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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN SAN FELIPE
LICENCIADO JULIO BARRETO 1 MATEMÁTICA IV
TEMA IV: SERIES DE FOURIER
Las señales poliarmónicas son señales periódicas que se pueden descomponer en una suma de seña-
les sinusoidales de diferentes pulsaciones.Las señales periódicas no sinusoidales que admiten desa-
rrollo en serie de Fourier son señales poliarmónicas. En un circuito pueden aparecer en alguna de las
siguientes circunstancias:
a) Las fuentes son señales periódicas no sinusoidales.
b) El circuito contiene elementos pasivos no lineales.
Una señal periódica no sinusoidal (que cumpla ciertas condiciones) se puede desarrollar en serie de
Fourier. La serie de Fourier consta en la sumatoria de un término constante más una sucesión infini-
ta de funciones sinusoidales cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia de su primer
término. Si f(t) es una señal periódica de periodo T, entonces se podrá expresar como:
El valor corresponde a la pulsación de la señal y se denomina frecuencia fundamental. Los
términos de las serie se denominan armónicos de las misma, correspondiendo el termino con
al primer armónico, con al segundo armónico, y así sucesivamente.
El término corresponde al valor medio de la señal. Los coeficientes y tienden a ser cada vez
más pequeños a medida que aumenta , con lo que se puede logar una buena aproximación de la se-
ñal tan solo usando los primeros términos de la serie.
También, utilizando algunas propiedades trigonométricas, se puede expresar la serie de la siguiente forma:
TEMA IV: SERIES DE FOURIER
LICENCIADO JULIO BARRETO 2 MATEMÁTICA IV
Para que una señal periódica admita un desarrollo en serie de Fourier debe cumplir las condiciones
de Dirichlet, las cuales exigen que:
1) Debe tener un número finito de discontinuidades dentro de cada período.
2) Debe tener un número finito de máximos y mínimos dentro de cada período.
3) Debe ser absolutamente integrable en un período ( ).
Cualquier señal eléctrica producida por una fuente real cumple con las condiciones de Dirichlet.
Las señales periódicas pueden presentar algunas de las siguientes simetrías:
Par: Las señales pares cumplen y son simétricas con respecto al eje de ordenadas.
Impar: Las señales impares cumplen y son simétricas con respecto al origen de coordenadas.
Simetría de media onda: estas señales cumplen y son simétricas con respecto al
eje de abscisas, tras un desplazamiento de .
Simetría de cuarto de onda: estas señales tienen simetría de media onda y además son pares o im-pares.
Es útil saber si una señal posee alguna de estas simetrías, ya que su serie de Fourier presentará algún
tipo de simplificación. En la siguiente tabla se muestra cómo se pueden calcular los coeficientes de
las serie de acuerdo al tipo de simetría que tenga la señal:
Simetría
de f(t) Calculo de los coeficientes de la serie
Ninguna
Par
Impar
Media
onda
Cuarto
de onda
par
Cuarto
de onda
impar
TEMA IV: SERIES DE FOURIER
LICENCIADO JULIO BARRETO 3 MATEMÁTICA IV
Ejemplos: Hallar los coeficientes de Fourier de:
Solución:
Sean 40 T y ,2
0
luego los coeficientes de Fourier son:
2
12
4
111
4
1
4
1
4
11
1
1
10
tdtA
.2
2
22
1
22
1
22
1
22
1
22
2
2
2
2
1
2cos
4
21
1
1
1
1
1
msenm
msenm
msenmsenm
msenmsenm
msenmsenm
tmsenm
m
tmsen
dttmam
.001
2cos
2cos
1
2cos
2cos
1
2cos
2
2
2
2cos
2
1
24
21
1
1
1
1
1
m
mmm
mmm
tmm
m
tm
dttmsenbm
TEMA IV: SERIES DE FOURIER
LICENCIADO JULIO BARRETO 4 MATEMÁTICA IV
Ejercicios:
1. Hallar los 5 términos de la serie de Fourier de trigonométrica de:
Respuesta: Verificar que sí segT 40 y , 2
0 segrad
los coeficientes de Fourier son:
,10 A 114
22
m
mm
a
y 0mb (Por haber simetría par).
Luego hallar los 5 términos de los coeficientes de Fourier.
2. Hallar los 5 términos de la serie de Fourier de trigonométrica de:
Respuesta: Verificar que sí segT 60 y , 3
0 segrad
los coeficientes de Fourier son:
,00 A oam (Por haber simetría impar) y .13
2cos
2
m
mtbm
Luego hallar los 5 términos de los coeficientes de Fourier.
