CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

CURVAS

PARAMÉTRICAS

Objetivos

Parametrizar y graficar una curva en el plano.

Determinar las ecuaciones paramétricas de una

curva descrita por lugares geométricos.

Parametrizar y graficar una curva en el espacio.

Calcular la primera y segunda derivada de una

curva paramétrica.

Curvas Paramétricas

en el plano

Parametrización de curvas

Se dice que una curva 𝐶 en ℝ2 es una curva parametrizada, si

existe una función vectorial 𝛼: 𝑎; 𝑏 → 𝑅2 tal que 𝛼 𝑎; 𝑏 = 𝐶.

A la función 𝛼 𝑡 = 𝑥 𝑡 ; 𝑦 𝑡 se le llama parametrización

de la curva 𝐶.

Ejemplo:

Parametrizar la siguiente curva: 𝑪: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗

solución:

Expresando 𝑥 = 𝑥(𝑡) y 𝑦 = 𝑦(𝑡), se tiene

𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑡

Entonces: 𝛼 𝑡 = (3𝑐𝑜𝑠𝑡; 3𝑠𝑒𝑛𝑡) 𝑡 ∈ 0; 2𝜋

Ejemplo

Elimine el parámetro 𝑡 de la curva cuyas ecuaciones

paramétricas son

Además, represente la curva y determine su orientación

𝑥 = 2 cos 𝑡 𝑦 = −3𝑠𝑒𝑛𝑡

𝑡 ∈ 0; 2𝜋

Solución

𝑥2

4+

𝑦2

9=1

Usando la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 1

produce la siguiente ecuación:

Ejercicio

Solución

En los siguientes ejercicios, elimineel parámetro 𝑡 de las curvas

parametrizadas. Represente la curva y determine su orientación:

a) 𝑥 = 𝑡 − 1

𝑦 = 𝑡(𝑡 + 4) b)

𝑥 = 𝑎 cos3 𝑡 𝑦 = 𝑏 sen3 𝑡

Curvas Paramétricas

en el espacio

Ejemplo 1

Parametrice la curva de intersección del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1

y el plano 𝑦 + 𝑧 = 2.

Solución

Expresando 𝑥 = 𝑥(𝑡) y 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑧 = 𝑧(𝑡), se tiene

𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡; 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡; 𝑧 = 2 − 𝑠𝑒𝑛𝑡

𝛼 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡; 𝑠𝑒𝑛𝑡; 2 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 ∈ 0; 2𝜋

Solución

Parametrice la curva definida por las ecuaciones:

𝑦 = 𝑥

𝑧 =𝑥2

2

desde el punto (0;0;0) hasta el punto (1;1; 2

2).

Ejemplo 2

Bibliografía

[1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010) Cálculo Esencial

1ª ed. México: Cengage Learning

[2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y

contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

[3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México: Limusa

Wiley.

[4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes

tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.

[5] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y

contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning