LA LÍNEA RECTA.

La recta se expresa analíticamente como una ecuación lineal o de primer grado con dos variables y queda determinada si se conocen dos condiciones:

• 2 puntos por donde pasa.

• La pendiente y un punto que pertenezcan a ella-

Existen varias formas de la ecuación de la recta.

ECUACIÓN EN FORMA GENERAL DE LA RECTA:

Expresión de de primer grado con dos variables.

Ax +By + C = 0 en donde A, B y C son constantes arbitrarias y “x” y “y” las variables.

La pendiente está determinada por la expresión: A

mB

= −

Y el punto donde la recta corta al eje de la y (ordenada al origen) es C

bB

= − .

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE:

Recordando la fórmula para obtener la pendiente de una recta, conociendo dos puntos por donde pasa se tiene:

A(x,y)

α y-y1 y

B(x1,y1) y1

x1 x-x1

x

La pendiente es el ángulo de inclinación con respecto al eje de las “x”, por lo tanto se obtiene:

1

1

tany y

mx x

α −= =− Así tenemos:

1

1

y ym

x x

−=−

Por lo tanto La Ecuación en forma Punto Pendiente se obtiene:

1 1( )x x m y y− = −

ECUACIÓN EN FORMA ORDENADA AL ORIGEN

( 0)0

( 0)

o bien

y bm x

xm x y b

mx b y

y mx b

−= −−

− = −+ =

= +

P(x,y)

b(0, b)

Ejemplo Encontrar la pendiente y el punto donde la recta 2x-3y+6 =0 corta al eje “y”:

2x-3y+6=0

Como la expresión dice y mx b= + se despejará “y”

Donde la pendiente 2

3m =

Y el punto donde la recta corta al eje “y”= 2

Cuando la pendiente de una recta es positiva quiere decir que dicha inclinación es menor a 90º cuando se obtiene una pendiente con signo negativo esto quiere decir que la inclinación es mayor de 90º.

ECUACIÓN SIMÉTRICA O ABSCISA Y ORDENADA AL ORIGEN.

Esta ecuación trabaja con los valores de a y de b que son, respectivamente la abscisa y la ordenada al origen; dicho de otra manera, los puntos en donde una recta corta a los ejes de coordenadas.

Si los puntos son A(a,0) y B(0,b)

3

b = 2

2 3 6 0

3 6 2

3 2 6

2 6

32 6

3 32

23

x y

y x

y x

xy

y x

y x

− + =− + =−− =− −

− −=−

=− +

= +

1x y

a b+ =

Ejemplo:

Sea la recta 2x-3y+6=0 indicar en donde corta a los ejes de coordenadas :

2x -3y +6 = 0

2x -3y = -6 dividiendo todo entre -6

2x

−6− 3y

−6= −6

−6

x

−3+ y

2= 1

Lo cual significa que:

La recta 2x -3y +6 = 0

Corta al eje de las “x” en a= -3

b

(0, b)

a

Y al eje “y” en b= 2

LA ECUCIÓN EN FORMA NORMAL O DE HESSE

La recta puede determinarse, además, si se conocen la longitud de su perpendicular trazada a ella desde el origen y el ángulo que dicha perpendicular forma con el eje “x’ x”.

(NO SE HARÁ LA DEMOSTRACIÓN).

Se podrá escribir que la forma normal de Ax + By + C = 0 es

2 2 2 2 2 20.

Ax By C

A B A B A B+ + =

± + ± + ± +

Para determinar el signo que se debe dejar al radical se seguirá el siguiente criterio:

a) Será siempre opuesto al de C.

b) Sí C = 0, se considerará el signo que tenga B

Ejemplo: Distancia de un punto a una recta. 2 2

Ax By Cd

A B

+ +=± +

Hallar la distancia del punto (-2,-4) a la recta 6x – 8y +5 = 0

a = -3

b = 2

2 2

6 8 50

6 8

6 8 50

100

6 8 50

10

6( 2) 8( 4) 50

10

12 32 50

10

12 32 5 252.5

10 10

x y

x y

x y

ul

− + =− +

− + =−

− + =−

− − − + =−

− + + =−

− + + = = −− −

La distancia resulta negativa, significando que el punto y el origen están del mismo lado.

P