Upload
carlos-rubina
View
13
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Ejercicios complementarios
Temas 3 y 4. Integrales dobles y curvilıneas.
1. Determinar los lımites de integracion, en los dos ordenes posibles, de la integral doble∫∫
Sf(x, y)dxdy
para los siguientes recintos:
a) S es el rectangulo de vertices (0, 0), (3, 0), (3, 1) y (0, 1).
b) S es el triangulo de vertices (0, 0), (1, 0) y (1, 1).
c) S es el paralelogramo de vertices (1, 2), (2, 4), (2, 7) y (1, 5).
d) S es el anillo circular limitado por las circunferencias de centro (0, 0) y radios 1 y 2, respect.
e) S = {(x, y) ∈ R2 / x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}f ) S = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 ≤ a2}, segun los diferentes valores de a.
g) S = {(x, y) ∈ R2 / x ≤ y, x ≥ −1, y ≤ 1}h) S = {(x, y) ∈ R2 / y ≤ x ≤ y + 2a}, segun los diferentes valores de a.
2. Sea R = [0, 1]× [0, 1] y f : R 7→ R definida por: f(x, y) =
x si x > y
y2 si x ≤ y
Probar que f es integrable en R, y calcular∫∫
Rfdxdy.
3. Sea R = [0, π]× [0, 1] y f : R 7→ R definida por: f(x, y) = |y− sen x|. Probar que f es integrable
en R, y calcular∫∫
Rfdxdy.
4. Calcular∫∫
Rf(x, y)dxdy en los siguientes casos:
a) R = {(x, y) ∈ R2 / y ≥ x2, x ≥ y2} y f(x, y) = x2 + 4y2.
b) R = {(x, y) ∈ R2 / 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ √y} y f(x, y) = xe−x2/y.
c) R = {(x, y) ∈ R2 / x ≤ y2, y ≤ x, 0 ≤ y ≤ 2}, y f(x, y) = senπx
y.
5. Dada la integral∫ 1
−1dx
∫ 1−x2
−√1−x2
f(x, y)dy determina la region de integracion e invierte el orden
de integracion.
6. Evaluar la siguiente integral, cambiando el orden de integracion∫ a
0dx
∫ (x2−a2)1/2
0(a2−y2)1/2dy
7. Demostrar la formula del area de un cırculo en funcion de su radio, utilizando la integral doble.
8. Sea T el triangulo limitado por y = x, y = −x, y = 1:
1
a) Expresar∫∫
Tf(x, y)dxdy como integral iterada en los dos ordenes posibles.
b) Expresar la integral anterior en coordenadas polares.
9. Dada la region R limitada por x2 + y2 ≤ 25, x ≥ 0, −x ≤ y ≤ x y la funcion f definida porf(x, y) = (x + y)2 + 2x− 2y
a) Expresa∫∫
Rf(x, y)dxdy como integral iterada en los dos ordenes posibles.
b) Calcula la integral doble utilizando coordenadas polares.
10. Calcula la integral del campo vectorial F a lo largo de la curva C en los siguientes casos:
a) F (x, y) = (y − x, y) y C el segmento de origen (0, 0) y extremo (1, 2).
b) F (x, y) = (xey, x2y) y C con parametrizacion γ(t) = (3t, t2), con t ∈ [0, 1].
c) F (x, y) = (x2y, xy2) y C la circunferencia de centro (0, 0) y radio 2, recorrida en sentidocontrario a las agujas del reloj.
d) F (x, y) = (x2 + y2, x2 − y2) y C es la curva de ecuacion y = 1 − |1 − x|, recorrida desdeel punto (0, 0) hasta (2, 0).
e) F (x, y) = (√
xy, x2y2) y C es el borde del triangulo de vertices (0, 0), (1, 1) y (1, 0),recorrido en sentido horario.
11. Sea C la grafica de la y = x2, recorrida desde el punto de abscisa -1 hasta el de abscisa 1. Seconsidera el campo vectorial F (x, y) = (exy(1 + xy), x2exy).
a) ¿Donde es F conservativo?.
b) Calcular la funcion potencial.
c) Calcular∫
CF .
12. Se considera el campo F (x, y) = (2x +1
x + y2,
2y
x + y2). Calcular la lınea de F a lo largo de
todos los arcos de parabola que unen los puntos (1, 0) y (4, 0) y cuyo eje es paralelo a OY .
13. Calcular la circulacion del campo vectorial F a lo largo de la curva C utilizando el teorema deGreen, en los siguientes casos:
a) F (x, y) = (y2, x) y C es la frontera del cuadrado [0, 2] × [0, 2] recorrida en el sentido delas agujas del reloj.
b) F (x, y) = (3x + y, 2y − x) y C es la elipse 4x2 + y2 = 4 recorrida en sentido contrario aas agujas del reloj.
14. Calcular la longitud de la curva C en los siguientes casos:
a) C es una circunferencia de radio r, con r ∈ R+.
b) C es el arco de curva de la helice de ecuaciones x = a cos t, y = a sen t, z = bt, parat ∈ [0, 2π].
2