Consideremos la función

El dominio es Df = R - {1}

Evalúa la función en los números dados y explica el

comportamiento.

1

3

x

xxy

X 0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999

y 0 0.75 1.44 1.71 1.9701 1.9970 1.9997

X 2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001

y 6 3.75 2.64 2.31 2.0301 2.0030 2.0003

En el primer cuadro, ¿a qué número se aproxima x?

En el mismo cuadro, ¿a qué valor se aproxima y?

Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1

por la izquierda, el valor de y tiende a 2.

En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima x?

En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima y?

Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la derecha, el valor de y tiende a 2.

¿Crees que si aproximamos todavía más los valores de x al valor dado, los valores de y se aproximen más al valor observado?

SI f(x) SE ACERCA ARBITRARIAMENTE A UN

NÚMERO L, CONFORME x SE APROXIMA A UN

NÚMERO a TANTO POR LA IZQUIERDA COMO

POR LA DERECHA, ENTONCES “EL LÍMITE DE f(x)

CUANDO x TIENDE A a ES L”, LO CUAL SE DENOTA

COMO:

Lxfax

)(lím

Ejemplo:

Sea la función

Hallar

2

Por lo tanto

22

2)(

x

xxf

)(lím2

xfx

X 1.8 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.2

y 3.9493 3.9748 3.9975 3.9997 4.0002 4.0025 4.0248 4.0493

422

2lím

2 x

x

x

1 2 3 4 5-1-2

1

2

3

4

x

yy = (x-2)/(sqrt(x+2)-2)

o

Se quiere fabricar placas de acero de 8cm x

8cm.

8 cm

8 cm

Es decir, de 64 cm2 de superficie.

En la realidad, resulta imposible fabricar

placas con 64 cm2 de superficie, siempre se

elabora con cierta aproximación, o sea, que

cumpla las especificaciones dentro de la

tolerancia.

Para cualquier medida de los lados de la placa:

A (L) = L2

Si consideramos las siguientes tolerancias:1) A (L) = 64 0.75 esto implica que 63.25< A (L) <64.75

2) A (L) = 64 0.50 63.5 < A (L) <64.5

3) A (L) = 64 0.25 63.75< A (L) <64.25

4) A (L) = 64 0.125 63.875< A (L) <64.125

5) A (L) = 64 0.1 63.9< A (L) <64.1

Se debe encontrar un intervalo para L de tal manera que A ( L) esté dentro del intervalo de tolerancia.

Tolerancia de menos Tolerancia de más Tolerancia de menos Tolerancia de más

L L A(L) A(L)

8 64

Es decir:

Si 7.96 < L < 8.04 → 63.25 < A (L) <64.75 ¡cumple!

Si 7.97 < L < 8.03 → 63.5 < A (L) <64.5 ¡cumple!

Si 7.99 < L < 8.01 → 63.75 < A (L) <64.25 ¡cumple!

Si se quiere más precisión de A (L), significa

que L debe estar lo más cercano posible a 8.

O sea, existe una pequeña diferencia de A

(L) con 64, análogamente, existe también

una pequeña diferencia de L con 8.

Por la definición intuitiva de límite:

64)(lím8

LAL

Si esas pequeñas diferencias que existen de L

con 8 y de A (L) con 64 les llamamos δ(delta) y

ε(épsilon) respectivamente, tendríamos:

8 – δ < L< 8 + δ ↔ 64 - ε < A (L) < 64 + ε

↔ Significa si y sólo si.

También se puede escribir como:

– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε

Lo anterior quiere decir que si L se encuentraen el intervalo (8- δ, 8+ δ), entonces A (L) se

encuentra en el intervalo abierto (64- ε, 64+ ε)

a L

x f (x)

a –δ a +δ L – ε L + ε

Por propiedades del valor absoluto, las desigualdades:

– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε

Se pueden escribir como:

Como el valor de L se aproxima a 8 sin llegar a ser 8,

entonces L – 8 ≠ 0 y por lo tanto

64)(8 LAL

08L

De lo anterior:

Ahora, generalizando para cualquier

función f (x) cuando x → a, tenemos:

64)(80 LAL

Lxfax )(0

Definición formal de límite.

Consideremos un intervalo abierto que

contenga al número a. Sea f una función

definida en todos los números del intervalo

excepto posiblemente en a y sea L un

número real. Entonces:

Significa que para todo ε > 0 existe una δ > 0 tal

que:

Si 0 < | x – a | < δ, entonces | f (x) – L | < ε

Lxfax

)(lím

L + ε

a - δ

L

ε

ε

a - δ

a

δ δ

L - ε

Ejemplo:

1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo que

a) Utilizando una figura, para ε = 0.01, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01

b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una δ > 0

tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01

Solución:

5)(lím3

xfx

5.01

4.99

5

3

x1

x2

f (x) =4 x - 7

Solución a)

4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 – 7 = 5.01

Como 3 – 2.9975 = 0.0025

Y 3.0025 – 3 = 0.0025

Se elige δ = 0.0025, de tal forma que

0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) – 5 | < 0.01

Lo cual es verdadero.

0025.34

01.12

2x9975.2

4

99.11

1x

Solución b)

Para toda ε > 0 y δ > 0, se debe cumplir que:

Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x – 7, ε = 0.01

Entonces:

0 < | x - 3 | < δ si y sólo si | (4x – 7) - 5 | < 0.01

Tomando la segunda ecuación:

| (4x – 7) - 5 | < 0.01

| 4x – 7 - 5 | < 0.01

| 4x – 12 | < 0.01

| 4 (x – 3 ) | < 0.01

| 4 | | x – 3 | < 0.01

4 | x – 3 | < 0.01

Lxfax )(0

4

01.03x

Si tomamos

entonces:

0 < |x - 3 | < δ si y solamente si | (4x – 7) - 3 | < ε

es verdadero!

Puesto que:

0 < | x - 3 | < 0.0025

4 | x - 3 | < 4 ( 0.0025 )

| 4 (x – 3) | < 0.01

| 4x - 12 | < 0.01

| ( 4x – 7) - 5 | < 0.01

| f (x) - 5 | < 0.01

QUEDA DEMOSTRADO!

0025.04

01.0

4