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Cónicas Ecuaciones Paramétricas

Coordenadas Polares

Profesor: Lcdo. Pedro Beltrán Br. Josue Matos C.I.: 26.249.154

Barcelona, marzo 2017

Teoremas

Los teoremas son conceptos utilizados en matemáticas y

consisten en una proposición que puede ser demostrada como

verdadera  mediante procesos lógicos a partir de premisas

conocidas como axiomas.

Los procesos lógicos usados en la demostración de

los teoremas se realizan mediante la aplicación de reglas de

inferencia, las cuales llevan a convertir una proposición en

teorema o a descartarlo como tal, si se logra demostrar a partir

de los axiomas que la proposición es verdadera o falsa.

Secciones Cónicas

Parábolas En matemáticas, una parábola es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.

Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

Secciones Cónicas

Teorema de las ParábolasTeorema 1:

La ecuación de una parábola de vértice en el origen Y eje el eje X, es:Y:4PX

En donde el foco es el punto (p, 0) y la ecuación de la directriz es X = - p . S i P > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es:X:4PY

En donde el foco es el punto (0, p), y la ecuación de la directriz es y = - p. Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.

Teorema2:

La ecuación de una parábola de vértice (h, k) Y eje X, es de la forma:

Secciones Cónicas

Teorema de las Parábolas

Siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha, p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.Si el vértice es el punto (h,k) y el eje y su ecuación es de la forma:(x – h)² = 4p (y – k)Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba, si p < 0 la parábola se abre hacia abajo

(y – k)2 = 4p (x – h)

Secciones Cónicas

Propiedades de las Parábolas Aunque la identificación de parábola con la intersección entre un

cono recto y un plano que forme un ángulo con el eje de revolución del cono igual al que presenta su generatriz, es exacta, es común definirla también como un lugar geométrico:

Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado foco.

De esta forma, una vez fijados una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por directriz y foco respectivamente, usando el siguiente procedimiento: Se toma un punto T cualquiera de la recta, se lo une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la recta directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se pueden hallar tantos puntos de la parábola como sea necesario.

Secciones CónicasPropiedades de las ParábolasDe la construcción anterior se puede probar que la parábola es

simétrica respecto a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal recta (conocida como eje de la parábola) se le llama vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.

Ejemplo de las Parábolas

Secciones Cónicas

ElipseLa elipse es una curva plana, simple y cerrada. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen a fín de una circunferencia.

Secciones Cónicas

Teorema de los Elipse

Secciones Cónicas

Propiedades de los Elipse

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse.

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

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Ejemplo de las Propiedades de los Elipse

Secciones Cónicas

Ejemplo de los Elipse

Hipérbola

Secciones Cónicas

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.la hipérbola es aquella curva plana y simétrica respecto de dos planos perpendiculares entre sí, mientras que la distancia en relación a dos puntos o focos resulta constante.

O sea, la hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas que se podrá obtener al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje que impone simetría; y con un ángulo más pequeño que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Cabe destacar que se trata del lugar geométrico de los puntos de un plano, siendo el valor absoluto de sus distancias a dos puntos fijos, los focos, igual a la distancia entre los vértices, la cual resulta ser una constante positiva.

Secciones Cónicas

Teorema de las Hipérbola

En todo triangulo inscrito a una hipérbola equilátera el ortocentro del triangulo esta situado sobre la curva.

Brianchon y Poncelet, Annales de Montpellier, Tomo XI, 1 de Enero de 1821.Demostración. Sabemos que en todo hexágono ABCDEF inscrito en unaconica los tres puntos de intersección H = AB ∩ DE, I = BC ∩ EF, K =CD ∩ F A de los lados opuestos están alineados.

Supongamos que un triangulo ABC esta inscrito en una hipérbola equilátera. Se considera el hexágono ABCDEF inscrito en la hipérbola en elque E, F son los puntos del infinito de la hipérbola y el punto D lo elegimoscumpliendo que los lados AB y CD, son perpendiculares. Entonces:(1) Al ser E, F puntos del infinito, el punto I, intersección de los ladosEF y BC también estará en el infinito; lo que quiere decir que BC yHK son paralelas.

(2) Los lados DE y F A, contiguos a EF, que es la recta del infinito, seránrespectivamente paralelos a las dos asíntotas. Como la hipérbola esequilátera, dichos lados serán perpendiculares.

(3) De la construcción de D, AB ⊥ CD ⇒ AH ⊥ DK.(4) De (2), DE ⊥ F A ⇒ AK ⊥ DH.

(5) De (3) y (4), A es la intersección de dos alturas del triangulo DHK,por lo que AD también será perpendicular a KH y a su paralela BC.Por tanto D es el punto de intersección de dos alturas del trianguloABC, y pertenece a la hipérbola.

Teorema de las Hipérbola

Secciones Cónicas

Secciones Cónicas

Propiedades de las Hipérbola

La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real.

Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c.

Entre a, b y c existe la relación c2 = a2 + b2.La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con dos focos, se llaman radios vectores r y r' y por definición se verifica: r - r' = 2a.

La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio 2a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales tienen por centro los focos y radio a.

La hipérbola, como la elipse, se puede definir como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a las circunferencias focales del otro foco.

Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en los puntos del infinito. Estas asíntotas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva.

Secciones Cónicas

Propiedades de las Hipérbola

Secciones Cónicas

Ejemplo de las Hipérbola

Secciones Cónicas

Investigación en Youtube Sobre las Parábolas, Elipse e Hipérbola

Parábola: https://www.youtube.com/watch?v=N8WhvRJbGC8

Elipse: https://www.youtube.com/watch?v=849ryoz3LaU

Hipérbola: https://www.youtube.com/watch?v=zMDjlUlArqI

Resolver cada uno de los siguientes problemas:

Hallar el vértice, el foco, la directriz de la parábola, y trazar su gráfica

A) y2 = 4x Formula para obtener P 2p = a2p= 4P=4/2P = 2Como ya se tiene P se utiliza la formula, para sacar el foco que es: F = (P/2,0) o (0,P/2)F= (p/2,0)F= (2/2,0)F= (1,0)El foco se encuentra en el punto (1,0) de la gráfica, por tanto la gráfica da una parábola hacia el lado X con vértice en el origen, es decir con vértice en “y” en el P(0,0) Para hallar la directriz se utiliza la formulaY= -p/2Y= -2/2Y= -1

.- 3 - 2 - 1 1 2 3

3

2

1

-1

-2

-3

.

Gráfica

V= (0,0)F= (1,0)Directriz y= -1

B) (x + 3)2 = - 2(y-2)

2p= a2p= -2p= -2 2p= -1 F= (-3, p/a)F= (-3, -1/2)F= (-3, -0.5) Y el vértice es igual a V (-3, 2)Para encontrar la directriz esY=-p/2Y=1/2Y=0.5

.- 3 - 2 - 1 1 2 3

3

2

1

-1

-2

-3

..

Gráfica

F (-3, -0.5) V (-3,2) Directriz Y=0.5

Hallar la Ecuación y la Gráfica de la ParábolaVértice (2,3) y Foco (1,2)La ecuación de una parábola es en vértice (h, k) y en foco (h, k + a) es (x – h)2

es –(x – h)2 = 4 a (y-k)

El vértice es (2,3) h = 2 y k = 3

Para encontrar a se usa el punto (1,2) sobre la parábola por lo tanto se debe cumplir(1 – 2)2 = 4 a (2, 3) es igual a 1= - 4 a4 a + 1 = 0a = -1 4Por tanto la ecuación de la parábola es:(x – 2)2 = 4( -1) (y – 3) 4(x – 2) (x – 2) = - 1y + 3X2 – 2X -2x + 1y – 3 = 0X2 – 4 + 1y + 1 = 02 . (x2 – 4 + 1y + 1= 02X2 -8 + 2 y2= 0

.- 3 - 2 - 1 1 2 3

3

2

1

-1

-2

-3

..

Curvas Planas

Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar ángulos.

Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana.

Ejemplo de Trazado de Curvas

Ejemplo de Parámetro

Ejemplo de Eliminación de Parámetro

Ejemplo del Ajuste de Dominio después de la Eliminación del

Parámetro

Ejemplo del Empleo de la Trigonometría para Eliminar un Parámetro

Ecuaciones Paramétricas

Aquí vamos a explorar la representación de nuestras "x's" y "y's" en términos de una tercera variable o parámetro (a menudo 't'). No solo podremos describir cosas nuevas, sino que además puede ser muy útil para describir cosas como el movimiento de partículas en física.

Ejemplo del Cálculo de Ecuaciones Paramétricas

Curvas Suaves

Se dice que una curva C, representada por c(t) en un intervalo I, es suave, si x’(t) , y’(t) , z’(t) son continuas en I y no se anulan simultáneamente, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. Se dice que la curva C es suave a trozos si es suave en cada subintervalo de alguna partición de I.

Investigación en Youtube Sobre las Curvas Planas y Ecuaciones

Parámetricas

Curvas Planas: https://www.youtube.com/watch?v=VfAaL4FWML8

Ecuaciones Paramétricas: https://www.youtube.com/watch?v=zuADQhh8huo