Semana 2. VERACIDAD DE PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDAD

NEGACION CONJUNTIVA: p q ≅ ~ (p v q) ≅ ~p ~qSe lee “ni p ni q”. “Ni Palma fue escritor ni Mariátegui fue poeta”NEGACION ALTERNATIVA: p q ≅ ~ (p q) ≅ ~p v ~qSe lee “no p o no q”: “6 no es divisor de 20 o no es numero primo”DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: p q ≅ ~ (p q) ≅ (p q) ~ (p q) ≅ (p ~q) v (q ~p)

1. Simboliza las siguientes proposiciones:a) No vi la película, pero leí la novela: b) Ni vi la película ni leí la novela: c) No es cierto que viese la película y leyese la novela: d) Vi la película aunque no leí la novela: e) No me gusta trasnochar ni madrugar: f) O tú estás equivocado o es falsa la noticia que has leído: g) Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí: h) Llueve y o bien nieva o sopla el viento: i) O está lloviendo y nevando o está soplando el viento: j) Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones

arbitrarias ni otras violaciones de los derechos civiles: k) Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga la

licenciatura: l) Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará

antes de las seis. Luego, tanto si viene en tren como si viene en coche, llegará antes de las seis:

m) No es cierto que no me guste bailar n) Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción o) Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un

energúmeno. p) Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que

estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.

q) Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para

ello y no tengo que ir a trabajar. 3. Enlaza cada proposición con su formalización: “Llueve” = p , “Hace sol” = q

4. Enlaza cada proposición con su formalización:“Llueve” = p , “Hace sol” = q, “Las brujas se peinan” = r

1( ) Llueve y hace sol A r ↔ (p∧q)

2( )No es cierto que si llueve y hace sol las brujas se peinan

B (p∧¬r) ∨ (q∧¬r)

3( )Las brujas se peinan únicamente si llueve y hace sol

C ¬r → ( ¬p∨¬q)

4( )Cuando las brujas no se peinan, no llueve o no hace sol

D ¬[(p∧q) → r]

5( )Llueve y las brujas no se peinan o bien hace sol y las brujas no se peinan

E p ∧ q

5. Enlaza cada proposición con su formalización:“Las estrellas emiten luz” = p ; “Los planetas reflejan la luz” = q ; “Los planetas giran alrededor de las estrellas” = r

1( )Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas la reflejan y giran alrededor de ellas

A (p v q) ∧ r

2( )

Las estrellas emiten luz o los planetas la reflejan y, por otra parte, los planetas giran alrededor de ellas

B ¬(p∧q) → ¬r

3( )

Los planetas reflejan luz si y sólo si las estrellas la emiten y los planetas giran alrededor de ellas

C p → (q∧r)

4( )

Si no es cierto que las estrellas emiten luz y que los planetas la reflejan, entonces éstos no giran alrededor de ellas D q ↔ (p ∧ r)

6. Enlaza cada proposición con su formalización:“Pablo atiende en clase” = p ; “Pablo estudia en casa” = q; “Pablo fracasa en los exámenes” = r ; “Pablo es aplaudido” = s

1( ) Si Pablo no atiende en clase o no estudia en casa, fracasará en los exámenes y no será aplaudido

A (p∧q) v (r∧¬s)

2( )

Si no es el caso que Pablo atiende en clase y estudia en casa, entonces fracasará en los exámenes o no será aplaudido

B (p∧q) ↔ ¬(r∧¬s)

3( ) Pablo atiende en clase y estudia en casa o, por otra parte, fracasa en los exámenes y

C (¬pv¬q →(r∧¬s)

p q ~p p q p q p v q p q p q

p q p q

V V F V F V F V V F

V F F F V V F F F V

F V V F V V F V F V

F F V F V F V V V F

1( ) Llueve y hace sol A ¬ p

2( ) Llueve y no hace sol B p ∨ q

3( ) Llueve o hace sol C p ∧ q

4( ) Si no llueve, hace sol D p ∧¬ q5( ) No es cierto que llueva E ¬ ¬ p

6( ) No es cierto que no llueva F q ↔ ¬ p

no es aplaudido

4( )

Únicamente si Pablo atiende en clase y estudia en casa, no se dará que fracase en los exámenes y no sea aplaudido D

¬(p∧q) →(rv¬s)

8. Enlaza cada proposición con su formalización:Otorga, ordenadamente, variables proposicionales a las diferentes oraciones de cada caso.

1( ) Si escoges tus deseos y tus miedos, no existirá para tí ningún tirano. (Epicteto)

A p ∧ q

2( )Quién tiene un porqué para vivir puede soportar cualquiera cómo. (Nietzsche)

B ¬p → ¬q

3( )

El mundo entero es un escenario y todos los humanos somos unos actores. (Shakespeare)

C p → q

VERACIDAD DE PROPOSICIONESSi la proposición compuesta: ~(p ~q) (q r) Es verdadera y las proposiciones s y t tienen valor de verdad desconocido. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?I. (p ѵ s) q II. (t q) r III. (s t) q

~(p ~q) (q r) V F F F V V V V V

Los valores son:p (F)q (V)r(V)

“s” y “t” tienen valor de verdad desconocido. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?(p ѵ s) q(F ѵ ?) V

Si ? = V la proposición es VerdaderaSi ? = F la proposición es Falsa

(t q) r(? V) V

Si ? = V la proposición es VerdaderaSi ? = F la proposición es Verdadera

(s t) q(? ?) V

(V V) V es verdadera(V F) V es verdadera(F V) V es verdadera(F F) V es verdadera

Respuesta: II y III son verdaderas

CONSTRUYENDO LAS TABLAS DE VERDAD

Construye la tabla de (p → ¬q) v (¬p v r)a. p, q, r son 3 proposiciones. El número de reglones es 23= 8b. Asignamos valores de verdad a las proposiciones p, q y r, c. Empezamos por el paréntesis p → ¬q, Luego el paréntesis: ¬p v rd. Aplicamos la disyunción “v” a “p → ¬q” con “¬p v r”.

p q r p → ¬q ¬p v r (p → ¬q) v (¬p v r)

V V V F V V

V V F F F F

V F V V V V

V F F V F V

F V V V V V

F V F V V V

F F V V V V

F F F V V VPROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si “r s” es falso y “rs” es falso. Hallar el VV de r y s2. Si “w t” es verdadero y “v t” es falso, hallar el VV de t, v, w3. Si la proposición compuesta: (p ~q) (r ~s) Es falsa, hallar el valor de verdad de las proposiciones q, p, r, s, respectivamente.4. Si (p ~q)(r ~s) es falsa, halla el valor de verdad de q, p, r, s.5. De la falsedad de (p ~q) v (~r s) deduce el valor de verdad de:a) (~p ~q) v ~q b) (~r q) [(~q v r) s] c) (p q) [(p v q) ~q] 6. Si “s” y “s ~ (p v q)” son verdaderas, indique los valores de verdad:

a) ~ (p ~q) b) (p q) v ~s c) s v (q p)7. Si V (p) = V, q y r dos proposiciones cualquiera. Halla el valor de a) ~ q (~p v ~q) b) [(r v ~p) (q v p)] r c) [q (p q)] (q ~p)]08. Construye la tabla para a) p → (q ∧ r) b) (p → ¬ r) ↔ (q v r)09. Sean p, q y r fórmulas. ¿Cuáles son tautologías?

p ∧q p ∧ r (p q ) ( ∽q -> p )p p ∧ q (p q) ∧ (p ∧∽ q)p ∧∽ (q ∨p) p ∧∽((p ∨q) ∨r)

¿ ∽q p ∨ (∽p∨ r)

Establece por medio de una tabla de valores, si cada uno de los siguientes esquemas moleculares es consistente, tautológico o contradictorio.

10. (p ~q) ѵ (~p ѵ q) (q ~p) (p ~q)11. (p q) (p ~q) (p q) (~p ѵ q)12. ~ [~ p -> ~ (~ q ∧~ p)] v ~(~ p v ~ q)

Usando tablas demuestra que las siguientes LEYES LÓGICAS son TAUTOLOGIAS

13. Disyunción Exclusiva: (p q) ~ (p q) 14. Ley del Condicional: (p q) (¬p v q)15. Ley de Morgan: ¬ (p ∧ q ) ¬ p v ¬ q)

LEYES Y CIRCUITOS LOGICOSCircuito en serie: consta de dos o mas interruptores, donde un interruptor esta a continuación de otro y asi sucesivamente.El grafico de un circuito en serie es la representación de una formula proposicional conjuntiva, cuya expresión simple es “p ∧ q” Se representa por --- p – q --- Circuito en Paralelo: consta de dos o mas interruptores, donde un interruptor esta sobre otro o en la otra línea y asi sucesivamente. El grafico de un circuito paralelo es la representación de la formula proposcional disyuntiva, cuya expresión mas simple es “p ∨ q” Se representa por:

VERACIDAD DE ESQUEMAS MOLECULARES1. Si “r s” es falso y “rs” es falso. Hallar el valor de verdad r y s, Solución. Se dice que: “r s” es falso, se concluye que r(F) y s(F)“r s” es falso, se concluye que r(F) y s(F)

r sF F F

r sF F F

Los valores son:r (F)s (F)

2. Si “w t” es verdadero y “v t” es falso, hallar el VV de t, v y w

w tF F V

v tV F F

Los valores son:t (F), v (V), w(F)

3. Si la proposición compuesta: (p ~q) (r ~s) Es falsa, hallar el valor de verdad de las proposiciones q, p, r, s, respectivamente.

(p ~q) (r ~s) F V V V V F V F F

Los valores son:p (V)q (F)r(V)s(V)

4. Si la proposición (p ~q)(r ~s) es falsa, el valor de verdad de q, p, r, s en ese orden es:

5. De la falsedad de la proposición (p ~q) v (~r s) se deduce que el valor de verdad de los esquemas moleculares

a) (~p ~q) v ~q b) (~r q) [(~q v r) s]c) (p q) [(p v q) ~q]

Son respectivamente:

p qp ∧

q1 1 11 0 00 1 00 0 0

p q p ∧ q1 1 11 0 10 1 10 0 0

6. Si V (p) = V, q y r dos proposiciones cualquiera. Halla el valor de verdad dea) ~ q (~p v ~q)b) [(r v ~p) (q v p)] rc) [q (p q)] (q ~p)]

08 Construye la tabla para p → (q ∧ r)

p q r q ∧ r p → (q v r)

V V V V V

V V F F F

V F V F F

V F F F F

F V V V V

F V F F V

F F V F V

F F F F V09. Construye la tabla para (p → ¬ r) ↔ (q v r)

p q r ¬ r p → ¬ r q v r (p → ¬ r) ↔ (q v r)

V V V F F V F

V V F V V V V

V F V F F V F

V F F V V F V

F V V F V V V

F V F V V V V

F F V F V V F

F F F V V F F10. Sean p, q y r fórmulas. Determinar cuáles de las siguientes

proposiciones son tautologías:p ∧q p ∧ r (p q ) ( ∽q -> p )p p ∧ q (p q) ∧ (p ∧∽ q)p ∧∽ (q ∨p) p ∧∽((p ∨q) ∨r)

¿ ∽q p ∨ (∽p∨ r)

Establece por medio de una tabla de valores, si cada uno de los siguientes esquemas moleculares es consistente, tautológico o contradictorio.

1. (p ~q) ѵ (~p ѵ q) (q ~p) (p ~q)2. (p q) (p ~q) (p q) (~p ѵ q)3. ~ [~ p -> ~ (~ q ∧~ p)] v ~(~ p v ~ q)

Usando tablas demuestra que las siguientes LEYES LÓGICAS son TAUTOLOGIAS

4. Disyunción Exclusiva: (p q) ~ (p q) 5. Ley del Condicional: (p q) (¬p v q)6. Ley de Morgan: ¬ (p ∧ q ) ¬ p v ¬ q)7. Ley de Morgan: ¬ (p q ) ¬ p ¬ q)