Ejercicios complementarios

Temas 3 y 4. Integrales dobles y curvilıneas.

1. Determinar los lımites de integracion, en los dos ordenes posibles, de la integral doble∫∫

Sf(x, y)dxdy

para los siguientes recintos:

a) S es el rectangulo de vertices (0, 0), (3, 0), (3, 1) y (0, 1).

b) S es el triangulo de vertices (0, 0), (1, 0) y (1, 1).

c) S es el paralelogramo de vertices (1, 2), (2, 4), (2, 7) y (1, 5).

d) S es el anillo circular limitado por las circunferencias de centro (0, 0) y radios 1 y 2, respect.

e) S = {(x, y) ∈ R2 / x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}f ) S = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 ≤ a2}, segun los diferentes valores de a.

g) S = {(x, y) ∈ R2 / x ≤ y, x ≥ −1, y ≤ 1}h) S = {(x, y) ∈ R2 / y ≤ x ≤ y + 2a}, segun los diferentes valores de a.

2. Sea R = [0, 1]× [0, 1] y f : R 7→ R definida por: f(x, y) =

x si x > y

y2 si x ≤ y

Probar que f es integrable en R, y calcular∫∫

Rfdxdy.

3. Sea R = [0, π]× [0, 1] y f : R 7→ R definida por: f(x, y) = |y− sen x|. Probar que f es integrable

en R, y calcular∫∫

Rfdxdy.

4. Calcular∫∫

Rf(x, y)dxdy en los siguientes casos:

a) R = {(x, y) ∈ R2 / y ≥ x2, x ≥ y2} y f(x, y) = x2 + 4y2.

b) R = {(x, y) ∈ R2 / 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ √y} y f(x, y) = xe−x2/y.

c) R = {(x, y) ∈ R2 / x ≤ y2, y ≤ x, 0 ≤ y ≤ 2}, y f(x, y) = senπx

y.

5. Dada la integral∫ 1

−1dx

∫ 1−x2

−√1−x2

f(x, y)dy determina la region de integracion e invierte el orden

de integracion.

6. Evaluar la siguiente integral, cambiando el orden de integracion∫ a

0dx

∫ (x2−a2)1/2

0(a2−y2)1/2dy

7. Demostrar la formula del area de un cırculo en funcion de su radio, utilizando la integral doble.

8. Sea T el triangulo limitado por y = x, y = −x, y = 1:

1

a) Expresar∫∫

Tf(x, y)dxdy como integral iterada en los dos ordenes posibles.

b) Expresar la integral anterior en coordenadas polares.

9. Dada la region R limitada por x2 + y2 ≤ 25, x ≥ 0, −x ≤ y ≤ x y la funcion f definida porf(x, y) = (x + y)2 + 2x− 2y

a) Expresa∫∫

Rf(x, y)dxdy como integral iterada en los dos ordenes posibles.

b) Calcula la integral doble utilizando coordenadas polares.

10. Calcula la integral del campo vectorial F a lo largo de la curva C en los siguientes casos:

a) F (x, y) = (y − x, y) y C el segmento de origen (0, 0) y extremo (1, 2).

b) F (x, y) = (xey, x2y) y C con parametrizacion γ(t) = (3t, t2), con t ∈ [0, 1].

c) F (x, y) = (x2y, xy2) y C la circunferencia de centro (0, 0) y radio 2, recorrida en sentidocontrario a las agujas del reloj.

d) F (x, y) = (x2 + y2, x2 − y2) y C es la curva de ecuacion y = 1 − |1 − x|, recorrida desdeel punto (0, 0) hasta (2, 0).

e) F (x, y) = (√

xy, x2y2) y C es el borde del triangulo de vertices (0, 0), (1, 1) y (1, 0),recorrido en sentido horario.

11. Sea C la grafica de la y = x2, recorrida desde el punto de abscisa -1 hasta el de abscisa 1. Seconsidera el campo vectorial F (x, y) = (exy(1 + xy), x2exy).

a) ¿Donde es F conservativo?.

b) Calcular la funcion potencial.

c) Calcular∫

CF .

12. Se considera el campo F (x, y) = (2x +1

x + y2,

2y

x + y2). Calcular la lınea de F a lo largo de

todos los arcos de parabola que unen los puntos (1, 0) y (4, 0) y cuyo eje es paralelo a OY .

13. Calcular la circulacion del campo vectorial F a lo largo de la curva C utilizando el teorema deGreen, en los siguientes casos:

a) F (x, y) = (y2, x) y C es la frontera del cuadrado [0, 2] × [0, 2] recorrida en el sentido delas agujas del reloj.

b) F (x, y) = (3x + y, 2y − x) y C es la elipse 4x2 + y2 = 4 recorrida en sentido contrario aas agujas del reloj.

14. Calcular la longitud de la curva C en los siguientes casos:

a) C es una circunferencia de radio r, con r ∈ R+.

b) C es el arco de curva de la helice de ecuaciones x = a cos t, y = a sen t, z = bt, parat ∈ [0, 2π].

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