Método simplex (ejercicios)

4 5 2 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZOFACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS

CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

MÉ TOD O SIM P LEX

OBJETIVO.-Resolver mediante la regla de Gauss.

REQUISITO.-Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan.

EJERCICIO N°1

2 3 4 3 (-3) 4/5 1 2/5 2/5 2 3 4 3

7 9 4 4 2/5 0 14/5 9/5X1 X2 X3

-2/5 0 14/5 9/5 (-3) 4/5 1 2/5 2/54/5 1 2/5 2/5 7 9 4 4

-1/2 0 2/5 2/5 -1/5 0 2/5 2/5

EJERCICIO N° 2

5 2 2 2 3 25/7 0 10/7 -4/7 17/72 3 3 4 2 -1/7 0 15/7 1/7 8/74 3 2 2 5 13/7 0 8/7 -13/7 29/75 7 2 9 2 5/7 1 2/7 9/7 2/7

EJERCICIO N° 3

7 2 4 6 5 3 3/4 -5/2 -3/8 0 2 3/24 3 3 5 2 3 7/8 -3/4 -11/8 0 -1/2 7/45 6 7 8 4 2 5/8 3/4 7/8 1 1/2 1/48 9 7 6 3 3 17/4 9/2 7/4 0 0 3/24 3 5 2 7 4 11/4 3/2 13/4 0 6 7/2

EJERCICIO N° 4

3 2 9 7 2 -15/2 -4 0 -1/2 -11/2

-13/3 -7/3 0 -11/3 -11/35 3 8 3 3

7 4 6 5 5 7/6 2/3 1 5/6 5/6

4 3 5 6 7 -11/6 -1/3 0 11/6 17/6

INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 1



EJERCICIO N°5

3 4 2 5 3 2 -5 1 0 0 0 04 2 3 6 2 3 -8 -5/2 0 -3/2 -5/2 02 8 4 7 9 43 5 9 8 3 28 3 2 5 3 2

-14 2 0 -3 3 0-33 -17/2 0 -29/2 -21/2 -7

4 3/2 1 5/2 3/2 1

Pivote.- El Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el vector saliente.

Vector Entrante.- Es la columna que contiene el número más pequeño.

Vector Saliente.- Es aquel número positivo más pequeño que resulta de la división de los términos independientes para el vector entrante.

Este modo solo se aplica a problemas de maximización porque los de minimización requieren otro tratamiento.

Z = 20A + 30B

2A +2B ≤ 5S.a.

A + B ≤ 3

Vector Entrante: BVector Saliente: H1Pivote: 2

EJERCICIO N°6

El Método de Gauss tengo que hacerlo hasta conseguir que todos los valores de Zsean ≥ 0

Z = 3X1 + 4X2 + 9X3

S.a.

2X1 + 2X2 ≤ 102X2 + 5 X3 ≤ 16

3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9C.T. X1, X2, X3 ≥ 0

Z A B H1 H2 VALOR

Z -20 -30 0 0 0

H1 2 2 1 0 5

H2 1 1 0 1 3




Convertir en igualdadesZ - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0

2X1+2X2 = 102X2 + 5X3 = 16

3X1– 2X2 - 7X3 = 9 Xj ≥ 0 j=1…3

Variables Holgura1. Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 02. 2X1+2X2 +H1 = 103. 2X2 + 5X3 +H2 = 164. 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9 Xj, Hj j1…3 ≥ 0

Vector Entrante: X3Vector Saliente: H3Pivote: -7

EJERCICIO N°7

MAX: Z= 3X1 + 2X2S.a.

2X1 + X2 ≤ 18

2X1 + 3X2 ≤ 42

3X1 + X2 ≤ 24

X1, X2 ≥ 0



INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN

Página 3



FORMA ESTÁNDAR:

Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3

2X1 + X2 + H1 ≤ 18

2X1 + 3X2 + H2 ≤ 42

3X1 + X2 + H3 ≤ 24

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0

FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0

2X1 + X2 + H1 = 18

2X1 + 3X2 + H2 = 42

3X1 + X2 + H3 = 24

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0


ZVA

Z 1 -3 -2 0 0 0 00 2 1 1 0 0 180 2 3 0 1 0 420 3 1 0 0 1 24

Z 1 0 -1 0 0 1 240 0 1/ 1 0 - 2/3 20 0 2 1/3 0 1 - 2/3 260 1 1/ 0 0 1/ 8

Z 1 0 0 3 0 -1 300 0 1 3 0 -2 60 0 0 -7 1 4 120 1 0 -1 0 1 6



BLELOR

VE= X1VS= H3

PIVOTE= 3

VE= X2VS= H1

PIVOTE= 1/3

VE= H3VS= H2

PIVOTE= 4

Z 1 0 0 1 1/4 1/ 0 330 0 1 - 1/2 1/ 0 120 0 0 -1 3/4 1/ 1 30 1 0 3/ - 1/4 0 3

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 33

VALORES ÓPTIMOS

X1=3

X2=12

H1=0

H2=0

H3=3

EJERCICIO N°8

MAX: Z= 3000X1 + 4000X2

S.a.

X1 + X2 ≤ 5X1 - 3X2 ≤ 0

10X1 + 15X2 ≤ 15020X1 + 10X2 ≤ 16030X1 + 10X2 ≤ 150

X1, X2 ≥ 0


SICAS Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5Z 1 -3000 -4000 0 0 0 0 0 0

H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5H2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0H3 0 10 15 0 0 1 0 1 150H4 0 20 10 0 1 0 1 0 160



FORMA ESTÁNDAR

Z= 3000X1 + 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +0H4 + 0H5

X1 + X2 + H1 ≤ 5X1 - 3X2 + H2 ≤ 0

10X1 + 15X2 + H3 ≤ 15020X1 + 10X2 + H4 ≤ 16030X1 + 10X2 + H5 ≤ 150

X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0


Z-3000X1 - 4000X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 - 0H4 - 0H5 = 0

VARIABLES BÁ

X1 + X2 + H1 = 5X1 - 3X2 + H2 = 0

10X1 + 15X2 + H3 = 15020X1 + 10X2 + H4 = 16030X1 + 10X2 + H5 = 150

X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0

VARIABLESVALOR

H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150

VE= X2VS= H1PIVOTE= 1

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESVALOR

Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5Z

X2H2H3H4H5

1 1000 0 4000 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 00 4 0 3 1 0 0 00 -5 0 -15 0 1 0 10 10 0 -10 1 0 1 00 20 0 -10 0 0 0 1

200005

1575

110100

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 20000




VALORES ÓPTIMOS

X1=0 X2=5

H1=0 H2=15 H3=75 H4=110 H5=100

EJERCICIO N°9

MAX: Z= X1 + X2S.a.

X1 + 3X2 ≤ 264X1 + 3X2 ≤ 442X1 + 3X2 ≤ 28

X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= X1 + X2 +H1 + H2 + H3

X1 + 3X2 + H1 ≤ 264X1 + 3X2 + H2 ≤ 442X1 + 3X2 +H3 ≤ 28

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0


Z - X1 - X2 -H1 - H2 - H3 = 0

X1 + 3X2 + H1 = 264X1 + 3X2 + H2 = 442X1 + 3X2 +H3 = 28

X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 H3 VALOR

Z H1

10

-1 -1 0 0 03 1 0 0

01 26

H2 0 4 3 0 1 0 44H3 0 2 3 0 0 1 28

VE= X1VS= H2PIVOTE= 4




VARIABLES BÁSICAS


Z H1X1

1 00 00 1

- 1/4 0 1/4 01 -1/4 00 1/4 0

1113/4 153/4 11

H3 0 0 11/2 0 -1/2 1 6

VE= X2VS= H3PIVOTE=3/2

VARIABLES BÁSICAS


Z H1X1X2

1 0 0 0 1/6 1/60 0 0 1 1/3 -11/60 1 0 0 1/2 -0,0833330 0 1 0 -1/3 2/3

12884

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 12

VALORES ÓPTIMOS

X1=8 X2=4

H1=08 H2=0 H3=0

EL MÉTODO SIMPLEX.- TÉCNICA DE PENALIZACIÓN, TÉCNICA DE VARIABLES ARTIFICIALES O TÉCNICA DE M

≤ + H1 (Si) Max -M = + A1 (Ri) Min +M ≥ - H1+A1

EJERCICIO N°10

MAX: Z= 5X1 + 6X2S.a.

-2X1 + 3X2 = 3X1 + 2X2 ≤ 5

6X1 + 7X2 ≤ 3X1, X2 ≥ 0




FORMA ESTÁNDAR

Z= 5X1 + 6X2 –MA1 +0H1 +0H2

-2X1 + 3X2 + A1 = 3

X1 + 2X2 + H1 ≤ 5

6X1 + 7X2 + H2≤ 3

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0


Z - 5X1 - 6X2 + MA1 - 0H1- 0H2 = 0

2MX1 - 3MX2 - MA1 = -3M

Z+ (2M-5) X1+ (-3M-6) X2 -0H1-0H2 = -3M

S.a.

-2X1 + 3X2 + A1 = 3

X1 + 2X2 + H1 = 5

6X1 + 7X2 + H2= 3

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 A1 VALOR

Z A1H1

1 2M- 50 -20 1

(-)3M -6 0 0 00 0 11 0 0

(-)3M3 32 5

H2 0 6 7 0 1 0 3

VE= X2VS= H2PIVOTE=7

VARIABLES BÁSICAS


Z A1H1X2

1 32/7M+ 1/7 0 0 3/7M+ 6/7 00 -44/7 0 0 - 3/7 10 - 5/7 0 1 - 2/7 00 6/7 1 0 1/7 0

(-)12/7M+18/715/741/73/7




SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 18/7

VALORES ÓPTIMOS

X1=0 X2=3/7

H1=41/7 H2=0

EJERCICIO N°11

MAX: Z= 3X1 + 9X2S.a.

2X1 + 6X2 = 25X1 + 4X2 = 34X1 + X2 ≤ 5

X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3X1 + 9X2 –MA1 –MA2 +0H1

2X1 + 6X2 +A1 = 2 (-M)

5X1 + 4X2 +A2 = 3 (-M)

4X1 + X2 +H1 ≤ 5

X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0


Z - 3X1 - 9X2 +MA1 +MA2 - 0H1 = 0

-2MX1 - 6MX2 -MA1 = -2M

-5MX1 – 4MX2 -MA2 = -3M

Z+ (-3-7M) X1+ (-9-10M) X2 -0H1 = -5M

S.a.

2X1 + 6X2 +A1 = 25X1 + 4X2 +A2 = 34X1 + X2 +H1= 5

X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0




VARIABLES VARIABLESBÁSICAS Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR

Z 1 (-3-7M) (-9-10M) 0 0 0 (-)5MA1 0 2 6 1 0 0 2A2 0 5 4 0 1 0 3H1 0 4 1 0 0 1 5

VE= X2VS= A1PIVOTE=6

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 A2 H1 VALOR

Z

X2

1

0

(-)11/3M 0 3/2+5/3M 0 0

1 1/6 0 0

3-5/3M

1/3 1/3A2 0 32/3 0 - 2/3 1 0 12/3H1 0 32/3 0 - 1 / 6 0 1 42/3

VE= X1VS= A2PIVOTE=32/3

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 A2 H1 VALOR

Z

X2

X1

H1

1 0 0 3/2+2M M 0

0 0 1 5/6 0 0

0 1 0 - 1/5 1/4 00 0 0 1/2 -1 1

3

1/5

4/921/6

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 3

VALORES ÓPTIMOS

X1=4/9

X2=1/5

H1=21/6

H2=0




EJERCICIOS DE MINIMIZACIÓN

EJERCICIO N°12

MIN: Z= 3/2X1+2X2

S.a.

2X1 + 2X2 ≤ 82X1 + 6X2 ≥ 12

X1, X2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3/2X1+ 2X2 + MA1 +0H1+ 0H2

2X1 + 2X2 + H1 ≤ 8

2X1 + 6X2 +A1-H2 ≥ 12 (M)

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0


Z – 3/2X1 - 2X2 - MA1 -0H1 - 0H2 = 0

2MX1 + 6MX2 +MA1 -MH2 = 12M

Z+ (2M-3/2) X1 + (6M-2) X2 -0H1 –MH2 = 12M (-1)

-Z-(3/2-2M) X1-(2-6M) X2 +0H1+MH2 = -12M

S.a.

2X1 + 2X2 + H1 = 8

2X1 + 6X2 +A1-H2 = 12

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0



VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 H1 H2 VALOR

Z H1

-1 3/2-2M0 2

2-6M 0 0 M0 1 0

(-)12M2 8

A1 0 2 6 1 0 -1 12



VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 H1 H2 VALOR

Z H1X2

-1 5/6 0 (-1/3+M) 0 1/30 11/3 0 - 1/3 1 1/30 1/3 1 1/6 0 - 1/6

-442

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 4

VALORES ÓPTIMOS

X1=0 X2=2

H1=4

EJERCICIO N°13

MIN: Z= 4X1 + 5X2

S.a.2X1 + 2X2 ≤ 102X1 + 6X2 ≥ 18

X1 + X2 = 7Xi ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 4X1 + 5X2 + MA1 + MA2 + 0H1 + 0H2

2X1 + 2X2 + H1 ≤ 10

2X1 + 6X2 +A1 – H2 ≥ 18 (M)

X1 + X2 +A2 = 7 (M)

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0


Z - 4X1 - 5X2 - MA1 - MA2 - 0H1 - 0H2 = 0

2MX1 + 6MX2 +MA1 – MH2 = 18M

MX1 + MX2 +MA2 = 7M

Z +(3M-4) X1+(7M-5) X2 -0H1-MH2 = 25M (-1)

-Z- (4-3M) X1-(5-7M )X2 +0H1+MH2 = -25M


BÁSICAS Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALORZ -1 4-3M 5- 7M 0 0 0 M (-)25M

H1 0 2 2 0 0 1 0 10H2 0 2 6 1 0 0 -1 18

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR

Z -17/3-

2/3M(-

-4H1 0 1 1/3 0 - 1/3 0 1 1/3X2A2

00

1/3 1 1/6 0 0 0 - 1 / 6 1 0

- 1/61/6

42/3 2



S.a.

2X1 + 2X2 + H1 = 102X1 + 6X2 +A1 – H2 = 18X1 + X2 +A2 = 7

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0VARIABLES VARIABLES

A2 0 1 1 0 1 0 0 7


0 5/6+7/6M)

0 0 5/6-1/6M

VE= X1VS= H1PIVOTE=4/3

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR

Z

X1X2A2

-1 0 0 (-1/4+M) 0 (-

7/4+1/2M) 1/40 1 0 - 1/4 0 3/4 1/40 0 1 1/4 0 - 1/4 - 1/40 0 0 0 1 - 1/2 0

(-22-2M)322

El ejercicio no tiene solución




EJERCICIO N°14

MAX: Z= 3X1 + 5X2S.a.

X1 ≤ 42X2 ≤ 12

3X1 + 2X2 = 18Xi ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 –MA1

X1 + H1 ≤ 4

2X2 + H2 ≤ 12

3X1 + 2X2 + A1 = 18 (-M)

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0


Z - 3X1 - 5X2 -0H1 -0H2 +MA1= 0

-3MX1 -2MX2 - MA1= -18M

Z+ (-3M-3) X1+ (-2M-5) X2-0H1-0H2 = -18M

S.a.

X1 + H1 = 42X2 + H2 = 12

3X1 + 2X2 + A1 = 18X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

VARIABLES BÁSICAS


Z 1 (-3M-3) (-2M-5) 0 0 0 (-18M)H1 0 1 0 1 0 0 4

H2A1

00

0 2 0 1 2 0 0

01

123 18





VARIABLES BÁSICAS


Z X1H2

1 00 10 0

(-2M-5) 3M+3 0 01 0 00 1 0

(-6M)+120 42 12

A1 0 0 2 -3 0 1 6


VARIABLES VARIABLESBÁSICAS Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR

Z 1 0 0 -4 1/2 0 M+5/2 27X1 0 1 0 1 0 0 4H2 0 0 0 3 1 -1 6X2 0 0 1 -1 1/2 0 1/2 3

VE= H1VS= H2PIVOTE=3

VARIABLES BÁSICAS


Z X1H1X2

1 0 0 0 1 1/2 M+10 1 0 0 - 1/3 1/30 0 0 1 1/3 - 1/30 0 1 0 1/2 0

36226

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 36

VALORES ÓPTIMOS

X1=2

X2=6

H1=2

H2=0




EJERCICIO N°15

MIN: Z= 3X1 + 5X2S.a.

X1 ≤ 42X2 = 12

3X1 + 2X2 ≥ 18Xi ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 +MA1 +MA2 (-1)

-Z= -3X1 - 5X2 - 0H1 – 0H2 -MA1 - MA2

S.a.

X1 + H1 ≤ 4

2X2 + A1 ≤ 12(-M)

3X1 + 2X2 + A2 – H2 = 18 (-M)

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0


-Z + 3X1 + 5X2 +0H1 +0H2 +MA1 + MA2 = 0

-2MX2 -MA1 = -12M

- 3MX1 -2MX2 +MH2 - MA2 = -18M

Z+ (-3M+3) X1+ (-4M+5) X2+0H1 +MH2 = -30M

S.a.

X1 + H1 = 4

2X2 + A1 = 12

3X1 + 2X2 + A2 -H2 = 18

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0


VARIABLES VARIABLESBÁSICAS Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR

Z -1 (-3M-3) (-4M+5) 0 M 0 0 (-30M)H1 0 1 0 1 0 0 0 4A1 0 0 2 0 0 1 0 12



A2 0 3 2 0 -1 0 1 18


VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR

Z H1X2

-100

(-3M-3) 0 0 M 2M- 5/2 00 1 0 0 01 0 0 1/2 0

(-6M-30)1 40 6

A2 0 3 2 0 -1 -1 1 6


VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR

Z H1X2X1

-1 0 0 0 1 M- 3/2 M-10 0 0 1 1/3 1/3 - 1/30 0 1 0 0 1/2 00 1 0 0 - 1/3 - 1/3 1/3

36262

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 36

VALORES ÓPTIMOS

X1=2

X2=6

H1=2

H2=0


Education

Método simplex (ejercicios)