Mecanica. 01 estatica de particulas. fuerzas en el plano. fuerzas en el espacio

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

MECÁNICA VECTORIAL

(ESTÁTICA). PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA

Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 1: ESTÁTICA DE

PARTÍCULAS. FUERZAS EN EL PLANO. FUERZAS EN EL

ESPACIO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, febrero de 2017.

Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. http;//www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

CONTENIDO.

CONTENIDO........................................................................................................................ 2

PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 5

1.1.- FUERZAS EN UN PLANO. .......................................................................................... 9

Adición o suma de vectores. Solución gráfica. ................................................................... 9

Ejemplo 1.1. Ejemplo 2.1 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 23. ............... 9

Ejercicios propuestos. ...................................................................................................... 9

Trigonometría (Teorema del seno y teorema del coseno). ................................................ 12

Ejemplo 1.2. Problema resuelto 2.1 del Beer y Jhonston. Estática. Novena Edición.

Página 22. ....................................................................................................................... 12


Página 23. ....................................................................................................................... 12

Ejemplo 1.4. Ejemplo 2.3 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 25. ............. 13

Ejemplo 1.5. ................................................................................................................... 13

Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 14

Ejemplo 1.6. Ejemplo 2.4 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 26. ............. 19


Ejemplo 1.7. Problema 2.30 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 31. .......... 24


Ejemplo 1.8. Problemas 2.16 y 2.17 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 29.

........................................................................................................................................ 26


Componentes rectangulares de una fuerza. ....................................................................... 29

Teorema. ............................................................................................................................ 30

Ejemplo 1.9. Ejemplo 1 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 28. .................. 31


Ejemplo 1.10. Ejemplo 2 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29. ................ 34

Ejemplo 1.11. Problema 2.230 del Beer – Jhonston. Novena Edición. Página 34. ....... 34

Ejemplo 1.12. Problema 2.230 del Beer – Jhonston. Novena Edición. Página 34. ....... 35

Ejemplo 1.13. Problema 2.26 del Beer – Jhonston. Novena Edición. Página 34. ......... 35


Vectores unitarios. ............................................................................................................. 39

Notación vectorial cartesiana. ........................................................................................... 39

Ejemplo 1.14. Ejemplo 3 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29. ................ 40

Operaciones con vectores. ................................................................................................. 40

Resultante de fuerzas coplanares....................................................................................... 40

Ejemplo 1.15. Ejemplo 2.6 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 36. ........... 41


Suma de un sistema de fuerzas coplanares........................................................................ 46

Ejemplo 1.16. Problema resuelto 2.3 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 31......................................................................................................................................... 46

Ejemplo 1.17. ................................................................................................................. 47



Ejemplo 1.18. Ejemplo 2.7 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 37. ........... 47

Ejemplo 1.19. Problema 2.38 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 40. ........ 48



Ejemplo 1.22. Problema 2.37 del Beer y Jhonston. Novena Edición. Página 35. ......... 49


1.2.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO. ............................................ 59

Cuerpos sometidos a tres fuerzas. ..................................................................................... 59

Ejemplo 1.23. Problema 3.66 del Hibbeler. Décima Edición. Página 110. ................... 59

Ejemplo 1.24. Ejemplo 5.4 del Serway. Séptima Edición. Página 111. ........................ 59

Ejemplo 1.25. Problema resuelto 2.4 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29.

........................................................................................................................................ 60

Ejemplo 1.26. Problema 3.18 del Hibbeler. Sexta Edición. .......................................... 60


Cuerpos sometidos a más de tres fuerzas. ......................................................................... 66


........................................................................................................................................ 66


Sistemas que involucran resortes. ..................................................................................... 71

Ejemplo 1.28. Ejemplo 3.4 del Hibbeler. Décimo segunda Edición. Página 93. .......... 71


........................................................................................................................................ 71



1.3.- FUERZAS EN EL ESPACIO. ..................................................................................... 78

Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio. ................................................. 78

Representación de un vector cartesiano. ........................................................................... 79

Magnitud o Módulo de la fuerza. ...................................................................................... 79

Vector unitario................................................................................................................... 79

Ejemplo 1.31. Ejemplo 2.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 49. ....................... 80

Ejemplo 1.32. ................................................................................................................. 80


Ángulos directores de una fuerza. ..................................................................................... 81

Dirección de la fuerza. ...................................................................................................... 82

Ejemplo 1.33. Ejemplo 2 del Beer - Jhonston. Estática. Página 39. .............................. 83

Ejemplo 1.34. Ejemplo 2 del Beer - Jhonston. Estática. Página 39. .............................. 83

Ejemplo 1.35. Ejemplo 2.8 del Hibbeler. Décima Edición. Página 47. ......................... 84

Ejemplo 1.36. Problema 2.78 del Hibbeler. Décima Edición. Página 54. ..................... 84


Fuerza definida en términos de su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción. .... 86

Ejemplo 1.37. ................................................................................................................. 88

Ejemplo 1.38. Problema resuelto 1.7 del Beer y Jhonston. Estática. Página 41. ........... 88

Ejemplo 1.39. Ejemplo 2.14 del Hibbeler. Décima Edición. Página 2.14. .................... 88




1.4.- ADICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES EN EL ESPACIO. ............................ 99

Ejemplo 1.40. ............................................................................................................... 100

Ejemplo 1.41. Ejemplo 2.9 del Hibbeler. Décima Edición. Página 48. ....................... 100

Ejemplo 1.42. Problema resuelto 1.8 del Beer y Jhonston. Estática. Página 42. ......... 100

Ejemplo 1.43. Ejemplo 2.11 del Hibbeler. Décima Edición. Página 50. ..................... 101

Ejercicios propuestos. .................................................................................................. 101

1.5.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL ESPACIO. ....................................... 104


Ejemplo 1.45. Problema 2.77 del Hibbeler. Décima Edición. Página 54. ................... 105

Ejemplo 1.46. Problema 3.70 del Hibbeler. Décima Edición. Página 110. ................. 105


Ejemplo 1.47. Problema 3.50 del Hibbeler. Sexta Edición. ........................................ 108


Ejemplo 1.49. Problema resuelto 2.9 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 58.

...................................................................................................................................... 109


Ejemplo 1.51. Problema 3.45 del Hibbeler. Sexta Edición. ........................................ 110

Ejemplo 1.52. Problema 2.114 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 62. ...... 110




Sistemas que involucran resortes. ................................................................................... 123




Sistemas que contienen puntales. .................................................................................... 127



Sistemas en los cuales hay una fuerza compartida. ......................................................... 128





PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Mecánica Vectorial para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial,

Mecánica y de Petróleo de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de los

ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del estudiante así

como la inclusión de las respuestas a algunos ejercicios seleccionados y su compilación en

atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente la bibliografía especializada en

la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y responsabilidad del autor

sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente

en la literatura.

Esta guía es ideal para ser utilizada por estudiantes autodidactas y por estudiantes

que están por tomar un curso universitario de Mecánica Vectorial, así como por profesores

que se estén iniciando en el área de enseñanza de Mecánica Vectorial y Física I para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología.

El concepto de vector fuerza es fundamental en el estudio de la Mecánica Vectorial,

pues es la base de la mayoría de las definiciones involucradas en el estudio de esta materia

(momento de una fuerza, reducción de un sistema de fuerzas, equilibrio de cuerpos rígidos,

cargas distribuidas en vigas y análisis de estructuras.), y en esta guía el autor presenta de

manera clara y rigurosa el espectro de situaciones involucradas en el manejo de vectores

fuerza, tanto en el plano como en el espacio y las diferentes formas de obtener las

componentes rectangulares de un vector fuerza así como las operaciones que se pueden

realizar con dichos vectores. Adicionalmente se presentan la condición requerida para el

equilibrio de cuerpos en el plano y en el espacio.



Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en esta guía, el estudiante

puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente al momento de una fuerza con

respecto a un punto en el plano, en el espacio y con respecto a un eje.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Mecánica Vectorial, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, correo

electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas,

Maturín, Estado Monagas, Venezuela.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la

Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó

sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas

mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por

LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios

universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó

como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica

Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a

la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de

Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado

Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma

corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte

del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan

Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de

preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando

finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad

de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos

de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,

forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,

Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),

cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),

Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV

(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de



Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Desde el año 2010 ha sido autor de

video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y

ecuaciones diferenciales a través del portal http://www.tareasplus.com/, es autor de

compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de

Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica,

Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e

Ingeniería Económica. Adicionalmente es tutor certificado en el site www.coursehero.com/.

En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración

de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso

y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda,

siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a

los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como

una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2016)

ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a

través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con

privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual

cuenta con un promedio diario de 3500 visitas, y en forma privada (versión completa)

mediante la corporación http://www.amazon.com/. Es miembro del Colegio de Ingenieros

de Venezuela.



1.1.- FUERZAS EN UN PLANO.

Adición o suma de vectores. Solución gráfica.

Ejemplo 1.1. Ejemplo 2.1 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 23.

La armella roscada de la figura está sometida a dos fuerzas F1 y F2. Determine la magnitud

y la dirección de la fuerza resultante.

Solución.

Ejercicios propuestos.

1. [BJ] Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura.

Si se sabe que P = 75 N y Q = 125 N, determine en forma gráfica la magnitud y la

dirección de su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.

Figura Problemas 1 y 2.

Respuesta: 179 N, 75.1°.

https://www.amazon.com/dp/B01JGQB61A/



2. [BJ] Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura.

Si se sabe que P = 60 lb y Q = 25 lb, determine gráficamente la magnitud y la dirección de

su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.

Respuesta: 77.1 lb, 85.4°.

3. [BJ] Se aplican dos fuerzas en el punto B de la viga. Determine gráficamente la magnitud

y la dirección de su resultante con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.

Respuesta: R = 3.30 kN, 6.66 .

4. [BJ] Dos fuerzas se aplican a una armella sujeta a una viga. Determine gráficamente la

magnitud y la dirección de su resultante usando a) la ley del paralelogramo y b) la regla del

triángulo.

Respuesta: 8.40 kN, 19.0°.

5. Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas sujetas a las dos fuerzas que

se muestran en la figura. Determine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su

resultante usando a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.



Respuesta: 5.4 kN, 12°.

6. [BJ] Los tirantes de cable AB y AD ayudan a sostener el poste AC. Si se sabe que la

tensión es de 120 lb en AB y 40 lb en AD, determine gráficamente la magnitud y la

dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A con a) la ley del

paralelogramo y b) la regla del triángulo.

Respuesta: R =139.1 lb, 0.67 .

Dos elementos estructurales B y C están sujetos con pernos a la ménsula A.




7. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en tensión, y que kN 10P y kN 15Q ,

determine gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante ejercida sobre la

ménsula con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.

8. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en tensión, y que kips 6P (1 kip = 1000

lb) y kips 4Q , determine gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante

ejercida sobre la ménsula con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.

Respuesta: R = 8.03 kips, 8.3 .

Trigonometría (Teorema del seno y teorema del coseno).


Página 22.

Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determínese su resultante.

Solución.





Página 23.

Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por

los remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchón, determine:

a) la tensión en cada una de las cuerdas, sabiendo que º45 , y b) el valor de tal que

la tensión en la cuerda 2 sea mínima.

Solución.


Determine la magnitud de la fuerza componente F en la figura y la magnitud de la fuerza

resultante FR si FR está dirigida a lo largo del eje positivo y.

Solución.

Ejemplo 1.5.

[JB] La ménsula mostrada soporta dos fuerzas. Determine el ángulo de manera tal que la

línea de acción de la resultante quede a lo largo del eje x. ¿Cuál es la magnitud de la

resultante?





Solución.


9. [BJ] Resuelva el problema 2 mediante trigonometría.

Respuesta: 77.1 lb, 85.4°.


Respuesta: 3 .30 kN, 66.6°.




Respuesta: R =139.1 lb, 67.0°.


Respuesta: R = 8.03 kips, 3.8°.

Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura.


x

y

30º

500 N

650 N




14. [BJ] Sabiendo que la magnitud de P es de 600 N, determine por trigonometría a) el

ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es vertical,

y b) la magnitud correspondiente de R.

Respuesta: 72.2°, 1.391 kN.

15. [BJ] Determine, por trigonometría, la magnitud y la dirección de la resultante de las dos

fuerzas aplicadas en el gancho, si se sabe que P = 500 N y 60 .


Un carrito que se desplaza a lo largo de una viga horizontal está sometido a dos fuerzas,

como se muestran en la figura.


16. [BJ] a) Si se sabe que º25 , determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P

tal que la fuerza resultante ejercida sobre el carrito sea vertical. b) ¿Cuál es la magnitud

correspondiente de la resultante?

Respuesta: a) 3660 N. b) 3730 N.

17. [BJ] Determine por trigonometría la magnitud y dirección de la fuerza P tal que la

resultante sea una fuerza vertical de 2500 N.

Respuesta: 2 600 N, 53.5°.

Dos varillas de control están unidas en A a la palanca AB.




18. [BJ] Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla de la izquierda es F1 =

30 lb, determine a) la fuerza F2 requerida en la varilla derecha si la resultante R de las

fuerzas ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente

de R.

Respuesta: a) 26.9 lb; b) 18.75 lb.

19. [BJ] Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla derecha es F2 = 20 lb,

determine a) la fuerza F1 requerida en la varilla izquierda si la resultante R de las fuerzas

ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.

20. [JB] Dos remolcadores A y C arrastran un barco B. La tensión en el cable AB es 4000

lb y la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B está dirigida a lo largo del eje del barco.

Determinar: a) La tensión en el cable BC. b) La magnitud de la resultante de las dos fuerzas

aplicadas en B.

x

y

30º

40º

A

B

C



Respuesta: lb)20005072.2383( jiTBC , lb 6068.5847R .

21. [JB] Para mover una mula atravesada en medio de la vía se aplican dos tensiones T1 y

T2. Determinar la magnitud de cada una de ellas sabiendo que la fuerza resultante tendrá

una magnitud de 6 N y estará dirigida a lo largo del eje x.

Respuesta: T1 = 3.5860 N, T2 = 2.9021 N.

22. [JB] Se arrastra un automóvil por medio de dos cables como se aprecia en la figura. Si

la resultante de las dos fuerzas ejercidas por los cables es una fuerza de 300 lb, paralela al

eje del automóvil, calcule la tensión en cada cable sabiendo que º30 y º20 .

Respuesta: T1 = 133.9427 lb, T2 = 195.8111 lb.

23. [JB] Para el esquema mostrado, determinar la magnitud de F y su dirección de manera

tal que la resultante tenga una magnitud de 1.5 N y esté dirigida a lo largo del eje x.

x

y

20º

30º

1T

2T

x

2T

y

1T

20º

A 25º



Respuesta: º6025.46 , N 5906.1F

Dos elementos estructurales A y B están remachados al apoyo que se muestra en la figura


24. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el

elemento A es de 15 kN y en el elemento B es de 10 kN, determine por trigonometría la

magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos

A y B.

25. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el

elemento A es de 10 kN y en el elemento B es de 15 kN, determine por trigonometría la

magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos

A y B.


x

y

70º

F

N 25.11 F




Se requiere que la fuerza resultante que actúa sobre la arnella roscada de la figura esté

dirigida a lo largo del eje positivo x y que F2 tenga una magnitud mínima. Determine esta

magnitud, el ángulo y la fuerza resultante correspondiente.

Solución.


26. [RH] El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Determine las magnitudes de las

fuerzas FA y FB que actúan en cada cuerda para desarrollar una fuerza resultante de 950 N

dirigida a lo largo del eje x positivo. Considere que 50 .

Respuesta: FA = 774 N, FB = 346 N.





27. [RH] El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Si la fuerza resultante debe ser de

950 N, dirigida a lo largo del eje x positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y

FB que actúan en cada cuerda y el ángulo de FB de manera que la magnitud de FB sea un

mínimo. FA actúa a 20° medidos desde el eje x, como se muestra en la figura.

Respuesta: FA = 893 N, FB = 325 N, 0.70 .

28. [RH] En tronco de un árbol es remolcado por dos tractores A y B. Determine la

magnitud de las dos fuerzas de remolque FA y FB si se requiere que la fuerza resultante

tenga una magnitud FR = 10 kN y esté dirigida a lo largo del eje x. Considere que 5 .

Respuesta: FA = 3.66 kN, FB = 7.07 kN.


29. [RH] Si la resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco debe estar dirigida

a lo largo del eje x positivo y tener una magnitud de 10 kN, determine el ángulo del

cable unido a B de modo que la fuerza FB en este cable sea mínima. ¿Cuál es la magnitud

de la fuerza en cada cable para esta situación?

Respuesta: FA = 8.66 kN, FB = 5.00 kN, 60 .

30. [RH] Se va a levantar una viga mediante dos cadenas. Determine las magnitudes de las

fuerzas FA y FB que actúan sobre cada cadena para que desarrollen una fuerza resultante de

600 N dirigida a lo largo del eje y positivo. Considere que 45 .




31. [RH] La viga se va a levantar con dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N

dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB sobre

cada cadena y el ángulo de FB de manera que la magnitud de FB sea mínima. FA actúa a

30° desde el eje y, como se muestra en la figura.

Respuesta: FA = 520 N, FB = 300 N.

Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura.

Figura Problemas 32, 33 y 34.

32. [BJ] Si se sabe que la magnitud de P es 35 N, determine por trigonometría a) el ángulo

, requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicada en el gancho debe ser horizontal

y b) la magnitud correspondiente de R.

Respuesta: a ) 37.1°. b ) 73.2 N.



33. [BJ] Determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más

pequeña para la cual la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho sea horizontal y

b) la magnitud correspondiente de R.

Respuesta: a ) 21.1 N. b ) 45.3 N.

34. [BJ] Si se sabe que P = 75 N y º50 , determine por trigonometría la magnitud y

dirección de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho.

Un recipiente de acero debe colocarse dentro de una excavación.


35. [BJ] Si se sabe que º20 , determine por trigonometría a) la magnitud requerida de la

fuerza P si la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical y b) la magnitud

correspondiente de R.

Respuesta: a) 392 lb; b) 346 lb.

36. [BJ] Si se sabe que la magnitud de P es 500 lb, determine por trigonometría a) el ángulo

requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical y b) la

magnitud correspondiente de R.

37. [BJ] Determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más

pequeña para la cual la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A sea vertical y b) la


Respuesta: a) 368 lb; b) 213 lb.

Dos cables sujetan un anuncio en el punto A para mantenerlo estable mientras es bajado a

su posición definitiva.




38. [BJ] Sabiendo que º25 , determine por trigonometría, a) la magnitud requerida de la

fuerza P si la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud



39. [BJ] Sabiendo que la magnitud de P es de 70 lb, determine, por trigonometría, a) el

ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerza aplicadas en A es vertical, b) la


40. [BJ] Determine, por trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mínima P

cuya resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud


Respuesta: 45.9 lb; 65.5 lb.

Una banda elástica para hacer ejercicio está sujeta y se estira como indica la figura.




41. [BJ] Si la tensión en las porciones BC y DE es igual a 80 y 60 N, respectivamente,

determine, por trigonometría, a) el ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerzas

ejercidas en la mano en el punto A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.

Respuesta: a) 7.48°; b) 138.4 N.

42. [BJ] Si la tensión en la porción DE de la banda es igual a 70 N, determine, por

trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mínima en la porción BC para que

la resultante de las dos fuerzas ejercidas sobre la mano en el punto A se dirige a lo largo de

una línea que une los puntos A y H, b) la magnitud correspondiente de R.

Respuesta: a) 4.88 N, 6.00°; b) 59.8 N.

Ejemplo 1.7. Problema 2.30 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 31.

Tres cadenas actúan sobre la ménsula de forma que generan una fuerza resultante con una

magnitud de 500 lb. Si dos de las cadenas están sometidas a fuerzas conocidas, como se

muestra en la figura, determine el ángulo de la tercera cadena, medido en el sentido de

las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de manera que la magnitud de la fuerza F en

esta cadena sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x – y. ¿Cuál es la

magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas.

La fuerza F actúa en esta dirección.



Solución.


43. [RH] Tres cables jalan un tubo de forma que generan una fuerza resultante con

magnitud de 900 lb. Si dos de los cables están sometidos a fuerzas conocidas, como se

muestra en la figura, determine el ángulo del tercer cable de modo que la magnitud de la

fuerza F en este cable sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x – y. ¿Cuál

es la magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas

conocidas.

Respuesta: Fmin = 97.4 lb, 2.16 .




Ejemplo 1.8. Problemas 2.16 y 2.17 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 29.

Descomponga la fuerza horizontal de 600 lb que se muestra en la figura en componentes

que actúan a lo largo de los ejes u y v, y determine la magnitud de estas componentes.

Solución.


44. [RH] Descomponga F1 y F2 en sus componentes a lo largo de los ejes u y v; y determine

las magnitudes de estas componentes.

Respuesta: F2v = 77.6 N, F2u = 150 N.

45. [RH] Si la fuerza F debe tener una componente a lo largo del eje u con magnitud Fu = 6

kN, determine la magnitud de F y la magnitud de su componente Fv a lo largo del eje v.




Respuesta: F = 3.11 kN, Fv = 4.39 kN.

46. [RH] Descomponga la fuerza de 30 lb en componentes a lo largo de los ejes u y v;

además, determine la magnitud de cada una de estas componentes.

Respuesta: Fu = 22.0 lb; Fv = 15.5 lb.

La fuerza de 300 lb se debe descomponer en componentes a lo largo de las líneas a-a´ y b-

b´.




47. [BJ] a) Determine por trigonometría el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo

de a-a´ es de 240 lb. b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de b-

b´?

Respuesta: a ) 76.1°, b ) 336 lb.

48. [BJ] a) Determine por trigonometría el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo

de b-b´ es de 120 lb. b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de a-

a´?

49. [RH] Determine las componentes x y y de la fuerza de 700 lb.

50. [RH] La fuerza F = 450 lb actúa sobre la estructura. Descomponga esta fuerza en

componentes que actúan a lo largo de los elementos AB y AC; además, determine la

magnitud de cada componente.



Respuesta: FAB = 869 lb, FAC = 636 lb.

Componentes rectangulares de una fuerza.

Cuando una fuerza se descompone en dos componentes a lo largo de los ejes x y y, dichas

componentes suelen denominarse componentes rectangulares. Para el trabajo analítico,

podemos representar estos componentes en dos formas, mediante notación escalar, o por

notación vectorial cartesiana.

Notación escalar.

Las componentes rectangulares de la fuerza F que se muestran en la figura se encuentran al

usar la ley del paralelogramo, de manera que yx FFF .

Como estas componentes forman un triángulo rectángulo, sus magnitudes se pueden

determinar a partir de las siguientes ecuaciones:

cosFFx y sen FFy .

Si el ángulo es medido con respecto a la vertical, entonces por trigonometría se tiene que

las magnitudes de las componentes son:

sen FFx y cosFFy .

Debido a la ambigüedad en las fórmulas para el cálculo de las componentes rectangulares

de un vector, y la confusión que suele generar sobre si debe utilizar la función seno o la



función coseno para una u otra componente, se ha enunciado un teorema, según el cual la

determinación de las componentes rectangulares de un vector no está determinada por

identidades trigonométricas tomadas a partir de un triángulo rectángulo, sino por la

proyección del vector sobre los ejes coordenados.

Teorema.

Si un vector de módulo V en el plano forma un ángulo con respecto a uno de los

semiejes coordenados, se tiene que el valor absoluto de la componente proyectada a lo

largo de dicho semieje es cosV , mientras que la proyección en su semieje

complementario es sen V .

Otra forma útil de enunciar el teorema anterior es: El valor absoluto de la componente de

un vector sobre un semieje es igual al producto del módulo del vector por el coseno del

ángulo barrido en la proyección, mientras que a lo largo del semieje complementario, es

igual al producto del módulo del vector por el seno del ángulo.

Para la siguiente figura:

Si se desea obtener la componente horizontal, la fuerza F debe proyectarse en el eje x, y

para ello en su proyección pasa por encima del ángulo (hace el barrido del ángulo), por

lo cual debe utilizarse la función coseno: cosFFx .

Si se desea obtener la componente vertical (componente complementaria), la fuerza F debe

proyectarse en el eje y , y para ello su proyección no pasa por encima del ángulo , por lo

cual debe utilizarse la función seno: sen FFy . El signo negativo se coloca puesto que

la componente vertical yF apunta hacia la parte negativa del eje.



La dirección de F también se puede definir mediante un pequeño triángulo de

“pendiente”, como el que se muestra en la figura

Como este triángulo y el triángulo sombreado más grande son semejantes, la longitud

proporcional de los lados da las componentes rectangulares de la fuerza.

Componente x.

c

F

a

Fx

Fc

aFx

Componente y.

c

F

b

Fy

Fc

bFy

Ejemplo 1.9. Ejemplo 1 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 28.

Una fuerza de 800 N se ejerce sobre un perno A como se muestra en la figura. Determínese

las componentes horizontal y vertical de la fuerza.

Solución.





51. [JB] Una fuerza de 2.5 kN se aplica por medio de un cable al soporte como se indica en

la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de esta fuerza?

Respuesta: Fx = –2.3492 N, Fy = 0.8550 N.

52. [RS] Un vector fuerza en el plano x y tiene una magnitud de 50.0 kips y está dirigido en

un ángulo de 120.0º en relación con el eje x positivo. ¿Cuáles son las componentes

rectangulares de este vector?

Respuesta: Fx = –25.0000 kips, Fy = 43.3013 kips.

53. [BJ] Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la

figura.

54. [BJ] Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la

figura.

x

y

F

20º



55. [JB] Determinar las componentes en x y y de cada una de las fuerzas mostradas. F1 = 50

N, F2 = 100 N, F3 = 20 N.

Respuesta: F1,x = 43.3013 N, F1,y = –25.0000 N, F2,x = 34.2020 N, F2,y = –93.9693 N, F3,x =

–15.3209 N, F3,y = –12.8558 N.

56. [JB] Un vector fuerza F, forma un ángulo con el eje x+. Halle las componentes

rectangulares de F para los siguientes valores:

a) F = 8 N, º60

b) F = 6 lb, º120

c) F = 12 N, º225

Respuesta: a) Fx = 4.0000 N, Fy = 6.9282 N; b) Fx = –3.0000 lb, Fy = 5.1962 lb; c) Fx = –

8.4853 N, Fy = –8.4853 N.

57. [JB] Descomponer los vectores B, C y D en sus componentes rectangulares. B = C = 5

N. D = 10 N. BD , CD .

x

3F

y

1F

30º

20º

50º

2F



Respuesta: Bx = –2.5000 N, By = 4.3301 N, Cx = 2.5000 N, Cy = –4.3301 N, Dx = –8.6602

N, Dy = –5.0000 N.


Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300 N, como se muestra

en la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la

cuerda en el punto A?

Solución.

Ejemplo 1.11. Problema 2.230 del Beer – Jhonston. Novena Edición. Página 34.

Determine las componentes x y y de F1 y F2 que actúan sobre la barra mostrada en la figura.

Exprese cada fuerza como un vector cartesiano.

x

D

y B

30º

C




Solución.


El cable AC ejerce sobre la viga AB una fuerza P dirigida a lo largo de la línea AC. Si se

sabe que P debe tener una componente vertical de 350 lb, determine a) la magnitud de la

fuerza P y b) su componente horizontal.

Solución.


El cilindro hidráulico BD ejerce una fuerza P sobre el elemento ABC, dicha fuerza está

dirigida a lo largo de la línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente de 750 N

perpendicular al elemento ABC, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente

paralela a ABC.





Solución.


El alambre atirantado BD ejerce sobre el poste telefónico AC una fuerza P dirigida a lo

largo de BD.


58. [BJ] Si se sabe que P tiene una componente de 120 N perpendicular al poste AC,

determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente a lo largo de la línea AC.

59. [BJ] Si se sabe que P tiene una componente de 180 N a lo largo de la línea AC,

determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente en una dirección perpendicular a

AC.

60. [BJ] El elemento CB de la prensa de banco que se muestra en la figura, ejerce sobre el

bloque B una fuerza P dirigida a lo largo de la línea CB. Si se sabe que la componente




horizontal de P debe tener una magnitud de 1 220 N, determine a) la magnitud de la fuerza

P y b) su componente vertical.

61. [BJ] El elemento BD ejerce sobre el elemento ABC una fuerza P dirigida a lo largo de

la línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente horizontal de 300 lb, determine a)

la magnitud de la fuerza P y b) su componente vertical.

62. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la

figura.



63. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la

figura.

64. [RH] Descomponga cada fuerza que actúa sobre el pilote en sus componentes x y y.



Respuesta: F1x = 0, F1y = 300 N, F2x = –318 N, F2y = 318 N, F3x = 360 N, F3y = 480 N.

Vectores unitarios.

Notación vectorial cartesiana.

También es posible representar las componentes x y y de una fuerza en términos de

vectores unitarios cartesianos i y j. Cada uno de estos vectores unitarios tiene una magnitud

adimensional de uno, y por lo tanto pueden usarse para designar as direcciones de los ejes x

y y, respectivamente.

Como la magnitud de cada componente de F es siempre una cantidad positiva, la cual está

representada por los escalares (positivos) xF y yF , entonces podemos expresar F como un

vector cartesiano.

jFiFF yx

Magnitud de la fuerza.

22

yx FFF

Dirección de la fuerza.



x

y

F

F1tan


Una fuerza jiF )lb1500()lb700( se aplica a un perno A. Determínese la magnitud de

la fuerza y el ángulo que forma con la horizontal.

Solución.

Operaciones con vectores.

Resultante de fuerzas coplanares.

Podemos representar en forma simbólica las componentes de la fuerza resultante de

cualquier número de fuerzas coplanares mediante la suma algebraica de las componentes x

y y de todas las fuerzas, esto es,

xxR FF

yyR FF

Una vez que se determinen estas componentes, pueden bosquejarse a lo largo de los ejes x y

y con un sentido de dirección adecuado, y la fuerza resultante puede determinarse con base

en una suma vectorial como se muestra en la figura

Después, a partir de este bosquejo, se encuentra la magnitud de RF por medio del teorema

de Pitágoras; es decir,

22

yRxRR FFF

Asimismo, el ángulo , que especifica la dirección de la fuerza resultante, se determina por

trigonometría:




xR

yR

F

F1tan


La armella que se muestra en la figura está sometida a las dos fuerzas F1 y F2. Determine la

magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

Solución.


65. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y

su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x.

Respuesta: FR = 6.80 kN, 103 .

66. [JB] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador y

especifique su dirección con respecto al eje x+. Considere F = 5 N y P = 7 N.




Respuesta: jiR 5266.20355.7

67. [JB] Determinar la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el apoyo mostrado.

Especifique la dirección con respecto a x+.

Respuesta: N )0868.2012726.299( jiR , N 5551.360R , º10.146 .

68. [JB] Dos personas tiran de una mula obstinada que interrumpe el tránsito y utilizan dos

cuerdas como se muestra en la figura. Las magnitudes de las tensiones en las cuerdas son

TAC = 400 N y TAB = 500 N. Determine la magnitud y dirección de la resultante de las dos

fuerzas ejercidas por las cuerdas.

x

P

y

F

30º

45º

x

300 N

y

100º

400 N

40º




69. [RH] Si la tensión en el cable es de 400 N, determine la magnitud y la dirección de la

fuerza resultante que actúa sobre la polea. Este ángulo es el mismo ángulo que forma la

línea AB sobre el bloque de escalera.

Respuesta: FR = 400 N, º60 .

70. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en sentido

contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

x

B

y

C

40º

A 60º



Respuesta: FR = 721 N, 9.43 .

71. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante de las dos fuerzas dadas, a

partir de la ley de coseno y aplicando métodos geométricos. F1 = 1500 N, F2 = 2000 N.


72. [RH] Dos fuerzas actúan sobre el gancho. Determine la magnitud de la fuerza

resultante.

x

y

1F

30º 45º

2F



Respuesta: FR = 666 N.

73. [JB] Determinar la magnitud de la fuerza resultante si: a) FR = F1 + F2, b) FR = F1 – F2.

Respuesta: a) N )5685.1060340.30( jiFR , N 7200.110RF , º74.105 . b)

N )5685.61711.143( jiFR , N 3216.143RF , º63.182 .

74. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método

de las componentes).

Respuesta: N )6109.152474.85( jiFR , N 6650.86RF , º62.169 .

75. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la fuerza resultante representada en la

figura, siendo A = 50 N la primera fuerza y B = 20 N la segunda. (Método de las

componentes).

x

y

F2 = 80 N

60º 45º

F1 = 100 N

x

y

45º 50 N

100º 80 N

x

y

45º

A

100º B



Respuesta: m )8269.469723.18( jiR , m 5243.50R , º94.67 .

76. [JB] Dos remolcadores A y C arrastran un barco B. En un instante la tensión AB es de

4500 lb y la tensión en el cable BC es 2000 lb. Determine la magnitud y dirección de la

resultante de las dos fuerzas aplicadas en B.


77. [JB] Para el esquema mostrado determine la magnitud de F de tal manera que la fuerza

resultante actúe a lo largo del eje AB. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza resultante?

Respuesta: F = 715.9063; 3427.716R .

Suma de un sistema de fuerzas coplanares.


Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la

resultante de las fuerzas sobre el perno.

x

y

20º

30º A

B

C

x

y

88º

F

B

25 N

A



Solución.

Ejemplo 1.17.

[JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método de

las componentes).

Solución.


El extremo de la barra O mostrada en la figura está sometido a tres fuerzas coplanares

concurrentes. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

x

y

60º

45º

100 N

200 N

300 N

200 N





Solución.


Si 30 y la fuerza resultante que actúa sobre la placa de refuerzo está dirigida a lo largo

del eje x positivo, determine las magnitudes de F2 y la fuerza resultante.

Solución.


Si la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 750 N y estar dirigida a lo

largo del eje x positivo, determine la magnitud de F y su dirección .

Solución.


Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 450 N y está

dirigida a lo largo del eje u positivo, determine la magnitud de F1 y su dirección .






Solución.

Ejemplo 1.22. Problema 2.37 del Beer y Jhonston. Novena Edición. Página 35.

a) Si se sabe que º40 , determine la resultante de las tres fuerzas que se muestran en la

figura. b) determine el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas

debe ser paralela al plano inclinado y la magnitud correspondiente de la resultante.

Solución.


78. [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 53.




82. [RS] Determine la magnitud y dirección de la resultante de tres fuerzas que tienen

componentes rectangulares N )00.2,00.3( , N )00.3,00.5( y N )00.1,00.6( .





Respuesta: 7.2111 m a 56.31º.

83. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método

de las componentes).


84. [RS] Tres vectores se orientan como se muestra en la figura, donde 20A unidades,

40B unidades y 30C unidades. Encuentre a) las componentes x y y del vector

resultante, y b) la magnitud y dirección del vector resultante.

Respuesta: jiR 0711.274975.49 , Unidades4167.56R , º68.28 .

85. [JB] Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determinar

la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas. F1 = 150 N, F2 = 80 N, F3 = 110

N, F4 = 100 N. º20 , º30 , º15 .

x

y

60º

45º

500 N

600 N

700 N




86. [JB] Determine la magnitud de la fuerza resultante 321 FFFFR encontrando la

resultante 21 FFF y formando después 3* FFFR . F1 = 30 N, F2 = 40 N, F3 = 20 N.

Respuesta: jiF 2843.433035.2 , jiF 2843.233035.23

87. La fuerza resultante se compone de cuatro fuerzas ¿cuál es la fuerzas resultante?

x

y

30º 45º

3F

1F

2F

x

y

1F

2F

3F

4F




88. [JB] Hallar el vector resultante de los vectores mostrados en la figura sabiendo que la

magnitud de los vectores son iguales 24 CBA unidades.

Respuesta: jiR 1928.01928.4 , 1972.4R , º38.357 .

89. [RH] Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

x

y 30º

B

C

A

45º

45º



Respuesta: FR = 567 N, 1.38 .

90. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la repisa, así como

su dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x.

Respuesta: FR = 1254 lb, 259 .

91. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante, así como su dirección medida en

sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.



Respuesta: FR = 31.2 kN, 8.39 .

92. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador, así

como su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

93. [JB] La fuerza A tiene una magnitud de 9 N y está dirigido según el eje x. Otra fuerza B

está en el plano x y, su magnitud es de 6 N y forma un ángulo de 45º con el eje x. La fuera

C se halla en el plano x y, su magnitud es 15 N y forma un ángulo de 75º con el eje x.

Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. Utilice métodos geométricos y

analíticos.

Respuesta: cm )7315.181249.17( jiR , cm 3799.25R , º57.47 .

94. [JB] Tres fuerzas horizontales actúan sobre un objeto. La magnitud de la fuerza A es de

25 kgf en dirección 60º al noreste. La magnitud de la fuerza B es de 70 kgf y actúa hacia el

eje y. La magnitud de C es 55 kgf y actúa hacia el sudoeste 45º. Determine la magnitud y

dirección de la fuerza resultante utilizando el método de las componentes.



Respuesta: fkg )7598.523939.51( jiFR , fkg 6520.73RF , º75.45 .

95. [JB] Dados las fuerzas A, B, C y D, de magnitudes y direcciones con respecto al eje x

están dadas por:

A = 2500 N, º290

B = 1800 N, º330

C = 3500 N, º195

D = 7000 N, º39

a) Encontrar el vector suma.

b) Demostrar la propiedad asociativa de los vectores para la adición.

c) Determinar (A – C) y (C – A). ¿Se cumple la propiedad conmutativa para la sustracción

de vectores?

d) Comprobar la propiedad conmutativa para la adición de vectores.

Respuesta: a) m )1445.2501774.4473( jiR ; c) m )3649.14437908.4235( jiCA ,

m )3649.14437908.4235( jiAC , No se cumple la propiedad conmutativa para la

sustracción de vectores.

96. [BJ] Si se sabe que la tensión en el cable BC es de 725 N, determine la resultante de las

tres fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB.




97. [BJ] Determine a) la tensión requerida en el cable BC si la resultante de las tres fuerzas

ejercidas en el punto B debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de la resultante.

98. [BJ] Si se sabe que º35 , determine la resultante de las tres fuerzas mostradas en la

figura.


99. [BJ] Para el collarín del problema anterior, determine a) el valor requerido de si la

resultante de las tres fuerzas mostradas debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de

la resultante.

100. [BJ] Determine a) la tensión requerida en el cable AC, si se sabe que la resultante de

las tres fuerzas ejercidas en el punto C del aguilón BC debe estar dirigida a lo largo de BC,

b) la magnitud correspondiente de la resultante.



101. [BJ] Si se sabe que º75 , determine la resultante de las tres fuerzas que se

muestran en la figura.


102. [BJ] Determine el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas

debe ser paralela al plano inclinado y la magnitud correspondiente de la resultante.

103. [RH] Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 80

lb y estar dirigida a lo largo del eje u, determine la magnitud de F y su dirección .

Respuesta: F = 62.5 lb, 3.14 .

104. [RH] Determine la magnitud de F1 y su dirección de manera que la fuerza resultante

esté dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 800 N.



Respuesta: F1 = 275 N, 1.29 .

105. [JB] Tres vectores están dados por iA 6 , jB 9 y jiB 43 . Determine: a) La

magnitud y dirección del vector resultante, b) Un vector que sumado a estos tres de un

vector resultante igual a cero.

Respuesta: jiR 133 , 3417.13R , º01.77 .

106. [RS] La pista del helicóptero en la figura muestra a dos personas que jalan una

obstinada mula. Encuentre: a) la única fuerza equivalente a las dos fuerzas indicadas, y b)

la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza

resultante igual a cero.

Respuesta: a) N )1971.1812945.39( jiR , b) N )1971.1812945.39( jiR .



107. [JB] Dos fuerzas A y B que están en el plano x y actúan sobre un objeto pequeño

colocado en el origen. La magnitud de la fuerza A es de 50 N y actúa en la dirección

correspondiente a un ángulo de 30º con el eje x+. La magnitud de la fuerza B es de 80 N y

actúa en la dirección que forma un ángulo de 135º con el eje x+. ¿Qué magnitud y dirección

debe tener una fuerza C que aplicada al cuerpo hará que se anule la resultante de las tres

fuerzas?

Respuesta: N )5685.812673.13( jiC , km 6405.82C , º24.99 .

1.2.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO.

Cuerpos sometidos a tres fuerzas.

Ejemplo 1.23. Problema 3.66 del Hibbeler. Décima Edición. Página 110.

Un tornillo mantiene a la tubería en su posición. Si este tornillo ejerce una fuerza de 50

libras en la tubería en la dirección mostrada, determine las fuerzas FA y FB que los

contactos suaves de A y B ejercen en la tubería.

Solución.

Ejemplo 1.24. Ejemplo 5.4 del Serway. Séptima Edición. Página 111.

Un semáforo que pesa 122 N cuelga de un cable unido a otros dos cables sostenidos a un

soporte como en la figura. Los cables superiores forman ángulos de 37.0° y 53° con la

horizontal. Estos cables superiores no son tan fuertes como el cable vertical y se romperán

si la tensión en ellos supera los 100 N. ¿El semáforo permanecerá colgado en esta situación,

o alguno de los cables se romperá?




Solución.


En la operación de descarga de un barco, un automóvil de 3500 lb es soportado por un

cable. Se ata una cuerda al cable en A y se tira para centrar al automóvil sobre la posición

deseada. El ángulo entre el cable y la vertical es de 2°, mientras que el ángulo entre la

cuerda y la horizontal es de 30°. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

Solución.

Ejemplo 1.26. Problema 3.18 del Hibbeler. Sexta Edición.

La carga de 500 lb está siendo elevada utilizando las cuerdas AB y AC. Cada una de éstas

puede soportar una tensión máxima de 2500 libras antes de que se rompa. Si AB permanece

horizontal siempre, determine el mínimo valor del ángulo al que debe elevarse la carga.





Solución.


108. [RS] Un saco de cemento de 325 N de peso cuelga en equilibrio de tres alambres,

como se muestra en la figura. Dos de los alambres forman ángulos 0.601 y 0.252

con la horizontal. Si se supone que el sistema está en equilibrio, encuentre las tensiones T1

y T2 en los alambres.

109. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe

que º20 , determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.

110. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine

la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.




En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura.


111. [BJ] Si se sabe que P = 500 N y º60 , determine la tensión a) en el cable AC y b)

en el cable BC.

112. [BJ] Se sabe que la tensión permisible máxima es de 600 N en el cable AC y 750 N en

el cable BC. Determine a) la máxima fuerza P que puede aplicarse en C, b) el valor

correspondiente de .

113. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine

la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.



114. [BJ] Si se sabe que º20 , determine la tensión a) en el cable AC, b) en la cuerda

BC.


115. [BJ] Para la situación descrita en el problema anterior, determine a) el valor de para

el cual la tensión en el cable BC es la mínima posible y b) el valor correspondiente de la

tensión.

116. [BJ] Si se sabe que 55 y que el aguilón AC ejerce sobre la articulación C una

fuerza dirigida a lo largo de la línea AC, determine a) la magnitud de la fuerza y b) la

tensión en el cable BC.



117. [BJ] Para la estructura y la carga del problema anterior, determine a) el valor de

para el que la tensión en el cable BC es mínima, b) el valor correspondiente de la tensión.

118. Si se sabe que las porciones AC y BC del cable ACB deben ser iguales, determine la

longitud mínima que debe tener el cable para soportar la carga mostrada, si la tensión en

éste no debe ser mayor que 870 N.


que la tensión máxima permisible en cada cable es de 800 N, determine a) la magnitud de la

fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el valor correspondiente de .





que la tensión máxima permisible en el cable AC es de 1200 N y que en el cable BC es de

600 N, determine a) la magnitud de la fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el

valor correspondiente de .

El collarín A puede deslizarse sin fricción sobre una barra horizontal y está conectado a una

carga de 50 lb, como se muestra en la figura.


121. Determine la magnitud de la fuerza P requerida para mantener al collarín en equilibrio

cuando a) x = 4.5 in., b) x = 15 in.

122. Determine la distancia x para la cual el collarín se conserva en equilibrio cuando P =

48 lb.



Cuerpos sometidos a más de tres fuerzas.


Como parte del diseño de un nuevo velero, se desea determinar la fuerza de arrastre que

puede esperarse a cierta velocidad. Para hacerlo, se coloca un modelo del casco propuesto

en un canal de prueba y se usan tres cables para mantener su proa en el eje del centro del

canal. Las lecturas de los dinamómetros indican que para una velocidad dada la tensión es

de 40 lb en el cable AB y de 60 lb en el cable AE. Determine la fuerza de arrastre ejercida

sobre el casco y la tensión en el cable AC.

Solución.


Las fuerzas P y Q se aplican al componente de una pieza de ensamble de avión como se

muestra en la figura.





123. [BJ] Si se sabe que P = 500 lb y Q = 650 lb y que la pieza de ensamble se encuentra en

equilibrio, determine las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las varillas A y B.

124. [BJ] Si se sabe que la pieza de ensamble se encuentra en equilibrio y que las

magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las barras A y B son FA = 750 lb y FB = 400 lb,

determine las magnitudes de P y Q.

Una conexión soldada está en equilibrio bajo la acción de las cuatro fuerzas que se

muestran en la figura.


125. [BJ] Si se sabe que FA = 8 kN y que FB = 16 kN, determine las magnitudes de las dos

fuerzas restantes.

126. [BJ] Si se sabe que FA = 5 kN y que FD = 6 kN, determine las magnitudes de las dos

fuerzas restantes.

En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura.




127. [BJ] Si se sabe que Q = 60 lb determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable

BC.

128. [BJ] Determine el rango de valores de Q para los cuales la tensión no será mayor que

60 lb en cualquiera de los cables.

Una carga de 160 kg está sostenida por el arreglo de cuerdas y poleas que se muestra en la

figura.




129. [BJ] Si se sabe que 20 , determine la magnitud y la dirección de la fuerza P que

debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio.

(Sugerencia: La tensión es la misma en ambos las de una cuerda que pasa por una polea

simple.)

130. [BJ] Si se sabe que 40 , determine a) el ángulo y b) la magnitud de la fuerza P

que debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio.

Un pescador es rescatado con una silla de contramaestre que se encuentra suspendida de

una polea que puede rodar libremente sobre el cable de apoyo ACB y es jalada a una

velocidad constante mediante el cable CD. Si se sabe que 30 y 10 , y que el peso

combinado de la silla y el pescador es de 900 N, determine la tensión a) en el cable de

soporte ACB, b) en el cable de arrastre CD.



La carga Q se aplica a la polea C, la cual puede rodar sobre el cable ACB. La polea se

sostiene en la posición mostrada en la figura mediante un segundo cable CAD, el cual pasa

a través de la polea A y sostiene una carga P.


131. [BJ] Si se sabe que P = 750 N, determine a) la tensión en el cable ACB, b) la magnitud

de la carga Q.

132. [BJ] Una carga Q de 1800 N se aplica a la polea C, determine a) la tensión en el cable

ACB, b) la magnitud de la carga P.



Sistemas que involucran resortes.

Ejemplo 1.28. Ejemplo 3.4 del Hibbeler. Décimo segunda Edición. Página 93.

Determine la longitud requerida para el cable de corriente alterna de la figura, de manera

que la lámpara de 8 kg esté suspendida en la posición que se muestra. La longitud no

deformada del resorte AB es m 4.0ABl , y el resorte tiene una rigidez de N/m 300ABk .

Solución.


Una carga con peso de 400 N está suspendida de un resorte y dos cuerdas, las cuales se

unen a dos bloques de pesos 3W y W como se muestra en la figura. Si la constante del

resorte es de 800 N/m, determine a) el valor de W, b) la longitud sin estirar del resorte.

Solución.






Una fuerza vertical P = 10 lb se aplica a los extremos de la cuerda AB de 2 pies y del

resorte AC. Si el resorte tiene una longitud no alargada de 2 pies, determine el ángulo

necesario para el equilibrio. Considere k = 15 lb/pie.

Solución.


133. [RH] El resorte ABC tiene una rigidez de 500 N/m y longitud no alargada de 6 m.

Determine el desplazamiento d de la cuerda con respecto a la pared cuando se aplica una

fuerza F = 175N a la cuerda.




134. [RH] La lámpara de 10 lb está suspendida de dos resortes, cada uno con longitud no

alargada de 4 pies y rigidez k = 5 lb/pie. Determine el ángulo por equilibrio.

135. [RH] El resorte tiene una rigidez k = 800 N/m y una longitud no alargada de 200 mm.

Determine la fuerza en los cables BC y BD cuando el resorte se mantiene en la posición

mostrada.

136. [RH] a) Determine el alargamiento en los resortes AC y AB cuando el bloque de 2 kg

está en equilibrio. Los resortes se muestran en la posición de equilibrio.

b) La longitud no alargada del resorte AB es de 3 m. Si el bloque se mantiene en la posición

de equilibrio mostrada, determine la masa del bloque en D.



Respuesta: m = 8.56 kg.

137. [RH] Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente sin estirar cuando

0 . Determine la tensión en cada cuerda cuando F = 90 lb. No tome en cuenta el

tamaño de las poleas localizadas en B y D.


Respuesta: T = 53.1 lb.

138. [RH] Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente estirados 1 pie

cuando 0 . Determine la fuerza vertical F que debe aplicarse para que 30 .



Respuesta: F = 39.3 lb.

El peso de 10 lb se sostiene mediante la cuerda AC y el rodillo, así como por medio del

resorte.


139. [RH] Si el resorte tiene una rigidez k = 10 lb/pulg y una longitud sin estirar de 12

pulg, determine la distancia d a la que se ubica el peso cuando éste se encuentra en

equilibrio.

Respuesta: d = 7.13 pulg.

140. [RH] Si el resorte tiene una longitud sin estirar de 8 pulg y el peso está en equilibrio

cuando d = 4 pulg, determine la rigidez k del resorte.

Respuesta: k = 6.80 lb/pulg.

141. [RH] Determine la longitud no alargada del resorte AC si una fuerza P = 80 lb genera

un ángulo 60 para la posición de equilibrio. La cuerda AB tiene 2 pies de longitud.

Considere k = 50 lb/pie.



Respuesta: l´ = 2.66 pies.

142. [BJ] Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 25 in de largo y de dos

resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in cada una. Si las constantes de los

resortes son kAB = 9 lb/in y kAD = 3 lb/in, determine a) la tensión en la cuerda, b) el peso del

bloque.

El collarín A puede deslizarse sin fricción en una barra vertical y está conectado a un

resorte como indica la figura.




143. [BJ] La constante del resorte es de 4 lb/in, y éste no se encuentra estirado cuando h =

12 in. Si el sistema está en equilibrio cuando h = 16 in determine el peso del collarín.

144. [BJ] El peso del collarín A es 9 lb y el resorte no está estirado cuando h = 12 in. Si la

constante del resorte es de 3 lb/in, determine el valor de h para el cual el sistema está en

equilibrio.



1.3.- FUERZAS EN EL ESPACIO.

Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio.

Considere una fuerza F que actúa en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares

x, y, z.

x

y

z

F

Fh

Fx

Fy

Fz

La fuerza puede descomponerse en una componente vertical Fz y una componente

horizontal Fh mostradas en la figura. Las componentes rectangulares correspondientes son

cos FFz y sen FFh .

La fuerza Fh puede descomponerse en sus dos componentes rectangulares:



cossen cos FFF hx y sen sen sen FFF hy a lo largo de los ejes x y y,

respectivamente. Esta operación, mostrada en la figura, se realiza en el plano x y.

De esta manera se obtienen las expresiones siguientes para las componentes escalares

correspondientes:

cossen cos FFF hx

sen sen sen FFF hy

cos FFz

La fuerza F se ha descompuestos en tres componentes vectoriales rectangulares Fx, Fy y Fz,

dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados.

Representación de un vector cartesiano.

Con el uso de los vectores unitarios i, j y k, dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z,

respectivamente, se puede expresar F en forma cartesiana

kFjFiFF zyx

Donde las componentes rectangulares Fx, Fy y Fz están definidas por las relaciones

indicadas anteriormente.

Magnitud o Módulo de la fuerza.

Si se combinan las tres ecuaciones y se resuelve para F se obtiene la siguiente relación

entre la magnitud de F y sus componentes rectangulares escalares.

222

zyx FFFF

Por consiguiente, la magnitud de F es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los

cuadrados de sus componentes.

Vector unitario.

El vector unitario en la dirección de la fuerza está dado por:

F

FuF

F

kFjFiFu

zyx

F



kF

Fj

F

Fi

F

Fu zyx

F

Ejemplo 1.31. Ejemplo 2.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 49.

Exprese las fuerzas F1 y F2 mostradas en la figura como un vector cartesiano.

Solución.

Ejemplo 1.32.

[JB] Dado el vector kjiF 253 , hallar un vector unitario en la dirección de F.

Solución.


145. Exprese la fuerza F1 como un vector cartesiano.

Respuesta: lb )4053.4407.53(1 kjiF

146. Exprese la fuerza F1 como un vector cartesiano.





147. Una fuerza F es aplicada en la parte superior A de la torre. Si la fuerza actúa en la

dirección mostrada de manera que una de sus componentes localizada en el plano y-z

sombreado tiene una magnitud de 80 lb, determine su magnitud F y sus ángulos

coordenados de dirección , y .

Respuesta: lb 280F , º45 , )(cos4

21 , y )(cos4

61 .

Ángulos directores de una fuerza.

Considere una fuerza F que actúa en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares

x, y, z.



x

y

z

F

Fh

Fx

Fy

Fz

Si representamos por , y los ángulos que forma F con los ejes x, y y z,

respectivamente, entonces se escribe

cos FFx

cos FFy

cos FFz

Dirección de la fuerza.

Los tres ángulos , y definen la dirección de la fuerza F y son más usados que los

ángulos y . Los cosenos de , y se conocen como los cosenos directores de la

fuerza F. De las ecuaciones anteriores se tiene para los cosenos directores:

F

Fx cos

F

Fy cos

F

Fzcos

Y para los ángulos directores:



F

Fx1cos

F

Fy1cos

F

Fz1cos

El vector uF es un vector unitario que tiene la misma dirección que la fuerza F. Por

definición:

kF

Fj

F

Fi

F

Fu zyx

F

Por comparación con las ecuaciones de los cosenos directores, se ve que las componentes

del vector unitario representan los cosenos directores de F, esto es,

kjiuF )(cos)(cos)(cos

Como la magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los

cuadrados de las magnitudes de sus componentes, y uF tiene una magnitud de 1, puede

formularse entonces una importante relación entre los cosenos directores como

1)(cos)(cos)(cos 222

1coscoscos 222

Si el vector F se encuentra en un octante conocido, esta ecuación puede usarse para

determinar uno de los ángulos coordenados de dirección si los otros dos son conocidos.

Ejemplo 1.33. Ejemplo 2 del Beer - Jhonston. Estática. Página 39.

Una fuerza F tiene las componentes lb 20xF , lb 30yF y lb 60zF . Determine la

magnitud de F y los ángulos , y que forma con los ejes coordenados.

Solución.

Ejemplo 1.34. Ejemplo 2 del Beer - Jhonston. Estática. Página 39.

Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60°, 45° y 120° con los ejes x, y y z,

respectivamente. Encuentre las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza. Escribir F como un

vector cartesiano.




Solución.


Exprese la fuerza F mostrada como un vector cartesiano.

Solución.


Tres fuerzas actúan sobre el gancho. Determine los ángulos coordenados de dirección de F1

y FR.

Solución.


148. [RS] Las componentes x, y y z del vector F son de 4.00, 6.00 y 3.00 unidades,

respectivamente. Calcule la magnitud de F y los ángulos que forma F con los ejes de

coordenadas.

Respuesta: b) 8102.7F ; º19.59 , º81.39 , º41.67






149. [RS] Un vector está determinado por kjiR 32 . Encuentre a) las magnitudes de

las componentes x, y y z. b) la magnitud de R, y c) los ángulos entre R y los ejes x, y y z.

Respuesta: a) 2xR , 1yR , 3zR ; b) 7417.3R ; º69.57 , º50.74 ,

º70.36

150. [JB] Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza kjiF 960820700 .

Respuesta: 6066.1443F ; º99.60 , º61.124 , º32.48 .

151. [JB] Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60º, 45º y 120º en los ejes x, y y z

respectivamente. Determinar las componentes Fx, Fy y Fz dirigidas a lo largo de los tres ejes

de coordenadas.

Respuesta: Fx = 250.0000 N, Fy = 353.5534 N, Fz = –250.000 N.

152. Calcular las componentes del vector F de módulo 10 unidades, cuyos ángulos

directores son: 120 , 60 .

Respuesta: Dos soluciones: Fx = –5, Fy = 5, Fz = 7.0711; Fx = –5, Fy = 5, Fz = –7.0711.

153. Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección definida por

los ángulos º3.69 y º9.57 . Si se sabe que la componente y de la fuerza es de –174

lb, determine a) el ángulo , b) las componentes restantes y la magnitud de la fuerza.

Respuesta: a) 140.3º; b) Fx = 79.9 lb, Fy = 120.1 lb, Fz = 226 lb.

154. Exprese las fuerzas F1 y F2 como un vector cartesiano.

155. La pieza montada sobre el torno está sometida a una fuerza de 60 N. Determine el

ángulo coordenado y exprese la fuerza como un vector cartesiano.



Respuesta: º90 . kiF 33030 .

156. El perno está sometido a la fuerza F cuyas componentes actúan a lo largo de los ejes x,

y y z como se muestra. Si la magnitud de F es de 80 N, º60 y º45 , determine las

magnitudes de sus componentes.

Respuesta: N 40xF , N 40yF , N 240zF .

Fuerza definida en términos de su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción.

En muchas aplicaciones la dirección de una fuerza F está definida por las coordenadas de

dos puntos ),,( 111 zyxA y ),,( 222 zyxB , localizadas sobre su línea de acción.



x

y

z

x2

y2

z1

x1

y1

z2

uAB

A

B

F

Si un vector AB se representa por medio del segmento orientado que va del punto

),,( 111 zyxA al ),,( 222 zyxB , entonces la expresión en componentes de AB es

kajaiaAB zyx , siendo 12 xxax , 12 yyay y 12 zzaz .

kzzjyyixxAB )()()( 121212

Un vector escrito en componentes también se denomina vector cartesiano.

Si F es el módulo de la fuerza y ABu es un vector unitario de la dirección de la

fuerza, entonces el vector fuerza (F) es igual al producto de F y ABu :

ABuFF

El vector unitario en la dirección de la fuerza está dado por:

AB

ABuAB

2

12

2

12

2

12

121212

)()()(

)()()(

zzyyxx

izziyyixxuAB



Ejemplo 1.37.

[JB] Expresar en función de los vectores unitarios i, j, k la fuerza de 200 N que parte del

punto )3,5,2( C y pasa por el punto )1,2,3(D .

Solución.

Ejemplo 1.38. Problema resuelto 1.7 del Beer y Jhonston. Estática. Página 41.

El alambre de una torre está anclado en A por medio de un perno. La tensión en el alambre

es de 2500 N. Determine: a) las componentes Fx, Fy, Fz de la fuerza que actúa sobre el

perno, y b) los ángulos , y , que definen la dirección de la fuerza.

Solución.

Ejemplo 1.39. Ejemplo 2.14 del Hibbeler. Décima Edición. Página 2.14.

La placa circular mostrada en la figura está parcialmente soportada por el cable AB. Si la

fuerza del cable sobre el gancho en A es F = 500 N, exprese F como un vector cartesiano.





Solución.


157. Exprese el vector F en forma cartesiana vectorial; luego determine su magnitud y sus

ángulos coordenados de dirección.

Respuesta: kjiF 884 , pies 12F , 53.70 , 19.48 , 81.131 .

158. Exprese el vector F en forma cartesiana vectorial; luego determine su magnitud y sus

ángulos coordenados de dirección.




159. El alambre de una torre está anclado en A por medio de un perno. La tensión en el

alambre es de 1300 N. Determine a) las componentes xF , yF y zF de la fuerza que actúa

sobre el perno en A y b) los ángulos , y que definen la dirección de la fuerza.

Respuesta: kjiF 960720500 , 38.67 , 63.123 , 40.42 .

160. La placa abisagrada está soportada por la cuerda AB. Si la fuerza en la cuerda es

340F lb, exprese esta fuerza dirigida de A hacia B como un vector cartesiano.



Respuesta: kjiF 240180160 .

161. El sujeto que aparece en la figura jala la cuerda con una fuerza de 70 lb. Represente

esta fuerza actuando sobre el soporte A, como un vector cartesiano y determine su

dirección.

Respuesta: kjiF 24812 , 62.64 , 60.106 , 00.149 .

162. Los cables de retén se utilizan para dar soporte al poste telefónico. Represente la

fuerza en cada cable en forma de vector cartesiano. Pase por alto el diámetro del poste.



163. Si se sabe que la tensión en el cable AB es de 1425 N, determine las componentes de la

fuerza ejercida sobre la placa en B.


164. Dos cables BG y BH está unidos al marco ACD como se muestra en la figura. Si la

tensión en el cable BG es de 450 N, determine las componentes de la fuerza ejercida por el

cable BG sobre el marco en el punto B.

Respuesta: Fx = 200 N, Fy = 370 N, Fz = –160 N.

165. Una barra de acero se dobla para formar un anillo semicircular con 36 in de radio que

está sostenido parcialmente por los cables BD y BE, las cuales se unen al anillo en el punto

B. Si la tensión en el cable BE es de 600 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida

por el cable sobre el soporte colocado en E.




166. Una torre de transmisión se sostiene mediante tres alambres, los cuales están anclados

por medio de pernos en B, C y D. a) Si la tensión en el alambre AB es de 525 lb, determine

las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en B; b) si la tensión en

el alambre AD es de 315 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre

sobre el perno en D.

Respuesta: a) kjiF 500100125 : b) kjiF 25050185 .

167. a) Una torre de transmisión se sostiene por medio de tres alambres anclados con

pernos B, C y D. Si la tensión en el alambre AB es de 2100 N, determine las componentes

de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno colocado en B.



Respuesta: Fx = 400 N, Fy = 2000 N, Fz = –500 N.

168. Un marco ABC está sostenido en parte por el cable DBE, el cual pasa a través de un

anillo sin fricción en B. Si se sabe que la tensión en el cable es de 385 N, a) determine las

componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte en D; b) determine las

componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte en E.

Respuesta: a) kjiF 255240160 : b) kjiF 200135300 .

169. La fuerza F tiene una magnitud de 70 lb y actúa en el punto medio C de la barra

delgada. Exprese la fuerza como un vector cartesiano.




170. Exprese la fuerza F como un vector cartesiano; luego determine sus ángulos

coordenados de dirección.

171. Exprese la fuerza F como un vector cartesiano; luego determine sus ángulos

coordenados de dirección.



172. El cable unido al tractor en B ejerce una fuerza de 350 lb sobre la estructura. Exprese

esta fuerza como un vector cartesiano.

173. El tubo está soportado en sus extremos por una cuerda AB. Si la cuerda ejerce una

fuerza F = 12 lb sobre el tubo en A, exprese esta fuerza como un vector cartesiano.



174. El cable unido a la grúa ejerce sobre ésta una fuerza de F = 350 lb. Exprese esta fuerza

como un vector cartesiano.

175. La carga en A genera una fuerza de 60 lb en el alambre AB. Exprese esta fuerza como

un vector cartesiano actuando en A y dirigido hacia B como se muestra.



176. La puerta se mantiene abierta por medio de dos cadenas. Si la tensión en AB y CD es

FA = 300 N y FC = 250 N, respectivamente, exprese cada una de esas fuerzas en forma

vectorial.



177. El cable AB tiene 65 ft de largo y una tensión de 3900 lb. Determine a) las

componentes x, y y z de la fuerza ejercida por el cable sobre el ancla B, b) los ángulos

, y que definen la dirección de esta fuerza.

Respuesta: a) –1861 lb, 3360 lb, 677 lb; b) 118.5º, 30.5º, 80.0º.

1.4.- ADICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES EN EL ESPACIO.

La resultante R de dos o más fuerzas en el espacio se calcula sumando sus componentes

rectangulares. Los métodos gráficos o trigonométricos no son muy prácticos en el caso de

fuerzas en el espacio.

Se establece que FR . Se descompone cada fuerza en sus componentes

rectangulares y se escribe

)( kFjFiFkRjRiR zyxzyx

kFjFiFkRjRiR zyxzyx )()()(

de la cual se desprende que

xx FR

yy FR

zz FR



La magnitud de la resultante y los ángulos , y que ésta forma con el eje de

coordenadas se obtienen por las ecuaciones siguientes:

222

zyx RRRR

R

Rxcos

R

Rycos

R

Rzcos

Ejemplo 1.40.

[JB] Se tienen dos vectores kjiA 32 y kjiB 235 . Determine un tercer

vector C tal que 023 CBA .

Solución.


Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza resultante que

actúa sobre el anillo en la figura.

Solución.

Ejemplo 1.42. Problema resuelto 1.8 del Beer y Jhonston. Estática. Página 42.

Una sección de una pared de concreto precolado se sostiene temporalmente por los cables

mostrados. Se sabe que la tensión es de 840 lb en el cable AB y 1200 lb en el cable AC;





determine la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los cables

AB y AC sobre la estaca A.

Solución.


Dos fuerzas actúan sobre el gancho mostrado en la figura. Especifique la magnitud y los

ángulos coordenados de dirección de F2 de modo que la fuerza resultante actúe a lo largo

del eje y positivo y tenga una magnitud de 800 N.

Solución.


178. [JB] Hallar las componentes de un vector unitario que tenga la misma dirección que la

resta de los vectores A – B. kjiA 534 , kjiB 79 .

Respuesta: kjiU BA 2857.08571.04286.0





179. La ménsula está sometida a las dos fuerzas mostradas. Exprese cada fuerza en forma

vectorial cartesiana y luego determine la fuerza resultante FR. Encuentre la magnitud y los

ángulos coordenados de dirección de la fuerza resultante.


180. El aguilón OA está sostenido por dos cables, según muestra la figura. Si en el cable AB

la tensión es de 510 N y en el cable AC es de 765 N, determine la magnitud y dirección de

la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables.

Respuesta: N )4.2758.532948( kjiR , N 7954.1121R ; º68.147 ,

º64.61 , º21.104



181. El aguilón OA está sostenido por dos cables, según muestra la figura. Si en el cable AB

la tensión es de 150 N y en el cable AC es de 170 N, determine la magnitud y dirección de

la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables.

Respuesta: kji 13624048 , 87.99 , 00.149 , 94.60 .

182. Si se sabe que las tensiones en los cables AB y AC son de 510 lb y de 425 lb

respectivamente, determine la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas

ejercidas en A por los dos cables.

Respuesta: kjiFR 423580564 . 333375RF .

183. A fin de mover un camión volcado, se atan dos cables en A y se jalan mediante las

grúas B y C como se muestra en la figura. Si se sabe que la tensión en el cable AB es de 10



kN y en el cable AC es de 7.5 kN, determine la magnitud y dirección de la resultante de las

fuerzas ejercidas en A por los cables.

Respuesta: 15.13 kN, º4.133 , º6.43 , º6.86 .

1.5.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL ESPACIO.

Una partícula A está en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre A es

cero. Las componentes Rx, Ry y Rz de la resultante están dadas por

xx FR

yy FR

zz FR

Al expresar que las componentes de la resultante son cero, se escribe

0 xF

0 yF

0 zF

Las ecuaciones anteriores representan las condiciones necesarias y suficientes para lograr el

equilibrio de una partícula en el espacio. Estas ecuaciones pueden usarse para resolver

problemas que tratan con el equilibrio de una partícula y en los que intervienen no más de

tres incógnitas.

Para resolver tales problemas, se traza el diagrama del cuerpo libre donde se

muestre a la partícula en equilibrio y todas las fuerzas que actúan sobre ella. Deben

escribirse las ecuaciones de equilibrio y despejar las tres incógnitas. En los tipos de



problemas más comunes, estas incógnitas representan 1) las tres componentes de una sola

fuerza o 2) la magnitud de tres fuerzas, cada una con dirección conocida.


Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza F en la figura

que son requeridos para obtener el equilibrio de la partícula O.

Solución.


Tres fuerzas actúan sobre el gancho. Si la fuerza resultante FR tiene la magnitud y dirección

mostradas, determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza F3.

Solución.






Determine las magnitudes de las fuerzas F1, F2 y F3 necesarias para mantener la fuerza

kN )589( kjiF en equilibrio.

Solución.


184. Determine la magnitud y dirección de F1 requeridas para mantener el sistema de

fuerzas concurrentes en equilibrio.

Respuesta: F1 = 608 N, º2.79 , º4.16 , º8.77 .

185. Determine las magnitudes necesarias F1, F2 y F3 para que la partícula esté en

equilibrio.




Respuesta: F1 = 800 N, F2 = 147 N, F3 = 564 N.

186. Determine las magnitudes necesarias F1, F2 y F3 para que la partícula esté en

equilibrio.

Respuesta: F1 = 5.60 kN, F2 = 8.55 kN, F3 = 9.44 kN.

187. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza P requerida para mantener el sistema

de fuerzas concurrentes en equilibrio.




Tres cables se utilizan para soportar la lámpara de 800 N. Determine la fuerza desarrollada

en cada uno de ellos para lograr el equilibrio.

Solución.


Determine la fuerza desarrollada en cada cable usado para soportar el cajón de 40 lb que se

muestra en la figura.




Solución.

Ejemplo 1.49. Problema resuelto 2.9 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 58.

Un cilindro de 200 kg se sostiene por medio de dos cables AB y AC que se amarran en la

parte más alta de una pared vertical. Una fuerza horizontal P perpendicular a la pared lo

sostiene en la posición mostrada. Determine la magnitud de P y la tensión en cada cable.

Solución.


Determine la fuerza necesaria en cada cable para sostener la carga de 500 lb.





Solución.


Si cada una de las cuerdas puede soportar una tensión máxima de 50 N antes de que se

rompa, determine el peso máximo del florero que pueden soportar dichas cuerdas.

Solución.

Ejemplo 1.52. Problema 2.114 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 62.

Una placa circular horizontal que pesa 60 lb está suspendida de tres alambres que forman

ángulos de 30º respecto de la vertical y se encuentran unidos a un soporte en D. Determine

la tensión en cada alambre.





Solución.


El candelabro de 80 lb está soportado por los tres alambres como se muestra. Determine la

fuerza en cada alambre en la posición de equilibrio.

Solución.






Dos trabajadores descargan de un camión un contrapeso de 200 lb de hierro fundido usando

dos cuerdas y una rampa con rodillos. Si se sabe que en el instante mostrado el contrapeso

está inmóvil, determine la tensión en cada cuerda si las coordenadas de posición de los

puntos son )in 40,in 20,0( A , )0,in 50,in 40(B y )0,in 40,in 45(C ,

respectivamente. Suponga que no hay fricción entre la rampa y el contrapeso. (Sugerencia:

Puesto que no hay fricción, la fuerza ejercida por la rampa sobre el contrapeso debe ser

perpendicular a éste)

Solución.


Se usan tres cables para amarrar el globo que se muestra en la figura.




Figura Problemas 188, 189, 190 y 191.

188. Determine la fuerza vertical P que ejerce el globo en A, si se sabe que la tensión en el

cable AB es de 259 N.

Respuesta: 1031 N.


cable AC es de 444 N.


cable AD es de 444 N.

Respuesta: 926 N.

191. Si se sabe que el globo ejerce una fuerza vertical de 800 N en A, determine la tensión

en cada cable.

192. Si el cable AB está sometido a una tensión de 700 N, determine la tensión presente en

los cables AC y AD y la magnitud de la fuerza vertical F.



Respuesta: FAC = 130 N, FAD = 510 N, F = 1.06 kN.

193. Si la cubeta y su contenido tienen un peso total de 20 lb, determine la fuerza presente

en los cables de soporte DA, DB y DC.

194. La caja de 2500 N va a ser levantada, con velocidad constante, desde la bodega de un

buque usando el arregla de cables que se muestra. Determine la tensión en cada uno de los

tres cables por equilibrio.



Respuesta: FAB = 0.980 kN, FAC = 0.463 kN, FAD = 1.55 kN.

195. Determine la tensión presente en los cables AB, AC y AD, los cuales son requeridos

para mantener la caja de 60 lb en equilibrio.

196. Determine la fuerza necesaria en cada uno de los tres cables para elevar el tractor que

tiene una masa de 8 Mg.



Respuesta: FAB = FAC = 16.6 kN, FAD = 55.2 kN.

Tres cables sostienen una caja como se muestra en la figura.

Figura Problemas 197, 198, 199 y 200.

197. Determine el peso de la caja, si se sabe que la tensión en el cable AB es de 750 lb.

Respuesta: 2100 lb.

198. Determine el peso de la caja, si se sabe que la tensión en el cable AD es de 616 lb.

Respuesta: 1868 lb.



199. Determine el peso de la caja, si se sabe que la tensión en el cable AC es de 544 lb.

Respuesta: 1049 lb.

200. Determine la tensión en cada cable si el peso de la caja es 1600 lb.

201. Un contenedor de peso W = 1165 N se sostiene por medio de tres cables como se

muestra en la figura. Determine la tensión en cada cable.

Respuesta: TAB = 500 N, TAC = 459 N, TAD = 516 N.

Tres cables están conectados en A, donde se aplican las fuerzas P y Q, como se muestra en

la figura.



Figura Problemas 202, 203, 204, 205 y 206.

202. Si se sabe que Q = O, encuentre el valor de P para el cual la tensión en el cable AD es

de 305 N.

Respuesta: 960 N.

203. Si se sabe que P = 1200 N, encuentre los valores de Q para los cuales el cable AD está

tenso.

Respuesta: N 3600 Q .

204. Determine la tensión en cada cable si se sabe que P = 2880 N y Q = 0.

205. Determine la tensión en cada cable si se sabe que P = 2880 N y Q = 576 N.

206. Determine la tensión en cada cable si se sabe que P = 2880 N y Q = –576 N (Q tiene

dirección descendente).

Una torre de transmisión se sostiene por medio de tres alambres que están unidos a una

articulación en A y se anclan mediante pernos en B, C y D.


207. Si la tensión en el alambre AB es de 630 lb, determine la fuerza vertical P ejercida por

la torre sobre la articulación en A.

Respuesta: 1572 lb.

208. Si la tensión en el alambre AC es de 920 lb, determine la fuerza vertical P ejercida por

la torre sobre la articulación en A.



209. Determine la tensión en cada alambre si se sabe que la torre ejerce una fuerza vertical

ascendente de 2100 lb sobre la articulación en A.

Respuesta: TAB = 842 lb, TAC = 624 lb, TAD = 1088 lb.

Una placa rectangular está sostenida por tres cables como se muestra en la figura.


210. Si se sabe que el cable AC es de 60 N, determine el peso de la placa.

Respuesta: 845 N.

211. Si se sabe que la tensión en el cable AD es de 520 N, determine el peso de la placa.

Respuesta: 768 N.

212. Determine la tensión en cada uno de los tres cables si se sabe que el peso de la placa es

de 792 N.

213. Determine la fuerza necesaria en cada cable para soportar la plataforma de 3500 lb.

Considere d = 4 pies.



Respuesta: FAD = 1.42 kip, FAC = 0.914 kip, FAB = 1.47 kip.

214. La maceta de 50 kg está soportada en A por los tres cables mostrados. Determine la

fuerza que actúa en cada cable en la posición de equilibrio. Considere d = 2.5 m.


215. Determine la altura del cable AB de manera que la fuerza en los cables AD y AC

tenga la mitad del valor de la fuerza presente en el cable AB. ¿Cuál es la fuerza presente en

cada cable para este caso? La maceta tiene una masa de 50 kg.

Respuesta: d = 3.61 m, FAB = 520 N, FAC = FAD = 260 N.



216. Un contenedor de peso W está suspendido del aro A. El pable BAC pasa a través del

aro y se une a los soportes fijos en B y C. Dos fuerzas P y Q se aplican en el aro para

mantener al recipiente en la posición mostrada. Determine P y Q, si W = 376 N.

(Sugerencia: La tensión es la misma en ambos tramos del cable BAC).


Respuesta: P = 131.2 N, Q = 29.6 N.

217. Para el sistema del problema anterior, determine W y Q si se sabe que P = 164 N.

218. Un contenedor de peso W está suspendido del aro A, al cual se une los cables AC y

AE. Una fuerza P se aplica al extremo F de un tercer cable que pasa sobre una polea en B y

a través del anillo A y que está unido al soporte en D. Si se sabe que W = 1000 N,

determine la magnitud de P. (Sugerencia: La tensión es la misma en todos los tramos del

cable FBAD).




Respuesta: 378 N.

219. Si la tensión en el cable AC del sistema descrito en el problema 21 es de 150 N,

determine a) la magnitud de la fuerza P, b) el peso W del contenedor.

220. Tres cables se usan para soportar un anillo de 900 lb. Determine la tensión en cada

cable en la posición de equilibrio.

221. El cilindro de 800 lb está soportado por tres cadenas como se muestra. Determine la

fuerza presente en cada cadena en la posición de equilibrio. Considere d = 1 pie.



Respuesta: FAB = 468.63 lb, FAC = FAD = 331.3 lb.

Sistemas que involucran resortes.


Una carga de 90 lb está suspendida del gancho mostrado en la figura. La carga está

soportada por dos cables y un resorte con rigidez k = 500 lb/pie. Determine la fuerza

presente en los cables y el alargamiento del resorte en la posición de equilibrio. El cable

AD se encuentra en el plano x – y y el cable AC en el plano x – z.

Solución.





El cajón de 100 kg mostrado en la figura está soportado por tres cuerdas, una de las cuales

se conecta a un resorte. Determine la tensión en las cuerdas AC y AD, así como el

alargamiento del resorte.

Solución.


222. Determine el alargamiento de cada uno de los dos resortes requeridos para mantener el

cajón de 20 kg en la posición de equilibrio mostrada. Cada resorte tiene una longitud no

alargada de 2 m y rigidez k = 300 N/m.

Respuesta: sOB = 327 mm, sOA = 218 mm.




223. Una pequeña clavija P descansa sobre un resorte que está contenido dentro de un tubo

liso. Cuando el resorte se comprime de modo que s = 0.15 m, ejerce hacia arriba una fuerza

de 60 N sobre la clavija. Determine el punto de unión )0,,( yxA de la cuerda PA para que

la tensión en las cuerdas PB y PC sea de 30 y 50 N, respectivamente.

Respuesta: x = 0.190 m, y = 0.0123 m.

224. Determine la tensión desarrollada en los cables OD y OB y en la barra OC requerida

para sostener la caja de 50 kg. El resorte OA tiene una longitud no alargada de 0.8 m y

rigidez kOA = 1.2 kN/m. La fuerza presente en la barra actúa a lo largo del eje de ésta.

Respuesta: FOB = 120 N, FOC = 150 N, FOD = 480 N.



225. La bola de 80 lb está suspendida del anillo horizontal usando tres resortes, cada resorte

tiene longitud alargada de 1.5 pies y rigidez de 50 lb/pie. Determine la distancia vertical h

del anillo hasta el punto A por equilibrio.



Sistemas que contienen puntales.


Determine la fuerza que actúa a lo largo del eje de cada uno de los tres puntales necesarios

para dar soporte al bloque de 500 kg.

Solución.


227. La lámpara tiene masa de 15 kg y está soportada por un poste AO y los cables AB y

AC. Si la fuerza presente en el poste actúa a lo largo de su eje, determine las fuerzas en AO,

AB y AC por equilibrio.





Respuesta: FAO = 319 N, FAB = 110 N, FAC = 85.8 N.

227. Los cables AB y AC pueden soportar una tensión máxima de 500 N, y el poste soporta

una compresión máxima de 300 N. Determine el peso máximo de una lámpara para que

pueda ser sostenida en la posición mostrada. La fuerza presente en el poste actúa a lo largo

del eje del poste.

Respuesta: W = 138 N.

228. El cable AB soporta una cubeta y su contenido que tienen una masa total de 300 kg.

Determine las fuerzas desarrolladas en los puntales AD y AE y la tensión en el cable AB en

la posición de equilibrio. La fuerza en cada puntal actúa a lo largo de su eje.

Respuesta: FAE = FAD = 1.42 kN, FAB = 1.32 kN.

Sistemas en los cuales hay una fuerza compartida.


Los collarines A y B se conectan por medio de un alambre de 525 mm de largo y pueden

deslizarse libremente sin fricción sobre las varillas. Si una fuerza P = (341 N) j se aplica al

collarín A, determine a) la tensión en el alambre cuando y = 155 mm y b) la magnitud de la

fuerza Q requerida para mantener el equilibrio del sistema.



Solución.


Los collarines A y B están unidos por medio de un alambre de 25 in de largo y pueden

deslizarse libremente sin fricción sobre las varillas.


229. Si una fuerza Q de 60 lb se aplica al collarín B como se muestra en la figura,

determine a) la tensión en el alambre cuando x = 9 in y b) la magnitud correspondiente de

la fuerza P requerida para mantener el equilibrio del sistema.





230. Determine las distancias x y z para las cuales se mantiene el equilibrio del sistema

cuando P = 120 lb y Q = 60 lb.

Respuesta: a) x = 13.42 in; z = 6.71 in.



BIBLIOGRAFÍA.

Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para

ingenieros. Estática, 8a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,

2007.

Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para

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10a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, 2013.

Hibbeler, R. C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10 ed., Pearson Education de

México, S.A de C.V. México, 2004.

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México, S.A de C.V. México, 2010.

Meriam, J. L y L. G. Kraige. Statics. Seventh Edition. John Wiley & Sons, Inc. Estados

Unidos. 2012.



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