DERIVADAEn matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación,

APLICACIONES DE LA DERIVADALa derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

1. TASA DE VARIACIÓNConsideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx).

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.

Δy = [f(a+h) − f(a)]

2. TASA DE VARIACIÓN MEDIASe llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa

por Δ yh

ó Δ yΔ x

, al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo

considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICALa expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

ya que en el triángulo PQR resulta que:

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt= f'(a)

Ejemplos1. Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].

2. El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de variación media mensual.

4. VELOCIDAD MEDIALa velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

5. VELOCIDAD INSTANTÁNEALa velocidad instantánea se aproxima al valor de la velocidad media entre dos puntos muy próximos. En términos matemáticos se dice que la velocidad instantánea es el límite del cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo, cuando el tiempo tiende a cero.

Ejemplo: La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1. la velocidad media entre t = 1 y t = 4.2. La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

Ejemplo: Una persona inicia un viaje en auto a las 8 am y llega a su destino a las 5 pm. Al salir su automóvil registraba 30000 km recorridos, mientras que al llegar la cifra era 30450 km. ¿Cuál fue su velocidad media?

Velocidad Media = ΔdΔt

= 30450−3000017−8

= 50 km/h

Lo anterior no quiere decir que el auto viajó siempre a 50 km/h, algunas veces disminuyó su velocidad y algunas otras la aumentó, pero en promedio viajó a 50 km/h.

FUNCIÓN DERIVADALa función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

Ejemplos:1. Calcular la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.

Se tiene que la derivada de la función f en el punto a se define como sigue:

Si este límite existe, de lo contrario, f´, la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas.

Ejemplo: f(x) = x2

SOLUCION

SOLUCION

SOLUCION

EJERCICIOS1. Calcular las derivadas en los puntos que se indica:

a. f(x) = 2x2 – 6x + 5, en x = -5.b. f(x) = x3 + 2x – 5, en x = 1.

c. f(x) = 1/x, en x = 2.

d. f(x) = √ x , en x = 3.

2. Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 1000t², siendo t el tiempo medido en horas. Se pide:1. La velocidad media de crecimiento.2. La velocidad instantánea de crecimiento.3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas.

3. Sea p = 100 – q2 la función de demanda del producto de un fabricante. Encuentre la razón de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q. ¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto a q cuando q = 5 ?. Suponga que p está en dólares.

4. Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por C(x)= 0.001x3 - 0.3x2 + 40x + 1000. Determine la razón de cambio promedio por unidad adicional si se incrementa la producción de 90 a 100 unidades.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTOLa derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

2. Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES

Ejemplos: Derivar las siguientes funciones:

SOLUCION

SOLUCION

SOLUCION

SOLUCION

SOLUCION

SOLUCION

SOLUCION

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Y REGLA DE LA CADENA

La gran mayoría de las funciones que se estudian en cálculo están construidas por una composición de funciones, de aquí la importancia de conocer un método sencillo para diferenciar dichas funciones; el método utilizado para hallar la derivada de una función compuesta se conoce como "Regla de la cadena".

Ejemplos:

SOLUCION

SOLUCION

SOLUCION

EJERCICIOS

1. Calcular la función derivada de las siguientes funciones:

2. Calcular la función derivada de las siguientes funciones:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

3. Hallar la derivada de:

MÁXIMOS Y MÍNIMOSEl hecho de que la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado es muy útil para el trazado de las gráficas de funciones. Por ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor dado de x (variable independiente) la tangente que pasa por dicho punto tiene pendiente cero y, por ende, es paralela al eje x. También, se pueden establecer los intervalos en los que la gráfica está sobre o debajo de la tangente...

(fig.1)

(fig.2)

Si una función tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, se dice entonces que la función tiene un extremo relativo en c.

Procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función en el intervalo cerrado [a, b]

1. Se obtienen los números críticos de la función en (a, b), y se calculan los valores correspondientes de f para dichos números.

2. Se hallan f (a) y f (b)3. El mayor de los valores encontrados en los pasos 1 y 2 es el valor máximo

absoluto, y el menor es el valor mínimo absoluto.

Extremos relativosSi f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.2. Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativosSi f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 02. f''(a) < 0

Mínimos relativosSi f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 02. f''(a) > 0

CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOSPara hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un máximo relativof''(a) > 0 es un mínimo relativo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Ejemplo: Calcular los máximos y mínimos de: f(x) = x3 − 3x + 2

f'(x) = 3x2 − 3 = 0f''(x) = 6xf''(−1) = −6 Máximof''(1) = 6 Mínimof(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)

Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente.

Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente.

Ejemplos: Determinar los Máximos y Mínimos de las siguientes funciones:

SOLUCION

SOLUCION

SOLUCION

APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Ejemplo: Una empresa vende todas las unidades que produce a $4 c/u el costo total de la empresa por producir x unidades está dado por la siguiente expresión.

C= 50 + 1.3x + 0.001x3

a. Escribir la expresión para la utilidad total.b. Determinar el volumen de la producción x de modo que la utilidad sea

máxima.

U = R – C

U = 4x-(50+ 1.3x + 0.001x2)

U(x) = 4x-50-1.3x-0.001x2U(x)= 2.7x-0.001x2-56

U’(x)=2.7-0.002x = 0

x= 2.7/0.002 = 1350U(1350) = 2.7 (1350)-0.001 (1350)2 -50U (1350) = 1772.5

Aquí se muestra un ejemplo de cómo se ven gráficamente los máximos y mínimos locales