Ecuaciones Diferenciales

Por: Marilin ZárateJhonny Zaruma Fabricio Montaño

Coeficientes indeterminados, Método del Anulador

FACTORIZACIÓN DE OPERADORES

Cuando los coeficientes de ai, i=0, 1, ……., n son constantes reales, entonces un operador diferencial lineal de la forma:

Se puede factorizar siempre y cuando se factorice el polinomio característico.

Los Factores de un operador diferencial con coeficiente constante son conmutativos

EJEMPLO:

Si tomamos a D como una cantidad algebraica tenemos:

La podemos factorizar, ya que es una ecuación lineal con sus índices reales,Entonces quedaría:

OPERADOR ANULADORSi aplicamos o componemos por un operador la ecuación a ambos lados, llamémoslo operador anulador, de forma que el lado derecho de la ecuación sea cero, nos quedaría

El operador anulador de la función f(t) debe de ser como la parte izquierda de la ecuación diferencial, en pocas palabras, un operador diferencial.

las funciones que bajo operadores diferenciales se anulan son soluciones de EDO lineales. Pues son exponenciales, Senos y Cosenos, polinomios y combinaciones de ellas.

Si D es el operador anulador entonces:

D anula a una función constante y=k puesto que dK = 0

Anula a una función y=x puesto que la primera derivada y segunda de esta función es 1 y 0

Anula a una función y=x² puesto que la primera derivada , segunda y tercera de esta función es 2x, 2 y 0

Y asi sucesivamente………………..

OPERADOR ANULADOR EN UN POLINOMIO

OPERADOR ANULADOR EN FUNCIONES EXPONENCIALES

El operador diferencial Anula a cada una de las funciones

OPERADOR ANULADOR EN FUNCIONES SEN Y COS

El operador diferencial Anula a cada una de las funciones

PROPIEDADES DEL OPERADOR ANULADOR

1.El operador anulador es un operador lineal. Como todo operador anulador es un operador diferencial y todo operador diferencial es lineal. Por tanto, todo operador anulador es un operador lineal.

2. El operador anulador de una suma de funciones es la composición de los operadores anuladores.

3. La composición de operadores diferenciales opera como si se estuvieran multiplicando polinomios en D.

COEFICIENTES INDETERMINADOS

Sea L(D)y = f(x) una ecuación diferencial lineal, no homogénea, de coeficientes constantes y de orden n.

Este método se utiliza a Ecuaciones Diferenciales lineales, con coeficientes constantes, no homogéneos.

Si f(x) tiene una de las siguientes formas:

a) f(x) = k, k constante

b) f(x) = polinomio en x

c) f(x) = exponencial de la forma

d) f(x) =

e) f(x) = a sumas finitas de productos finitos de las expresiones anteriores.

Es posible encontrar un operador L1(D) que anule a f(x) y si esto sucede, entonces aplicamos L1(D) a la ecuación diferencial original, es decir:

Por lo tanto la expresión anterior es una ecuación diferencial lineal, homogénea de coeficientes constantes.

1.Le aplicamos a esta ecuación el método de las homogéneas y hallamos su solución general.

2.de esta solución general descartamos la parte correspondiente a la homogénea asociada a la ED original.

3.La parte restante corresponde a la solución particular que estamos buscando.

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN LINEAL MEDIANTE COEFICIENTES

INDETERMINADOS Y OPERADOR ANULADOR

1. Encontrar la función complementaria yc para la ecuación homogénea L(y) = 0.2. Operar ambos lados de la ecuación no homogénea L(y) = g(x) con un operador

diferencial L1 que aniquila la función g(x).3. Determinar la solución general de la ecuación diferencial homogénea de orden

superior L1L(y) = 04. Eliminar de la solución del paso (3) los términos que se duplican en la solución

complementaria yc encontrada en el paso (1). Forme una combinación lineal yp de los términos restantes. Ésta es la forma de una solución particular de L(y)=g(x)

5. Sustituya yp encontrada en el paso (4) en L(y) = g(x). Iguale los coeficientes de las distintas funciones en cada lado de la igualdad y resolver el sistema resultante de ecuaciones a fin de determinar los coeficientes desconocidos de yp

6. Con la solución particular encontrada en el paso (5) , forme la solución general y=yc + yp de la ecuación diferencial que se proporciona.