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Enrique Centeno Arizala / QUINTO “B” ADMINISTRACIÓN
ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS (Pago periódico, Plazo, Tasa de interés)
UNIVERSIDAD TECNICA LUIS VARGAS TORRESFACULTAD DE ADMINISTRACIÓNMATEMÁTICAS FINANCIERATEMA: ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS (Pago periódico, Plazo, Tasa de interés)PERTENECE A: ENRIQUE CENTENOCATEDRÁTICO: ING. BEDER PONCE
8).- Cuanto debe invertir M al final de cada 3 meses, durante los próximos 4 años, en un fondo que paga el 4% convertible trimestralmente con el objeto de acumular $2500?.
S = 2500i = 0.04 ÷ 4 = 0.01n = 4 años × 4 = 16R = ?
S=R .(1+i)n−1
i
R=S . i
(1+i)n−1=2500× 0.01
(1+0.01)16−1=2500× 0.01
1.172578645=144.86
9).- Una ciudad emite $100000 en bonos a 20 años y constituye un fondo para rendimirlos a su vencimiento. ¿Cuánto debe tomarse anualmente de los impuestos para que este propósito si el fondo produce el 2,5?
R = ?i = 2.5% 0.025 n = 20 añosS = 100000
R=S× i(1+i)n−1
=100000×(0.025)
(1+0.025)20−1= 25000.638616
=3914.71
10).- María compra un piano que cuesta $1250. Paga $350 iniciales y acuerda hacer pagos mensuales de “X” dólares cada uno por los próximos 2 años venciendo el primero en un mes. Hallar “X” con intereses al 8% convertible mensualmente.
Datos:R = ?i = 0.08 ÷ 12 = 0.0066n = 2 años × 12 = 24A = 1250 – 350 = 900
Entonces de la fórmula de “A” despejamos R y tenemos:
R=A× i1−(1+i)−n
=900×(0.0067)
1−(1+0.0067)−24= 60.14740363
=40.71
11).- Reemplazar una serie de pagos de $2000 al final de cada año por el equivalente en pagos mensuales al final de cada mes suponiendo un interés del 6% convertible mensualmente.
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Enrique Centeno Arizala / QUINTO “B” ADMINISTRACIÓN
ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS (Pago periódico, Plazo, Tasa de interés)
Datos:R = ?i = 0.06 ÷ 12 = 0.005n = 1 año × 12 = 12S = 2000
R=S× i
(1+i)n−1=2000× 0.005
(1+0.005)12−1= 100.061677811
=162.13
12).- Con el objeto de tener disponibles $8000 el 1º. De junio de 1970, se tendrán que hacer desde el 1º. de junio 1963 depósitos iguales cada 6 meses en un fondo que paga el 5% convertible semestralmente. Determinar el importe del depósito requerido. Resp: $484.30
S = 8000N = 7 años × 2 = 14i = 0.05 ÷ 2 = 0.025
R=S× i
(1+i)n−1=8000× 0.025
(1+0.025)14−1= 2000.41297
=484.30
13).- Sustituir una serie de pagos de $3000 al principio de cada año por el equivalente en pagos al final de cada 3 meses suponiendo intereses de 4% convertible trimestralmente.
R = ?i = 0.04 ÷ 4 = 0.01n = 1 año × 4 = 4A = 3000
R=A× i(1+i)n−1
=3000×(0.01)
1−(1+0.01)− 4=3000× 0.01
0.039019655=768.84
14).- Para liquidar una deuda de $10000 con intereses al 4% convertible semestralmente, José acuerda hacer una serie de pagos de “X” cada uno, el primero con vencimiento al término de 6 meses y el último con vencimiento en 5 años y un año después un pago de $2500.
R = ?i = 0.04 ÷ 2 = 0.02n = 5 años × 2 = 10n´ = 6 años × 2 = 12A = 10000
A=R×1−(1+i)−n
i+2500(1+i)−n´
R=[ A−2500(1+i)−n ]×i
1−(1+ i)−n=
[10000−2500(1+0.02)−12 ]×0.021−(1+0.02)−10
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ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS (Pago periódico, Plazo, Tasa de interés)
R=[10000−2500(0.7884931)]×0.02
1−0.8203482=
[10000−1971.23 ]×0.020.1796517
R=[8028.77 ]×0.020.1796517
= 160.580.1796517
=893.82
15).- Al 1º. de mayo de 1970, M tiene $2475.60 en un fondo que paga el 3% convertible trimestralmente. Haciendo depósitos trimestrales iguales en el fondo, el 1º. De agosto de 1970 y el último el 1º. de noviembre de 1976, tendrá en esta última fecha $10000 en el fondo. Hallar el depósito requerido.
n = 6.5 años × 4 = 26i = 0.03 ÷ 4 = 0.0075S = 10000C = 2475.60
S=R(1+i)n−1
i+C(1+i)n
S−C(1+i)n=R(1+i)n−1
i
R=[S−C (1+i )n ] [ i
(1+i )n−1 ]R=[10000−2475.60 (1+0.0075)26 ][ 0.0075
(1+0.0075 )26−1 ]R=[10000−3006.44 ] [ 0.0075
0.21442703 ]=(6993.56 ) (0.034976 )=244.61
16).- M desea acumular $7500 en un fondo que paga el 5% convertible semestralmente, haciendo depósitos semestrales de $250 cada uno. (a). ¿Cuántos depósitos completos tendrá que hacer?. (b). Qué depósito adicional hecho en la fecha del último depósito completará los $7500. (c). ¿Qué depósito hecho 6 meses después del último depósito completo completará los $7500?Resp: (a) 22, (b) $284.28 (c) $103.89
S = 7500i = 0.05 ÷ 2 = 0.025R = 250
S=R(1+i)n−1
i→S . iR
=(1+i)n−1→S .iR
+1=(1+i)n
log [ S .iR +1]=log(1+i)n
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ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS (Pago periódico, Plazo, Tasa de interés)
log [ S .iR +1]=nLog(1+i)
n=log [ S . iR +1]log(1+i)
n=log [ 7500×0.025250
+1]log(1+0.025)
=log [0.75+1 ]log (1.025)
=log(1.75)log(1.025)
=0.2430380.010723
=22.66≃22
S = ?i = 0.05 ÷ 2 = 0.025R = 250n = 22
S=R(1+i)n−1
i=250×
(1+0.025)22−10.025
=250 (28.8628 )=7215.71
Pa=7500−7215.71=284.29
S=R [ (1+i)n+1−1i−1]=250 [(1+0.025)23−10.025
−1]=250 (29.5844 )=7396.11
Pa=7500−7396.11=103.89
17).- Como beneficiaria de una póliza de $10000 de seguro, una viuda recibirá $1000 inmediatamente y posteriormente $500 cada 3 meses. Si la compañía paga intereses al 2% convertible trimestralmente, (a) ¿Cuántos pagos completos de $500 recibirá?, (b) ¿Con qué suma adicional pagada con el último pago completo cesará el beneficio?, (c) ¿Con qué suma pagada 3 meses después del último pago completo cesará el beneficio?Resp: (a) 18 (b) $452.47, (c) $454.73
A = 10000 – 1000 = 9000R = 500i = 0.005
A=R1−(1+i)−n
i→A . iR
=1−(1+i)−n→ A .iR
−1=−(1+i)−n
1− A . iR
=(1+i)−n→ log [1− A . iR ]=−nLog (1+ i )→n=−log [1− A . iR ]log(1+i)
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n=−log [1− A .iR ]log(1+i)
=−log [1− (9000 )(0.005)
500 ]log(1+0.005)
=−log(0.91)log (1.005)
=18.90≃18
S=C(1+i)n=9000(1+0.005)18=9000 (1.093928 )=9845.36
S=R(1+i)n−1
i=500×
(1+0.005)18−10.005
=500 (18.785787 )=9392.89
Pa=9845.36−9392.89=452.47
S=C(1+i)n=452.47 (1+0.005)1=452.47(1.005)=454.73
18).- B adquiere un auto de $3250 con una cuota inicial de $500. Un mes después empezará una serie de pagos mensuales de $100 cada uno. Si le cargan intereses de 12% convertible mensualmente, (a) ¿Cuántos pagos completos deberá hacer?, (b)¿Qué cantidad pagada un mes después del último pago completo saldará la deuda? Resp: (a) 32, (b) $32.00
A = 3250 – 500 = 2750R = 100i = 0.12 ÷ 12 = 0.01
n=−log [1− A .iR ]log(1+i)
=−log [1− (2750 )(0.01)
100 ]log(1+0.01)
=−log(0.725)log (1.01)
=32.31≃32
S=C(1+i)n=2750(1+0.01)32=2750 (1.3749406 )=3781.09
S=R(1+i)n−1
i=100×
(1+0.01)32−10.01
=100 (37.494067 )=3749.41
Pa=3781.09−3749.41=31.68
S=C(1+i)n=31.68(1+0.01)1=31.68 (1.01)=32
19).- Al cumplir 45 años, M depositó $1000 en un fondo que paga el 3,5% y continuó haciendo depósitos similares cada año el último al cumplir 64 años. A partir de los 65 M desea hacer retiros anuales de $2000. (a) ¿Cuántos de dichos retiros podrá hacer?, (b) ¿Con qué retiro final, hecho un año después del último retiro completo se agotará el fondo? Resp: (a) 19, (b) $1711.24
R = 1000i = 0.035n = 19 años
S=R [ (1+i)n+1−1i−1]=1000 [(1+0.035)20−10.035
−1]=1000 (27.27968 )=27279.68
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ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS (Pago periódico, Plazo, Tasa de interés)
R = 2000i = 0.035A = 27279.68
n=−log [1− A .iR ]log(1+i)
=−log [1− (27279.68 )(0.035)
2000 ]log(1+0.035)
=−log(0.52260)log(1.035)
=18.86≃19
S=C(1+i)n=27279.68(1+0.035)18=27279.68 (1.857489 )=50671.71
S=R(1+i)n−1
i=2000×
(1+0.035)18−10.035
=2000 (24.4996 )=48999.38
C=50671.71−48999.38=1672.33
Rf=1672.33(1+i)n=1672.33(1+0.035)1=1672.33 (1.035 )=1730.86
20).- Una persona obtiene un préstamo de $4000 y acuerda pagarlo con intereses al 4% convertible trimestralmente en pagos trimestrales de $300 cada uno, durante un tiempo necesario. Si el primer pago lo hace 3 meses después de recibido el dinero, (a) determinar el número necesario de pagos completos, (b) hallar el pago final que se hará 3 meses después del último pago completo.
A = 4000i = 0.04 ÷ 4 = 0.01R = 300
n=−log [1− A .iR ]log(1+i)
=−log [1− (4000 )(0.01)
300 ]log(1+0.01)
=−log(0.866667)log (1.01)
=14.38≃14
S=C(1+i)n=4000 (1+0.01)14=4000 (1.149474 )=4597.90
S=R(1+i)n−1
i=300×
(1+0.01)14−10.01
=300 (14.977421 )=4484.23
C=4597.90−4484.23=113.67
Pf=C (1+1)n=113.67 (1+0.01)1=113.67 (1.01 )=114.81
21).- Una institución de préstamos otorga préstamos de $200 pagaderos con 12 pagos mensuales de $20,15 cada uno. Hallar la tasa convertible mensualmente que carga.
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A=R1−(1+i)−n
i→AR
=1−(1+ i)−n
i
1−(1+i)−n
i= AR
= 20020.15
=9.9255
Damos para i el valor de 3.5% o sea 0.035 y reemplazamos:
1−(1+i)−n
i=1−(1+0.035)−12
0.035=0.338216701
0.035=9.6633
Damos para i el valor de 3% o sea 0.03 y reemplazamos:
1−(1+i)−n
i=1−(1+0.03)−12
0.03=0.298620119
0.03=9.9540
Es decir que “i” está entre 3% y 3,5%
Para un resultado más preciso debemos interpolar:
0.03 i 0.035 i – 0.03 = x ; 0.035 – 0.03 = 0.005
9.9540 9.9255 9.6633 9.9255 – 9.9540 = -0.0285 ; 9.6633 – 9.9440 = -0.2907
x0.005
=−0.0285−0.2907
x=0.02850.2907
(0.005 )=0.0005
i=x+0.03=0.0005+0.03=0.0305→3.05%
Tasa nominal convertible mensualmente es 3.05% × 12 = 36.60%
22).- M coloca $300 al final de cada 3 meses durante 6 años en un fondo mutuo de inversión. Al final de 6 años el adquiere acciones avaluadas en $9874.60. ¿Qué tasa nominal convertible trimestralmente ganó su inversión?.
S = 9874.60n = 6 años × 4 = 24R = 300
S=R .(1+i)n−1
i→SR
=(1+ i)n−1
i
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(1+i)n−1i
= SR
=9874.60300
=32.9153
Damos para i el valor de 2.5% o sea 0.025 y reemplazamos:
(1+i)n−1i
=(1+0.025)24−1
0.025=0.808725949
0.025=32.3490
Damos para i el valor de 3% o sea 0.03 y reemplazamos:
(1+i)n−1i
=(1+0.03)24−1
0.03=1.032794106
0.03=34.4265
Es decir que “i” está entre 2.5% y 3%
Para un resultado más preciso debemos interpolar:
0.025 i 0.03 i – 0.025 = x ; 0.035 – 0.03 = 0.005
34.4265 32.9153 32.3490 32.9153 – 34.4264 = -1.5112 ; 32.3490 – 34.4264 = -2.0775
x0.005
=−1.5112−2.0775
x= 1.51112.0774
(0.005 )=0.0036
i=x+0.025=0.0036+0.025=0.0286→2.86%
Tasa nominal convertible trimestralmente es 2.86% × 4 = 11.45%
23).- Una aspiradora puede ser adquirida con $125 de contado o mediante una cuota inicial de $20, seguido de 10 pagos mensuales de $11 cada uno. Hallar la tasa nominal convertible mensualmente y la tasa efectiva cargada. Resp: (a) 10.32%, (b) 10.82%.
A = 125 – 20 = 105R = 11n = 10
A=R1−(1+i)−n
i→AR
=1−(1+ i)−n
i
1−(1+i)−n
i= AR
=10511
=9.5455
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Damos para i el valor de 1% o sea 0.01 y reemplazamos:
1−(1+i)−n
i=1−(1+0.01)−10
0.01=0.094713045
0.01=9.4713
Damos para i el valor de 0.5% o sea 0.005 y reemplazamos:
1−(1+i)−n
i=1−(1+0.005)−10
0.005=0.048652059
0.005=9.7304
Es decir que “i” está entre 0.5% y 1%
Para un resultado más preciso debemos interpolar:
0.005 i 0.01 i – 0.005 = x ; 0.01 – 0.005 = 0.005
9.7304 9.5454 9.4713 9.5454 – 9.7304 = -0.185 ; 9.4713 – 9.7304 = -0.2591
x0.005
=−0.1850−0.2591
x=0.18500.2591
(0.005 )=0.00357
i=x+0.005=0.00357+0.005=0.0086→0.86%
Tasa nominal convertible mensualmente es 0.86% × 12 = 10.32%
Para la tasa efectiva tenemos:
1+i=(1+ i)n=(1+0.0086)12=1.1078
i=1.1082−1=0.1082→10.82%
24).- Para comprar un televisor con costo de $650, puede obtenerse un préstamo del banco ABC y liquidarlo con 12 pagos mensuales de $60 cada uno. También puede conseguirse el dinero del banco XYZ y pagarlo con una suma de de $750 al termino de un año. Comparar las tasas efectivas de interés cargadas y demostrar que el plan del banco XYZ es más conveniente.
A = 650n = 12R = 60
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A=R1−(1+i)−n
i→AR
=1−(1+ i)−n
i
1−(1+i)−n
i= AR
=65060
=10.8333
Damos para i el valor de 2% o sea 0.02 y reemplazamos:
1−(1+i)−n
i=1−(1+0.02)−12
0.02=0.211506824
0.02=10.5753
Damos para i el valor de 1.5% o sea 0.015 y reemplazamos:
1−(1+i)−n
i=1−(1+0.015)−12
0.015=0.163612578
0.015=10.9075
Es decir que “i” está entre 1.5% y 2%
Para un resultado más preciso debemos interpolar:
0.015 i 0.02 i – 0.015 = x ; 0.02 – 0.015 = 0.005
10.9075 10.8333 10.5753 10.8333 – 10.9075 = -0.0742 ; 10.5753 – 10.9075 = -0.3322
x0.005
=−0.0742−0.3322
x=0.07420.3322
(0.005 )=0.00111
i=x+0.015=0.00111+0.015=0.0161→1.61%
Para la tasa efectiva tenemos:
1+i=(1+ i)n=(1+0.0161)12=1.2112
i=1.2112−1=0.2112→21.12% (Tasacargadabanco ABC )
En el banco XYZ terminaré pagando en un año $750 pero para el banco ABC terminaré pagando:
S=R .(1+i)n−1
i=60×
(1+0.0161)12−10.0161
=60× 0.2112601130.0161
=787.30
Es más conveniente hacer el préstamo en el banco XYZ.
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ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS (Pago periódico, Plazo, Tasa de interés)
25).- A qué tasa convertible trimestralmente, el monto de 20 depósitos trimestrales de $200 cada uno, será de $5250 justamente después del último depósito?
n = 20R = 200S = 5250
S=R .(1+i)n−1
i→SR
=(1+ i)n−1
i
(1+i)n−1i
= SR
=5250200
=26.25
Damos para i el valor de 2.5% o sea 0.025 y reemplazamos:
(1+i)n−1i
=(1+0.025)20−1
0.025=0.63861644
0.025=25.5446
Damos para i el valor de 3% o sea 0.03 y reemplazamos:
(1+i)n−1i
=(1+0.03)20−1
0.03=0.806111234
0.03=26.8703
Es decir que “i” está entre 2.5% y 3%
Para un resultado más preciso debemos interpolar:
0.025 i 0.03 i – 0.025 = x ; 0.035 – 0.03 = 0.005
26.8703 26.25 25.5446 26.25 – 26.8704 = -0.6203 ; 25.5447– 26.8704 = -1.3257
x0.005
=−0.6203−1.3257
x=0.62031.3257
(0.005 )=0.00234
i=x+0.025=0.00234+0.025=0.02734→2.73%
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ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS (Pago periódico, Plazo, Tasa de interés)
Tasa nominal convertible trimestralmente es 2.734% × 4 = 10.94%
26).- M compró una granja con valor de $25000. Pagó $12000 iniciales y acordó pagar el saldo con intereses al 3% mediante pagos anuales de $2000, tanto tiempo como fuera necesario y un pago final menor un año más tarde. Justamente después del tercer pago anual, los documentos firmados por M se vendieron a un inversionista que esperaba ganar el 3,5%. ¿Cuál fue el precio de venta?.
A = 25000 – 12000 = 13000i = 0.03R = 2000
n=−log [1− A .iR ]log(1+i)
=−log [1− (13000 )(0.03)
2000 ]log(1+0.03)
=−log(0.805)log(1.03)
=7.33≃7
S=C(1+i)n=13000(1+0.03)7=13000 (1.2298738 )=15988.36
S=R .(1+i)n−1
i=2000×
(1+0.03)7−10.03
=2000 (7.662462 )=15324.92
Pf=(15988.36−15324.92 ) (1+i )n=663.44(1.03)1=683.34
A=R1−(1+i)−n
i=2000×
1−(1+0.035)−4
0.035=7346.16
C=S(1+i)−n=683.34 (1+0.035)−5=575.35
Pv=7346.16+575.35=7921.51
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