Matematica

Matemáticas

Aritmética y Cálculo 754

Análisis 766

Trigonometría 796

Álgebra 798

Geometría 802

Estadística y Probabilidad 812

754

matemáticas • Aritmética y CÁlculo

Sistemas de NumeraciónEl estudio de la aritmética se ha basado siempre en la necesidad

de contar las cosas, ordenarlas o agruparlas en conjuntos másamplios. Estos conjuntos numéricos proceden de la existencia en

la naturaleza de la individualidad de los seres y de los objetos y de la posibilidad de agrupar estas unidades para formar

conjuntos de esas individualidades, por ejemplo,un pájaro, un grupo

de siete pájaros.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Nuestro sistema de numeración, obra de muchas civili-zaciones a lo largo de miles de años, es decimal, posicio-nal y completo.

• Decimal, porque emplea diez dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, para escribir el resto de los números, que reci-ben el nombre de polidígitos. En este sistema denumeración diez unidades equivalen a una decena,diez decenas a una centena, diez centenas a una uni-dad de millar, diez unidades de millar a una decena demillar y así, sucesivamente.De forma semejante, al trabajar con números meno-res que la unidad, ésta se divide en diez partes iguales,denominadas décimas. Cada décima está formada, asu vez, por diez centésimas; cada centésima se subdi-vide en diez milésimas, cada milésima en diez diez-milésimas y así, sucesivamente.

• Posicional, porque el valor de una cifra depende de suposición. Así, por ejemplo, en el número 6.939 elnueve de la derecha vale nueve, pero el de la izquierda vale novecientos.

• Completo, porque emplea el cero, un símbolo que se introdujo por primera vez en la India entrelos siglos I y II de nuestra era. Más tarde los árabes adoptaron el sistema de numeración hindú y lotrajeron a la península Ibérica, desde donde se extendió por toda Europa.

En este sistema de numeración, un número cualquiera puede expresarse por medio de un conjuntode potencias de diez. Por ejemplo:

1 1 11.789,235 = 1 · 1.000 + 7 · 100 + 8 · 10 + 9 · 1 + 2 · –––– + 3 · –––– + 5 · ––––– =10 100 1.000= 1 · 103 + 7 · 102 + 8 · 101 + 9 · 100 + 2 · 10–1 + 3 · 10–2 + 5 · 10–3

Aunque el sistema decimal es, con mucho, el más utilizado actualmente, también se usan otros siste-mas como el sexagesimal, el binario o el romano, entre otros.

Tablilla de contabilidad mesopotámica fechada a mediados del milenio III a.C.

Los babilonios utilizaban un sistema posicional y decimal, pero incompleto, pues carecían de un signo para designar al cero.

Los aztecas y los mayas emplearon sistemasposicionales, pero que no eran decimales.

El grado de desarrollo matemático que alcanzaronresulta sorprendente para su época.

SISTEMA DE NUMERACIÓNROMANO

El sistema de numeración romano quedórelegado a partir del siglo XV a usos muy con-

cretos: las esferas de los relojes, los siglos, lascifras colocadas en los monumentos conmemo-

rativos, etc.El sistema de numeración romano empleaba siete letras: I = 1,

V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1.000, y se basaba enlas siguientes reglas:

• Una letra suma a otra su valor si es de igual o menor valor queella y está colocada a su derecha.Por ejemplo: CLVI = 100 + 50 + 5 + 1 = 156.

• Una letra resta a otra su valor si es de menor valor que ella y estácolocada a su izquierda. Por ejemplo: IX = 10 – 1 = 9.

• Una raya colocada encima de un grupo de letras multi-plica por mil su valor.Por ejemplo: —XV = 15 · 1.000 = 15.000.

matemáticas • Sistemas de Numeración

SISTEMA DE NUMERACIÓN SEXAGESIMAL

El sistema sexagesimal, de base sesenta, heredado de losantiguos babilonios, que se emplea para medir el tiem-po y los ángulos.

SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO

El sistema de numeración binario, o de base dos, se uti-liza en computación y en telecomunicaciones. En estesistema sólo se emplean dos dígitos: 0 y 1.

Para pasar un número binario al sistema decimal bastacon calcular las correspondientes potencias de dos.Por ejemplo:

1001101 = 1 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 2 + 1 = 64 + 8 + 4 + 1= 77

Recíprocamente, para pasar un número decimal al sistema binariohay que dividirlo sucesivamente entre dos, y tomar el último cocien-te seguido de todos los restos en orden inverso a como han ido apa-reciendo.

El sistema de numeración binario esmuy útil en computación ya que

permite trabajar con dos estadosfísicos, únicamente.

A uno de ellos, se le asocia el número cero y al otro el uno.

En el sistema de numeración romano cada número tiene siempre elmismo valor, esté donde esté situado, a diferencia del sistemadecimal que tiene carácter posicional. En el centro, a la izquierda,un ejemplar del sistema monetario romano, al lado, una estelacommemorativa romana.

755

Para medir el tiempo y los ángulos se utiliza el sistema sexagesimal, heredado de losantiguos babilonios: se divide la hora o el grado en sesenta minutos y cada minuto, a su vez, en sesenta segundos.

NÚMEROS NATURALES

Los elementos del conjunto N = 1, 2, 3, 4, … reciben elnombre de números naturales. Éstos se emplean para:

• Contar los elementos que forman parte de un conjunto.• Ordenar una colección de objetos, en cuyo caso los núme-

ros naturales se denominan primero, segundo, tercero, etc.• Elaborar códigos que representen a los objetos, como los

números de teléfono o las matrículas de los automóviles.

Con los números naturales se pueden realizar diferen-tes operaciones:

• La suma, a + b que puede realizarse cualesquiera quesean los números a y b, que reciben el nombre desumandos.

• La resta, a – b, que es la operación inversa de la suma y que sólo puede efectuarse si el minuendo,a, es mayor que el sustraendo, b.

• La multiplicación, a · b equivalente a una sumarepetida c = a · b = a + a + …b veces)… + a. Puede rea-lizarse con cualquier par de números naturales, a yb, que reciben el nombre de factores. El resultado,c, se denomina producto.

• La división es la operación inversa de la multipli-cación. A veces el resultado de dividir un númeronatural, llamado dividendo, entre otro, denomina-do divisor, da como resultado un número natural,que recibe el nombre de cociente. En esos casos sedice que la división es exacta. Otras veces se obtie-ne un resto y se dice que la división es entera.Una división entera cumple la siguiente propiedad:el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto: D = d · c + r.

Para calcular el número de paquetes apilados en un almacen, es muy útil la multiplicación.

756


Números Naturales y Números EnterosLos dedos de las manos pueden representar a unconjunto de hasta diez objetos. Muchas personasutilizan todavía hoy en día los dedos para contar,como hacen los niños pequeños.La forma más sencilla de contar las cosas es emplearlas como entidades completas,como un perro o tres árboles, sin tener en cuenta las posibles partes en que puede dividirse.

El número del DNI permiteidentificar a su titular.

El peso total con el que circula un camión se calcula sumando el peso de la carga más el peso del camión vacío, llamado la tara.

NÚMEROS ENTEROS

Para que la resta pueda efectuarse, incluso cuando elsustraendo es menor que el minuendo, es preciso ampliar el conjunto de los números naturales conlos números negativos, dando lugar así al conjunto de los números enteros: Z = …, –3, –2, –1, 0, 1,2, 3, …

El número –a se dice que es el opuesto de a. Se llama valor absoluto al que tiene un número,prescindiendo de su signo. Para efectuar las operaciones con números enteros, en general, se siguenlas mismas reglas que con los números naturales perocon algunas particularidades:

• Para efectuar la suma de dos números enteros, si sondel mismo signo se suman; si son de distinto signo,se restan. Al resultado se le otorga el signo del núme-ro que tenga mayor valor absoluto.

• Para restar dos enteros, se suma al minuendo elopuesto del sustraendo.

• Para realizar la multiplicación y la división denúmeros enteros hay que utilizar la regla de lossignos expuesta en la tabla.

matemáticas • Números Naturales y Números Enteros

• La potenciación es equivalente a una multi-plicación repetida: an = a · a …n veces)… · a.Su resultado es siempre un número natural.El número a es la base de la potencia y elnúmero n el exponente.

• La radicación, b = na , es la operación inver-sa de la potenciación. Al número a se le llamaradicando y al número n índice de la raíz.Si el índice es dos, la raíz se llama cuadrada,en cuyo caso el índice suele omitirse. La raízde índice tres se llama cúbica; la de índice cua-tro, cuarta; la de índice quinto, quinta y asísucesivamente.

La radicación sólo es exacta si el radicando a es una potencia de exponente n del número b: b = na ⇒ bn = a. Si esto no ocurre, al efec-tuar la raíz, se obtendrá un resto.

Para realizar diversas operaciones hay queseguir el siguiente orden:

1. Efectuar los paréntesis.2. Efectuar las potencias y raíces.3. Realizar las multiplicaciones y divisiones.4. Efectuar las sumas y restas.

• Si dos operaciones son del mismo nivel, seefectúan de izquierda a derecha. Por ejemplo:

200 – (32 + 4) · 5 = 200 – (9 + 4) · 5 == 200 – 13 · 5 = 200 – 65 = 135

La fosa de las Marianas es el fondo marino másprofundo de nuestro Planeta. Está situada a –11.250 m,

es decir, a 11.250 m por debajo del nivel del mar.En parajes muy fríos el termómetro marca cantidades

negativas, que expresan que la temperatura está por debajo de cero grados.

757

–30

01020304050

30

01020304050

–20

-10–10

–10–20

Regla de los signos para la multiplicación

y para la división de números enteros.

Fosa de lasMarianas–11.250 m

Everest8.848 m

758


Divisibilidad y Números Racionales

En una ginkana escolar cada equipo que participa consta de cinco jugadores

¿Cuántos jugadores habrá, si juegan diez equipos? ¿Cuántos, en cambio, si compiten once equipos?

La respuesta es la siguiente:Si juegan diez equipos:

10 · 5 = 50 participantes.Si juegan once equipos:

11 · 5 = 55 participantes.Los números 50 y 55 son múltiplos de 5.

Por su parte, 50 es múltiplo de 10, pero no lo es de 55.En cuanto al número 55 lo es de 11, pero no de 10.

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Se dice que un número entero a es múltiplo de un número ente-ro b cuando existe un número entero c tal que a = b · c. Por ejem-plo, si se dispone de una docena de huevos, ésta se podrá enva-sar en dos cajas de seis huevos, ya que doce es múltiplo de seis:12 = 6 · 2. En cambio no se podrá envasar en cajas de cinco hue-vos, ya que doce no es un múltiplo de cinco. En efecto, no exis-te ningún número entero que multiplicado por cinco resultedoce.

Si a es un múltiplo de b, se dice también que b es un divisorde a. En el ejemplo anterior, 6 es un divisor de 12.

Si un número a es un múltiplo de b, la división de a entre b esexacta, mientras que, si no lo es, al dividir se produce un restodistinto de cero.

Se dice que un número es primo si sólo tiene dos divisores: el mismo número y la unidad. Porejemplo, el número 13 es primo, ya que sólo es divisible entre 13 y entre 1. En cambio 12 no esprimo, ya que, además del 1 y del 12, tiene otros divisores como por ejemplo el 2. Para saber si unnúmero es divisible entre otro se pueden aplicar los criterios siguientes:

Eratóstenes ideó el primer procedimiento paraencontrar números primos: su famosa criba.Consiste en ir tachando los números de dos en dos, ya que los números 4, 6, 8, …, son múltiplos de dos, luego de tres en tres, etc. Los que quedan al final, son primos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

60595857565554535251

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 9089

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Descomposición en factores primos.

60

30

15

5

2

2

3

1

5

18

9

3

1

2

3

3

18 = 2 · 32 60 = 22 · 3 · 5

• El 1 es un divisor de cualquier número.• Un número es divisible entre 2 si acaba en cero

o en una cifra par.• Un número es divisible entre 3 si la suma de

sus cifras lo es.• Un número es divisible entre 5 si acaba en cero

o en cinco.• Un número es divisible entre 11 si la suma de

sus cifras que ocupan posición par menos lasuma de sus cifras que ocupan posición imparresulta cero o un múltiplo de 11.

Con cualquier otro número se realizará ladivisión y se comprobará si el resto es cero.

Se llama máximo común divisor de dosnúmeros al mayor de sus divisores comunes. Parahallar el máximo común divisor de 18 y 60, porejemplo, se efectúan las siguientes operaciones:

1. Descomponer los números en factores pri-mos, como se observa en la figura.

2. Tomar los comunes con su menor exponente:m.c.d. (18, 60) = 2 · 3 = 6.

matemáticas • Divisibiilidad y Números Racionales

Se llama mínimo común múltiplo de dos númerosal menor de sus múltiplos comunes. Para hallar elmínimo común múltiplo de 18 y 60 se efectúan lasoperaciones siguientes:

1. Descomponer los números en factores primos.2. Tomar todos los factores no comunes y de los

comunes únicamente los que tienen mayor expo-nente: m.c.m. = (18, 60) = 22 · 32 · 5 = 180.

Si a una parada de autobuses llegan los de cierta líneacada 8 minutos y los de otra cada 6 y en un determinado

momento coinciden dos de ellos, para saber cuándose dará otra coincidencia basta con calcular el

mínimo común múltiplo de 8 y 6, que es 24 minutos.

NÚMEROS RACIONALES

En el conjunto de los núme-ros enteros no siempre esposible efectuar ladivisión exacta. Parasolucionar este proble-ma, es necesario ampliarel conjunto de númeroscon el que se trabajamediante el siguienteproceso:

1. Se define una fracción como unpar de números enteros tal que el segundo esdistinto de cero. En el siglo XIII Fibonacciintrodujo en Europa las formas que hoy se uti-lizan para escribir dicho par de números:

a––– o bien a/bb

El número b ≠ 0 recibe el nombre de denomi-nador e indica el número de partes en las quese divide la unidad. El número a es el nume-rador e indica cuántas de esas partes setoman. Así, por ejemplo, la fracción 4/5 indi-ca que se divide la unidad en cinco partes yse toman cuatro de ellas.

2. Se dice que dos fracciones a /b y c /d son equi-valentes si a · d = b · c. Por ejemplo: 3/4 y 12/16son equivalentes, ya que 3 · 16 = 4 · 12 = 48.

3. El conjunto de todas las fracciones equivalen-tes entre sí constituye un número racional.

La suma y la resta de fracciones sólo puedenefectuarse si previamente las dos fraccionesse han convertido en fracciones equivalentescon denominador común:

3 1 9 2 11––– + ––– = ––– + ––– = –––4 6 12 12 12

La duración de cada una de las notas musicales es unafracción. Así por ejemplo, la duración de una corchea es

1/4 de la de una blanca y 1/2 de la de una negra.

759

Frecuencia de Llegada Mínimo Común Múltiplo

Autobús 17 8 m

Autobús 64 6 m

16

12 18

2 3 4

3224

24

La multiplicación, en cambio, puede efectuar-se directamente:

–1 –7 7––– · ––– = –––5 3 15

La división de fracciones consiste en multi-plicar la primera por la inversa de la segunda:

3 4 3 5 15––– : ––– = ––– · ––– = –––2 5 2 4 8

Nuestro sistema de numeración es decimal, porquetenemos diez dedos en las manos y este es el

instrumento que empleaban nuestros antepasadospara contar. Ahora bien, diez es un número

defectuoso, ya que la suma de sus divisores menoresque él es menor que diez. En cambio, doce es un número

abundante, ya que 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, que es mayor que doce. Según los expertos, si en las manos,

tuviéramos doce dedos, las matemáticas se habríandesarrollado más rápidamente.

Como ya se ha explicado anteriormente, la potenciaciónes una multiplicación repetida. Por ejemplo:34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 en donde 3 es la base y 4 elexponente, es decir que 81 es la cuarta potencia de 3.Si el exponente es 2, es decir, cuando se trata de lasegunda potencia de la base se suele decir que estamoshallando el cuadrado de la base.Así el cuadrado de 5 será 52 = 5 · 5 = 25. Si la base es positivael resultado también lo será. Si la base es negativa cabeconsiderar dos casos: si el exponente es par el resultado tendrásigno positivo y si el exponente es impar el resultado tendrá signo negativo.

Al trabajar con potencias de base entera, hay queaplicar la regla de los signos. Si el exponente espar, el resultado es positivo. Por ejemplo: (–7)2 == (–7) · (–7) = +72. En cambio, si la potencia esimpar, el resultado es negativo. Por ejemplo:(–7)3 = (–7) · (–7) · (–7) = –73.

760


Algunos organismos se reproducen porbipartición. El número de ellos que se ha

producido al cabo de un cierto tiempo es una potencia de dos.

El número de casillas de un tablero

de ajedrez es 82 = 64.

Por ejemplo:

(5 · 3)2 = (5 · 3) · (5 · 3) = 5 · 5 · 3 · 3 = 52 · 32

• Lo mismo sucede con un cociente:

a n an

–– = –––b bn

Por ejemplo:

2 3 2 2 2 2 · 2 · 2 23

–– = –– · –– · –– = ––––––– = –––5 5 5 5 5 · 5 · 5 53

POTENCIAS CON EXPONENTE NATURAL

La potenciación de números naturales tiene las propiedades siguientes:

• Para multiplicar dos potencias de la mismabase se suman los exponentes: an · am = an + m.Por ejemplo: 42 · 43 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 45.

• Para dividir dos potencias de la misma base serestan los exponentes:

an––– = an – mam

45 4/ · 4/ · 4/ · 4 · 4Por ejemplo: ––– = ––––––––––––– = 4243 4/ · 4/ · 4/

• Para elevar una potencia a otra potencia semultiplican los exponentes:

(an)m = an · m

Por ejemplo:

(42)3 = (42) · (42) · (42) = 42 + 2 + 2 = 42 · 3 = 46

• Para elevar un producto de diferentes númerosa un mismo exponente se eleva cada factor:

(a · b)n = an · bn

POTENCIAS CON EXPONENTE ENTERO

Al dividir dos potencias de exponente naturalpuede surgir un exponente entero:

42–––– = 42 – 5 = 4–345

Pero, por otra parte, se deduce que:

Potenciación y Radicación

42 4/ · 4/ 1 1––– = –––––––––––– = ––––––– = –––45 4/ · 4/ · 4 · 4 · 4 4 · 4 · 4 43

La conclusión que se extrae de esta operación es que

1a –n = –––an

También puede ocurrir, si los exponentes soniguales, que el exponente del resultado sea cero:

42––– = 42 – 2 = 4042

Pero, como al dividir dos números iguales resulta1, se llega a la conclusión de que a0 = 1.

matemáticas • Potenciación y Radicación

POTENCIASCON EXPONENTE RACIONAL

Al trabajar con números racionales, las potencias deexponente racional pueden dar lugar a radicales: a1/n =na.

Así, por ejemplo, la raíz cuadrada de cuatro es dos, ya quedos multiplicado por sí mismo da como resultado cuatro. Pero,

por otra parte, 41/2 · 41/2 = 41/2 + 1/2 = 41 = 4. Es decir, al multiplicar41/2 por sí mismo también da como resultado 4. Por tanto, se deduce que 41/2 = 4 .

Los radicales tienen, pues, una serie de propiedades que se pueden deducir del hecho de que sonun caso particular de potencias:• Un radical que contenga un producto se puede

descomponer en el producto de dos radicalesdel mismo índice:

na · b = (a · b)1/n = a1/n · b1/n = na · nb

• Lo mismo ocurre con un radical que conten-ga una división.

a na n—– = ––––b nb

16 16 4Por ejemplo: —– = –––– = ––9 9 3

• Para elevar un radical a una potencia se elevasimplemente el radicando. Por ejemplo:

(35 )2= 35 · 35 = 35 · 5 =

=352 = (52)1/3 = 52 · 1--3 = 52/3

En general:

(na )m= na m = am /n

Cuando se exploran cantidades muy pequeñas (como en elcaso de este microscopio electrónico) o muy grandes, hay que expresar los resultados utilizando la notación

científica, es decir, mediante un número seguido de unapotencia de base diez y cuyo exponente puede ser

positivo o negativo.

Conocido el volumen

de un dado,la longitud

de sus aristas secalcula mediante

una raíz cúbica.

• Para hallar un radical de otro radical se multi-plican los dos índices:

nma = n · ma

Por ejemplo:346 = (46 )1/3 = (61/4)1/3 =

= 61–4 · 1–3 = 61/12 = 126

Se llama racionalización al proceso mediante elcual se transforma una fracción cuyo denomina-dor es un radical en otra equivalente sin radica-les en el denominador. Por ejemplo:

1 1 · 3 3 3––– = –––––––– = ––– = –––3 3 · 3 9 3

Las calculadoras de bolsillo disponen de teclas que permiten el cálculo de la

raíz cuadrada y de la raíz cúbica. Para el resto de las raíces tenemos

que utilizar la tecla x1/y.

761

EXPRESIÓN DECIMALDE UN NÚMERO RACIONAL

El descubrimiento de la expresión decimal de unnúmero racional fue una obra colectiva que llevómucho tiempo y que culminó en el siglo XVI,cuando Stevin desarrolló las fracciones decima-les, es decir, las fracciones cuyo denominador esuna potencia de diez. El uso de dichas fraccionesequivale a dividir la unidad en diez, cien, mil, ...,partes y es la base de la representación decimalde los números menores que la unidad.

Al realizar la división del numerador de unafracción entre su denominador pueden darsecuatro casos:

• Que el resultado de la división sea un númeroentero. Por ejemplo:

–8––– = –42

• Que el resultado sea un número decimal exac-to, es decir, un número con una cantidad fini-ta de cifras decimales. Por ejemplo:

7––– = 1,754

• Que el resultado sea un número decimalperiódico puro, es decir, un número con infi-nitas cifras decimales que se repiten de formaperiódica. Por ejemplo:


Números RealesA los números naturales les añadimos

los negativos para dar lugar a los enteros.Los enteros, a su vez, se amplían con los números

decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos,para dar lugar al conjunto de los números racionales.Finalmente a estos últimos se les añaden los irracionales

o números decimales no periódicos,para formar el conjunto de los números reales.En muchos países, sobre todo en aquellos cuya moneda

es alta, se utilizan monedas fraccionarias, céntimos,centavos, etc., cuyo valor es una fracción decimal del valor de la unidad monetaria correspondiente.

1Así, por ejemplo, 1 centavo = ––––– $ = 0,01 $

100 Al utilizarinstrumentosde medida

cometemos unerror que

siempre esmenor que la división máspequeña de la unidad que

dicho instrumento puedecaptar. Así, por ejemplo, al medir con un metro subdivididoen centímetros, el error que cometemos es como máximo de

nueve milímetros y, por tanto, menor que un centímetro.

513––––– = 5,18181818…99

Este número se escribe abreviadamente así:5,18– . En este caso 18 es el período.

• Que el resultado sea un número decimalperiódico mixto, es decir, un número con unconjunto finito de cifras decimales, denomi-nado anteperíodo, seguido de un período quese repite indefinidamente. Por ejemplo:

32.821––––––– = 72,935555…450

que se escribe abreviadamente 72,935–

Recíprocamente, dado un número decimal per-teneciente a una de las cuatro clases anteriores,puede obtenerse su fracción generatriz pormedio de la siguiente regla: a la parte enteraseguida del anteperíodo y de un período se leresta la parte entera seguida del anteperíodo yse divide el resultado entre tantos nueves comocifras tenga el período, seguidos de tantos ceros

762

matemáticas • NÚmeros Reales

como cifras tenga el anteperíodo. Por ejemplo,la fracción generatriz del número

1.093 – 109 821,093– es ––––––––––– = ––––900 75

En el caso de que el número sea periódico puro,se tendrá que omitir lo referente al anteperíodo.Por ejemplo, la fracción generatriz del número

84 – 8 768,4– es –––––– = –––9 9

NÚMEROS IRRACIONALES

Desde hace miles de años, se sabe que existen númerosdecimales que no son ni exactos ni periódicos, comopor ejemplo el número π = 3,14159…, que surge aldividir la longitud de una circunferencia entre la de sudiámetro; el número 2 = 1,414213…, que aparece alcalcular la diagonal de un cuadrado de lado uno, o númeroscaprichosos como el número 1,01001000100001… Este tipode números reciben el nombre de irracionales.

La unión de los racionales y los irracionales da lugar al con-junto de los números reales. Un número real puede definir-se como el límite de dos sucesiones convergentes de números raciona-les: la de sus aproximaciones decimales por defecto y la de sus aproxi-maciones decimales por exceso.

En el caso del número π, por ejemplo, si se tomacada vez una cifra decimal más, se obtiene la

sucesión: 3; 3,14; 3,141; 3,1415;… Se tratade una sucesión creciente cuyos términos

son siempre menores que el verdaderovalor de π. En cambio, si se toman lasaproximaciones por exceso, se obtiene lasucesión: 4; 3,15; 3,142; 3,1416;… Se trata de una sucesión decrecientecuyos términos son siempre mayoresque el verdadero valor de π. Ambas suce-

siones convergen hacia el único númerocomprendido entre ellas, que es π.

Si el número es decimal exacto, como por ejem-plo 3,2, se puede considerar que se trata de unnúmero periódico de período cero: 3,20– y que,por tanto, su fracción generatriz es:

320 – 32 288 16———— = —— = —–90 90 5

Al estudiar la longitud de una circunferenciao el área de un círculo

surge el número irracional π.

El problema de hallar un cuadrado cuya superficie

midiera el doble que la de otro cuadrado de lado

uno parecía irresoluble hastaque los matemáticos

pitagóricos encontraron una ingeniosa solución

geométrica: el lado del cuadrado mayor

tenía que ser igual a ladiagonal del menor.

La dificultad para resolveraritméticamente este

problema radica en quedicha diagonal tiene que medir, según el

teorema de Pitágoras, 12 + 12 = 2 , que es un

número irracional.

1

2

1

El primer número irracional conocido fue el número áureo, encontrado por los matemáticos de la Grecia antigua que intentaban calcular la relación existente entre la diagonal del pentágono y el lado del mismo. Debe su nombre a la belleza de las figuras geométricasbasadas en él, por lo que ha sido utilizado con frecuencia en la pintura, la escultura, la arquitectura y el diseño, tal como vemos en este grabado de Leonardo da Vinci.

1 + 5Su valor es: = ––––––– ≈ 1,618034…

2

763

764

matemáticas • Aritmética y Cálculo

Sistema Métrico DecimalCon la revolución industrial, los intercambios comercialesrecibieron un fuerte impulso. A finales del siglo XVIII era patente la necesidad de un sistema de medidas universalmente aceptado que facilitara las transacciones internacionales.En 1792 la Academia de Ciencias de París encargó a los científicos Delambre y Mechain la creación de tal sistema de medidas. Eligieron como unidad fundamental una unidad de longitud a la que llamaron metro,vocablo derivado de la palabra griega métron, que significamedida. Definieron el metro como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa porDunkerque y Barcelona.

UNIDADES DE LONGITUD

Los principales múltiplos del metro son: el decá-metro (dam), el hectómetro (hm) y el kilómetro(km). Entre ellos existen las siguientes equiva-lencias:

1 km = 10 hm = 100 dam = 1.000 m

Esto significa que:

1 1 11 m = ––– dam = –––– hm = ––––– km10 100 1.000

Estas equivalencias también se pueden expresarcon números decimales:

1 m = 0,1 dam = 0,01 hm = 0,001 km

La Conferencia Internacional de Pesas y Medidas,celebrada en París en 1889, aprobó el uso del sistema métrico decimal,

que tenía cinco tipos de unidades:de longitud, de superficie, de volumen, de capacidad y de masa, cuyos múltiplos y submúltiplos son

potencias de diez. Asimismo, decidió construir el metro patrón, una varilla de platinoiridiado que a cero grados centígrados mide exactamente un metro

y que actualmente se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de Sèvres.

Los principales submúltiplos del metro son: eldecímetro (dm), el centímetro (cm) y el milíme-tro (mm). Entre ellos existen las siguientes equi-valencias:

1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm

En orden inverso esto queda:

1 1 11 mm = ––– cm = –––– dm = ––––– m10 100 1.000

Utilizando números decimales, estas equivalen-cias se expresan:

1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m

Unidad Equivalencia

Megametro

Gigametro

1Mm = 106 metros

Terametro

1Gm = 109 metros

1Tm = 1012 metros

El uso generalizado de computadorasha puesto de moda los prefijos que seemplean en el sistema métrico decimal

para las unidades grandes: mega (106),giga (109) o tera (1012). Pero, hay que

tener en cuenta, que, si bien ungigametro equivale exactamente a mil

millones de metros, un gigabyte no es exactamente 109 bytes.

La razón radica en que, debido a que el usodel sistema de numeración binario está muyextendido en computación, se ha sustituido

la potencia 103 = 1.000 por la potencia de dos máscercana, que es 210 = 1.024.

matemáticas • Sistema Métrico Decimal

UNIDADES DE SUPERFICIE

La unidad fundamental de superficie es el metrocuadrado, que se define como la superficie de uncuadrado de un metro de lado y que se escribeabreviadamente (m2). Los múltiplos del m2

aumentan de cien en cien, mientras que sus sub-

múltiplos también disminuyen de cien en cien,por lo que, utilizando notación científica, sepuede escribir:

1 km2 = 102 hm2 = 104 dam2 = 106 m2

1 mm2 = 10–2 cm2 = 10–4 dm2 = 10–6 m2

UNIDADES DE VOLUMEN

La unidad fundamental de volumen es el metrocúbico, que se define como el volumen de uncubo cuya arista mide un metro y que se escribeabreviadamente m3. Los múltiplos del m3

aumentan de mil en mil y sus submúltipos dis-minuyen de mil en mil:

1 km3 = 103 hm3 = 106 dam3 = 109 m3

UNIDADES DE CAPACIDAD

La unidad fundamental de capacidad es el litro (l), que sedefine como la capacidad de un depósito de un dm3 de volumen. Sus principales múl-tiplos son el decalitro (dal) , el hectolitro (hl) y el kilolitro (kl), que aumentan de diez

en diez. Sus principales submúltiplos son el decilitro (dl), el centili-tro (cl) y el mililitro (ml), que disminuyen de diez en diez.

UNIDADES DE MASA

La unidad fundamental de masa es el gramo (g), que equivale a la masade un mililitro de agua destilada a 0 °C de temperatura. Sus principales múltiplos son el decagramo(dag), el hectogramo (hg) y el kilogramo (kg). Sus principa-les submúltiplos son el decigramo (dg) , el centigramo (cg)y el miligramo (mg), que aumentan y disminuyen de diezen diez.

El volumen de un contenedor se expresa en metros cúbicos.

Unidades de masa para cargas pesadas

Unidad Equivalencia

Quintal métricoTonelada métrica

1 q = 100 kg1 t = 1.000 kg

Unidades agrarias

Unidad Equivalencia

Hectárea

Área

1 ha = 1 hm2

1 a = 1 dam2

Centiárea 1 ca = 1 m2

Unidades anglosajonas

Unidad Masa

1 milla = 1.609,35 m

Capacidad

1 yarda = 0,9144 m

1 pie = 0,3048 m

1 pulgada = 0,025 m

1 galón US = 3,7854 l

1 pinta US = 0,47312 l

1 bushell US = 35,237 l

1 peck US = 8,80925 l

1 libra US = 0,45359 kg

1 onza US = 0,028349 kg

1 libra Troy= 0,37324 kg

1 onza Troy = 0,031103 kg

Además de las unidades del sistema métrico decimal, hoy aceptadas universalmente, se siguen utilizando también estos otros sistemas de medida.

765

La capacidad de los envases

de bebidas seexpresa en centilitros.

Un polinomio de grado n en la variable x es una expresión de la forma:

P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + … + a2x2 + a1x + a0,

donde a1, a2, …, an son números reales que reciben elnombre de coeficientes. Por ejemplo, en el polinomioP(x) = –4x3 + 3x2 + 2x – 1, los coeficientes son losnúmeros –4, 3, 2 y –1.

El algoritmo del matemático italiano Paolo Ruffini (1765-1822) nos permite efectuar rápidamente la división entre x – 3. Comenzamos bajando el –5 y lo multiplicamos por 3, el resultado, –15, se lo sumamos a –2. Volvemos a multiplicar –17 por 3 y sumamos el resultado a 1 y así sucesivamente.

matemáticas • Análisis

Con los polinomios se pueden realizar diferen-tes operaciones:

• Para sumar o restar polinomios hay que agru-par previamente los términos del mismogrado. Por ejemplo, si

P(x) = –2x + 3 y P(x) = x3 + 4x – 2 ⇒⇒ P(x) + Q(x) = x3 + (4x – 2x) + (3 – 2) =

= x3 + 2x +1

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Polinomios

5 2 1 1 2

3 15 51 150 453

5 17- 50 151 451

• Para multiplicar polinomios se aplica la pro-piedad distributiva. Por ejemplo:

P(x) · Q(x) = (–2x + 3) · (x3 + 4x – 2) == –2x · x3 – 2x · 4x – 2x · (–2) + 3x3 + 3 · 4x +

+ 3 · (–2) == –2x4 + 3x3 – 8x2 + 4x + 12x – 6 = –2x4 +

+3x3 – 8x2 + 16x – 6

• Para dividir dos polinomios se va multiplican-do cada término del cociente por el divisor yse le resta al dividendo.

Se atribuye a Ruffini el descubrimiento de unalgoritmo que facilita la división de dos poli-nomios cuando el divisor es de la forma x – a.En la figura se observa cómo se efectúa, apli-cando el algoritmo de Ruffini, la división delpolinomio D(x) = –5x4 – 2x3 + x2 – x + 2 entred(x) = x – 3.

El cociente es c(x) = –5x3 – 17x2 – 50x – 151y el resto es r = –451.

Conocida la cantidad de alumnos matriculados en una universidad a lo largo de seis años

consecutivos, podemos obtener un polinomio interpoladorde quinto grado que nos permita vaticinar la matrícula

de dicha universidad en los años sucesivos.

TEOREMA DEL RESTO

El teorema del resto dice que el resto de la divi-sión de un polinomio P(x) entre x – a coincidecon el valor P(a) que se obtiene al sustituir elnúmero a en el polinomio. Esto significa que, enel ejemplo anterior, al sustituir el valor x = 3 en el polinomio D(x), se obtiene como resulta-do –451.

El teorema del resto tiene fundamentalmentedos aplicaciones:

1. Permite obtener, en algunos casos, las solu-ciones de una ecuación polinómica del tipoanxn + an – 1xn – 1 + … + a2x2 + a1x + a0 = 0. Paraello se va probando con diversos valores hasta

766

matemáticas • Polinomios

BINOMIO DE NEWTON

El desarrollo de la expresión (x + y)5 da un polinomiode quinto grado en las variables x e y. Multiplicar x + ycinco veces por sí mismo es una tarea larga y engorrosa que puede simplificarse mediante el algorit-mo denominado binomio de Newton:

n n n n n(x + y)n = · xn + · xn – 1 · y + · xn – 2 · y 2 + … + · x · y n – 1 + · y n0 1 2 n – 1 n

En el ejemplo sería:

5 5 5 5 5 5(x + y)5 = · x5 + · x4 · y + · x3 · y 2 + · x2 · y 3 + · x · y4 + · y 50 1 2 3 4 5

Nótese que:

• Los exponentes de la x van disminuyendo de uno en uno, mientras que los de la y van aumentan-do de uno en uno.

• La suma de los exponentes de la x y de la yes siempre 5.

Los números combinatorios pueden obtener-se en la quinta fila del triángulo de Tartaglia,con lo que el ejemplo toma la forma:

(x + y)5 = x5 + 5 · x4 · y + 10 · x3 · y 2 +

+ 10 · x2 · y3 + 5 · x · y4 + y5

Para potencias de exponente elevado, es más conveniente calcular los númeroscombinatorios directamente. Por ejemplo:

12 12! 12! = ––––––––––– = –––––– =3 3! · (12 – 3)! 3! · 9!

12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1= ––––––––––––––––––––––––––––––––– =3 · 2 · 1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

12 · 11 · 10= –––––––––– = 2203 · 2 · 1

que el resto de la división salga cero. Cuando esto se lograpara un determinado valor de x – a, es posible asegurarque x = a es una de las soluciones buscadas,ya que, aplicando el teorema del resto, P(a) = 0y, por tanto, el valor a cumple la ecuación.

2. Permite la descomposición de un polinomio enfactores primos, que bien son números cons-tantes bien polinomios de primer grado.Por ejemplo, como se observa en la figura, elpolinomio –4x3 + 28x –24 se puede descom-poner en el producto –4(x – 1) · (x – 2) · · (x + 3), ya que las soluciones de la ecuación–4x3 + 28x –24 = 0 son x = 1, x = 2 y x = –3.

4 0 28 24

1 4 4 24

4 4 24 0

2 8 24

4 12 0

3

4 0

Soluciones

Coeficiente

Restos

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

El triángulo de Tartaglia(que recibe el nombredel apodo –en italiano,tartamudo– con que eraconocido el matemáticoNicolò Fontana, 1499-1557) permitecalcular rápidamente números combinatorios no muy elevados. Obsérvese que cada número es la suma de los dos situados encima de él.

767

Resolución de la ecuación–4x3 + 28x + –24 = 0

y descomposición factorial del polinomioP(x) = –4x3 + 28x + –24 aplicando

el algoritmo de Ruffini.


Sucesiones

Progresión aritmética

Un caso particular de sucesión es la progresiónaritmética, que se caracteriza porque la diferen-cia entre sus términos, d, es siempre la misma:an – an – 1 = d. El término general de una progre-sión aritmética es an = a1 + (n – 1) · d. Por ejem-plo, los números impares, 1, 3, 5, 7, … formanuna progresión aritmética cuya diferencia es 2 ycuyo término general es an = 1 + (n – 1) · 2 ⇒⇒ an = 1 + 2n – 2 ⇒ an = 2n – 1.

La suma de n términos de una progresiónaritmética se calcula multiplicando la media delprimero y el último por el número de términos:

a1 + anSn = –––––– · n2

• Utilizando una fórmula que permite calcularcualquiera de sus términos. Dicha fórmula seescribe an y se denomina término general. Así,por ejemplo, dado el término general

2n + 5an = –––––––n – 11

el término vigésimo valdrá:

2 · 20 + 5 45a20 = ––––––––– = ––– = 520 – 11 9

• Empleando una ley de recurrencia que permi-ta expresar el valor de cualquiera de sus tér-minos en función de los anteriores. La suce-sión 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, …, por ejemplo,cumple dos condiciones:1. Sus dos primeros términos valen dos:

a1 = a2 = 2.2. Cada término es la suma de los dos ante-

riores: an = an – 1 + an – 2.

Una sucesión es una función tal que a cada númeronatural le asocia un número real. Se obtiene así unconjunto ordenado e infinito de números realesque reciben el nombre de términos. La imagen del 1 es el primer término de la sucesión, que seescribe como a1; la imagen del 2 es el segundotérmino de la sucesión, que se escribe como a2,y así sucesivamente. Una sucesión puededeterminarse de dos formas:

Leonardo de Pisa (1170-1250), conocido por su

seudónimo Fibonacci, fue elmatemático más importante

del siglo XIII. Uno de sus hallazgos másfamosos es la sucesión que lleva su nombre.Sus dos primeros términos valen uno y cada

uno de los demás es la suma de los dosanteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Muchos fenómenos se adaptan al modelo de lasucesión de Fibonacci, como por ejemplo

el crecimiento del Nautilus pompilus.

La palabra cálculo deriva del latín calculus,que significa piedra. De hecho nuestros

antepasados utilizaban pequeñas piedraspara representar a los números.

Los Pitagóricos, por ejemplo, representaronde esta manera sucesiones

de números que llamaron triangulares (1, 3, 6, 10…); cuadrangulares

(1, 4, 9, 16…); pentagonales (1, 5, 12, 22…); etc.

Números triangulares

Por ejemplo, para calcular la suma de los cienprimeros números impares, se debe trabajar dela siguiente manera:

1. Del término general de la progresión se obtie-ne el valor del último término que se deseesumar: an = 2n – 1 ⇒ a100 = 2 · 100 – 1 = 199,es decir, el centésimo impar vale 199.

2. Se aplica la fórmula:

a1 + a100 1 + 199S100 = –––––––– · 100 = –––––––– ·2 2

· 100 = 10.000

768

PROGRESIONES

matemáticas • Sucesiones

Progresión geométrica

Otro caso particular de sucesión es la progresióngeométrica. Se trata de una sucesión tal que cadauno de sus términos se puede obtener multipli-cando al anterior por una cantidad constante,denominada razón de la progresión:

an = r · an – 1

Su término general es

an = a1 · r n – 1

El economista inglés Thomas Malthus (1766-1834) pronosticó que, mientras la producción dealimentos crece en progresión aritmética, lapoblación crece mucho más vertiginosamente,ya que lo hace en progresión geométrica. Se-gún esta teoría, la propia naturaleza se encargade frenar el crecimiento demográfico a cau-sa del hambre y las enfermedades que se produ-cen cuando la población supera los recursos disponibles. Pero no todas las progresiones geo-métricas crecen de forma desorbitada:

• Si la razón r es un poco mayor que uno, la pro-gresión crece moderadamente. Por ejemplo,un fenómeno que crezca un 3 % anual, sigueuna progresión geométrica de razón r = 1,03.

• Si r = 1 , la progresión se mantiene constante.• Si r está comprendido entre cero y uno, la pro-

gresión es decreciente.

La suma de n términos de una progresión geo-métrica se calcula mediante la fórmula:

a1 – an · rSn = —————1 – r

La suma de los infinitos términos de una pro-gresión geométrica decreciente se halla calcu-lando el límite siguiente:

a1 – an · r a1S = limn→∞

————– = ——–1 – r 1 – r

ya que, al ser una progresión geométrica decre-ciente, su término general tiende a cero.

Las paradojas de Zenon han traído de cabeza a filósofos y matemáticos durantecientos de años. En una de ellas se vale de Aquiles, un héroe de la mitología

griega, para demostrar que el movimiento no existe, sino que es un engaño de nuestros sentidos.Según la paradoja, el veloz Aquiles no puede alcanzar

nunca a una tortuga, ya que, si cuando el héroe arranca del punto A',la tortuga está en T', cuando Aquiles logre llegar a A'', la tortuga

estará en T''; cuando Aquiles llegue a A''', la tortuga estará enT''' y así sucesivamente.Hoy sabemos que para intentar poner algo de luz en estemisterio, hay que recurrir a la fórmula de la suma de los infinitos

términos de una progresión geométrica decreciente.

Una leyenda hindú cuenta que un rey convocó un concurso de juegos entre sus súbditos. El rey encontraba aburridos todoslos juegos que los concursantes inventaron hasta que unsabio le mostró el ajedrez. El rey quedó tanentusiasmado con este juego que le dijo al sabio«pídeme lo que quieras y te lo concederé». El sabiosólo le pidió una cosa: que depositara un grano detrigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatroen la tercera, ocho en la cuarta, dieciséis en laquinta y así sucesivamente. El rey se sorprendiómucho de que el sabio pidiera tan poca cosa, pero cuandointentó cumplir su palabra, no había en todo el reino granosuficiente. La cantidad final ascendía a:9.223.372.036.854.780.000.

AI AII

T I

AIII

T II T III

AIV

769

256 512 1024 2048 4096 8192 16.384 32.7681286432168421

El dinero depositado en una entidad bancaria,llamado capital, produce a lo largo del tiempouna cantidad de dinero, que se denomina inte-rés. Este proceso recibe el nombre de capitali-zación.

Si el capital depositado en el banco producecada año un porcentaje constante, llamado rédi-

770


Matemática FinancieraUn robot, dedicado al control de calidad, es capaz

de examinar 3.000 envases en una hora, ¿cuántos puedeexaminar en diez minutos? En este problema se trabaja condos magnitudes: la cantidad de artículos examinados por el

robot y el tiempo empleado en esta tarea. Si el robot empleael doble de tiempo, podrá comprobar la calidad del doble de

envases, mientras que si emplea la mitad de tiempo,examinará la mitad de envases.

Cuando multiplicamos por un número a una magnitud, laotra queda multiplicada por el mismo número,

por lo que se puede decir que ambasmagnitudes son proporcionales.

Se denomina razón alcociente de dos númerosy proporción a la igual-dad de dos razones. Eltanto por ciento es uncaso particular de razón.Por ejemplo,

88 % = ——–100

Para aplicar un tanto porciento a una cierta can-

tidad es preciso plantear una proporción. Porejemplo, el 8 % de 5.000 euros es una cantidadx tal que:

8 x 8—— = ——— ⇒ x = —— · 5.000 =100 5.000 100

= 0,08 · 5.000 = 400 euros

En la época de rebajas los grandesalmacenes ofrecen sus productos con un

tanto por ciento de descuento.

Es decir, el 8 % de un número es el resultado demultiplicar por 0,08.

Para calcular el precio de un producto que ori-ginariamente valía 5.000 euros cuando se le apli-ca un 8 % de descuento, se pueden hacer doscosas:

• Calcular primero el 8 % de 5.000 y restárseloa 5.000, con lo que resulta: 5.000 – 400 = = 4.600 euros.

• Considerar que, si de cada 100 pesetas se des-cuentan 8, sólo hay que pagar 92, con lo queresulta: 0,92 · 5.000 = 4.600 euros.

Por el contrario, un aumento del 8 % equivale al100 % más de 8 %, es decir, al 108 %. Por tanto, para calcular el precio final de un produc-to que originariamente valía 5.000 euros,al aplicarle un 8 % de aumento se realizará: 1,08 ·5.000 = 5.400 euros.

to, se dice que se ha colocado a interés simple.En este caso, el interés producido se calculamediante la fórmula:

I = C · r · t

Por ejemplo, un capital de dos millones de euroscolocado a un 3 % de interés simple durante diez

Para calcular el preciode un artículo con IVAincluido hay que aplicaral precio original untanto por ciento deaumento.

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

Las entidades financierastrabajan generalmente coninterés compuesto, perodisponen de tablas como lade la figura con el fin defacilitar los cálculos.

matemáticas • Matemática Financiera

años produce: I = 2.000.000 · 0,03 · 10 = 600.000euros, con lo que al final del período se obtienen2.600.000 euros.

Si los intereses producidos en cada período seacumulan al capital para producir intereses en elperíodo siguiente, se dice que la capitalización seefectúa a interés compuesto. En este caso, el capi-tal disponible al final se calcula con la fórmula:

C = c · (1 + r)t

Si el capital del ejemplo anterior se hubierainvertido en las mismas condiciones pero a inte-rés compuesto, se habría convertido en: C = = 2.000.000 · (1 + 0,03)10 = 2.687.832 euros.

Si en lugar de trabajar con períodos anualesse hace con períodos trimestrales, el rédito serála cuarta parte, pero el número de períodos se-rá el cuádruple:

0,03 4 · 10C = 2.000.000 · 1 + –––– = 2.696.6974

En general:

r n · tC = c · 1 + ––n

donde n son los períodos en los que se ha divi-dido el año.

Con esto se llega a la conclusión de que tra-bajando por trimestres, el interés producido esalgo mayor. Cuando los períodos de capitaliza-ción no son anuales, se llama tasa anual equiva-lente (TAE) al rédito que produciría los mismosintereses si éstos se acumularan anualmente.Se calcula mediante la fórmula:

r nTAE = 1 + –– – 1n

En particular:

0,03 4TAE = 1 + –––– – 1 = 0,0303 = 3,03 %4

Es decir, el capital produce la misma cantidad deintereses al 3,03 % anual que al 3 % trimestral.

Cuando se deposita cada año una cantidadconstante, a, llamada anualidad de capitaliza-ción, el capital final es:

a · [(1 + r)t + 1 – (1 + r)]C = –––––––––––––––––––r

Por ejemplo, si se depositan cada año 10.000euros en una entidad financiera, al 2 % anual, alcabo de 20 años se habrán convertido en:

10.000 · [(1 + 0,02)21 – (1 + 0,02)]C = ––––––––––––––––––––––––––––– = 0,02

= 247.833 euros

Si se solicita un préstamo, C, a una entidad ban-caria, la cantidad, a, que hay que devolver anual-mente recibe el nombre de anualidad de amor-tización y se calcula mediante la expresión:

C · r · (1 + r)ta = ––––––––––––(1 + r)t – 1

Por ejemplo, la anualidad de un préstamo de200.000 euros al 3 % en 30 años, es:

200.000 · 0,03 · (1 + 0,03)30a = ––––––––––––––––––––––– = (1 + 0,03)30 – 1

= 10.204 euros

tR

113,23113,92114,61115,30116,00116,70117,40118,10118,81119,52120,23120,94121,66122,38123,10123,82124,55

5,00

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5,255,505,756,006,25

6,756,50

7,007,257,507,758,008,258,508,759,00

Tabla de hipotecas por cada 6.000 euros

96,6397,3398,0398,7399,44

100,15100,86101,58102,29103,02103,74104,47105,20105,93106,67107,41108,15

84,8085,5186,2286,9387,6588,3789,1089,8290,5691,2992,0392,7793,5294,2795,0295,7796,53

75,9676,6877,4078,1278,8579,5880,3281,0681,8082,5583,3084,0684,8285,5886,3587,1387,90

69,1069,8370,5671,2972,0372,7873,5374,2875,0475,8076,5777,3478,1178,8979,6880,4681,26

63,6464,3865,1265,8666,6167,3768,1368,8969,6770,4471,2272,0172,8073,5974,3975,2076,01

59,1959,9360,6861,4462,2062,9763,7464,5265,3066,0966,8967,6968,4969,3070,1270,9471,76

55,4956,2557,0157,7858,5559,3360,1260,9161,7062,5163,3164,1364,9565,7766,6067,4468,28

52,3853,1553,9254,7055,4856,2757,0757,8758,6859,5060,3261,1561,9862,8263,6764,5265,38

49,7350,5151,2952,0852,8753,6854,4955,3056,1256,9557,7958,6359,4860,3361,2062,0662,94

47,4548,2349,0349,8250,6351,4552,2753,0953,9354,7755,6256,4857,3458,2159,0859,9760,86

771


FuncionesConsideremos un rectángulo cuya base

mida 5 cm y cuya altura mida 4 cm; el área de este rectánguloserá 5 · 4 = 20 cm2. Es obvio que si vamos variando la longitudde la base, también variará el área: el valor del área depende de

la longitud de la base. Por tanto, podemos decir que dichadependencia es una función.

OPERACIONES CON FUNCIONES

Una relación entre los elementos de dos conjuntos A y B recibeel nombre de correspondencia. Si a cada elemento de A lecorresponde un solo elemento de B, se dice quese trata de una aplicación. En el caso concreto deque A y B sean subconjuntos de los números rea-les, se tiene una función real de variable real.

Una función manifiesta, pues, la relación existente entre dos magni-tudes que pueden expresarse con números reales. Leibniz (1646-1716)fue el primero que utilizó la palabra función, mientras que Euler (1707-1783) fue el pri-mer matemático que em-pleó el símbolo f(x) con el

que habitualmente se representa una función.Para definir una función se pueden emplear diver-

sos procedimientos:

• Dar una expresión verbal. Por ejemplo, un estudiode arquitectos cobra por realizar una obra de res-tauración de un edificio un 5 % del valor de dichaobra y 2.000 euros fijos por realizar el estudio pre-vio.

• Construir una tabla de valores.• Dibujar una gráfica, como por ejemplo, la que se

representa en la figura.

Año

Tasa de paro%

1987

20,6

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994

19,5 17,3 16,3 17,0 20,1 23,9 24,2

1995 1996 1997 1998 1999 2000

22,8 21,8 20,2 19,9 19,4 20,5

La tabla expresa el porcentaje de personas sin trabajo de un país en función del tiempo, computado como períodos anuales.

Si una función f(x) expresa la cantidad de habitantes de una población en función del tiempo, su función inversa f–1(x)expresará el momento en el que la población alcanzará un valor determinado.

Si una función f(x) expresa la amplitud de una onda sonoraen función del tiempo, su función inversa f–1(x) expresará el

momento en el que la onda tiene una amplitud determinada.

l/100 km

30

20

10

30 60 90 120 150 180 210

y = 300e0,011v—————v

La gráfica expresa el consumo en litros de un automóvil

en función de la velocidad media a la que circuló.

772

• Escribir una fórmula matemática. Por ejemplo:y = 3x – 1.

Si se da una expresión verbal, ésta puede posterior-mente traducirse a una fórmula matemática, en el casodel estudio de arquitectos: y = 0,05x + 2.000, donde lavariable x, denominada variable independiente, expre-sa el valor de la obra en euros y la variable y, llamadavariable dependiente, expresa el precio total de la ope-ración.

También es posible, a partir de la fórmula, obteneruna tabla de valores. Para ello se colocan los valores

que se deseen en la variable independiente y se realizan con ellos las operaciones indicadas en la fór-mula. Por ejemplo, si la obra asciende a 135.000 euros, el estudio de arquitectos cobrará:

y = 0,05 · 135.000 + 2.000 = 8.750 euros

Finalmente, la tabla de valores puede convertirse en una gráfica.Para ello:

1. Se colocan los valores de la tabla correspondientes a la varia-ble x en el eje horizontal.

2. Se colocan los valores de la tabla correspondientes a la varia-ble y en el eje vertical.

3. Por cada valor de x se traza una paralela al eje vertical y por elvalor de y correspondiente una paralela al eje horizontal. El

punto donde se encuentranambas rectas pertenece a lagráfica de la función.

Además de las operaciones tradicionales, como la suma,la resta, la multiplicación o la división de funciones, se puederealizar con ellas una operación que recibe el nombre decomposición. Así, por ejemplo, si componemos las funcionesf (x) = x – 1 y g (x) = x2, se obtienecomo resultado la función g º f (x) = = g[ f (x)] = g (x – 1) = (x – 1)2.

Dada una función f (x), su fun-ción inversa, que se representaf –1(x), es la función que compuestacon ella da como resultado la fun-ción g (x) = x. Así, por ejemplo, lasfunciones f (x) = x3 + 4 y f –1(x) = = 3x – 4 son inversas, ya que:f º f –1(x) = f [ f –1(x)] = f (3x – 4 ) = = (3x – 4 )3 + 4 = x – 4 + 4 = x.

Para que una función pueda tenerinversa, tiene que ser inyectiva.

La función f (x) = x2, por ejemplo, no lo es, ya que dos elementos distintoscomo el 5 y el –5 tienen la misma imagen, el 25. La correspondencia inver-sa no sería una aplicación, ya que enviaría al 25 sobre dos números dife-rentes, el 5 y el –5.

Cuando se componen las funciones f(x) = x – 1 yg(x) = x2, primero actúa la función f(x), que envía el 9al 8, y a continuación la función g(x) actúa sobre el 8 enviándolo al 64.

matemáticas • Funciones

f(x) = + x

f(x) = x2 ; x > 0

La composición de funciones no esconmutativa. En general, g º f(x) ≠ f º g(x),

ya que, si primero actúa la funcióng(x) = x2, enviará al 9 sobre el 81 y, si

después actúa la función f(x) = x – 1,enviará al 81 sobre el 80.

La función f(x) = x3 + 4 envía al 1 sobre el 5. Su función inversa f–1(x) = 3x – 4envía al 5 sobre el 1. Las gráficas de dosfunciones inversas son simétricas conrespecto a la bisectriz del primer cuadrante.

La función f(x) = x2 no tieneinversa. En cambio, si

restringimos la función f(x) alos números reales positivos,su inversa vale f–1(x) = +x .

773

f(x) = x3 + 4

f –1(x) = 3

x – 4

f(x) g(x)

f g(x)

9 81 80

f(x) g(x)

g f(x)

9 8 64


Las funciones lineales son las más utilizadas, ya que se pueden apli-car para relacionar dos magnitudes siempre que éstas sean directa-mente proporcionales, hecho que ocurre muy frecuentemente.

El dinero que se paga al comprar una cierta canti-dad de manzanas, por ejemplo, es directamente pro-porcional a su peso, de forma que, si compramos eldoble, pagaremos el doble, si se compra el triple sepagá el triple, y así sucesivamente. Si un kg de man-zanas cuesta 2 euros, se puede establecer la funciónlineal, y = 2x, donde y expresa el precio de la compraen función de los kilogramos comprados, x.

La gráfica de una función lineal es una recta quepasa por el origen de coordenadas, como se puede comprobar fácilmentedando valores a la variable x, construyendo la tabla correspondiente y repre-sentando los puntos obtenidos.

En general, una función lineal es de la forma y = ax. El parámetro a recibe el nombrede pendiente de la recta e indica el crecimiento que se produce en la variabledependiente, y, cuando la variable independiente, x, crece una unidad.

y = 2x

– 2

– 4

– 1

– 2

x

y

0

0

1

2

2

4

Tabla de valores y gráfica de la función y = 2x.

La pendiente de una recta puede calcular-se de dos formas:

• Si se conocen dos puntos de la recta,aplicando la fórmula:

y2 – y1a = –––––––x2 – x1

Por ejemplo, en el caso de la adquisición demanzanas, si se compra un kg, se pagarán 2 euros y si se compran 4 kg, se pagarán 8.Por tanto, la recta pasa por los puntos (1, 2) y (4, 8). Su pendiente es pues:

8 – 2 6a = –––––– = ––– = 24 – 1 3

• Si se conoce la fórmula de la función lineal,la pendiente es directamente el coeficien-te de la variable x. Por ejemplo, la pen-diente de la recta

1 1y = ––x es ––3 3

Esto significa que, cada vez que la x crecetres unidades, la y crece automáticamenteuna unidad, independientemente de lospuntos que se tomen para analizar dichocrecimiento.

El espacio recorrido por un móvil, que lleva una

velocidad constante durante un ciertotiempo, sigue una función lineal: e(t) = vt.

La pendiente de una carretera indica el cociente entre losmetros que tendríamos que subir en vertical

y los metros que tendríamos que recorrer en horizontal para poder llegar a un mismo punto, partiendo de otro punto común.

774

FUNCIÓN LINEAL


Muchos fenómenos no pueden describirse utilizando funcioneslineales, pero sí funciones afines, cuya fórmula es un polinomio deprimer grado completo:

y = ax + b

Por ejemplo, el salario de un vendedor consta de dos conceptos:una cantidad fija de 1.000 euros y un 3 % del volumen de las ven-tas realizadas. Si se denomina x el volumen de dichas ventas e y elsalario cobrado, se puede establecer la función:

3y = —— x + 1.000100

que es una función afín.

La gráfica de una función afín es también una recta,pero no pasa por el origen de coordenadas, sino por elpunto (0, b). Por este motivo, el parámetro b recibe el nombre de ordenada en el origen.

Al igual que sucedía con la función lineal, el parámetroa de una función afín también se llama pendiente y tieneun significado semejante: indica el crecimiento que se pro-

duce en la variable dependiente, y, cuando la variable independiente, x, crece una unidad. Por ejem-plo, en el caso del vendedor, si un mes determinado no vende nada, cobrará:

y = 0,03 · 0 + 1.000 = 1.000 euros

En cambio, si otro mes vende artículos por valor de40.000 euros, cobrará:

y = 0,03 · 40.000 + 1.000 = 2.200 euros

Esto significa que la recta pasa por los puntos (0, 1.000) y (40.000, 2.200). Su pendiente es, portanto:

2.200 – 1.000 1.200a = ——————— = ———— = 0,0340.000 – 0 40.000

La recta es la única gráfica que tiene un crecimientoconstante, ya que la derivada de la función y = ax + bes un número: y' = a. Esto permite definir el creci-miento de otra curva cualquiera en un punto como lapendiente de su recta tangente en dicho punto.

El valor de una temperatura expresado engrados centígrados está relacionado conel valor de la misma expresado en gradosFahrenheit, mediante la función afín F = 1,8 C + 32. Lo que nos permiteconvertir un valor en otro, sustituyéndoloen la variable correspondiente.

ºC

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

ºF

-22

80

-10010203040506070

90100110

122

775

El precio de un trayecto en taxi puede calcularse mediante la función afín

P = kx + b, donde P es el precio del trayecto, k el precio decada kilómetro, x el número de kilómetros recorridos y b el

precio de la bajada de bandera.

FUNCIÓN AFÍN

La gráfica correspondiente a una funcióncuadrática es una parábola que alcanza un valor máximo, si A es negativo, o un valor mínimo, cuando A es positivo.

776


FUNCIÓN CUADRÁTICA

Las funciones cuadráticas son, después de las lineales yafines, las más utilizadas. Surgen, por ejemplo, cuando unfenómeno se puede expresar como un producto de dosfunciones de primer grado, hecho que sucede con relativafrecuencia.

Así, por ejemplo, una cooperativa agraria tiene almace-nados en este momento 2.000 kg de patatas y el precioactual de la patata es de 0,8 euros/kg. Cada semana quepasa, el precio sube 0,1 euros, pero se estropean 50 kg depatatas. ¿Cómo se puede calcular el momento en el que resulta

más conveniente vender las patatas?Para contestar esta pregunta es preciso

dar los siguientes pasos:

1. Expresar el precio variable de un kg de patatas en función del tiempo ensemanas mediante la función afín: P(t) = 0,8 + 0,1t.

2. Expresar la cantidad variable de patatas en función del tiempo en semanasmediante la función: C(x) = 2.000 – 50t.

3. Calcular el valor de la venta, multiplicando el precio de cada kilogramo porel número de kilogramos vendidos, es decir, multiplicando ambas funciones:

V(t) = C(t) · P(t) = (2.000 – 50t) · (0,8 + 0,1t) = –5t2 + 160t + 1.600

Ahora ya está planteada una función que permite sustituir en la variable t elnúmero de semanas transcurridas para calcular el precio de la venta en esemomento.

La gráfica de esta función es una parábola, como se puede comprobar dandovalores a la variable t, construyendo la correspondiente tabla y representandográficamente los puntos obtenidos.

En general, una función cuadrática es de la forma:

y = Ax2 + Bx + C

y su gráfica es una parábola.Para responder a la pregunta: ¿cuándo es el momento óptimo para vender?,

debe buscarse el valor de la variable t al que corresponde un valor máximo dela variable V. Esto sucede en el vértice de la parábola, que puede obtenerse

mediante la fórmula:

–Bx = ––––2A

La superficie en metros cuadrados de unamancha circular de petróleo cuyo radio

crece a razón de dos metros por minuto,sigue la función cuadrática S(t) = 4πt 2.

En la caída libre de uncuerpo, el espaciorecorrido por el mismodepende del tiempotranscurrido según lafunción cuadrática:

1e(t) = ––– g · t 2

2

y = Ax2 + Bx + Cy = Ax2 + Bx + C

A > 0 A < 0


En el ejemplo, al cabo de

–160t = ———— = 16 semanas2 · (–5)

Además del vértice de la parábola, es interesante calcular los puntosen los que la gráfica de una función cuadrática, y = Ax2 + By + C, cortalos ejes de coordenadas:

• Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas, se sustituye enla función el valor x = 0: y(0) = A · 02 + B · 0 + C = C. El punto decorte es pues el (0, C ).

• Para encontrar los puntos de corte con el eje de abscisas, se sustituyeen la fórmula de la función el valor y = 0, obteniendo una ecuaciónde segundo grado: 0 = Ax2 + Bx + C. Dicha ecuación se resuelvemediante la fórmula

–B B 2 – 4ACx = ————–———–2A

y pueden ocurrir tres casos:1. Que el discriminante, B2 – 4AC, sea positivo. Entonces, la ecua-

ción tiene dos soluciones y el eje horizontal es secante a la pará-bola, cortándola en dos puntos.

2. Que el discriminante sea cero, en cuyo caso la ecuación tiene unasola solución y el eje horizontal es tangente a la parábola, cortán-dola en un único punto.

3. Que el discriminante sea negativo. Entonces, la ecuación no tieneninguna solución y el eje horizontal no corta la parábola.

y = x2 – 3x – 4

x1 x

2

B2 – 4AC > 0

Cuando calculamos los puntos de cortede la gráfica de una función cuadráticacon el eje horizontal pueden sucederestos tres casos.

y = x2 – 8x + 16

x1 = x

2

B2 – 4AC = 0

B2 – 4AC < 0

y = x2 – 4x + 6

777

La velocidad de un coche en el momento de un choque frontal se relaciona

con la altura desde la que debería caer el automóvil para sufrir

los mismos efectos, según la función cuadrática

Nótese que para una velocidad de 100 Km/h

se obtiene una altura superior a los 510 m.

v2h(v) = ——.

2g


FUNCIÓN RACIONAL

Una función racional es aquella cuyaexpresión matemática se expresa comocociente de dos polinomios:

P(x)f (x) = –––––

Q(x)

Así, por ejemplo, los costes fijos de unaempresa (instalación, equipos, etc.)ascienden a 300.000 euros. Cada uni-dad fabricada tiene un coste adicional(materia prima, mano de obra, etc.) de19 euros. Entonces:

• El coste total de fabricación de x unidades ascenderá a:Ct(x) = 300.000 + 19x.

• El coste de cada unidad se puede expresar mediante la función:

300.000 + 19xCu(x) = –––––––––––––x

que es una función racional, ya que es el cociente de dos polinomios, en este caso de primer grado.

En la figura se observa que se trata de una función decreciente, para valores positivos de x, lo quesignifica que a medida que las series de fabricación son más grandes, el coste de cada una de las uni-dades es menor. Esto es lógico, pues los gastos fijos se reparten entre un mayor número de unidades.Por otra parte, se observa que, a medida que la variable x crece, la gráfica se va aproximando a una

asíntota horizontal, la recta y = 19. Esto es debido a que

30.000 + 19xlimx→∞

–—––––––––––– = 19x

25

20

15

10

5

100.000 200.000 300.000 400.000 500.000

Cu(x) = 300.000 + 19x———————x x Cu(x)

1

1.000

10.000

100.000

200.000

500.000

300.019

319

49

22

20,5

19,6

Para diseñar envasescilíndricos con una capacidaddeterminada tenemos quetener en cuenta que a medidaque la superficie de la basecrece, la altura del envasedisminuye en la mismaproporción.

Función de proporcionalidad inversa

Una función racional de gran importancia por las numerosas apli-caciones que tiene es la función de proporcionalidad inversa.Dicha proporcionalidad se da entre dos magnitudes cuando amedida que una crece, la otra decrece en la misma proporción yviceversa.

A modo de ejemplo, se pretende fabricar recipientes cilíndricospara bebidas refrescantes con una capacidad de 33 cl. Como 33 cl = 330 cm3, si se llama x a la superficie de la base de la lata e ya la altura de la misma, su volumen será:

330330 = xy, es decir: y = ––––x

donde la superficie, x, se expresará en cm2 y la altura, y, en cm.Se trata de una función de proporcionalidad inversa al compro-

bar que: y(20) = 16,5, pero y(40) = 8,25. Es decir, si la base de lalata tiene el doble de superficie, la altura de la misma se reduce ala mitad.

Tabla de valores y gráfica de la función racionalque expresa el coste deproducción unitario.

778


En general, una función de proporcionalidad inversa es del tipo:

kf (x) = –––x

En la figura se observa su representación gráfica. Tiene dos asíntotas, lospropios ejes de coordenadas, ya que:

• A medida que la variable x es más positiva, f (x) se mantiene positiva,pero es más pequeña:

klimx→∞

––– = 0+x

• A medida que la variable x es más negativa, f (x) se mantiene negativa,pero es más pequeña en valor absoluto:

klimx→–∞

––– = 0–x

• A medida que la variable x se mantiene positiva, pero es más pequeña, f (x) es mayor:

klimx→0+

––– = +∞x

• A medida que la variable x se mantiene negativa, pero es más pequeña en valor absoluto, f (x) escada vez más negativa:

klimx→0–

––– = –∞x

Hay que tener en cuenta, sin embargo, que en muchas ocasiones la gráfica de una función de pro-porcionalidad inversa se redu-ce al primer cuadrante, ya quelas dos magnitudes que inter-vienen tienen que ser necesa-riamente positivas.

y = k—x

Representación gráfica de la función racional de proporcionalidad inversa.

779

La atracción entre dos planetas esinversamente proporcional al cuadrado

de la distancia que los separa (talcomo se observa en la fórmula del

dibujo). Lo mismo ocurre con laatracción entre dos cargas eléctricas

de distinto signo.

FUNCIÓN IRRACIONAL

Se dice que una función es irracional cuando su variable indepen-diente está afectada por el signo radical. Al hallar la función inver-sa de una función polinómica se obtiene una función irracional.

Para expresar, por ejemplo, la posición en metros, medida desdeel suelo, a la que se encuentra un cuerpo que cae libremente des-de una altura de 80 metros en función del tiempo en segundostranscurrido desde que empieza a moverse se utiliza la fórmula e (t) = 80 – 5t 2.

Pero si, por el contrario, dada una posición, se desea calcular enqué instante el cuerpo la alcanzará, se deberá utilizar la funcióninversa que expresará el tiempo transcurrido en función de la posi-ción:

e = 80 – 5t 2 ⇒ 5t 2 = 80 – e ⇒

80 – e 80 – e⇒ t 2 = –––––– ⇒ t = ––––––5 5

La función obtenida,

80 – et (e) = ––––––5

es una función irracional, puesto que la variable independiente, eneste caso la posición, está afectada por una raíz cuadrada.

Para calcular el dominio de una función irracional, es decir, el conjunto de valores de la variableindependiente que se pueden sustituir en dicha función, es preciso considerar dos casos:

1. Si la variable independiente se encuentra situada bajo una raíz de índice par, hay que tener encuenta que este tipo de raíces sólo puede calcularse si el radicando es positivo. En el ejemplo, paraque esto ocurra, tiene que suceder que 80 – e ≥ 0, lo que significa que la posición en la que se

encuentra el móvil tiene que ser como máximo 80 m. Estoes lógico porque si dejamos caer un cuerpo desde 80 m,nunca podrá estar a 81 metros del suelo.

En la figura se encuentra una tabla de valores y la gráficade la función para 0 ≤ e ≤ 80. Se observa que:

El periodo de un péndulo es el tiempoque emplea en volver al mismo punto amedida que va oscilando. El periodo Tdepende de la longitud del péndulo lsegún la función irracional

lT(l) = 2π––– g


T

l

El radio de un émbolo en un motor hidráulico depen-de de la presión que debe ejercersegún una funciónirracional.

y = 1 – x2

–1 1

La expresión explícita de una semicircunferencia de radio uno es una función irracional:

y = 1– x2.

780


• El cuerpo tarda en caer cuatro segundos, puesto que:

80 – 0t (0) = –––––– = 45

y el cuerpo llega al suelo cuando su posición es cero.• En el primer segundo el cuerpo sólo recorre 5 m, ya que:

80 – 75t (75) = –––––– = 15

lo que significa que al cabo de un segundo está a 75 metrosdel suelo.

• Cuando el cuerpo está a 60 m del suelo, es decir, cuando harecorrido 20 m, han pasado 2 segundos, ya que

80 – 60t (60) = –––––– = 25

Esto significa que el cuerpo tarda en recorrer los primeros20 m tanto como los 60 m restantes.

• En el último segundo recorre 35 m, ya que

80 – 35t (35) = –––––– = 35

lo que significa que al cabo de tres segundos de empezar a caer todavía está a treinta y cincometros del suelo.

Tabla de valores y gráfica de la función que expresa cómo depende

el tiempo transcurrido de la posición de un cuerpo que se

mueve en caída libre en el vacío.

2. Si el índice del radical es impar, eldominio de una función irracionalcorrespondiente abarca todos losnúmeros reales. Véase, por ejem-plo, qué ocurre con la gráfica de lafunción f (x) = 3x + 1 . Si x vale 7,f (7) = 38 = 2, mientras que, si xvale –9, f (–9) = 3–8 = –2. Es decir,la gráfica de la función existe tantopara valores positivos de la varia-ble independiente como paravalores negativos.

En la figura se observa una tablade valores y la representación gráfi-ca de la función, que aparece super-puesta con su función polinómicainversa, que es f (x) = x3 – 1.Tal comoocurre siempre con la gráfica de una

función y la de su inversa, ambas gráficas son simétricas con respecto a labisectriz del primer y del tercer cuadrante. Por otra parte, la composición delas funciones da lugar a x, sea cual fuere el orden que utilicemos:

3x4 – 1 + 1 = x .

t =

0

4

35

1

e

t

60

2

75

3

80e

t

4

0

80 - e———5

Tabla de valores ygráfica de la funciónirracional f(x) = 3x + 1y de su inversa, lafunción polinómicaf(x) = x3 – 1.

f –1(x) = x3 – 1 – 9

– 2

– 2

– 1

x

f(x)

–1

0

7

2

f(x) = 3x + 1

– 2

– 9

–1

– 2

x

f–1(x)

0

–1

2

7

f –1(x) = x3 – 1

f(x) = 3x + 1

781

Función exponencial de base eUna función de extraordinaria importancia en matemá-ticas por sus numerosas aplicaciones, tanto en el terrenode las ciencias experimentales como en el de las cienciassociales es la función exponencial de base e.

Esta función se aplica a un determinado fenómeno,cuando se conoce su crecimiento continuo. La poblaciónde un país, por ejemplo, crece continuamente. Por estemotivo, se trabajará con más exactitud si, en lugar de con-siderar el crecimiento anual del 1 % tal como se ha hechoantes, se divide el período de crecimiento anual en unnúmero n de partes y se halla después el límite cuando ntiende a infinito.

Si se divide el año en dos partes, al cabo del primersemestre la población habría crecido un 0,5 por ciento.Al cabo de un año se obtendrá:

0,01 2P1 = 20 · 1 + –––––2

y al cabo de t años:

0,01 2tPt = 20 · 1 + –––––2

Si se divide el año en n partes, al cabo del primer período la poblaciónhabría crecido un 1/n por ciento.

El número de átomos de un elemento radiactivo que va

desintegrándose a lo largo deltiempo se puede expresar

mediante la función exponencialN(t) = N0 · e–t, donde N0 es el

número de átomos existentes en elmomento inicial (para t = 0) y es una constante diferente para

cada sustancia radiactiva.

782


FUNCIÓN EXPONENCIAL

El grupo de las funciones algebraicas, formado por laspolinómicas, las racionales y las irracionales, puedeexpresarse con las operaciones básicas: suma, resta, mul-tiplicación, división, potenciación y radicación. No ocu-rre lo mismo con las funciones exponenciales, que, poreste motivo, pertenecen a un grupo diferente, el de lasfunciones trascendentes, al que también pertenecen las logarítmicas y las trigonométricas.

Una función exponencial es del tipo f (x) = a x, dondea es un número real, positivo y diferente de uno.

Así, por ejemplo, la población de un país crece arazón de un 1 % anual. Entonces, si se toma comopunto de partida una población de 20 millones dehabitantes, al final del primer año, la población será:P1 = 20 · 1,01. Al final del segundo año la poblaciónserá: P2 = 20 · 1,01 · 0,01 = 20 · 1,012 y así sucesiva-

mente. Las poblaciones al final de los diferentes años forman, pues, una progresión geométrica derazón 1,01, que es una restricción al conjunto de los números naturales de la función exponencialf (t) = 20 · 1,01t.

Es preciso no confundir una función exponencial con una polinómica. En ambas hay potencias,pero, mientras que en las polinómicas la variable independiente está en la base, en las exponencialesestá en el exponente.

El valor de los sellos a lo largo del tiempo en un paíscon una tasa de inflación constante sigue una funciónexponencial.

y = AeBt

N (t) = Noe–t

Al cabo de un año se obtendría:

0,01 nP1 = 20 · 1 + –––––n

y al cabo de t años:

0,01 ntPt = 20 · 1 + ––––– n

Para llegar al crecimiento continuo, se tendríaque dividir el año en infinitos períodos:

0,01 ntlimn→∞

Pt = limn→∞

20 · 1 + –––– =nn 0,01––––––nt

1 0,01 n= 20 · lim

n→∞ 1 + –––––– = 20e 0,01tn/0,01

En general, la función:

c––– tf (t) = f0 · e 100

tiene un crecimiento continuo del c por ciento.A partir de la función exponencial f (x) = e x se

definen la función seno hiperbólico

e x – e –xshx = ––––––

2

la función coseno hiperbólico

e x + e –xchx = ––––––

2

y la función tangente hiperbólica

shx e x – e–xthx = –––– = –––––––chx e x + e –x

Estas funciones juegan en la geometría hiperbó-lica un papel semejante al de las funciones trigo-nométricas en la geometría euclídea.

El matemático ruso Nicolai Lobachewsky (1793-1856) desarrolló a partir de 1829 una teo-ría sobre geometría totalmente consistente, peroque negaba el quinto postulado de Euclides. Conello nacieron las revolucionarias geometrías noeuclídeas, desarrolladas, además de por el propioLobachewsky, por el matemático húngaro Bolyai(1802-1860) y por los matemáticos germanosRiemann (1826-1866) y Klein (1849-1925). Lageometría hiperbólica es una de ellas y encuentraaplicación en la física contemporánea, en parti-cular en la teoría de la relatividad.

El número de datos que podemos recordardepende del tiempo t que los hayamos estado memorizando según la funciónexponencial:N(t) = m(1 – e–nt), cuya gráfica vemos en la figura. Nótese que cuando el tiempo tiende a infinito, el número de datos recordados también tiende a la constante m, lo que significa que esinútil dedicar más tiempo del necesario.


783

Muchas poblaciones animales crecen según la función logística, un tipo de función exponencial,

cuya gráfica vemos en la figura, que responde a la expresión:

kP(t) = –––––––––––

1 + m · e–nt

donde k, m y n son constantes propias de cada casoparticular. Nótese que la población crece al principio con

rapidez, pero llega un momento que por limitaciones de espacio y de recursos, se produce un punto de inflexión.

P (t) = K————1 + me–nt

K

t

P(t)

N (t) = m (1 – e–nt)

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función inversa de la exponencial f (x) = a x, donde a es un númeroreal, positivo y distinto de uno, recibe el nombre de función logarítmicay se representa así:

f (x) = loga (x)

Trabajando con una función exponencial, y = 3x por ejemplo, en lavariable independiente se sustituye el exponente y en la variable y se obtiene el resultado: y (2) = 32 = 9. Recíprocamente, cuando setrabaja con la correspondiente función logarítmica, y = log3 (x), en

la variable independiente se sustituye el resultado y en la variable yse obtiene el logaritmo, que no es otra cosa que el exponente:y (9) = log3 (9) = 2.

La función logarítmica se puede utilizar en cualquier base positiva,aunque las más empleadas son la base e, en cuyo caso se denomina fun-ción logaritmo neperiano y se escribe bien f (x) = ln(x) bien f (x) = L(x),y la base 10, en cuyo caso recibe el nombre de función logaritmo deci-mal y se escribe f (x) = log (x).

Las propiedades de la función logarítmica son:

• Convierte los productos en sumas:

loga (b · c) = loga (b) + loga (c).

• Transforma los cocientes en restas:bloga –– = loga (b) – loga (c).c

• Convierte las potencias en productos:

loga (bc) = c · loga (b).

• Transforma las raíces en cocientes:

1loga (cb ) = ––– · loga (b).c

• Se puede obtener en una base a cualquieraa partir de otra base b conocida:

logb (x)loga (x) = –––––––logb (a)


La contribución esencial del escocés John Neper (1550-1617) fue eldescubrimiento de los logaritmos. No los definió tal como lo hacemos actualmente, sino como una razón entre dos números, de ahí su nombre que deriva de las palabras griegas logos(razón) y arithmos (número).

La escala del pH seobtiene mediante una

función logarítmica quedepende de la

concentración de los ioneshidronio, [H3O]+, de una

disolución y sirve para medir el grado deacidez de la misma.

La ley de Fechner-Weber se emplea en psicología para medir la relaciónexistente entre la magnitud de un estímulo(acústico, visual, táctil, etc.) y la sensación queproduce en el sujeto que lo recibe. Según dichaley la sensación es proporcional al logaritmo del estímulo, por lo que sigue la función: S(x) = k · ln x, donde x es la magnitud del estímulo.

784


Esta última expresión permite calcular ellogaritmo en cualquier base a pesar de que lacalculadora sólo tenga logaritmos decimalesy neperianos. Por ejemplo:

log (7,34)log2 (7,34) = ––––––––– =

log (2)0,865696= ––––––––– = 2,875780 0,301030

Al ser funciones inversas, la gráfica de la fun-ción logarítmica es simétrica de la gráfica de la función exponencial correspondiente con respecto ala bisectriz de los cuadrantes primero y tercero.Sus características fundamentales son:

• Su dominio queda restringido a los númerospositivos, ya que tanto los números negativoscomo el cero carecen de logaritmo debido aque el resultado de una exponencial es siem-pre estrictamente positivo.

• Presenta una asíntota vertical, el propio eje de orde-nadas, ya que, a medida que la variable indepen-diente tiende a cero, su logaritmo es cada vez másnegativo.

• Crece con rapidez en el intervalo (0, 1], pero crece muy lentamente para valores grandes de lavariable x.

• Corta al eje de abscisas en el punto (1, 0), ya quecualquier base elevada a cero vale uno.

En la figura se observa la gráfica de la función y = log3 (x) y de otras funciones asociadas a ella.

La función logarítmica se emplea en muchasramas científicas, aunque su aplicación más cono-cida sea tal vez la escala de Richter, utilizada paramedir la magnitud de los terremotos, según lafórmula:

2 xM(x) = ––– log ––––––––3 2,5 · 104

donde x es la energía liberada por el terremoto,expresada en julios.

Según esta escala, si un terremoto, por ejem-plo, liberara una energía de 7,5 · 1015 J, tendríauna magnitud de:

2 7,5 · 1015M(7,5 · 1015) = ––– log –––––––– =3 2,5 · 104

2= ––– log (3 · 1011) = 7,73

Gráficas de la función y = log3 (x) y de otrasfunciones asociadas a ella. Se pueden observar,entre otras, las siguientes simetrías: la gráfica de

la función 3x es simétrica de la gráfica de lafunción –3x con respecto al eje OX; de la

gráfica de la función 3–x con respecto al ejeOY; de la gráfica de la función –3–x con

respecto al origen de coordenadas y de lagráfica de la función log3 x con respecto a la

bisectriz del primer y del tercer cuadrantes.

y = log3 (–x)

y = log1/3 (–x)

y = – 3–x y = – 3x

y = log1/3 x

y = log3 x

y = 3xy = 3–x

El tiempo que tardará un bosque quemado en alcanzar una determinada masa forestal puede expresarse mediante una función logarítmica:

1 mt(m) = ––– ln ––––,k m0donde k es el porcentaje de crecimiento de la masa forestal del bosque y m0 es la masa forestal inicial del mismo.

785

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Las funciones que asocian al valor de un ángulo, medidoen radianes, el valor de una razón trigonométrica se deno-minan funciones trigonométricas. Las más utilizadas sonla función seno, que se representa f (x) = sen x; la funcióncoseno, que se representa f (x) = cos x, y la función tangen-te, que se representa f (x) = tg x.

A partir de una función trigonométrica se pueden obte-ner otras mediante:

• Dilatación. La función f (x) = sen x está comprendi-da entre –1 y 1. En cambio, la función f (x) = A sen xestá comprendida entre –A y A. En la figura se puedeobservar que se ha producido una dilatación de la am-plitud de la onda. En el caso de que A sea menor que 1, se produce una contracción.

• Desfase. La gráfica de la función f (x) = sen (x + ) es semejante a lade la función f (x) = sen x, pero está desfasada radianes.

• Modificación del período. La gráfica de la función f (x) = sen (2x)tiene un período que vale la mitad que el de la función f (x) = sen x.

Combinando estas transformaciones se pueden obtener funciones tri-gonométricas del tipo f (x) = A sen (wt + ), que tienen importantesaplicaciones en la teoría de ondas, así como en el estudio de la corrien-te alterna.

En los hogares se dispone de una corriente alterna de tensión máxi-ma de 2202 voltios, que da un potencial eficaz medio de 220 V. Por otra parte, la frecuencia de la red es de 50 hz. Pues bien, sise expresa la tensión eléctrica en función del tiempo, se obtiene lafunción trigonométrica v (t) = 2202 sen (2π · 50 · t), cuya gráfica esuna onda periódica.

Como el período de la función seno es 2π rad, el valor de la fun-ción v (t) se repetirá cada vez que 2π · 50 · t sea igual a 2π. De donde:

2π2π · 50 · t = 2π ⇒ t = ––––––– =2π · 50

1= –––– segundos = 20 milisegundos50

Para comprobar que la tensión máxima de la corriente quellega a los hogares es de 2202 V, basta con tener en cuen-ta que el valor máximo que alcanza la función seno es 1.Análogamente, como el valor mínimo de la función senoes –1, la tensión mínima será –2202 V.

En este caso, la onda no presenta ningún desfase, ya quev (0) = 0.

Resumiendo: la tensión de la corriente doméstica esvariable, alcanzando su máximo valor, 2202 V, cada 20 milisegundos.

y = sen x

y = sen 2x

20

Posibles transformacionesque se pueden realizar a partir de una función

trigonométrica.


y = sen x

y = A sen x

f(x)

x0 2

Dilatación

786

y = sen x

y = sen ( x + )

0–

2

Desfase

Modificación


Función trigonométrica inversa

Cuando se conoce el valor que toma una fun-ción trigonométrica determinada y se desea calcular el ángulo correspondiente, es necesarioutilizar la función trigonométrica inversa.

• La función inversa de la función seno se deno-mina arco seno y se escribe: f (x) = arc sen x.Al ser periódica, la función seno no es inyec-tiva. Hay infinitos ángulos cuyo seno es 1, porejemplo. Por este motivo es necesario restrin-girla a un cierto intervalo, generalmente setoma el

π π[– –––,–––]2 2

con el fin de poder definir su función inversa,tal como se observa en la gráfica 1.

La posición de una masa sujeta a un muelle, tomando como origen su posición de equilibrio, viene dadapor una función trigonométrica del tipo

2πP(t) = a · cos ––– t + 3donde la constante a indica la máximaseparación de la posición de equilibrioy la constante depende del momentoen el que la masa pasa por dicha posición.

f(x)

x

/2

– /2

y = arc tg x

o

f(x)

x

–1 1

–

o

y = arc cos x

• La función inversa de la función coseno (grá-fica 2) recibe el nombre de arco coseno y seescribe: f (x) = arc cos x. La función cosenotampoco es inyectiva, por lo que para poderdefinir su inversa, su dominio se restringe alintervalo [0,π].

• La función inversa de la función tangente(gráfica 3) se llama arco tangente y se escribe:f (x) = arc tg x. Como la función tangente tam-poco es inyectiva, su dominio se restringe alintervalo

π π[– –––,–––]2 2

787

f(x)

x

/2

–1 1

– /2

y = arc sen x

Gráficas de las funciones trigonométricas inversas

1

2 3

LÍMITE Y CONTINUIDADDE UNA FUNCIÓN

Una función es continua cuando su gráfica se puede trazar sinlevantar el lápiz del papel. Para dotar de rigor matemáticoesta idea intuitiva es preciso acudir al concepto de límite.

Por ejemplo, la función definida a trozos:

2 si x ≤ 0f (x) = x si x > 0

cuya gráfica se observa en la figura, es continua en todos suspuntos salvo en x = 0. A medida que la variable independiente

se acerca a cero por la izquierda, esdecir, para valores negativos, la fun-ción se acerca a 2, puesto que vale dosconstantemente. En cambio, a medi-da que la variable independiente seacerca a cero por la derecha, es decir,para valores positivos, la función seacerca a cero tanto como se desee.Estos dos conceptos se representanmediante los límites:

limn→0– f (x) = 2 y lim

n→0+ f (x) = 0

La discontinuidad en el cero esconsecuencia de que ambos límites,denominados límites laterales, nocoinciden, lo que implica que, al lle-

gar al cero, es necesario dar un salto de dos unidades para poderseguir dibujando la gráfica.

En el caso anterior, los límites son cantidades finitas, pero nosiempre ocurre así. Los científicos Boyle (1627-1691) y Mariotte(1620-1684) descubrieron que la presión de un gas es inversamenteproporcional al volumen que ocupa:

kP (V ) = ––––V

Pues bien, para conseguir que el volumen del gas disminuya tanto como se desee, será necesarioaplicar presiones cada vez mayores. Este hecho se expresa dicien-do que el límite de la función es infinito y se representa así:

limV→0+ P (V ) = +∞

De forma semejante, a medida que elvolumen crece tanto como se desee, lapresión se va acercando a cero. Estehecho se expresa diciendo que el límitede la función en el infinito es cero y serepresenta:

limV→+∞

P (V ) = 0


Gráfica de una funcióndefinida a trozosdiscontinua en x = 0.

f(x)

x

La conductividad deun materialsuperconductor enfunción de latemperatura creceabruptamente cuando nosaproximamos a temperaturas muybajas, cercanas al cero absoluto,haciéndose casi infinita. Losmateriales superconductores tienensorprendentes aplicaciones como,por ejemplo, el tren de altavelocidad levitado de formamagnética.

El consumo de gasolina de un vehículo depende

de su velocidad según una función del tipo

A · eB · vC(v) = ––––––––,

vdonde A y B son

dos constantes que dependen de cada tipo de automóvil.

788


Tipos de discontinuidad

Si en lugar de trabajar con una función racional tan sencilla como la ante-rior, se hace con la función

2x2 – 10x + 12f (x) = ––––––––––––– x2 – 4x + 3

cuya gráfica se observa en la figura, se tiene:

• Si se iguala el denominador a cero, se obtienela ecuación: x2 – 4x + 3 = 0, cuyas solucionesson x = 1 y x = 3. Lo que ocurre con estos dosvalores son dos cosas muy distintas:- Dando a la variable x valores próximos a 3

por la izquierda (2,9; 2,99; etc.) se observaque los resultados de la función se van acer-cando a 1. Lo mismo ocurre con la aproxi-mación a 3 por la derecha. Por tanto, loslímites laterales coinciden, pero el valor f (3) noexiste, ya que no es posible dividir entre cero. A lafunción le falta, pues, el punto de coordenadas (3, 1) y se dice que presenta una discontinuidadevitable en dicho punto.

- Dando a la variable x valores próximos a 1 por laizquierda (0,9; 0,99; etc.) se observa que los resul-tados de la función son cada vez mayores.En cambio, con la aproximación a 1 por la dere-cha (1,1; 1,01; etc.), los resultados son cadavez más negativos. Es decir:

2x2 – 10x + 12limx→1– f (x) = lim

x→1– ––––––––––––– = +∞x2 – 4x + 3

mientras que

2x2 – 10x + 12limx→1+ f (x) = lim

x→1+ ––––––––––––– = –∞x2 – 4x + 3

- La función presenta una discontinuidad desalto infinito. La recta x = 1 se denominaasíntota vertical de la gráfica.

• También se pueden estudiar las asíntotashorizontales, que existen cuando la variable xtiende a infinito y la función a un número fini-to:- Si se dan valores cada vez más positivos a la

variable x (10, 100, 1.000, etc.), se puedeobservar que los resultados obtenidos sonmenores que 2, pero que se van acercando adicha cantidad:

2x2 – 10x + 12limx→+∞

––––––––––––– = 2–x2 – 4x + 3

George Cantor (1845-1918) fue un matemático

ruso de origen danés,cuyas teorías sobre el infinito están hoy

plenamente aceptadas.Afirmó que un

conjunto infinito tiene los mismos elementos

que una parte de símismo. En la figura vemos un ejemplo. El segmento

AB extraído del segmento CD y, naturalmente, de menor longitud, tiene, en cambio, la misma

cantidad de puntos. En efecto. Dado un punto pdel segmento AB, lo unimos con M. La recta MP corta

al segmento CD en un punto p'. Recíprocamente,dado un punto s del segmento CD, lo unimos con M.

La recta MS corta al segmento AB en un punto s'.

M

C p’ s D

s’pA B

2x2 – 10x + 12Gráfica de la función f(x) = –––––––––––––––x2 – 4x + 3

x2

f(x)

–2–2

- Si, por último, se dan valores cada vez másnegativos a la variable x (–10, –100, etc.), sepodrá comprobar que:

2x2 – 10x + 12limx→–∞

––––––––––––– = 2+x2 – 4x + 3

789

Crecimiento de la función P = 10 · l2.

Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716) hicieronpúblico su descubrimiento del cálculo diferencial en fechastan cercanas, que sus respectivos partidarios se enfrascaronen agrias disputas sobre quien había plagiado a quien.Estas discusiones duraron siglos, hasta que se pudocomprobar que ambos habían llegado a resultadosparecidos de forma independiente.


Derivadas

VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN

La ley de Joule, por ejemplo, establece que lapotencia, medida en vatios, de una corrienteeléctrica a su paso por una resistencia de 10Ωdepende de la intensidad, medida en amperios,de dicha corriente según la función: P = 10I 2.Para estudiar el crecimiento medio de la poten-cia cuando la intensidad pasa de 2 A a 4 A,deben seguirse los siguientes pasos:

1. Se calcula el crecimiento h de la variable inde-pendiente: h = 4 – 2 = 2

2. Se calcula el crecimiento de la función endicho intervalo:

P (2 + h) – P (2) P (4) – P (2)––––––––––––– = –––––––––– = h 4 – 2

160 – 40= –––––––– = 602

Si se reduce el valor de h a una centésima, secalcula el crecimiento medio de la potenciacuando la intensidad pasa de 2 A a 2,01 A:

P (2,01) – P (2) 40,401 – 40––––––––––––– = –––––––––– = 40,12,01 – 2 0,01

VARIACIÓN INSTANTÁNEADE UNA FUNCIÓN

Este valor ya casi da el crecimiento instantáneode la potencia cuando la intensidad vale 2 A.Para calcularlo realmente, se deberá obtener ellímite siguiente:

P (2 + h) – P (2) 10 · (2 + h)2 – 40limh→0

–––––––––––––– = limh→0

–––––––––––––– =h h

40h + 10h2= lim

h→0–—–––—–––– = lim

h→040 + 10 h = 40h

El crecimiento instantáneo en un punto x = ade una función f (x) se representa f ' (a), se deno-mina derivada de la función en el punto a y secalcula mediante el límite:

f (a + h) – f (a)f ' (a) = lim

h→0———————h

Si este límite no existe, se dice que la funciónno es derivable en dicho punto.

Como se observa en la figura, la derivadacoincide con la pendiente de la recta tangente ala gráfica de la función en x = a.

h = 2

P(4) – P(2)

P(2)

P(4)

P= 10 · I2

Recta tangente

Salvo las funciones polinómicas de primer grado,cuya gráfica es una recta, el resto de las funciones tienen

un crecimiento variable. Por este motivo es muyimportante disponer de un instrumento matemático eficazpara calcular el crecimiento instantáneo del fenómeno que

se está estudiando. Dicho instrumento es la derivada.

790

matemáticas • Derivadas

MÉTODOS DE DERIVACIÓN

Si en lugar de trabajar en un punto concreto a, se hace en general,se obtiene una función, llamada función derivada, que asocia a cadavalor de x el crecimiento de la función en dicho punto:

f (x + h) – f (x)f ' (x) = lim

h→0––––––––––––.h

Resolviendo el límite correspondiente en cada caso, se obtiene latabla de derivadas de las funciones más importantes. Con estasfunciones se puede realizar una serie de operaciones para obtenerotras funciones más complicadas, cuyas derivadas serán:

• Suma o resta de dos funciones:

[ f (x) g (x)]' = f ' (x) g' (x).

• Producto de dos funciones:

[ f (x) · g (x)]' = f ' (x) · g (x) + f (x) · g' (x).

• Cociente de dos funciones:f (x) f ' (x) · g (x) – f (x) · g' (x)[–––––] = ––––––––––––––––––––g (x) [ g (x)]2

• Función compuesta:

[ f (g (x))]' = f ' (g (x)) · g' (x).

La derivada de la derivada recibe el nombre dederivada segunda y se representa f '' (x). Ésta, asu vez, se puede volver a derivar para obtener laderivada tercera, que se escribe f ''' (x) y así suce-sivamente.

Si la derivada de una función en un pun-to es pos

negitiati

vava , la función d

cecrerec

cieien

ntete en dicho

punto.Si la derivada de una función en un punto

es cero y su segunda derivada en dicho punto es

Función Derivada

f(x) = K f ‘ (x) = 0

f(x) = K · xn f ‘ (x) = K·n·xn – 1

f(x) = Lnx 1f ‘ (x) = —x

f(x) = ex

f(x) = ax

f(x) = sen x

f(x) = cos x

f(x) = tg x

f(x) = arc sen x

f(x) = arc cos x

f(x) = arc tg x

f ‘ (x) = ex

f ‘ (x) = Ln a · ax

f ‘ (x) = cos x

f ‘ (x) = – sen x

1f ‘ (x) = ——— cos2 x

1f ‘ (x) = ——— 1 – x2

– 1f ‘ (x) = ———

1 – x2

1f ‘ (x) = ——— 1 + x2

posneg

itiati

vava , la función presenta un m

máxín

imim

oo en ese

punto.El signo de la derivada segunda de una fun-

ción en un punto indica la curvatura de la función en dicho punto.

Cuando la derivada segunda de una funciónen un punto es cero y su tercera derivada endicho punto es distinta de cero, se trata de unpunto de inflexión.

El diferencial de una función se representa dyy se define a partir de la derivada:

dy = y' (x) · ∆x

donde ∆x representa un cierto incremento de lavariable x. En el caso de que la función sea y = x, la fórmula es:

dx = x' · ∆x = 1∆x = ∆x

Como el diferencial y el incremento de x coin-ciden, la diferencial de y se suele escribir así:

dy = y' (x) · dx

y la derivada, a su vez, se escribe:dy–––dx

Como se observa en la figura, para valorespequeños de dx, el incremento de y es aproxi-madamente igual al diferencial de y: ∆y ≈ dy.

∆ x

r

∆ yd y

0

Representacióngráfica del concepto de diferencial de una función y de su relación con el incremento de la misma.

791

REGLA DE BARROW

La regla de Barrow, que pone en relación el área con la derivada, permite en muchoscasos calcular la integral de forma sencilla:

∫ ba f (x) dx = F (b) – F (a).

Donde F (x) es una función primitiva de f (x), es decir, tal que F' (x) = f (x).Por ejemplo, para calcular ∫ 2

1 2x dx se tomacomo primitiva la función F (x) = x2, ya que

(x2)' = 2x. Y se realiza la sustitución:

∫ 21 2x dx = [x2]2

1 = 22 – 12 = 4 – 1 = 3 u.a


IntegralesLa geometría clásica había logrado calcular el área de lasprincipales figuras planas, pero hasta la aparición del cálculointegral no era factible hallar el área de recintos irregulares.El área comprendida entre la gráfica de una función f(x)continua y positiva en un intervalo [a, b], el eje de abscisas y las rectas verticales x = a y x = b recibe el nombre de integraldefinida y se representa:

A = ∫ ba f (x) dx .

La expresión anterior debe leerse así: el área es igual a laintegral entre a y b de f(x) diferencial de x.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Las integrales cuya función primitiva se obtiene fácilmente a par-tir de la tabla de las derivadas reciben el nombre de integralesinmediatas. En muchos casos, sin embargo, hay que emplear dife-rentes métodos de integración para poder encontrar la funciónprimitiva; entre ellos destacan el método de integración por par-tes, el de cambio de variable o el de las integrales racionales.

Cuando los métodos citados fracasan, es posible acudir a la inte-gración numérica, que permite calcular la integral con tanta apro-ximación como se desee y que tiene otras dos ventajas:

1. Es fácilmente programable para trabajar con computadora.2. Permite calcular la integral de funciones cuya expresión se des-

conoce y de las que sólo se dispone de una serie de puntos.

La integración se utiliza tanto en elcálculo de las estructuras de los edificios,como en el diseño de navíos y aviones.

Isaac Barrow (1630-1677) fue profesor de Newton en la Universidad deCambridge. Está entre los pioneros del cálculo integral, que más tardesería desarrollado por otros muchos matemáticos.

Integrales inmediatas

dx —— = ln x + Cx

ex dx = ex + C

ax ax dx = ——– + C ln a

sen x dx = – cos x + C

cos x dx = sen x + C

tg x dx = – ln cos x + C

1 ——— dx = arc tg x + C 1 + x2

–1 ———— dx = arc cos x + C

1 – x2

xn+1 xn dx = ——— + C ; n =/ – 1 n+1

1 ———— dx = arc sen x + C

1 – x2

792

matemáticas • Integrales

El método de Simpson de integración numérica, porejemplo, consiste en dividir el intervalo [a, b] en un númeropar de partes, a = x0, x1, …, xn = b, como mínimo cuatro, ypermite calcular aproximadamente una integral mediantela fórmula siguiente:

h∫ ba f (x) dx ≈ ––– (E + 2P + 4I )3

donde:

• h es la longitud de cada subintervalo.• E es la suma de los valores extremos de la función: f (x0) + f (xn).• P es la suma de los valores pares de la función: f (x2) + … + f (xn – 2).• I es la suma de los valores impares de la función: f (x1) + … + f (xn – 1).

La tabla inferior, por ejemplo, expresa el caudal de agua en m3 por minuto que va entran-do en una piscina. ¿Cómo se puede calcular el volumen de agua que habrá entrado en la piscinadesde diez minutos después de comenzar el llenado hasta hora y media después?

Tanto en las ciencias experimentales como enlas ciencias sociales, las integrales se aplicancuando se conoce la velocidad de crecimiento deun cierto fenómeno, es decir, se dispone de sufunción derivada y se pretende expresar mate-máticamente dicho fenómeno. Si se denominaC(t) al caudal, es decir, a la velocidad de llenado,el volumen buscado se calcula con la integral

∫90

10 C (t) dt

Ahora bien, como no conocemos la expresiónmatemática de la función C(t), sino sólo unatabla, se aplicará el método de Simpson:

h = 20; E = 17,5 + 32,5 = 50; P = 28,4;I = 24,8 + 30,7 = 55,5. Por tanto:

20∫90

10 C (t) dt ≈ ––– (50 + 2 · 28,4 + 3

+ 4 · 55,5) = 2.192 m3

Las integrales también se utilizan para sumaraproximadamente una gran cantidad de valo-res. Así, por ejemplo, las ventas de un diariohan seguido a lo largo del último año la fun-ción V(t) = t 2 + 1.000t + 176.426. ¿Cuál es elnúmero total de ejemplares vendidos durantelos 100 primeros días del año?

t ( minutos )

C ( m3 )

10 30 50 70 90

17,5 24,8 28,4 30,7 32,5

Las integrales se utilizan para calcular volúmenes de revolución,

como por ejemplo el del elipsoide, que se obtiene al hacer

girar una elipse alrededor del eje mayor.

793

v(t) = t2 + 1.000t + 176.426

1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . .0

v(0) v(1) v(2) v(3) v(4) v(5)

La base de cadarectángulo mide 1 ylas alturas son v(0),v(1), etc. Por tanto,

la suma de las áreas coincide con la suma

buscada.

Para calcular la cifra pedida es preciso hallaruna suma de 100 sumandos:

1∑100

V(t) = V(1) + V(2) + V(3) ++ … + V(99) + V(100)

Como esta tarea es muy tediosa, se puede susti-tuir, tal como se observa en la figura, la citadasuma por una integral:

t3

1∑100

V(t)≈∫100

V(t) dt = [–– + 500t 2 + 176.426t]100

0=0 3

= 22.975.900 diarios

Algunas gráficas no vienen dadas por fórmulas, sino por un conjunto de valores.

Un ejemplo son las gráficas de los índice bursátiles.

794


Representación de GráficasLa representación gráfica de una función ayuda a comprender cómo se desenvuelveel fenómeno al que corresponde. Cuando la función vienedada por una fórmula matemática, antes de trazar sugráfica, es necesario estudiar una serie de aspectos.A continuación se analizará, a modo de ejemplo,un tipo de funciones exponenciales que se empleanfrecuentemente en estadística. Concretamente seestudiará la función y = e –x2/2

• El dominio de la función se extiende a todoslos números reales.

• No es una función periódica. Si lo fuera, bas-taría con representar uno de sus períodos ydespués repetir ese trozo de gráfica.

• Es una gráfica simétrica con respecto al ejevertical, ya que todas las potencias que afec-tan a la variable x son pares.

• No tiene asíntotas verticales ni oblicuas.En cambio, tiene una asíntota horizontal, elpropio eje OX, ya que

1limx→∞

e –x2/2 = limx→∞

––––– = 0+e x2/2

• La gráfica corta al eje OY en el punto (0, 1),ya que y (0) = e –02/2 = 1. En cambio, no cortaal eje horizontal, ya que la ecuación 0 = e –x2/2

no tiene solución.• En la tabla de signos se observa que la fun-

ción es siempre positiva, ya que el resultado

de una exponencial siempre es positivo, tantosi el exponente lo es, como si es negativo.

• La función tiene un máximo relativo en elpunto (0, 1). Para averiguarlo, se iguala laderivada primera a cero, con lo que se obtienela ecuación: y' = – x · e –x2/2 = 0, cuya única solu-ción es x = 0. Para determinar si en este valorla función tiene un mínimo o un máximo, sesustituye en la derivada segunda:

y'' = –1 · e –x2/2 + (–x) · (–x) · e –x2/2 =

= (x2 – 1) · e –x2/2 ⇒ y'' (0) = (02 – 1) · e –02/2 = –1

Como la derivada segunda es negativa, se tratade un máximo relativo.

• En la tabla de crecimiento se observa que lagráfica es creciente para valores de x inferio-res a cero y decreciente para valores supe-riores. Para construir dicha tabla, debenseguirse los pasos siguientes:

1. Se divide el eje horizontal, teniendo encuenta los valores que anulan la derivadaprimera. En este caso, como sólo hay unvalor, el x = 0, resultan dos intervalos.

2. Se elige un valor en cada uno de ellos y sesustituye en la derivada primera, analizan-do el signo resultante.

Para representar una función periódica, basta con estudiar unode los trozos que se repite. La audiencia de la televisión sepuede ajustar bastante bien a una función periódica.

• La gráfica tiene dos puntos de inflexión. Para encontrar-los, se iguala la derivada segunda a cero, con lo que seobtiene la ecuación: 0 = (x2 – 1) · e –x2/2, cuyas solucionesson x = –1 y x = 1. Para poder asegurar que son realmen-

te puntos de inflexión, es preciso comprobar que laderivada tercera es diferente de cero:

y''' = 2x · e –x2/2 + (x2 – 1) · (–x) · e –x2/2 = = (–x3 + 3x) · e –x2/2

y''' (–1) = (–(–1)3 + 3(–1)) · e –(–1)2/2 = = (–2) · e –1/2 < 0

y''' (1) = (–13 + 3 · 1) · e –12/2 == 2e –1/2 > 0

• En la tabla de curvatura se observa que la gráfica tiene curvatura positivapara valores de x inferiores a –1, curvatura negativa entre –1 y 1 y de nuevocurvatura positiva para valores superiores a 1. Para construir dicha tabla,

se siguen los pasos siguientes:

1. Se divide el eje horizontal, teniendo en cuen-ta los valores que anulan la derivada segun-da. En este caso, como hay dos valores, el x = –1 y el x = 1, resultan tres intervalos.

2. Se elige un valor en cada uno de ellos y sesustituye en la derivada segunda, analizandoel signo resultante.

795

matemáticas • Representación de Gráficas

M1

PIPI

y = e–x2—––

2

Signos, crecimiento y curvatura de la funcióny = e–x2/2 y su representación gráfica.

y

x

1 2 3 4 5 6 7–1

–1

45403530252015105

En la figura vemos las ventas de una empresa en millones deeuros. Transcurrido un año desde su fundación, las ventasalcanzaron la cifra de 33 millones, y continuaron creciendo(derivada positiva); pero la curvatura negativa (derivadasegunda) presagiaba una tendencia al estancamiento de lasventas y a su posterior declive, como ocurrió, en efecto, apartir del segundo año.

El estudio de losmáximos y mínimos de una

función permite resolver muchos problemas de optimización. Optimizarlos recursos para evitar el despilfarro de bienes escasos, por ejemplo, es

una necesidad en las sociedades industrializadas.

Tabla de crecimiento

Tabla de curvatura

Tabla de signos

( – ∞ , ∞ )

+

x

y

( – ∞ , 0 )

+

( 0 , ∞ )

–

x

y ‘

y

( – ∞ , –1 )

+

( –1 , 1 )

–

x

y ‘‘

y

( 1 , ∞ )

–

matemáticas • Trigonometría

RazonesTrigonométricas

RAZONES TRIGONOMÉTRICASDE UN ÁNGULO AGUDO

Dado el triángulo rectángulo ABC de la figura, sepueden definir seis razones trigonométricas: el seno(sen), el coseno (cos), la tangente (tg), la cosecante(cosec), la secante (sec) y la cotangente (cotg), de laforma siguiente:

AC AB ACsen B = –––– cos B = –––– tg B = ––––BC BC AB

1 BC 1 BCcosec B = ––––– = –––– sec B = ––––– = –––– sen B AC cos B AB

1 ABcotg B = ––––– = ––––tg B AC

Las razones trigonométricas ya eran conocidas por los matemáticos hindúes en el siglo V de nuestra era, quellamaban jya (semicuerda) a lo que hoy llamamos seno.

MEDIDA DE ÁNGULOS

Para medir un ángulo se emplean dos sistemas de unidades: los grados sexagesi-males y los radianes. Un grado sexagesimal se define como la noventavaparte del ángulo que forman dos rectas perpendiculares. Cada gradose divide a su vez en sesenta partes, denominadas minutos, y cadaminuto en sesenta segundos. La cantidad dos grados, tresminutos y cuatro segundos se representa así: 2° 3' 4''.

El radián se define como el ángulo central de una circunfe-rencia que abarca un arco de longitud igual a la del radio.La equivalencia que permite pasar de un sistema de unidadesa otro es la siguiente: 360° = 2 · π rad.

También se han definido otros sistemas de unidades, comolos grados centesimales, pero prácticamente no se emplean.

Podemos definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo B en cualquier triángulo

rectángulo ABC, ya que, debido a la proporcionalidad existente entre los

lados de dos triángulos que tienen los mismosángulos, dichas razones sólo dependen

del valor del ángulo B y no de las longitudes de los lados.

AB

C

La trigonometría (palabra que proviene de los términos griegos metron -medida-

y trigono -triángulo- ) nos enseña a resolvertodos los problemas del triángulo por medio del cálculo, y a encontrar relaciones en forma

matemática entre segmentos y ángulos del triángulo y de otras figuras planas

limitadas por rectas.

El seno del ángulo es:AC ACsen = –––– = –––– = ACBC 1

mientras que el coseno es AB. La semejanza de triángulos nos permite representar el resto de las razones trigonométricas.

B A

C

sen a

cosec a

tg a

cos a

sec a

cotg a

796

Las razones trigonométricas principales delángulo doble y del ángulo mitad se calculan así:

sen (2A ) = 2sen A cos B

cos (2A ) = cos2 A – sen2 A

2tg Atg (2A ) = –––––––––1 – tg2 A

A 1 – cos Asen ––– = –––––––– 2 2

A 1 + cos Acos ––– = —–———2 2

matemáticas • Razones Trigonométricas

Se llama circunferencia goniométrica a una circunferencia de radiounidad a la que se han superpuesto unos ejes de coordenadas car-tesianas. La circunferencia goniométrica permite definir las razo-

nes trigonométricas de cualquier ángulo aunque no sea agudo. Enla figura se observa cómo se define el coseno de 120°, por ejemplo.

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo mayorque 360°, se divide previamente entre 360° para hallar el númerode veces que se gira una circunferencia completa. Por ejemplo:

840° = 360° · 2 + 120° ⇒ cos 840° = cos 120° = –cos 60° = –0,5

En la circunferencia goniométrica se puede deducirfácilmente las dos fórmulas fundamentales de la tri-gonometría:

sen tg = –––––– y sen2 + cos2 = 1cos

1–1– 0,5 0,5

B B’

C’ = C

A A’

60o120o

Para calcular el coseno de 120°en la circunferencia trigonométrica, llevamos dicho ángulo a partir de la parte positiva del eje horizontalhasta el punto A. Desde A trazamos el segmento vertical AB. Se forma asíel triángulo ABC, que es igual al triángulo A'B'C'del primer cuadrante. Por tanto tenemos: BC = cos 120° = –B'C' = –cos 60° = –0,5.

797

A 1 – cos Atg ––– = ––––––––2 1 + cos A

Las modernas técnicas de exploración médica, como la termografía también están basadas en

última instancia en la trigonometría.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

El teorema del seno expresa la relación que exis-te en cualquier triángulo entre el seno de unángulo y la longitud del lado opuesto:

a b c–––––– = –––––– = ––––––sen A sen B sen C

El teorema del coseno es una extensión del teo-rema de Pitágoras a un triángulo cualquiera, nonecesariamente rectángulo, y permite expresar lalongitud de cada lado en función de los otrosdos:

a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos A.

Estos dos teoremas permiten resolver multitudde problemas en los que intervienen triánguloscualesquiera.

Las razones trigonométricas principales de lasuma y de la diferencia de ángulos se calculan así:

sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen Bsen (A – B) = sen A cos B – cos A sen Bcos (A + B) = cos A cos B – sen A sen Bcos (A – B) = cos A cos B + sen A sen B

tg A + tg Btg (A + B) = –––––––––––– 1 – tg A · tg B

tg A – tg Btg (A – B) = ––––––––––––

1 + tg A · tg B

GONIOMETRÍA

Antes del desarrollo del álgebra,

los matemáticos teníanque recurrir a largas

frases para poderexpresar sus deducciones.

Para referirse al cálculodel volumen de un cubo,

por ejemplo, tenían que decir:

«El volumen de un cubose obtiene elevando al

cubo la longitud de su lado».

En nuestros días, sinembargo, se emplean de

forma habitual expresionesalgebraicas en forma literal, es decir, fórmulas

donde aparecen números y letras.Una expresión algebraica es, por ejemplo,

la que expresa el volumen del cubo: V = a3.

matemáticas • Álgebra

4. Se agrupan las incógnitas en un miembro dela igualdad:

x – 6x – 2x = –2 – 12 ⇒ –7x == –14

5. Se despeja la incógnita:

–14x = –––– = 2–7

Ecuaciones de segundo grado

Para resolver una ecuación desegundo grado con una incógni-ta, se reduce previamente a laforma Ax2 + Bx + Cx = 0 y des-pués aplicar la fórmula:

–B B2 –4 · A · Cx = –––––––––––––––––2 · A

Expresiones Algebraicas

Expansión del álgebra.

Una ecuación es una expresión algebraica consigno de igualdad, que contiene incógnitas y quesólo se cumple para determinados valores deéstas llamados soluciones.

Ecuaciones de primer gradoMediante un ejemplo se explica cómo se resuel-ve una ecuación de primer grado con una incóg-nita. Sea la ecuación

x––– – 3(x – 2) = x – 12

deben seguirse estos pasos:

1. Se desarrollan los paréntesis:

x––– – 3x + 6 = x – 1.2

2. Se reducen a común denomi-nador:

x – 6x + 12 2x – 2–––––––––– = –––––––.2 2

3. Se eliminan los denomina-dores:

x – 6x + 12 = 2x – 2.

Regla de Ruffini aplicadaa la resolución de la ecuaciónx3 + 2x2 – x – 2 = 0, cuyas

soluciones son x = 1, x = –1 y x = –2.

798

1 2 – 1 – 2

1 1 3 2

1 3 2 0

– 1 – 1 – 2

1 2 0

– 2 –2

1 0

ECUACIONES

matemáticas • Expresiones Algebraicas

Otras ecuaciones de grado superior

Para resolver una ecuación cuyo grado es mayorque dos, es preferible aplicar la regla de Ruffini,tal como se observa en la figura.

Las ecuaciones vistas anteriormente son ecua-ciones polinómicas. También se pueden resolverotros tipos de ecuaciones reduciéndolas previa-mente a polinómicas:

• La ecuación 2log x – log 4 = –1 + log 10x esuna ecuación logarítmica. Se resuelve aplican-do las propiedades de los logaritmos hastaconseguir que sólo aparezca un logaritmo encada lado de la igualdad:

log x2 – log 4 = –log 10 + log 10x ⇒

x2 10x x2 10x⇒ log ––– = log –––– ⇒ ––– = ––––4 10 4 10

Una inecuación es una desigualdad establecidaentre dos expresiones matemáticas que contie-nen incógnitas y que sólo se cumple para deter-minados valores de éstas llamados soluciones.

Inecuaciones de primer gradoPara resolver una inecuación de primer gradocon una incógnita se sigue el mismo proceso quepara resolver una ecuación del mismo tipo.Hay que tener en cuenta, sin embargo, que si secambian de signo los dos miembros de unainecuación, también hay que cambiar el sentidode la desigualdad. Por ejemplo:

–4–2x < 4 ⇒ 2x > –4 ⇒ x > ––– ⇒ x > –22

Inecuaciones de segundo grado

Mediante un ejemplo se explica el proceso quese sigue para resolver una inecuación de segun-do grado con una incógnita: x2 – 5x + 6 = 0.

1. Se resuelve la ecuación correspondiente:x2 – 5x + 6 = 0 y se obtienen sus dos solucio-nes x = 2 y x = 3.

De la resolución de esta ecuación de segundogrado se obtienen dos soluciones: x = 4 y x = 0. Esta última no es válida ya que el loga-ritmo de cero no existe.

• La ecuación trigonométrica sen2 x – 4sen x ++ 3 = 0 puede resolverse mediante el cambiode variable sen x = t, que la reduce a la ecua-ción de segundo grado: t2 – 4t + 3 = 0.

• La ecuación irracional x – 1 = x – 7 se resuel-ve elevando sus dos miembros al cuadrado,con lo que se obtiene la ecuación de segundogrado: x – 1 = (x – 7)2.

• La ecuación exponencial 25x – 26 · 5x + 25 = 0se resuelve teniendo en cuenta que 25x = = (52)x = (5x)2, por lo que puede expresarse así:(5x)2 – 26 · 5x + 25 = 0. Finalmente, aplicandoel cambio de variable 5x = t, se reduce a laecuación de segundo grado: t2 – 26t + 25 = 0.

Resolución gráfica de la inecuación y < 2x – 3. Cada solución es un valor de x y un valor de y. Por tanto es

un punto. Si el signo de la desigualdad es menor, lassoluciones son los puntos del semiplano inferior.

y > 2x – 3

y = 2x – 3

y < 2x – 3

x

f(x) INECUACIONES

Inecuación de primer grado con dos incógnitas

Para resolver una inecuación de primer gradocon dos incógnitas, se representa gráficamentela ecuación correspondiente, que será una recta,y se elige uno de los dos semiplanos según elsigno de la desigualdad, tal como se observa enla gráfica superior.

799

2. Se sustituye un valor de cada uno de los inter-valos ]–∞, 2]; [2, 3] y [3, ∞[ en la expresiónx2 – 5x + 6 y se estudia el signo resultante.

La suma de matrices se efectúa sumando cada elemento de laprimera por el elemento de la segunda que ocupa la misma posi-ción. Para calcular la producción total de la empresa anterior,por ejemplo, se suma:

300 70 250 60 550 130P = F1 + F2 = 400 80 + 440 90 = 840 170 200 60 220 50 420 110

El producto de un número por una matriz se efectúa multipli-cando cada elemento de la matriz por dicho número. Por ejemplo,si en los controles de calidad se elimina el 2 % de los vehículosproducidos, la producción se reducirá a un 98 %, es decir:

0,98 · 550 0,98 · 130 539 127P' = 0,98 · P = 0,98 · 840 0,98 · 170 = 823 167 0,98 · 420 0,98 · 110 412 108

La multiplicación de dos matrices es una operación curiosa quesólo se puede realizar si el número de columnas de la primeramatriz coincide con el número de filas de la segunda. Así, por ejemplo, la matriz siguiente, V, expre-sa el precio de venta de cada uno de los vehículos en miles de euros:

Euler (1707-1783) descubrió estamatriz mágica que tiene dos

propiedades curiosas. La primera quetodas sus filas y todas sus columnassuman 260. La segunda, aun más

sorprendente, que puede ser recorridapor el caballo de ajedrez saltando

del 1 al 2, del 2 al 3 y asísucesivamente hasta llegar al 64.

El cálculo matricial, desarrollado gracias a las investigaciones de Cayley (1821-1895),

Hamilton (1805-1865), Sylvester (1814-1897) yKlein (1849-1925), tiene múltiples aplicaciones.

Una matriz es simplemente un conjunto de números ordenados por filas y columnas.

Por ejemplo, una empresa dispone de dosfactorías F1 y F2 en las que fabrica tres modelos

de automóviles (el de la gama baja, B;el intermedio, I, y el de la gama alta, A) e,

igualmente, tres modelos de motos. Se puedenescribir dos matrices para expresar el número de vehículos producidos diariamente en cada

factoría. Se emplearán tres filas, una para cada uno de los modelos, y dos columnas,

una para los coches (C) y otra para las motos (M):

Las cadenas de Markov, ideadaspor este matemáticoruso (1856-1922),permiten estudiar,aplicando el producto de matrices, los flujos dinámicos que se producen en un sistema, comopor ejemplo, cómo varían los porcentajes de poblaciónque se trasladan del centro de una ciudad a sus afueras y viceversa, cómo varía el porcentaje de personas que toma el transporte público o el privado, etc.

800

matemáticas • Álgebra

Matrices%%

C M C M300 70 B 250 60 B

F1 = 400 80 I F2 = 440 90 I200 60 A 220 50 A

OPERACIONES CON MATRICES

Se llama traspuesta de una matriz a la que seobtiene al intercambiar las filas por las columnas.

Se denomina matriz identidad a la matriz quemultiplicada por otra cualquiera la deja igual.Por ejemplo, la matriz identidad de tres filas ytres columnas es:

1 0 0I = 0 1 0 0 0 1

Se llama matriz inversa de una matriz A a otramatriz que se representa A–1, y que cumple:A · A–1 = A–1 · A = I.

CÁLCULO DE DETERMINANTES

A una matriz cuadrada se le puede asociar un número, que recibe habitualmente el nombrede determinante. Si la matriz tiene dos filas y dos columnas, por ejemplo, su determinantese calcula así:

matemáticas • Matrices

B I AC 13 25 43

V = M 5 10 20

Para calcular el beneficio bruto diario que se obtendría si se vendierantodos los coches y todas las motos fabricadas, se multiplica la matriz de

los precios por la matriz de la producción:

539 12713 25 43 45.298 10.470V · P' = · 823 167 = 5 10 20 19.165 4.465412 108

Para obtener el número que está situado en la segunda fila y lasegunda columna, se ha multiplicado la segunda fila de la matriz V por la segunda columna de la matriz P' :5 · 127 + 10 · 167 + 20 · 108 = 4.465. Para obtener los otrostres números se trabaja de forma semejante. La venta de loscoches produce un beneficio bruto de 45.298 euros, la ventade las motos, 4.465. Los números 10.470 y 19.165 carecen designificado real en este caso, ya que se han obtenido multipli-cando la producción de coches por el precio de venta de lasmotos y viceversa.

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11· a22· a33 + a21· a32· a13 + a31· a23· a12 –

– a13· a22· a31 – a23· a32· a11 – a33· a12· a21

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

La teoría de redes o grafos aplica elcálculo matricial al estudio de lasrelaciones entre los elementos de unconjunto y tiene múltiples aplicaciones:organigramas empresariales, sistemasde transporte, canales de regadío,distribución de líneas eléctricas,logística civil y militar, estructuraslingüísticas, diseño de circuitoselectrónicos, etc. En la figura vemoscómo se puede representar por mediode una matriz las carreteras que unenentre sí tres poblaciones.

Ciudad A

Ciudad

Ciudad B

A B C

A 0 1 0

B 1 0 1

C 0 1 0

801

Regla de Sarrus para calcular el determinante de una matrizde tres filas y tres columnas. Los productos de arriba son

positivos y los de abajo negativos.

a11 a12| | = a11 · a22 – a12 · a21a21 a22

En el caso de que la matriz tenga tres filas y trescolumnas, su determinante se calcula aplicandola regla de Sarrus, tal como se observa en la figura.

MATRIZ TRASPUESTA Y MATRIZ INVERSA

802

matemáticas • Geometría

Figuras Geométricas Planas

Nombre

TriánguloCuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Eneágono

Decágono

Endecágono

Dodecágono

Número de lados

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Cuadriláteros

Existen tres tipos de cuadriláteros:

• Los paralelogramos, que tienen sus ladosparalelos dos a dos y que, a su vez, pueden sercuadrados, si tienen los cuatro ángulos rectosy los cuatro lados iguales; rectángulos, si tie-nen los cuatro ángulos rectos y los lados igua-les dos a dos; rombos, si tienen los cuatrolados iguales, pero sus ángulos no son rectos,y romboides, si tienen los lados iguales dos ados, pero sus ángulos no son rectos.

• Los trapecios, que tienen dos lados paralelos,denominados bases, y otros dos no paralelos.

• Los trapezoides, sin lados paralelos.

La suma de las longitudes de los lados de unpolígono recibe el nombre de perímetro.

El área de un polígono es la superficie ence-rrada entre sus lados. Si el polígono es regular secalcula mediante esta fórmula:

p · aS = –––––2

donde p es el perímetro y a la apotema, es decir,el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de uno de sus lados.

Geometría, en griego, quiere decir medida de la tierra, y parece ser que naciópara resolver tareas de medición. Fue, sin embargo, en la Greciaantigua donde la geometría se desarrolló teóricamente gracias a

grandes matemáticos, como Tales de Mileto (s. VII/VI a.C.),Pitágoras (s. VI a.C.) y Euclides (s. III a.C.).La geometría elabora

modelos esquemáticos de la realidad que permiten estudiar susformas. Para ello dispone de unos elementos simples, el punto,

la recta y el plano, y otros más complejos, el polígono,la circunferencia, el círculo o el cono, que podemos encontrar en

muchos elementos de nuestro entorno. Un conjunto de puntoscontenidos en el mismo plano forman una figura geométrica

plana, como los polígonos y la circunferencia.

En muchosmonumentosárabes se puedecontemplar un

gran número de adornos realizados conpolígonos estrellados. Este tipo depolígonos se obtiene al unir dos vérticesno consecutivos de un polígono regular.

Según sean sus ángulos, los polígonos se cla-sifican en dos grupos:

• Cóncavos, cuando tienen algún ángulo inte-rior cóncavo.

• Convexos, si todos sus ángulos interiores lo son.

Atendiendo a su número de lados, los polígonosse clasifican como se observa en la siguientetabla:

POLÍGONOS

Un polígono es una superficie plana limitada poruna línea poligonal cerrada, es decir, por un con-junto de segmentos de recta unidos por susextremos y que no se cortan entre sí.

Los segmentos de un polígono se denominanlados. El segmento que une dos vértices no con-secutivos recibe el nombre de diagonal del polí-gono. Cada uno de los puntos de intersección dedos lados recibe el nombre de vértice, mientrasque los ángulos interiores de un polígono estánformados por dos de sus lados consecutivos. Lasuma de los ángulos interiores de un polígonode n lados vale 180 · (n – 2).

matemáticas • Figuras Geométricas Planas

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es la figura plana cuyos pun-tos equidistan de un punto interior, llamadocentro. Dicha distancia se denomina radio.El segmento que une dos puntos de la circunfe-rencia pasando por el centro de la misma sellama diámetro y mide el doble que el radio.La superficie encerrada dentro de la circunfe-rencia recibe el nombre de círculo.

Un sector circular es la parte del círculo limi-tada por un arco de circunferencia y los dosradios que pasan por sus extremos.

Un segmento circular es la parte del círculolimitada por un arco de circunferencia y la cuer-da que pasa por sus extremos.

Una corona circular es la superficie planalimitada por dos circunferencias concéntricas.

La longitud de la circunferencia de radio r es

l = 2 · π · r

Triángulos

El triángulo es, junto con la circunferencia,la figura geométrica más utilizada. Los trián-gulos, según sean sus ángulos, pueden ser:

• Acutángulos, si sus tres ángulos son agu-dos, es decir, menores de 90°.

• Rectángulos, si uno de sus ángulos mide90°.

• Obtusángulos, cuando uno de sus ánguloses mayor de 180°.

Los triángulos también pueden clasificarseatendiendo a sus lados en:

• Equiláteros, si tienen todos sus lados igua-les. Son los únicos trián-gulos regulares.

• Isósceles, cuando tienendos lados iguales y el ter-cero diferente.

• Escalenos, si sus tres ladosson desiguales.

Figura Área

Círculo S = · r2

Sector · r2· S = —————360

S = S sector – S triángulo

Corona S = ( R2 – r2 )

Segmento

r

R

ra

r

Paralelogramo S = b · a

Triángulo b · aS = ———2

Rombo D · dS = ———2

Trapecio D + dS = ——— · a2

baB

D

d

ab

ab

p · apS = ———

2

S = b · a

Cuadrado

Rectángulo

Polígono regular

S = l2

ap

ba

l

mientras que la longitudde un arco de circunferen-cia que abarca un ángulo A es

π · r ·Al = –––––––180°

803

El descubrimientode la rueda fue

un pasoimportante en el

desarrollotecnológico de laespecie humana.

Muchos de los mediosde transporte modernos

aún utilizan ruedascirculares.

Cuerda

Diámetro

Radio

Arco

Corona

Sector


Geometría del EspacioMientras que en el plano tenemos dos elementosfundamentales, el punto y la recta, en el espacio de tresdimensiones tenemos un elemento más: el plano. Un planoqueda determinado por tres puntos distintos no situados enlínea recta. Pueden tener diferentes posiciones relativas en elespacio, entre ellas las cónicas y los cuerpos geométricos.

CÓNICAS

La circunferencia, la elipse, la hipérbolay la parábola son curvas que se generancortando mediante diferentes planosuna superficie cónica y, por este motivo,reciben el nombre de cónicas. Estas curvas fueron descubiertas por Apolonio enel siglo III a. C.

• Si el plano corta perpendicularmente el eje de revolución de la superficie cóni-ca, se genera una circunferencia.

• Si el plano corta oblicuamente el eje de revolución dela superficie cónica, con un ángulo mayor que el for-mado por el eje y la generatriz de dicha superficie, segenera una elipse.

• Si el plano corta oblicuamente el eje de revo-lución de la superficie cónica, pero con unángulo menor que el formado por el eje y lageneratriz, se genera una parábola.

• Si el plano es paraleloal eje de revolución dela superficie cónica, segenera una hipérbola.

Gaudí utilizó arcos de parábola como soluciónarquitectónica en algunos de sus edificios másemblemáticos. En la imagen, buhardilla de la

casa Milá, en Barcelona (España).

El tipo de cónicaque se generacuando un planocorta a unasuperficie cónicadepende de la inclinación del mismo.

Circunferencia

Elipse

804

ElipseLa elipse es el lugar geométrico de los puntos del planoque cumplen la propiedad siguiente: la suma de sus dis-tancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La ecuación de la elipse de centro en el origen decoordenadas y de semiejes a y b es:

x2 y2

––– + ––– = 1a2 b2

Si se llama c a la semidistancia focal, se cumple la siguiente igualdad:

a2 = b2 + c2

Parábola

Hipérbola

ParábolaLa parábola es el lugar geométrico de los puntos delplano que equidistan deun punto fijo, llamadofoco, y de una recta fija,denominada directriz.

La parábola que pasapor el origen de coordena-das, cuyo foco es el punto(p/2, 0) y cuya directriz esla recta x = –p/2, tiene lasiguiente ecuación:

y2 = 2px

F

matemáticas • Geometría del Espacio

HipérbolaLa hipérbola es el lugar geo-métrico de los puntos delplano que cumplen la propie-dad siguiente: la diferenciaentre sus distancias a dos pun-tos fijos, llamados focos, esconstante.

La ecuación de la hipérbolade centro en el origen de coor-denadas y de semiejes a y b es:

x2 y2

––– – ––– = 1.a2 b2

Si se llama c a la semidistancia focal, secumple la siguiente igualdad:

c2 = a2 + b2

La excentricidad de la hipérbola tam-bién se calcula con la fórmula

ce = –––apero, en este caso, es un número mayorque uno, ya que, como se observa en lafigura, c es mayor que a.

La hipérbola tiene dos asíntotas queson las rectas:

by = ––– xa

Se llama excentricidad de la elipse al cociente

ce = –––a

La excentricidad es un número quepuede oscilar entre cero y uno. Cuan-to mayor es la excentricidad de unaelipse, más diferentes son sus dossemiejes y, por tanto, más «apepina-da» es su forma.

La circunferencia es un caso parti-cular de elipse, aquella cuyos semiejesson iguales y que, por tanto, tiene excen-tricidad cero. Sus focos coinciden encentro. La ecuación de una circun-

ferencia de centro en el punto (a, b) y de radio r es:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

b

aab

– a

– b

Ca

FF’

Representación gráfica de una elipse.La suma de las distancias a los focosdesde el punto A es el doble delsemieje mayor y, por tanto, laconstante de la elipse es 2a. Por otraparte, el punto B está situado a lamisma distancia de cada uno de losdos focos y, por consiguiente dichadistancia es a.

Representación gráfica de unahipérbola. Su constante también es 2a, como podemos comprobarfácilmente situándonos en el punto A y hallando la diferencia de las distancias existentes desdedicho punto a cada uno de los focos.

Cuando diferentes rayos de luzparten del foco de un espejo

parabólico e inciden en él,salen reflejados en direcciones

paralelas. Esta propiedad seaprovecha para fabricar los

faros de los automóviles.

805

F = F’ a = r

Representación gráfica de unacircunferencia. Sus dos semiejes

coinciden con el radio y por tanto su excentricidad es:

c a2 – b2e = ––– = ––––––––– = a a

a2 – a2= ––––––––– = 0a

c

abF’ F

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos del espacio tridimensional se pueden clasificar en dos grandes grupos: los poliedros y los cuerpos

redondos.

PoliedrosUn poliedro es la región del espaciolimitada por un conjunto de po-

lígonos, que reciben el nombre de ca-ras. La intersección de dos caras dalugar a una arista. Una o más aristasse cortan en un vértice. La porcióndel espacio comprendida entre dos

caras que tienen una arista común sedenomina ángulo diedro, mientras quetres caras forman un ángulo poliedro.

Un poliedro es regular si cumple trescondiciones: todas sus caras son polígonos regulares iguales, todos susángulos diedros son iguales y todos sus ángulos poliedros son iguales.

Existen multitud de poliedros irregulares entre los que destacan dos familias:

• Los poliedros semirregulares, cuyas caras están formadas por varias clasesdiferentes de polígonos regulares.

• Los deltaedros, cuyas caras son triángulos equiláteros.

Los prismas están formados por varios paralelogramos y dos polígonos regu-lares, denominados bases, que están contenidos en dos planos paralelos. Entrelos prismas destacan los paralelepípedos, formados por seis paralelogramos

paralelos e iguales dos a dos. Uncaso particular de paralelepípedo esel ortoedro, formado por seis rec-tángulos. El hexaedro o cubo estambién un ortoedro formado porseis cuadrados.

Las pirámides están formadaspor un polígono cualquiera, de-nominado base, y un conjunto de triángulos que se cortan en unpunto, llamado vértice. Depen-diendo del polígono de la base, lapirámide se denomina triangular,cuadrangular, pentagonal, hexago-nal, etc. Se llama altura de la pirá-mide a la recta perpendicular a labase que pasa por el vértice. Unapirámide es regular si lo es el polí-gono de su base y, además, su alturacorta a la base en el centro de ésta.


Elementos de un poliedro.

Un balón de fútbol es un poliedrosemirregular formado por treinta cuadrados,veinte triángulosequiláteros y doce pentágonosregulares.

Sólo existen cinco poliedros regulares. Sus elementos están relacionados por la fórmula de Euler: caras + vértices = aristas + 2.

Octoedro

Hexaedro

Tetraedro

Dodecaedro

Icosaedro

Poliedro Desarrollo Caras Vértices Aristas

4 4 6

6 8 12

8 6 12

12 20 30

20 12 30

806

Cara lateral

Base

Aristalateral

Vértice

El nuevo acceso al museo del Louvre de París es una pirámidecuadrangular de acero y cristal,obra del arquitecto Ming Pei.

Un balón de rugbyes un elipsoide, uncuerpo geométrico derevolución que seobtiene al girar una elipsealrededor de uno de sus ejes.

Cuerpos redondosLos cuerpos redondos que más se utilizan,

el cilindro, el cono y la esfera, se obtienen porrevolución de figuras planas alrededor de un eje.

El cono recto es el cuerpo de revoluciónque se obtiene al hacer girar un triángulo rec-

tángulo alrededor de uno de sus catetos.La base del cono es un círculo cortado en su

punto medio por la altura. La hipotenusa deltriángulo da lugar a la generatriz.

El cilindro recto es el cuerpo de revolución generadopor un rectángulo al girar alrededor de uno de sus lados.Las bases del cilindro son dos círculos iguales cuyo radio esuno de los lados del rectángulo. El otro lado da lugar a la gene-ratriz.

La esfera es el cuerpo de revolución generado por un círcu-lo que gira alrededor de su diámetro.

Como se observa en la figura, el casquete esférico, la zona esférica y elhuso esférico son subconjuntos de la superficie esférica, mientras queel segmento esférico, la rebanada esférica, la cuña esférica y el sec-tor esférico son subconjuntos del volumen esférico.

matemáticas • Geometría del Espacio

Se denomina toro al cuerpo geométrico de revolución que se obtiene al girar unacircunferencia alrededor de un eje al que no corta.

807

Casquete Zona

Huso

Superficie esférica

Volumen esférico

Segmento

Sector

Rebanada

Cuña

Partes de la superficie y del volumen

esféricos.


TransformacionesGeométricas

MOVIMIENTOS

Un movimiento es una transformacióngeométrica que conserva tanto laforma de los objetos como sus dimen-siones. Cuando un punto P se trans-forma en otro P', ambos se llamanhomólogos. Un punto homólogo de símismo se llama invariante. Existen tres tipos de movimientosgeométricos: las traslaciones, los giros y las simetrías.

TraslacionesUna traslación es una transformación geométrica que cumplela siguiente propiedad: para cualesquiera que sean los puntos

A y B, cuyos homólogos son A' y B' respectivamente, los vectoresAA' y BB' son iguales, es decir, tienen el mismo módulo, la mismadirección y el mismo sentido.

Una traslación queda determinada, como se observa en la figura,cuando se conoce la posición de dos puntos homólogos A y A'.

GirosUn giro de centro O y ángulo es una transforma-ción geométrica que cumple la siguiente propie-

dad: para cualesquiera que sean dos puntoshomólogos A y A', los vectores OA y OA' tie-nen el mismo módulo y forman un ángulo .

Un giro queda determinado, como se observa en la figura, cuando se conocen dospares de puntos homólogos, AA' y BB'.El centro de giro, O, estará entonces en el punto de intersección de las mediatrices

de los segmentos AA' y BB', ya que tiene que estar a la misma distancia de A que de A' y a igual distancia de B que

de B'.

Si consideramos dos conjuntos de puntos del plano que denominaremos origen e imagen,

la correspondencia que transforma los puntos del conjunto origen en

los puntos del conjunto imagenrecibe el nombre

de transformación geométrica.Un avión que se desplaza en línea recta es un ejemplo de traslación.

A A’

B B’

CC’

v

v

v

El vector AA' determina la traslación. El homólogo de cualquier otro punto

se obtiene aplicando en él dicho vector. Una traslación transforma los segmentos en

segmentos paralelos. Las rectas paralelas al vector de la traslación son invariantes.

Obtención del centro de giro cuando se conocen dos pares de puntos homólogos. El centro de giro es un punto invariante.En el deporte se realizanmuchos movimientos, que pueden servir como ejemplos de giro.

A’ A

O

B’

B

808

Simetrías

Una simetría axial, también llamada simetría con res-pecto a una recta r, es una transformación geométricaque cumple la siguiente propiedad: para cualesquie-ra que sean los puntos homólogos A y A', la recta AA' esperpendicular a la recta r, que recibe el nombre de ejede simetría, y las distancias desde los puntos A y A' a rson iguales.

Una simetría axial queda determinada, como seobserva en la figura, cuando se conocen dos puntoshomólogos A y A', puesto que el eje de simetría es lamediatriz del segmento AA'.

Una simetría central, también llamada simetría conrespecto a un punto O, es una transformación geomé-trica que cumple la siguiente propiedad: para cuales-quiera que sean los puntos homólogos A y A', los pun-tos A y A' están alineados con el punto O, denominadocentro de simetría, y los vectores OA y OA' tienen elmismo módulo.

Para determinar una simetría central basta con cono-cer un par de puntos homólogos, ya que el centro desimetría es el punto medio del segmento que los une.

Movimientos en el planoLa composición de dos movimientos consiste en la realización consecutiva de los mismos. Es impor-tante efectuarlos en el orden indicado, ya que, en muchas ocasiones, la composición de dos movi-

mientos no resulta conmutativa. Algunos casos son lossiguientes:

• La composición de dos traslaciones es otra traslación cuyovector es la suma de los vectores de cada una.

• La composición de dos giros de mismo centro y de ángulos y ' es otro giro del mismo centro y de ángu-lo .

• La composición de dos giros de distintos centros y de dis-tintos ángulos es otro giro cuyo ángulo es la suma de los dos ángulos y cuyo centro se determina a partir dedos pares de puntos homólogos.

• La composición de dos simetrías axiales de ejes paraleloses una traslación. El módulo de su vector es el doble de ladistancia entre los ejes de simetría. La dirección es per-pendicular a la de los ejes.

• La composición de dos simetrías axiales de ejes no para-lelos es un giro de centro en el punto de intersec-ción de los ejes de simetría y cuyo ángulo es el dobleque el formado por dichos ejes.• La composición de dos simetrías centrales que tie-

nen el mismo centro es la identidad, ya que cadapunto se transforma en sí mismo.

El eje de simetría puede determinarse apartir de dos puntos homólogos. Un

espejo, el eje de simetría, puede darnosuna idea muy precisa de lo que es una

simetría axial, ya que transforma los puntosdel objeto A, en los homólogos de la

imagen reflejada, A’.

A

Eje de simetría

A’

matemáticas • Transformaciones Geométricas

809

36o 144o

72o 108o

Para diseñar un mosaico se parte de un motivomínimo que se repite aplicándole unatraslación, simetría o giro. Los mosaicostradicionales o bien son regulares, mosaicosformados por polígonos regulares e iguales, obien son semirregulares, formados por una combinación de diferentes polígonos regulares. Las investigaciones de Penrose y de Robinson han dadolugar a interesantes mosaicos irregulares, como este de Penrose, formado por rombos.


PROPORCIONALIDAD

Una homotecia de centro O y de razón k es unatransformación geométrica tal que dospuntos homólogos cualesquiera A y A' siempre están alineadoscon O, cumpliéndose además que OA' = k · OA.

ProporcionalidadDibujo 1

A

A’

O

Dibujo 2

v v

vv

AB

D C

A’

B’

D’

C’

A’’B’’

D’’ C’’

O

Cuando se compone unahomotecia con un movimien-to resulta una semejanza.

Las semejanzas conservan los ángu-los, ya que tanto las homotecias co-mo los movimientos los conservan.

Una razón es un cociente de dosnúmeros, mientras que una proporciónes la igualdad de dos razones. Cuandolas longitudes de distintos segmentoscumplen una determinada proporción,se dice que los segmentos son proporcionales.Por ejemplo, los segmentos AB, de longitud 4 cm; CD, de longitud 6 cm; EF, de longi-tud 30 cm, y GH, de longitud 45 cm, son pro-porcionales, ya que:

4 30––– = ––––6 45

Las homotecias transforman segmentos en seg-mentos proporcionales, mientras que los movi-mientos conservan las distancias, por lo que lassemejanzas transforman segmentos en segmen-tos proporcionales.

Si una figura se transforma en otra por mediode una semejanza de razón k, se cumple que:

1. La razón entre dos longitudes correspondien-tes es k.

3. La razón entre dos áreas correspondientes esk2.

3. La razón entre sus volúmenes es k3.

Esto significa que si los lados de un cuerpo geo-métrico miden, por ejemplo, el doble que los deotro cuerpo semejante, el área de las caras delprimero será cuatro veces mayor que el área de las caras del segundo y el volumen del prime-ro será ocho veces mayor que el del segundo.

810

El plano de un edificio o el de una pieza de una máquina

son semejantes al edificio o a la pieza en la realidad.

Semejanza que seobtiene al componer unahomotecia con unatraslación.

En una homotecia se conservan los ángulos, mientras que los

segmentos se convierten en segmentos paralelos de longitudes proporcionales. El centro de la

homotecia es un punto invariante, así como cualquier recta

que pase por él.

matemáticas • Transformaciones Geométricas

TEOREMAS DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Aplicando las propiedades de la semejanza, sepuede demostrar que en cualquier triángulorectángulo se cumplen tres importantísimosteoremas, de frecuente aplicación enmatemáticas:

• Teorema de Pitágoras: la hipote-nusa al cuadrado es igual a lasuma de los cuadrados de loscatetos:

a2 = b2 + c2

TEOREMA DE TALES

El teorema de Tales dice que, cuando dos rectas secantes se cortan por unconjunto de rectas paralelas, los segmentos que se forman en una de ellas

son proporcionales a los segmentos determinados en la otra.Se dice que dos triángulos están en posición de Tales si tienen un

ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. Dostriángulos que, mediante un cierto movimiento, puedan colocarse

en la posición de Tales son semejantes. Esto ocurre en tres casos:

• Cuando tienen dos ángulos iguales.• Cuando tienen los tres lados proporcionales.• Cuando tienen un ángulo igual comprendido entre dos lados pro-

porcionales.

En el caso de que el triángulo sea rectángulo, basta con que cumplauna de estas dos condiciones:

• Que tengan un ángulo agudo igual.• Que tengan dos lados proporcionales.

A

CB

B’ C’

Triángulos en la posición de Tales y,por tanto semejantes. En ellos secumple que:• A es común• B = B'• C = C'

AB AC BC• –––– = –––– = –––––

AB' AC' B'C'

• Teorema del cateto: cada cateto es media pro-porcional entre la hipotenusa y su proyecciónsobre ella.Esto significa que, dado un triángulo rectán-gulo de hipotenusa a y de catetos b y c, en elque la altura h divide a la hipotenusa en dossegmentos n y m, se cumplen estas dos igual-dades:1. c2 = m · a.2. b2 = n · a.

• Teorema de la altura: la altura es media pro-porcional entre los dos segmentos n y m enlos que divide a la hipotenusa:

h2 = n · mEn una fotografía y en su ampliaciónpodemos observar figuras semejantes.

A

B C

c b

a

m n

h

811

Teoremas de los triángulos rectángulos.

812

Hemos agrupado a las 172familias que viven en viviendascon una sola habitación, a las2.724 cuya vivienda tiene doshabitaciones, etc. El número dehabitaciones es la variable queestudiamos y el número defamilias se denomina frecuenciaabsoluta, f, que puede definirsecomo el número de veces quese repite un determinado valorde la variable.

matemáticas • Estadística y Probabilidad

POBLACIÓN Y VARIABLES

Se llama población estadística al conjunto quese estudia. Las características de la poblaciónque son objeto de estudio se denominan varia-bles. La población puede estar constituida porpersonas, pero también puede estudiarse elnúmero de ejemplares vendidos de un periódicoo el peso de los paquetes de sal de una marcadeterminada. En este último caso, la variable esel peso y la población está formada por paquetesde sal.

Las variables pueden ser cualitativas, si losvalores que pueden tomar no son numéricos, ocuantitativas, si toman valores numéricos.El estado civil, por ejemplo, es una variable cua-litativa, mientras que el peso es cuantitativa.

La estadística es la rama de las matemáticas que seocupa del tratamiento de grandes cantidades de datoscon el fin de obtener conclusiones que permitantomar decisiones razonables.

Las cuantitativas pueden ser continuas, cuan-do pueden tomar cualquier valor de un ciertointervalo, o discretas, si sólo toman valores enteenteros.

Como manejar una gran cantidad de datosdesorganizados es una tarea poco eficiente, lainformación estadística se agrupa en tablas defrecuencia. En la figura, por ejemplo, se observauna tabla que clasifica a 33.101 familias de unacierta ciudad según el número de habitacionesque tiene su vivienda.

Si la variable es continua, los datos se agru-pan por intervalos. Hay que tener en cuenta que,si los datos son muy dispersos, se suelen agrupartambién por intervalos, aunque la variable tome

valores enteros, tal como se observa enla tabla de la figura.

Para representar los datos se empleandiversos tipos de gráficos estadísticos,entre los que destacan, los diagramas debarras, los histogramas, los polígonos de frecuencias, los diagramas de sectoresy los pictogramas.

Estadística Descriptiva

El número de ejemplares vendidos de una determinada publicación constituye uno de lospropósitos más habituales de los análisis estadísticos.

Variable (x) Frecuenciaabsoluta (f)

Frecuenciarelativa (fr)

Frecuenciaacumulada (F)

Frecuencia relativaacumulada (Fr)

1

2

3

4

5

172

2.724

18.198

10.170

1.715

122

0,52%

8,23%

54,98%

30,72%

5,18%

0,37%

172

2.896

21.094

31.264

32.979

33.101

0,52%

8,75%

63,73%

94,45%

99,63%

100%6

Tamaño: 33.101 100% Resultados de un estudio realizado con3.600 frigoríficos con el fin de analizar su duración.

En el segundo intervalo, por ejemplo, se agrupan los 227 que resistieronentre dos y cuatro años. El punto medio de cada intervalo

(1, 3, 5… años) recibe el nombre de marca de clase.

Intervalo Marca de clase Frecuencia absoluta (f)0 – 2

2 – 4

4 – 6

6 – 8

8 – 10

10 – 12

1

3

5

7

9

11

12

227

415

832

1.154

711

12 – 14

14 – 16

13

15

215

34

Tamaño: 3.600

PARÁMETROS CENTRALES

Los parámetros estadísticos de centralizacióndan una idea de conjunto acerca de los datoscon los que se trabaja. Los más utilizados son:

• La media aritmética, que se calcula median-te la fórmula

∑i

xi · fi–x = –––––––∑i

fi

En el caso de que los valores se distribuyanpor intervalos, se sustituyen los datos porlas marcas de clase. Para hallar la media dehabitaciones de la tabla anterior, se calcula:

1 · 172 + 2 · 2.724 · + … + · 6 · 122–x = ———–––––––––––––––––––––––––– = 3,33172 + 2.724 + … + 122

• La moda es el valor con mayor frecuencia.En el ejemplo, Mo = 3.

• La mediana se define como el valor que ocupala posición central cuando los datos se orde-nan de menor a mayor. El valor buscadoocupa la posición 0,5 · 33.101 = 16.551. En latabla de frecuencias acumuladas se observaque la del 3, que vale 21.094, es la primera quesupera la cifra 16.551. La mediana es, pues,Me = 3.

matemáticas • Estadística Descriptiva

PARÁMETROSDE DISPERSIÓN

Distribuciones estadísticas que tenganla misma media pueden ser muy dife-rentes. La renta per cápita de un país,por ejemplo, indica la renta media decada habitante, pero ¿es posible medir si las ren-tas reales de cada habitante están cercanas a lamedia o, por el contrario, si unas personas gananmucho y otras muy poco? Para responder a estapregunta se dispone de los parámetros estadísti-cos de dispersión. Los más utilizados son:

• La varianza, que se calcula mediante la si-guiente fórmula:

∑i

x2i · fi

s2 = ––––––– – –x 2∑i

fi

813

Diagrama de sectores querepresenta los escaños

conseguidos por lasdiversas agrupaciones

políticas queconcurrían a las

eleccionesmexicanas

del año 2000.

PRD (68)PAN (224)

PRI (208)

Diagrama de barras correspondiente a la distribuciónde la tabla anterior. En el eje horizontal

representamos los valores de la variable, es decir, elnúmero de habitaciones, y en el vertical la frecuencia

absoluta, esto es el número de familias.

20.000

10.000

0

15.000

1.000

1 2 3 4 5 6

• Los tres cuartiles, que tienen el mismo signi-ficado que la mediana pero respecto al 25 %,50 %, y 75 % del tamaño de la población.El segundo cuartil coincide con la mediana.En el ejemplo, Q1 = 3, ya que su frecuenciaacumulada es mayor que 0,25 · 33.101 = = 8.275, y Q3 = 4.

En el ejemplo:

12 · 172 + … + · 62 · 122s2 = –—–––––––––––––––––––– – 3,332 = 0,54172 + … + 122

• La desviación típica, que es la raíz cuadradade la varianza:

s = 0,54 = 0,73

Operaciones con sucesos

Con los sucesos se pueden realizar las siguientes operaciones:

• La intersección de sucesos, que se representa como A B y quese define como el suceso que sólo se verifica si se verifican tantoA como B. Por ejemplo, en el experimento aleatorio de lanzar undado, si el suceso P es obtener un número par y el suceso M essacar un número mayor que 3, la intersección es P M = 4, 6.

• El suceso contrario de un suceso A, que serepresenta como A– y que se define como

el suceso que sólo se verifica cuando nose verifica A. Por ejemplo, el sucesocontrario de obtener un resultado pares I = 1, 3, 5, es decir, obtener unresultado impar.• La unión de sucesos, que se representa como A B y que se verifica

cuando ocurre alguno de los dos, esdecir, cuando se verifica A, B o ambos.En el caso de lanzar un dado, porejemplo, P M = 2, 4, 5, 6.

El espacio muestraldel experimento aleatorio

de lanzar cuatro dados consta de6 · 6 · 6 · 6 = 1.296 combinaciones,

una de las cuales es la de la figura: 4-6-1-5.

El diagrama de Venn consta de dos círculos que se cortan y que representan a losconjuntos A y B. Se forman así cuatro conjuntos sin elementos comunes: A B–; A

B; A– B y A– B–. El diagrama de árbol contiene la misma información, pero larepresenta de otra manera: por medio de cuatro caminos, cada uno de los cualescoincide con uno de los cuatro subconjuntos del diagrama de Venn.Una tercera forma de representar la misma información es una tabla de dobleentrada, que contiene los cuatro subconjuntos, los totales por filas y por columnas yel total global.

A B

12257- – 12=

= 245

87- – 12=

= 7-5

—

AB—AB

AB

— —AB350 – 245 – 12 – 7-5 = 18

Diagrama de árbol

A

–A

B

–B

B

–B

7-5

245

12

18

Diagrama de árbol

SUCESOS

Un experimento regido por el azar, es decir,del que se desconocen las leyes físicas que lodeterminan, se denomina un experimentoaleatorio. Cuando se lleva a cabo un experimento aleatorio, el conjunto de los posibles resulta-dos recibe el nombre de espacio muestral y se dice que cada uno de ellos es un suceso elemental.Por ejemplo, si se realiza el experimento aleatorio de lanzar un dado, el espacio muestral es:E = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Se llama suceso compuesto a cualquier subconjunto del espacio muestral.Por ejemplo, sacar un número par es un suceso compuesto P = 2, 4, 6, ya que P S.

El concepto de probabilidad puede serdefinido por la «ley del azar», en la que las

frecuencias relativas de un sucesoobservable tienden a estabilizarse, a

agruparse en torno a un determinado valor,cuando el número

de repeticiones de la experiencia aleatoriaes infinitamente grande; dicho valor recibe

el nombre de probabilidad del suceso.

B—B Total

A 12 245 257-

—A 7-5 18 93

Total 87- 263 350

814

Diagrama de Venn

Tabla de doble entrada

Combinatoria y Probabilidad

matemáticas • Estadística y Probabilidad

matemáticas • Combinatoria y Probabilidad

CÁLCULODE PROBABILIDADES

El matemático ruso Andrei Kolmogorov (1903-1987) estableció los axiomas de la teoría de laprobabilidad. Según dicha teoría, establecer unaley de probabilidad consiste en definir una fun-ción que asocie a cada suceso A E un númeroreal, que se representamos como P (A ), tal que:

• La probabilidad de un suceso nunca puede sernegativa: P (A ) ≥ 0.

• La probabilidad de todo el espacio muestrales uno: P (E) = 1.

• La probabilidad de la unión de dos sucesosincompatibles es la suma de las probabilida-des de cada uno: A B = ⇒ P (A B) == P (A ) + P (B).

A modo de ejemplo, en una encuesta realizada a350 personas, 257 son partidarias de que elgobierno otorgue el 0,7 % del PNB como ayudaal desarrollo, 87 de la pena de muerte y 12 deambas cosas. Se puede representar la situaciónmediante un diagrama de Venn, un diagrama deárbol o una tabla de doble entrada, tal como seobserva en la figura. Entonces, si se elige al azara una persona de la muestra, la probabilidad deque:

• No sea partidaria de ninguna de las dos cosases:

18P (A– B– ) = –––– = 0,0514 = 5,14 %350

• Sea partidaria de sólo una de ellas es:

P[(A– B) (A B– )] =

245 + 75= P (A– B) + P (A B– ) = –––––––– =350320= –––– = 0,9143 = 91,43 %350

• Sea partidaria de alguna de ellas es:

257 + 12 + 75 332P (A B) = –––––––––––– = –––– = 350 350

= 0,9486 = 94,86 %

La forma más común de otorgar probabilidades,aunque no la única, es la llamada ley de Laplace:la probabilidad de un suceso es el cociente entreel número de casos favorables a dicho suceso y el número de casos posibles. Por ejemplo, laprobabilidad de sacar un número impar al lan-zar un dado es

3P(I ) = ––– = 0,5 = 50 %6En este caso ha sido muy fácil efectuar el recuen-to de los casos favorables y de los casos posibles,pero a veces son tan numerosos que el recuentoresulta dificultoso. En muchos de estos casospuede servir de ayuda la teoría combinatoria, queestudia, tal como se observa en la figura, elnúmero de grupos que se pueden formar con melementos atendiendo a tres aspectos:

1. Si en cada grupo tienen que entrar todosnecesariamente.

2. Si en cada grupo puede haber elementosrepetidos.

3. Si influye el orden en el que se han seleccio-nado los elementos integrantes del grupo.La teoría combinatoria es útil para manejar un elevado

número de probabilidades.

Nombre

Variaciones

Variacionescon repetición

Permutaciones

Permutacionescon repetición

Combinaciones

¿Entran todos? ¿Puede haberelementos repetidos?

¿Influye el orden? Fórmula

No

No

No

No

No

No No

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Vm,n = m ( m – 1 )....( m – n + 1 )

V ‘m,n = mn

Pn = n!

a, b, ... R n!Pn = —————–a! b! ..... k!

mm!Cm,n = = ——————

n n!( m – n )!

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