Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
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Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
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PROFESORES Y ALUMNOS
Estimulados por la Institución “Dr. José María Vargas”, nos dimos a la tarea de presentar a nuestros
colegas y estudiantes una edición que, en realidad viene a ser un texto con un nuevo y actualizado enfoque del
programa de Matemática del cuarto año de Educación Media General, así como la modalidad digitalizada y con
la implementación del programa Geogebra (es un Programa dinámico para la enseñanza y aprendizaje para las
matemáticas para educación en todos sus niveles), para que sea más accesible a la comunidad estudiantil,
profesores y alumnos.
Se trata de un libro de gran utilidad, en el cual se han incluido numerosos ejercicios con una breve
explicación, donde se indican ejemplos y problemas que son de gran utilidad para el desarrollo de los objetivos
propuestos.
En el desarrollo de los temas hemos tenido muy en cuenta el programa vigente emanado del Ministerio
del Poder Popular para La Educación y hemos sido fieles en seguir minuciosamente los objetivos y contenidos
del mismo, haciendo mucho hincapié, allí donde el tema lo permite, en citar ejemplos e ilustrar lo mejor posible
los mismos, de modo que el estudiante los realice de una forma sencilla y entendible y así lograr los
aprendizajes propuestos en el programa del nivel respectivo en que se encuentra.
Al final del texto hemos agregado una amplia gama de autoevaluaciones que le permitan al alumno a
entrenarse para las futuras pruebas en cada lapso y así tener resultados óptimos esperados por todos.
Este esfuerzo, plasmado en este libro, no pretende ser una obra completa y perfecta. Las mismas
características del texto de tener que ceñirse a un programa establecido previamente, nos limita
considerablemente, por estas razones recibiremos de buen agrado las observaciones y críticas constructivas, que
nos hagan llegar, tanto los profesores como los estudiantes, que ayuden al mejoramiento de este texto.
LOS AUTORES
Carrizal, 2016
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
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INDICE
Pág TEMA 1 Vectores en el Plano ………………………………………………………………………………………………………………………4
TEMA 2 Ángulos y Rotaciones……………………………………………………………………………………………………………………….25
TEMA 3 Funciones en el Círculo Trigonométrico……………………………………………………..……..………………………………………42.
TEMA 4 Las Razones Trigonométricas………………………………………………………..……………………………………………………48
TEMA 5 Identidades Trigonométricas……………………………………………………………………………….………………………………65
TEMA 6 Funciones Trigonométricas de la Suma y Diferencia de Ángulos ……………………………………………………………………….71
TEMA 7 Funciones Trigonométricas del Ángulo Doble……………………………………………..………………………………………………74
TEMA 8 Funciones Trigonométricas del Ángulo Medio……………………………………………………………………………………………77
TEMA 9 Ley del Seno y Ley del Coseno……………………………………………………………………………………………….…........81
TEMA 10 Funciones Trigonométricas Inversas…………………………………………………………………………………..………………..92
TEMMA 11 Angulos complementarios y Angulos suplementarios …………………………………………………………………………………….97
TEMA 12 Angulos que se diferencian en 180°, ángulos opuestos, ángulos negativos y mayores de 360° …………………………………………..100
TEMA 13 Transformaciones de operaciones trígonométricas ………………………………………………………………………………………..106
TEMA 14 Sistema de Coordenadas Cartesianas……………………………………………………………….….………………….…………..108
TEMA 15 Función Real de Variable Real……………………………………………………………….……………………………………….113
TEMA 16 Dominio de Funciones Continuas y Discontinuas………………………………………………………………………………………126
TEMA 17 Función Exponencial………………………………………………………………..……………………………………………………137.
TEMA 18 Función Logaritmo . Propiedades………………………………………………………………………………………………………150
TEMA 19 Ecuaciones Trigonométricas………………………………………………………………..…………………………………………..178
TEMA 20 Ecuaciones Exponenciales………………………………………………………………………………………………………………183
TEMA 21 Números Complejos. Operaciones…………………………………………………………………………………..………………….192
TEMA 22 Sucesiones y Progresiones Aritméticas y Geométricas…………………………………………………………………………………229
AUTOEVALUACION ……………………………………………………………………………………………………………………………….238
PROBLEMARIO …………………………………………………………………………………………………………………………………….242
BIBLIOGRAFIA ……………………………………………………………………………………………………………………………………..244
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VECTORES
Definir Vector en el plano
Denominamos transformaciones en el plano π , a toda aplicación de un subconjunto de puntos de
π subconjunto de puntos π.
Cuando las transformaciones conservan las distancias, se denominan Transformaciones métricas
isométricas o movimientos rígidos en el plano.
Vector fijo
Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B
(extremo).
Vector nulo
Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.
Módulo del vector
| |
Es la longitud del segmento AB , se representa por
Dirección y sentido del vector:
VECTORES EN EL PLANO 1
Debes recordar
que un vector es
un segmento de
recta orientado
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Dirección de un vector:
Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido del vector:
El que va del origen A al extremo B.
Vectores equipolentes:
Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido .
Vectores libres
Ejercicios:
El conjunto de todos los vectores equipolentes
entre sí se llama vector libre . Cada vector fijo es
un representante del vector libre .
1 Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas
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2 Coordenadas o componentes de un vector en el plano
Si las coordenadas de A y B son:
Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos
las coordenadas del origen.
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Ejercicios:
1 Cálculo del módulo conociendo sus componentes
2 Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
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Vectores unitarios
Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.
Ejercicios:
1 Suma de vectores
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a
los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
2 Resta de vectores
Para sumar dos vectores l ibres y se escogen como
representantes dos vectores tales que el extremo de uno
coincida con el origen del otro vector.
Para restar dos vectores libres y se suma con el
opuesto de .
Las componentes del vector resta se obtienen restando
las componentes de los vectores.
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Multiplicación de un N° real por un vector:
Dado un vector a = (x, y) y un número real K, llamamos producto del número real por el vector a, a
otro vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las
Componentes del vector por el número real.
K . a = (k . x , k . y)
El vector resultante tiene la misma dirección que a, el mismo sentido cuando K es positivo, y
sentido contrario cuando K es negativo.
Componentes de un vector Se llaman componentes de un vector al punto que tiene como abscisa la diferencia
de las mismas, y como ordenadas la diferencia de las mismas de los puntos que forman el extremo y el origen.
a (xa , ya) y b (xb , yb) componentes ab = ( xb – xa , yb – ya)
El producto de un número k por un vector es otro vector:
1 De igual dirección que el vector .
2 Del mismo sentido que el vector si k es positivo .
3 De sentido contrario del vector si k es negativo .
4 De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las
componentes del vector.
Realiza los siguientes ejercicios
EJERCICIOS: Dado el vector a = (3, -1). Hallar 3 a ; -2 a ; a5
2
3 a = 3(3,-1) = { 3 . 3 , 3 . (-1)} = (9,-3)
-2 a = -2(3,-1) = { -2 . 3 , -2 . (-1)} = (-6,2)
a5
2 =
5
2 (3,-1) = {
5
2 . 3 ,
5
2 . (-1)} = (
5
6 ,
5
2 )
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1 Coordenadas del punto medio de un segmento
2 Condición para que tres puntos estén alineados
3 Simétrico de un punto respecto de otro
Las coordenadas del punto medio de un
segmento coinciden con la semisuma de
las coordenadas de los puntos extremos .
Los puntos A (x1 , y1), B(x2 , y2) y C(x3 , y3) están
alineados siempre que los vectores tengan
la misma dirección . Esto ocurre cuando sus
coordenadas son proporcionales .
Si A' es el simétrico de A respecto de M , entonces M es
el punto medio del segmento AA' . Por lo que se verificará
igualdad:
Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es
el punto de intersección de sus medianas .
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Las coordenadas del baricentro son:
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la
recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la
relación r:
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Dado el vector = (2, −1), determinar dos vectores equipolentes a , ,
sabiendo que A(1, −3) y D(2, 0).
2 Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5.
3 Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma
dirección y sentido.
4 Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(−3, 4) y C(−1, 6), hallar las
coordenadas del baricentro.
5 Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de
AC, A(−3, 1).
6 Averiguar si están alineados los puntos: A(−2, − 3), B(1, 0) y C(6, 5).
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7 Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(−1, −2),
B(4, −1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
8 Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, −1) y B(8, −4).
Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales
que AC es la mitad de CB.
9 Si el segmento AB de extremos A(1, 3), B(7, 5), se divide en cuatro partes
iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?
10 Hallar el simétrico del punto A(4, −2) r especto de M(2, 6).
SOLUCIONES
1) Dado el vector = (2, −1), determinar dos vectores equipolentes a , , sabiendo
que A(1, −3) y D(2, 0).
Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5.
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3.- Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma
dirección y sentido.
4.- Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(−3, 4) y C(−1, 6), hallar las
coordenadas del baricentro.
5.-Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de
AC, A(−3, 1).
6.- Averiguar si están alineados los puntos: A(−2, −3), B(1, 0) y C(6, 5).
7.- Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(−1, −2), B(4,
−1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
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7.- Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, −1) y B(8, −4). Hallar
las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es
la mitad de CB.
8.- Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, −1) y B(8, −4). Hallar
las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es
la mitad de CB.
9.- Si el segmento AB de extremos A(1, 3), B(7, 5), se divi de en cuatro partes iguales,
¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?
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10.- Hallar el simétrico del punto A(4, −2) respecto de M(2, 6).
Ejercicios y problemas resueltos de vectores y producto escalar
1 Hallar el simétrico del punto A(3, −2) respecto de M(−2, 5).
Solución:
Hallar el simétrico del punto A(3, −2) respecto de M(−2, 5).
2 Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.
Solución
Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.
3 Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se
obtenga
Solución
Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se obtenga
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4 Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(−1, −2), B(4, −1), C(5, 2) y D; sea un
paralelogramo.
Solución
5 Si { , } forma una base ortonormal, calcular:
a ·
b ·
c ·
d ·
Solución
Calcula las coordenadas de D para que e l cuadr i látero de
vér t ices: A(−1 , −2) , B(4 , −1) , C(5, 2 ) y D; sea un paralelogramo.
Si { , } forma una base or tonormal, calcular :
a · = 1 · 1 · cos 0° = 1
b · = 1 · 1 · cos 90° = 0
c · = 1 · 1 · cos 90° = 0
d · = 1 · 1 · cos 0° = 1
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6 Dados los vectores =(2, k) y = (3, −2), calcula k para que los
vectores y sean:
1 Perpendiculares.
2 Paralelos.
3 Formen un ángulo de 60°.
Solución
Dados los vectores =(2, k) y = (3, −2), calcula k para que los vectores y sean:
1 Perpendiculares.
7 Calcular el valor de k sabiendo que
Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores tienen como
expresiones:
Calcular el valor de k sabiendo que
8 Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores tienen como
expresiones:
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.
Solución
Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores tienen como
expresiones:
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.
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9 Calcula la proyección del vector sobre el vector .
Solución
Calcula la proyección del vector sobre el vector .
10 Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .
Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .
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RESUMEN
Vector Nulo: el vector nulo es el vector que tiene como componentes (0,0); es decir: 0 = (0,0).
Vector Opuesto: se llama vector opuesto del vector a = (ax,ay), al vector cuyas componentes son (-ax,ay). El
vector opuesto de a se denota por -a.
Suma de Vectores:
Ejemplo: Dados los vectores a = (-4,7) ; b = (5,8). Hallar 2 a + 3 b
2 a = {2 .( –4),2 . 7} = (-8,14) 3 b = (3 . 5,3 . 8) = (15,24)
a + 3 b = (-8+15,14+24) = (7,38)
Longitud o Norma de un vector: Se llama longitud o norma de un vector a = (ax,ay) ε V2, y se denota // a //, a
la raíz cuadrada no negativa del producto escalar de a por sí mismo. Es decir: // a // = 22 ayax
Ejemplo: Hallar la norma del vector a = ( 6 , 30 )
// a // = ( 6 )2 + ( 30 )
2 = 306 = 36 = // a // = 6
Definir el producto escalar de vectores:
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Definimos el producto escalar de los vectores a y b, como el producto del módulo de uno de ellos
por el módulo de la proyección del otro sobre él.
El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplo: El producto escalar de dos vectores a y b es igual a 20, sabemos que
/ a / = 5 y / b / = 8. Calcular el valor del ángulo que forman los vectores.
a . b = 20
/ a / = 5 Cos α = a . b Cos α = 20 → 0,5 → 1/2
/ b / = 8 / a / . / b / 40
α = x
Ejemplo: Dados los puntos a(2,3) ; b(5,8) y c(-6,2) representar los vectores ab, cb y ac, hallar sus
componentes y módulos.
Componentes: ab = (5-2,8-3) = (3,5) cb = {5-(-6),8-2} = (11,6)
ac = (-6-2,2-3) = (-8,-1)
Módulos: /ab/ = 32 + 5
2 = 34
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20
/cb/ = 112+6
2 = 157
/ac/ = (-8)2+(-1)
2 = 65
Representación Gráfica: y
8
7
6
5
4
3
2
1 x
-6 0 2 5
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las fórmulas de vectores:
1) a . b = 32 2) a . b = 54
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/ a / = 6 / a / = 8
/ b / = 7 / b / = 10
α = x α = x
3) a . b = x 4) a . b = x
/ a / = 4 / a / = 9
/ b / = 7 / b / = 3
α = 45° α = 30°
Con los siguientes puntos, hallar los componentes, módulos y representación gráfica:
1) a(4,3) , b(-3,6) , c(2,-5) 2) a(3-6) , b(-4,-2) , c(4,2)
3) a(-4,2) , b(5,7) , c(3,-7) 4) a(-1,4) , b(6,5) , c(-2,-4)
5) a(-1,-2) , b(4,7) , c(-3,5) 6) a(6,4) , b(-3,-5) , c(2,6)
Hallar la suma de los siguientes vectores: 2 a + 3 b
1) a = (3,5) , b = (-3,-6) 2) a = (9,0) , b = (-1,-2) 3) a = (6,5) , b = (-4,8)
¡Realiza los
siguientes
ejercicios!!!!!!!
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4) a = (-5,-8) , b =(-4,-3) 5) a = (-5,-3) , b =(1,5) 6) a = (6,-9) , b =(3,7)
Hallar el módulo de los vectores siguientes:
1) a = (13
3,
13
2) 2) a = (3,9) 3) a = (5,0) 4) a = ( 15 ,1)
5) a = (0,7) 6) a = (10, 144 ) 7) a = (4/2,6/3) 8) a = ( 4 ,5)
Establecer el concepto de base:
Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación lineal de otros vectores no
colineales, decimos que un par de vectores no colineales constituyen una base del conjunto de los vectores de
dicho plano.
Establecer el concepto de dimensión:
Puede haber muchas bases, pero todas ellas están formadas por dos vectores, por lo cual se dice que el plano
tiene dimensión dos.
Determinar si un vector es combinación lineal de otros vectores:
En forma general, un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a y b, si existen
números reales p y q, tales que u = p . a + q . b.
Vectores colineales:
Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son proporcionales , es decir, uno es
combinación lineal del otro.
Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y c = (-3,5) expresar a como una
combinación lineal de b y c.
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a = p . b + q . c
(3,4) = p(-1,0) + q(-3,5) (3,4) =( -p,0) + (-3q,5q)
(3,4) = (-p-3q,0+5q) 3 = -p - 3q
4 = 0 + 5q
Despejamos q: 4 = 5q q = 4/5
Despejamos p: 3 = -p-3q 3 = -p-3( 4/5 )
3 = -p-12
/5
p = -3 - 12
/5
p = -12-15 = p =-27
/5
5
a = -27/5 b + 4/5 c
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24
Expresar el vector a como combinación lineal de los otros vectores:
1) a = (2,4) combinación lineal de b = (1,2) , c = (-1,3)
2) a = (1,5) combinación lineal de b = (2,4) ; c = (-2,-4)
3) a = (1,-1) combinación lineal de b = (-2,4) ; c = (5,-2)
4) a = (-2,0) combinación lineal de b = (1,0) ; c = (3,6)
a = (3,2) combinación lineal de b = (-3,-2) ; c = (3,4)
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Definir ángulo, partiendo de la rotación de un vector en el plano.
Se llama ángulo de dos semirrectas r y r’ de origen 0, a la rotación que transforma a una de las
semirrectas dada, en la otra, por ejemplo r en r´.
r’
α
0 r
El punto 0 se llama vértice y las rectas r’ y r lados.
Rotación o giro: es una transformación geométrica en virtud de la cual a todo punto se le hace
corresponder otro punto primo, de tal manera que sus distancias a un punto fijo 0 (cero) llamado centro de
rotación, son iguales y las semirrectas 0A y 0A’ forman un ángulo constante y determinado en amplitud y
sentido llamado ángulos de rotación.
A’
ÀNGULOS Y ROTACIONES 2
‘Recuerda 2do,
Año, la rotación
es……………….
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26
0 A
Propiedades de las rotaciones:
a.- Toda rotación deja fijo al centro de rotación.
b.- Toda rotación transforma una recta en otra recta.
c.- En toda rotación los segmentos que unen los puntos homólogos son iguales.
Establecer los sistemas de medidas para ángulos:
Un ángulo es positivo cuando se gira en sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo en caso contrario.
Radián: es el ángulo central cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual al radio.
a.- La longitud de un arco es igual al producto de sus ángulos en radianes por el radio.
b.- La longitud de un arco medido en radios, viene expresado por el mismo número que su ángulo central
correspondiente medido en radianes.
De aquí se deduce que la medida de un ángulo es una aplicación de longitud de arco a ángulos.
Sistema Sexagesimal:
La circunferencia se divide en 360 partes y a cada parte se llama grado.
Cada grado se divide en 60 partes y a cada parte se le llama minuto.
Cada minuto se divide en 60 partes y a cada parte se le llama segundo.
Ejemplo: 25° 36’ 48’’ ( se lee 25 grados, 36 minutos, 48 segundos)
Reducción de ángulos del sistema sexagesimal al circular y viceversa:
Ejemplos:
1.- Transformar a radianes 26°
180°______________π =3,1416
26°_______________ x x = 26° . 3,1416 x =0,4537 radianes
180°
2.- Transformar 1,4839 radianes a grados
π =3,1416__________180°
1,4839__________ x x = 1,4839 . 180° x = 85° aprox.
3,1416
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27
Definir ángulo, partiendo de la rotación de un vector en el plano.
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
1 Grado sexagesimal (°):
Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus
partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
2 Radián (rad):
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
‘!!!!!Realiza los
siguientes
ejercicios¡¡¡¡¡¡¡.
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen
común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las
agujas del reloj y negativo en caso contrario.
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28
Ejemplo:
Dados los vectores siguientes, hallar el producto del N° real por el vector:
1) a = (3,-2) . Hallar 5 . a 2) b = (-4,-5) . Hallar -4 . b
3) x = (2/5,3/2). Hallar 2/4 . x 4) y = (-4,6/2) . Hallar –4 . y
5) p = ( 5 , 4 ) . Hallar 3 . p 6) a = ( 9 ,4/3) . Hallar –6 . a
2π rad = 360°
π rad = 180°
30º rad
/3 rad 60º
‘!!!!!Realiza los
siguientes
ejercicios¡¡¡¡¡¡¡.
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Dados los siguientes vectores, hallar su componente:
1) a = (3,6) ; b = (4,-3) 2) a = (-4,9) ; b = (-4,-7)
3) x = (-1,-8) ; y = (2,11) 4) p = (-7,6) ; q = (-2,5)
5) a = (5/3,6) ; b = (3/2,5/4) 6) s = (2/5,-4) ; t = (5,4)
Transformar:
a) 36° a radianes b) 57° a radianes c) 87° a radianes
d) 45,234π a grados e) 2,4563π a grados f) 1,2453π
Medición de ángulos
Para medir ángulos utilizamos el grado sexagesimal (°)
Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
1º = 60' = 3600' '
1 ' = 60' '
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen
común.
A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
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30
1 rad= 57° 17' 44.8' '
360º = 2π rad
GIRO
1 Giro de centro O(0,0)
Radián (rad) es la medida del ángulo cen tral de una
circunferencia cuya longitud de arco co inc ide con la longitud de
su radio.
Dados un punto O y un ángulo α, se llama giro de centro O y
ángulo α a una transformación G que hace corresponder a cada
punto P otro P' = G(P) de modo que:
El sentido de giro positivo de es del contrario al movimiento de
las agujas del reloj.
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31
2 Giro de centro O'(a,b)
Composición de giros
1 Con el mismo centro
Al aplicar sucesivamente dos giros de igual centro O y amplitudes α y β se obtiene un giro de igual
centro O y amplitud igual a la suma de las amplitudes α+β .
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32
2 Con distinto centro
1 Suma de ángulos
Gráfica: La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos
ángulos iniciales.
Numérica:
1 Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y
los segundos debajo de los segundos; y se suman.
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33
2 Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el
cociente se añadirán a los minutos.
3 Se hace lo mismo para los minutos.
2 Resta de ángulos
Gráfica: La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del
ángulo mayor y la del ángulo menor.
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34
Numérica:
1 Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y
los segundos debajo de los segundos.
2 Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60
segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.
3 Hacemos lo mismo con los minutos.
3 Multiplicación de ángulos
Gráfica: La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de
tantos ángulos iguales al dado como indique el número.
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35
Numérica:
1 Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.
2 Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el
cociente se añadirán a los minutos.
3 Se hace lo mismo para los minutos.
4 División de ángulos
Gráfica: La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese
número da como resultado el ángulo original.
:4 =
Numérica: Dividir 37º 48' 25'' entre 5
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36
1 Se dividen los grados entre el número.
2 El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.
3 Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.
4 Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.
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37
Medición de ángulos
Ahora continuaremos el estudio de la trigonometría con el concepto de ángulos y sus
medidas. Un ángulo es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se extienden
desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del ángulo. El rayo r, se llama el lado
inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en
la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición
terminal.
P
r
lado lado inicial
terminal
lado
terminal
lado
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en
el origen y su lado inicial a lo largo deleje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición
normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a
continuación.
Una rotación en el sentido contrario a la manecillas del reloj produce
un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas
del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación
en cualquier dirección no está limitada. Dos ángulos diferentes pueden
tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se
llaman ángulos coterminales.
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38
Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden
comúnmente
en grados o radianes.
Definición: Medición en grados
Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un ángulo formado por
1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “
0” denota grados.
Definiciones:
Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 90
0. Un ángulo
agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide mayor de 90
0 pero
menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son
radios del círculo.
ángulo llano ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso
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39
Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos son suplementarios si su suma es
1800.
Nota: Los ángulo que miden 00, 90
0, 180
0, 270
0 y 360
0 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado
terminal yace sobre los ejes x ó y).
Definición: Medición en radianes
Si el vértice de un ángulo está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a en la
circunferencia es s, entonces medido en radianes está dado por:
r
Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y
el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin unidades.
Ejemplos para discusión: Halla en radianes la medida de un ángulo central opuesto a la longitud de un
arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a continuación:
1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas
2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetros
Ejercicio de práctica: ¿Cuál es la medida de un ángulo central opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de
radio de 12 pies?
Conversión entre grados y radianes:
La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en que:
Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas:
Radianes a grados Grados a radianes
Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma
longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas
unidades. Además, se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo
y como medida del ángulo.
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40
Ejemplos para discusión:
1) Cambia de radianes a grado: 2) Cambia de grados a radianes:
a) 5 radianes b) 7/6 π c) -5/12π a) 75
0 b) 150
0 c) -15
0
Usando la calculadora
También podemos hacer la conversión de grados a radianes y de radianes a grados con la
calculadora. Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora.
Para cambiar radianes a grados:
Ejemplo: 5 radianes a grados
Calculadora científica Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo “radianes” con la
tecla [DRG].
- Entrar el número 5.
- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta
obtener el modo de “grados”.
- La respuesta es 286.50
- Seleccionar el modo “grados con las
teclas [MODE],[ENTER],[Exit].
- Entrar al menú [Math].
- Elegir <Angle>.
- Entrar el número 5.
- Elegir <r> y oprimir [ENTER].
- La respuesta es 286.50
Para cambiar grados a radianes:
Ejemplo: 750 a radianes
Calculadora científica Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo de “grados” con la
tecla [DRG].
- Entrar el número 75.
- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta
obtener el modo de “radianes”.
- La respuesta es 1.31
- Seleccionar el modo ”radianes” con las
teclas [MODE],[ENTER],[EXIT].
- Entrar al menú [Math]
- Elegir <Angle>
- Entrar el número 75.
- Elegir <o> y oprimir [ENTER].
- La respuesta es 1.31
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41
Ejercicio de práctica:
1) Cambia de radianes a grado: 2) Cambia de grados a radianes
a) 1 radián b) 17/10 π a) 2400 b) 270
0
3) Completa la tabla a continuación:
Radianes Grados
90
120
180
210
225
270
315
360
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42
Establecer las funciones trigonométricas en el Círculo Trigonométrico
Con centro en el origen de coordenadas y radio igual a la unidad se traza una circunferencia (círculo
trigonométrico o circunferencia unitaria)
y
p(x , y)
1
α A
mx 0 x
(1,0)
Si un punto p parte del punto A y se desplaza α unidades alrededor de la circunferencia,
conociendo el sentido del desplazamiento se puede situar exactamente la posición de p para cualquier valor
de α = arc. Ap.
Si α es mayor de 2π, el punto p dará más de una vuelta.
FUNCIONES EN EL CIRCULO
TRIGONOMÈTRICO 3
Apréndete las
fórmulas de
memoria…………
.
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43
Como el mismo número que mide la longitud del arco en radios, mide el ángulo central en radianes,
podemos asegurar que a cada ángulo central le corresponde un punto en la circunferencia.
De aquí se definen 3 funciones:
sen α____________ y y = ordenada de p
cos α____________x x = abscisa de p
tg α_____________y/x x ≠ 0
Identificar el Dominio y el Rango de las funciones Seno, Coseno y Tangente:
Sean: sen : R R
cos : R R
tg : R R
El dominio de estas tres funciones es R, el rango del seno y del coseno es el intervalo {-1,1}, porque en el
triángulo rectángulo los catetos y ninguno de ellos puede ser mayor que la hipotenusa que vale 1. El rango de
la tangente es R, menos para los valores de x igual a cero.
y
x
Signos de las funciones trigonométricas circulares, en cada uno de los cuadrantes
Primer cuadrante: 0° < α < 90° ó 0 < α < π/2
sen = + ; cos = + ; tg = +
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44
Segundo Cuadrante: 90° < α < 180° ó π/2 < α < π
sen = + ; cos = - ; tg = -
Tercer Cuadrante: 180° < α < 270° ó π < α < 3 π/2
sen = - ; cos = - ; tg = +
Cuarto Cuadrante: 270° < α < 360° ó 3π/2 < α < 2π
sen = - ; cos = + ; tg = -
Reducción al 1er
cuadrante, y cálculo del valor numérico de una expresión trigonométrica dada.
Hallar las funciones trigonométricas de 150°
90°
180° 0°
360°
270°
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45
Ubicado en el 2do
cuadrante A = 180° - 150° A = 30°
sen (180°-150°) = sen 30° = ½ = 0,5
cos (180°-1550°) =- cos 30° = -0,866 = 2
5
tg (180°-150°) = - tg 30° = -0,5773= 3
3
Aplicar las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos
y
P
α
0 M x
Sea 0PM un triángulo rectángulo en M . 0M y MP son los catetos y 0P es la hipotenusa.
Suponiendo que está situado en el primer cuadrante según la figura anterior, se puede definir las funciones
trigonométricas siguientes:
Razones trigonométricas de ángulos
Se llama circunferencia trigonométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y
su radio es la unidad.
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46
En la circunferencia trigonométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se
numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
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47
Signo de las razones trigonométricas
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48
LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la
hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la
hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el
cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B
LAS RAZONES TRIGONOMÈTRICAS LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OTROS ÁNGULOS RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTANGULOS
4
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49
Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B. c
a
centecatetoadya
hipotenusa
BB
cos
1sec
Cotangente Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B. b
c
stocatetoopue
centecatetoadya
senB
B
tgBgB
cos1cot
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS
QOP y TOS son triángulos semejantes. QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
Se llama circunferencia trigonométrica a aquélla que tiene su centro en el
origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia
trigonométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se
numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
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50
Signo de las razones trigonométricas
sen α = ordenada = PM = cateto opuesto al ángulo α
radio 0P hipotenusa
cos α = abscisa = 0M = cateto adyacente al ángulo α
radio 0P hipotenusa
Estas fórmulas son
para la resolución de
triángulos
rectángulos.
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51
tg α = ordenada = PM = cateto opuesto al ángulo α
abscisa 0M cateto adyacente al ángulo α
ctg α = abscisa = 0M = cateto adyacente al ángulo α
ordenada PM cateto opuesto al ángulo α
sec α = radio = 0P = hipotenusa
abscisa 0M cateto adyacente al ángulo α
csc α = radio = 0P = hipotenusa
ordenada PM cateto opuesto al ángulo α
RESOLVER PROBLEMAS APLICANDO LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo, significa calcular el valor de sus tres lados, sus tres ángulos, área, etc.
En la práctica solo se calcula alguno de sus elementos.
Para calcular los lados aplicamos las definiciones de seno, coseno y tangente del ángulo conocido.
Ejemplos: En el triángulo rectángulo de la figura, calcular los lados AC y BC
B
50 cm
40° 20´
A C
Cálculo de BC sen 40° 20’ = CO BC = AB . sen 40° 20’
H
sen 40° 20’ = 0,6472 AB = 50 cm BC = 50 cm . 0,6472
BC = 32,36 cm
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52
Cálculo de AC Cos 40° 20’ = CA AC = AB . Cos 40° 20’
H
AC = 50 cm . 0,7623 AC = 38,11
Razones Trigonométricas:
Sen β = y Cos β = x Tg β = y
x z x
Sec β = z Cotg β = x Csc β = z
x y y
Ejemplo: Hallar las razones trigonométricas del ángulo β en el triángulo pqr. Donde x = 6 ; y = 8
r x p
β
y z
q
Aplicamos Pitágoras: 22 yxz 22 86 z 6436z 100z 10z
Fórmulas para
resolver razones
trigonométricas
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53
Sen β = y/z = 8/10 = 4/5 Cos β = x/z = 6/10 =
3/5
Tg β = y/x = 8/6 = 4/3 Sec β = z/x = 10/6 =
5/3
Cotg β = x/y = 6/8 = ¾ Csc β = z/y = 10/8 = 5/4
Seno, coseno y tangente de 30º, 45º y 60º
Seno, coseno y tangente de 30º y 60º
Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si
trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido
en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:
Seno, coseno y tangente de 45º
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54
Razones trigonométricas de ángulos notables
Razones Trigonométricas de otros ángulos
Ángulos que difieren en 90º ó π/2 rad
Ejemplo:
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55
Ángulos que suman 270º ó 3/2 π rad
Ejemplo:
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56
Ángulos que difieren en 270º ó 3/2 π rad
Ejemplo:
Resolución de triángulos rectángulos
1 Se conocen la hipotenusa y un cateto:
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57
Ejemplo:
Resolver el triángulo conociendo:
a = 415 m y b = 280 m.
sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
2 Se conocen los dos catetos:
Ejemplo:
Resolver el triángulo conociendo:
b = 33 m y c = 21 m .
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58
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′
C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m
3 Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo:
Ejemplo:
Resolver el triángulo conociendo:
a = 45 m y B = 22°.
C = 90° - 22° = 68°
b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
4 Se conocen un cateto y un ángulo agudo:
Ejemplo:
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59
Resolver el triángulo conociendo:
b = 5.2 m y B = 37º
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
Hallar las funciones trigonométricas de:
1) 30° 2) 60° 3) 90° 4) 120°
5) 135° 6) 210° 7) 225° 8) 30°
Resuelve los siguientes triángulos:
a) B
Hallar: BC y AC
36 cm
30° 15’
C A
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60
a)
B
40 cm Hallar: BC y AC
38° 2’
C A
c) B Hallar: AB y AC
30 cm Aplica : Cotg y Csc
A 40° 26’ ( C
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61
d) B Hallar: BC y AB
Aplica : Tg y Sec
24° 12’
A C
16 cm
En los siguientes triángulos hallar los valores de las seis razones trigonométricas de los ángulos
indicados en ellos:
a)
4
α
Z
5
b)
Z β
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62
3
a) 5
1
α
y
x
d) α
10
12
Resolución de triángulos oblicuángulos y obtusángulos
7
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63
1. Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él
Ejemplos
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
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64
Aplicaciones de la Trigonometría
Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible
Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A = 72º 18' y C = 60º 32'.
También se mide el ángulo HAB = 62º 5'
m
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65
Identidades Trigonométricas
Son igualdades que contienen funciones trigonométricas y que son valederas para todos los valores de los
ángulos para los cuáles están definidas estas funciones.
Procedimiento:
a.- Cuando contienen ángulos múltiples o fraccionarios se recomienda expresar dichas funciones en función de
ángulos sencillos.
b.- Cuando contienen sumas o diferencias de ángulos, se sustituyen por sus fórmulas respectivas.
c.- Sí después de haber hecho esto, no aparece ningún método factible, es ventajoso cambiar todas las
funciones a senos y cósenos.
Primer Método:
Consiste en operar en un solo miembro haciendo las transformaciones correspondientes hasta que el
miembro en que se opera sea igual al otro.
Segundo Método:
Se opera en cada uno de los miembros de la igualdad, pero en forma independiente hasta que los miembros
sean iguales.
Identidad fundamental: Sen2 x + Cos
2x = 1
IDENTIDADES TRIGONOMÈTRICAS 5
Debes
recordarlas
fórmulas de las
funciones.
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66
Transformaciones de miembros:
1) 1 – Sen2x = Cos
2x 2) Cos
2x + Sen
2x = 1
3) (Cos2x – Sen
2x) = 2Cosx 4) Tgx = Senx
Cosx
5) Secx = 1 6) Cscx 1
Cosx Senx
7) Cotgx = Cosx 8) Cosx = Senx
Senx Cotgx
Ejemplo: Demostrar que Cos2 = (1 + Sen x) . (1 – Sen x) es una identidad.
(1 + Senx) . (1 – Senx) = 1 – Sen2 x
Cos2x = 1 – Sen
2x
Cos2x = Cos
2x
Estas fórmulas
son básicas
para resolver
identidades.
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67
Identidades trigonométricas fundamentales
Identidades trigonométricas fundamentales
cos² α + sen² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α
Ejemplos
1 Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del
ángulo α.
2 Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del
ángulo α.
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68
Identidades trigonométricas fundamentales
1 Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
2 Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
3 Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
Ejemplos:
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69
1 Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
2 Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
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70
Realiza las siguientes demostraciones:
a) Demostrar que Cos4x – Sen
4x = Cos2A
b) Demostrar que Cosx . tgx = Sen
c) Demostrar que Senx + Cosx = 1
Cscx Secx
d) Demostrar que tgx = Secx
Senx
e) Demostrar que tgx . Cosx . Cscx = 1
f) Demostrar que Senx . Secx =tgx
g) Demostrar que Cscx = Cosx
tgx + Ctgx
h) Demostrar que Senx + Cotgx = Senx . Cotgx
tgx + Cscx
i) Demostrar que tgx + Cotgx = 1
Senx . Cosx
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71
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Suma y diferencia de Ángulos:
Ángulos Complementarios: dos ángulos son complementarios cuando suman 90°.
Ángulos Suplementarios: dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a π = 180°.
Fórmulas: sen(A+B) = senA . cosB + cosA . senB
sen(A+B) = senA . cosB – cosB . senB
cos(A+B) = cosA . cosB – senA . senB
cos(A-B) = cosa . cosB + senA . senB
tg(A+B) = tgA + tgB
1 – tgA . tgB
tg(A-B) = tgA + tgB
1 + tgA . tgB
FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS DE LA
SUMA Y DIFERENCIA DE ÀNGULOS 6
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72
Formulas auxiliares: cos A = 1 – sen2
A
sen B = 1 – Cos2
B Sen A = tg A
1+ tg2A
CosA = 1 tgA = 1 – Cos2A
1 + tg2A CosA
Ejemplo: Dado SenA = 3/5 (A en el II cuadrante), calcular Sen(30°+A)
CosA = 1 – Sen2A CosA = 1 – (3/5)
2
CosA = 25-9 = CosA = 16 = CosA = -4/5
25 25
Sen 30° = 1/2
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73
Cos 30° = √3/3 Sen(30°+ A) = 1/2 . (-4/5) + √3/2 . 3/5) Sen(30° + A) = -4 + 3√3
10
1) Dado senA = 3/5 y cosB = 5/6 ; Calcular cos(A-B), sabiendo que A y B son agudos .
2) Dado tgA = ¾ . Hallar ten(A+B).
3) Dado cosA = 1/2 (A en el I cuadrante) . Hallar : tg(A-60°)
4) Dado senA = 2/3 y cosB = ¾ ; Calcular cos(A + B), sabiendo que A y B son agudos.
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74
Razones trigonométricas del ángulo doble
Ejemplos:
Deducir las funciones trigonométricas de ángulos dobles:
FUNCIONES TRIGONOMÈRICAS DEL ÀNGULO DOBLE
7
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75
Fórmulas: sen2A = 2senA . cosA cos2A = cos2A – sen
2A
tg2A = 2 tg A senA = 1 – Cos2A
1 – tg2a 2
cosA = 1 + cos2A tgA = 1 – cos2A
2 1 + cos2A
Ejemplo: Dado senA = 1/3, calcular cos2A.
cos2A = 2 . sen2A = 1 – cos2A cos2A = 1 – 2Sen
2A
cos2A = 1 – 2(1/3)
2 = Cos2A = 1 – 2(
1/9) = Cos2A = 1 – 2
9
cos2A = 9 – 2 = cos2A = 7/9
9
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76
Dadas las siguientes funciones, hallar sus ángulos dobles:
1) Dado senA = 4/5. Calcular tg 2A.
2) Dado senA = 3/5 y cosA = ½. Hallar sen2A.
3)Dado cosA = 2/3 y senA = 2/4. Hallar cos2A.
4) Dado tgA = 3/5. Hallar tg2A.
5) Dado cos2A = 4/6 y senA = ¼. Hallar cos
2A.
6) Dado cosA = 4/7 y senA =6/8 . Hallar sen2A.
Razones trigonométricas del ángulo doble
Ejemplos:
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77
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Ejemplos:
FUNCIONES TRIGONÒMETRICAS DEL
ÀNGULO MEDIO 8
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78
Deducir las funciones trigonométricas de ángulos medios:
Fórmulas: cosA/2 = 1 – sen2A/2 tgA/2 = SenA/2
CosA/2
tgA/2 = 1 – cosA tg2A = 1
1 + cosA ctg2A
sen2A = tg2A cos2A = 1
1 + tg22A 1 + tg
22A
Cos2A = 1 – Sen22A SenA = 1 – Cos2A
2
CosA = 1 + Cos2A SenA/2 = 1 - CosA
2 2
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79
Resuelve los siguientes ejercicios:
1) Dado senA/2 = 1/3 . Calcular cos A/2 y tgA/2
Resp. cosA/2 = 2√2 ; tgA/2 = √2
3 4
2) Dado tgA/2 = √3 . Calcular senA, cosA y tgA.
Resp. cosA = -1/2 , senA = √3/2 ; tgA = - √3
3) Dado sen2A = ½ . Calcular senA.
Resp. cos2/A = √3/2 ; senA = 2 - √3
4
4) Dado senA/2 = 2/5. Hallar Cos A/2.
5)Dado sen A/2 = 6 y cos A/2 = 5. Hallar tg A/2
6) Dado cos A = 6/7. Hallar tg A/2.
7) Dado ctg 2A = 4/6 . Hallar tg 2A.
8)Dado tg 2A = 2/3. Hallar sen 2A.
9) Dado sen 2A = 1/3. Hallar cos 2A.
10) Dado cos A = 2/4. Hallar sen A/2.
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80
Simplificar las expresiones trigonométricas:
1) Simplificar la expresión sen arc sen √3
2
α = arc sen √3/2 Entonces : sen α = √3/2
sen arc sen √3 = sen α = √3/2
2
Expresiones de ayuda:
cos2α = 1 – Sen
2α ctgα = cosα
sen α
Simplificar las expresiones siguientes:
1) Simplificar la expresión cos arc sen 7/8
2) Simplificar la expresión ctg arc cos 1/2
3) Simplificar la expresión sen arc cos √3/2
4) Simplificar la expresión cos arc sen √3/2
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81
Deducir la Ley del Seno a partir del producto escalar de vectores:
Ley del seno: los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
Fórmula General: a = b = c
senA senB senC
b = a . senB senC = c . senA senA = a . senB
senA a b
senB = b . senA c = a . senC a = b . senA
senB senA senB
c = b . senC a = c . senA b = c . senB
senB senC senC
senA = a . senC
c
LEY DEL SENO Y DEL COSENO 9
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82
Teorema del seno
Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.
Teorema del coseno
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que
forman.
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83
3. Resolver un triángulo conociendo dos lados y un ángulo opuesto
sen B > 1. No hay solución
sen B = 1 Triángulo rectángulo
sen B < 1. Una o dos soluciones
Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder:
1 sen B > 1. No hay solución.
Ejemplo:
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.
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84
Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura
muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.
2 sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo
Ejemplo:
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
3 sen B < 1. Una o dos soluciones
Ejemplos:
1 Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
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85
2 Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
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86
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1 De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes
elementos.
2 De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes
elementos.
3 Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.
4 Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
5 Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
6 Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
7 Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
8 Calcula la al tura, h, de la figura:
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87
9 Calcula la distancia que separa el punto A del punto inaccesible B.
10 Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.
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88
11 Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y
a=20m.
12 El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las
tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud
36 m.
13 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman
es de 48° 15'. Calcular los lados.
Ejemplo: En el triángulo se cumple: C
a = 10m
b = 5 √2 m a C b
α B = 30°
Hallar: α A
B A
c
senA = a . senB senA = 10m . sen30° = senA = 10m . 1/2
B 5√2m 5√2m
senA = 10 m senA = 1 = 0,7071067 equivale a 45°
2 √2
5√2m
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89
Resuelve aplicando la ley del Seno:
1)b a = 20 m 2) αA = 80° 30’
b = 50 m αB = 40° 40’
α = 68° 20’ a = 250 m
Calcular αB y αC Hallar b
3) a = 34 m 4) c = 34 m
b = 25 m αA = 23° 12’
αB = 23°56’ αC = 34° 45’
Hallar senA Hallar: a
Deducir la Ley del Coseno a partir del producto escalar de vectores:
Fórmulas: a . b = / a / . / b / . cos α cos α = a . b
/ a / . / b /
b = a2 + c
2 – 2ac . Cos β Cos A = b
2 + c
2 – a
2
2 . b . c
Cos B = a2 + c
2 – b
2
2 . a . c
Ejemplo: Calcular a . b = 30°, sabiendo que c . d = 120°; / a / = 3; / b / = 4
/ d / = 2; / c / = 5
Resuelve
éstos
ejercicios
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90
a . b = / a / . / b / . Cos α / a / . / b / . 30° = 3 . 4 . √3/2
= 12 . √3/2 = 6 √3
c . d = / c / . / d / . cos 180° - 120° cos 60° = 1/2
c . d = -5 . 2 . 1/2 = c . d = -5 ( por sentido contrario)
Resuelve los siguientes ejercicios:
1) Hallar el producto a . b, dónde : / a / = 4 ; / b / = 5 , dirección inclinada 60° con la
horizontal y sentido ascendente hacia la derecha.
2) Dado a . b = 20, dónde / a / = 5 y / b / = 8. Calcular el ángulo que forman los vectores.
3) Calcular a . b = 45°, sabiendo que c . d = 90° ; / a / = 5
/ b / = 6 ; / d / = 4 ; / c / = 5 En el triángulo se conocen:
α B = 82° 30’ A
c = 40 m c b
a = 80 m
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91
Hallar . b B a C
5) En el triángulo conocemos que : a = 10 m ; b = 40 m y c = 70 m.
Calcular el ángulo de A.
b
c A
B C
A
6) En el triángulo conocemos:
a = 64 m
b = 48 m C a
c = 80 m b
Calcular: α A y α B A c B
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92
Funciones Directas: las funciones trigonométricas directas son uniformes ( tienen un solo valor).
Funciones Inversas: las funciones trigonométricas inversas son multiformes (tienen varios valores).
Ejemplos:
1) Tg x = √3 inversa = x = arc, tg √3 ó x = Tg-1
√3
2) Cos x = √2/2
inversa = x = arc, Cos √2/2 ó x = Cos-1
√2/2
FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS INVERSAS
10
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93
Resolver las ecuaciones trigonométricas inversas:
1) Resolver Cos x = 1/2 ; 0 < x < 90°
x1 = arc, Cos 1/2 = x1 = Cos 1/2 = Inv.Cos-1
= x1 = 60°
2) Resolver Sen x = 1/2
x1 = arc,Sen1/2 = x1 = Sen 0,5 = inv. Sen-1
= x1= 30°
x2 = 150°
150° 30°
Resolver las siguientes ecuaciones aplicando inversa:
1) Resolver Cos x = √2/2 0° < x < 90°
2) Resolver Sen x = √3/2 0° < x < 90°
3) Resolver tg x = 1 0° < x < 360°
4) Resolver 2 Sen x + 1 = 0 0° < x < 360°
5) Resolver √2 Cos x – 1 = 0 0° < x < 360°
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94
Función arcoseno
f(x) = arcsen x
Dominio : [-1, 1]
Recorrido :
Continua : (-1, 1)
Decreciente : (-1, 1)
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95
f(x) = arccosen x
Dominio : [-1, 1]
Recorrido :
Continua : (-1, 1)
Decreciente : (-1, 1)
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96
Función arcotangente
f(x) = arctg x
Dominio :
Recorrido :
Continua en:
Creciente en :
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97
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Son aquéllos cuya suma es 90º ó /2 radianes.
Ejemplos
ANGULOS COMPLEMENTARIOS
Y ANGULOS SUPLEMENTARIOS 11
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98
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Son aquéllos cuya suma es 180° ó radianes.
Ejemplos
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99
ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180°
Son aquéllos cuya resta es 180° ó radianes.
Ejemplos
ANGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180°
ANGULOS OPUESTOS
ANGULOS NEGATIVOS Y MAYORES DE 360°
12
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100
ÁNGULOS OPUESTOS
Son aquéllos cuya suma es 360º ó 2 radianes.
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101
Ejemplos
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102
ÁNGULOS NEGATIVOS Y MAYORES DE 360°
Ángulos negativos
El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.
-α = 360° - α
Ejemplo:
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103
Ángulos mayores de 360º
Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas.
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104
Ejemplo:
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105
Transformación de operaciones
1 Transformaciones de sumas en productos
Ejemplos:
TRANSFORMACIÓN DE OPERACIONES
TRIGONOMÉTRICAS 13
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106
2 Transformaciones de productos en sumas
Ejemplos:
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107
Sistema de Coordenadas:
y
x
Cuando las rectas secantes en el plano son perpendiculares, el sistema cartesiano se llama rectangular u
ortogonal.
Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos puntos de dos rectas.
L´
L
0
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 14
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108
Trazamos por un punto (p) cualquiera recta paralela dada, cuyos puntos de corte son (a y b).
b L’ p
L
0 a
Se observa que el par (a, b) representan rectas reales del mismo origen, entonces (a, b) ε R x
Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares,
llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas:
El eje horizontal se l lama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de o rdenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).
La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina
coordenada x del punto o abscisa del punto.
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama
coordenada y del punto u ordenada del punto.
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109
Representar puntos en el plano:
1) Situar los puntos. a(3,2) ; b(2,-1) ; c(1,-2)
y
3
2 a
1 x
-1 0 1 2 3
-1 b
-2 c
EJERCICIOS
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110
Escoge la opción correcta:
1En el dibujo siguiente se señala el. . .
eje de abcisas.
eje de ordenadas.
eje vertical .
2En el dibujo siguiente se señala el. . .
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111
el eje de ordenadas.
el eje vertical.
Las dos respuestas anteriores son correctas.
3La primera coordenada de un punto...
siempres se encuentra en el eje X.
siempres se encuentra en el eje Y.
Ninguna de las dos respuestas anteriores son correctas.
4La segunda coordenada de un punto...
se l lama abcisa del punto.
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112
se l lama ordenada del punto.
Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
5El origen de coordenadas es el punto.. .
(0,0)
donde se cortan los dos ejes de coordenadas.
Las dos respuestas anteriores son correctas.
6Los ejes cartesianos o ejes de coordeandas...
siempres son perpendiculares.
siempres son secantes y pueden ser o no perpendiculares.
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113
Las dos respuestas anteriores son co rrectas.
7El punto A se encuentra situado en.. .
el eje X.
el eje Y.
el origen de coordenadas.
8El punto B se encuentra situado en.. .
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114
el eje de abicsas.
el eje de ordenadas.
Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
9El punto C se encuentra situado en.. .
el eje de abcisas.
el eje de ordenadas.
Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
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115
10El punto P de la figura puede tener coordenadas. ..
P(x,1)
Función real de variable real:
Son las funciones de la forma f: x R en donde x es un subconjunto de R(x R).
Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos de un conjunto de números.
A este conjunto de números se le llama dominio de la variable.
En la aplicación f : x R , como x es un subconjunto de R, llamamos x a cualquiera de los números del
conjunto x, es decir, x es la variable independiente porque se le da valores arbitrarios.
Graficar funciones reales:
Pasos:
a) Se calculan las imágenes de los elementos del dominio según la función dada.
FUNCIÒN REAL DE VARIABLE REAL 15
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116
b) Se calcula los pares y con ellos se elabora una tabla de valores en forma vertical u horizontal, según el
número de puntos.
c)Se dibuja en un sistema cartesiano ortogonal los pares.
Concepto de función
Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un
determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.
f : D
x f(x) = y
El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se
designa por D.
El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.
Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa
por f(x). Luego
y= f(x)
Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).
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117
Dominio de una función
Dominio de la función polinómica entera
El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.
Dominio de la función racional
El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo
denominador sea cero).
Dominio de la función irracional de índice impar
El dominio es R.
Dominio de la función irracional de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que
cero.
Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.
Dominio de la función exponencial
El dominio es R.
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118
Dominio de la función seno
El dominio es R.
Dominio de la función coseno
El dominio es R.
Dominio de la función tangente
Dominio de la función cotangente
Dominio de la función secante
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119
Dominio de la función cosecante
Dominio de operaciones con funciones
Gráfica de funciones
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función fle corresponde en el
plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de
definición de la función.
Composición de funciones
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido
de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor
de g[f(x)].
f o i = i o f = f
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120
Función inversa o recíproca
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1
que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1
(b) = a.
f o f -1
= f -1
o f = x
Cálculo de la función inversa
1.Se escribe la ecuación de la función en x e y.
2.Se intercambian las variables.
3.Se despeja la variable x en función de la variable y.
Crecimiento y decrecimiento
Tasa de variación
El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un
punto a otro.
t.v.= f(x+h) - f(x)
Función estrictamente creciente
f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca
la entorno de a se cumple:
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121
La tasa de variación es positiva.
Función creciente
f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de
a se cumple:
La tasa de variación es positiva o igual a cero.
Función estrictamente decreciente
f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que
pertenezca la entorno de a se cumple:
La tasa de variación es negativa.
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122
Función decreciente
f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno
de a se cumple:
La tasa de variación es negativa o igual a cero.
Cotas
Función acotada superiormente
Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.
El número k se llama cota superior.
Función acotada inferiormente
Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′ .
El número k′ se llama cota inferior.
Función acotada
Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente.
k′ ≤ f(x) ≤ k
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123
Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier
otro punto del dominio de la función.
Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro
punto del dominio de la función.
Máximo y mínimo relativo
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al
punto a.
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al
punto b.
Simetría
Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:
f(-x) = f(x)
Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.
Simetría respecto al origen
Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:
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124
f(-x) = -f(x)
Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.
Funciones periódicas
Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:
f(x) = f(x + z T)
Si tenenos una función periódica f(x) de periodo T , la función g(x) = f(kx) tiene de
periodo :
Tipos de funciones reales:
a) Funciones algebraicas.
b) Funciones trascendentes.
c) Funciones directas.
d) Funciones inversas.
Recuerda que
existen cuatro
funciones reales
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125
Representa los puntos en el plano:
1) a(3,6) ; b(-3,()) ; c(-5,-.3) 2) a(2,-4) ; b(4,3) ; c(-2,-5)
3) a(2,1) , b(5,-8) ; c(-2,-4) 4) a(3,9) ; b(5,-3) ; c(-6,4)
Representa las siguientes funciones reales:
1) f(x) = 3x –1 donde x = {-2,-1,0,1,2} 2) f(x) = x2+ 3 donde x = {-2,-1,0,1,2}
3) f(x) = -x –5 donde x = {-2,-1,0,1,2 4) f(x) = x donde x = {2,4,9,16}
2
Ejercicios de funciones reales
1 Calcular el dominio de las funciones polinómicas:
1
2
2 Calcular el dominio de las funciones racionales:
1
2
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126
3
4
5
3 Calcular el dominio de las funciones radicales:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4 Calcular el dominio de las funciones exponenciales:
1
2
5 Calcular el dominio de las funciones logarítmicas:
1
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
127
2
6 Calcular el dominio de las funciones trigonométri cas:
1
2
7 Estudia la simetría de las siguientes funciones:
1 f(x) = x6 + x
4 − x
2
2 f(x) = x5 + x
3 − x
3 f(x)= x |x |
4 f(x) = |x | − 1
8 Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que
se indican:
1 f(x) = 5x² - 3x + 1 en x = 1
2
9 Hallar las funciones inversas de:
1
2
3
4
10 Dadas las funciones:
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128
Calcular:
1
2
3
4
5
6
7 Probar que:
El Dominio en funciones continuas y discontinuas:
Cuando las funciones tienen como denominador la variable o una función de ella, es necesario determinar
para que valores de x dicho denominador se anula; pues como no está definida la división por cero, estos
valores hay que eliminarlos, por lo tanto, para determinar el dominio de dichas funciones se procede así:
a) Se iguala a cero el denominador.
b) Se resuelve la ecuación resultante.
c) Se excluyen las raíces de la ecuación anterior.
DOMINIO DE FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS
16
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
129
Ejemplo: Determinar el dominio f(x) = 2
x + 1
x + 1 = 0 donde x = -1
R – {-1} dominio es todo el campo real menos (- 1)
Calculo del Dominio en una raíz:
Cuando las funciones tienen bajo el signo de raíz de índice par a la variable independiente x, es
necesario que dicha parte radical sea cero o positiva, para que la función esté definida, por lo tanto, para
determinar el dominio de este tipo de funciones, se procede así:
1) Se forma una inecuación con la parte sub-radical mayor o igual a cero.
2) Se resuelve dicha inecuación.
3) La respuesta de dicha inecuación es el dominio.
Ejemplo: Determinar el dominio f(x) = x + 3
x + 3 0 x -3
-3 -2 -1 0 1
-3,
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
130
Determina el dominio de las funciones:
1) f(x) = 3x 2) f(x) = 4x - 2
x2-4 3x – 6
3) f(x) = 3x + 1 4) f(x) = x
x2+5x+6 x
2 – 9
Determina el dominio de las raíces:
1) f(x) = 2x-4 2) f(x) = x – 1
3) f(x) = x2- 4x + 3 4) f(x) = 6x + 12
Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
son continuas en todos los puntos de su dominio.
La función es continua en − {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.
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131
Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si
lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.
La función es continua en .
Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división
coinciden.
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132
Operaciones con funciones continuas
Si f y g son continuas en x = a, entonces:
f + g es continua en x = a.
f · g es continua en x = a.
f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.
f ο g es continua en x = a.
EJERCICIOS
1 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
1
2
3
4
5
6
2 Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.
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133
3 Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:
4 ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?
1
2
5 Dada la función:
1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.
2 ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En
caso afirmativo dar su expresión.
6 Estudiar la continuidad de la función:
7 Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x
8 Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:
9 Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:
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134
10 La función definida por:
es continua en [0, ∞).
Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.
1 Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:
2 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
1
2
3
4
5
6
3 Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
135
4 ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?
1
2
5 Encontrar los puntos de discontinuidad de la función f(x) = x2 + 1 + |2x − 1| .
6 Dada la función:
Determinar los puntos de discontinuidad de la función.
7 Estudiar la continuidad de la función:
8 Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x
9 Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
136
10 Dada la función:
1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.
2 ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En
caso afirmativo dar su expresión.
11 Dada la función:
Determinar el valor de a para que la función sea continua para x = 3.
12 Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:
13La función definida por:
es continua en [0, ∞).
Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.
14 Sea la función:
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137
Determinar el valor de a para que f(x) sea continua.
15 Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua.
16 Se considera la función
Si f(2) = 3, determinar los valores de a y b para que f(x) sea continua.
17 Dada la función:
Hallar a y b para que la función sea continua.
18 Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua.
19 Dada la función
Determinar a y b de modo que la función f sea continua para todo valor de x.
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138
Definir la función exponencial con exponente real:
R f(x) = ax R
*+
Significa que dado un número R, obtendremos una imagen R*+, a través de la expresión
f(x) = ax , siendo a 0 y a 1.
Como al hacer operaciones con números irracionales los sustituimos por su expresión decimal aproximada,
al potenciar con exponentes irracionales, sustituimos el exponente irracional por su expresión decimal
aproximada.
Ejemplos: 1) a2
= a1,41
2) a = a
3,141
Propiedades de la función exponencial mediante su crecimiento o decrecimiento:
FUNCIÒN EXPONENCIAL 17
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
139
a) Crecimiento: cuando la función es creciente, o sea que los valores muy grandes, se obtienen valores también
grandes de f(x). Se dice que la función es sobreyectiva porque el rango y el conjunto de valores coinciden, es
decir, todos los elementos de R*+ tienen contraimagen.
Es inyectiva porque a elementos diferentes de R, corresponden elementos diferentes de R*+.
Como es sobreyectiva e inyectiva, es biyectiva.
y = f(x)
x
Decrecimiento: la función es decreciente, porque para valores positivos muy grandes de x, se obtienen valores
muy pequeños de f(x), y para valores negativos muy grandes de x se obtienen valores muy grandes de f(x).
y = f(x)
x
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140
Función exponencial
La función exponencial es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax
se
llama función exponencial de base a y exponente x.
Ejemplos
x y = 2x
-3 1/8
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
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141
x y = (½)x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8
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142
Propiedades de la función exponencial
Dominio: .
Recorrido: .
Es continua.
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a > 1.
Decreciente si a < 1.
Las curvas y = ax e y = (1/a)
x son simétricas respecto del eje OY.
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143
FUNCIONES EXPONENCIALES
Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2
x. Las funciones
f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente
constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x
es una función con
una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.
Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son
números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.
El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números
reales positivos.
1) f(x) = 2x
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144
Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:
1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3) El eje de x es la asíntota horizontal.
4) Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.
5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.
6) La función f es una función uno a uno.
Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno
y x, y reales:
1) Leyes de los exponentes:
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
145
2) ax = a
y si y sólo si x = y
3) Para x diferente de cero, entonces ax = b
x si y sólo si a = b.
Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:
1) 2x = 8
2) 10x = 100
3) 4 x - 3
= 8
4) 5 2 - x
= 125
Ejercicio de práctica: Halla el valor de x:
1) 2x = 64
2) 27 x + 1
= 9
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146
La función exponencial de base e
Al igual que e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por
Leonhard Euler (1727).
Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e.
Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.
La gráfica de f(x) = ex es:
El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.
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147
La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de
f(x) = ex está entre f(x) = 2
x y f(x) = 3
x, como se ilustra a continuación:
En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las
mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.
Ejemplos: Simplifica.
Ejemplo: Halla el valor de x en e x + 1
= e 3x - 1
Práctica:
1) Simplifica: (e 3x + 1
) (e 2x – 5
)
2) Halla el valor de x en e3x – 4
= e2x
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
148
La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x
es:
Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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149
14
15
16
17
18
19
Resuelve y grafica las funciones exponenciales:
1) f(x) = 2x donde x =1,2,3,4 2) f(x) = (1/2)
x donde x = 2,1,0,1
3) f(x) = 3x+1 donde x = 0,1,2,3 4) f(x) = 5 – 1
x donde x = 0,1,2,3
5) f(x) = x + 2x donde x =0,1,2,3 6) f(x) = 3x – 3
x donde x = 1,2,3,4
Función Logaritmo:
R*+ g(x)= lgax R
FUNCIÒN LOGARITMO PROPIEDADES
18
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
150
.
g() = lga = g() =
Significa que dado un número R*+ se obtendrá una imagen R a través de la expresión g(x)= lgax .
Cuando se dan los valores a y para hallar estamos en la función logarítmica que se anota:
= a donde : = número
a = base
= exponente
lga = donde: a = base
= número
= exponente
a) 25 = 52 = lg525 = 2
b) 1000 = 103 = lg101000 = 3
c) 27 = 33 = lg327 = 3
Se deduce que el logaritmo de un número respecto a cierta base, es igual al exponente a que debe
elevarse dicha base para encontrar el número.
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
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151
Ejemplos
x
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
152
x
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 −1
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
153
4 −2
8 −3
Propiedades de las funciones logarítmicas
Dominio:
Recorrido:
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
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154
Decreciente si a<1.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er
y 3er
cuadrante) de la
gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.
Definición de logaritmo
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
155
Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.
Ejemplos
1.
2.
3.
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
156
4.
5.
De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
157
El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo
del divisor.
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del expo nente por el logaritmo de
la base.
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158
4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el
índice de la raíz.
5. Cambio de base:
Logaritmos decimales
Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).
Logaritmos neperianos
Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
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159
Definición
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para
obtener el número.
Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
7
8
De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
160
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
Propiedades
1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
Ejemplo
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161
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
Ejemplo
3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
Ejemplo
4 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:
Ejemplo
5 Cambio de base:
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
162
Ejemplo
Logaritmos decimales y neperianos
Logarítmos decimales
Los logarítmos decimales tienen base 10. Se representan por log (x).
Logarítmos neperianos
Los logarítmos neperianos tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
El logaritmo se define como:
De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número negativo.
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163
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
Propiedades
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
Ejemplo
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
164
Ejemplo
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
Ejemplo
4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:
Ejemplo
5. Cambio de base:
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165
Ejemplo
EJERCICIOS
1 Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.
1
2
3
4
5
2 Calcula el valor de x aplicando la definición de logarítmo.
1
2
3
4
5
6
7
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
166
3 Conociendo que log 2 = 0.3010, calcula los siguientes logaritmos decimales.
1
2
3
4
4 Calcular los logaritmos de de las expresiones que se indican:
1
2
3
5 Calcula mediante logaritmos el valor de x.
1
2
3
ECUACIONES LOGARITMICAS
Ecuación logarítmica
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un
logaritmo
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
167
Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:
1 Las propiedades de los logaritmos.
1
2
3
4
5
6
7
2 Inyectividad del logaritmo:
3 Definición de logaritmo:
4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o
negativos.
Ejemplos
1.
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168
En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo la pro piedad
del logaritmo de una potencia.
Teniendo en cuenta la inyectividad de los logartmos tenemos:
Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logartmo nulo o negativo.
2.
En el 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente.
Restamos en los dos miembros log x y teniendo en cuenta que el log 10 = 1, tenemos:
Teniendo en cuenta la definición de logaritmo y que es un logaritmo decimal:
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
169
3.
En primer miembro aplicamos la propiedad del producto y en el 2º la de la potencia de
un logaritmo.
Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos:
Resolvemos la ecuación y comprobamos la solución.
4.
Multiplicamos en los dos miembros por log(3x −4).
En el 2º miembro aplicamos la propiedad de la potencia de un logaritmo y tenemos en
cuenta la inyectividad de los logaritmos.
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
170
Resolvemos la ecuación x = 0 no es solución porque nos encontraríamos al sustituir en la
ecuación nos encontrar íamos en el denominador un logaritmo negativo.
Resolver las ecuaciones logarítmicas
1
2
3
4
5
6
7
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
171
8
9
10
Transformar los siguientes números:
a) 36 b) 49 c) 100
d) 121 e) 144 f) 196
g) 256 h) 400 i) 625
Determinar las características de la función logarítmica a través de su representación gráfica:
y
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
172
x
1) Los números negativos no tienen logaritmo.
2) Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo.
3) Los números mayores que 1, tienen logaritmo positivo.
4) La función logaritmo es creciente.
Logaritmo Decimal o Briggs:
En el caso particular que la base sea 10 los logaritmos se llaman decimales, vulgares o de Briggs, en honor al
matemático H. Briggs (1561-1630).
Como los logaritmos decimales son los que mas se usan, no se anota la base, por lo tanto, lg10x se anota lgx .
Logaritmo Neperiano:
Es el de base en particular sea el número е = 2,718281 , los logaritmos se llaman naturales o neperianos, en
honor al matemático J. Neper (1550-1617).
Se anota : lnx ó Lx
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
173
Propiedades de la Función Logaritmo:
1) Cuando a0 = 1 lga1 = 0 El logaritmo de 1 en cualquier base es cero.
2) Cuando a1 = a lgaa = 1 El logaritmo de la base siempre es uno.
3) lga(m.n) lgan + lgam El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de los factores.
4) lga(m/n) lgam - lgan El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del
dividendo menos el logaritmo del divisor.
5) lga(mn) n . lgam El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el
logaritmo de la base de dicha potencia.
6) lga n√m lga
m
n
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la parte sub-radical dividido por el índice de la raíz.
Ejemplo: Hallar lgax en x = ab2
c3
El quebrado se forma en resta: lga(ab2) – lga c
3
Lgaa + 2lgab – 3 lgac
Ejemplo: Hallar lgax en x = (m2+b).
4 mb
3
Lgax = lga(m2+b) + lgam + 3lgab
4
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
174
Aplica logaritmos en:
1) lgax en x = n3. m
2. p
5 2) lgax en = x
2 . y
4 + √m
3
m2 m
3) lgax en x =√p . (r3 . p
4)2 4) lgax en x = (m
2 . n
4) + p
2. n
3
5) lgax en x = a3.p
4.t
5 - p
3.b
2 6) lgax en x = {r
3.p
7+(s
2.r
6)2}
a2.b
3
Definir el Antilogaritmo:
Se define antilogaritmo al número que corresponde un logaritmo dado.
Lgax = lgaA – lgaB su antilogaritmo es x = A
B
Regla para aplicar antilogaritmos:
Todo número, letra o expresión que esté afectada por lga , se transforma en el número, letra o expresión.
lga4 se transforma en 4
lgaA “ “ “ A
lga (2√b) “ “ “ 2√b
1) Los signos operatorios se transforman de manera inversa que al aplicar logaritmos.
La suma se transforma en producto.
La resta se transforma en división.
El producto se transforma en potencia.
La división se transforma en Raíz.
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175
2) Todo número, letra o expresión que no esté afectado de lga, se transforma a elevado a dicho número,
letra o expresión.
lga3 se transforma en a3
lgaA se transforma en aA
lgab se transforma en ab
2) Al aplicar antilogaritmo los términos positivos de la expresión logarítmica pertenecen al numerador y los
términos negativos al denominador de la expresión final.
Calcular logaritmos decimales exactos:
Cuando se dispone de una calculadora, que permita obtener los cálculos en forma rápida y precisa, no hace
falta la tabla de valores logarítmicas de los números.
1)Hallar el logaritmo decimal de 48,7
1,6875 característica = 1 mantisa = 6875
2) Hallar el logaritmo decimal de 0,04
-1,3979 característica = -1 mantisa = 3979
Definir la Característica:
Es la parte entera del logaritmo de todo número que no sea una potencia de 10.
Valor de la Característica:
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176
1) La característica del logaritmo de un N° mayor que 10 es positiva y su valor absoluto es 1 menos el número
de cifras enteras del número.
2) La característica del logaritmo de un N° comprendido en 1 y 10 es cero.
3) La característica de un N° menor que 1 es negativo y su valor absoluto es 1 más el número de ceros que hay
entre el punto decimal y la primera cifra significativa decimal.
Definir la Mantisa: Es la parte decimal del logaritmo. La mantisa siempre es positiva y se calcula con la
ayuda de las tablas de logaritmos.
Cologaritmo de un Logaritmo:
1) Se calcula el logaritmo del número.
2) A la característica del número se le suma una unidad positiva y al resultado obtenido se le cambia de signo.
3) A ca da una de las cifras de la mantisa se le resta 9 empezando por la izquierda, menos la última cifra
significativa que se resta de 10.
4)Para comprobar los cálculos sumamos el logaritmo con su cologaritmo y el resultado tiene que dar cero.
1) Calcular el cologaritmo del logaritmo 4,252
Característica: 4 + 1 = 5
Mantisa: 252 9-2 = 7
9-5 = 4
10-2 = 8
cologaritmo = 5 , 748 comprobación: 4,252
5,748
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177
0
Calcular los cologaritmos de los siguientes logaritmos:
1) 3,263 2) 2,8603 3) 0.087
4) 1,460 5) 16,253 6) 14,073
7) 4,001 8) 0,005 9) 3,7564
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son
periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten
en todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con
una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas
fundamentales.
ECUACIONES TRIGONOMÈTRICAS 19
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178
Ejemplos
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1
2
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179
3
Transformamos la suma en producto
Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.
4
5
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180
6
7
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181
8
9
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182
En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto .
sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una
sola función trigonométrica, para ello, utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.
Aplicando logaritmos:
Son las ecuaciones que tienen la incógnita en forma de exponente. Se resuelven aplicando logaritmos o por
artificio de cálculo.
ECUACIONES EXPONENCIALES 20
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183
Resolver 5x+3
= 7x-1
aplicamos logaritmos (x + 3) lg5 = (x-1) lg7
igualamos a un solo miembro x + 3 = lg7
x – 1 lg5
calculamos logaritmos y sustituimos valores lg7 = 0,8451 ; lg5 = 0,6990
x + 3 = 0,8451 = x + 3 = 1,20 = x + 3 = 1,20(x – 1)
x – 1 0,6990 x – 1
x + 3 = 1,20x – 1,20
x – 1,20x = - 1,20 –3
-0,2x = - 4,40
x = - 4,20 x = 21
- 0,20
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1) 3x-2
= 52x+1
2) 2x+1
.33x+2
= 44x
+3 3) 2x-5
= 0,003
4) 0,005x-3
= 0,04 5) 62x+9
= 7x-6
6) 0,45x+5
= 84x+2
Ecuaciones Exponenciales:
Se llaman ecuaciones binomias a las que solamente tienen dos términos y para resolverlos se procede así:
1) Se hacen las transformaciones algebraicas necesarias hasta que las bases sean iguales.
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184
2) Se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación resultante.
Ejemplo: Resolver la ecuación 2x = 32
32 = 52
donde 2x = 2
5 igualamos exponentes x = 5
Ejemplo: Resolver la ecuación 3x-5
= 27
27 = 33 donde 3
x-5 = 3
3 igualamos exponentes x – 5 = 3
x =5 + 3
x = 8
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:
1.
2.
3. Las propiedades de las potencias.
a0 = 1
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185
a1 = a
am
· a n
= am+n
am
: a n
= am - n
(am
)n = a
m · n
an
· b n
= (a · b) n
an
: b n
= (a : b) n
Resolución de ecuaciones exponenciales
Caso 1
Realizar las operaciones necesaria para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que
podemos igualar los exponentes.
Ejemplos
1.
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186
2.
3.
Caso 2
Si tenemos la suma de los n términos de una progresión geométrica, aplicamos la fórmula:
Ejemplo
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187
Caso 3
Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurrir a un cambio de variable.
Ejemplos
1.
En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las
sumas o restas de los exponentes.
Posteriormente realizamos el cambio de variable:
Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable.
2.
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188
3.
Deshacemos el cambio de variable en primer con el signo más.
Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y en el primer miembro
aplicamos la propiedad:
Despejamos la x
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189
Con el signo negativo no tendríamos solución porque al aplicar logaritmos en el segundo miembro nos
encontraríamos con el logaritmo de un número negativo, que no existe.
Caso 4
Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es
la base de la potencia.
Ejemplo
EJERCICIOS Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales
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190
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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191
14
15
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1) 5x = 125 2) 6
x = 36 3) 5
x= 25
4) 0,32x-8
= 0,0081 5) (1/2)x-3
= 1/32 6) 25x-10
= 1
Definir el conjunto de los N° Complejos (Z)
Un número complejo es un par ordenado (a , b) de números reales. Este par de números pertenece al
producto cartesiano: R x R = R2 (a , b) R
2
Unidad imaginaria
La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i .
NÙMEROS COMPLEJOS OPERACIONES
21
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192
Números imaginarios
Un número imaginario se denota por b i , donde:
b es un número real
i es la unidad imaginaria
Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando
negativo.
x2 + 9 = 0
Representar Números Complejos:
Ejemplo: Representar los N° complejos Z1 =(4,3) ; Z2= (-2,4) ; Z3 = (3,-2)
y
4
3 Z1
2
1
-2 -1 0 1 2 3 4 x
-1
-2 Z2
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193
Z3
Suma de Números Complejos:
Ejemplo: Dados Z1 = (3,4) ; Z2 = (-4,1)
Z1 + Z2 = (3+4) + (-4,1) = 3 + (-4), 4 + 1 = (-1,5)
Resta de Números Complejos:
Ejemplo: Dados Z1 = (4,0) ; Z2 = (-1,3)
Z1 – Z2 = (4,0) – (-1,3) = { 4 – (- 1) , 0 – 3 } = (5,-3)
Producto de Números Complejos:
Dados Z1 = (a1,b1) ; Z2 = (a2,b2)
Fórmula: Z1 . Z2 = (a1 . a2 – b1 . b2 , a1 . b2 + b1 . a2 )
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194
Hallar el producto de los N° complejos Z1 = (4,2); Z2 = (-3,1)
Z1 . Z2 = (4,2) . (-3,1) = { 4 . (-3) – 2 . 1 , 4 .1 + 2 . (-3)}
= (-12 –2 , 4 – 6) = (-14,-2)
División de Números Complejos:
Ejemplo. Dados Z1 = (2,4) ; Z2 = (1,0) . Hallar Z1 : Z2
Z1 = (a1 , b1) = a1 . a2 – b1 . b2 , b1 . a2 –a1 . b2
Z2 (a2 , b2) a22 + b2
2 a2
2 + b2
2
Z1 = (2,4) = 2 . 1 + (-3) . 4 , -3 . 2 – (-1) . 4 = (-10,-2)
Z2 (1,0) 12 + 0
2 1
2 + 0
2
Efectúa las siguientes sumas:
1) Z1 = (3,2) ; Z2 = (1,5) 2) Z1 = (-3,-6) ; Z2 = (4,8)
3) Z1 = (-4,8) ; Z2 = (-4,7) 4) Z1 = (4,7) ; Z2 = (7,-3)
5) Z1 = (8,5) , Z2 = (4,1) 6) Z1 = (-4,-9) ; Z2 = (6,-2)
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195
Efectúa las siguientes sustracciones:
1) Z1 = (3,2) ; Z2 = (1,-5) 2) Z1 = (-3,-6) ; Z2 = (4,4)
3) Z1 = (-4,2) ; Z2 = (-4-,7) 4) Z1 = (4,-7) ; Z2 = (7,-3)
5) Z1 = (8,5) , Z2 = (4,-5) 6) Z1 = (-4,-9) ; Z2 = (6,-2)
Efectúa los siguientes productos:
1) Z1 = (5,3) ; Z2 = (-3,8) 2) Z1 = (1,2) ; Z2 = (9,6)
3) Z1 = (9,5) ; Z2 = (3,2) 4) Z1 = (5,-3) ; Z2 = (6,4)
Efectúa las siguientes divisiones:
1) Z1 = (5,3) ; Z2 = (-3,8) 2) Z1 = (1,2) ; Z2 = (9,6)
3) Z1 = (9,5) ; Z2 = (3,2) 4) Z1 = (5,-3) ; Z2 = (6,4)
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
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196
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i,
se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
Ejemplos
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
El eje X se llama eje real .
El eje Y se llama eje imaginario .
El número complejo a + b i se representa:
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197
1 Por el punto (a, b), que se l lama su afijo .
2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.
Los afijos de los números imaginarios se si túan sobre el eje imaginario , Y.
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198
Números complejos en forma binómica
Al número a + b i le l lamamos número complejo en forma binómica.
El número a es la parte real del número complejo.
El número b es la parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0 i = a .
Si a = 0 el número complejo se reduce a b i , y se dice que es un número imaginario
puro.
El conjunto de todos números complejos se designa por .
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199
Los números complejos a + bi y -a -b i se llaman opuestos .
Los números complejos z= a + b i y z = a − b i se l laman conjugados .
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la
misma componente imaginaria.
OPERACIONES CON NÉMROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
SUMA Y DIFERENCIA
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes
imaginarias entre sí, respectivamente.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Ejemplo:
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
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200
División de números complejos
El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado
de este.
Ejemplo:
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes
imaginarias entre sí, respectivamente.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Ejemplo:
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
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201
= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
División de números complejos
El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado
de este.
Ejemplo:
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes
imaginarias entre sí, respectivamente.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Ejemplo:
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =
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202
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
División de números complejos
El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado
de este.
Ejemplo:
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203
Efectuar (2+ 3i) + (3 - 2i) – (-4+ i)
2 + 3i + 3 – 2i + 4 – i = 9
Ejemplo: Efectuar (3 + 4i) . (2 – 3i)
6 – 9i + 8i – 12i2 = 6 – i + 12 = 18 – i sabemos que i = i
i2 = 1
Efectuar 3 + 2i
4 – 3i
3 + 2i . 3 + 2i = 12 + 9i + 8i + 6i2 = 12 + 17i – 6 = 6 + 17i
4 – 3i 4 – 3i (4)2 – (3i)
2 16 – 9 7 7
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204
Efectúa las siguientes operaciones:
1) (3 + 4i) – (8 +6i) – (5 + 4i) 2) (7 – 6i) + (3 – 6i) + (2 – 7i)
3) (4 + 3i) . (6 – 2i) 4) (7 – 2i) . (9 – 5i)
5) 3i 6) 4 + 5i
1 - i 2i
7) 2i 8) 4i + 2
3 – 2i i
Números complejos en forma polar y trigonométrica
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo.
Se designa por |z|.
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205
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa
por arg(z).
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescisdiendo de los signos, para ubicar el
cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:
Expresión de un número complejo en forma polar
z = rα
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206
|z| = r (r es el módulo)
arg(z) = α (α es el argumento)
Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:
z = 2120º
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma
trigonométrica:
z = rα = r (cos α + i sen α)
Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
z =10º = 1
z =1180º = −1
z =190º = i
z =1270º = −i
Ejemplo para pasar a la forma polar
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207
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y
su afijo. Se designa por |z|.
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208
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa
por arg(z).
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescisdiendo de los signos, para ubicar el
cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:
Expresión de un número complejo en forma polar
z = rα
|z| = r (r es el módulo)
arg(z) = α (α es el argumento)
Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:
z = 2120º
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma
trigonométrica:
z = rα = r (cos α + i sen α)
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209
Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
z =10º = 1
z =1180º = −1
z =190º = i
z =1270º = −i
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y
su afijo. Se designa por |z|.
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210
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa
por arg(z).
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescisdiendo de los signos, para ubicar el
cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:
NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR O TRIGONOMETRICA
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211
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y
su afijo. Se designa por |z|.
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa
por arg(z).
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescisdiendo de los signos, para ubicar el
cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:
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212
Expresión de un número complejo en forma polar
z = rα
|z| = r (r es el módulo)
arg(z) = α (α es el argumento)
Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:
z = 2120º
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a laforma
trigonométrica:
z = rα = r (cos α + i sen α)
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213
Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
z =10º = 1
z =1180º = −1
z =190º = i
z =1270º = −i
OPERACIONES CON LOA FORMA POLAR
Multiplicación de complejos en forma polar
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el producto de los módulos.
Su argumento es la suma de los argumentos.
Ejemplo:
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214
Producto por un complejo de módulo 1
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.
División de complejos en forma polar
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el cociente de los módulos.
Su argumento es la diferencia de los argumentos.
Ejemplo:
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215
División de complejos en forma polar
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el cociente de los módulos.
Su argumento es la diferencia de los argumentos.
Ejemplo:
Potencia de complejos en forma polar
La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.
Su argumento es n veces el argumento dado.
Ejemplo:
Fórmula de Moivre
Ejemplo:
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216
Raíz enésima de complejos en forma polar
La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la n raíz enésima del módulo.
Su argumento es:
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217
Ejemplos
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218
Coordenadas cartesianas y polares
Conversión de coordenadas polares a cartesianas
x = r · cos α
y = r · sen α
Ejemplo:
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219
Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
10º = (1, 0)
1180º = (−1, 0)
190º = (0, 1)
1270º = −(0, −1)
Conversión de coordenadas cartesianas a polares
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220
Ejemplos:
Conversión de coordenadas polares a cartesianas
x = r · cos α
y = r · sen α
Ejemplo:
Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
10º = (1, 0)
1180º = (−1, 0)
190º = (0, 1)
1270º = −(0, −1)
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221
Conversión de coordenadas cartesianas a polares
Conversión de coordenadas polares a cartesianas
x = r · cos α
y = r · sen α
Ejemplo:
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222
Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
10º = (1, 0)
1180º = (−1, 0)
190º = (0, 1)
1270º = −(0, −1)
Conversión de coordenadas cartesianas a polares
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223
Números complejos en forma trigonométrica
Forma trigonométrica
a + b i = rα = r (cos α + i sen α)
Formas:
Binómica z = a + b i
Polar z = rα
Trigonométrica z = r (cos α + i sen α)
EJEMPLOS DE CONVERSIÓN
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224
Ejemplo 1
Ejemplo de escribir en forma binómica
Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
z =10º = 1
z =1180º = −1
z =190º = i
z =1270º = −i
Ejemplos:
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225
Transformación de un N° complejo a forma polar o trigonométrica:
Dado el N° complejo Z = 3 + 3i
r = 32 + 3
2 = r = 9 + 3 r = 12 = 2 3
= arc. tg 3 = 30° Z = a + bi = r(Cos + I Sen ) = r Cis
3
Z = 3 + 3i = 23 (Cos 30° + I Sen 30°) = 23 Cis 30°
Transformar a forma trigonométrica:
1) Z = 4 + 2i 2) Z = 5 + 3i
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226
3) Z = 7 + 7i 4) Z = 2 + 6i
5) Z = 5 ( Resp. 5Cis0°) 6) Z = 2i (Resp. 2Cis 90°)
Transformación de un número complejo en forma trigonométrica a forma binómica:
Transformar Z = 2 Cis 60°
Z = 2 Cis 60° = 2(Cos 60° + i Sen 60°) = 2 (1/2 + 3i/2) = 1 + 3
Transformar a forma binómica:
1) Z = 1/3 Cis 150° 2) Z = 2 Cis 300°
3) Z = 5 Cis 45° 4) Z = 6 Cis 30°
5) Z = 7 Cis 60° 6) Z = 8 Cis 90°
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227
Sucesión en R:
Se llama sucesión de números reales a toda aplicación de N en R..
( f : N R )
Determinar los elementos de una Sucesión:
f1, f2, f3............fn f1 = primer término
f2 = segundo término
f3 = tercer término
fn = término general
Término general de una Sucesión:
Para calcular cada uno de los términos de la sucesión, se sustituye en la expresión el término general “n” por
0, 1, 2, etc; y así se obtiene el primero, segundo, etc, términos de la sucesión.
Progresión Aritmética:
SUCESIONES Y PROGRESIONES ARITMÈTICAS Y GEOMÈTRICAS
22
¡¡¡¡Ahora Las
sucesiones!!!!!!!!
!
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228
Una progresión aritmética es una sucesión de N° reales, tales que cada término se forma, sumando
algebraicamente una cantidad constante al término anterior.
Elementos de una progresión aritmética:
Cantidad constante = r razón
Términos = a1, a2, a3,.......an
a1 = primer término n = N° de términos an = último término
Progresión Geométrica como una función sucesión:
Una progresión geométrica es una sucesión de N° reales, tales que cada término se forma multiplicando por
una cantidad constante al término anterior.
Elementos de una Progresión Geométrica:
Fórmula: an = a1 . rn-1
an = ultimo término
a1 = primer término
r = razón
n = N° de términos
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229
Ejemplo de Sucesiones: Calcular la Sucesión fn = 2n
n+1
f0 = 2 . 0 f0 = 0 f1 = 2 . 1 f1 = 1
0 + 1 1+1
f2 = 2 . 2 f2 = 4/3 fn = 0, 1, 4/3, ……. 2n
2+1 n+1
Formulas y despejes:
Término enésimo:
1) an = a1 + (n-1) . r 2) n = an – a1 + 1
r
3) r = an – a1 4) an = a1 . rn-1
n-1
5) a1 = an 6) r = n-1
an
rn-1
a1
Repasa estas fórmulas de sucesiones
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230
7) n = lgan – lga1 + 1
lgr
.- Calcular el quinto término de una P. A de razón 2 que empieza en 3.
an = x an = 3 + (5-1) . 2 an = a1 + (n-1) . r
a1 = 3 an = 3 +( 4 . 2)
n = 5 an = 3 + 8
r = 2 an = 11
.- Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 5, termina en 83 y la razón es 3.
n = x n = an – a1 + 1
a1 = 5 r
an = 83 n = 83 – 5 + 1 = n = 78 + 1 = n = 26+1
r = 3 3 3
n = 27
.- Calcular la razón de una P. A que empieza en 8, termina en 40 y tiene 17 términos.
r = x r = an – a1 = r = 40 – 8 = r = 32 = r = 2
a1 = 8 n-1 17-1 16
an = 40
n = 17
.- Calcular el cuarto término de una P. G de razón 1/2 que empieza en 8.
n = 4 an = a1 . rn-1
an = 8 . (1/2)4-1
an = 8 . (1/2)3
an = x
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231
r = 1/2 an = 8 . 1/8 an = 1
a1 = 8
.- Calcular la razón de una P. G de cuatro términos que empieza en 3 y termine en 81.
r = x r = n-1
an r = 4-1
81
n = 4 an 3
a1 = 3
an = 81
r = 3 27 r = 3
.- Calcular el último término de una P. G de 5 términos, que empieza en 1/16 y la razón es 2.
an = x an = a1 . rn-1
an = 1/16 . 25-1
an = 1/16 . 24
r = 2
n = 5 an = 1/16 . 16 an = 1
a1 = 1/16
a) Interpolar 4 medios aritméticos entre los números 5 y 20.
a1 = 5 r = an – a1 r = 20 – 5 r = 15 r = 3
an = 20 r-1 6 – 1 5
n = 4+2 = 6
r = x
a1 = 5
a2 = a1 + r = 5 + 3 = 8
a3 = a2 + r = 8 + 3 = 11
a4 = a3 + r = 11 + 3 = 14
a5 = a4 + r = 14 + 3 = 17
a6 = a5 + r = 17 + 3 = 20
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232
a) Interpolar 4 medios geométricos entre 2 y 64
a1 = 2 r = n-1
an r = 6-1
64
an = 64 a1 2
n = 4+2 = 6
r = x r = 5 32 r = 2
a1 = 2
a2 = r . a1 = 2 . 2 = 4
a3 = 2 . 4 = 8
a4 = 2 . 8 = 16
a5 = 2 . 16 = 32
a6 = 2 .32 = 64
Calcular la suma de los términos de una P .G de razón ½ que empieza en 2/5 y termina en 50.
S = x S = an . r – a1 S = 50 . (1/2) – (2/5)
r = ½ r –1 (1/2) - 1
a1 = 2/5
an = 50 S =50/2 – 2/5 S = 123/5 S = - 246/5
1 –2 -1/2
2
a)Calcular el término central de una P. G que empieza en √2 y termina en 200√2.
a1 = √2 ac = a1 . an ac = √2 . 200√2
an = 200√2
ac = x ac = 400 ac = 20
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233
Calcular las siguientes sucesiones:
1) fn = 3n – 1 2) fn = n + 4
3) fn = 3n + 2 4) fn = 3n –0
n
5) fn = 5 + 3n 6) fn = n2 + 2
2
1) Calcular el tercer término de una P. A de razón 5 que empieza en 4.
2) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 7, termina en 23 y la razón es 2.
3) Calcular la razón de una P. A que empieza en 10, termina en 25 y tiene 16 términos.
1) Calcular el quinto término de una P .G de razón 6 que empieza en 3.
2) Calcular la razón de una P .G de seis términos que empieza en 5 termina en 56.
3) Calcular el último término de una P .G de 3 términos, que empieza en 6 y la razón es 5.
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234
1) Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 4 y 25.
2) Interpolar 3 medios diferenciales entre 1/3 y -2/5.
3) Interpolar 6 medios aritméticos entre los números 6 y 30.
1) Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 54.
2)Interpolar 7 medios proporcionales entre 2 y 18.
3) Interpolar 4 medios geométricos entre 8 y 40.
1) Calcular el término central de una P .G que empieza en 4 y termina en 12.
2) Calcular la suma de los 10 primeros términos de una P . A que empieza en ½ y termina en 2/5.
3) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 4, termina en 100 y la suma vale 520.
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235
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237
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238
INTRODUCCIÓN
La estadística está relacionada con el estudio de procesos cuyo resultado no es predecible y también con
la obtención de conclusiones para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales análisis.
PROMEDIO
Es el valor representativo de un conjunto de datos, también se conoce como Medidas de centralización.
TIPOS DE MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
Media aritmética, mediana y moda.
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Media aritmética ( X ) . Es el valor promedio de una distribución y se calcula sumando las puntuaciones
y dividiendo por el número de puntuaciones
Ecuación:
n
x
n
xxxX n.......21
Ejemplos
Calcular la media aritmética de las siguientes cantidades: 12; 18; 10; 8; 5; 3
Ecuación:
n
x
n
xxxX n.......21
3,99
56
6
358101812
X
Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones
elementales de estadística.
Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones
elementales de probabilidad.
23
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239
Cálculo de la Mediana.- Se pueden presentar dos casos:
Caso 1
Ejemplos
Dados los siguientes valores: 9; 15; 17; 29, calcular la Mediana
16162
32
2
1715
MeMe
Caso 2
Ejemplos
Dados los siguientes valores: 5; 12; 20 30; 47 , calcular la Mediana. Me= 20
Moda (Mo).-Es el valor que se repite con mayor frecuencia, es decir, es el valor más común.
Ejemplos
Hallar la moda de los siguientes números: 8; 5; 9; 7; 3; 4; 10; 8; 9; 2; 8
Mo= 8
DISTRIBUCIÓN DE DATOS EN INTERVALOS DE CLASES
Los pesos de los alumnos de un salón de clases son:
Si el número de puntuaciones es par, la mediana es el punto medio entre los
dos valores centrales, cuando las puntuaciones están ordenadas.
Si el número de puntuaciones es impar, la mediana es la puntuación que se
encuentra en la mitad, cuando éstas están ordenadas.
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240
Agrupar a todos los alumnos en n intervalos de clases (n=5). Para agrupar estos datos se procede así:
Se calcula el rango (es la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de números).
Ecuación: 245983 iS LLR
Se calcula la amplitud del intervalo (c)
Ecuación ;1
n
Rc
5
5
25
5
124
c
Pasamos a agrupar los datos tomando en cuenta el intervalo de clases (5).
Clases: 59 - 63
64 - 68
69 - 73
74 - 78
79 - 83
ACTIVIDAD 1
1) Las calificaciones obtenidas en física del 3er año son:
Agrupar a estos alumnos en 6 intervalos de clases
2) La siguiente tabla presenta las calificaciones obtenidas por 20 estudiantes del 1er año en la asignatura de
matemática:
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241
a) Organizar los datos en intervalos de clases igual a 2
b) Calcular la nota promedio a partir de los datos organizados en intervalos de clases.
c) ¿Cuál es la moda?
d) ¿Cuál es la media aritmética?
3) A continuación se presentan las calificaciones obtenidas por los alumnos de un determinado curso:
a) Organizar los datos en intervalo de clases igual a 5.
b) Determinar el rango.
c) Determinar la amplitud del intervalo.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Frecuencia absoluta o frecuencia (f). Es el número de veces que se repite un valor en jun conjunto de
datos.
Ejemplos
Las edades de las personas que asistieron a una conferencia fueron:
Frecuencia acumulada (Fa). Es la suma de todas las frecuencias anteriores a dicho valor y a la suya
propia.
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242
Ejemplos
PARA DATOS AGRUPADOS
Media aritmética ( X )
Ecuación: n
fPmX
. donde: Pm= Marca de clases
f= frecuencias
n= sumas de las frecuencias de cada marca de clases
Ejemplos
Calculemos la media aritmética a partir de la siguiente tabla, la cual está formada por los pesos de los
alumnos de un salón de clases:
28,6938
2633.
4277.61.612
6359
n
fPmX
fPmPm
Mediana (Me)
Ecuación: cfm
Pmn
LmMe .2
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243
De donde:
Me = Mediana
Lm = Límite inferior que contiene la mediana
n= Número de datos
Pm= Frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene la mediana
c= Amplitud de los intervalos
f= Frecuencia del intervalo que contiene la mediana
Ejemplos
Calcular la mediana partiendo de la tabla anterior: cfm
Pmn
LmMe .2
Determinar el intervalo donde se encuentra la mediana así: 192
38
2
n
El intervalo que lo contiene es: [64-68)
Datos:
Lm = 64
Fm = 7
fm= 12
c= 5
n=38
Moda (Mo)
Ecuación: cff
fLiMo .
1
11
De donde:
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244
Li = Límite inferior
f+1 = frecuencia de la clase siguiente a la modal
f-1 = frecuencia de la clase anterior a la clase modal
c= Amplitud de la clase modal
Clase modal= 64 – 68. Sustituyendo en la ecuación, calculamos Mo
9,669,2645.58,0645.10
1064 MoMo Mo= 66,9
HISTOGRAMA
Elaborar un histograma y polígono de frecuencia con los siguientes datos
Datos:
Li= 64 ; c= 5
f+1 = 10 ; f-1 = 7
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245
En este histograma, la moda se encuentra en el rectángulo de mayor altura
ACTIVIDAD 2
Resolver los siguientes ejercicios:
1) Ordenar los siguientes números en forma creciente y en forma decreciente:
a) 17 45 38 27 6 48 11 57 34 22
b) 19 63 21 9 34 51 2 9 19 88
2) La puntuación final en matemática de 80 estudiantes de UCV se registran en la tabla
Con relación a esta tabla, encontrar:
a) La puntuación más alta.
b) La puntuación más baja
c) El rango
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246
d) Las puntuaciones de los cinco estudiantes de mayor puntuación.
e) Las puntuaciones de los cinco estudiantes de mayor puntuación.
f) La puntuación del décimo estudiante de mayor puntuación.
g) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron puntuación de 75 o mayor?
h) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron puntuación mayor que 65 pero no mayor que 85?
j) ¿Qué puntuaciones no tienen ninguno de los estudiantes?
3) Con los datos del ejercicio N° 2
a) Elaborar una tabla agrupando los datos por clases, tomando como intervalo de clases igual a 4.
b) Completa la tabla con la frecuencia absoluta y la frecuencia acumulada.
4) ¿ Cuáles son los puntos medios de los intervalos que se te dan a continuación?
a)[ 66 ; 69 ] ; b) [ 8 ; 16 ] ; c) [09 ; 18 ] ; d) [4,5 ; 10,2] e) [400 ; 499] ; f) [ 70 ; 65 ]
5) La siguiente tabla muestra el peso de 22 estudiantes:
6) Con los datos del ejercicio N° 5 construye una tabla para datos, con un intervalo de clases igual a 3.
a) Completa en tu cuaderno la tabla.
b) ¿Cuál es la suma de f ?
c) ¿Cuál es el total de la suma de x, f ?
d) ¿ Cuál es la media aritmética ?
a) ¿Cuál es el total de la suma de la frecuencia?
b) ¿Cuál es la suma total de Pm. f ?
c) ¿Cuál es la media?
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247
7) Un grupo de cuatro alumnos de 3er año obtuvieron las siguientes calificaciones:
a)¿Cuál es la calificación promedio de cada uno?
8) Las calificaciones de un estudiante en siete exámenes fueron: 85; 84; 91; 72; 68; 87 y el 78
a) Ordénalas en forma creciente
b) ¿ Por qué calificación está representada la mediana?
9) Hallar la media, mediana y moda de:
a) 3; 5 ; 2; 6; 5; 9; 5; 2; 8; 6.
b) 51,6 ; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9
10) ¿Cuál es la medida de centralización más apropiada en:
b) En una tienda de ropa para niño, el dueño reflexiona sobre las tallas
de medias.
c) Un ingeniero que estudia la duración de 400 tubos de radio
fabricado por WAS & Cía.
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248
11) Dado el siguiente cuadro que indica el número de veces que 40 familias fueron durante los meses de agosto
y septiembre de este año a la playa:
a) Hallar la mediana de una distribución de frecuencia de 5 clases
b) Escribir las conclusiones
12) Calcular la moda y la media en cada caso
Espacio Muestral (E)
Ejemplos
S i lanzamos un dado tendríamos seis resultados posibles y lo representamos por el conjunto
E={1,2,3,4,5,6} es el espacio muestral del evento
Se llama espacio al conjunto de resultados posibles que se obtienen al
realizar un evento, donde el resultado está determinado por el azar. El
cardinal del conjunto corresponde al número de posibilidades.
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249
EVENTO
Ejemplos
S i lanzamos una moneda al aire hay dos resultados posibles cara o sello.
El espacio muestral lo representaremos por el conjunto:
E={cara, sello}
En el evento nos referimos a un solo resultado cara o sello y se denota así:
E1={cara} y E2={sello} Los subconjuntos E1 y E2 son los eventos del espacio muestral E.
Definición de Estadística
La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para
poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.
Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:
Recogida de datos.
Organización y representación de datos.
Análisis de datos.
Obtención de conclusiones.
Un evento, es un subconjunto del espacio muestral E de un experimento
Conceptos:
Población
Una población es e l conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estud io es tadís t ico .
Individuo
Un indiv iduo o unidad estadíst ica es cada uno de los e lementos que componen la población.
Muestra. - Una muestra es un conjunto representat ivo de la población de re ferenc ia, e l número de
ind ividuos de una muest ra es menor que e l de la poblac ión.
Muestreo. - El muestreo es la reunión de da tos que se desea estud iar , obtenidos de una proporc ión
reducida y representat iva de la poblac ión.
Valor. - Un valor es cada uno de los dist intos resul tados que se pueden obtener en un es tudio
es tadís t ico . S i lanzamos una moneda al ai re 5 veces obtenemos dos va lores : cara y c ruz.
Dato.- Un dato es cada uno de los va lores que se ha obtenido al rea l izar un es tudio estadíst ico. Si
lanzamos una moneda a l aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara , cara, cruz , cara , cruz . Una variable
estadíst ica es cada una de las característ icas o cualidades que poseen los indiv iduos de una
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250
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
251
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
252
Ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2 , 1 , 0 , 1 , 3 .
Variable contínua Una variable continua es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.
Ejemplos: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.
Distribución de frecuencias
La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos
estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.
Tipos de frecuencias
Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.
Se representa por fi.
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o
sumatoria.
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total
de datos.
Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
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253
Frecuencia acumulada
La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o
iguales al valor considerado.
Se representa por Fi.
Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y
el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.
Ejemplo:
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29,
29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el
recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.
xi Recuento fi Fi ni Ni
27 I 1 1 0.032 0.032
28 II 2 3 0.065 0.097
29
6 9 0.194 0.290
30
7 16 0.226 0.516
31
8 24 0.258 0.774
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254
32 III 3 27 0.097 0.871
33 III 3 30 0.097 0.968
34 I 1 31 0.032 1
31 1
Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.
Distribución de frecuencias agrupadas
La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si
las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.
Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A
cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.
Límites de la clase
Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.
Amplitud de la clase
La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.
Marca de clase
La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para
el cálculo de algunos parámetros.
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255
Construcción de una tabla de datos agrupados
3, 15, 24, 28, 33, 35, 3 8, 42, 43, 38, 36, 34, 2 9, 25, 17, 7 , 34, 36, 39 , 44, 31, 26, 2 0, 11 , 13, 22, 27,
47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
1º Se l ocal izan l os val ores menor y may or de la distribución. En este c as o son 3 y 48 .
2º Se rest an y s e busc a un n úmero en tero u n poco may or qu e l a diferencia y qu e s ea div isibl e por el
número de in terv alos queramos es tabl ec er.
Es convenien te qu e el número de in terv alos oscil e entre 6 y 15.
En es te c as o, 4 8 - 3 = 45, incremen tamos el número hasta 50 : 5 = 10 in terv al os.
Se forman los in terv al os tenien do pres ente que el l ímite inf erior de un a cl as e perten ec e al
interval o, pero el l ímite su perior no pertenece in terv alo, s e cu en ta en el s igu iente interv alo.
c i f i F i n i N i
[0 , 5) 2 .5 1 1 0 .025 0.025
[5, 10) 7 .5 1 2 0 .025 0.050
[10, 15) 12.5 3 5 0 .075 0.125
[15, 20) 17.5 3 8 0 .075 0.200
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
256
[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.275
[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425
[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600
[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850
[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950
[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1
40 1
Diagrama de barras y polígonos de frecuencias
Diagrama de barras
Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo
discreto.
Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la
variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.
Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.
Ejemplo:
Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente
resultado:
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
257
Grupo sanguíneo fi
A 6
B 4
AB 1
0 9
20
Polígonos de frecuencia
Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.
También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos
mediante segmentos.
Ejemplo:
Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad. También se puede real izar trazando los puntos que
representan las frecuencias y uniéndolos mediante seg mentos .
Ejemplo:
Las tempera turas en un día de o toño de una c iudad han sufr ido las s iguientes var iac iones:
Hora Temperatura
6 7º
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
258
9 12°
12 14°
15 11°
18 12°
21 10°
24 8°
Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para
las variables cualitativas.
Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a
la frecuencia absoluta correspondiente.
El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.
Ejemplos
En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no
practica ningún deporte.
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259
Alumnos Ángulo
Baloncesto 12 144°
Natación 3 36°
Fútbol 9 108°
Sin deporte 6 72°
Total 30 360°
Histograma Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.
Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se
han agrupado en clases.
En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y
por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.
La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
Polígono de frecuencia
Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de
cada rectángulo.
Ejemplo:
El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
ci fi Fi
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
260
[50, 60) 55 8 8
[60, 70) 65 10 18
[70, 80) 75 16 34
[80, 90) 85 14 48
[90, 100) 95 10 58
[100, 110) 105 5 63
[110, 120) 115 2 65
65
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261
Histograma y polígono de frecuencias acumuladas Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de
frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
262
f i h i
[0 ,
5) 15 3
[5 ,
7) 20 10
[7 ,
9) 12 6
[9 ,
10) 3 3
50
Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.
Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.
Tipos de parámetros estadísticos Hay tres tipos parámetros estadísticos:
De centralización.
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263
De posición
De dispersión.
Medidas de centralización
Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.
La medidas de centralización son:
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264
Media aritmética
La media es el valor promedio de la distribución.
Mediana
La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir
divide la serie de datos en dos partes iguales.
Moda
La moda es el valor que más se repite en una distribución.
Medidas de posición
Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de
individuos.
Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a
mayor.
La medidas de posición son:
Cuartiles
Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.
Deciles
Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Percentiles
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265
Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.
Las medidas de dispersión son:
Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima,
la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos
puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.
Desviación media
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a
la media.
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266
Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Li es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
Ejemplo:
Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[60, 63) 5
[63, 66) 18
[66, 69) 42
[69, 72) 27
[72, 75) 8
100
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267
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
Ejemplo:
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por
un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
fi hi
[0, 5) 15 3
5, 7) 20 10
[7, 9) 12 6
[9, 10) 3 3
50
MEDIANA Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
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268
Cálculo de la mediana
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 5
3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones
centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de
las frecuencias absolutas.Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Ejemplo: Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi Fi
[60,
63) 5 5
[63,
66) 18 23
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269
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69)
MEDIA ARITMETICA
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total
de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo:
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
[66,
69) 42 65
[69,
72) 27 92
[72,
75) 8 100
100
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270
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula
la puntuación media.
xi fi xi · fi
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
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271
42 1 820
Propiedades de la media aritmética
1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la
misma igual a cero.
La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a
un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media
aritmética queda aumentada en dicho número.
4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media
aritmética queda multiplicada por dicho número.
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272
Observaciones sobre la media aritmética
1. La media se puede hallar só lo para variables cuantitat ivas .
2. La media e s independiente de las a mpli tudes de los intervalos .
3. La media es muy sensib le a las puntuaciones extremas . Si tenemos una distr ibuc ión con los
siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igua l a 74 kg, que es una medida de centra lización poco representat iva de la
dis tr ibución.
4. La media no se puede ca lcular si hay un interva lo con una a mpli tud indeterminada .
x i f i
[60, 63) 61.5 5
[63, 66) 64.5 18
[66, 69) 67.5 42
[69, 72) 70.5 27
[72, ∞ ) 8
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273
100
En este caso no es posib le ha llar la media porque no podemos calcular la marca de clase de úl t imo
intervalo.
CUARTILES
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos
ordenados en cuatro partes iguales.
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
Q2 coincide con la mediana.
Cálculo de los cuartiles
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .
Número impar de datos
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
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274
Número par de datos
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las
frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de cuartiles
Calcular los cuarti les de la d istr ibuc ión de la tabla:
f i F i
[50, 60) 8 8
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275
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Cálculo del primer cuartil
Cálculo del segundo cuartil
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276
Cálculo del tercer cuartil
DECILES Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Cálculo de los deciles.- En primer lugar buscamos la clase donde se
encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de deciles
Calcular los deciles de la distribución de la tabla:
fi Fi
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
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277
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Cálculo del primer decil
Cálculo del segundo decil
Cálculo del tercer decil
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278
Cálculo del cuarto decil
Cálculo del quinto decil
Cálculo del sexto decil
Cálculo del séptimo decil
Cálculo del octavo decil
Cálculo del noveno decil
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279
PERCENTILES Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.
P50 coincide con la mediana.
P50 coincide con D5.
Cálculo de los percentiles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las
frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de percentiles Calcular e l percenti l 35 y 60 de la distribución de la tabla:
f i F i
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
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280
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Percentil 35
Percentil 60
DESVIACION MEDIA Desviación respecto a la media
La desviac ión respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la var iable
es tadís t ica y la media aritmét ica .
D i = |x - x |
Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores abso lutos de las desviaciones respecto a la
media .
La desviación media se representa por
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281
Ejemplo:
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Desviación media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias , la expresión de la desviación media es:
Ejemplo:
Calcular la desviación media de la dis tr ibución :
xi fi xi · fi |x -x| |x - x| · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858
[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43
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282
[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998
[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856
[30, 35) 32.5 2 65 10.714 21.428
21 457.5 98.57
VARIANZA La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una
distribución estadística.
La varianza se representa por .
Varianza para datos agrupados
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son
equivalentes a las anteriores.
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283
Ejercicios de varianza Ejercicio 1:
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Ejercicio 2:
Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60 55 8 440 24 200
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284
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Propiedades de la varianza 1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por
el cuadrado de dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede
calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre la varianza
1 La varianza , a l igua l que la media, es un índ ice muy sensible a las puntuac iones extremas.
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285
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posib le ha llar la varianza .
3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones
es tán e levadas a l cuadrado.
DESVIACIÓN TÍPICA
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación típica se representa por σ.
Desviación típica para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las
anteriores.
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286
Ejercicios de desviación típica Ejercicio 1:
Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Ejercicio 2:
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
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287
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Propiedades de la desviación típica
1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean
iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación
típica queda multiplicada por dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivasdesviaciones
típicas se puede calcular la desviación típica total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
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288
Observaciones sobre la desviación típica 1 La desv iac ión t ípica , al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hal lar la media tampoco será posible hallar la desv iación t ípica .
3 Cuanta más pequeña sea la desviación t íp ica mayor será la concentración de datos alrededor de la media .
COEFICIENTE DE VARIACIÓN Y PUNTUACIONES TÍPICAS
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.
El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes:
El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que
sus medias sean positivas.
Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí.
La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.
Ejercicio:
Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?
La primera distribución presenta mayor dispersión.
Puntuaciones típicas
Puntuaciones diferenciales
Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética.
xi = Xi − X
Puntuaciones típicas
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289
Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica.
Este proceso se llama tipificación.
Las puntuaciones típicas se representan por z.
Observaciones sobre puntuaciones típicas
La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0.
La desviación típica de las puntuaciones típicas es 1.
Las puntuaciones típicas son adimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas.
Las puntuaciones típicas se utilizan para comparar las puntuaciones obtenidas en distintas distribuciones.
Ejercicio
En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y
52.4 kg. Las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de
70 kg y el de Ana es 65 kg. ¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más
grueso?
José es más grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.
PROBABILIDAD
La probabilidad tiene dos maneras de definirse:
a) La probabilidad clásica (a priori)
b) La probabilidad con base experimental (a posteriori)
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD CLÁSICA (A PRIORI)
La probabilidad clásica (a priori) es el cociente entre el número de casos favorables y el
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
290
ECUACIÓN
N
n
posibles
favorables
casos
casos
de
de
número
númeroobabilidadP Pr
Ejemplos Si se lanza un dado cuál es la posibilidad de que salga 6?
Solución: Cuando lanzamos un dado, tenemos una de cada seis posibilidades de que salga 6, la probabilidad
de este evento está a razón de 6
1.
Para determinar la probabilidad (P) de un evento tenemos que conocer:
n= número de casos favorables= 1
N= número de casos posibles= 6
1666,06
1
N
nP Esto nos indica que la probabilidad de que salga 6 es del 16,66%
número de casos posibles.
La probabilidad con base experimental es el cociente que existe entre el número de
veces que ocurre un caso de interés entre el número de veces que tiene lugar un
experimento.
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291
PROBABILIDAD CON BASE EXPERIMENTAL (A POSTERIORI)
Ecuación
N
nerimento
evento
un
un
lugar
ocurre
tiene
que
que
veces
veces
de
de
número
númeroobabilidadP
expPr
Ejemplos
Se lanza una moneda de Bs 100 al aire 30 veces, obteniendo los siguientes resultados.
Número de
lanzamientos
Cara Sello
30 12 18
a) Calcular la probabilidad de que salga cara
b) Calcular la probabilidad de que salga sello
Solución: La probabilidad de que salga cara es=
6,030
18Pr
lanzada
cara
fue
salió
que
que
veces
veces
de
de
número
númeroobabilidadP equivale (60%)
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292
Actividades 1
1) ¿De cuántos modos puede dividirse una entrevista de 10 preguntas, para formar 12 entrevistas de 5
preguntas cada una?
2) Determinar la probabilidad en los siguientes casos:
a) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.
b) La obtención de 7 puntos de una sola lanzada de un par dados.
c) La aparición de un as, el 10 de diamante o el 2 de corazones en una sola extracción de una
baraja de 52 cartas.
3) De una caja que contiene 6 pelotas rojas, 4 blancas y 5 azules, se extrae una al azar, determinar la
probabilidad de que sean : a) roja; b) blanca; c) azul; no roja ; e) roja o blanca
4) Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzamientos de un dado.
5) Pedro y Juan juegan 12 veces a las damas, de los cuales Pedro gana 6 veces, Juan gana 4 veces y 2
terminan empatados. Acuerdan jugar un torneo consistente en 3 partidas. Hallar la probabilidad de que:
a) Pedro gane las tres partidas; b) Dos partidas terminen empatados; c) Pedro y Juan ganen
alternativamente; d) Juan gane al menos una partida.
6) Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. Si se escogen dos personas al azar, hallar la
probabilidad de que: a) sean esposos; uno sea hombre y otro mujer.
7) Una clase consta de 10 niños y 20 niñas de los cuales la mitad de los niños y la mitad de las niñas
tienen los ojos verdes . Hallar la probabilidad de que una persona escogida al azar sea niño con los ojos
verdes.
8) Imagínate una rifa en la que han vendido 320 ticket con los números del 1 al 320. Tu has comprado
un ticket que tiene número 75, ¿Cuál es tu probabilidad de ganar?
9) Una bolsa contiene 100 esferas enumeradas de 1 al 100. Antes de sacar al azar una esfera de la bolsa
has apostado que la esfera que salga será el 42, el 45 o el 47. ¿Qué oportunidades tienes de ganar?
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293
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
294
PROCESOS ESTOCÁSTICOS FINITOS Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Una sucesión de experimentos en los cuales cada uno tenga un número finito de resultados con
probabilidades de se denomina proceso estocástico finito. El diagrama de árbol es una manera de
describir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento.
Ejemplos
Tenemos las tres cajas siguientes:
Caja I Contiene 10 bombillos de los cuales 4 fundidos
Caja II Contiene 6 bombillos con 1 fundido
Caja III Contiene 8 bombillos con 3 fundidos
Escojamos al azar una caja y luego sacamos al azar un bombillo. ¿Cuál es la probabilidad p de que el
bombillo esté fundido?
Aquí realizamos una serie de experimentos:
Escogemos una de las tres cajas.
Escogemos un bombillo bueno (B) y fundido (F)
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295
La probabilidad de que esta trayectoria de árbol suceda es, según el teorema de la multiplicación, el producto
de la probabilidad de cada una de las ramas de trayectoria, es decir , que la probabilidad de escoger la caja I y
luego un bombillo fundido es: 15
2
5
2.
3
1
Como hay tres trayectorias que conducen a una lámpara defectuosa, la suma de las probabilidades
de todas las trayectorias es la probabilidad buscada.
120
253
8
3.
3
1.
6
1.
3
1.
5
2.
2
1p
Actividades 2
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296
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
297
La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las
posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Experimentos deterministas
Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra
bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado
intervalo de tiempo; pero después bajará.
Experimentos aleatorios
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplos:
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda
ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es
más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Ejemplos:
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298
Al lanzar una moneda salga cara.
Al lanzar un dado se obtenga 4.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien
por la letra griega Ω).
Ejemplos:
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplos:
Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Un ejemplo completo
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
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299
TIPOS DE SUCESOS
Suceso elemental
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Ejemplo
Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.
Suceso compuesto
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo
Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).
Ejemplo:
Tirando un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible
Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.
Ejemplo:
Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7.
Sucesos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
Ejemplo:
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es
un suceso elemental común.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.
Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya
sucedido o no B.
Ejemplo:
Al lazar dos dados los resultados son independientes.
Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya
sucedido o no B.
Ejemplo:
Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.
Suceso contrario
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por .
Ejemplo:
Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.
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300
Suceso elemental
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Ejemplo
Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.
Suceso compuesto
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo
Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).
Ejemplo:
Tirando un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible
Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.
Ejemplo:
Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7. Sucesos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
Ejemplo:
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es
un suceso elemental común. Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles. Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya
sucedido o no B.
Ejemplo:
Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya
sucedido o no B.
Ejemplo:
Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.
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301
Suceso contrario
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por .
Ejemplo:
Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado. Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos a leator ios .
Si t i ramos una moneda e l espac io se sucesos está formado por :
S= { , {C}, {X}, {C,X}}.
Observamos que el pr imer elemento es e l suceso imposible y el ú l t imo e l suceso seguro .
Si E t iene un número f ini to de elementos, n, de e lementos e l número de sucesos de E es 2n
.
Ejemplos:
Una moneda E= {C, X}.
Número de sucesos = 22
=4
Dos monedas E= {(C,C) ; (C,X) ; (X,C); (X,X)}.
Número de sucesos = 24
=16
Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Número de sucesos = 26
= 64
Unión de sucesos
La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.
A B se lee como "A o B".
Ejemplo:
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3".
Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {2, 3, 4, 6}
Propiedades de la unión de sucesos Conmutativa
Asociativa
Idempotente
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302
Simplificación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
Final del formulario
Intersección de sucesos
La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
A B se lee como "A y B".
Ejemplo:
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3".
Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {6}
Propiedades de la intersección de sucesos Conmutativa
Asociativa
Idempotente
Simplif icación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.
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303
A − B se lee como "A menos B".
Ejemplo:
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3".
Calcular A − B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A − B = {2, 4}
Propiedad de la diferencia de sucesos
El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.
Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular .
A = {2, 4, 6}
= {1, 3, 5}
Propiedades
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304
Leyes de Morgan
Axiomas de la probabilidad
1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.
0 ≤ p(A) ≤ 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1.
p(E) = 1
3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
p(A B) = p(A) + p(B)
Propiedades de la probabilidad
1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso
contrario es:
2. Probabilidad del suceso imposible es cero.
3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su
intersección.
4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.
5. Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:
6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:
Ejemplo:
La probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:
P(par) = P(2) + P(4) + P(6)
Distinguir los subsistemas que conforman un
computador.
Identificar las actividades fundamentales de la
programación.
24
28
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305
La computadora es una máquina que recibe información, la elabora y proporciona unos resultados. Su propiedad más característica es la de tratar la información a gran velocidad.
La computadora consta de dos partes: Hardware (parte física) y Software (parte lógica)
HARDWARE
Es toda parte física de la computadora integrada por el conjunto de circuitos electrónicos y dispositivos mecánicos que, actuando conjuntamente bajo la dirección del Software realizan el tratamiento y almacenamiento de la información.
COMPONENTES BÁSICOS DEL HARDWARE
El Hardware está integrado por tres bloques principales: la unidad central del sistema de cómputos, los periféricos de entrada y los periféricos de salida.
Unidad central
Periféricos de entrada
Periféricos de salida
Programas de aplicación
Programas de sistemas
Hardware
Software
Elementos de la computadora
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306
Unidad central del sistema de cómputos.- es el conjunto de circuitos que gobiernan el funcionamiento de toda la computadora y el lugar donde se realizan las operaciones sobre los datos a procesar.
Tarjeta de interfase
Tarjeta de principal
Fuente de alimentación
Elementos de la unidad central de cómputos Unidad de CD ROM
Unidad de disco flexible
Disco duro
Gabinete o caja
Dispositivos periféricos son los que hacen posible la comunicación de la unidad central con el entorno. Hay dispositivos de que son los que permiten introducir información al computador para ejecutar determinados procesos.
Además hay dispositivos de salida que son los que reciben la respuesta del computador impresa o auditiva.
Lápiz óptico
Teclado
Escáner
Cámara fotográfica digital
Periféricos de entrada Ratón o mouse
CD ROM
Micrófono
Cámara de video digital
Joysticks
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307
Monitor
Periféricos de entrada Impresora
Graficadores o Plotters
SOFTWARE
Comprende la parte lógica del computador y se compone de todos los programas, rutinas y sistemas que
permiten al computador ejecutar funciones.
TIPOS DE SOFTWARE
El software está representado por dos tipos de programa: los de aplicación y los operativos.
Los de aplicación
Son aquellos programas que se encuentran listos para su uso final y sirven para realizar una determinada.
Los operativos
Son aquellos programas que tienen como finalidad ayudar a la creación de otros programas, como es el caso de los lenguajes de programación y de los sistemas operativos.
Los lenguajes de programación permiten decir al computador la tarea que va a realizar a través de una
serie de caracteres, palabras y reglas sintácticas, que se pueden emplear para escribir un programa de
computadora.
Los sistemas operativos son un conjunto de procedimientos para compartir más eficientemente los
recursos físicos y la administración de la computadora.
SISTEMA OPERATIVO
Es el conjunto de programas que hacen funcionar al computador controlando toda la actividad, sus
recursos y la interrelación entre los programas de aplicación y los diversos elementos del computador.
FUNCIONES BÁSICAS DEL SISTEMA OPERATIVO
Ayudar a organizar todo el trabajo.
Regular, controlar, ordenar y establecer una interrelación de comunicación entre la arquitectura del
computador, sus periféricos y los programas de aplicación que se ejecutan.
Permitir la comunicación entre los usuarios, el computador y las aplicaciones que se ejecutan en el
sistema.
Unificar las características de los diferentes equipos de computación.
PROGRAMACIÓN
Mercedes Hernández Rincón Matemática 4to Año Asdrúbal Hernández Rincón
308
Un programa es una secuencia de instrucciones que indican a la máquina que funciones debe de realizar
y en qué orden.
En la programación se utilizan los términos entrada y salida para designar, respectivamente, a la
información que se suministra al programa, y a la que éste produce como resultado de la ejecución de todos sus
pasos.
LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN
Es una serie de caracteres, palabras, sonidos y reglas sintácticas que se pueden emplear para escribir un
programa de computador que permita la solución de problemas generales o particulares. Entre los tipos de
lenguaje de programación están:
Lenguaje de bajo nivel son lenguajes que sólo permiten complicadas combinaciones de unos (1) y ceros
(0)
Lenguaje de alto nivel, son lenguajes para el programador. En estos las instrucciones tienen códigos que
describen la acción a realizar.
ANÁLISIS Y DIAGRAMAS DE FLUJO
Escribir las instrucciones que constituyen un programa es sólo la última fase de un complejo trabajo de
análisis del problema específico y de su síntesis en una estructura compatible con la máquina.
El análisis del problema a resolver lleva a sintetizar incluso las operaciones más complejas en una serie
de funciones elementales representables gráficamente mediante los símbolos adecuados. De esta representación
gráfica se pasa a la escritura de las instrucciones propiamente dichas.
PLANTEAMIENTO DE UN PROGRAMA
Para cada problema de aplicación completa hay que suministrar al computador el programa adecuado.
En las aplicaciones más complejas, para obtener el resultado final, hacen falta diversos programas, cuyo
conjunto se denomina procedimiento.
Antes de iniciar la estructura de un programa hay que conocer los aspectos del problema y el método a
seguir para resolverlo.
Esta fase (planteamiento) es la más delicada, puesto que un error de evaluación puede dar a resultados
negativos o incompletos. El planteamiento de un programa se puede dividir en tres fases.
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309
a) Algoritmo para representar el proceso de cambiar un caucho desinflado de un automóvil
1) Identificar el caucho desinflado
2) Verificar si se tiene un caucho de repuesto
3) Si no lo tiene, comprar uno nuevo y sustituir el desinflado por el nuevo.
4) Si lo tiene, observar el estado en que está el caucho de repuesto
5) Si el repuesto está en mal estado llevarlo a reparar y luego sustituir el desinflado.
DIAGRAMA DE FLUJO PARA REPRESENTAR EL PROCESO DE CAMBIAR UN CAUCHO DESINFLADO DE
UN AUTOMÓVIL.
Ejemplos
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310
b) Elaborar un diagrama de flujo en donde se encuentre el valor de A, de tal forma que el valor resultante de P sea el
siguiente:
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311
Nociones elementales de Informática:
Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una manera formalizada, ajustada para la
comunicación, interpretación o procedimiento manual o automatizado.
Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a un hecho o fenómeno.
c) Tipos de datos:
Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan origen al proceso.
Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no permiten verificar todas las transacciones.
d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras,
capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se trate de una lectura o de una
escritura.
e) Formas de procesamiento de datos:
.- Medios perforados.
.- Soportes perforados: tarjetas perforadas.
cintas perforadas.
.- Medios magnéticos: tambor magnético.
soporte magnético.
cintas magnéticas.
disco magnético.
.- Medios ópticos.
.- Terminales de teclado-pantalla.
.- Impresora.
Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está formada por:
Monitor o pantalla.
Teclado.
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312
C .P.U
Impresora.
Mouse.
Fax.
Scanner.
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313
Partes de un Computador
Unidad de Entrada Unidad de Memoria Unidad de Salida
Traduce palabras y números Almacena datos e
lenguaje a lenguaje de máqui- instrucciones
nas.
Unidad de Control
Controla los cálculos y el orden
de las instrucciones
Traduce el
lenguaje de
máquina a
palabras y
números
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314
Unidad Aritmética
Ejecuta todos los cálculos
Unidad Central de Procesamiento
Características de los computadores:
Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo:
.- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos.
.- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por
medio de lenguajes de programación.
Tienen gran velocidad de cálculo.
Tienen gran capacidad de almacenamiento.
Tienen gran precisión.
Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos
Tópicos.
Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.
Aplicaciones de los computadores:
Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los trabajos administrativos de la
oficina, dando lugar a una técnica conocida con el nombre de ofimática.
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315
Tareas administrativas del computador:
a) Gestión de personal.
b) Proceso de nóminas.
c) Control de inventarios.
d) Gestión de almacén.
e) Facturación y contabilidad.
f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio.
g) Información de productores, partes y materiales.
h) Estado de cuentas de los clientes.
Aplicaciones Industriales:
Control de procesos industriales.
Robótica industrial.
Diseño.
Otros.
Aplicaciones tecno-científico:
Predicciones meteorológicas.
Control ambiental.
Control de comunicación satelital.
Programas de simulación (vuelos).
Otros.
Aplicaciones médicas:
a) Control clínico del paciente.
b) Mantenimiento de hospitales.
c) Tomografía computarizada.
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316
d) Otros.
Concepto de algoritmo:
El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente especificado y sin
ambigüedades que conducen a la solución de un problema específico (definido), siguiendo un número infinito
de pasos (instrucciones) ordenadas lógicamente.
Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:
Proceso salida - entrada
Operación
Manual decisión
Inicio-fin introducción
manual
magnetic-tape
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317
documento punched
card
Representación gráfica de algoritmos :
1) Algoritmo para abrir una puerta
inicio
acercarse a
la puerta
intentar abrirla
dándole vuelta
al pomo
no ¿ está cerrada si buscar la introducir la
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318
con llave? Llave llave en la
cerradura
darle vuelta a
la llave
dar vuelta no ¿ Se abrió
al pomo la puerta
abrir comple-
salir tamente la
puerta
fin
Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.
Algoritmo:
1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0)
2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)
3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N)
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319
4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.
5.- Imprimir : SUM.
Comienzo
N = 0
SUM = 0
N = N + 1
SUM = SUM + N
Si
Es N < 20
No
Imprima SUM fin
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320
Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enteros positivos.
Algoritmo:
1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.
2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2)
3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)
4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X)
5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.
6.- Imprimir
Comienzo
N = 0
X = 0
SUM = 0
X = X + 2
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321
N = N + 1
SUM = SUM + X
Si ¿ Es N < 20 ? No Imprima
fin
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322
AUTOEVALUACION
SELECCIÓN SIMPLE
Instrucciones: Lea cuidadosamente cada una de las siguientes preguntas y Marque con una equis (X) la
respuesta correcta.
1) Es la parte de la matemática que estudia las relaciones que existen entre los ángulos y los lados de un
triángulo
____ Trigonometría _____ Algebra
____ Geometría _____ Aritmética
2) Es la medida del ángulo central correspondiente a un arco de longitud igual al radio de la circunferencia
____ Diámetro _____ Sistema sexagesimal
____ Sistema Radian _____ Razón Trigonométrica
3) Las funciones f: R R, con f(x) = kx (k fijo), son funciones de proporcionalidad
____ Nula _____ Constante
____ Directa _____ Inversa
4) Una función f(x) es estrictamente creciente si se verifica :
____ x1 > x2 f(x1) > f(x2) _____ x1 < x2 f(x1) > f(x2)
____ x1 > x2 f(x1) < f(x2 _____ x1 > x2 f(x1) > f(x2)
5) Cuando en una función hay números reales que no son imágenes de ningún x del dominio, dicha función es
____ Inyectiva _____ Sobreyectiva
____ No es inyectiva, ni sobreyectiva _____ Biyectiva
6) Si Z= a + bi , el elemento simétrico para la suma es
____ -Z= -a - bi _____ Z= a - bi
____ -Z= -a + bi _____ -Z= a . bi
7) Cuando dos vectores fijos tienen las mismas componentes se denominan
____ Paralelos _____ Ortogonales
____ Vectores libres _____ Equipolentes
8) Las ecuaciones cuya incógnita aparece en forma de exponente de alguna potencia, se denominan
____ Exponenciales _____ Logarítmicas
____ Cuadráticas _____ Racionales
9) Dos vectores u y v se dice que son linealmente independientes si, dados α,β ϵ R, la relación αu + βv = 0
Se cumple solo para α = β = 0
____ α = β = 2 _____ α = β = 0
____ α = β > 0 _____ α = β = 1
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10) Para un vector cualquiera u en el plano cartesiano, siempre es posible determinar un vector equipolente a u
que comience en el:
____ origen _____ primer cuadrante
____ segundo cuadrante _____ tercer cuadrante
11) A todo ángulo , además de su medida en grados sexagesimales, le corresponden unos números que se
obtienen como cociente entre las medidas de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo
construido sobre el ángulo dado, estos números se llaman:
____ Radianes _____ Razones trigonométricas
____ Circulo Trigonométrico _____ Vectores
12) El cociente de dos números complejos es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los
módulos y por argumento la (el):
____ Suma de los argumentos _____ Producto de los argumentos
____ Diferencia de los argumentos _____ Cociente de los argumentos
13) Para determinar el valor de cualquier potencia de i , dividimos el exponente por:
____ 2 _____ La unidad
____ 3 _____ 4
14) Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es igual a:
____ 1 _____ 2
____ 0 _____ -1
15) El cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados
menos el doble del producto de esos dos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos
____ Ley del coseno _____ Ley del seno
____ Producto Vectorial _____ Producto escalar de dos vectores
16) El rango de la función logarítmica es el conjunto de los Números:
____ Enteros _____ Irracionales
____ Reales _____ Racionales
17) Cuando la pendiente m de una recta es negativa, el ángulo formado por la recta y el eje x es un ángulo
____ Recto _____ Obtuso
____ Complementario _____ Agudo
18) Cuando la base del logaritmo es el número 10, se habla de
____ Logaritmos decimales _____ Logaritmos naturales
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____ Antilogaritmo _____ Ecuación Logarítmica
19) Función trigonométrica que no está definida para valores del ángulo que hacen a la razón muy grande
____ Cosecante _____ Secante
____ Seno _____ Tangente
20) La representación en un plano cartesiano permite definir de manera inequívoca a un vector mediante la (el):
____ Dirección del mismo _____ Sentido del mismo
____ Magnitud del mismo _____ Magnitud y dirección del mismo
VERDADERO Y FALSO. Instrucción. Coloque una V o una F si considera la proposición verdadera o falsa
respectivamente. JUSTIFIQUE LA RESPUESTA
21.________ Dos ángulos son complementarios cuando suman 180°
_____________________________________________________________________________________
22.________ Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180º
_____________________________________________________________________________________
23.________ La progresión aritmética es creciente cuando la razón es positiva
_____________________________________________________________________________________
24.________ La trigonometría se ocupa de estudiar las relaciones que unen los ángulos y los lados de un
triángulo
_____________________________________________________________________________________
25.________ La longitud de un arco es igual al producto de su ángulo en radianes por radio
_____________________________________________________________________________________
26.________ Una sucesión de números reales es toda aplicación de N en R.
27.________ Los vectores colineales son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes
son proporcionales
_____________________________________________________________________________________
28.________ El signo del seno y coseno en el II cuadrante son iguales
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_____________________________________________________________________________________
29.________ Las funciones inversas tienen el mismo signo que las funciones directas respectivas
30.________ La cosecante es la inversa del coseno
_____________________________________________________________________________________
COMPLETACION. Instrucción: Coloca la palabra en el espacio para que la proposición tenga sentido
31.- Una progresión geométrica es una sucesión de números reales, tales que cada término se forma
multiplicando una cantidad constante al término ________________________
32.-El logaritmo de un número respecto a cierta base, es igual al exponente a que debe elevarse dicha base
para encontrar
el _________________
33.-El signo de la tangente se obtiene dividiendo el signo del seno entre el signo del____________________
34.- Entre dos conjuntos A y B, una función es inyectiva si los elementos de B tienen una o
ninguna_______________.
35.-El antilogaritmo de un logaritmo se designa al número al cual corresponde ese
_________________________
36.-Un vector es un segmento dirigido, es decir, es un segmento que tiene longitud dirección y
__________________
37.-Una expresión de la forma a + bi, en la que a y b son números reales cualesquiera e i es la unidad
imaginaria, se denomina_________________________
38.-El ángulo de 210° está en el tercer cuadrante por lo tanto el ángulo agudo correspondiente
será_____________
39.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los _____________________
40.- Una progresión aritmética es una sucesión de números reales tal que cada término se obtiene sumando el
anterior una cantidad constante llamada_____________
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PROBLEMARIO
1 Comprobar las identidades:
1
2
2 Simplificar las fracciones:
1
2
3
3 Calcular las razones de 15º (a partir de las de 45º y 30º).
4 Desarrollar: cos(x+y+z)
5 Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1
2
6 Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1
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2
7 Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1
2
8 Resuelve los sistemas de ecuaciones trigonométricas:
1
2
3
9 Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B =
72° y a=20m.
10 El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las
tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de
longitud 36 m.
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328
BIBLIOGRAFIA
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