Integral indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida

1

1 1.1 DEFINICIÓN 1.2 INTEGRACIÓN

1.2.1. FÓRMULAS 1.2.2. PROPIEDADES 1.2.3. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.

1.2.3.1. INTEGRACIÓN DIRECTA 1.2.3.2. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 1.2.3.3. INTEGRACIÓN POR PARTES 1.2.3.4. INTEGRALES DE FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS 1.2.3.5. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

TRIGONOMÉTRICA 1.2.3.6. INTEGRALES DE FUNCIONES

RACIONALES. FRACCIONES PARCIALES

1.2.3.7. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS

OBJETIVO: Encontrar algebraicamente antiderivadas


2

En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue tratado en Cálculo Diferencial. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del Cálculo Integral los cuales expondremos en este texto, sin embargo empezaremos en este capítulo hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos antiderivadas para el propósito del Cálculo Integral.

1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA

Sea f una función de variable real definida en un intervalo I . Si f es la derivada de una función F entonces a F se la llama antiderivada, primitiva o integral indefinida de f en I . Es decir: ( ) (́ )f x F x=

La función f ahora será una derivada.

Ejemplo

Suponga que ( ) 2f x x= , entonces una antiderivada podría ser ( )3

3xF x = (derive F para

asegurarse que se obtiene f ).

Observe que la f del ejemplo anterior podría tener otras antiderivadas, por

ejemplo ( )3

53xF x = + , como también sería ( )

3

73xF x = − . Esto significa que

para una derivada habrá muchas antiderivadas, la diferencia sería sólo en la constante. Lo cual también significa que las primitivas son una familia de curvas.

1.1.1 Teorema

Si (́ ) (́ )F x G x= , ( ),x a b∀ ∈ entonces existe una constante C tal que ( ) ( )F x G x C= + ,

( ),x a b∀ ∈


3

Demostración: Sea )()()( xGxFxH −= definida en un intervalo ( )ba, entonces )´()´()´( xGxFxH −= . Por Hipótesis, como )´()´( xGxF = entonces 0)´( =xH , ( )bax ,∈∀ . Como H es derivable ( )bax ,∈∀ , entonces de acuerdo el teorema del valor medio para

derivada, ( )baxxx ,),( 10 ⊆∈∃ tal que xx

xHxHxH

−−

=1

10

)()()´( . Haciendo 0)´( 0 =xH

tenemos 0)()(

1

1 =−−

xxxHxH es decir CxHxH == )()( 1 .

Por lo tanto CxGxF =− )()(

1.1.2 NOTACIÓN La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la

siguiente:

( ) ( )f x dx F x C= +∫

1.2 INTEGRACIÓN.

Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a continuación.

En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas.

1.2.1 Formas (fórmulas) estándares de Integrales

1. dx x C= +∫

2. 1

1

nn xx dx C

n

+

= ++∫ ; 1−≠n

3. 1 lndx x Cx

= +∫

4. x xe dx e C= +∫

5. ln

xx aa dx C

a= +∫


4

6. sen cosxdx x C= − +∫

7. cos senxdx x C= +∫

8. 2sec tgxdx x C= +∫

9. 2csc cotxdx x C= − +∫

10. sec tg secx xdx x C= +∫

11. csc cot cscx dx x C= − +∫

12. tg ln cos ln secxdx x C x C= − + = +∫

13. cot ln senxdx x C= +∫

14. sec ln sec tgxdx x x C= + +∫

15. csc ln csc cotxdx x gx C= − +∫

16. 2 2

1 arcsen xdx Caa x

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠−∫

17. 2 2

1 1 arctg xdx Ca x a a

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫

18. 2 2

1 1 arcsecx

dx Ca ax x a

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

− ⎝ ⎠∫

19. 2 2

1 1 ln2

x adx Ca x a x a

+= +

− −∫

20. senh coshxdx x C= +∫

21. cosh senhxdx x C= +∫

Las primeras 11 fórmulas se las pueden entender fácilmente de acuerdo a las

fórmulas que se proporcionaron para derivadas.

Ejemplo 1

Calcular ∫ dxx2

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la fórmula 2.

CxCxdxx +=++

=+

∫ 312

3122


5

Ejemplo 2

Calcular ∫ dxx

1


Cxdxxdxx

+==+−

+−−∫∫ 1

12

1

21

21

1

Ejemplo 3

Calcular ∫ +dx

x 241


2 2

1 1 arctan2 2 2

xdx Cx

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫

Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares hacemos uso de las siguientes propiedades.

1.2.2 PROPIEDADES.

La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir:

1. [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

2. ( ) ( ) ;kf x dx k f x dx k= ∈∫ ∫

Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas para lograr el objetivo.


6

1.2.3 TECNICAS DE INTEGRACIÓN 1.2.3.1 INTEGRACIÓN DIRECTA. Sólo con recursos algebraicos, propiedades y fórmulas, en ocasiones, se

pueden encontrar antiderivadas de manera inmediata.

Ejemplo 1

Calcular ∫ dxx35

SOLUCIÓN: Aplicando propiedades. El 5 es constante, por tanto lo ponemos afuera de la integral y luego aplicamos la regla de la potencia:

CxCxCxdxxdxx +=+=+==+

+

∫∫ 34

1

13

13

4155555

34

34

31

31

Ejemplo 2

Calcular ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ dxex

xx4sin32

SOLUCIÓN: Se aplica la propiedad de la suma y resta de funciones, se separa en tres integrales, y luego se integra cada función:

Cexx

dxexdxdxx

dxedxdxx

dxexx

x

x

xx

+−−=

−+=

−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

∫ ∫∫∫ ∫∫∫

4cos3ln2

4sin312

4sin324sin32

Ejemplo 3

Calcular ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+ dxx

xxe x

246 3

SOLUCIÓN: Se separa en tres integrales y se procede a integrar cada función:

32

2

3

6 4 2 132 2

1 13 22

13 2ln6

xx

x

x

xe x dx e x dxx x

e dx dx x dxx

e x x C

⎛ ⎞+ − ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= + −

= + − +

∫ ∫∫ ∫ ∫


7

Ejemplo 4

Calcular ( )∫ − dxxx

x3

31

SOLUCIÓN: Se eleva al cubo el binomio, luego se simplifica y se integra cada función:

( )

Cxxxx

Cxxxx

dxxdxxdxxdxx

dxxxxx

dxx

x

x

x

x

x

x

dxx

xxxdxxx

x

+−+−−=

+−+−−

=

−+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−+−=

−+−=

−

−

−

−−

−−

∫∫∫∫∫∫∫∫

38

35

32

31

38

35

32

31

35

32

31

34

35

32

31

34

34

3

34

2

34

34

34

32

3

3

83

59

293

38

35

33

23

31

33

33

331

3311

Ejercicios Propuestos 1.1 Hallar:

1. 32 100 47

3ex x x x dxπ −⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

2. ( )22 x dx−∫

3. ( )21x x dx−∫

4. ( )∫ − dxx323

5. ( ) dx

xx∫ − 33

6. ( )32 1z

dzz

+

∫

7. ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− dxxx

x211

8. ( )3 4 52 1x dxx

+∫

9. ( )( )dxx

xx∫ −+3 2

22 21

10. 2

2

2 3x senx x dxx− +∫

11. 2 secxxe x x dx

x+ −∫

12. ( )8 cosx xe x dx+ +∫

13. ( )1 23sec 2 tanxe x x dx+ + −∫

14. ( )14cot 8xx dx−−∫

15. dxx

xx∫ ++ −

3

44 2

16. 2 110 205

x x

x dx+ +−∫

17. dxx

xx

∫−+ −

1052 11

18. 2

1sen7 1

x dxx x

⎛ ⎞−⎜ ⎟

−⎝ ⎠∫

19. 22

517 1

e dxxxπ⎛ ⎞

+⎜ ⎟+−⎝ ⎠∫

20. sen cos

senx x dx

x−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠∫


8

1.2.3.2 INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Cuando se presentan funciones con reglas de correspondencias un tanto más

complejas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un artificio matemático llamado cambio de variable se transformen en integrales inmediatas.

En este caso las fórmulas de integrales se las puede observar no sólo para " x " sino para otra variable.

Ejemplo 1

Calcular ( )∫ − dxx 301

SOLUCIÓN: No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más conveniente emplear el cambio de variable xt −= 1 .

Del cambio de variable, tenemos: 1 dt dx dtdx

= − ⇒ = − (despejamos dx )

Ahora sustituyendo resulta: ( ) ( )31

30 30 30131dt

t

tx dx t dt t dt C−

− = − = − = − +∫ ∫ ∫

Una vez integrado, reemplazamos “ t ”: ( ) ( ) Cxdxx +−

−=−∫ 3111

3130

Ejemplo 2

Calcular e x

dxx∫

SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: xt = .

De donde: 1 2

2dt dx xdtdx x

= ⇒ = .

Sustituyendo resulta: e e 2 2 e 2e

x tt tdx xdt dt C

x x= = = +∫ ∫ ∫

Ahora reemplazamos " t " : e 2e

xxdx C

x= +∫

Ejemplo 3

Calcular dxx

x∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

+142

SOLUCIÓN: Esta integral se la resuelve por el cambio de variable 12 += xt ,

De donde xdxdt 2= , entonces

xdtdx2

= .


9

Sustituyendo, resulta: 2

4 4 12 2ln21

x x dtdx dt t Ct x tx

= = = ++∫ ∫ ∫

Reemplazando " t " :

22

4 2ln 11

x dx x Cx

= ++∫

Ejemplo 4

Calcular∫ − dxxx 1

SOLUCIÓN:

Aquí empleamos el cambio de variable: 1−= xt

Del cambio de variable se obtiene: 1 dt dx dtdx

= ⇒ =

Sustituyendo resulta: ∫∫ =− dttxdxxx 1

Como no se simplifica la x , debemos reemplazarla.

Despejamos x del cambio de variable: 1+= tx

Entonces:

( ) ( ) 3 1

2 2

1

5 32 22 25 3

1t

x tdt t tdt t t t dt t dt t dt

t t C

+

= + = + = +

= + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Ahora reemplazamos “ t ”:

( ) ( )5 3

2 22 25 31 1 1x x dx x x C− = − + − +∫

Podemos quedarnos hasta allí, pero simplificando la expresión resulta:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

5 32 2

3 22 2

32

32

32

32

32

2 21 1 15 3

1 12 1 15 31 12 1 15 3

1 12 15 5 3

22 15 153 22 1

15

21 1 3 215

x x dx x x C

x x C

x x C

xx C

xx C

xx C

x x dx x x C

− = − + − +

⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

− = − + +

∫

∫


10

Ejemplo 5

Calcular( )2

21 3

x dxx+∫

SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: 1 3t x= +

Del cambio de variable se obtiene: 3 3

dt dtdxdx

= ⇒ =

Sustituyendo resulta: ( ) ( )2 2 2

2 2 23 31 3

x x dt xdx dttx t

= =+∫ ∫ ∫

Como no se simplifica la x , debemos reemplazarla.

Despejamos x del cambio de variable: 1

3tx −

=

Entonces:

2 2 2 2 2

2 12

12 2 2 1 2 133 3 9 9

2 1 2 2 1ln ln9 9 2 1 9

tx t tdt dt dt dtt t t t t

tt dt t C t Ct t

− +−

−− ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − = − + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥− +⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫∫

Una vez integrado, reemplazamos “ t ”:

( )

( )2

2 2 1ln 1 39 1 31 3

x dx x Cxx

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦+∫

Ejemplo 6

Calcular3

22

x dxx+∫

SOLUCIÓN: Aquí es mejor: 2 22t x= +

Derivando implícitamente: 2 2 dt t dtt x dxdx x

= ⇒ =

Sustituyendo resulta: 3 3 3

2

2 22

x x t dt x t dtdx x dtx t xx t

= = =+∫ ∫ ∫ ∫

Despejamos 2x : 2 2 2x t= − Entonces:

( )3

2 2 2 23tx dt t dt t C= − = − +∫ ∫


( )3

23

2

2

22 2

32

xx dx x Cx

+= − + +

+∫


11

Ejemplo 7

Calcular 4 13 x dx−∫

SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: 4 1t x= −

Del cambio de variable se obtiene: 4 4

dt dtdxdx

= ⇒ =

Sustituyendo resulta: 4 1 1 1 33 3 34 4 4 ln 3

tx t tdtdx dt C− ⎛ ⎞

= = = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫


4 1

4 1 1 334 ln 3

xx dx C

−− ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

El ejemplo anterior nos da la idea de que se puede obtener integrales rápidamente cuando se tiene funciones análogas a las que aparecen en las fórmulas pero si sus argumentos son funciones lineales (porque la derivada es una constante). Esto evita plantear la sustitución.

Ejemplo 8

Calcular 5 1xe dx+∫

SOLUCIÓN:

Como ( )5 1 5d xdx

+ = (constante)

Entonces rápidamente 5 1

5 1

5

xx ee dx C

++ = +∫ (como la integral para la función exponencial pero

dividida para su derivada) Ejemplo 9

Calcular sen 3xdx∫

SOLUCIÓN:

Como ( )3 3d xdx

= (constante)

Entonces rápidamente cos3sen 3

3xxdx C−

= +∫ (como la integral para la función seno pero

dividida para su derivada)


12

Ejemplo 10

Calcular 12 1

dxx +∫

SOLUCIÓN:

Como ( )2 1 2d xdx

+ = (constante)

Entonces rápidamente: ( )ln 2 11

2 1 2x

dx Cx

+= +

+∫

En otros ejercicios el cambio de variable podría no ser tan obvio, se requerirá

de mucha habilidad algebraica y quizás varios intentos.

Ejemplo 11

Calcular dxx

extanarcx xtanarc

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−+−

114

2

SOLUCIÓN: Separando las integrales, tenemos:

dxx

edxx

arctanxdxx

dxx

x xtanarc

∫∫∫∫ +−

++

+−

+ 1111

14

2222

Ahora tenemos 4 integrales, que se las trata por separado.

1. dxx

x∫ +142

. Esta integral se la resuelve por cambio de variable 12 += xt , de donde xdxdt 2= ,

entonces x

dtdx2

= .

Sustituyendo, resulta: CxCtdttx

dttxdx

xx

++=+===+ ∫∫∫ 1ln2ln212

24

14 22

2. dxx∫ +1

12

. Esta integral es directa. Carctanxdxx

+=+∫ 1

12

3. dxx

x∫ +1arctg

2 . Esta integral se la resuelve por cambio de variable xt arctg= , de donde 1

12 +

=xdx

dt ,

entonces ( )dtxdx 12 += . Sustituyendo, resulta:

( ) ( ) CarctanxCttdtdtxx

tdxx

arctanx+=+==+

+=

+ ∫∫∫ 221

11

222

22

4. tan

2 1

arc xe dxx +∫ . Para esta integral sirve el mismo cambio de variable, por tanto:

( ) ∫∫∫ +=+==++

=+

CeCedtedtxx

edxx

e arctanxtttxtanarc

111

222

FINALMENTE:


13

( )Ce

xtanarcxtanarcxdx

x

extanarcx xtanarcxtanarc

+−+−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−+−∫ 21ln2

1

14 22

2

Ejemplo 12

Calcular ( ) ( )2 21 ln 1

dx

x x x+ + +∫

SOLUCIÓN:

Separando el radical:( ) ( )2 21 ln 1

dx

x x x+ + +∫

Ahora consideramos el cambio de variable: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= 21ln xxt

Del cambio de variable:

2 2

2

2 2

2

2

1 11 21 2 1

1 1

1 11 1

1

dt xdx x x x

x x

x x xdt dx x dtdx x

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟=⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

= → = ++

Reemplazando, resulta:

( ) ( )

12 12 1 1

2 2122 2 2

1 2111 ln 1

dx x dt tt dt C t Cx tx x x

− +−+

= = = + = +− +++ + +∫ ∫ ∫

Ahora reemplazamos “ t ”

( ) ( )

( )2

2 22 ln 1

1 ln 1

dx x x Cx x x

= + + ++ + +∫


14

Ejercicios Propuestos 1.2 Calcular:

1. ( )∫ − 2

525x

dx

2. dxxx

x∫ +−

−

384

12

3. ∫ − dxxx 12

4. ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+

42sen 2 x

dx

5. ( ) dxx∫ − 2sen1

6. dxx

x∫ −+112

7. ( )∫ +

+ dxx

x2

2

1

1

8. ( )∫ + xx

dx1

9. ( )

arc tan1

x dxx x+∫

10. dxxx

x∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

− 11ln

1

12

11. ∫ −++ 11 xxdx

12. dxx

xxx∫ −

−++4

22

1

11

13. ∫ + xxdxxln1

ln

14. ( )∫ xxxdx

lnlnln

15. ∫ −+ dx

xaxa

16. ∫ +dx

xbxa

xx2222 cossen

cossen

17. ∫ 42 tgsen xcx

dx

18. ∫ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

dxx

xx

2

2

1

1ln

19. ∫ −dx

xx

xx

49

32

20. ( )∫+++

322 11 xx

dxx

Existen funciones cuyas antiderivadas no pueden ser determinadas con los

métodos hasta aquí explicados. Suponga que estas funciones están formadas por el producto de otras funciones, para este caso existe la integración por partes.


15

1.2.3.3 INTEGRACION POR PARTES. El diferencial para el producto de funciones es: ( )d uv udv vdu= +

Despejando e integrando término a término, resulta:

( )

( )

udv d uv vdu

udv d uv vdu

= −

= −∫ ∫ ∫

En definitiva, la fórmula que se emplea en integración por partes es:

udv uv vdu= −∫ ∫

Ejemplo 1

Calcular ∫ dxex x

SOLUCIÓN:

Haciendo xu = y dxedv x= .

Entonces dxdu = y xx edxev == ∫ ( Se deriva u y se integra dv )

Ahora, tenemos:

dv v vu u du

x x xx e dx x e e dx= −∫ ∫

x x xx e dx x e e C= − +∫

Observe que en estos casos es mejor derivar la función polinomial. Sería interesante que pruebe a ver qué ocurre si se escogiera xu e= .

Ejemplo 2

Calcular ( )∫ −+ dxxxx sen532 2

SOLUCIÓN:

Haciendo 532 2 −+= xxu y dxxdv sen= .


16

Entonces ( )dxxdu 34 += y xxdxv cossen −== ∫

Por lo tanto, tenemos:

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

2

2 3 5 sen 2 3 5 cos cos 4 3

2 3 5 cos 4 3 cos

u u v v dudv

x x x dx x x x x x dx

x x x x xdx

+ − = + − − − − +

= − + − + +

∫ ∫∫

Ahora, la integral ( )∫ + xdxx cos34 , también se la realiza por partes.

Haciendo 34 += xu y dxxdv cos= . Entonces dxdu 4= y xxdxv sencos == ∫

Por tanto: ( ) ( ) ( )

( ) xxx

dxxxxxdxx

cos4sen34

4sensen34cos34

++=

−+=+ ∫∫

Finalmente:

( ) ( ) ( ) Cxxxxxxdxxxx ++++−+−=−+∫ cos4sen34cos532sen532 22

Ejemplo 3

Calcular xdxe x cos∫

SOLUCIÓN: Aquí cualquiera de las funciones puede ser u . Haciendo xeu = y dxxdv cos= .

Entonces dxedu x= y xxdxv sencos == ∫

Por tanto: cos sen senx x x

u u v v dudv

e x dx e x x e dx= −∫ ∫

La integral sen xx e dx∫ se la calcula por parte.

Hacemos xeu = y dxxdv sen= . Entonces dxedu x= y xxdxv cossen −== ∫ .

Por lo tanto ∫ ∫+−= xdxexexdxe xxx coscossen

Finalmente:


17

cos sen cos cos

cos sen cos cos

x x x x

x x x x

e xdx e x e x e xdx

e xdx e x e x e xdx

⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

= + −

∫ ∫∫ ∫

Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando

2 cos sen cosx x xe xdx e x e x= +∫

sen coscos2

x xx e x e xe xdx C+

= +∫

Ejemplo 4

Calcular ∫ xdxx ln

SOLUCIÓN: Aquí debemos tomar xu ln= y dxxdv = .(¿por qué?)

Entonces dxx

du 1= y

2

2xxdxv == ∫

Por tanto:

( ) ( )2 2

21 12 2

221 1

2 2

1ln ln2 2

ln

ln2

dvu uv duv

x xx xdx x dxx

x x xdx

xx x C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= −

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫∫

2

212ln ln

4xx xdx x x C= − +∫

Ejemplo 5

Calcular ∫ xdxln

SOLUCIÓN:

Aquí sería también xu ln= y dxdv = . Entonces dxx

du 1= y xdxv == ∫

Por tanto:

1ln ln

u dv v u v

du

x dx x x x dxx

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

ln lnxdx x x x C= − +∫


18

Ejemplo 6

Calcular ∫ dxxx arctg

SOLUCIÓN:

Tomamos xu arctg= y xdxdv = , entonces: dxx

du21

1+

= y 2

2xv =

Por tanto:

( )

dxx

xxx

dxx

xxxxdxx

∫∫∫

+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1arctg

11

22arctgarctg

2

2

212

21

2

22

Para la última integral dividimos el numerador entre el denominador, resulta:1

111 22

2

+−=

+ xxx

Reemplazando ∫ ∫∫∫ −=+

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

+xxdx

xdxdx

xdx

xx arctg

11

111

1 222

2

FINALMENTE: [ ] Cxxxxxdxx +−−=∫ arctgarctgarctg 212

21

Algunas integrales pueden ser calculadas por diferentes métodos.

Ejemplo 7

Calcular∫ − dxxx 1

SOLUCIÓN: Esta integral ya fue calculada empleando cambio de variable (ejemplo 4), ahora la vamos a calcular integrando por partes. Sean u x= y 1dv x dx= − entonces:

du dx= y ( ) ( ) ( )12

32

11

212

1 21 1 11 3

xv x dx x dx x

+−= − = − = = −

+∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

3 32 2

32

32

1

32

2 21 1 13 3

12 213 3 1

u u dudvvv

x x dx x x x dx

xx x C+

⎡ ⎤− = − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

−= − − +

+

∫ ∫

Por tanto:

( ) ( )3 52 22 41 1 1

3 15xx x dx x x C− = − − − +∫

Suficiente, pero para dejarla de la misma forma que el resultado que se obtuvo resolviéndola por cambio de variable, simplificamos:


19

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

3 52 2

3 22 2

32

32

32

32

2 41 1 13 15

2 21 13 52 21 13 52 2 213 5 52 3 213 5 5

21 1 3 215

xx x dx x x C

x x x C

x x x C

xx x C

xx C

x x dx x x C

− = − − − +

⎡ ⎤= − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

− = − + +

∫

∫

En otras ocasiones se puede necesitar hacer un cambio de variable primero.

Ejemplo 8

Calcular23 xx e dx∫

SOLUCIÓN:

Primero hagamos el cambio de variable 2t x= , de aquí 2

2

dt xdxdtdxx

=

=

Realizando la sustitución correspondiente:

23 3 21 12 2 2

x t t tdtx e dx x e x e dt te dtx

= = =∫ ∫ ∫ ∫

La última integral se la realiza por partes:

Tenemos aquí u t= y tdv e dt= entonces du dt= y tv e= Por tanto

1 1 12 2 2

t t t t t

u dv u v v du

t e dt t e e dt te e C⎡ ⎤

⎡ ⎤= − = − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

Finalmente quedaría:

2 2 23 212

x x xx e dx x e e C⎡ ⎤= − +⎣ ⎦∫


20

Ejercicios Propuestos 1.3 Encuentre las antiderivadas de:

1. ∫ dxex x3

2. ( )∫ + dxex x21

3. ( )∫ − xdxx 3sen12

4. ( )∫ − dxxx 13sen

5. ∫ − dxex x22

6. ( )∫ +− dxexx x22 23

7. ( )∫ − xdxx ln12

8. ∫ dxxx 2ln

9. ∫ dxxx ln

10. ∫ x

dxxx2sen

cos

11. ( )∫ dxxx 2arctg

12. ∫ dxe x

13. ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ dxxx 21ln

14. ∫ dxxarcsin

15. ∫ xdxarctg

16. ( )∫ dxxtanarc

17. ( )∫ dxxlncos

18. dxx∫ sen

19. ( )∫ dxxlnsen

20. ( )∫ dxxx tglnsen

1.2.3.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean directas, es

necesario utilizar identidades trigonométricas.

Tenemos aquí algunos casos:

CASO I: Integrales que contienen senos o cosenos con exponentes enteros mayores que uno

Para este caso se sugiere, lo siguiente: 1. Si el exponente del seno o coseno es un número IMPAR usar:

xx

xx22

22

sen1cos

cos1sen

−=

−=


21

2. Si el exponente del seno o coseno es un número PAR usar:

2

2cos1cos

22cos1sen

2

2

xx

xx

+=

−=

Ejemplo 1

Calcular ∫ dxx2cos

SOLUCIÓN: Usamos la regla para la potencia par:

Cxx

xdxdx

dxxdxx

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

∫ ∫∫∫

22sen

21

2cos121

22cos1cos2

Ejemplo 2

Calcular ∫ dxx3sen

SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia impar:

( )

∫∫∫∫∫

−=

−=

=

xdxxxdx

xdxx

xdxxdxx

sencossen

sencos1

sensensen

2

2

23

De esto último, la primera integral es directa y la segunda es por sustitución.

1. xxdx cossen −=∫

2. ∫ xdxx sencos2 requiere el cambio de variable xt cos= entonces xdxdt sen−= .

Reemplazando resulta: ( )∫∫ −=−=3

cossencos3

22 xdttxdxx

FINALMENTE: Cxxxdx ++−=∫ 3coscossen

33

Ejemplo 3

Calcular ∫ dxx4cos

SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia par:


22

( )

Cxxxx

xdxdxxx

dxxxx

xdxxdxdx

dxx

dxxdxx

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

=

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫∫

∫ ∫

44sen

212sen

41

4cos1212sen

41

24cos1

22sen2

41

2cos2cos2141

22cos1

coscos

2

2

224

Ejemplo 4

Calcular ∫ − dxxx 43 cossen

SOLUCIÓN: Como el exponente de seno es impar, hacemos lo siguiente:

( )

( ) ( )∫ ∫∫∫∫

−−

−

−−

−=

−=

=

dxxxdxxx

dxxxx

dxxxxdxxx

sencossencos

cossencos1

cossensencossen

24

42

4243

Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable xt cos= de donde xdxdt sen−= , resulta

( ) ( ) ( ) ( )

Cxx

Ctt

dttdttdxxxdxxx

+−=

+−

+−

−=

−−−=−

−−

−−

−−−− ∫ ∫∫ ∫

13

13

2424

cos3

cos13

sencossencos

Ejemplo 5

Calcular 3 6cos senx x dx−∫

SOLUCIÓN: Como el exponente de coseno es impar, hacemos lo siguiente:


23

( )

( ) ( )

3 6 2 6

2 6

6 2 6

6 4

cos sen cos cos sen

1 sen cos sen

cos sen sen cos sen

sen cos sen cos

x x dx x x x dx

x x x dx

x x dx x x x dx

x xdx x x dx

− −

−

− −

− −

=

= −

= −

= −

∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫

Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable sent x= de donde cosdt xdx= , resulta

( ) ( ) ( ) ( )6 4 6 4

5 3

5 3

sen cos sen cos

5 3sen sen

5 3

dt dtt t

x xdx x x dx t dt t dt

t t C

x x C

− − − −

− −

− −

− = −

= − +− −

= − + +

∫ ∫ ∫ ∫

Finalmente:

5 3

3 6 sen sencos sen5 3

x xx x dx C− −

− = − + +∫

Ejemplo 6

Calcular ∫ dxxx 42 cossen

SOLUCIÓN: Como ambos son pares, entonces:

( )

( )( )

( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−+=

−−+=

++−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

=

∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫

∫∫

xdxxdxxdxdx

dxxxx

dxxxx

dxxx

dxxxdxxx

2cos2cos2cos181

2cos2cos2cos181

2cos2cos212cos181

22cos1

22cos1

cossencossen

32

32

2

2

22242

Las dos últimas integrales son trigonométricas


24

( )

Cxxxxxx

xdxxxdxxxxx

xxxdxdxxx

xdxxdxxxx

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+=

∫ ∫∫∫ ∫

∫ ∫

62sen

22sen

84sen

222sen

81

2cos2sen2cos44sen

21

22sen

81

2cos2sen14cos121

22sen

81

2cos2cos2

4cos122sen

81

3

2

2

2

FINALMENTE:

Cxxxdxxx +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=∫ 6

2sen84sen

281cossen

342

Ejemplo 7

Calcular 4 2sen cosx x dx∫

SOLUCIÓN: Como ambos son pares, entonces:

( )

( )( )

( )

( )

24 2 2 2

2

2

2 2 3

2 3

2 3

sen cos sen cos

1 cos2 1 cos22 2

1 1 2cos2 cos 2 1 cos28

1 1 2cos2 cos 2 cos2 2cos 2 cos 28

1 1 cos 2 cos 2 cos 28

1 1 cos2 cos 2 cos 28

x x dx x x dx

x x dx

x x x dx

x x x x x dx

x x x dx

dx xdx xdx xdx

=

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − + +

= − + + − +

= − − +

⎡= − − +

∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫

⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Las dos últimas integrales son trigonométricas:

( )

2

2

2

1 sen 2 1 cos4 cos 2 cos 28 2 2

1 sen 2 1 1 cos4 1 sen 2 cos28 2 2

1 sen 2 1 sen 4 cos2 sen 2 cos28 2 2 4

1 sen 28 2 2

x xx dx x xdx

xx dx xdx x xdx

x xx x xdx x xdx

x xx

⎡ ⎤+⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − − + + −

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= − − −

∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫3sen 4 sen 2 sen 2

8 2 6x x x C

⎡ ⎤⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

Finalmente:

3

4 2 1 sen 4 sen 2sen cos8 2 8 6

x x xx x dx C⎡ ⎤

= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫


25

CASO II. Integrales que contienen productos del seno y coseno con argumentos múltiplo de x .

nxdxxm cossen∫ , nxdxxm sensen∫ , nxdxxm coscos∫

En este caso se recomienda usar, las siguientes identidades como sea

conveniente:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx

xnmxnmnxmx

xnmxnmnxmx

−++=

−−+−=

−++=

coscos21coscos

coscos21sensen

sensen21cossen

Ejemplo 1

Calcular: sen 3 cos5x x dx∫

SOLUCIÓN: Empleando la identidad trigonométrica respectiva y simplificando, resulta:

( ) ( )

( )

( )

1sen 3 cos5 sen 3 5 sen 3 52

1 sen 8 sen 22

cos 21 cos82 8 2

x x dx x x dx

xdx x dx

xx C

= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤

= − − +⎢ ⎥−⎣ ⎦

∫ ∫∫ ∫

Por tanto:

cos8 cos 2sen 3 cos5

16 4x xx x dx C= − + +∫


26

Ejemplo 2

Calcular xdxxx 3sen2sensen∫

SOLUCIÓN: Agrupando y aplicando identidades, tenemos:

( )

( ) ( )[ ]

( )[ ]

[ ] [ ]

Cxxx

xdxxdxxdx

dxxxxx

xdxxxdxx

dxxxxx

xdxxx

xdxxxxdxxx

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

−−−=

−−+−=

=

∫ ∫ ∫∫ ∫

∫∫∫∫∫∫

22cos

44cos

66cos

41

2sen4sen6sen41

2sen4sen210sen6sen

21

21

cos3sen3cos3sen21

3sencos3sen3cos21

3sen21cos21cos21

3sen2sensen3sen2sensen

CASO III. Integrales que contienen tangentes y cotangentes

con exponentes enteros mayores que uno ∫ dxxntg y ∫ dxxg ncot

Aquí se recomienda usar las identidades: 1csccot

1sectg22

22

−=

−=

xxg

xx

Ejemplo 1

Calcular ∫ dxx3tg

SOLUCIÓN:

( )

∫∫∫∫∫

−=

−=

=

xdxxdxx

xdxx

gxdxtxdxx

tgtgsec

tg1sec

tgtg

2

2

23

La segunda integral es directa, mientras que la primera es por sustitución. xt tg= de donde xdxdt 2sec= FINALMENTE:


27

( )

Cxx

xtdtdxx

++=

−−= ∫∫cosln

2tg

coslntg

2

3

Ejemplo 2

Calcular 4cot x dx∫

SOLUCIÓN: Empleando la identidad trigonométrica respectiva y aplicando propiedades, resulta:

( )

∫∫∫∫∫

−=

−=

=

xdxgxdxxg

dxxxg

dxxgxgdxxg

222

22

224

cotcsccot

1csccot

cotcotcot

La primera integral es por sustitución y la segunda se emplea la identidad trigonométrica respectiva, es decir:

( )

Cxgxxg

dxxdxxg

dxxxg

dxxgdxxgxdxxgdtt

+++−=

+−−=

−−−=

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

∫∫∫

∫ ∫∫ −

cot3

cot

csc3

cot

1csc3

cot

cotcsccotcot

3

23

23

222

4

CASO V. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ xdxx nm sectg Y ∫ xdxxg nm csccot

1. Si el exponente de la secante o cosecante " n " es par, se procede

con el diferencial de la tangente o cotangente.

Ejemplo

Calcular ∫ − xdxx 423

sectg

SOLUCIÓN:


28

( )

∫∫∫∫∫

−

−

−−

+=

+=

=

dxxxdxxx

dxxxx

xdxxxdxxx

22322

1

2223

222342

3

sectgsectg

sec1tgtg

secsectgsectg

Las dos integrales últimas se hacen por sustitución:

Cxx

Cxx

dxxxdxxxxdxxdttdtt

+−=

+−

+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

−

−

−− ∫∫∫

21

23

32

21

23

22

3

22

1

423

tg2tg

21

tg

23

tg

sectgsectgsectg

2. Si el exponente de la tangente o cotangente " m " es impar, se procede con el diferencial de la secante o cosecante.

Ejemplo

Calcular ∫ − xdxx 213 sectg

SOLUCIÓN: Descomponiendo para obtener el diferencial de la secante

( )( )∫∫ −−

=xd

xdxxxxxdxxsec

2322

13 tgsecsectgsectg

y luego resolviendo, tenemos:

( ) ( )

( ) ( )∫∫∫∫

−

−−

−=

−=

xdxxxxdxxx

xdxxxxxdxx

tgsecsectgsecsec

tgsecsec1secsectg

23

21

2322

13

estas últimas integrales se resuelven por sustitución:

( ) ( )

xx

xdxxxxdxxxxdxxdttdtt

21

23

32

23

21

213

sec2sec

tgsecsectgsecsecsectg

−

−−

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫∫

Otras integrales trigonométricas pueden requerir tratamientos ya definidos:


29

Ejemplo

Calcular ∫ dxx3sec

SOLUCIÓN: Esta integral se resuelve por partes

∫∫ =dvu

xdxxdxx 23 secsecsec

Entonces si tomamos xu sec= tenemos xdxxdu tgsec= y si tomamos xdxdv 2sec= tenemos xv tg=

Ahora, integrando

( )

xxxdxxxdxx

xdxxdxxx

xdxxxx

xdxxxx

xdxxxxxdxxduvvu

tgseclnsectgsecsec

secsectgsec

sec1sectgsec

sectgtgsec

tgsectgtgsecsec

33

3

2

2

3

++−=

+−=

−−=

−=

−=

∫∫∫∫

∫∫∫∫

FINALMENTE, despejamos la integral buscada

Cxxxxdxx

xxxxdxx

+++=

++=

∫∫

tgseclntgsecsec

tgseclntgsecsec2

21

213

3


1. ( )dxx∫ − 2cos32 2

2. ∫ xdx3sen3

3. ∫ dxx6cos

4. ∫ dxxx sencos5

5. ∫ dxxx 5sen3sen

6. ∫ dxxx3

2cos3

sen

11. ∫ dxxtan5

12. ∫ dxxc 6tg

13. dxx∫ 5tan2

14. xdxx∫ − 23

sectg5

15. ∫ xx

dx22 cossen

16. ( ) ( )∫ 23

2xx CosSen

dx


30

7. ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛− dxxxsen

43cos

62 ππ

8. ∫ dxxx 3coscos 2

9. ( ) ( ) dxxx∫ 2cos2sen 73

10. ∫ dxxxx 3cos2coscos

17. ∫ xx

dx42 cossen

18. ( )∫

π+dx

xxx

cossensen 4

19. ∫ xx

dx

cossen 2

20. ∫ dxx3csc

1.2.3.5 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA Se trata ahora de convertir las integrales dadas en directas mediante una

sustitución trigonométrica. Usualmente presentan la forma de radicales con suma o diferencia de cuadrados, en tal caso se recomienda:

Si tenemos 22 xa − sustituir tax sen= Si tenemos 22 xa + sustituir tax tg= Si tenemos 22 ax − sustituir tax sec=

Ejemplo 1

Calcular∫ − dxx

x2

24

SOLUCIÓN: En este caso hacemos tx sen2= entonces tdtdx cos2= Reemplazando y resolviendo, resulta:

( )( )

( )

( )

22 2

2 2 2

2 2

2 2

22

2 2

2 2

4 2sen4 4 4sen2cos 2cos4sen2sen

4 1 sen 4coscos cos2sen 2sen

2cos coscos cot2sen sen

csc 1 csc

cot

tx tdx tdt tdtx tt

t ttdt tdtt t

t ttdt dt g tdtt t

t dt tdt dt

gt t C

−− −= =

−= =

= = =

= − = −

= − − +

∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Ahora hay que regresar a un expresión en " x ", para lo cual del cambio de variable tenemos 2

sen xt = . Por

trigonometría, hacemos el siguiente triángulo:


31

De la figura, observamos que x

xtg24cot −

= y como

2arcsen xt = tenemos:

Cxx

x

Ctgtdxx

x

+−−

−=

+−−=−∫

2arcsen4

cot4

2

2

2

Ejemplo 2

Calcular( )∫ + 2

32

3

9x

dxx

SOLUCIÓN: En este caso hacemos tx tg3= entonces dttdx 2sec3= Reemplazando y resolviendo, resulta:

( )( )

( )( )

( )

( )

[ ] Ctt

tdttdtt

dtttdt

ttt

dtttt

dtt

tt

dttt

dtt

tt

dtt

tt

dt

t

tt

tdtt

t

x

dxx

++=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

−=

=

=

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

+

=

+

∫ ∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

cossec3

sentgsec3

sectg

secsectg3

sec1sectg3

sectgtg3

sectg3

sec27sectg81

sec3sectg81

9tg9

sec3tg27

sec39tg3

tg3

9

2

2

2

3

3

23

3

23

32

23

2

23

2

3

23

2

3

24 x−

x2

t


32

Ahora por trigonometría, del cambio de variable 3

tgx

t = tenemos el siguiente triángulo:

Ejemplo 3

Calcular∫ − dxx

x3

2 16

SOLUCIÓN: En este caso hacemos tx sec4= entonces tdttdx tgsec4= Reemplazando y resolviendo, resulta:

92 +x

3

t

x

Por tanto 3

9sec2 +

=xt y

9

3cos2 +

=x

t

FINALMENTE,

( )

Cx

x

x

dxx+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+=

+∫ 9

33

939

2

2

232

3


33

( )( )

( )

Cttt

Ctt

tdtdt

dtt

tdt

dt

t

t

t

dtt

t

tdtt

t

tdtt

t

tdtt

t

tdttt

t

tdttt

tdx

x

x

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

=

=

=

=

=

−=

−=

−=

−

∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

2cossen2

81

22sen

81

2cos181

22cos1

41

sen41

cos

1cos

sen

41

sec4

tg

tgsec4

tg4

tgsec4

tg16

tgsec4

1sec16

tgsec4sec4

16sec16

tgsec4sec4

16sec416

2

2

2

2

2

2

22

22

2

22

2

33

2

3

2

3

2

Ahora por trigonometría , del cambio de variable 4

sec xt = tenemos el siguiente triángulo:

FINALMENTE:

Cxx

xxarc

Ctttdxx

x

+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −−=

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

−∫416

4sec

81

2cossen2

8116

2

3

2

En otras integrales, es necesario completar cuadrado primero.

4

162 −x

t

x

Por tanto,

4sec xarct = ,

xxt 16sen

2 −= y

xt 4cos =


34

Ejemplo 4

Calcular∫ −− dxxx 245

SOLUCIÓN: Primero completamos cuadrado, para de allí realizar una simple sustitución algebraica y luego la sustitución trigonométrica que convenga.

( )

( ) dxx

dxxxdxxx

∫∫∫

+−=

+++−=−−

2

22

29

444545

En la última integral podemos hacer 2+= xu entonces dxdu = y la integral quedará así:

∫ − duu 29

Para la cual la sustitución trigonométrica adecuadas es tu sen3= de la cual resulta tdtdu cos3= . Reemplazando y resolviendo, tenemos:

Cttt

Ctt

dttdt

dtt

tdt

tdtt

tdttduu

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

=

=

−=−

∫∫∫∫∫∫∫

2cossen2

29

22sen

29

2cos129

22cos19

cos9

cos3cos3

cos3sen999

2

22

Del cambio de variable 3

sen ut = obtenemos el siguiente triángulo:

Por tanto,

29 u−

u

t

3

Entonces:

3

arcsen ut = y

39cos

2ut −=


35

[ ]

Cuuu

Ctttduu

+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

++=−∫3

933

arcsen29

cossen299

2

2

Finalmente, como 2+= xu , reemplazando resulta:

( ) ( )

Cxxx

Cuuuduu

+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−∫

9292

32arcsen

29

99

3arcsen

299

2

22

Ejercicio Propuestos 1.5 Encuentre las antiderivadas de:

1. ∫ − dxxx 22 9

2. ( )∫ − 2

321 x

dx

3. ( )∫ −

dxx

x

23

2

2

1

4. ∫ −dx

x

x2

2

9

5. 2

22x dx

x−∫

6. ∫ + 92xx

dx

7. ∫ − 923 xx

dx

8. ∫ −124 xx

dx

9. ∫ −dx

x

x

22

2

10. ∫ − 2

2

4 xx

dxx

11. ( )∫ ++

32 134xx

dx

12. 2 16

x

x

e dxe +∫

13. ∫ + xe

dx21

14. ∫ ++ 1tg4tg

sec2

2

xx

xdx

15. ∫ + x

xdxx4sen9

cossen

16. ∫ + 21

arctg

x

xdxx

17. ( )∫ +

dxx

ex tanxarc

23

21

18. ∫ dxxarcx cos2

19. ∫ −− xxx

dxx2lnln41

ln

20. ( )∫ −+ 42 11 xx

xdx


36

1.2.3.6 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Una función racional tiene regla de correspondencia de la forma )()()(

xqxpxf =

donde tanto )(xp como )(xq con funciones polinomiales. Si el grado de )(xp es mayor o igual que el grado de )(xq se dirá que es una

Fracción Impropia. Si el grado de )(xp es menor que el grado de )(xq se dirá que es una Fracción Propia.

CASO I. FRACCIÓN IMPROPIA En este caso se sugiere empezar dividiendo )(xp entre )(xq y luego integrar.

Ejemplo 1

Calcular ∫ ++++ dx

xxxx

12132 23

SOLUCIÓN: Aquí el numerador tiene grado 3 y el denominador tiene grado 1, por lo tanto realizamos la división del polinomio 132 23 +++ xxx entre 12 +x . Es decir:

12

12

12

2

132

2

2

223

23

+−−

++

++

−−

+++

xx

xx

xxx

xx

xxx

Entonces: 12

112

132 223

+++=

++++

xxx

xxxx

Integrando ahora, tenemos:

Cxxx

dxx

xdxdxx

dxx

xxdxx

xxx

++

++=

+++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++=

++++

∫ ∫ ∫∫∫

212ln

23

121

121

12132

23

2

223

CASO II. FRACCIÓN PROPIA

Cuando la función racional

)()(

xqxp es una fracción propia, primero determine si

es que se trata de una integración directa.


37

Ejemplo

Calcular 2

10 35 3 1

x dxx x

−− +∫

SOLUCIÓN: En este caso tenemos una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del

denominador es dos) y además se observa que ( )25 3 1 10 3d x x xdx

− + = −

Entonces integramos por sustitución:

Considerando 25 3 1t x x= − + tenemos ( )10 3dt x dx= −

2

10 3 ln5 3 1

x dtdx t Ctx x

−= = +

− +∫ ∫

Por tanto:

22

10 3 ln 5 3 15 3 1

x dx x x Cx x

−= − + +

− +∫

Si lo anterior no se da y el denominador se puede factorizar se recomienda

usar el método de fracciones parciales, el cual consiste en expresar la fracción propia del integrando como una suma de fracciones equivalentes y proceder a integrar estas fracciones. La regla general para las fracciones parciales es la siguiente:

Sea ( )( )

p xq x

una fracción propia. Entonces:

1. Se podrá expresar en tantas fracciones parciales como factores tenga el denominador ( )q x .

2. Cada denominador de las fracciones parciales es un factor de ( )q x .

3. El numerador de cada fracción parcial será un polinomio de un grado menor a su denominador.

Podemos considerar los siguientes tipos: TIPO I: Suponga que ( )q x (el denominador) se puede expresar en

factores lineales diferentes


38

Ejemplo 1

Calcular 2

42 5 2

x dxx x

−+ +∫

SOLUCIÓN: Note que tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del denominador es dos). Además observe que la derivada del denominador no es el numerador. Empecemos factorizando el denominador

( )( )2

4 42 1 22 5 2

x xx xx x

− −=

+ ++ +

El denominar se expresa en 2 factores lineales diferentes, entonces sus fracciones parciales serían de la forma siguiente:

( )( )

42 1 2 2 1 2

x A Bx x x x

−= +

+ + + +

Ahora debemos encontrar los valores de A y B

Multiplicando por ( )( )2 1 2x x+ + a cada término, resulta:

( )4 2 (2 1)x A x B x− = + + +

Una manera rápida y efectiva es evaluando la última expresión en las raíces de )(xq :

Si 2x = − , resulta:

( ) ( ) ( )( )( )

4 2 2 2 2 2 1

6 3

2

A B

B

B

− − = − + + − +

= −

= −


( ) ( ) ( )( )1 1 12 2 24 2 2 1

9 32 2

3

A B

A

A

− − = − + + − +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Integrando,

( ) ( )

4 3 22 1 2 2 1 2

1 13 22 1 2

x dx dxx x x x

dx dxx x

− −⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

= −+ +

∫ ∫∫ ∫

( )( )

ln 2 14 3 2ln 22 1 2 2

xx dx x Cx x

+−= − + +

+ +∫


39

Ejemplo 2

Calcular 2

3 2

6 7 42

x x dxx x x

+ −+ −∫

SOLUCIÓN: Aquí también tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es dos mientras que el grado del denominador es tres). Empecemos factorizando el denominador

( ) ( )( )

2 2 2

3 2 2

6 7 4 6 7 4 6 7 42 12 2

x x x x x xx x xx x x x x x

+ − + − + −= =

+ −+ − + −


( )( )

26 7 42 1 2 1

x x A B Cx x x x x x

+ −= + +

+ − + −

Ahora debemos encontrar los valores de A , B y C

Multiplicando por ( )( )2 1x x x+ − a cada término, resulta:

( ) ( )26 7 4 2 1 ( 1) ( 2)x x A x x Bx x Cx x+ − = + − + − + +

Evaluando :

Si 0=x , resulta:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )26 0 7 0 4 0 2 0 1 0 (0 1) 0 (0 2)

4 2

2

A B CA

A

+ − = + − + − + +

− = −

=


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )26 2 7 2 4 2 2 2 1 2 ( 2 1) 2 ( 2 2)24 14 4 6

6 6

1

A B CBB

B

− + − − = − + − − + − − − + − − +

− − ==

=

Si 1x = , resulta:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )26 1 7 1 4 1 2 1 1 1 (1 1) 1 (1 2)

9 3

3

A B CC

C

+ − = + − + − + +

=

=

Integrando,

2

3 2

6 7 4 2 1 32 12

1 1 12 32 1

x x dx dxx x xx x x

dx dx dxx x x

+ − ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟+ −+ − ⎝ ⎠

= + ++ −

∫ ∫∫ ∫ ∫

2

3 2

6 7 4 2ln ln 2 3ln 12

x x dx x x x Cx x x

+ −= + + + − +

+ −∫


40

Ejemplo 3

Calcular dxxxx

x∫ −−

+

3235

23

SOLUCIÓN: Note que tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del denominador es tres). Empecemos factorizando el denominador:

( ) ( )( )1335

2235

3235

223 +−+

=−−

+=

−−

+xxx

xxxx

xxxx

x


( )( ) 131335

++

−+=

+−+

xC

xB

xA

xxxx

Ahora debemos encontrar los valores de A , B y C Multiplicando por ( )( )13 +− xxx a cada termino, resulta: ( )( ) )3()1(1335 −++++−=+ xCxxBxxxAx Una manera rápida y efectiva es evaluando la última expresión en las raíces de )(xq : Si 0=x , resulta:

( )( )

133

)30)(0()10)(0(10303)0(5

−=−=

−++++−=+

AA

CBA

Si 3=x , resulta: ( )( )

231218

)33)(3()13)(3(13333)3(5

=

=−++++−=+

B

BCBA

Si 1−=x , resulta: ( )( )

21

42)31)(1()11)(1(11313)1(5

−=

=−−−−++−−++−−−=+−

C

CCBA

Integrando:

Cxxx

dxx

dxx

dxx

dxxxx

dxxxx

x

++−−+−=

+−

−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−+

−=

−−

+

∫ ∫ ∫∫∫

−

1ln3lnln

11

21

31

231

131

3235

21

23

21

23

23

TIPO II. Suponga que ( )q x se puede expresar en factores lineales donde

hay alguno repetido

Ejemplo 1

Calcular ( )( )

2

2

4 151 2

x x dxx x− − +

+ −∫

SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para el integrando serían de la forma:

( )( ) ( )

2

2 2

4 151 21 2 2

x x A B Cx xx x x

− − += + +

+ −+ − −

Multiplicando por ( )( )21 2x x+ − se obtiene:


41

( ) ( )( )22 4 15 2 1 2 ( 1)x x A x B x x C x− − + = − + + − + +

Evaluando para las raíces:


( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 21 4 1 15 1 2 1 1 1 2 ( 1 1)

1 4 15 918 9

2

A B C

AA

A

− − − − + = − − + − + − − + − +

− + + =

=

=

Si 2x = , resulta:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 22 4 2 15 2 2 2 1 2 2 (2 1)

4 8 15 33 3

1

A B C

CC

C

− − + = − + + − + +

− − + =

=

=

Como ya no disponemos de otra raíz, evaluamos para cualquier otro valor de x y empleamos los valores de las constantes ya encontrados:

Si 0=x , resulta:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2 20 4 0 15 2 0 2 0 1 0 2 1(0 1)

15 2 4 2 1 16 2

3

B

BB

B

− − + = − + + − + +

= + − +

= −

= −

Integrando:

( )( ) ( )

( )

2

2 2

2

4 15 2 3 11 21 2 2

1 1 12 31 2 2

x x dx dxx xx x x

dx dx dxx x x

⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟= + +⎜ ⎟+ −+ − −⎝ ⎠

= − ++ − −

∫ ∫∫ ∫ ∫

( )( )

2

2

4 15 12ln 1 3ln 221 2

x x dx x x Cxx x

− − += + − − − +

−+ −∫

Ejemplo 2

Calcular ( )( )∫ −+

+− dxxxxx

2

2

131383

SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma:

( )( ) ( )22

2

113131383

−+

−+

+=

−+

+−

xC

xB

xA

xxxx

multiplicando por ( )( )213 −+ xx se obtiene:

( ) ( )( ) )3(1311383 22 ++−++−=+− xCxxBxAxx Evaluando para las raíces: Si 3−=x , resulta:


42

( ) ( ) ( )( )

41664

)33(1331313)3(833 22

==

+−+−+−+−−=+−−−

AA

CxBA

Si 1=x , resulta:

( ) ( )( )

248

)31(11311113)1(8)1(3 22

==

++−++−=+−

CC

CBA

Como ya no disponemos de otra raíz, evaluamos para cualquier otro x y empleamos los valores ya encontrados: Si 0=x , resulta:

( ) ( )( )

163413

)30(2103010413)0(8)0(3 22

−=++−=

++−++−=+−

BB

B

Integrando:

( )( ) ( )

( )

Cx

xx

dxx

dxx

dxx

dxxxx

dxxx

xx

+−

−−−+=

−+

−−

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−−

++

=−+

+−

∫∫∫∫∫

121ln3ln4

1

121

13

14

1

21

13

4

13

1383

2

22

2

TIPO III. Suponga que ( )q x se puede expresar en factores donde hay

cuadráticos irreducibles

Ejemplo 1

Calcular ∫ ++

−− dxxxx

x23

42

SOLUCIÓN: Primero factoricemos el denominador.

( )3 2 2

2 4 2 41

x xx x x x x x− − − −

=+ + + +

El factor cuadrático es irreducible, en este caso las fracciones parciales serían de la forma:

( ) 22

2 411

x A Bx Cx x xx x x

− − += +

+ ++ +

Simplificando, tenemos: ( ) [ ]( )xCBxxxAx ++++=−− 142 2

Empleemos ahora un segundo método para hallar los coeficientes: Destruyendo paréntesis y agrupando, tenemos:

42

2

0

22

)()(42

42

−−

++++=−−

++++=−−

AxCAxBAx

CxBxAAxAxx


43

Igualando coeficientes, tenemos: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=+

=+

42

0

ACABA

Entonces: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−=

42

4

BCA

Ahora, integrando resulta

( )

Cxxx

dxxx

xx

dxxx

xdxx

dxxx

xx

dxxxx

x

++++−=

++

++−=

++

++−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

++

++

−=

++

−−

∫∫∫

∫∫

1ln2ln4

1122ln4

12414

124442

2

2

2

223

Ejemplo 2

Calcular ∫ +−

+ dxxxx

x54

2523

2

SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma:

( )( )

5442

5425

5425

22

2

23

2

+−

+−+=

+−

+=

+−

+

xxCxB

xA

xxxx

xxxx

Note que para el polinomio de grado uno, que es numerador de la fracción con denominador el factor cuadrático, se lo define con la derivada del denominador; por asunto de facilitar el cálculo de la derivada. Simplificando, tenemos: ( ) ( )[ ]( )xCxBxxAx +−++−=+ 425425 22 Evaluando para 0=x ,

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )

5252

04025040205 22

=

=+−++−=+

A

ACBA

Para 2=x , porque anulamos el término que contiene a B y como ya se conoce el valor de A ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )

( )

554

212224225242225

52

22

=

+=

+−++−=+

C

CCBA

Evaluando para 1=x y empleando lo valores de A y C, tenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )( ) ( )[ ]10

23

227

14125141215

554

52

5542

522

=

+−+=

+−++−=+

B

B

B

Ahora, integrando:


44

( )

( )

( ) Cxxxx

dxx

xxx

dxxx

dxxx

xdxx

dxxx

xx

dxxxx

x

+−++−+=

+−++−+=

+−+

+−

−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+−+=

+−

+

∫∫∫∫

∫∫

2arctg5

5454ln1023ln

52

12

15

5454ln1023ln

52

541

554

5442

10231

52

54

42

5425

2

22

22

25

5410

235

2

23

2

Ejemplo 3

Calcular ∫ +

− dxxx

x3

3 1

SOLUCIÓN: Note que en esta integral la fracción no es propia, el grado del numerador es 3 y el del denominador también; por tanto dividiendo primero, se obtiene:

xxx

xxx

+

+−=

+

−33

3 111

La integral sería ahora:

∫∫∫∫

+

+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+−=

+

−

dxxx

xdx

dxxx

xdxxx

x

3

33

3

11

111

La primera integral es directa y la segunda por fracciones parciales. Entonces:

( )( )

12

111

223 +

++=

+

+=

+

+

xCxB

xA

xxx

xxx

Simplificando tenemos: ( ) ( )[ ]( )xCxBxAx +++=+ 211 2

Evaluando para 0=x , resulta: ( ) ( )[ ]( )

1)1(1

0)0(21010 2

==

+++=+

AA

CBA

Evaluando para 1=x y utilizando el valor obtenido para A, resulta ( ) ( )[ ]( )

02222

1)1(211111 2

=+++=

+++=+

CBCB

CB

Evaluando para 1−=x y utilizando el valor obtenido para A, resulta

( )( ) ( )( )[ ]( )

22220

11211111 2

−=−−+=

−+−++−=+−

CBCB

CB

Tomando simultáneamente, ambos resultados, encontramos los valores de B y C

⎩⎨⎧

−=−=+

2202

CBCB

Bastaría con sumar miembro a miembro las ecuaciones y obtendríamos B: 2

124

−=

−=

B

B


45

Entonces

1212

2

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

−=

C

C

BC

OTRO MÉTODO para obtener A, B y C, que en ocasiones es más ventajoso, es el que sigue: En la expresión ( ) ( )[ ]( )xCxBxAx +++=+ 211 2 simplificamos hasta obtener un polinomio reducido en ambos lados de la ecuación, es decir:

( ) ACxxBAx

CxBxAAxx

+++=+

+++=+2

22

21

21

De la última expresión, rápidamente se puede decir que: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

+=

AC

BA

11

20

Por tanto ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=

=

12

11

C

B

A

En fin, ahora integrando tenemos:

( )

( ) Cxxxx

dxx

dxx

xdxx

x

dxx

x

xx

dxxx

xdxdxxx

x

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

+−−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+−+−=

+

+−=

+

−

∫ ∫∫∫∫∫∫

arctg1lnln

11

12

211

1

121

111

221

22

221

33

3

Y si hay factores cuadráticos irreducibles repetidos se procede de igual forma

que para los factores lineales repetidos.

Ejemplo 4

Calcular ( )( )

4 3

22

2 6 3

1 1

x x x dxx x

− − +

+ +∫

SOLUCIÓN: Aquí el denominador ya está factorizado, en este caso tenemos:

( )( ) ( )

4 3

2 2 22 2

2 6 31 11 1 1

x x x A Bx C Dx Ex xx x x

− − + + += + +

+ ++ + +

Multiplicando por el común denominador a cada término de la ecuación:

( ) [ ]( ) ( ) [ ]( )24 3 2 22 6 3 1 1 1 1x x x A x Bx C x x Dx E x− − + = + + + + + + + +

Agrupando:


46

( ) [ ]( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 3 4 2 3 2 2

4 3 4 2 4 2 3 3 2 2

4 3 4 3 2

2 6 3 2 1 1

2 6 3 22 6 3 2

x x x A x x Bx C x x x Dx Dx Ex E

x x x Ax Ax A Bx Bx Bx Bx Cx Cx Cx C Dx Dx Ex Ex x x A B x B C x A B C D x B C D E x A C E

− − + = + + + + + + + + + + +

− − + = + + + + + + + + + + + + + +

− − + = + + + + + + + + + + + + + + Igualando coeficientes:

21

2 06

3

A BB C

A B C DB C D EA C E

+ =⎧⎪ + = −⎪⎪ + + + =⎨⎪ + + + = −⎪⎪ + + =⎩

De la primera y segunda ecuación, se obtiene: 2A B= − y 1C B= − −

Reemplazando A y C en la tercera ecuación y simplificando:

( ) ( )2 2 1 0

4 2 1 0

2 3

B B B DB B B D

D B

− + + − − + =

− + − − + =

= −

También reemplazamos A y C en la quinta ecuación:

( ) ( )2 1 3

2 2

B B E

E B

− + − − + =

= +

Reemplazando en la cuarta ecuación:

1 2 3 2 2 6

4 4

1

B B B BB

B

− − + − + + = −= −

= −

Y al reemplazar , se obtiene: 3A = , 0C = , 5D = − y 0E =

Reemplazando los valores obtenidos e integrando

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )

4 3

2 222 2

22 2

22 2

2 6 31 11 1 1

1 0 5 031 1 1

13 51 1 1

x x x A Bx C Dx Edx dxx xx x x

x xdx

x x x

x xdx dx dxx x x

⎛ ⎞− − + + +⎜ ⎟= + +⎜ ⎟+ ++ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟= + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

= − −+ + +

∫ ∫∫∫ ∫ ∫

( )( )

( )4 3 12 2

22

2 6 3 1 53ln 1 ln 1 12 21 1

x x x dx x x x Cx x

−− − += + − + + + +

+ +∫


47


1. ( ) ( )∫ +− 31 xxdx

2. ( )∫ −−

−

xxx

dxx

2

2423

3. ( ) ( ) ( )∫ +++ 2321 xxx

dxx

4. ( )∫ ++

−

xxx

dxx

23

223

2

5. ( )( )( )∫ +−

−+ dxxx

xx

432

102

2

6. ∫ −+−

+− dxxxx

xx

1

1423

2

7. ∫ −+ 22

3

xx

dxx

8. ( ) ( )∫ +−+− 6544 22 xxxx

dx

9. ( ) ( )∫ +++

− dxxxx

x

221

1322

10. ∫ +

−−+ dxxx

xxx

9

9993

235

11. ∫ −dx

x 1

44

12. ( )( )( )∫ +++

++ dxxxx

xx

222

2322

2

13. ( )∫ +

dxx

x22

5

4

14. ( )∫ +

++ dxxx

xx22

2

2

824

15. ( ) ( )∫ +−

+− dxxx

xx

11

3422

2

16. ∫ −

− dxxx

x3

3

41

17. ∫ −+ 6coscos

sen2 xx

dxx

18. ∫ +− 13sec

sec2

2

ttant

dtt

19. ( )∫ + xxdx

sencos2

20. ∫ +++ 6321xxx

eee

dx


48

1.2.3.7 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS

CASO I. Integrales del tipo ( )∫ dxxxR cos,sen

Se recomienda la siguiente sustitución tx =2tg de donde

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+

−=

+=

dtt

dx

ttx

ttx

2

2

2

2

1211cos

12sen

Ejemplo

Calcular ∫ ++dx

xx cossen11

SOLUCIÓN: Reemplazando y simplificando:

( )

C

Ct

dtt

dtt

dtt

dtt

tttt

dtt

tt

tt

dxxx

x ++=

++=

+=

+=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+

−+++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+

−+

++

=++

∫∫∫∫∫∫

2

2

2

22

2

2

2

2

tg1ln

1ln

11

122

222

12

1121

1

12

11

121

1cossen1

1

CASO II. Integrales donde se cumple que:

( ) ( )∫ ∫=−− dxxxRdxxxR cos,sencos,sen

Se recomienda usar la sustitución tx =tg de donde

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+=

2

2

2

1

1

1cos

1sen

tdtdx

tx

t

tx


49

Ejemplo

Calcular ∫ +dx

x2sen11

SOLUCIÓN: Reemplazando y simplificando:

( )( )( ) Cx

Ct

dtt

dtt

t

dt

t

tt

t

dt

t

t

t

dt

t

t

dxx

+=

+=

+=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

=+

∫∫∫∫

∫∫

tg2arctg2

1

2arctg2

121

1

21

1

1

1

1

1

1

11

1

1

11

1

sen1

1

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

Ejercicios Propuestos 1.7

Encuentre las antiderivadas de:

1. ∫ ++ 5cossen2 xxdx

2. ∫ + xxdx

cos4sen3

3. ∫ −dx

xx cos4sen31

4. ∫ +dx

xsen

xsen2

2

1

5. ∫ + xxdx

tgsen

6. dxxxxx∫ ++−+

1cossin1cossin

7. dxxx

xx∫ ++−

1cossincos2sin


50

Misceláneos

Encuentre las antiderivadas de:

1. ∫ +

− dxxx

x

4

13

2. ∫ − dxx

x3

2 1

3. ∫ + dxxx 923

4. ( )∫ − dxexx x22 23

5. ∫ xdxx 2cos2sen 53

6. ( )( )∫ +−

− dxxx

x

11

622

7. ∫ −dx

xx2cos9

cos2

8. ( )∫ −+− dxexx x22 35

9. ∫ ++dx

ee

exx

x

142

10. ( )∫ dxx

xsenh

11. ( )( )∫ −++

+ dxxxx

x

154

12

12. ∫ − dxx

x21

13. ∫ xdxx cos2sen2

14. ∫ dxx

x2cos

cos

15. ∫ xdxx 7cos3cos

16. ( ) ( )∫ ++−

+− dxxxx

xx

322

45322

2

17. ( )∫ +dx

xx

x

1coscos

sen2

18. ∫ + dxx

x 12

19. ( )∫ −

dxx

x23

20. ∫ +dx

x

x

252

3

21. ∫ ++dx

xx

x

54

324

22. ∫ arctgxdxx2

23. ∫ − dxx

x241

24. ∫ xdxe x sen2

25. ∫ − dxx

xcos

sen1

26. ∫ +dx

ee

exx

x

422

27. ∫ dxxxln

28. ∫ + dxxx 12

29. ∫ − dxex x23

30. ∫ +dx

xx ln11

31. ∫ −−

− dxxxx

x

32

1223

32. ∫ +−+

+−−+ dxxxx

xxxx

35

745323

234

33. ( )∫ + 33 1 xxxdx

34. ∫ +− dx

xx

1322

35. ( )∫ − xdxx 2cos13

36. ( )∫ + dxx 32ln

37. ∫ +−

+ dxxx

x

23

322

38. ( )∫ +

− dxxx

x

4

12

3


51

39. ∫ +− dx

xxx

cossen1

40. ∫ + xxxdxcos2sen

sen2

41. ∫ −

+−+ dxx

xxe xar

2

2sen

1

243

42. ∫ − dxx

x2

2 4

43. ∫ xdxx 2cossen2

44. ∫ +dx

xx41

45. ∫ ++ xsenxdx

cos1

46. ( )∫ +− xdxxx ln523 2

47. ∫ +

+ dxe

ex

x

1

13

48. ( )∫ + xdxx 532 2

49. ∫ +dx

x

x

48

3

50. ( )∫ +− dxarctgxxx 346 2

51. ∫ dxx

x4

4

cos

sen

52. ∫ +− dx

xxxx

cossen3sencos2

53. ∫ dxxcos

54. ∫ −dx

x

x

13

55. ∫ +

− dxxx

x41

3

56. ∫ +

−+− dxxx

xxx24

23 1235

57. ∫ +dx

xxx

x2ln4

ln

58. ( )∫ −dx

x

x6

329

59. ( )( )∫ −++

+ dxxxx

x

12´2

372

60. ∫ +

+ dxxx

x

4

323

61. ∫ +dx

e

ex

x

1

2

62. ∫ +

+ dxx

x21

1

63. ∫ −dx

x

x2

2

1

64. ∫ +

− dxx

xx

1

23

2

65. ( )∫ + dxx

x2

2 23

16

66. ∫ ++− dx

xxxx1cossen

sen4cos3

67. ∫ − dxx

xxcos

cos4tg3 2

68. ( )∫ +dx

xx ln31

69. ∫ − xx

dx3

70. ∫ ++

− dxxx

x

963

522

71. 2 arcsenx xdx∫

72. ∫ xx

dx3cossen

73. ∫ ++ xx

dxx2cossen1

cos

74. ∫ + dxx1

75. ( )( )∫ +++ 221 2 xxx

dx

76. dxe

eex

xx

∫ +

+

5

34

24

77. xdxxx 2cos3cos2sin∫

78. dxxx

x∫ + 3


52

79. ( )∫ + 2cossin xx

dx

80. ∫ + xxdx

csccot

81. 1ln1

xx dxx

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠∫

82. 3

2

sin cos1 cos

x xdxx+∫

83. ( )2sin2x x

dx+∫

84. 1 xe dx+∫

85. 3 2

cossin 2sin sin

xdxx x x− +∫

86. ( )22 1

dx

x +∫

87. ( ) ( )13 2sin 4 cos 4x x∫

88. 4cos2

x dxππ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫

89. 3 sinsecsec

xx e dxx+∫

90. ( )arctan 2

21 4

te dtt+∫

91. 2 2

2 2

x x

x x

e e dxe e

−

−

−+∫

92. ( )

( )

2

4

3 cos sin

csc 7 sin

x x x x

x x x

− +

−∫

93. ( )

( )

tan 4

2

51 sin 4

x

dxx−∫

94. ( )

sec tan2

1 1 cos 22 2

x

x

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+∫

95. ( )( )3csc log

3

xdx

x∫

96. ( )2ln csc lnx xdx

x∫

97. ( ) ( )25 11 xx e dx++∫

98. ( )32 sinx xe e dx∫

99. ( )( )

5

1

cos ln1

x xdx

x x −

+

+∫

100. ∫ +− 224

3

xx

dxx

101. ∫ ++ 23 48

11

xx

dxx

Education

Integral indefinida