Ecuaciones DiferencialesDr. Rogerio
Oscilador armónico simple
Péndulo simple
Movimiento senoidal,
2
( ) cos( )
cos( ) cos cos t sin sin
cos t sin
( ) cos( )
(t) sin( t )
a(t) cos( )
z t A t
A t t
a b t
z t A t
v A
A t
Cuando la fuerza de restitucion es lineal
Condiciones iniciales
2
( ) cos( )
cos( ) cos cos t sin sin
cos t sin
( ) cos( )
(t) sin( t )
a(t) cos( )
z t A t
A t t
a b t
z t A t
v A
A t
( ) cos( )
para 0 esta en A e implica 0
(t) sin( t ) 0 en 0
si 0
( ) cos( )
(0) A
correcto
z t A t
t v
como
v A t
solo
z t A t
ademas
z
Condiciones iniciales
2
( ) cos( )
(t) sin( t )
a(t) cos( )
z t A t
v A
A t
0
para 0 esta en 0 y se golpea dandole 0
(0) cos( )
cos( )
si 2
que depende si (0) es positiva o negativa
con el sistema de referencia!!!!
suponga que es positiva la
t v
z A t
A
solo
v v
cuidado
0
velocidad hacia arriba
(0) sin( ) 0 solo si 2
( ) cos( / 2) Asin( t)
(t) A cos( t)
(0) 0 correcto
v A
z t A t
asi
v
v v
Ejemplo: Amortiguadores de un carro
Cuando una familia de 4 personas con una masa total de200 kg se sube a su automóvil de 1 200 kg, los resortesse comprimen 3.0 cm ¿Cuál es la constante de los resortes suponiendo que actúan como un solo resorte?
¿Cuánto mas bajara el automóvil si se carga con 300 kg?
200 9.86.5 4 65000
3.0 2
F Xk E
x E
300 9.84.5 2 4.5
6.5 4
F Xk E cm
x E
Ejemplo: Amortiguadores de un carro
¿Cuál es la frecuencia de vibración del automóvil despuésDe golpear un tope? Suponga que los amortiguadores del carro están en mal estado por lo que el carro realmenteoscila hacia arriba y hacia abajo.
6.5 46.814 / s
1400
2
1.084 1/
1/ 0.92
k Erad
mnotese
f
f s Hz
ademas
T f s
Ejemplo: cono de una bocina
El cono de una bocina está tocando un Do central del piano.La amplitud en el centro del cono es de 1.5E-4 m¿Cuál es la velocidad máxima y la aceleración máxima?
Ejemplo: cono de una bocinaC central del piano es de 262 Hz El cono se mueve como un oscilador armónicoLa amplitude máxima ocurre en t=0
4
4
2 2
cos( t)
t 0, 1.5 10
2 6.28 262 1650
1.5 10 cos(1650 t)
como
sin( t)
maximo ocurre en 0.25m/s
y la aceleracion es maxima cuando
410 /
es mas que 40g
o
x A
x X
como f X
x X
v A
el
a A m s
que
Ejemplo: cono de una bocinaC central del piano es de 262 Hz ¿Cuál es la posición del cono en 1ms?
¿Es mucho o poco?
4
4
4 3 5
cos( t)
t 0, 1.5 10
2 6.28 262 1650
1.5 10 cos(1650 t)
t=1ms
1.5 10 cos(1650 10 ) 1.2 10
o
x A
x X
como f X
x X
en
x X X X m
1/ 0.0038 3.8
milisegundo esta a menos de 1/4 de su carrera total
T f s ms
al
Circuito LC
2
2
2
2
0
porque disminuye la corriente
0
ecuación diferencial análoga
al oscilador harmónico
0
cos( )
1
Q dIL
C dtpero
dQI
dt
d Q QL
dt C
d xm kx
dtsolución
Q Q t
con
LC
2
2que significara ?
d Q
dt
2
2
cambio de la corriente!!!
d Q dI
dtdt
GRAFICAAAA????
Circuito LC
0 0 0
0
2
2
2 2
2 2
porque disminuye la corriente
10
10
ecuación diferencial análoga
al oscilador harmónico
0 0 co
Q t t
t
Q dIL
C dtpero
dQI
dt
dQ Idt dQ Idt Q Idt
dIL Idtdt C
derivando
d IL Idt C
d x d x km kx x
dt dt m
2
0
2
n
cos( )
1
k
msolución
I I t
con
LC
Circuito LC2
2
2 22
2 2
0
2
10
ecuación diferencial análoga
al oscilador harmónico
0 0 con
cos( )
1
d IL Idt C
d x d x k km kx x
dt dt m msolución
I I t
con
LC
I
I
I
I
Corr
ient
e
Cam
iode
co
rrie
nte
Resonancia
ResonanciaForma distintade verla
Movimiento armónico amortiguado
Movimiento armónico amortiguado
Campos Direccionales y Curvas Solucion
Ecuaciones de Segundo grado
Lo que nos está proporcionando la ecuación diferencial es una serie de curvas con
Y las condiciones iniciales nos indican unasola curva de entre todas las posbibles
Así, las diferentes pendientes definen un conjunto de curvas que además son un indicativo de la curva únicasolución
Y proporcionan información extra: Equilibrio