2 > 3Partimos de la siguiente desigualdad

1/4 > 1/8(1/2)2 > (1/2)3

Si aplicamos logaritmo neperianoln(1/2)2 > ln(1/2)3

2·ln(1/2) > 3·ln(1/2)Simplificamos dividiendo por ln(1/2)

¡¡¡2 > 3!!!¿Dónde se encuentra el error?

El error se encuentra al dividir la desigualdad por ln(1/2) que es un número negativo y, por tanto, se debe cambiar el sentido de la desigualdad.

4 = 0Para obtener esta igualdad se deben tener conocimientos básicos de trigonometría.Para realizar esta demostración partimos de la identidad trigonométrica

que despejando da lugar a la identidad

Cambiamos de signo la igualdad y le sumamos 1

Elevamos al cuadrado cada uno de los miembros de la igualdad

Sustituimos x=270º

¡¡¡4=0!!!Explicación: Este error está bastante enmascarado ya que no se produce realmente hasta que no realizamos la sustitución de x por 270º. Cuando nosotros despejamos al comienzo senx deberíamos haber indicado el doble signo en la raíz cuadrada, ya que, como ocurre en este caso, el seno puede ser un valor negativo.Si x es 270º la igualdad correcta al despejar el senx es

y todo hubiera funcionado correctamente.

La raíz cuadrada de 2 es igual a 2Esta demostración se realiza partiendo de un triángulo rectángulo isósceles sobre cuya hipotenusa se van construyendo una sucesión de escaleras.Cada cateto de este triángulo rectángulo mide 1. Por lo tanto, sabemos por el teorema de Pitágoras que la hipotenusa mide

Sobre la hipotenusa se construye una primera escalera de 2 escalones, como se indica en la figura

Si medimos la escalera, la longitud total es de 4 · 0.5 = 2 unidades.

Construyamos una segunda escalera que en esta ocasión tendrá 4 escalones,

En este caso la longitud de la escalera es 8 · 0.25 = 2 unidades.

De nuevo hagamos lo mismo, pongamos ahora 8 escalones,

¿Cuál es la longitud de la escalera? Sí, de nuevo es 2, pues es 16 · 1/8 = 2.De forma que si seguimos construyendo escaleras de este tipo, duplicando en cada paso el número de escalones, siempre tendremos escaleras cuya longitud total será 2.Pero si este proceso lo hacemos infinitamente nos encontraremos con que la escalera que mide 2 unidades se confundirá con la hipotenusa que mide

Por lo que podremos afirmar que

Esta demostración evidentemente es falsa ya que por mucho que nos aproximemos a la hipotenusa nunca se podrá confundir la escalera con el segmento al no ser la primera una línea recta.

1 = -1

En esta demostración se ha hecho uso de la unidad imaginaria, i , que es igual a la raíz cuadrada de -1.Muchos son los que resuelven el problema diciendo que la raíz cuadrada de 1 tiene dos posibles soluciones, +1 ó -1, por lo que el razonamiento funcionaría si escogiésemos la raíz negativa en la última igualdad. Esto no es así, ya que nosotros al no indicar ningún signo en la raíz debemos suponer que es positiva.Para detectar el error hay que conocer algo más de los números complejos y sus propiedades. Sólo comento que cuando tenemos dos números negativos, a y b, nunca se cumple:

por lo que nunca se cumple la cuarta igualdad.

Uno Es lo Mismo que Menos UnoOtra demostración falsa, menos conocida, en la que interviene la unidad imaginaria i:

¿Cuál es el fallo?

Mucha gente ha contestado esencialmente que el fallo es que el número 1 tiene dos raíces: 1 y -1 (y por tanto la primera igualdad está mal). Esto no es así: es corriente en matemáticas usar el símbolo de raíz para denotar, de entre las dos raíces de un número, la que es positiva. Está también extendido el escribir, por ejemplo, "raíz de 4 igual a más/menos dos" para indicar que hay dos números que al cuadrado dan 4: el 2 y el -2. Si tu contestación estaba basada en esto, por favor vuelve a buscar el error sabiendo que cuando escribo el símbolo de raíz con un número positivo debajo me estoy refiriendo a la raíz positiva de ese número. Es verdad que al final el problema básico está en la elección de la raíz, pero el fallo no está en la primera igualdad, sino en la tercera, que es sencillamente falsa. El engaño está en que se usa la propiedad distributiva de las raíces, que no es cierta en cuando se trata de números negativos. Jorge Antonio dice lo siguiente en su mensaje:

"Hace poco, mi profesor de variable compleja hizo un truco para engañarnos de manera parecida, la cuestión es que la factorización que nosotros estamos acostumbrados a hacer en números reales en las raíces sólo funciona cuando se trata de números positivos, (estoy hablando de la tercera igualdad). Este principio de que la raíz de un producto es el producto de las raíces de los factores, en efecto sólo funciona cuando los factores son mayores que cero"

Sin embargo, no es cierto que esta propiedad sólo funcione con números positivos. Antes de decir exactamente cómo puede usarse, veamos cómo puede definirse la raíz para los números complejos (incluyendo a los números negativos, claro). Se sigue teniendo que elegir entre dos posibles, como en el caso real: para cualquier número complejo existen otros dos números complejos distintos que elevados al cuadrado dan el número original, salvo en el caso del cero (para el que sólo hay uno: el cero). La elección más común es tomar la positiva para números positivos; para números negativos, la que tiene parte imaginaria positiva (por ejemplo, √-1 = i); y para cualquier otro número imaginario, la que tiene parte imaginaria del mismo signo que él. A la función raíz que resulta se le llama la rama principal de la raíz. Con el acuerdo de que al escribir √x nos referimos a la rama principal de la raíz de x, es cierto que √xy = √x √y cuando el argumento principal de x y el argumento principal de y sumen un número entre -π y π, sin incluir -π (el argumento principal de un número complejo que no sea cero es el ángulo que forma con el eje real, en radianes y tomado desde el número hacia la parte positiva del eje; se considera positivo si el número tiene parte imaginaria positiva y negativo si el número tiene parte imaginaria negativa; vale π para los números negativos). Como ocurría en la demostración falsa, no es cierto que √(-1)·(-1) = √-1·√-1, porque la suma de los argumentos de estos dos números es π+π = 2π, que no está entre -π y π . Sin embargo sí es verdad que √-1·4 = √-1·√4, y que √i·i = √i·√i.

La suma de todas las potencias de 3 es igual a ¡¡¡-0'5!!!Sumamos todas las potencias de 3

30+31+32+33+34+... Llamamos a esta suma S

S=1+3+9+27+...Multiplicamos ambos miembros por 3

3S=3+9+27+81+...En el segundo miembro tenemos la suma de todas las potencias de 3, salvo 30 que es igual a 1, por lo tanto, podemos decir que

3S=S-13S-S=-12S=-1

S=-1/2=-0'5 Obtenemos que la suma de todas las potencias de 3 es igual a -0'5. El error se introduce en el razonamiento al multiplicar por 3, ya que la multiplicación de un número por una serie o suma infinita sólo se puede realizar cuando la serie es convergente y en

este caso diverge a .0=1

Razonemos

0=0+0+0+0+...

0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...

Aplicando la ley asociativa de la suma podríamos agrupar los términos de otra forma:

0=1+(-1+1)+ (-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...

0=1+0+0+0+0+...

¡¡¡ 0=1 !!!

Solución

El error se encuentra en que no se pueden asociar términos libremente en una suma infinita. La

explicación se escapa incluso del nivel de Bachillerato, pero por lo menos nos da una idea del

cuidado que hay que tener cuando aparece el infinito.

1<0

Supongamos que x<0

Dividimos la desigualdad por x:

Resulta que

¡¡¡¡1<0!!!!

A pesar de haber hecho un razonamiento tan corto, hay un error, ¿dónde está?

Solución

Al decirnos que x<0 nos están indicando que x es un número negativo.

Se sabe que si se divide una desigualdad por un número negativo, cambia el sentido de la

desigualdad, algo que no hemos aplicado al dividir por x.

Si no lo veis claro, coged, por ejemplo, 2<3 y dividir la desigualdad por -1, ¿qué ocurre?

2=1

Supongamos que a=b

Multiplicamos esa igualdad por a obteniendo: a2 = a·b

Restamos b2 a ambos miembros de la igualdad: a2 -b2 = a·b-b2

Descomponemos en factores ambos miembros: (a+b)·(a-b)=a·(a-b)

Simplificamos ambos miembros dividiendo por (a-b): a+b=a

Como a=b, cambiamos b por a: a+a=a

O lo que es lo mismo: 2a=a

Se dividen ambos miembros por a, obteniéndose:

¡¡¡¡ 2=1 !!!!

Supongo que no hay ni que insinuar que la demostración es algo desastrosa.

¿Dónde está el error?, o mejor dicho, los errores, ya que hay dos meteduras de pata.

Solución

El primer error aparece al dividir por (a-b), ya que al ser a=b, estamos dividiendo por 0, algo,

hasta el día de hoy, imposible.

El segundo error vuelve a ser el mismo ya que, al final, al dividir por a, nadie nos ha asegurado

que fuera distinto de 0, por lo que podríamos estar dividiendo por 0 de nuevo. Reconozco que

este segundo error es algo riguroso.

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