Universidad de ConcepcionFacultad de Ciencias Fısicas y MatematicasDepartamento de Matematica

Listado Calculo II (527148)Aplicaciones de la integral

Calculo de areas y volumenes (secciones transversales, discos y anillos)

1. Calcular el area de la region del plano limitada por las parabolas y2 = 16−x e (y+2)2 = x+4.

2. Calcular el area de la region del plano que se encuentra a la derecha de la recta x = 3 y acotada

por el eje X y la curva y =1

x2 − 1.

3. Calcular el area encerrada por la elipse de ecuacionx2

a2+y2

b2= 1.

4. Utilizar el resultado del problema anterior y el metodo de las secciones transversales para hallar

el volumen acotado por el paraboloide elıptico z =x2

16+y2

25y el plano z = 8.

5. La base de un solido es la region interior al triangulo con vertices (0, 0), (1, 2) y (3, 0) y sussecciones transversales perpendiculares al eje Y son semicırculos. Hallar el volumen del solidousando el metodo de secciones transversales.

6. La base de un solido es la region del primer cuadrante limitada por y = 1 − x2

4, el eje x y el

eje y. Sabiendo que las secciones transversales al eje x son cuadrados, determinar el volumende dicho solido.

7. Sea D la region del plano limitada por las parabolas y = x2 e y = 1 + x− x2. Calcular:

a) El area encerrada por la region D.

b) El volumen del solido generado al girar la region D alrededor de la recta y = −1.

8. Sea R la region del plano limitada por la parabola y = x2 y la recta y = −x+ 2. Calcular:

a) El area de dicha region.

b) El volumen del solido generado al girar R alrededor del eje X .

c) El volumen del solido generado al girar R alrededor de la recta x = −2.

9. Sea R la region del plano limitada por las curvas y = x3 e y = 2x− x2.

a) Calcular el area de la region R.

b) Determinar el volumen del solido generado al girar R alrededor del eje X .

10. Sea R la region del primer cuadrante, limitada por las curvas y =x2

5, y = x2 y la recta

2x+ y − 15 = 0.

a) Determinar el area de la region R.

b) Determinar el volumen del solido de revolucion que se genera al rotar dicha region entorno al eje Y .

11. Calcular el volumen del solido de revolucion que se genera al rotar la region encerrada entre lascurvas y = x3 − x2 e y = 4x− 4 alrededor de la recta x = 2.

12. Calcular el volumen del solido de revolucion que se genera al girar la region entre las curvasy = (x− 2)2 + 1 e y = x+ 1 en torno a:

a) El eje X .

b) El eje Y .

c) La recta x = 4.

13. Determinar el volumen del solido generado al girar la region limitada por las curvas y = sinx,x+ y =

π

2+ 1 e y = 0, en torno al eje X .

14. SeaR la region del plano limitada por la parabola y = x2 y la recta y = mx (m > 0). Encontrarel valor de m tal que los volumenes generados por la rotacion de R en torno al eje X y al eje Ysean iguales.

15. Sea R la region acotada entre las curvas y = x2 y y = 4− x2.

a) Calcular el area de R.

b) Hallar el volumen obtenido al rotar R en torno a la recta y = −1.

c) Hallar el volumen obtenido al rotar R en torno a la recta x = −3.

16. Utilizar discos y anillos calcular el volumen de un cono de radio r y altura h.

Area de una superficie de revolucion

17. Probar, mediante integracion, que la superficie de un cono (manto y base) de altura h y basecircular de radio r esta dada por:

S = πr(√r2 + h2 + r).

18. Dada la elipse de ecuacionx2

2+ y2 = 1, encontrar el area del manto generado al rotar esta

elipse en torno al eje X entre x = −1 y x = 1.

19. Se denomina Trompeta de Gabriel al solido de revolucion generado al rotar en torno al eje x el

area comprendida entre la curva f(x) =1

x,∀x ≥ 1 y dicho eje. Probar que se trata de un solido

de area superficial infinita pero de volumen finito. Calcular dicho volumen.

Longitud de Arco

20. Usando integracion, verificar que la distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) esta dada por√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

21. Usando integracion, verificar que la longitud de una circunferencia de radio a es 2πa.

22. Considerar la curva parametrizada C(t), con t ∈ R, dada por:

x(t) = et cos(t)

y(t) = et sin(t)

Determinar a de modo que la longitud de la curva C(t) cuando t ∈ [0, a] sea exactamente√2.

23. Calcular la longitud de arco de la curva y = f(x), con 1 ≤ x ≤ 2 donde

f(x) =

∫ x

1

√t3 − 1dt.

24. ¿Cual es la longitud de la hipocicloide que tiene por ecuaciones parametricas x(t) = cos3 t ey(t) = sin3 t, donde t ∈ [0, 2π]?

25. Un movil describe la curva:

x =

∫ t

0

sin z

z + 1dz; y =

∫ t

0

cos z

z + 1dz, t ≥ 0.

Calcular la distancia recorrida desde t = 0 hasta el primer instante en que el movimiento esparalelo al eje X .

Area en coordenadas polares

26. Determinar el area que esta dentro de la circunferencia r = 5 cos θ, y fuera de la curva deecuacion r = 2 + cos θ.

27. ¿Cual es el valor del area dentro del lazo mayor de la curva r = 1 − 2 sin θ que es exterior allazo menor de dicha curva?

28. Determinar el area dentro del lazo menor de la curva r = 1 + 2 cos θ.

29. Hallar el area interior a r1 = 1 + cos θ y exterior a r2 = 2 cos θ.

30. Encontrar el area de la region barrida por el espiral r = θ, durante su tercera revolucion, y queno fue barrida durante las revoluciones anteriores.

Otras aplicaciones

31. Hallar el centroide de la region R, en cada uno de las siguientes casos:

a) El triangulo R con vertices en (0, 0), (9, 0 y (9, 6).

b) R esta acotada por los graficos de y = x2 e y = 4.

c) R es la porcion acotada por la elipsex2

a2+y2

b2= 1 que se encuentra en el primer cuadrante.

d) R esta acotada por las curvas y = x2 − 4, y = 2x− x2 y x = 0.

e) R es la region bajo la curva y = ex que se encuentra sobre el eje x, para 1 ≤ x ≤ 2.

32. Un objeto se mueve a lo largo del eje x desde x = 1 hasta x = 4 (unidades en metros),suponiendo que la fuerza obedece a la ley F (x) = x3 + 3x, calcular el trabajo efectuado.

33. Un cable de de 100 metros de longitud y con un peso de kg/m pende de una polea. Calcular eltrabajo necesario para levantarlo.

34. Un bote esta anclado de modo que el ancla esta 150 metros directamente debajo del eje enque se enrrolla su cadena. El ancla pesa 3000 kg y la cadena 25 kg/m. Determinar el trabajonecesario para levantar el ancla.

HPV/EGG4 de Abril de 2011