MATEMÁTICA II
María Elena Cotrina León 1
INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES es una rama muy importante de las matemáticas, pues
proporciona el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones de múltiples fenómenos
de la ciencia y la ingeniería (ya sean económico, biológicos, físico, químicos, etc.) con la
finalidad de comprender mejor el comportamiento de la naturaleza y mundo que nos rodea.
Un objeto se libera desde una altura determinada (por encima del nivel del suelo) y cae bajo la
fuerza de la gravedad. (en este caso supondremos que la gravedad es la única fuerza que actúa
sobre el objeto, y que esta fuerza es constante).
Otros modelos más generales considerarían otras fuerzas, como la resistencia del aire.
Podemos aplicar al objeto que cae la 2ª Ley de Newton, la cual establece que la masa de un
objeto por su aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre él. amF
Esto lleva a la siguiente ecuación:
)1(..........gmam
Sea )(th una función que representa la altura del objeto en el tiempo t . Luego al derivar la
función altura, )(' th obtenemos la velocidad con que el objeto cae en un instante t . Finalmente
al derivar por segunda vez )('' th obtenemos la aceleración con el objeto cae en un instante t .
Por notación utilizamos 2
2
)(''dt
hdth ; luego al reemplazar la aceleración en la ecuación ( 1 )
obtenemos la siguiente ecuación diferencial: gdt
hd
2
2
Definamos ahora una Ecuación Diferencial
Definición.- Una ECUACION DIFERENCIAL es una ecuación que contiene derivadas de
una función desconocida o variable dependiente con respecto a una o más variables
independientes.
Ejemplos.
1.- 2
3
3
58 xxdx
dy
dx
ydx 6.- ),(
2
2
txQx
u
t
u
2.- dt
dykmg
dt
ydm
2
2
7. senxydx
dy2 -
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3.- 02
22
2
2
x
uc
t
u 8.- 0
2
23
dx
yd
dx
dy
4.- 52)1( 2
2
2
xxyx
dyx
dx
ydx 9.- xexyyx x cos'''2
5.- txdt
xd4
2
10.- kydt
ydm
2
2
NOTA Siempre que un modelo matemático implique la “razón de cambio de una variable con respecto
de otra”, es probable que aparezca una ECUACION DIFERENCIAL.
Ejemplos:
1.- 2/32/3 1
2yy
dx
dy ; Modelo del aprendizaje de una tarea en este caso la función
incógnita )(xy representa el nivel de habilidad del estudiante como función del tiempo, las
constantes , dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.
2.- WWdx
dW24 ; modelo sencillo de la forma de un tsunami o maremoto, 0)(tW es
la altura de la ola en función de su posición relativa a un punto determinado en alta mar.
3.- Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de
3/254 t personas por mes; la razón de cambio de la población queda escrita de la forma dt
dP,
por lo tanto la ecuación diferencial que describe este fenómeno es:
3/254 tdt
dP
4.- Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es
2341)( tttv metros por minuto; debido a que la velocidad es la razón de cambio de la
distancia con respecto del tiempo dt
dDv , entonces la ecuación diferencial que describe este
fenómeno será:
2341 ttdt
dD
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5.- ),(2
2
txQx
u
t
u; ecuación de calor de una barra delgada
Para comenzar nuestro estudio de las Ecuaciones Diferenciales necesitamos cierta terminología
común. Si una ecuación implica la derivada de una variable con respecto de otra, entonces la
primera se llama variable dependiente y la segunda variable independiente.
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ORDINARIAS y PARCIALES:
a) Una ecuación diferencial que solo tiene derivadas ordinarias de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente se llama ECUACIÓN
DIFERENCIAL ORDINARIA. (EDO).
Ejemplo:
1.- ;2
2
kxdt
xdm
2.- 2341 tt
dt
dD
3.- )(1
2
2
tECdt
dqR
dt
qdL
q
4.- senxydx
dy2
5.- 0
5
2
2
xdt
dx
dt
xd
Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), se representan:
0),...,,,,(2
2
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dyyxF ó 0),...,''','',',,( )(nyyyyyxF
Donde F indica la relación de x é y , de igual manera sus derivadas.
b) ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP), se llama así a las ecuaciones
diferenciales que implican derivadas parciales de una o más variables dependientes con
respecto a mas de una variable independiente.
Ejemplos:
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1.- 02
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w, Ecuación Diferencial de Laplace.
2.- 2
2
2
2
2
2
2
22
t
w
z
w
y
w
x
wa , Ecuación Diferencial de la Onda
3.- 2
22
x
uh
t
u, Ecuación Diferencial Térmica Unidimensional
4.- ),(2
2
2
2
yxfy
u
x
u, Ecuación Diferencial Bidimensional de Poisson
5.- 02
22
2
2
x
ya
t
y, Ecuación Diferencial de la Onda Unidimensional.
6.- t
w
z
w
y
w
x
wa
2
2
2
2
2
22
, Ecuación Diferencial del Calor
ORDEN Y GRADO DE UNA ECUACION DIFRENECIAL
- El ORDEN de una Ecuación Diferencial Ordinaria es el mayor orden de la derivada que
aparece en la ecuación.
- El GRADO de una Ecuación Diferencial Ordinaria es el exponente de la derivada de mayor
orden.
Ejemplos Explicativos
1.- 053
3
xdt
xda
dt
dx, Orden:
Grado:
2.- ydx
dy
dx
yd5
4
4
, Orden:
Grado:
3.- 1352
2
txdt
dx
dt
xd, Orden:
Grado:
4.- vudu
vd4
2
2
, Orden:
Grado:
MATEMÁTICA II
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5.- 0
5
2
2
xdt
dx
dt
xd, Orden:
Grado:
Ejemplos para el aula
1.- 52
2
23
txtdt
xd
dt
dx Orden:
Grado:
2. 05
5
2
2
dt
dxk
dt
xda
dt
xd Orden:
Grado:
3. tdt
dt
dt
d43
2
2
6 Orden:
Grado:
4. )1(
2
xxdx
dy Orden:
Grado:
5. Cdx
ydy
2
3
3
1 Orden:
Grado:
6. xdx
dysenx
dx
yde x
52
2
2
Orden:
Grado:
7. xdx
dy
dx
yd
dx
ydtan2
3
2
2
3
3
Orden:
Grado:
8. )()(
2
xqyxpdx
dy Orden:
Grado:
9. 042
4
5
52
7
7
xdx
yd
dx
yd Orden:
Grado:
10. 02
23
dx
yd
dx
dy Orden:
Grado:
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ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
Una Ecuación Diferencial Ordinaria es Lineal si su variable dependiente "" y y sus derivadas
sólo aparecen en combinaciones aditivas de sus primeras potencias
Una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal (EDOL) se representa como
)()()(...)()( 011
1
1 xFyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
donde )(,)(,...,)(,)( 01 xFxaxaxa nn , son funciones que dependen sólo de la variable
independiente x .
Si una EDO no es lineal, entonces se conoce como ecuación no lineal.
Ejemplos
Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias en lineales o no lineales
1. xydx
dyx cos
2. 0652
2
ydx
dy
dx
yd
3. 0
4
2
22
3
3
vwdv
wd
dv
wd
4. xxe
dx
dyx
dx
ydx
dx
yd 3
2
3
32
4
4
5. 6sentAdt
dA
6. 02
2
C
Q
dt
dQR
dt
QdL
7. 123
2
2
xxydx
yd
8. 0kPdt
dP
9. mkTkTdt
dT
10. txxdt
dxt
dt
xd
dt
xdcos5
2
2
3
3
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SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA Recordemos que nuestro objetivo, ahora, es determinar la solución de una ecuación
diferencial, en particular, de una Ecuación Diferencial Ordinaria EDO.
Consideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria en su forma general:
0,...,,,,2
2
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dyyxF
- Solución Explícita: Se denomina solución explícita de una EDO a toda función )(xuy
de valor real, definida en un intervalo I, tal que satisfaga idénticamente la EDO
- Solución Implícita: Diremos que una relación 0),( yx es una solución implícita de la
EDO en el intervalo I, si define una o mas soluciones explícitas en I
Ejemplos Explicativos
1. Demuestre que x
senxy es una solución explícita de xyxy cos'
2. Mostrar que Cyx 224 , donde C es una constante arbitraria proporciona una familia
de soluciones implícitas de la ecuación 04xdx
dyy .
3.- Demuestre que xx ececxf 2
21)( es una solución explícita de 02''' yyy
4.- Demostrar que 0xyeyx es solución implícita de 01)1( xyxy eydx
dyex
5.- Demuestre que 08),( 32 xyyxf es una solución implícita de 02
3 2
y
x
dx
dy en
,2I
Ejemplos para el Aula
1.- Demuestre que xsenxxf cos32)( es una solución explícita para todo real de:
02
2
ydx
yd
2.- Pruebe que 212 xcy es solución de xxyyx 2')1( 2
3.- Pruebe que )ln( xecy es una solución explícita de yxey'
4.- Demuestre que 21 xxy es una solución explícita de
32' xxyy
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5.- Demuestre que x
Cy
cos es una solución explícita de 0.tan' yxy
6.- Demuestre que 12)( xxxg es una solución explícita de 0
222
2
x
y
dx
yd
7- Probar que 02522 yx es una solución implícita de 0dx
dyyx en .55 xI
8.- Demostrar que ,622 yx es solución implícita de y
x'y
9.- Demostrar que ,13 23 xyx es solución implícita de
10,02xyy 22' xIyx
10. Demostrar que Cyx 224 , es solución implícita de 04xdx
dyy
PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
Por un problema con valores iniciales para una ecuación diferencial de orden n :
0,...,,,,2
2
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dyyxF
Se debe entender: “Hallar una solución de la EDO en un intervalo I, que satisfaga en 0x , las n
condiciones iniciales:”
10)1(
10
00
)(
)('
)(
nn yxy
yxy
yxy
Donde Ix0 y 1210 ,...,,, nyyyy son constantes dadas.
Ejemplos Explicativos
1.- Mostrar que xxsenxy cos)( es una solución del problema con valores iniciales
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1)0('
1)0(
02
2
y
y
ydx
yd
2.- Verifique que la función xx ececx 2
21)( es una solución de 022
2
ydx
dy
dx
yd
para cualquier 21 , cc . Determine 21 , cc de modo que se satisfagan las siguientes
condiciones iniciales. 1)1(';1)1( yy
3.- Verifique si la función xxxy cos)( es una solución del problema con valor inicial
24)4/(;tancos' yxyxy
Ejemplos para el Aula
1.- Verifique que la función xCCx ln)( 21 es una solución del problema con valor
inicial 1)2(';1)2(;0''' yyyxy
2.- Verifique que la función 1222)( xcexxx es una solución del problema con
valor inicial 1)0(;/'2
yyxyy
3.- Verifique que la función 2)( xCeBeAx xx
es una solución del problema con
valor inicial 2)0('';1)0(';0)0(;2'''' yyyxyy
4.- Determine el valor de m para que la función mxx)( sea una solución de la ecuación
dada 052
22 y
dx
dyx
dx
ydx
5.- Verifique que la función xx ececx 2
21)( es una solución de 022
2
ydx
dy
dx
yd
para cualquier 21 , cc . Determine 21 , cc de modo que se satisfagan las siguientes
condiciones iniciales. 3)0(';2)0( yy
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HOJADE PRÁCTICA
I.- Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales, proporcionar el orden, grado, además
identificar sus variables independientes y dependientes:
1.- )31(
)32(
yx
xy
dx
dy 11.- )1(3 2
5
5
xxdx
yd
2.- 02
2
2
x
ua
x
u 12.-
2
2
x
U
x
U
3.- txdt
dx
dt
xd
dt
xdcos45
2
2
3
3
13.- kNr
N
rr
N
t
N 12
2
4.- 02
2
xtdt
dy
dx
ydx 14.- 05)'(2''3)'''( 43 yyyxyy
5.- yxdx
yd
dx
yd 2
4
4
43
2
2
15.- 2
2
ydx
dy
6.- txdt
dx
dt
xd3cos2943
2
2
16.- )1(84
4
xxdx
yd
7.- 02
2
2
2
y
u
x
u 17.- 0)cos( dxxxydy
8.- 02
2
C
Q
dt
dQR
dt
OdL 18.- ;022
2
2
ydt
dxx
dx
yd
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9.- 0
4
2
22
3
3
vwdv
wd
dv
wd 19.- ),1)(4( xx
dt
dy
10.- ;0)( 22
2
22 px
dx
dyx
dx
ydx 20.- ;09)1(1.0 2
2
2
ydt
dxy
dx
yd
II.- Verificar si las siguientes funciones son solucione de las ecuaciones diferenciales que los
acompaña:
1.- 013'4''33cos 2
2
2
1 yyyxseneCxeCy xx
2.- )1(22''' 22
21
2 xxyyyeCeCxy xx
3.- 0)(ln ydx
dyxyC
y
xy
4.- 23'
3
1yy
Cxy
5.- 0'2'')cos()(cos xyyxyxxsenxBxsenxxAy
6.- 1cos' xsenyyyCexseny x
7.- 2xxseny 22
2
2
xydx
yd
8.- x
xy
cos, .sectan' xxyy
9.- xxx Ceey
2
2
2' xxxeyy
10.- 1224
1 22 xxCey x xxyy 22' 2
11.- xx Ceey 2
xeyy 2'
12.- 24cos2'2'' 22
21 tttxxxtsentetccx t
13.- senxy xsenxxxyy 2cos2'
14.- tx 2cos tsentxdt
dx2
15.- 22 xeCxy
2
22' xxexyy
16.- ,13 23 xyx 10,02xyy 22' xIyx
17.- 1Cxe y
yexy 1'
18.- Pruebe que 3
)( 2x
x ecexf es una solución explícita de
xeyy 2'
19.- mxexf )( , hallar el valor de m para que la función sea solución de ,056y ''' yy
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20.- Hallar el valor de m para que la función ,)( mxxf sea solución de
,023y '''''' yy
III Dadas las funciones analizar si )(xf es solución del PVI dado
1.- Verifique que la función xx ececx 2
21)( es una solución de
022
2
ydx
dy
dx
yd para cualquier elección de las constantes 21 , cc . Determine 21 , cc
de modo que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales. 2)1(';1)1( yy
2.- ,24)( 32 xx eexf es solución del PVI: ,2)0(y 6;y(0) 0,6y-yy ''''
IV.- En los siguientes problemas escriba una ecuación diferencial que se ajuste a la
descripción.
1. La velocidad en el instante t de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta es
proporcional a la cuarta potencia de su posición x .
2. La población P de una ciudad aumenta a una velocidad proporcional al producto de la población
y la diferencia entre la población y 100 000
3. Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de
3/254 t personas por mes. Determinar la ecuación diferencial que describe este fenómeno.
4. Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es 2341)( tttv
metros por minuto Determinar la ecuación diferencial que describe el desplazamiento del objeto.
5. La razón a la que las personas oyen hablar acerca de un nuevo aumento en los alimentos en un país
es proporcional al número de personas que no ha oído hablar al respecto.
6. La razón a la que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcional a la
cantidad de residentes que han sido infectados y al número de residentes propenso a la enfermedad
que no han sido infectados. Expresar la ecuación diferencial que modela el fenómeno.
7. El modelo de Mitsherlich, es un modelo útil de producción agrícola, especifica que el tamaño
)(tQ de un cultivo cambia de modo que la razón de cambio es proporcional a )(tQB , donde
B es el tamaño máximo del cultivo. Escribir esta relación como una ecuación diferencial.
8. La razón de cambio de masa de una partícula en un instante t es proporcional al cociente entre la
cantidad de masa presente y la cantidad de masa inicial.
MATEMÁTICA II
María Elena Cotrina León 13
9. La razón de cambio de una población en el instante t es proporcional al cuadrado de la población
en el instante t
10. Después de aplicar los frenos, la aceleración de un automóvil disminuye una razón constante de 10
2/ sm . Determinar la ecuación diferencial que describe este fenómeno
11. La razón de cambio de la producción de cierto artículo es proporcional a la diferencia de la
producción en ese instante y la producción inicial.
12. La razón de cambio de la masa A de sal en el instante t es proporcional al cuadrado de la masa
de sal presente en el instante t .
13. . La variación de cantidad de sal x que hay en un recipiente en relación al tiempo es igual a la a la
cantidad de sal que entra en el recipiente menos la cantidad de sal que sale.
14. El ritmo de crecimiento de una población de bacterias es proporcional a su población en ese
instante.