7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
1/20
UNIVERSIDAD CSAR VALLEJO
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELAPROFESIONAL DE ECONOMIA /MARKETING Y DIRECCION
DE EMPRESA
Tema: Informe de la Primera UnidadMatemtica para
Economistas
Profesor: Amador Alejandro Gonzales
Piscoya
Integrantes:Mara Corrales az !ofa "ecerra #li$aMara #nofre Maicelo
Man%el P%icon Gil Eric& '%ispe az
CIC(# II ) *+,*
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
2/20
Presentacin!
Este trabajo fue realizado por un grupo de estudiantes
con la finalidad de dar a conocer el desarrollo de la
primera unidad de MATEMATICA PARA
ECONOMISTAS !ue nos permitir" ejercitar nuestra
capacidad de compresi#n de ejercicios$
Recordando !ue la pr"ctica te nos a%udara a tener una
&isi#n cada &ez m"s amplia en los ejercicios
a%ud"ndonos en los progresos % dificultades !ue se
nos presenten en este campo$
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
3/20
'os Autores
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
4/20
($ )efinici#n de *unci#n$+
Una funcin (f) es una relacinentre un conjunto dado X (llamado dominio) y otroconjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x deldominio le corresponde un nico elementof(x)del codominio (los que formanel recorrido, tambin llamado rango o mbito)!
"e expresa y # f(x)
donde xes la $ariable independiente,yes la $ariable dependiente y f es la funcin!
1.1.*unci#n In%ecti&a$+
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
5/20
"era una funcin %nyecti$a cuando cualquier recta &ori'ontal la corte enun solo punto!
($, *unci#n Sobre%ecti&a$+
"era una uncin "obreyecti$a si para cada elemento de Y en , existe por lomenos un elemento en X en *
($- *unci#n .i%ecti&a$+
"era un afuncion iyecti$a cuan do a la misma $e' se &a un auncin%nyecti$a y una uncin "obreyecti$a!
F:ACR
BCR
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
6/20
($/ *unci#n In&ersa$+
"e llama funcin %n$ersa o reciproca de f a otra funcinf1
,$+Asintotas$+
+uando la grfica de una funcin se acerca a una recta cuando xo y
tienden a infinito, dic&a recta se llama *"-./.* de la funcin!-otodas las funciones tienen as0ntotas!1as as0ntotas de una funcin puedenser2
Verticales Horizontales
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
7/20
Oblicuas
,$($+Asintota &ertical
3ectas perpendiculares al eje de las abscisas
,$,$+ As0ntota 1orizontal3ectas perpendiculares al eje de las ordenadas
21)(
=
xxf
X#4
1a recta x#4 es una as0ntota
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
8/20
,$-$+Asintota Oblicua
"e podr &allara una as0ntota oblicua di$idendo por el mximo exponente dela funcin correspondiente!
-$+*uncion a trozosUna funcin a tro'os es aquella cuya expresin anal0tica contiene mas de unaformula para distintos $alores de la $ariable independiente 5x6 se deben usardistintas formulas que permiten calcular la imagen 5y6 que les corresponda
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
9/20
/$+*uncion E2ponencial
1a funcin exponencial, es conocida formalmente como la funcin real ex,donde 5e6 es el nmero de 7uler, aproximadamente 4!89:4:!!!; esta funcintiene por dominio de definicinel conjunto de los nmeros reales, y tiene la
particularidad de que su deri$ada es la misma funcin!
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
10/20
7l l0mite de una funcin f(x), cuando xtiende a cesLsi y slo sipara todoexiste un tal que para todo nmero realxen el dominio de la funcin
!
Esto, escrito en notacin formal:
Lo importante es comprender que el formalismo no lo acen los s!mbolos matem"ticos,
sino, la precisin con la que queda definido el concepto de l!mite. Esta notacin estremendamente poderosa, pues, nos dice que si el l!mite existe, entonces se puede estar tan
cerca de #l como se desee. $i no se lo%ra estar lo suficientemente cerca, entonces la
eleccin del no era adecuada. La definicin ase%ura que si el l!mite existe, entonces esposible encontrar tal .
&o obstante, a' casos como por eemplo la funcin de iriclet definida
como:
donde no existe un nmero cpara el cual exista . *or lo tanto, para demostrar la
anterior afirmacin es necesario acer uso del eco de que cada intervalocontiene tanto
nmeros racionalescomo irracionales.
Lmites laterales
http://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_s%C3%B3lo_sihttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Dirichlethttp://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Upper_semi.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Upper_semi.svg?uselang=eshttp://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_s%C3%B3lo_sihttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Dirichlethttp://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
11/20
El l!mite cuando: x + x- x + x
/. *or lo tanto, el l!mite cuando x + xno existe.
e manera similar,xpuede aproximarse a ctomando valores m"s %randes que #ste
(dereca):
o tomando valores m"s peque0os (iquierda), en cu'o caso los l!mites pueden ser escritos
como:
$i los dos l!mites anteriores son i%uales:
Entonces Lse pueden referir como el lmitedef(x) en c. ico de otro modo, si estos no
son i%uales aLentonces el lmite, como tal, no existe.
Propiedades de los lmitesPropiedades generales
$i kes un escalar:
Lmite de Expresin
na constante
La funcin identidad
El producto de una funcin ' una
constantena suma
na resta
n producto
n cociente
http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
12/20
na potencia
n lo%aritmo
El nmero e
3uncin f(x) acotada ' %(x)
infinitesimal .
Limites - trigonomtricas.
Indeterminaciones
Los valores de x pueden ser finitos oinfinitos. Los que toman la funcin tambi#n para calcular un l!mite debemos sustituir el
valor de x por el valor que me di%a el l!mite. *odemos obtener una solucin oindeterminacin.
Operacin Indeterminacin
$ustraccin
4ultiplicacin
ivisin
Elevacin a potencia
Eemplo.
5 es una indeterminacin, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de unl!mite que tiende a cero sobre otro que tambi#n tiende a cero 'a que el resultado no es
siempre el mismo. *or eemplo:
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_ehttp://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_ehttp://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
13/20
Unicidad del lmite
.eorema! "i el l0mite de una funcin existe, entonces es nico!
$upon%amos que , veamos que no puede ser que tambi#n
verifique la definicin. *ara ello tomamos un entorno E de L ' un entorno E6 de L6 que no
se intersequen. *or definicin de l!mite para todoxen al%n entorno a%uereado
de c, por lo que no puede estar en E6, evitando que el l!mite sea L6.
Continuidad de una funcin.
uncin contin!a en un n!mero.
na funcin f es continua en un nmero a si ' slo si se satisfacen las tres condiciones
si%uiente:
i. f (a) existe7
ii. existe7
iii.
$i por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en a, entonces se dice que la
funcin f es discontinua en a.
Eemplo:
1) La funcin definida por es discontinua en 2, pues dica funcin no est"
definida en el 2. 8eamos cmo es su comportamiento %r"ficamente, mostrado en la fi%ura
9.
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
14/20
En c"lculo 3rama de las matem"ticas4 la deri&ada representa c#mo una funci#n
cambia 3&alor de la &ariable dependiente4 a medida !ue su entrada 3&alor de la
&ariable independiente4cambia$
La funcin derivada de una funcin f(x) es una funcin que
asocia a cada nmero real su derivada s i e2iste$ Se e2presa
por f'(x)$
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
15/20
emplos
Determinar la funcin derivada de f(x) = x 2 x + 1.
Derivada de la funcin tg x
si f324 5 sen 2 f 6 324 5 cos 2si g324 5 cos 2 g 6 324 5 7 sen 2
Aplicando la f#rmula de la deri&ada de un cociente
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
16/20
Por tanto
Derivada de la funcin sec x
Si f324 5 ( f 6 324 5 8Si g324 5 cos 2 g 6 324 5 7 sen 2
Por la f#rmula de la deri&ada de un cociente
3sec 246 5 sec 2 9 tg 2
LA D!"VADA #O$O !A%O& D #A$"O
Comenzando por la Razn Instantnea de Cambiode una funci#n cu%a &ariableindependiente es el tiempo t$ suponiendo !ue Qes una cantidad !ue &ar0a conrespecto del tiempo t, escribiendoQ=f(t), siendo el &alor de Q en el instante t. Porejemplo
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
17/20
El tama:o de una poblaci#n 3peces ratas personas bacterias;4
'a cantidad de dinero en una cuenta en un banco
El &olumen de un globo mientras se infla
'a distancia trecorrida en un &iaje despu
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
18/20
'a interpretaci#n intuiti&a de la raz#n de cambio instant"nea pensamos !ue elpunto P(t,f(t)) se mue&e a lo largo de la gr"fica de la funci#n Q=f(t). Cuando Qcambia con el tiempo t, el punto P se mue&e a lo largo da la cur&a$ Pero sis?bitamente en el instante t, el punto P comienza a seguir una tra%ectoria rectaentonces la nue&a tra%ectoria de P corresponde !ue Q cambia a una raz#n
constante$Tambi
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
19/20
Alicaciones de la derivada a la economia
'as deri&adas en econom0a son una =erramienta mu% ?til puesto !ue por su
misma naturaleza permiten realizar c"lculos marginales es decir =allar la raz#n de
cambio cuando se agrega una unidad adicional al total sea cual la cantidad
econ#mica !ue se est< considerandoB costo ingreso beneficio o producci#n$
En otras palabras la idea es medir el cambio instant"neo en la &ariable
dependiente por acci#n de un pe!ue:o cambio 3infinitesimal4 en la segunda
cantidad o &ariable$
)e =ec=o las funciones de costo ingreso beneficio o producci#n marginal son las
deri&adas de las funciones de costo ingreso beneficio producci#n total$
En ese orden de ideas el procedimiento se reitera en el conte2to de las funciones
multi&ariadas$ Mediante las deri&adas parciales es decir estimar las razones de
cambio de una &ariable independiente de una f32%4 son las deri&adas parciales
respecto a 2 o % manteniendo la3s4 otra3s4 fija3s4$ En consecuencia se pueden
aplicar las t
7/21/2019 informe_de_matematica_4_8
20/20
Recommended