logarıtmicas
Si a > 0 y a 6= 1, la funcion exponencial f (x) = ax es siemprecreciente o decreciente, por lo tanto es inyectiva y tiene inversa.Esta inversa se denomina funcion logaritmo con base a y se denotapor loga.
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Funciones Logarıtmicas
Recordando la definicion de inversa y aplicandola a la funcionexponencial
f −1(x) = y ⇔ f (y) = x
loga x = y ⇔ ay = x
Por propiedades de la inversa,
loga(ax) = x , para cada x ∈ Raloga x = x , para cada x > 0
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Recordando la definicion de inversa y aplicandola a la funcionexponencial
f −1(x) = y ⇔ f (y) = x
loga x = y ⇔ ay = x
Por propiedades de la inversa,
loga(ax) = x , para cada x ∈ Raloga x = x , para cada x > 0
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Funciones Logarıtmicas
Recordemos las leyes de los logaritmos
Teorema (Leyes de los Logaritmos)
Si x , y son numeros positivos, entonces
1 loga(xy) = loga x + loga y
2 loga
(xy
)= loga x − loga y
3 loga(x r ) = r loga x para r ∈ R.
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Logaritmo Natural
La inversa de la funcion exponencial natural es el LogaritmoNatural. Lo denotaremos por ln. Ası
ln x = loge x
Por lo tanto
ln x = y ⇔ ey = x
ln(ex) = x x ∈ Re ln x = x x > 0
ln e = 1
Veamos su grafica, dominio y rango.
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Logaritmo Natural
Ejemplo
Esboce la grafica de y = ln(x − 2)− 1
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FIN
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