1 MOTIVACIÓN

GEOMETRÍA DIFERENCIAL Y MECÁNICA: UNA INTRODUCCIÓN

Módulo 1: Modelando sistemas

mecánicos con variedades

Ref

Resumen

Presentamos algunos ejemplos de sistemas mecánicos y suscorrespondientes espacios de configuración. Estos espaciosson ejemplos de variedades diferenciables. Introducimos estanoción y mostramos nuevos ejemplos.

1 Motivación

Este primer apartado trata de motivar la introducción de la noción de variedad diferenciable desde la necesidad demodelizar matemáticamente las ecuaciones que gobiernan ciertos sistemas mecánicos. Para ello es preciso previa-mente encontrar cómo describir posiciones y velocidades (o momentos) mediante coordenadas apropiadas. A grossomodo la definición de variedad se justifica desde el proceso de asignación de coordenadas para un cierto tipo deespacios como, por ejemplo, los espacios euclídeos Rn, la circunferencia o las superficies. Asignar coordenadas con-siste en asociar de forma unívoca k números reales (una k-upla) a cada punto del espacio tal que cada punto quedadeterminado por estos números. Además, debemos establecer cómo se hace el proceso de cambio de coordenadas.

Es bien conocido que fijando una base{e1, . . . , en}

de Rn, cada punto x de este espacio puede ser descrito por

x = λ1e1 + · · ·+ λnen, λi ∈ R.

Así, el punto x se puede representar por la n-upla (λ1, . . . , λn) de números reales y esta n-upla sólo representa estepunto. Por tanto, existe un homemorfismo ψ (aplicación continua, biyectiva y de inversa continua) entre los puntosde Rn y las n-uplas de números reales

ψ : Rn → Rn, ψ(x) = (λ1, . . . , λn).

Los cambios de coordenadas corresponden a cambios de bases y, por tanto, vienen determinados por matrices re-gulares y las correspondientes aplicaciones lineales. Si intentamos reproducir este razonamiento en el caso de lacircunferencia es algo más difícil. Los puntos de la circunferencia se pueden describir de la siguiente manera

S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}.

Nota que el par (x, y) no determina coordenadas en S1 ya que x e y están ligadas por la ecuación x2 + y2 = 1. Así,un par cualquiera de valores reales no determina un punto de la circunferencia. De hecho, por razones topológicases imposible construir un difeomorfismo global de S1 a un Rk o un abierto de Rk (S1 es compacto y un abierto deRk no lo es). Sin embargo, esto sí se puede hacer localmente como veremos a continuación.

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2 DEFINICIÓN Y EJEMPLOS

2 Definición y Ejemplos

Los espacios M que consideraremos a lo largo del módulo serán subconjuntos de Rn. La teoría de variedades dife-renciables puede generalizarse a espacios más generales (ver Anexo I) pero como este curso pretende ser una intro-ducción a la temática, hemos simplificado en lo posible los conceptos sobre los que trabajaremos sin dejar de incluirejemplos interesantes.

Pensemos en algunos ejemplos simples como el plano R2 o la circunferencia S1 ⊆ R2. Queremos asignar coor-denadas (valores numéricos independientes) a estos espacios tal que cualquier punto de ellos se corresponda conuna de estas coordenadas y viceversa, cualquier coordenada corresponda a un sólo punto. En el caso de R2 (una vezfijamos una referencia) una terna de 2 números reales (x, y) determina un punto del plano y cualquier punto delplano determina uno de estos pares. En el caso de S1, es evidente que las coordenadas heredadas de R2 no cumplenesta condición: cualquier par no corresponde con un punto de S1. De hecho, para que el par (x, y) corresponda conun punto de S1 debe verificarse la ecuación x2 + y2 = 1.

Sin embargo, veremos que sí es posible establecer un sistema de coordenadas locales, esto es, para cada punto deS1, podemos encontrar un abierto de S1 (la intersección de un abierto de R2 con S1) y un abierto de R y un home-morfismo entre ellos que define coordenadas para ese entorno de S1. Para ello usaremos la proyección estereográficaque definimos a continuación. Fijamos un punto de S1, por ejemplo N = (0, 1). La proyección estereográfica desdeN = (0, 1) es una aplicación

ϕ : S1 − {(0, 1)} → R

dada como sigue:

Para cada punto P = (x, y) ∈ S1−{(0, 1)}, consideramos el punto de intersección P ′ de la recta determinada porlos puntos P = (x, y) y N = (0, 1) con la recta OX. Se puede probar que

P ′ =

(x

1− y, 0

).

Entonces definimosϕ(x, y) =

x

1− y.

Se puede probar fácilmente que esta aplicación es un homeomorfismo. Nota que S1 − {(0, 1)} es un abierto de S1

S1 − {(0, 1)} = S1 ∩ (R2 − {(0, 1)})

ya que R2 − {(0, 1)} es un abierto de R2.

ϕ : S1 − {(0, 1)} → R es un sistema de coordenadas para todos los puntos de S1 − {(0, 1)}. Para (0, 1) elegimos laproyección estereográfica desde (0,−1).

En definitiva en este caso tenemos que S1 satisface que para cada punto podemos calcular coordenadas locales.Este hecho motiva la introducción de la siguiente noción.

Definición 2.1 Una variedad topológica M de dimensión k es un subconjunto de Rm, con k ≤ m, localmenteeuclídeo, lo que significa que para todo punto x de M existe una bola abierta B(x, ε) de centro x y radio ε > 0 en Rm yun homeomorfismo

ϕ : U = B(x, ε) ∩M → ϕ(B(x, ε) ∩M) ⊆ Rk

con ϕ(B(x, ε) ∩M) un abierto en Rk.

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2 DEFINICIÓN Y EJEMPLOS

Al par (U,ϕ) se le denomina carta local de M en x.

Ejemplos 2.2 1. Rm es una variedad topológica de dimensión m. En este caso el homeomorfismo para todopunto es la identidad en Rm.

2. La circunferencia S1 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 = 1} es una variedad topológica de dimensión 1. En primer lugar,nota que es imposible obtener como en el caso anterior una carta global para S1, ya que S1 es compacto ycualquier abierto de un espacio euclídeo no lo es. Las proyecciones estereográficas desde (0, 1) y desde (0,−1)definen cartas locales.

Otras posibles cartas locales para estos puntos son:

ϕ′ : S1 − {(0,−1)} →]− π

2,3π

2[, ϕ′(cos t, sin t) = t, para (cos t, sin t) ∈ S1 − {(0,−1)},

ϕ′ : S1 − {(0, 1)} →]π

2,5π

2[, ϕ′(cos t, sin t) = t, para (cos t, sin t) ∈ S1 − {(0, 1)}.

3. Un conjunto abierto U de una variedad topológicaM de dimensiónm, es una variedad topológica de dimensiónm. Basta considerar para cada punto x de U una carta local (V, ϕ) de M . Entonces, si ϕ|V ∩U : U∩V → ϕ(U∩V )es la restricción de ϕ al abierto U ∩V , tenemos que (U ∩V, ϕ|U∩V ) es una carta local de x en U. Así por ejemplo,un trozo de arco (sin incluir los extremos) de una circunferencia es una variedad de dimensión 1.

4. Si M y N son variedades topológicas de dimensiones m y n, respectivamente, entonces M ×N es una variedadtopológica de dimensión m+ n.

Como consecuencia, el toro de dimensión 2, T2 = S1 × S1,

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es una variedad topológica de dimensión 2. Lo mismo se puede razonar para justificar que Tn = S1 × · · · × S1

es una variedad topológica de dimensión n.

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2 DEFINICIÓN Y EJEMPLOS

5. La esfera de radio 1 en Rn+1

Sn = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 |n+1∑i=1

x2i = 1}

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es una variedad topológica de dimensión n (ejercicio).

6. El grupo lineal general GL(n,R) = {A ∈ gl(n,R) | det(A) 6= 0} es una variedad topológica de dimensión n2.Nota que el grupo lineal gl(n,R) de las matrices reales de orden n se puede identificar con Rn2

y, por tanto, lopodemos pensar como la variedad Rn2

. Por otro lado, la aplicación

ψ : gl(n,R)→ R; ψ(A) = det(A)

es una aplicación continua. Así, GL(n,R) = ψ−1(R− {0}) es un abierto de gl(n,R) y, por tanto, una variedadde la misma dimensión de gl(n,R).

No sólo queremos asignar coordenadas locales a estos espacios. Además, para poder hacer cálculo diferencialqueremos que estas variedades sean diferenciables.

Definición 2.3 Una variedad diferenciable M de dimensión n y de clase C∞ es una variedad topológica dedimensión n tal que existe un sistema de cartas locales {(Uα, ϕα)}α∈A satisfaciendo

• ∪α∈AUα =M

• Para todo α, β ∈ A tal que Uα ∩ Uβ 6= ∅, la aplicación

ϕβ ◦ ϕ−1α : ϕα(Uα ∩ Uβ) ⊆ Rn → ϕβ(Uα ∩ Uβ) ⊆ Rn

es diferenciable de clase C∞ (y, por tanto, un difeomorfismo).

En otras palabras, para cada punto podemos asignar coordenadas locales (en un entorno abierto del punto), de talmanera que si dos entornos tienen puntos comunes, el cambio de coordenadas es un difeomorfismo.

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3 ESPACIOS DE CONFIGURACIÓN DE ALGUNOS SISTEMAS MECÁNICOS

Se dice que la colección {(Uα, ϕα)}α∈A es un atlas para la estructura diferenciable de M .

Dos atlas {(Uα, ϕα)}α∈A y {(Vβ , ψβ)}β∈B sobre M se dice que definen la misma estructura diferenciable si launión define un atlas, esto es, para todo α ∈ A y para todo β ∈ B tal que Uα ∩ Vβ 6= ∅, la aplicación

ψβ ◦ ϕ−1α : ϕα(Uα ∩ Vβ)→ ψβ(Uα ∩ Vβ)

es diferenciable de clase C∞.

Ejemplos 2.4 Todos los ejemplos anteriores de variedades topológicas son variedades diferenciables. Veamos elcaso de la circunferencia. Consideremos las cartas determinadas por la proyección estereográfica, esto es,

ϕ : S1 − {(0, 1)} → R, ϕ(x, y) =x

1− y,

ϕ′ : S1 − {(0,−1)} → R, ϕ′(x, y) =x

1 + y.

Es evidente que S1 = (S1 − {(0, 1)}) ∪ (S1 − {(0,−1)}). Además,

ϕ−1(t) =

(2t

t2 + 1,t2 − 1

t2 + 1

), ϕ(S1 − {(0, 1), (0,−1)}) = R− {0},

ϕ′ ◦ ϕ−1 : R− {0} → R− {0}, ϕ′ ◦ ϕ−1(t) = 1

t.

En definitiva, {(S1 − {(0, 1)}, ϕ), (S1 − {(0,−1)}, ϕ′)} es un atlas de S1 y, por tanto, S1 es una variedad diferen-ciable de dimensión 1.

3 Espacios de configuración de algunos sistemas mecánicos

En su origen, la introducción de la teoría de variedades diferenciables está ligada a la Física y a la modelización desistemas mecánicos. Los espacios donde se modelizan estos sistemas mecánicos son, en general, espacios no euclídeos(esto es, no son Rk) que no son solamente superficies ya que admitimos más dimensiones puesto que la dimensióncoincide con el número de grados de libertad del sistema. Las variedades permiten modelizar ciertos espacios deconfiguración de sistemas físicos y las ecuaciones que gobiernan el movimiento de estos sistemas pueden describirsede manera intrínseca usando las herramientas de la Geometría Diferencial.

El espacio de configuración de un sistema mecánico es el espacio de las posibles posiciones del sistema mecánico.Algunos ejemplos específicos de esta situación son los siguientes:

Ejemplos 3.1 1. Péndulo simple plano: El espacio de configuración es S1 (variedad diferenciable de dimensión1).

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2. Péndulo doble plano: El espacio de configuración es el toro real de dimensión 2, es decir, T2 = S1 × S1

(variedad diferenciable de dimensión 2 no euclídeo).

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3 ESPACIOS DE CONFIGURACIÓN DE ALGUNOS SISTEMAS MECÁNICOS

Notar que esta variedad también sirve para representar las posiciones de un brazo articulado con dos articula-ciones rotatorias.

3. Péndulo esférico: El espacio de configuración es la esfera S2 en R3 (variedad diferenciable de dimensión 2).

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4. Segmento rígido en el plano: Espacio de configuración: R2 × S1 (variedad de dimensión 3), donde las coor-denadas (x, y) ∈ R2 representan la posición del centro de masa y θ ∈ S1 el ángulo del segmento respecto deleje horizontal.

Este ejemplo sirve para representar el movimiento (simplificado) de un vehículo (coche, cohete...).

5. Movimiento con ligaduras en el plano o en el espacio: Sea P un abalorio deslizándose sin fricción a lo largode un alambre rígido C. En este caso, el espacio de configuración es la curva que representa el alambre que,como sabemos, es una variedad de dimensión 1. Más generalmente, podemos considerar el movimiento de unapartícula restringido a una superfice S, que sería el espacio de configuración del sistema.

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