GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA N° 36

UNIDAD: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADESPROBABILIDADES

NOCIONES ELEMENTALES

Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las mismas condiciones, unnúmero indefinido de veces.

Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no se puede predecir.

Espacio Muestral: Los resultados posibles en un experimento aleatorio.

Evento (o suceso): Es un subconjunto del espacio muestral.

Evento cierto: Es aquel conjunto que coincide con el espacio muestral.

Evento imposible: Es aquel que no tiene elementos, es decir, el subconjunto vacío delespacio muestral.

Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la ocurrencia de uno deellos impide la ocurrencia del otro.

Eventos complementarios: son aquellos que no tienen elementos comunes pero juntoscompletan el espacio muestral.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de los siguientes experimentos es (son) aleatorio(s)?

I) Encender una vela y observar si alumbra.II) Lanzar un dado y observar si la cara superior muestra un cinco.

III) Preguntarle a un desconocido si fuma.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

2. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio “lanzamiento deun dado”?

A) 6B) 12C) 36D) 216E) Ninguna de las anteriores

Curso: Matemática

Material Nº 36

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3. Si se lanzan tres monedas, ¿cuál de los siguientes eventos es imposible?

A) Obtener al menos una caraB) Obtener como máximo un selloC) Obtener exactamente dos carasD) Obtener un sello y tres carasE) Obtener como máximo dos caras

4. Un vendedor del servicio de televisión por cable visita tres casas, anotando v si vende y nsi no vende. El evento “Vender el servicio a lo más en una de las casas” estárepresentado por

A) [nnn, nnv, nvn, vnn]B) [nnv, nvn, vnn]C) [vvv, vvn, vnv, nvv]D) [vvn, vnv, nvv]E) [nnn]

5. Dado el espacio muestral E = 1, 2, 3, 4, 5 y los eventos A = 1, 3, 5, B = 2, 4 yC = 3, 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I) A y B son complementarios.II) B y C son mutuamente excluyentes.

III) A y C son mutuamente excluyentes.

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y III

6. En el experimento aleatorio “Lanzamiento de un dado” considere el evento “sacar unnúmero distinto de 4”. ¿Cuántos elementos tiene este evento?

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

7. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Al lanzar un dado el evento “sacar un número menor que siete”, es un sucesocierto.

II) “Lanzar un dado y que salga un número menor que tres” y “lanzar un dado yque salga un múltiplo de tres” son sucesos mutuamente excluyentes.

III) “Lanzar dos dados y obtener una suma mayor que 12”, es un eventoimposible.

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

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PROBABILIDAD CLÁSICA

La probabilidad de un suceso A es la razón entre el número de casos favorables al evento A y el númerototal de casos posibles.

OBSERVACIONES:

La probabilidad de que no ocurra A es P(A’) y se calcula

0 P(A) 1 o bien 0% P(A) 100%

EJEMPLOS

1. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener más de 10 puntos?

A)236

B)336

C)736

D)1136

E)1236

2. En el lanzamiento de una moneda de $ 100 y una de $ 50, la probabilidad de obtener cara en la decien y sello en la de cincuenta es

A)14

B)13

C)12

D)34

E) 1

3. La probabilidad de obtener 3 ó 5 al lanzar un dado es13

. ¿Cuál es la probabilidad de obtener

1 ó 2 ó 4 ó 6?

A)13

B)12

C)23

D)14

E)45

P(A) =Número de casos favorables (A)

Número total de casos

P(A’) = 1 – P(A)

4

4. Una caja contiene 20 esferas numeradas del 1 al 20. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar unaesfera al azar, ésta indique un número primo o un múltiplo de 10?

A) 12

B) 110

C) 120

D) 920

E) 1120

5. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,375, ¿cuál es la probabilidad de que el sucesono ocurra?

A) -0,625B) -0,375C) 0,375D) 0,525E) 0,625

6. Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 2?

A)16

B)56

C)23

D)12

E)13

7. La probabilidad de sacar una ficha azul de una urna es25

. ¿Cuál es la probabilidad de

sacar una ficha que no sea azul?

A) 1

B)15

C)25

D)35

E) Falta información

5

11C 1S

1C2 2CS 1S2

1C3 3C2S 3CS2 1S3

1C4 4C3S 6C2S2 4CS3 1S4

TRIÁNGULO DE PASCAL

Representa una regularidad numérica que se ilustra en la siguiente figura:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

Se pueden observar algunas regularidades y estas son:

Los coeficientes primero y último de cada fila son siempre 1. Cualquier otro coeficiente de una fila se obtiene como la suma de los dos valores que

están justo arriba en la fila anterior. Si se suman los números de cada fila el resultado es siempre una potencia de 2. Existe una simetría en cada fila respecto a su centro.

OBSERVACIÓN: El triángulo de Pascal también se utiliza en experimentos aleatorios quetengan dos sucesos equiprobables de ocurrencia, como por ejemplo: lanzar una moneda,el sexo de una persona, respuestas de preguntas del tipo verdadero o falso, etc.

Así al lanzar una moneda cuatro veces (o lanzar 4 monedas a la vez) se obtienen 16resultados posibles, que al determinarlos a través del triángulo de Pascal son:

Esta situación se grafica de la siguiente manera

OBSERVACIÓN: 4C3S significa

O sea, 4C3S indica que hay cuatro casos favorables para obtener 3 caras y 1 sello.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

Cero lanzamiento 20

Un lanzamiento 21

Dos lanzamientos 22

Tres lanzamientos 23

Cuatro lanzamientos 24

CCCS

CCSC

CSCC

SCCC

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EJEMPLOS

1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras si se lanza una moneda 4veces?

A)13

B)14

C)23

D)34

E)164

2. En un test de 5 preguntas del tipo verdadero – falso, si un alumno contesta todas laspreguntas, ¿cuál es la probabilidad de que conteste incorrectamente sólo una de ellas?

A)15

B)110

C)120

D)532

E)564

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PROBABILIDADES DE EVENTOS

Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), laprobabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:

Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), laprobabilidad de que ocurra A o B está dada por:

Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia deuno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional deA, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la condición de que el sucesoB ha ocurrido.

EJEMPLOS

1. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea par o divisible por 3?

A)16

B)14

C)13

D)12

E)23

P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B)

P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B)

P(A/B) = P(A B)P(B)

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2. Un naipe inglés consta de 52 cartas repartidas en cuatro pintas distintas, de las cualesdos son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y trébol). Cada pinta constade 3 figuras: rey (K), dama (Q), caballero (J) y de 10 cartas numeradas desde 1 (as) a10, entonces la probabilidad de obtener un “AS” o un “REY” al extraer una de las 52cartas de una baraja inglesa es

A)113

B)213

C)4

13

D)14

E)13

3. Se tienen dos urnas: la primera contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la segunda contiene 3bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada una, ¿cuál es la probabilidad deque ambas sean verdes?

A)310

B)610

C)910

D)920

E)18100

4. Juan Alberto hace la siguiente pregunta a cada uno de los 20 profesores que seencuentran en la sala “¿A quién le gustan las guatitas a la jardinera?”. Sólo 5 profesorescontestan favorablemente. Si se elige a dos profesores al azar, ¿cuál es la probabilidad deque a ambos les gusten las guatitas a la jardinera?

A)120

B)119

C)4

19

D)116

E)14

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DEFINICIONES

Una variable es una cantidad o magnitud que no es constante, que es susceptible de variar.

Una variable aleatoria es una variable cuyos valores son determinados por el resultado deun experimento aleatorio.

Una variable aleatoria X está determinada si se conoce:

- Los valores que toma: x1, x2, x3, ... xk

- La probabilidad con que toma cada uno de esos valores: p1, p2, p3, ... Pk

donde p1 + p2 + p3 + ... + pk = 1

Con todo lo anterior se dice que se tiene definida una distribución de probabilidad.

El gráfico que representa las probabilidades de cada uno de los valores de la variable aleatoriase denomina ley de probabilidad de la variable aleatoria.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de los siguientes enunciados define una variable aleatoria?

A) Lanzar un dado y que salga un 6B) El número de autos blancos estacionados frente al preuniversitario durante el fin de

semanaC) Lanzar una moneda y que salga caraD) El color de los ojos de la persona sentada a tu ladoE) El valor de la cuenta de agua a cancelar en un mes

2. Se lanzan dos dados cinco veces, ¿cuál(es) de los siguientes enunciados define unavariable aleatoria?

I) La suma de los resultados obtenidos en los dados.II) La distancia entre ambos dados una vez detenidos.

III) El tiempo que demora en detenerse uno de los dados.

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

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3. Según estadísticas, en el centro de la ciudad el 20% de las familias no tienen hijos, un35% tienen un hijo, un 30% tienen dos hijos y un 15% tienen tres hijos. Si se define lavariable aleatoria X como el número de hijos de una familia escogida al azar en el centrode la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que X 1?

A) 0,30B) 0,35C) 0,45D) 0,55E) 0,80

4. ¿Cuál(es) de las gráficas representa una ley de probabilidad?

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

5. Se define X como el puntaje obtenido por un alumno en la prueba de Ciencias Sociales. Sise sabe que P(X 700) = 0,35 y que P(X 600) = 0,44, entonces P(600 X 700) es

A) 0,11B) 0,21C) 0,56D) 0,65E) 0,89

1 2 3 4 5 6

18

18

1 2 3 4 5 6

14

18

1 2 3 4 5 6

14

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6. ¿A cuál de las siguientes variables aleatorias corresponde el gráfico de la figura 1?

A) La nota obtenida en la prueba de LenguajeB) El puntaje obtenido al lanzar un dadoC) El número de días que faltan hasta el próximo feriadoD) El número de dígitos 6 que hay en un número de seis cifrasE) El número de mujeres que hay en una familia de seis personas

RESPUESTAS

DMTRMA36

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 D A D A B E E3 y 4 B A C A E C D

6 B D7 y 8 E B E B9 y 10 B E C E B B

fig. 1

1 2 3 4 5 6

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