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Yosneiver José

Derivación de funciones implícitas

Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de

correspondencia ninguna variable está despejada en términos de la otra. La

derivada de una función implícita se puede determinar con respecto a la variable

independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso

denominado derivación implícita. Al derivar funciones implícitas, es común aplicar

la regla de la cadena. El procedimiento para esta derivación se puede consultar en

el libro de texto y en el formulario o prontuario.

Su forma de derivar:

Se aplica las reglas anteriores a conocida resultando la derivación de la variable

dependiente y al final se despeja dicha condición.

Hasta el momento las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es,

la ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por

ejemplo, y = 2x - 3 es una ecuación expresada respecto de y en términos de x.

Pero existen ecuaciones que no están dadas explícitamente. Por ejemplo, las

ecuaciones:

2x + y = 4

X y =1

x2 + y2 = 9

no están dadas en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma

implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma

explícita. Se puede utilizar un método conocido por derivación implícita. Es un

método que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada.

La notación:

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Y se lee "la derivada de y respecto a x". Para entender cómo hallar la derivada

de y con respecto a x implícitamente, se debe observar que la derivación se efectúa

respecto de x. Esto es, cuando derivamos términos que contienen sólo a x, se deriva

como de costumbre, pero al derivar términos con y se aplica la regla de la cadena.

Ejemplo 1: Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de

la función

3𝑥4𝑦2 + 3𝑥2 = 𝑥𝑦 + 7

Derivando con respecto a x

𝐷𝑥(3𝑥4𝑦2) + 𝐷𝑥(3𝑥2)=𝐷𝑥(𝑥𝑦) + 𝐷𝑥(7)

Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos 3𝑥4𝑦2 y 𝑥𝑦 se

debe aplicar el teorema de la derivada de un producto.

Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto

a x.

6𝑥4𝑦𝑦´ + 12𝑥3𝑦2 + 6𝑥 = 𝑥𝑦´ + 𝑦

Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a

y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los términos

𝑦′(6𝑥4𝑦 − 𝑥) = 𝑦 − 12𝑥3𝑦2 − 6𝑥

Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.

𝑦′ =𝑦 − 12𝑥3𝑦2 − 6𝑥

6𝑥4𝑦 − 𝑥

Ejemplo 2: En los ejercicios 17 a 32 determine 𝑑𝑦

𝑑𝑥 por medio de diferenciación

implícita.

𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦 cos 𝑥 = 1

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦 cos 𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥1

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑥

𝑑

𝑑𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑦) + (

𝑑

𝑑𝑥𝑦) ∙ cos 𝑥 + 𝑦

𝑑

𝑑𝑥(cos 𝑥) = 0

1 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 ∙𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑑𝑦

𝑑𝑥 cos 𝑥 + 𝑦(−sen 𝑥) = 0

(𝑥 cos 𝑦 + cos 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 sen 𝑥 − sen 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦 sen 𝑥 − sen 𝑦

𝑥 cos 𝑦 + cos 𝑥

Ejemplo 3:

0.2 YXY

0)1*1*(2 ydx

dyx

dx

dyy

02 ydx

xdy

dx

dyy

ydx

xdy

dx

dyy 2

yxydx

dy )2(

xy

y

dx

dy

2