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Marcos Guerrero
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CINEMÁTICA EN 2
DIMENSIONES.
Movimiento parabólico.
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Marcos Guerrero
Por : Marcos Guerrero
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Movimiento parabólico. • Es un movimiento en dos dimensiones:
• Fenómeno en el que se desprecia la resistencia del aire por lo cual su
trayectoria es una parábola perfecta.
En el eje horizontal (eje x) con un M.R.U. ( ) 0
Xa
En el eje vertical (eje y) con un M.R.U.V. ( ) 2.81,9 smgaY
Animación.
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• Si se desprecia todo efecto de rozamiento con al aire, entonces para una
misma posición vertical un objeto que tiene movimiento parabólico tiene la
misma rapidez.
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• No se considera la masa de los cuerpos en el movimiento parabólico. Los
cuerpos se consideran como partículas
• Los cuerpos se mueve bajo el movimiento de una única fuerza que es la
fuerza gravitacional (peso) y dirigida hacia el centro de la Tierra
• La aceleración de la gravedad se considera constante siempre y cuando los
cuerpos en movimiento se encuentren a alturas sobre la superficie de la Tierra
muy pequeñas comparado con el radio de la Tierra.
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• En este movimiento se desprecia la curvatura la Tierra.
En el gráfico anterior podemos observar que si un objeto se encuentra a una
altura de 5 m sobre la superficie de la Tierra y es lanzado horizontalmente con
diferentes velocidades el cuerpo se desplaza verticalmente 5m en el primer
segundo.
El objeto al ser lanzado con una velocidad horizontal de 8km.s-1 y desde una
altura de 5 m sobre el suelo , el objeto entra en orbita.
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Ecuaciones del movimiento parabólico. Recordemos que en el eje horizontal tiene un M.R.U. ( ) por lo tanto la
ecuación será:
0
Xa
tVXX OXOF
En el eje vertical tiene un M.R.U.V. ( ) por lo tanto las
ecuaciones serán:
1.81,9 smgaY
gtVV OYFY
)(222
OFOYFY yygVV
2
2
1gttVyy OYOF
No olvidar que la posición inicial
(yO), la posición final (yF), las
componentes de la velocidad
inicial (VOX y VOY), la
componente de la velocidad final
(VFY) y la aceleración de la
gravedad (g) son vectores.
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Las ecuaciones anteriores las podemos dejar con vector desplazamiento.
gtVV OYFY
ygVV OYFY .222
2
2
1gttVy OY
tVX OX .
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Imaginemos que tenemos un objeto que lanza con una velocidad y un
ángulo con la horizontal, tal como se muestra en la figura. OV
En cada punto de la trayectoria el vector velocidad es siempre tangente.
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Del gráfico anterior podemos determinar las componentes de la
velocidad inicial utilizando las funciones trigonométricas por lo tanto
tenemos:
O
OX
V
VCos CosVV OOX
O
OY
V
VSen SenVV OOY
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Del gráfico anterior, si suponemos que conocemos las componentes de la
velocidad inicial de lanzamiento, podemos determinar la rapidez de lanzamiento y
el ángulo de lanzamiento medido con respecto a la horizontal mediante el teorema
de Pitágoras y la función trigonométrica tangente, por lo tanto tenemos:
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OYOXO VVV
OX
OY
V
VTan
OX
OY
V
VTan 1
222
OYOXO VVV
Animación.
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Del gráfico anterior, si suponemos que conocemos las componentes de la velocidad
en un cierto instante de tiempo, podemos determinar la rapidez V y el ángulo α
medido con respecto a la horizontal, mediante el teorema de Pitágoras y la función
trigonométrica tangente, por lo tanto tenemos:
22
YX VVV
X
Y
V
VTan
X
Y
V
VTan 1
222
YX VVV
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Movimiento de un objeto que es lanzado desde la parte
superior de un edificio con una velocidad VO y con un ángulo
αO medido con respecto a la horizontal.
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Gráficas Y-X, Y-t, X-t, Vx-t, Vy-t, ax-t y ay-t.
Y
X 0
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X
t 0
Y
t 0
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20
VX
t 0
VY
t 0
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21
aX
t 0
aY
t 0
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Movimiento de un objeto que es lanzado desde la parte
superior de una mesa con una velocidad horizontal VOX.
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Gráficas Y-X, Y-t, X-t, Vx-t, Vy-t, ax-t y ay-t.
Y
X 0
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X
t 0
Y
t 0
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VX
t 0
VY
t 0
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aX
t 0
aY
t 0
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Descomposición del movimiento de un objeto que es lanzado
desde la parte superior de una mesa con una velocidad
horizontal.
Animación.
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Trayectoria de un proyectil con o sin gravedad en un medio
donde se desprecia la resistencia del aire.
Del gráfico, podemos observar que la trayectoria del proyectil sin gravedad es rectilínea,
en cambio, con gravedad la trayectoria es parabólica.
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Sistema de referencia .
Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad VOY desde
el interior de un vagón que se mueve con una velocidad constante VOX.
De los gráficos anteriores podemos observar que la pelota tiene una trayectoria
rectilínea cuando se la ve desde el interior del vagón, en cambio tiene una
trayectoria parabólica cuando se la ve desde Tierra.
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Lanzamiento de un proyectil con una misma rapidez pero con
diferentes ángulos en medio donde se desprecia la resistencia del
aire.
Del gráfico, podemos observar que el máximo alcance horizontal ocurre a un
ángulo de 450 y que además existen dos ángulos que son complementarios que
realizan un mismo alcance horizontal.
Animación.
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Lanzamiento de un proyectil con una misma rapidez pero con
diferentes ángulos en medio donde se considera la resistencia del
aire.
Animación.
Del gráfico, podemos observar que para el ángulo específico de 450 , la pelota de
golf realiza un mayor alcance horizontal sin rozamiento con el aire que en el
caso con rozamiento con el aire. Además si consideramos la resistencia del aire
para tener un máximo alcance debería lanzarse la pelota de golf con un ángulo
ligeramente menor a los 450 .
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¿Impacta o no impacta el proyectil al mono?
Video.
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Preguntas conceptuales.
1. En un movimiento parabólico ¿En qué condiciones ocurre que
la velocidad y la aceleración de la gravedad tienen la misma
dirección?
2. En un movimiento parabólico ¿En qué punto del movimiento
ocurre que la velocidad vertical es un vector nulo?
3. En un movimiento parabólico, cuando un objeto pasa por una
misma posición vertical tanto de subida como de bajada,
podemos decir que las velocidades en este punto son iguales”
¿Por qué si? ¿Por qué no? Explique su respuesta.
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4. En un movimiento parabólico, el tiempo que toma un objeto en
elevarse es el mismo tiempo que le toma en regresar a la posición desde
donde se lo lanzó” ¿Por qué si? ¿Por qué no? Explique su respuesta.
5. ¿Qué variables físicas influyen en el tiempo de vuelo de un objeto que
es lanzado desde el suelo con una velocidad inicial y con un ángulo con
respecto a la horizontal, en un medio donde se desprecia la resistencia
del aire ?
6. ¿Qué variables físicas influyen en la altura máxima de un objeto que es
lanzado desde el suelo con una velocidad inicial y con un ángulo con
respecto a la horizontal, en un medio donde se desprecia la resistencia
del aire?
7. ¿Qué variables físicas influyen en el alcance horizontal de un objeto que
es lanzado desde el suelo con una velocidad inicial y con un ángulo con
respecto a la horizontal, en un medio donde se desprecia la resistencia
del aire?
8. Deduzca una expresión de la posición vertical en función de la posición
horizontal
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9. Una piedra y una pelota se encuentran sobre una mesa, si
simultáneamente la piedra se la suelta y la pelota se la lanza
horizontalmente. ¿Cuál de los dos objetos llega primero al suelo?
Desprecie todo efecto de rozamiento.
10. Dos objetos se lanzan horizontalmente y simultáneamente con
velocidades diferentes desde la parte superior de un acantilado, si se
desprecia todo efecto de rozamiento. ¿Cuál de los dos objetos llega
primero al suelo?
Animación.
11. Desde un avión que se mueve horizontalmente y con velocidad
constante, se deja caer un objeto, si se desprecia la resistencia del aire.
¿Dónde llegará el objeto al suelo en relación al avión?
Animación.
Video.
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Estrategias para resolver problemas en
los que se involucre el movimiento parabólico.
1. Lea detenidamente el problema y analícelo. Anote los datos que se dan y los
que piden.
2. Dibuje un diagrama para visualizar y analizar la situación física del
problema. En ella obtenga y dibuje las componentes de la velocidad,
posición o desplazamiento y la aceleración de la gravedad.
3. Coloque un sistema de referencia adecuado y coloque los signos respectivas
componentes de la velocidad, posición o desplazamiento y la aceleración de
la gravedad.
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5. Determine que ecuaciones se pueden aplicar en el problema y cómo puede
llevarlo de la información dada a la pedida.
4. Verifique las unidades antes de hacer algún cálculo. Preferible que todo sea
en Sistema Internacional.
6. Sustituya las cantidades dadas en la(s) ecuación(es) y efectúe los cálculos.
7. Decida si el resultado es razonable o no.
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POSICIONES, VELOCIDADES Y
ACELERACIONES RELATIVAS.
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Imaginemos que tenemos dos sistemas de coordenadas espaciales S y S´, tal como se
muestra en la figura, ambos sistemas van hacer cronometrados por dos relojes que
inicialmente están en cero.
X
Y
Z
Sistema de
referencia S
0
Partícula P
,X
,Y
,ZSistema de
referencia S´
0
Adicionalmente tendremos una
partícula que será analizada desde
las dos sistemas de referencia.
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Imaginemos que el sistemas de coordenadas S está en reposo con respecto a Tierra, el
sistema de coordenadas S´ está en movimiento con respecto al sistema de coordenadas
S y la partícula está en movimiento con respecto a los dos sistemas de referencia.
Partícula P
,X
,Y
,ZSistema de
referencia S´
0
X
Y
Z
Sistema de
referencia S
0 SSr ,
PSr
,PSr
Podemos notar que para ambos sistemas de referencia el tiempo es el mismo.
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De la gráfica anterior podemos obtener la ecuación vectorial:
SSPSPS rrr ,,
A partir de esta ecuación podemos obtener las ecuaciones de velocidad y aceleración:
SSPSPS VVV ,,
SSPSPS aaa ,,
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ECUACIONES DE TRANSFORMACIONES
GALILEANAS.
Video.
Estas ecuaciones son validas si los sistemas de referencia y las partículas tienen
velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.
SSPSPS rrr ,,
SSPSPS VVV ,,
SSPSPS aaa ,,
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EJEMPLOS DONDE SE APLICA LAS POSICIONES,
VELOCIDADES Y ACELERACIONES RELATIVAS.
Video.
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Video.
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Video.
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