7/25/2019 El Ejemplo Del Cuerpo Rgido Engeometra. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
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Mdulo 2: Ms ejemplos
Geometra diferencial y Mecnica: Una introducci n
(Modulo 2) Mas ejemplos 1 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
Ejemplos de variedades en R3
Imagen de una curva : I R R3
Imagen de una aplicacin u: R2 R3
(Modulo 2) Mas ejemplos 2 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
Ejemplos de variedades en R3
Imagen de una curva : I R R3
Imagen de una aplicacin u: R2 R3
NO TODAS INDUCEN VARIEDADES DIFERENCIABLES
(Modulo 2) Mas ejemplos 2 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
Imagen de una curva : I R R3
Imagen de una aplicacin u: R2 R3
RESTRICCIONES
(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
Imagen de una curva : I R R3
Imagen de una aplicacin u: R2 R3
RESTRICCIONES
No hayan autointersecciones
la aplicacin (resp. u) debe ser inyectiva
(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
Imagen de una curva : I R R3
Imagen de una aplicacin u: R2 R3
RESTRICCIONES
No hayan autointersecciones
la aplicacin (resp. u) debe ser inyectiva
No aparezcan picos
la derivada de (resp. el jacobiano de u) sea distinta de cero para todopunto (resp. tenga rango 2 en todo punto)
(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
METODO DE CONSTRUCCION
Aplicaci n diferenciable : Rk Rn, kn
es inyectiva
El jacobiano de tiene rango kpara todo x
(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
METODO DE CONSTRUCCION
Aplicaci n diferenciable : Rk Rn, kn
es inyectiva
El jacobiano de tiene rango kpara todo x
M=() es una variedad de dimensi n k
(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
METODO DE CONSTRUCCION
Aplicaci n diferenciable : Rk Rn, kn
es inyectiva
El jacobiano de tiene rango kpara todo x
M=() es una variedad de dimensi n k
Caso particular:
M={(x, f(x)) | x}
f: Rk
Rnk
aplicaci n diferenciable
(x) = (x, f(x))
M=()
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
Un subconjunto M de Rn es una variedad diferenciable de dimensi n k
Para todo xMexiste un entorno abierto U de xtal que M Ues elgrafo de una aplicaci n diferenciable expresando (n k) de las coordenadasen trmino de las otras k
M={(x1, . . . xk, (x1, . . . , xk))}
: Rk Rnk
(Modulo 2) Mas ejemplos 5 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
La esfera S2 como unin de imgenes de grafos:
f: {(x, y) R2 | x2 +y2
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
La esfera S2 como unin de imgenes de grafos:
f: {(x, y) R2 | x2 +y2
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
OTRO METODO PARA CONSTRUIR VARIEDADES DIFERENCIABLES
Idea: Ver las variedades diferenciables como un conjunto de Rn dado por variasecuaciones
(Modulo 2) Mas ejemplos 7 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
OTRO METODO PARA CONSTRUIR VARIEDADES DIFERENCIABLES
Idea: Ver las variedades diferenciables como un conjunto de Rn dado por variasecuaciones
S2 ={(x, y, z) R3/x2 +y2 +z2 = 1}
S2 =F1(1), F: R3 R, F(x, y, z) =x2 +y2 +z2
(Modulo 2) Mas ejemplos 7 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
OTRO METODO PARA CONSTRUIR VARIEDADES DIFERENCIABLES
Idea: Ver las variedades diferenciables como un conjunto de Rn dado por variasecuaciones
S2 ={(x, y, z) R3/x2 +y2 +z2 = 1}
S2 =F1(1), F: R3 R, F(x, y, z) =x2 +y2 +z2
En Mecnica:los espacios de configuraci n estn definidos por una o ms ligaduras ( ecuaciones)
que limitan el movimiento
(Modulo 2) Mas ejemplos 7 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
OTRO METODO PARA CONSTRUIR VARIEDADES DIFERENCIABLES
Idea: Ver las variedades diferenciables como un conjunto de Rn dado por variasecuaciones
S2 ={(x, y, z) R3/x2 +y2 +z2 = 1}
S2 =F1(1), F: R3 R, F(x, y, z) =x2 +y2 +z2
En Mecnica:los espacios de configuraci n estn definidos por una o ms ligaduras ( ecuaciones)
que limitan el movimiento
f1 =c1, . . . , fk= ck, f1 : Rn R, . . . , fk: R
n R funciones diferenciables
{x Rn |F(x) = (c1, . . . , ck)}= F1(c1, . . . , ck)
F : Rn Rk, F(x) = (f1(x), . . . , fk(x))
(Modulo 2) Mas ejemplos 7 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
Ejemplo: f:R
2
R
, f(x, y) =xy
(Modulo 2) Mas ejemplos 8 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
Ejemplo: f:R
2
R
, f(x, y) =xySi c= 0 f(x, y) =ces la hiprbola y=c/x
f(x, y) =c variedad diferenciable
(Modulo 2) Mas ejemplos 8 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
Ejemplo: f:R
2
R
, f(x, y) =xySi c= 0 f(x, y) =ces la hiprbola y=c/x
f(x, y) =c variedad diferenciable
Si c= 0 f(x, y) = 0 no es una variedad
(Modulo 2) Mas ejemplos 8 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
Ejemplo: f
:R
2
R
, f
(x,y
) =xy
Si c= 0 f(x, y) =ces la hiprbola y=c/x
f(x, y) =c variedad diferenciable
Si c= 0 f(x, y) = 0 no es una variedad
El gradiente de f: f = ( fx
, fy
) = (y, x) = (0, 0) (x, y) = (0, 0)
(Modulo 2) Mas ejemplos 8 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
f1, . . . , fk: Rn R funciones diferenciables
F = (f1, . . . , fk) : Rk
Los gradientes de las funciones fison las filas de la matriz jacobiana DF(x)
(Modulo 2) Mas ejemplos 9 / 12
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Un mtodo para construir variedades diferenciables
f1, . . . , fk: Rn R funciones diferenciables
F = (f1, . . . , fk) : Rk
Los gradientes de las funciones fison las filas de la matriz jacobiana DF(x)
c Rk es unvalor regularsi DF(x) tiene rango kpara todo xF1(c)
(Modulo 2) Mas ejemplos 9 / 12
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TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA
Consideremos una funci n F: Rn Rk una aplicacin diferenciable.Sea x0 y c=F(x0). Si el rango de DF(x) es kentonces existe unentorno U de xtal que F1(c) U es el grafo de una funci n diferenciable
expresando kde las variables estndar en trmino de las otras
F: Rn Rk aplicaci n diferenciable
c Rk valor regular
el conjunto de nivel F1(c) es una variedad diferenciable de dimensin n k
(Modulo 2) Mas ejemplos 10 / 12
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EJEMPLOSLA ESFERA
f: Rn+1 R, f(x1, . . . , xn+1) = (x1)2 +. . .+ (xn+1)
2
f es una aplicaci n diferenciablef = (2x1, . . . , 2xn+1)
c= 1 es un valor regular de f
f1(1) =Sn es una variedad diferenciable
(Modulo 2) Mas ejemplos 11 / 12
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EJEMPLOS
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
f: R3 R f(x, y, z) =x2 +y2 z2
f es una aplicaci n diferenciable
f = (2x,
2y,
2z)c= 0 es un valor regular de f
{(x, y, z) R3
/f(x, y, z) =c} el hiperboloide de dos hojas
es una variedad diferenciable
(Modulo 2) Mas ejemplos 12 / 12