Trabajo final maestria

“El Álgebra es un Juego” 1

ENSEÑANZA DE FACTORIZACIÓN, CON LA AYUDA DEL MATERIAL

DIDÁCTICO “EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO”, A LOS ESTUDIANTES DE ÁLGEBRA

DEL COLEGIO NUESTRA SEÑORA DE FÁTIMA.

HERNANDO ACEVEDO RÍOS

UNIVERSIDAD DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

MAESTRÍA EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

MANIZALES, COLOMBIA

2014


ENSEÑANZA DE FACTORIZACIÓN, CON LA AYUDA DEL MATERIAL

DIDÁCTICO “EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO”, A LOS ESTUDIANTES DE ÁLGEBRA

DEL COLEGIO NUESTRA SEÑORA DE FÁTIMA.

HERNANDO ACEVEDO RÍOS

Trabajo de grado presentado como requisito para optar al título de:

MAGISTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Director: ORLANDO AYA CORREDOR Mgtr

UNIVERSIDAD DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

MAESTRÍA EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

MANIZALES, COLOMBIA

2014


NOTA DE ACEPTACIÓN

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FIRMA DEL JURADO

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FIRMA DEL JURADO

Manizales, 03 de Octubre de 2014


Este trabajo está dedicado en primer lugar a mi esposa Blanca Aleyda

Salgado Blandón, quien siempre me ha apoyado y colaborado en

todos mis proyectos, especialmente en “El Álgebra es un Juego”. Es

mi mano derecha en todo lo que tiene que ver con la fabricación de

las fichas y los controles de calidad. Todo lo ha hecho con mucho

amor y dedicación. También le dedico este trabajo a mis hijos Daniel

David, Jenny Susanna y Andrea Lorena quienes han vivido este

proceso durante muchos años, me han colaborado y siempre han

creído en que este proyecto va a salir adelante.


AGRADECIMIENTOS

A mi esposa Blanca Aleyda y mis hijos Daniel David, Jenny Susanna y Andrea Lorena, quienes

siempre han apoyado este proyecto y me han colaborado para mejorarlo cada vez más.

Al Colegio Granadino donde lo llevé a la práctica por primera vez.

A mis estudiantes del Colegio Granadino, del Instituto Universitario, de la Institución Educativa

La Trinidad, de la Institución Educativa San Antonio de Arma, del Colegio Autónoma de

Manizales y de la Institución Educativa Nuestra Señora de Fátima, quienes con su deseo de

aprender y sus palabras de felicitación, me motivaron para enriquecer este proyecto y aplicarlo

con ellos en las clases de Matemáticas.

A la profesora Luz Elena Ospina por sus excelentes sugerencias para enmarcar mi trabajo en la

teoría de las representaciones sociales y por sus enseñanzas para construir los instrumentos de la

metodología.

A la profesora Andrea Milena Cárdenas quien me dio valiosos consejos sobre la manera de hacer

el trabajo de grado y por sus enseñanzas en el campo metacognitivo e investigativo.

Al profesor Orlando Aya Corredor, el Director de este trabajo, quien le dedicó muchas de sus

valiosas horas para revisarlo detalladamente, corregir los errores, modificar la redacción

mejorando el estilo y hacer las mejores sugerencias, en lo relacionado con consultas de libros y

trabajos de grado para presentar una tesis de grado de alta calidad.

A los profesores Leonel Palomá Parra y William Aristizábal Botero quienes más que

académicos fueron amigos que me motivaron para hacer la Maestría, siempre apoyaron mi

trabajo e hicieron las últimas revisiones y valiosas sugerencias con mucho profesionalismo.


TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN 14

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS 17

1.1 RESUMEN ANALÍTICO EDUCATIVO 17

1.1.1 Título de la investigación 17

1.1.2 Autor 17

1.1.3 Año de la publicación 17

1.1.4 Resumen de la investigación 17

1.1.5 Palabras claves 18

1.1.6 Problema que aborda la investigación 18

1.1.7 Objetivos de la investigación 18

1.1.8 Hipótesis planteada para la investigación 19

1.1.9 Metodología y estrategias seguidas por la investigación 19

1.1.10 Tesis principal del autor 20

1.1.11 Argumentos expuestos por el autor 20

1.1.12 Conclusiones de la investigación 20

1.1.13 Bibliografía 20

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 22

1.3 JUSTIFICACIÓN 23

1.4 HIPÓTESIS PLANTEADA PARA LA INVESTIGACIÓN 25

1.5 OBJETIVOS 26

1.5.1 Objetivo General 26

1.5.2 Objetivos Específicos 26

2. REFERENTE TEÓRICO 27

2.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA INVESTIGACIÓN 27

2.1.1 Los Babilonios 27

2.1.2 Los Griegos 29

2.1.3 Los árabes 30


2.1.4 El Renacimiento 32

2.2 REFERENTES MATEMÁTICOS DE LA INVESTIGACIÓN 32

2.2.1 Conceptos Básicos 32

2.2.2 Teorema del Residuo 35

2.2.3 Teorema del Factor 36

2.2.4 Teorema de las raíces racionales 39

2.2.5 Casos de Factorización 42

2.3 ANTECEDENTES MANIPULATIVOS DE LA INVESTIGACIÓN 51

2.3.1 Lab Gear 51

2.3.2 Algebra Tiles 54

2.3.3 Algeblocks 56

2.3.4 Puzzle Algebraico 57

2.3.5 Tabletas Algebraicas 61

2.3.6 Álgebra Geométrica 62

2.3.7 El Álgebra es un Juego 64

3. METODOLOGÍA Y ESTRATEGIAS SEGUIDAS POR LA INVESTIGACIÓN 68

3.1 Metodología 68

3.1.1 Tipo de estudio 68

3.1.2 Propuesta Metodológica 68

3.1.3 Breve descripción del material didáctico “El Algebra es un juego” 70

3.2 Marco teórico de la propuesta didáctica 72

3.2.1 Desarrollo de la inteligencia 73

3.2.1.1 Las operaciones concretas (7-12 años) 74

3.2.1.2 Las operaciones formales (12-16 años) 76

3.2.2 Representaciones Sociales. 77

3.2.3 Pensamiento Matemático Elemental y Avanzado 82

3.3 Material Didáctico “El Álgebra es un Juego” 84

3.3.1 Multiplicación 85

3.3.1.1 Reglas para la multiplicación 85

Regla 1: verde × verde = verde 85


Regla 2: azul × verde = azul 86

Regla 3: amarillo × verde= amarillo 89

Regla 4: azul × azul= amarillo 91

Regla 5: azul × amarillo= naranja 93

Otras Reglas para multiplicar dos variables 94

3.3.1.2 Ejemplos de multiplicación. 96

Ejemplo 1: 121 × 11 96

Ejemplo 2. Multiplicar −3(−𝑥 + 3) 100

3.3.2 Reglas de la División 101

3.3.3 Reglas de la factorización y ejemplos 103

3.3.3.1 Ejemplo Caso 1: Factorizar 2𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥 105

3.3.3.2 Ejemplo Caso 2: Factorizar 2𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 + 9 106

3.3.3.3 Ejemplo Caso 3: Factorizar 4𝑥2 − 25 109

3.3.3.4 Ejemplo Caso 4: Factorizar 9𝑥2 + 6𝑥 + 1 112

3.3.3.5 Ejemplo Caso 5𝑎: Factorizar 𝑥2 − 5𝑥 + 6 113

3.3.3.6 Ejemplo Caso 5𝑏: Factorizar 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 115

3.3.3.7 Ejemplo Caso 6: Factorizar 𝑥3 + 8 117

3.3.3.8 Ejemplo Caso 7: Factorizar 𝑥3 − 1 119

3.3.3.9 Ejemplo Caso 8: Factorizar 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 121

4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 123

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 137

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 139

7. ANEXOS 142


LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Traducción de un problema típico de los Babilonios 28

Tabla 2. Solución de una ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑐 por Al-Khwarizmi 31

Tabla 3. Posibilidades para hallar el valor de 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑞 38

Tabla 4. Casos 1 y 2 de factorización: Factor Común 125

Tabla 5. Caso 3 de factorización: Diferencia de Cuadrados 126

Tabla 6. Caso 4 de factorización: Trinomios Cuadrados Perfectos 127

Tabla 7. Caso 5 de factorización: Trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 = 1 128

Tabla 8. Caso 5 de factorización: Trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1 130

Tabla 9. Caso 6 de factorización: Suma y diferencia de cubos 131

Tabla 10. Factorizar polinomios en forma natural 132


LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Fichas que utiliza Lab Gear 52

Figura 2. Piezas de Algebra Tiles 54

Figura 3a. Ejemplo de “Algebra Tiles”: 5 + (−2) + 2 = 7 + (−2) = 5 55

Figura 3b. Ejemplo de “Algebra Tiles”: 5 − (−2) = 7 56

Figura 4. Piezas del material manipulativo Algeblocks 56

Figura 5. Piezas del Puzzle Algebraico 58

Figura 6. (+4) − (−1) utilizando la idea de quitar 60

Figura 7. (+4) − (−1) utilizando la idea de opuesto 60

Figura 8. Tabletas Algebraicas y un ejemplo de unión correcta 61

Figura 9. Terreno cuadrangular que se va a cultivar (azul) 62

Figura 10. Modelo de casa A 64

Figura 11. Modelo de casa B 64

Figura 12. Modelo de casa C 64

Figura 13. Terreno con 15 casas 64

Figura 14. Planos cartesianos de versiones anteriores 66

Figura 15. “El Álgebra es un Juego” versión 2005. 66

Figura 16. “El Álgebra es un Juego” versión 2007. 69

Figura 17a. Plano cartesiano con los ejes ampliados. 70


Figura 17b. Ampliación de la fig. 17a. 85

Figura 18. Fichas que simbolizan la unidad y las variables 70

Figura 19. 11 x 11 = 121 71

Figura 20. Verde ×Verde=Verde 86

Figura 21. Azul ×Verde= Azul 87

Figura 22. Gris ×Verde=Gris 87

Figura 23. Azul ×Gris=Rojo y Rojo × Verde = Rojo 89

Figura 24. Amarilla × Verde = Amarilla 90

Figura 25. Café × Verde =Café 91

Figura 26. Azul×Azul= Amarilla 92

Figura 27. Gris×Gris= Café 92

Figura 28. Azul×Amarilla = Naranja 93

Figura 29. Café× Gris = Blanco 94

Figura 30. Azul Oscuro×Café = Azul Claro y Rojo × Gris= Azul Claro 94

Figura 31. Amarilla × Gris =Verde Claro. Azul × Rojo = Verde Claro 95

Figura 32. Nuevas fichas para 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 y 𝑥6 96

Figura 33. Producto 121×11 96

Figura 34. (𝑥2 + 2𝑥 + 1)(𝑥 + 1) 98

Figura 35. Cubo formado por las 8 fichas 100


Figura 36. −3(−𝑥 + 3) = 3𝑥 − 9 101

Figura 37. División (4𝑥 − 8) ÷ 4 = (𝑥 − 2) 102

Figura 38. Dividir (−8𝑥2 + 2𝑥) ÷ (−2𝑥) 103

Figura 39. Trinomio 2x2 + 6x +4 105

Figura 40. El trinomio y sus factores 105

Figura 41. 2𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥 = 2𝑥(𝑥2 + 2𝑥 − 4) 106

Figura 42. 2𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)(2𝑥2 − 3) 107

Figura 43. 𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦) 109

Figura 44. 4𝑥2 − 25 = (−2𝑥 − 5)(−2𝑥 + 5) 110

Figura 45. 𝑥2 − 𝑦2 = (2𝑥 + 𝑦)(2𝑥 − 𝑦) 111

Figura 46. 9𝑥2 + 6𝑥 + 1 = (3𝑥 + 1)(3𝑥 + 1) = (3𝑥 + 1)2 112

Figura 47. 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2 113

Figura 48. 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 114

Figura 49. 𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 2𝑦2 = (𝑥 + 2𝑦)(𝑥 + 𝑦) 115

Figura 50. 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1) 116

Figura 51. 𝑥3 + 8 = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4) 117

Figura 52. 𝑥3 + 8 = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4) antes y después de cancelar términos 119

Figura 53. 𝑥3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) 120

Figura 54. 𝑥3 − 𝑦3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) 121

Figura 55. 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 1) 122


Figura 56. (𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 1)=(𝑥 + 1)3 122

Figura 57. 𝑥3 + 3𝑥2𝑦+3𝑥𝑦2 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2) 123

Figura 58. Evaluación Diagnóstica 124

Figura 59. Ejercicios de factorización caso 1: Factor Común 125

Figura 60. Desarrollo del ejercicio de factorización 5𝑥 + 10 = 5(𝑥 + 2) 126

Figura 61. Ejercicios diferencia de cuadrados 127

Figura 62. 9𝑥2 − 4 = (3𝑥 − 2)(3𝑥 + 2) 127

Figura 63. Guía de trabajo 128

Figura 64. 4𝑥4 − 8𝑥2 + 4 = (2𝑥2 − 2)2 128

Figura 65. Práctca del caso 5 de factorización 129

Figura 66. Desarrollo del ejercicio de factorización 𝑥2 − 7𝑥 + 12 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 3) 129

Figura 67. Tres registros para factorizar: −4𝑥2 − 14𝑥 − 12 = (2𝑥 + 4)(−2𝑥 − 3) 130

Figura 68. Guía y solución del ejercicio 3: 8𝑥3 + 8 = (2𝑥 + 2)(4𝑥2 − 4𝑥 + 4) 131


INTRODUCCIÓN

La mayoría de profesores de Álgebra enfrentan el problema de no poder explicar

satisfactoriamente muchos temas específicos de esta área de las matemáticas como las

operaciones con polinomios, productos y cocientes notables, factorización, ecuaciones de primer

grado, sistemas de ecuaciones 2 × 2 y la resolución de ecuaciones de segundo grado. Estos

temas resultan ser esenciales en la formación de la cultura matemática de las personas y por ello

se requiere diseñar y aplicar acciones que posibiliten la conceptualización y el trabajo con estos

objetos y procesos específicos.

El presente trabajo de grado se enfocará específicamente en la enseñanza de

factorización, con la ayuda de un material didáctico, y en particular a su uso con los estudiantes

de Álgebra del colegio Nuestra Señora de Fátima de Manizales. El material fue diseñado,

construido y evaluado en su fase preliminar por el autor y se denomina “El Algebra es un juego”.

Con “El Algebra es un juego” se pueden trabajar los objetos y procesos ya referidos, y en

el presente trabajo se presentan los referentes generales y conceptuales que permiten abordar en

la escuela el proceso algebraico de factorización junto con los procesos relacionados con este. El

trabajo está conformado por un documento, unos anexos y el material manipulable (un tablero y

un conjunto de fichas).

El documento, está dividido en siete capítulos:

El primero presenta el Planteamiento del Problema, la Justificación, la Hipótesis

planteada para la Investigación y los Objetivos.

El segundo aborda un recorrido histórico que expone la presencia de factorización de

polinomios como proceso y como objeto en culturas de diferentes épocas: Los Babilonios , Los


Griegos, Los árabes y El Renacimiento y aborda una teoría general sobre los polinomios. En

este capítulo se considera que es pertinente definir y clarificar algunos elementos fundamentales

del álgebra que tienen que ver con la factorización de polinomios en particular de segundo grado.

Incluye igualmente los llamados Casos de Factorización (8) que son trabajados en la escuela ya

que estos casos tienen una solución geométrica con el material manipulativo, objeto del presente

trabajo.

Los antecedentes presentados en la investigación (Ver 2.1 Antecedentes históricos de la

investigación), donde se relacionan aspectos de la historia y epistemología del álgebra permiten

establecer elementos y obstáculos que enriquecen los procesos de enseñanza y aprendizaje del

álgebra y particularmente el uso didáctico de figuras geométricas aplicadas al álgebra (o lo que

se denomina en algunos contextos como algebra geométrica) y los limitantes que se presentaron

a través de la historia, indican hasta donde se puede llegar, trabajar y potenciar este recurso con

los estudiantes. Reconocer estos procesos y eventos hace que la práctica docente se haga más

consciente y posibilite potenciar las dificultades en los procesos tanto de enseñanza y aprendizaje

como oportunidades para mejorar las prácticas mismas.

De otra parte se presentan los antecedentes desde los manipulativos relacionados con la

enseñanza de temas y objetos propios del Algebra, especialmente la factorización: Lab Gear,

Algebra Tiles, Algeblocks, Puzzle Algebraico, Tabletas Algebraicas, Álgebra Geométrica.

Los Antecedentes Históricos y de Materiales Manipulativos de la Investigación aparecen

en las secciones 2.1 y 2.3, donde se consultaron los momentos históricos más relevantes en la

historia del álgebra desde los Babilonios hasta el Renacimiento y una descripción de trabajos

afines al objeto de estudio de este proyecto.


En el tercer capítulo se incluye una breve descripción del material didáctico “El Algebra

es un juego”, haciendo énfasis en la importancia de las diferentes interpretaciones: matemáticas,

algebraicas y geométricas logradas con el juego. Se presenta el marco de referencia para el uso

de los materiales manipulativos, destacando los aportes de Piaget (1975) en el Desarrollo de la

Inteligencia y de Duval (1999) en las Representaciones Sociales y Semióticas que se ajustan a la

presente propuesta didáctica. Por último se presenta la propuesta, describiendo más

detalladamente el material didáctico “El Álgebra es un Juego”. Como la factorización alberga

una estructura multiplicativa que permite expresar ciertos polinomios como factores, primero se

dan las reglas de la multiplicación en el contexto del material manipulativo y luego las de la

factorización con ejemplos de cada caso.

En la sección 3.2.1 (p. 73) se hace un análisis sobre el Desarrollo de la inteligencia con

sus operaciones concretas y formales, en la sección 3.2.2 (p. 77) se hace referencia a las

Representaciones Sociales y su relación con el aprendizaje y en la sección 3.2.3 (p. 82) se hace

un paralelo entre el Pensamiento Matemático Elemental y el Avanzado y la manera como se

relacionan. Una breve descripción del material didáctico “El Algebra es un juego” aparece en la

sección 3.1.3 (p.70).

Finalmente, en los cuatro últimos capítulos, se presentan los resultados y discusión, las

conclusiones y recomendaciones, las referencias bibliográficas y los anexos (pp. 142-177).


1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS

1.1 RESUMEN ANALÍTICO EDUCATIVO

1.1.1 TÍTULO DE LA INVESTIGACIÓN: Enseñanza de Factorización con la ayuda

del material didáctico “El Álgebra es un Juego”, a los estudiantes de Álgebra del Colegio

Nuestra Señora de Fátima.

1.1.2 AUTOR: Acevedo Ríos Hernando

1.1.3 AÑO DE LA PUBLICACIÓN: 2014

1.1.4 RESUMEN DE LA INVESTIGACIÓN: La investigación pretende sustentar que

un material didáctico específico ayudará a los estudiantes de Álgebra de los grados octavo y

noveno a comprender temas abstractos como factorización, aun cuando los estudiantes todavía

se encuentren en la fase de pensamiento concreto. El material manipulativo básicamente consta

de un tablero, que representa un plano cartesiano con los ejes ampliados, y un conjunto

suficiente de fichas que simbolizan las variables 𝑥, 𝑦, 𝑥𝑦, 𝑥2, 𝑦2, 𝑥2𝑦, 𝑥𝑦2, 𝑥3, 𝑦3 y los

números naturales; este material sirve para representar, en forma concreta, conceptos abstractos

como el de variable elevada a una determinada potencia.

Particularmente, para realizar las demostraciones o verificaciones de las identidades

algebraicas asociadas a los procesos de factorización haciendo uso del juego, se debe tener en

cuenta que la factorización alberga una estructura multiplicativa que permite expresar ciertos

polinomios; por lo tanto desde el punto de vista conceptual se explica primero cómo multiplicar

con el juego, para luego deducir el proceso de factorización.


1.1.5 PALABRAS CLAVES: material didáctico, factorización, álgebra, álgebra

geométrica, transición de pensamientos.

1.1.6 PROBLEMA QUE ABORDA LA INVESTIGACIÓN: El problema que se

aborda guarda relación con una teoría cognitiva fundamentada en los trabajos de Piaget (1964,

1969, 1975) y que evidencia que los estudiantes están llegando a grado octavo, momento en

que se presenta la transición escolar de la aritmética al algebra, en una edad donde aún se

encuentran en una fase del pensamiento concreto. La mayoría de conceptos algebraicos son

abstractos y los estudiantes no los asimilan fácilmente o no los incorporan a su estructura de

pensamiento con la rapidez y suficiencia con la que los planes curriculares institucionales o los

profesores lo desearían. Como los estudiantes tienen aún pensamiento concreto, son muy buenos

manipulando material didáctico, es decir material concreto, y les resulta llamativo si posee

figuras geométricas de diferentes tamaños y colores. El juego se convierte entonces en una

dualidad, como actividad lúdica, pero también como proceso ya que se constituye en un pretexto

para realizar algunas operaciones abstractas en forma concreta; y se espera que después de hacer

muchos ejercicios en el entorno de manejo concreto del material a través de su manipulación, el

estudiante logre hacer la abstracción del concepto, o que cuando menos lo dote de un significado

personal.

1.1.7 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN: Utilizar el artefacto “El Álgebra es un

Juego”, como mediador instrumental, que permite hacer la transición entre las estructuras del

pensamiento concreto a las del pensamiento abstracto, para realizar los ejercicios de

factorización, partiendo del lenguaje geométrico para luego hacer la conversión al lenguaje

simbólico y que al resolverlos los hagan comprendiendo el concepto y en forma correcta.


1.1.8 HIPÓTESIS PLANTEADA PARA LA INVESTIGACIÓN: Los estudiantes de

grado octavo, haciendo uso del material didáctico “El Álgebra es un Juego”, mejorarán los

procesos para factorizar y se aproximarán más a la comprensión del concepto y de los procesos

asociados.

Los estudiante, una vez hayan asimilado el proceso de factorización con el juego, podrán

factorizar sin necesidad de utilizar el material didáctico, realizando la transición desde el

pensamiento concreto al abstracto.

1.1.9 METODOLOGÍA Y ESTRATEGIAS SEGUIDAS POR LA

INVESTIGACIÓN: El enfoque de investigación puede ser entendida como de investigación –

acción y de carácter descriptivo. La primera toda vez que el docente autor realiza una aplicación

de la propuesta y evalúa los hallazgos de aplicar un material en unos temas específicos en un

grado específico, en este sentido esta acción metodológica estará ligada a utilizar el material

didáctico “El Álgebra es un Juego” con el tema de factorización. En la fase descriptiva se tiene

la acción de documentar de manera global lo que ocurre al plantear unas actividades específicas

con un grupo de estudiantes particular de acuerdo a un cronograma de intervención propuesto.

En cada práctica, los estudiantes recibirán la explicación del profesor, apoyando sus

acciones en presentaciones en Power Point (Ver anexo 7.5, p. 173) y utilizando video beam.

Luego los estudiantes realizarán la práctica, que el profesor asigne, con una secuencia de

ejercicios seleccionados y que tienen no sólo el propósito de practicar las acciones en el entorno

del mediador instrumental (juego) sino de generar situaciones que refuercen la

conceptualización.


1.1.10 TESIS PRINCIPAL DEL AUTOR: Los estudiantes aprenden factorización más

fácilmente utilizando el material didáctico “El Álgebra es un Juego”, ya que facilita la transición

del pensamiento concreto al abstracto.

1.1.11 ARGUMENTOS EXPUESTOS POR EL AUTOR: Los estudiantes de grado

octavo están llegando muy jóvenes a cursar Álgebra, y por las edades muchos todavía tienen, en

términos de la teoría cognitiva de Piaget (1964, 1969, 1975), pensamiento concreto, y por ello

para ellos es mucho más fácil entender un tema o concepto si se les presenta desde la

manipulación de un material concreto. Después de adquirir práctica con el material concreto, el

estudiante puede dar el paso a factorizar sin el material, es decir que su mente empieza a

comprender las operaciones formales y los procesos asociados a un concepto o estructura

matemática.

1.1.12 CONCLUSIONES DE LA INVESTIGACIÓN: La mayoría de los estudiantes

que utilizaron el material didáctico “El Álgebra es un Juego” adquirieron mayor destreza para

factorizar polinomios y en general para entender otros temas.

1.1.13 BIBLIOGRAFÍA: Para la elaboración del presente trabajo de grado fue necesario

hacer muchas consultas, enfocadas en encontrar vestigios de factorización de polinomios; se

realizó el estudio detallado de tres trabajos de grado, algunos libros físicos y otros en internet.

Las principales fuentes que nutren este documento se encuentran listadas a continuación:

Aristizabal, W. Procesos de Conversión de Registros Semióticos en el Aprendizaje de la Lógica

Matemática en Estudiantes Universitarios. Universidad de Caldas, Manizales, Colombia.

2014.

Ballén, J. O. (2012). El álgebra geométrica como recurso didáctico para la factorización de

polinomios de segundo grado. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia.


Barreto, J. (2009). Percepción geométrica de los productos notables y de la media geométrica

[Versión electrónica]. Números, 71, 57-74.

Bartolini, M., & Mariotti, M. (2010). Mediación semiótica en el aula de matemáticas. En Perry,

P. (Traduc.). Handbook of international research in mathematics education (segunda

edición revisada, pp. 746-783). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. (Trabajo original

publicado en 2008).

Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano: Registros semióticos y aprendizajes

intelectuales. Cali: Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía.

Hall, B.C. & Fabricant, M. (1993). Algebra 2 with Trigonometry, Englewood Cliffs, New Jersey

07632, Prentice Hall.

Jiménez, S. & Salazar, V. Propuesta Didáctica: Tabletas Algebraicas Como Una Alternativa De

Enseñanza Del Proceso De Factorización De Algunos Polinomios De Segundo Grado.

Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia. Diciembre 2013.

Kline, M. (1994). El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Madrid: Alianza

Editorial.

Piaget, J. P. (1964). Seis estudios de Psicología. Editorial Labor, S. A. Barcelona, España.

Piaget, J. P. & Inhelder, B. (1969). Psicología del niño. Ediciones Morata, Madrid, España.

Piaget, J. P. (1975). El desarrollo de la inteligencia. Recuperado de

http://psicologiaentreparentesis.wordpress.com/2009/12/15/el-desarrollo-de-la-

inteligencia-piaget/

Smith D. E. & Latham M. L. (1925). The Geometrie of René Descartes with a facsimile of the

first Edition, 1637. The Open Court Publishing Company. Chicago-London.


1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Actualmente los estudiantes que llegan a cursar el grado octavo, se encuentran en

promedio entre los 12 y 14 años, momento en el cual aún presentan características de

pensamiento concreto. Al ser el álgebra, que se aborda en el sistema escolar colombiano en el

grado octavo una estructura de índole abstracta, hace que se experimenten dificultades, en los

estudiantes para la comprensión de temas algebraicos, y para los profesores a la hora de

estructurar procesos de enseñanza que resulten pertinentes. En este sentido surge la pregunta:

¿Cómo ayudar a los estudiantes de grado octavo a superar el problema de incomprensión

de temas que requieren un pensamiento formal ya que muchos de ellos todavía no han superado

el estadio de las operaciones concretas?

En el estudio del álgebra elemental en la educación básica secundaria se detecta el

problema del paso del lenguaje natural al lenguaje simbólico del álgebra; poco se potencian

otros sistemas de representación como el uso de figuras geométricas tridimensionales para

materializar variables algebraicas, que permiten visualizar procesos de equivalencia entre

dichas variables y el “material semiótico” o sean las figuras tridimensionales que se pueden

fabricar de cualquier material.

La experiencia desde el aula muestra que los estudiantes de octavo grado de la

educación básica secundaria presentan dificultades en el aprendizaje, en la manipulación de

operaciones con polinomios pero particularmente, en su factorización, tanto en lo que respecta a

los procesos algorítmicos como en dar una interpretación de este proceso y concepto.

Teniendo en cuenta el potencial que tienen los materiales manipulativos en la enseñanza

y caracterizando el material “El Álgebra es un Juego” como una herramienta que permite realizar


procesos de conversión entre diferentes registros de representación semiótica, se propone para

representar variables y constantes.

Este trabajo se constituye en una propuesta para enseñar factorización por medio del

material didáctico “El Álgebra es un juego” con el fin de lograr la transición entre el

pensamiento concreto y el pensamiento abstracto a través de la manipulación de material

concreto, donde el juego pase a ser un mediador instrumental. El material es, además, un recurso

didáctico que permite visualizar la factorización de polinomios que tienen raíces enteras, que

busca mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje.

1.3 JUSTIFICACIÓN

Teniendo en cuenta el breve recorrido histórico que se desarrolla en los antecedentes,

con miras a identificar los sucesos que dieron origen al álgebra y especialmente en la solución de

ecuaciones de segundo grado, y analizando lo que investigadores han hecho con material

manipulativo, que estructuralmente posee elementos afines a los que ofrece “El Álgebra es un

Juego” se puede llegar a identificar las bondades que tiene la relación entre la geometría y el

álgebra en los procesos de visualización y el papel que cumple en el proceso de acercar al

estudiante a las particularidades de los procesos asociados a la factorización.

Sin embargo, y como cualquier material manipulativo esto no resuelve por completo los

inconvenientes que se pueden presentar, para citar algunos ejemplos, cuando las raíces del

polinomio no sean enteras o racionales, cuando los coeficientes de las variables y el término

independiente sean cantidades grandes o cuando los polinomios son de grado superior a tres.


Hacer modelos concretos que representen conceptos abstractos, en el momento en que los

estudiantes están haciendo la transición entre el pensamiento concreto y el abstracto, puede ser

una vía para apoyar la conceptualización. Así las variables 𝑥, 𝑦, 𝑥𝑦, 𝑥2, 𝑦2, 𝑥2𝑦, 𝑥𝑦2, 𝑥3,

𝑦3 y las unidades pueden estar representadas por fichas de diferentes tamaños y colores y se

crean unas “reglas semióticas”, de estructura multiplicativa para apoyar la abstracción.

Se debe resaltar que la forma en que está diseñado estructuralmente el mediador didáctico

“El Álgebra es un Juego” permite tratar diferentes ejes conceptuales y temáticas propias de la

aritmética (Ver anexo 7.4, p. 164), el álgebra y la geometría; así que la factorización es sólo un

caso particular, uno de tantos aspectos que puede ser explicado satisfactoriamente.

Utilizar el material didáctico “El Álgebra es un Juego”, resulta una herramienta pertinente

para hacer el tránsito entre las estructuras del pensamiento concreto hacia las estructuras del

pensamiento abstracto, y abre nuevas posibilidades a los estudiantes, puesto que les posibilita

un entorno en el cual pueden asociar conceptos abstractos con figuras geométricas

tridimensionales que ellos pueden manipular y podrán verificar el cumplimiento de aquellos

procesos que se les ha enseñado por medio de métodos algorítmicos.

Se espera que utilizando el material didáctico, más estudiantes aprendan a factorizar

polinomios más fácilmente y con una mayor comprensión de lo que se esperaría si se hace sólo

desde el contexto de los procedimientos algorítmicos, sin embargo esto es un aspecto que sólo se

podrá realizar contrastando un grupo experimental con un grupo control, pero este propósito esta

distante de lo propuesto para el presente trabajo. Utilizando el material didáctico, se espera que

más estudiantes aprendan a factorizar polinomios más fácilmente y con mayor comprensión.


1.4 HIPÓTESIS PLANTEADA PARA LA INVESTIGACIÓN

Analizando los referentes teóricos presentados y los antecedentes de investigación, se

considera que los estudiantes podrán formular pensamientos realmente abstractos, o un

pensamiento de tipo hipotético deductivo cuando lleguen aproximadamente a los 12 años de

edad. Pero, la realidad particular de los entornos educativos de nuestro país permite preguntarse

entre otras cosas las siguientes:

¿Qué pasará con los estudiantes que, a pesar de cumplir 12 años, no han alcanzado ese

estadio del pensamiento formal?

¿Qué pasará con los estudiantes que lleguen a grado octavo sin cumplir los 12 años y aún

sin terminar el ciclo de las operaciones concretas?

Una forma de responder esas preguntas es facilitar los procesos de enseñanza y de

aprendizaje particularmente del Algebra utilizando el material concreto que se está proponiendo

en el presente trabajo, lo que permite plantear la siguiente hipótesis:

Los estudiantes de grado octavo, utilizando el material didáctico “El Álgebra es un

Juego”, realizaran los procesos algorítmicos asociados a la factorización más fácilmente y con

mayor nivel de comprensión, esto es dotándolo de un significado.

Los estudiantes, una vez hayan asimilado el proceso de factorización con la mediación

instrumental del juego, podrán factorizar sin necesidad de utilizar el material didáctico es decir

sin tener el referente concreto.


1.5 OBJETIVOS

1.5.1 OBJETIVO GENERAL

Utilizar el artefacto “El Álgebra es un Juego” que permite, como mediador

instrumental, hacer la transición entre las estructuras del pensamiento concreto a las del

pensamiento abstracto, para realizar ejercicios sobre diferentes tópicos algebraicos, partiendo

del lenguaje geométrico, para luego hacer la conversión al lenguaje simbólico y que al

resolverlos los hagan comprendiendo el concepto y en forma correcta.

1.5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Utilizar el material didáctico “El Álgebra es un Juego” para facilitar el tránsito

entre las estructuras del pensamiento concreto hacia las estructuras del pensamiento abstracto y

encontrarle mayor significado a las expresiones algebraicas.

Usar “El Álgebra es un Juego” como un mediador instrumental que permita

realizar procesos de conversión entre el lenguaje natural y el simbólico en los diferentes casos de

factorización.

Utilizar el material concreto “El Álgebra es un Juego”, en el marco de las

representaciones sociales, realizando los procesos de tratamiento solamente para verificar las

respuestas analítica y geométricamente.


2. REFERENTE TEÓRICO

2.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA INVESTIGACIÓN

A continuación se hace una breve presentación de algunos de los momentos históricos

más relevantes en la historia del álgebra, en los cuales se pueden encontrar trabajos relacionados

con factorización de polinomios de segundo grado o interpretaciones geométricas para este

proceso que, posteriormente, se relacionarán con los objetivos y procesos que componen la

propuesta “El Álgebra es un Juego”.

2.1.1 Los Babilonios

Según lo reporta Kline, (1994), la civilización que se desarrolló entre los ríos Tigris y

Éufrates, región que se conoce como Mesopotamia, actualmente Irak, entre los años 2000 y 600

a.C. permite evidenciar “Los primeros indicios sobre lo que hoy conocemos como álgebra los

encontramos en unas tablillas de arcilla de la cultura babilónica, allí se encuentra su sistema

numérico sexagesimal, operaciones aritméticas y la solución de problemas algebraicos y

geométricos” (p. 21).

Los problemas algebraicos aparecen resueltos dentro del trabajo de esta civilización por

medio de “recetas” (o reglas, más específicamente hablando) para cada caso particular, es decir

no emplea un proceso de generalización; por ello lo que allí se encuentra es lo que se ha llamado

álgebra retórica y no se encuentran en las tablillas fórmulas generales para un tipo de problema,

sino por el contrario el análisis de casos particulares.

Así, los babilonios podían resolver ecuaciones cuadráticas por el método que hoy

conocemos como completar cuadrados, y podían aplicarlo a algunos casos convenientemente

pero sin la elaboración de un proceso general. A continuación se presenta un ejemplo concreto


que plantea la solución de una ecuación de segundo grado y que está referida a hallar el lado de

una determinada figura geométrica, lo que permitirá traducir al sistema decimal el ejemplo que

se dará sobre el tipo de problemas de álgebra que ellos resolvían.

En la tabla 1, en la primera columna está la “receta” dada por el “escriba” (El escriba era

la persona que se encargaba de acuñar las tablillas, ellos desarrollaban su trabajo en la corte del

rey o eran secretarios personales de varios gobernadores) para resolver el problema en el sistema

sexagesimal, y en la segunda la traducción al lenguaje algebraico de hoy y el sistema decimal.

Instrucción del escriba

1. “He restado el lado del cuadrado a partir del

área, y es 14,30” (Boyer, 1992, p.56).

2. "Toma la mitad de 1,que es 0; 30 y

multiplica 0; 30 por 0; 30 , que es 0; 15”

3. “Suma este número a 14,30, lo que da

14,30; 15, este es el cuadrado de 29; 30”

4. “Ahora suma 0; 30 a 29; 30, cuyo resultado

es 30, que es el lado del cuadrado”

Traducción al lenguaje actual

1. 𝑥2 − 𝑥 = 870

2. 0.5 × 0.5 = 0.25

3. 𝑥2 − 𝑥 + 0.25 = 870.25

(𝑥 − 0.5)2 = 29.52

𝑥 − 0.5 = 29.5

4. 𝑥 − 0.5 + 0.5 = 29.5 + 0.5

𝑥 = 30

Tabla 1. Traducción de un problema típico de los Babilonios.

En el paso 3, segunda columna se puede apreciar un caso de factorización que se

originó completando cuadrados y se mostrará un ejemplo en el anexo 7.2.2 (p. 155) del presente

trabajo, utilizando el material “El Álgebra es un Juego”.


2.1.2 Los Griegos

El desarrollo histórico presentado por Boyer muestra el momento asociado a la

aparición de la simbología algebraica con los trabajos de Diofanto, y la obra más importante

que se conoce de Diofanto es su Arithmetica, un tratado de 13 libros del que sólo se conocen los

6 primeros. Trataba temas como las soluciones particulares, enteras o racionales de ecuaciones

algebraicas determinadas e indeterminadas según lo reporta Boyer (1992): “Hacia el siglo III

aparece Diofanto (290 – 200 a. C.), considerado el más importante de los algebristas griegos de

la época alejandrina; introdujo un simbolismo algebraico que consistía en designar a la incógnita

con la primera sílaba de la palabra griega arithmos” ( p.23). Arithmos significa número, es decir

que utiliza abreviaciones de palabras para representar algunas de las nociones del álgebra. A este

manejo de los problemas se le ha llamado álgebra sincopada.

Los problemas que hoy se denominan como diofánticos (o diofántinos) mostrados en

Arithmetica no se corresponden con una exposición sistemática en la solución de ecuaciones,

sino que se corresponden con unos problemas concretos y específicos, por lo que cada uno es

resuelto usando un procedimiento distinto desde el punto de vista algorítmico. El tipo de álgebra

desarrollada por Diofanto se suele llamar álgebra “numerosa” o “numeral”; hoy en día se conoce

a las ecuaciones que logró resolver como “ecuaciones Diofánticas” y se corresponde con las

ecuaciones algebraicas con coeficientes en 𝑍 o en 𝑁 cuyas soluciones son números enteros.

“El Álgebra es un Juego” también trabaja con polinomios con coeficientes en 𝑍 cuyos

factores involucran números enteros.


2.1.3 Los árabes

Un tercer momento en la historia del álgebra lo encontramos en el mundo musulmán que

se extendió, como imperio, durante los años 700 al 1200 d.C. desde la India hasta España.

Durante esa época, el árabe fue la lengua internacional de las matemáticas; ellos conservaron el

patrimonio de los griegos en cuanto a la matemática se refiere e hicieron avanzar tanto el álgebra

como la trigonometría.

Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780 - 850 d.C.), quien vivió en la primera mitad

del siglo IX y que trabajó en la biblioteca del califa Al-Mahmum en Bagdad, escribió varios

libros de geografía, astronomía y matemáticas. Sus principales aportes quedan expuestos por

Perero (1994) y Kline (1994) en los siguientes términos:

En uno de sus libros, Al-jabr wa´lmuqäbala, aparece la palabra “al-jabr” de la cual se deriva la

palabra “álgebra” que significa restauración del equilibrio mediante la transposición de términos de una

ecuación, “muqäbal” significa la simplificación de la expresión resultante mediante la cancelación de

términos semejantes de cada lado de la ecuación. (Perero, p.14). Uno de los métodos más antiguos para

resolver ecuaciones de segundo grado es el método geométrico de “completar el cuadrado”, regla ya

conocida por los griegos. Al-Khwarizmi consideraba seis tipos de ecuaciones de segundo grado para

aplicarles el método, tipos que en realidad son casos particulares de la ecuación general de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son números enteros positivos. (Kline, p.261)

A continuación, en la tabla 2, se presenta un ejemplo del método empleado por Al-

Khwarizmi para encontrar la solución a una ecuación del tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑐, en la columna de la

derecha se expresa el proceso haciendo uso de la notación actual:


Solución dada por Al-Khwarizmi Traducción al lenguaje actual

1. Un cuadrado y diez raíces de la misma

cantidad suman treinta y nueve dirhemm

(Antigua moneda de plata utilizada en varios puntos del

mundo islámico); ¿qué debe ser el cuadrado que,

incrementado en diez de sus propias raíces

suma treinta y nueve?

2. Tomar una mitad de las raíces mencionadas.

Por tanto tomamos 5, que multiplicado por sí

mismo da 25, una cantidad a la que sumamos

39, dando 64.

3. Habiendo tomado después la raíz cuadrada

de éste, que es 8, le restamos la mitad de las

raíces, 5, quedando 3.

4. El número tres por tanto representa una raíz

de este cuadrado.

1. 𝑥2 + 10𝑥 = 39

2. 𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 39 + 25

𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 64

(𝑥 + 5)2 = 64

3. √(𝑥 + 5)2 =√64

𝑥 + 5 = 8

𝑥 = 8 − 5

4. 𝑥 = 3

Tabla 2. Solución de una ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑐 propuesta por Al-Khwarizmi

“El Álgebra es un Juego” puede resolver la ecuación mostrada en la tabla 2. (Ver Anexo

7.2.3, p.157).


2.1.4 El Renacimiento

El cuarto momento de la historia del álgebra se da en el Renacimiento, período llamado

así porque retoma elementos de la época clásica tanto a nivel cultural como científico; durante

este periodo se destaca la invención de la imprenta, que permitiría la rápida difusión de las

producciones matemáticas y científicas de la época. Los matemáticos del Renacimiento se

interesaron por conocer los procedimientos que emplearon los antepasados en la solución de

ecuaciones lineales y cuadráticas.

Descartes (1596 – 1650), transforma el álgebra de magnitudes de Viète en un cálculo de

segmentos, usa las últimas letras del abecedario para las incógnitas y las primeras para los

coeficientes como se utiliza actualmente. En su libro La Geometrie (1637), citado por Smith D.

E. & Latham M. L. (1925), Descartes presenta el tratamiento de las ecuaciones y plantea que

una ecuación puede tener tantas raíces como dimensiones tiene el grado de la ecuación, lo que se

constituye en una primera formulación del Teorema Fundamental del Álgebra.

“El Álgebra es un Juego” trabaja la factorización y las ecuaciones utilizando el concepto

de área y las reglas de la multiplicación ligadas al plano cartesiano con casillas de coordenadas

(𝑥, 𝑦).

2.2 REFERENTES MATEMÁTICOS DE LA INVESTIGACIÓN

2.2.1 Conceptos Básicos

La presentación que se realizará de los conceptos básicos y procesos que se abordan en el

presente trabajo, se hará considerando los aspectos cognitivos que llevan a la transición desde la

aritmética hacia el álgebra, y en ese sentido se partirá del uso de una analogía con los conceptos


respectivos en aritmética, lo cual se considera como una vía hacia los procesos de generalización.

No obstante se debe tener en cuenta que el uso de analogías alberga en sí mismas un riesgo

conceptual pues se pueden llegar a realizar generalizaciones inadecuadas que a largo plazo

pueden generar errores asociados a los obstáculos epistemológicos; sin embargo es un riesgo que

se debe correr (Jiménez, S. & Salazar, 2013).

La presentación de esos conceptos básicos se hará teniendo presente una analogía con los

conceptos respectivos en aritmética, se considera que esto facilita enormemente la práctica

docente.

Primero se hará una analogía entre el Teorema Fundamental de la Aritmética y el

Teorema Fundamental del Álgebra. También se analizará que hay una relación entre el residuo

obtenido en una división de polinomios 𝑃(𝑥) entre un factor lineal 𝑥 − 𝑟, y el valor numérico

𝑃(𝑟), lo que llevará a los Teoremas del Residuo y del Factor (Ballén, J. O. 2012, pp. 22, 23, 24):

Un polinomio 𝑃(𝑥) en un cuerpo 𝐾 es una expresión algebraica de la forma,

𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + …+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

donde 𝑛 ∈ 𝑁 y cada coeficiente 𝑎𝑖 es un número de 𝐾 , o más sintéticamente

𝑃(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖𝑛𝑖=0 𝑥𝑖 , 𝑎𝑖 ∈ 𝐾, 𝑖 ∈ 𝑁 y 𝐾 es un cuerpo, en particular se

considerará el caso en que este sea un cuerpo numérico.

En el caso en que los coeficientes pertenezcan al conjunto de los números reales se dice

que 𝑃(𝑥) es un polinomio real entero y en el caso en que los coeficientes pertenezcan al

conjunto de los números racionales se denominará polinomio racional entero.

Así como en el Teorema Fundamental de la Aritmética, todo número es el producto de

potencias de números primos que llamamos factores primos, una situación análoga sucede


también con los polinomios que se pueden descomponer también en factores primos, y es

precisamente el Teorema Fundamental del Álgebra el hecho matemático que lo garantiza.

En aritmética, en el conjunto de los números naturales se dice que un número 𝑛 es

divisor o factor de otro número 𝑝 sí existe un número 𝑟 tal que 𝑟. 𝑛 = 𝑝.

Esta misma idea está en la estructura del algebra: sean 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) dos polinomios en

un cuerpo 𝐾[𝑥] se dice que 𝑝(𝑥) es un factor del polinomio 𝑞(𝑥) si existe un polinomio 𝑟(𝑥)

tal que 𝑝(𝑥). 𝑟(𝑥) = 𝑞(𝑥).

Una de las proposiciones más importantes que aparece en los Elementos de Euclides es

justamente el algoritmo de la división de Euclides, que se encuentra en el libro VII, el cual

permite saber si en la división de dos números hay un residuo o no, y, en el caso en que el

residuo sea cero, encontrar los factores primos. De hecho, este algoritmo permite encontrar el

máximo común divisor entre dos o más números y que análogamente se puede utilizar para

encontrar el máximo común divisor entre dos o más polinomios.

Dados dos polinomios 𝐴 y 𝐵 en un cuerpo 𝐾[𝑥], y el grado del polinomio 𝐴 mayor o

igual al grado del polinomio 𝐵, simbolizado Grad(𝐴) ≥ Grad(𝐵), para hallar su máximo común

divisor, se divide 𝐴 𝐵⁄ , obteniendo un primer cociente 𝑄1 y un primer residuo 𝑅1, de modo que:

𝐴 = 𝑄1𝐵 + 𝑅1, donde 𝑅1 = 0, o el grado de 𝑅1 < 𝐵. Si 𝑅1 = 0, la división es exacta y los

polinomios 𝐵 y 𝑄1 son factores del polinomio 𝐴. Si 𝑅1 ≠ 0 , se vuelve a dividir 𝐵𝑅1

⁄

obteniendo un nuevo cociente 𝑄2 y un nuevo residuo 𝑅2, de modo que: 𝐵 = 𝑄2𝑅1 +𝑅2,

donde 𝑅2 = 0, o el grado de 𝑅2 < 𝑅1 . Si 𝑅2 = 0, la división es exacta y los polinomios 𝑅1 y

𝑄2 son factores del polinomio 𝐵, y así reiteradamente hasta llegar a un residuo 𝑅𝑛 = 0, donde

𝑅𝑛−1 = 𝑚𝑐𝑑(𝐴, 𝐵).


Hay una relación entre el residuo obtenido en una división de polinomios 𝑃(𝑥) entre un

factor lineal 𝑥 − 𝑟, y el valor numérico 𝑃(𝑟) por lo que hay una forma para hallar el residuo de

esta división; el criterio está determinado por el teorema del residuo, el cual se enuncia y

demuestra a continuación:

2.2.2 Teorema del residuo.

Si el polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛 se divide entre 𝑥 − 𝑟, siendo 𝑟 una constante

independiente de 𝑥, el residuo 𝑅 es igual a 𝑃(𝑟). Esto es 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). (𝑥 − 𝑟) + 𝑅 donde

𝑄(𝑥) es un polinomio de grado 𝑛 − 1 y 𝑅 = 𝑃(𝑟).

Demostración.

Como 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). (𝑥 − 𝑟) + 𝑅, por el algoritmo de la división, se tiene que si 𝑥 =

𝑟, entones 𝑃(𝑟) = 𝑄(𝑟). (𝑟 − 𝑟) + 𝑅, por lo tanto 𝑃(𝑟) = 𝑅.

Ver página web: http://www.xuletas.es/ficha/teoremas-del-factor-y-ceros-racionales/

Ejemplo: Aplicar el teorema del residuo a la división del siguiente polinomio

𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 5𝑥2 − 4𝑥 − 7 entre 𝑥 + 3 para hallar el residuo.

Como 𝑥 + 3 = 𝑥 − (−3) se tiene que 𝑟 = −3. Por lo tanto:

𝑃(−3) = (−3)4+ 5(−3)3 + 5(−3)2 − 4(−3) − 7

𝑃(−3) = −4. O sea que el residuo es −4.

A partir de lo anterior, si 𝑃(𝑟) = 0, entonces 𝑥 − 𝑟 es un factor del polinomio porque

el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de 𝑥 para el cual se ha encontrado una raíz del

polinomio; este enunciado es conocido como el teorema del factor, el cual es importante porque


permite hallar un factor del polinomio, tanteando posibilidades. A continuación se presenta el

enunciado formal del teorema y su demostración.

2.2.3 Teorema del factor.

Un polinomio 𝑃(𝑥) tiene un factor (𝑥 − 𝑐) si y sólo si 𝑃(𝑐) = 0.

Demostración.

Si 𝑐 es un cero de 𝑃(𝑥), 𝑃(𝑐) = 0.

Pero por el algoritmo de la división 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑄(𝑥) + 𝑅

Como 𝑃(𝑐) = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝑐) = (𝑐 − 𝑐)𝑄(𝑐) + 𝑅 = 0, por lo tanto 𝑅 = 0

y 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑄(𝑥).

Ver página web: http://www.xuletas.es/ficha/teoremas-del-factor-y-ceros-racionales/

Ejemplo. Aplicar el Teorema del factor para mostrar que 𝑥 + 1 es un factor de

𝑃(𝑥) = 12𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 5

𝑥 + 1 = 𝑥 − (−1), por lo tanto 𝑐 = −1

Como 𝑃(−1) = 12(−1)3 + 8(−1)2 + (−1) + 5 = −12 + 8 − 1 + 5 = 0,

Por el Teorema del factor queda demostrado que (𝑥 + 1) es un factor de 𝑃(𝑥).

Efectivamente (12𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 5) ÷ (𝑥 + 1) = (12𝑥2 − 4𝑥 + 5)

Por lo tanto, 𝑃(𝑥) = (12𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 5) = (𝑥 + 1)(12𝑥2 − 4𝑥 + 5)

Ahora probamos con otros valores diferentes:

Si 𝑐 = 2 , 𝑃(2) = 12(2)3 + 8(2)2 + (2) + 5 = 135. Como 𝑃(2) ≠ 0, entonces

http://www.xuletas.es/ficha/teoremas-del-factor-y-ceros-racionales/


(𝑥 − 2) no es factor del polinomio 𝑃(𝑥).

Si 𝑐 = −10, 𝑃(−10) = 12(−10)3 + 8(−10)2 + (−10) + 5 = −11205. Como

𝑃(−10) ≠ 0, entonces (𝑥 + 10) no es factor del polinomio 𝑃(𝑥).

Desde el punto de vista de la conceptualización resulta importante mostrar al estudiante

como hay ensayo y error en este tipo de trabajos y como se podría encajonar el valor de un

posible factor de 𝑃(𝑥) si se logra detectar un cambio en el signo del residuo; así para el ejemplo

anterior por el tanteo realizado en la segunda parte del mismo, se tiene la certeza de que un

posible factor estará en (𝑥 − 𝑎) donde en principio 𝑎 estará para encajonarlo en el intervalo

−10 < 𝑥 < 2.

En general se puede entender que factorizar es el proceso de expresar un polinomio 𝑃(𝑥)

como producto de sus factores primos o irreducibles en el campo de factorización; por ejemplo

el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 9 tiene como factores primos (𝑥 + 3) y (𝑥 − 3) en los enteros;

y 𝑥2 + 1 tiene por factores a (𝑥 − 𝑖) 𝑦 (𝑥 + 𝑖) en el campo de los complejos.

Todo polinomio de grado 𝑛 se puede descomponer en a lo más 𝑛 factores primos gracias

al Teorema Fundamental del Álgebra, análogo del Teorema Fundamental de la Aritmética. La

factorización es importante en matemáticas, entre otras cosas, porque permite encontrar las

raíces de la ecuación 𝑃(𝑥) = 0. Existen varios métodos para resolver una ecuación de segundo

grado, entre otras, ensayo y error, completación de cuadrados, utilizando la fórmula general

para ecuaciones de segundo grado, o usando el método de factorización de un polinomio 𝑃(𝑥).

Un polinomio 𝑃(𝑥) de la forma 𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 donde 𝑝, 𝑞 𝑦 𝑟 son enteros, si es

reducible en 𝑍 debe ser de la forma 𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 = (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑), donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 son

enteros. Se deduce que:


𝑎𝑐 = 𝑝, 𝑏𝑑 = 𝑟, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑞

El siguiente ejemplo permite aclarar lo manifestado anteriormente, sea:

𝑃(𝑥) = 6𝑥2 − 7𝑥 − 3

6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = 𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 = (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑)

Se puede deducir que 𝑎𝑐 = 𝑝 = 6 y 𝑏𝑑 = 𝑟 = −3. Existen 32 posibilidades para

hallar el valor de 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑞, pero se deben hallar los casos en que 𝑞 = −7.

Tabla 3. Posibilidades para hallar el valor de 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑞

𝑎𝑐 = 6 𝑏𝑑 = −3 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = −7 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = −7?

𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 SI NO

1

1

1

1

2

2

2

𝟐

𝟑

3

3

3

6

6

6

6

−𝟐

−𝟑

6

6

6

6

3

3

3

𝟑

𝟐

2

2

2

1

1

1

1

−𝟑

−𝟐

1

3

−1

−3

1

3

−1

−𝟑

𝟏

3

−1

−3

1

3

−1

−3

𝟑

−𝟏

−3

−1

3

1

−3

−1

3

𝟏

−𝟑

−1

3

1

−3

−1

3

1

−𝟏

𝟑

−3

−1

3

1

−6

−2

6

2

−9

−3

9

3

−18

−6

18

6

2

−9

6

18

−6

−18

3

9

−3

−9

2

6

−2

−6

1

3

−1

−3

−9

2

3

17

−3

−17

−3

7

3

−𝟕

−𝟕

3

7

−3

−17

−3

17

3

−𝟕

−𝟕

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X


En el cuadro se relacionan los 16 casos en que los valores de 𝑎 y 𝑐 son positivos y los

dos casos que cumplen cuando 𝑎 y 𝑐 son negativos.

Al observar la tabla se puede concluir que hay cuatro formas de expresar el polinomio

𝑃(𝑥) como un producto de factores:

Si 𝑎 = 2, 𝑏 = −3, 𝑐 = 3, 𝑑 = 1 , entonces 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1).

Si 𝑎 = 3, 𝑏 = 1, 𝑐 = 2, 𝑑 = −3, entonces 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = (3𝑥 + 1)(2𝑥 − 3).

Si 𝑎 = −2, 𝑏 = 3, 𝑐 = −3, 𝑑 = −1, entonces 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = (−2𝑥 + 3)(−3𝑥 − 1).

Si 𝑎 = −3, 𝑏 = −1, 𝑐 = −2, 𝑑 = 3, entonces 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = (−3𝑥 − 1)(−2𝑥 + 3).

2.2.4 Teorema de las raíces racionales.

El teorema de las raíces racionales permite hacer una aproximación mirando el término

independiente y los coeficientes de tal manera que las posibles raíces del polinomio están ahí, de

manera más precisa, el teorema de las raíces racionales se enuncia de la siguiente manera:

Si el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + …+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0; tiene coeficientes enteros

y si 𝑝

𝑞⁄ es un cero racional de 𝑃(𝑥) tal que 𝑚𝑐𝑑(𝑝, 𝑞) = 1, entonces 𝑝 es un factor entero de

𝑎0 y 𝑞 es un factor entero de 𝑎𝑛.

Demostración: (Tomada de la página web:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_ra%C3%ADz_racional)

Sea 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + … + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 para algún 𝑎0, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝑍, y

Suponga que 𝑃 (𝑝

𝑞) = 0 para algún coprimo: 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑍

𝑃 (𝑝

𝑞) = 𝑎𝑛 (

𝑝

𝑞)

𝑛

+ 𝑎𝑛−1 (𝑝

𝑞)

𝑛−1

+ … +𝑎1 (𝑝

𝑞) + 𝑎0 = 0.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_ra%C3%ADz_racional


Cambiando el término constante y multiplicando por 𝑞𝑛.

𝑞𝑛𝑎𝑛 (𝑝

𝑞)

𝑛

+ 𝑞𝑛𝑎𝑛−1 (𝑝

𝑞)

𝑛−1

+ … +𝑞𝑛𝑎1 (𝑝

𝑞) = −𝑎0 𝑞

𝑛.

𝑎𝑛𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑞𝑝𝑛−1 + … + 𝑎1𝑞𝑛−1𝑝 = −𝑎0𝑞𝑛 (1).

Factorizando el primer miembro de la igualdad. Se saca el factor común 𝑝.

𝑝(𝑎𝑛𝑝𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑞𝑝𝑛−2 + … + 𝑎1𝑞𝑛−1) = −𝑎0𝑞𝑛

Todos los términos son enteros, lo que implica que 𝑝

𝑎0𝑞𝑛⁄ (𝑝 divide a 𝑎0𝑞𝑛).

Intercambiando los términos −𝑎0𝑞𝑛 y 𝑎𝑛𝑝𝑛 en la ecuación (1).

𝑎𝑛−1𝑞𝑝𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑞2𝑝𝑛−2+ … + 𝑎1𝑞𝑛−1𝑝 + 𝑎0 𝑞𝑛 = −𝑎𝑛𝑝𝑛.

Factorizando el primer miembro de la igualdad. Se saca el factor común 𝑞.

𝑞(𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑞𝑝𝑛−2+ … + 𝑎1𝑞𝑛−2𝑝 + 𝑎0 𝑞𝑛−1) = −𝑎𝑛𝑝𝑛.

Todos los términos en esta ecuación son enteros, lo que implica que

𝑞

𝑎𝑛𝑝𝑛⁄ (𝑞 divide a 𝑎𝑛𝑝𝑛).

Pero las parejas (𝑝, 𝑞𝑛) y (𝑞, 𝑝𝑛) son coprimos. Por lo tanto

𝑝𝑎0

⁄ (𝑝 divide a 𝑎0 y 𝑞

𝑎𝑛⁄ (𝑞 divide a 𝑎𝑛).

O sea que 𝑝 es un factor del término constante 𝑎0 y 𝑞 es un factor del coeficiente del término

𝑎𝑛.

Formando todas las posibles razones de cada factor de 𝑎0 y de 𝑎𝑛 se puede construir una

lista de todas las raíces racionales posibles.

Otra herramienta para acotar las raíces de un polinomio P(x) la brinda la regla de los

signos de Descartes que permite tener información acerca del número y localización de los ceros

de una función polinomial, es decir si un polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛 > 0 tiene a lo más 𝑛 raíces,

la regla de los signos de Descartes establece que si 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + …+ 𝑎1𝑥 +

𝑎0, es un polinomio con coeficientes reales y 𝑎0 ≠ 0, entonces:


1. El número de ceros positivos reales de 𝑃(𝑥) es igual al número de variaciones de signo

de 𝑃(𝑥) o inferior a dicho número por una magnitud igual a un número natural par.

2. El número de ceros reales negativos de 𝑃(𝑥) es igual al número de variaciones en

signo en 𝑃(−𝑥) o es inferior a ese número por una magnitud igual en un número natural par.

Se debe aclarar que la variación en signos significa que dos coeficientes consecutivos

tienen signos opuestos.

El Teorema Fundamental del Álgebra (TFA) garantiza que cualquier ecuación polinómica

de grado 𝑛 con coeficientes reales, tiene exactamente 𝑛 raíces en los complejos; o lo que es lo

mismo un polinomio de grado 𝑛 con coeficientes reales se puede factorizar sobre los complejos

en 𝑛 factores lineales. Sin embargo este teorema no establece cómo se encuentran las raíces o

los factores del polinomio, es decir no establece un algoritmo para factorizar un polinomio. El

teorema puede ser expresado de las siguientes maneras equivalentes:

a) Todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene al menos

una raíz real o compleja.

b) Todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 1 con coeficientes reales o complejos se descompone en

un producto de factores lineales con coeficientes reales o complejos y admite 𝑛 raíces reales o

complejas (distintas o repetidas).

c) Todo polinomio de grado 𝑛 > 1 con coeficientes reales puede ser descompuesto en un

producto de factores con coeficientes reales de primero o segundo grado.

Ver la demostración del Teorema Fundamental del Álgebra en las página web:

http://cafematematico.com/2012/04/12/el-teorema-fundamental-del-algebra-2/.

A partir de éste teorema se puede expresar todo polinomio 𝑃(𝑥) en teoría como un

producto de polinomios de grado 1, con lo que resulta el Teorema de la factorización completa


que nos dice lo siguiente: Si 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + …+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, donde 𝑛 ≥ 1,

entonces existen 𝑛 números complejos 𝑐1, 𝑐2, … 𝑐𝑛 , tales que:

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑐1)(𝑥 − 𝑐2) … (𝑥 − 𝑐𝑛), donde 𝑎 es el coeficiente principal de 𝑃(𝑥).

Cada número 𝑐𝑛 es un cero de 𝑃(𝑥), y también se puede determinar el número de ceros

que puede tener el polinomio con el Teorema del número máximo de ceros de un polinomio, que

plantea lo siguiente: Si 𝑃(𝑥) es un polinomio de grado 𝑛 ≥ 1 con coeficientes complejos,

entonces 𝑃(𝑥) tiene a lo sumo 𝑛 ceros complejos.

Desde un punto de vista elemental, el proceso de factorizar, podría ser considerado como

expresar una suma o resta como un producto de factores.

Básicamente factorizar es expresar una suma o resta como un producto de factores

irreducibles. Cuando decimos que 12 × 12 = 100 + 40 + 4, estamos multiplicando, pero

cuando decimos que 100 + 40 + 4 = 12 × 12 = 2 × 2 × 3 × 2 × 2 × 3 = 24 × 32 estamos

factorizando, es decir expresando una suma como un producto de factores.

2.2.5 Casos de Factorización

La forma en que usualmente se presenta la factorización en el contexto escolar es a través

de lo que se denomina los casos de factorización. A continuación se presentan los casos de

factorización y los ejemplos que más adelante se van a resolver con la ayuda del material

didáctico “El Álgebra es un Juego”. Es importante repasar las características de cada caso y

cómo se resuelve por algoritmos tradicionales para comprender el potencial de utilizar el juego

para demostrar geométricamente cada caso y que permite comprender mejor el proceso de

factorización.


1. Factor Común Monomio: Este caso se presenta cuando todos los términos de un

polinomio tienen un factor común. Se escribe el factor común como coeficiente de un paréntesis

y dentro del paréntesis se escriben los cocientes de dividir cada término del polinomio por el

factor común.

Ejemplo: Factorar o descomponer en dos factores 2𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥. El polinomio se

puede reescribir así: 𝟐𝒙 × 𝑥2 + 2 × 𝟐𝒙 × 𝑥 − 4 × 𝟐𝒙 y se puede apreciar que el factor

común es 2𝒙 el cual se escribe fuera del paréntesis. Dentro del paréntesis se escriben los

cocientes de dividir cada término entre este factor común, es decir:

2𝑥3 ÷ 2𝑥 = 𝒙𝟐, 4𝑥2 ÷ 2𝑥 = 𝟐𝒙 y −8𝑥 ÷ 2𝑥 = −𝟒. Así:

2𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥 = 2𝑥(𝑥2 + 2𝑥 − 4)

La solución con el material didáctico “El Álgebra es un Juego” estará fundamentada en

construir rectángulos con las fichas correspondientes a los términos del polinomio que se va a

factorizar. Los lados del rectángulo serán los factores. La solución del presente ejercicio, en el

apartado 3.3.3.1 (p.106), mostrará la vista superior y una vista tridimensional.

2. Factor Común por Agrupación de Términos: Este caso se presenta, generalmente,

cuando el polinomio tiene cuatro, seis o más términos, siempre y cuando el número de términos

no sea primo. La agrupación generalmente puede hacerse de varios modos con tal que los

términos que se agrupan tengan factor común y siempre que las cantidades que queden dentro

de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si

esto no es posible lograrlo, la expresión dada no se puede descomponer por este método.

Ejemplo: Factorar 2𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 + 9. Los dos primeros términos tienen el factor

común 2𝑥2 y los dos últimos el factor común 3. Agrupando tenemos:


2𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 + 9 = (2𝑥3 − 6𝑥2) − (3𝑥 − 9) = 2𝑥2(𝑥 − 3) − 3(𝑥 − 3) =

(𝑥 − 3)(2𝑥2 − 3).

Si se agrupa de otra manera, los términos primero y tercero tienen el factor común 𝑥 y

los términos segundo y cuarto tienen el factor común 3, así es posible entonces reescribir como:

2𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 + 9 = (2𝑥3 − 3𝑥) − (6𝑥2 − 9) = 𝑥(2𝑥2 − 3) − 3(2𝑥2 − 3) = (2𝑥2 −

3)(𝑥 − 3).

Estas dos soluciones se podrán ver simultáneamente más adelante, en el apartado 3.3.3.2

(p.107), con “El Álgebra es un juego”.

3. Diferencia de Cuadrados: Este caso se presenta cuando la expresión que se va a

factorizar es un binomio y cada término es un cuadrado perfecto, si se desea factorizar en el

anillo de ℤ. Para factorizar una diferencia de cuadrados, se extrae la raíz cuadrada al minuendo y

al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de las mismas.

Ejemplo: 4𝑥2 − 25 = (2𝑥 + 5)(2𝑥 − 5)

En la solución con “El Álgebra es un juego”, en el apartado 3.3.3.3 (p.110), se podrá

apreciar que se forma un cuadrado porque van a aparecer los términos 10𝑥 y −10𝑥 que son los

que se anulan entre sí. Ver caso especial en el anexo 7.2.4 (Resolver 4𝑥2 − (𝑥 + 𝑦)2 con el

juego, p. 159).

4. Trinomio Cuadrado Perfecto: Este caso se presenta cuando los términos primero y

tercero son cuadrados y el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas de los

otros dos. En el texto escolar de Baldor (1977), se presenta de la siguiente manera: “Para factorar

un trinomio cuadrado perfecto, se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se


separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del

trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado” (p.150).

Ejemplo: 9𝑥2 + 6𝑥 + 1 = (3𝑥 + 1)(3𝑥 + 1) = (3𝑥 + 1)2

Con “El Álgebra es un juego”, en el apartado 3.3.3.4 (p.112), se podrá comprobar que,

para este caso, por ser un trinomio cuadrado perfecto, con las fichas, geométricamente se tiene

que formar un cuadrado de lados 3𝑥 + 1.

5. Trinomio de la Forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐:

a. Si 𝒂 = 𝟏.

Este caso se presenta cuando el trinomio cumple las siguientes condiciones:

a. El coeficiente del primer término es 1.

b. El primer término es una variable cualquiera elevada al cuadrado.

c. El segundo término tiene la misma variable que el primero con exponente 1 y su

coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

d. El tercer término es independiente de la variable que aparece en los otros dos

términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Para factorizar un trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se sigue los siguientes pasos:

a. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es 𝑥, o sea la raíz

cuadrada del primer término del trinomio.

b. En el primer factor, después de 𝑥 se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el

segundo factor, después de 𝑥 se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del

segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.


c. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya

suma sea el valor absoluto de 𝑏 y cuyo producto sea el valor absoluto de 𝑐. Estos números son

los segundos términos de los binomios.

d. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya

diferencia sea el valor absoluto de 𝑏 y cuyo producto sea el valor absoluto de 𝑐. El mayor de

estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del

segundo binomio. (Baldor, 1977, pp. 158, 159)

Ejemplo: Factorar 𝑥2 − 5𝑥 + 6

El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la raíz

cuadrada de 𝑥2 o sea 𝑥:

𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 )(𝑥 )

En el primer binomio después de 𝑥 se pone el signo − porque el segundo término del

trinomio tiene signo − . En el segundo binomio, después de 𝑥, se escribe el signo que resulta

de multiplicar el signo de −5𝑥 por el signo de +6, es decir negativo y por lo tanto se tiene

hasta aquí que: 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − )(𝑥 − ).

Como los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números

cuya suma sea el valor absoluto de 5 y cuyo producto sea el valor absoluto de 6. Esos números

son 2 y 3, por lo tanto: 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3).

Para formar el rectángulo con “El Álgebra es un Juego” se deben utilizar los cuatro

cuadrantes (Ver Fig.48 p. 114), lo cual permite visualizar los cuatro términos que resultan al

multiplicar los dos factores, es decir, si realizamos la operación de derecha a izquierda:

(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 𝑥2 − 3𝑥 − 2𝑥 + 6


Con las fichas correspondientes a esos cuatro términos se forma el rectángulo cuyos lados

son (𝑥 − 3) y (𝑥 − 2).

Si 𝒂 ≠ 𝟏.

Este caso se presenta cuando el trinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 cumple las mismas condiciones

que el caso anterior con la diferencia que en este caso 𝒂 ≠ 𝟏.

Aun cuando existen diferentes procesos algorítmicos para resolver este caso, el

procedimiento general alberga la misma idea y es que para factorar estos trinomios se deben

transformar para resolverlos como en el caso anterior , es decir se multiplican y dividen todos

los términos del trinomio por 𝑎 y se reescribe así: [(𝑎𝑥)2 + 𝑏(𝑎𝑥) + 𝑎𝑐] ÷ 𝑎. El trinomio se

descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de (𝑎𝑥)2 o sea

𝑎𝑥, luego se sigue el paso b del caso anterior con relación a los signos y dependiendo de si son

iguales se sigue el paso c (se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto de 𝑏 y cuyo

producto sea el valor absoluto de 𝑎𝑐 ) o si son distintos se sigue el paso d (se buscan dos

números cuya diferencia sea el valor absoluto de 𝑏 y cuyo producto sea el valor absoluto de 𝑎𝑐).

Finalmente se dividen los factores por 𝑎, si es del caso se descompone 𝑎 en dos factores, un

factor divide al primer binomio y el otro factor al segundo.

Ejemplo: Factorizar 6𝑥2 − 7𝑥 − 3

Se multiplica el trinomio por el coeficiente de 𝑥2 que es 6 y dejando indicado el producto

de 6 por 7𝑥 se tiene: 36𝑥2 − 6(7𝑥) − 18. Como 36𝑥2 = (6𝑥)2 y 6(7𝑥) = 7(6𝑥) se puede

escribir: (6𝑥)2 − 7(6𝑥) − 18. Factorizando este trinomio como en el ejemplo anterior (a=1) se

tiene (6𝑥)2 − 7(6𝑥) − 18 = (6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2). Como inicialmente se multiplicó por 6, ahora y


para que la expresión algebraica no se vea alterada, se tiene que dividir por 6, pero este puede ser

escrito como 6 = 3 × 2, o sea que el primer factor se divide por 3 y el segundo por 2. Luego:

6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1).

La representación geométrica que ofrece “El Álgebra es un Juego”, al construir el

rectángulo (Fig. 50, p.116), muestra los cuatro términos que resultan al multiplicar los dos

factores (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1) = 6𝑥2 + 2𝑥 − 9𝑥 − 3.

6. Suma de Cubos: Este caso se presenta cuando los dos términos del binomio que se va

a factorar son cubos perfectos. La suma de dos cubos perfectos se factoriza en dos factores; el

primer factor es la suma de las raíces cúbicas y el segundo factor es el cuadrado de la primera

raíz menos el producto de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplo: 𝑥3 + 8 =

(𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4).

“El Álgebra es un Juego” ofrece una representación geométrica (Fig. 52, p. 119) donde se

ven los dos cubos y aparecen los seis términos del producto (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4) = 𝑥3 −

2𝑥2 + 4𝑥 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 8, antes y después de reducir términos semejantes.

7. Diferencia de Cubos. Este caso se presenta cuando los dos términos del binomio que

se va a factorar son cubos perfectos. La diferencia de dos cubos perfectos se factoriza en dos

factores; el primer factor es la diferencia de las raíces cúbicas y el segundo factor es el cuadrado

de la primera raíz más el producto de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo: 𝑥3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1).

“El Álgebra es un Juego” ofrece una representación geométrica (Fig. 53, p. 120) donde se

ven los dos cubos y aparecen los seis términos del producto

determinado por la factorización. (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥 − 1.


8. Expresión que es el Cubo de un Binomio. Este caso se presenta cuando la expresión

cumple las siguientes condiciones:

a) Tener cuatro términos.

b) Que el primero y último términos sean cubos perfectos.

c) Que el segundo término sea más o menos el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer

término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

d) Que el tercer término sea más el triple de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el

cuadrado de la raíz cúbica del último.

Si todos los términos de la expresión son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las

raíces cúbicas de su primero y último términos, y si los términos son alternativamente positivos y

negativos, la expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces. (Baldor, 1977, p.166)

Ejemplo 1: Factorar 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1

Al analizar el polinomio se puede deducir: La expresión tiene cuatro términos, la raíz

cúbica de 𝑥3 es 𝑥 y la raíz cúbica de 1 es 1. Además, 3(𝑥)2(1) = 3𝑥2 es el segundo término y

3(𝑥)(1)2 = 3𝑥 es el tercer término. Por lo tanto, y porque todos los términos de la expresión

son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primero y

último términos.

𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)3

El material didáctico “El Álgebra es un Juego” muestra (Fig. 56, p.122) que con una ficha

naranja (𝑥3), tres fichas amarillas (3𝑥2), tres azules (3𝑥) y una verde (1), que representan el

polinomio que se va a factorizar se forma el cubo perfecto y muestra los factores (𝑥 + 1) en un

eje y (𝑥 + 1)2 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 en el otro eje.


Ejemplo 2: Factorar 1 − 12𝑥 + 48𝑥2 − 64𝑥3

Al analizar el polinomio se puede deducir: La expresión tiene cuatro términos; la raíz

cúbica de 1 es 1 y la raíz cúbica de 64𝑥3 es 4𝑥. Además, 3(1)2(4𝑥) = 12𝑥 es el segundo

término y 3(1)(4𝑥)2 = 48𝑥2 es el tercer término. Por lo tanto, y porque todos los términos son

alternativamente positivos y negativos, la expresión dada es el cubo de la diferencia de las raíces

cúbicas de su primero y último términos.

1 − 12𝑥 + 48𝑥2 − 64𝑥3 = (1 − 4𝑥)3

Una de las dificultades que puede generar El Material Didáctico “El Álgebra es un

Juego” es que no se pueden resolver todos los ejercicios ya que por los valores de los

coeficientes implicaría un gran número de fichas y este es limitado así que los polinomios con

coeficientes grandes como en el ejemplo anterior no se podrían representar. El ejercicio requiere

48 fichas 𝑥2 (amarillas) y 64 fichas 𝑥3 (color naranja). Además, si se presenta diferencia de

cubos, las fichas correspondientes a los términos del polinomio no podrían representar un cubo

en los cuadrantes, como si se puede si todos los términos son positivos.


2.3 ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN FRENTE AL USO DE

MATERIALES MANIPULATIVOS

En este apartado se analizan los antecedentes desde el uso de materiales manipulativos

para la enseñanza y el aprendizaje de temáticas asociadas al objeto de estudio del presente

trabajo. Se recorrió el trabajo de algunos investigadores como Materiales Manipulativos para la

Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra en la Educación Obligatoria 1 (Hernández et al, 2008),

Tabletas Algebraicas (Jiménez & Salazar, 2013), Álgebra Geométrica (Ballen, 2012) y El

Álgebra es un Juego (Acevedo, 2007), con el fin de analizar estos manipulativos en los procesos

de enseñanza y aprendizaje del algebra, presentando algunas comparaciones entre ellos y en el

apartado Resultados y Discusión se establecen las semejanzas y diferencias con el manipulativo

“El Álgebra es un Juego”.

2.3.1 Lab Gear

Este material consta de las piezas 1,5,25 y de las variables 𝑥, 𝑦, 5𝑥, 5𝑦 , 𝑥𝑦, 𝑥2, 𝑦2,

𝑥2𝑦, 𝑥𝑦2, 𝑥3, 𝑦3. Las piezas se parecen físicamente a las fichas que se trabajan en este

proyecto.

El Lab Gear ayuda a los estudiantes a visualizar el Álgebra: Los valores de los bloques

permanecen constantes, se elimina la confusión acerca de si una pieza determinada representa el

mismo valor, mientras que los tamaños de los bloques 𝑥 e 𝑦 son arbitrarios, y no guardan

relación con ningún valor particular, esto ayuda a que los estudiantes reconozcan las variables

como cantidades desconocidas.


Figura 1. Fichas que utiliza Lab Gear

El material se complementa con diversas planillas que organizan los bloques en

rectángulos para modelizar la multiplicación, la división y la factorización.

Con este material se pueden trabajar otros aspectos como la representación del signo

menos, fracciones equivalentes, suma, resta, simplificación de expresiones, resolución de

ecuaciones y de sistemas de ecuaciones de primer grado. De otra parte, con él no se puede

trabajar polinomios de grado mayor a tres.

Hernández et al (2008) realizaron una serie de experimentos con material didáctico

donde estos son empleados como un tipo de registro de representacion semiótica que:

1. Facilitan la manipulación y conceptualización del símbolo y de la cantidad

desconocida o general.

2. Proporcionan una interpretación geométrica de símbolos y operaciones.

3. Mejoran el discurso de la clase de Álgebra: por una parte, los alumnos reflexionan y

discuten sobre el objeto matemático y, por otra, si la metodología que acompaña al material es la

adecuada, permiten que cada alumno construya el aprendizaje a su ritmo (el profesor dirige, pero


la enseñanza es individualizada, por esto es muy importante el diseño de las actividades que

acompañan al material).

4. Facilitan los procesos de conversión de representación semiótica entre el lenguaje

algebraico y el natural.

5. La manipulación de varias representaciones por el alumnado le permite construir

imágenes mentales adecuadas de un objeto matemático.

Desde esta perspectiva podemos avanzar más en la organización anterior, y considerar el

material didáctico como un sistema de representación semiótico para un objeto matemático dado,

pero esto no es obviamente una adaptación inmediata, por el contrario es una acción mediada;

esta posición supone considerar dos aspectos como esenciales:

a) La necesidad de un acercamiento pragmático a los sistemas de representación

semióticos.

b) Aceptar como hipótesis de partida que el uso del material didáctico en el sentido de

representación semiótica, puede facilitar en gran medida la actividad matemática al estimular y

favorecer el desarrollo del conocimiento matemático.


2.3.2 Algebra Tiles

Este material consta de 58 figuras planas clasificadas por tamaños y colores.

Figura 2. Piezas de Algebra Tiles.

Las fichas están distribuidas en 30 piezas positivas: 18 unidades (los cuadrados

amarillos), la variable 𝑥 (los 8 rectángulos color rosa) y la variable 𝑥2 (los 4 cuadrados verdes) y

28 piezas negativas: 18 unidades (los cuadrados rojos del mismo tamaño que los amarillos), 8

piezas 𝑥 (los rectángulos rojos del mismo tamaño que los rosados) y 2 piezas 𝑥2 (los

cuadrados rojos del mismo tamaño que los verdes). En la figura 2 se puede apreciar que el lado

menor de los rectángulos tiene la misma longitud que el lado de los cuadrados pequeños y el

lado mayor del rectángulo tiene la misma longitud que el lado de los cuadrados grandes.


Las piezas de “Algebra Tiles” permiten trabajar bien aspectos tales como números con

signo, propiedad distributiva, adición y sustracción de polinomios, multiplicación de polinomios,

factorización de polinomios, resolución de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas. Trabajan sólo

con una variable, lo que puede limitar la conceptualización de la cantidad desconocida y el

tránsito entre el lenguaje natural y el lenguaje algebraico. La modelización de la multiplicación

como área no es geométricamente correcta cuando está implicado el signo menos y sólo pueden

ser representadas expresiones sencillas que contengan dicho signo.

A continuación se presenta un ejemplo para utilizar las piezas de “Algebra Tiles”. Para

realizar la operación 5 − (−2) se toman cinco cuadrados amarillos (positivos) y como no se

tienen cuadrados rojos (negativos) para retirar dos (restar), se adicionan dos parejas de

cuadrados rojos y amarillos (que equivale a sumar cero) (Fig. 3a) y así poder quitar dos rojos

(restar -2) (Fig. 3b). La respuesta es 7 que corresponde a los cuadrados amarillos que quedaron.

+ + =

Figura 3a. Ejemplo de “Algebra Tiles”: 5 + (−2) + 2 = 7 + (−2) = 5


=

Figura 3b. 𝟓 − (−2) = 7

2.3.3 Algeblocks

Está formado por piezas que representan las variables 𝑥, 𝑦, 𝑥2, 𝑦2, 𝑥𝑦, 𝑥2𝑦, 𝑥𝑦2, 𝑥3,

𝑦3, así como las unidades.

Figura 4. Piezas del material manipulativo Algeblocks.

La pieza 𝑥 es el prisma amarillo de dimensiones 1 × 1 × 𝑥 (parte inferior derecha de la

Fig. 4). La pieza 𝑥2 es el prisma amarillo de dimensiones 𝑥 × 𝑥 × 1 (parte central de la Fig. 4).

La pieza 𝑥3 es el cubo amarillo de dimensiones 𝑥 × 𝑥 × 𝑥 (encima del cubo naranja en la

parte superior de la Fig. 4). La pieza 𝑦 es el prisma naranja de dimensiones 1 × 1 × 𝑦 (parte


central inferior de la Fig. 4). La pieza 𝑦2 es el prisma naranja de dimensiones 𝑦 × 𝑦 × 1 (parte

izquierda central de la Fig. 4). La pieza 𝑦3 es el cubo naranja de dimensiones 𝑦 × 𝑦 × 𝑦 (parte

superior de la Fig. 4, debajo del cubo amarillo). La pieza 𝑥𝑦 es el prisma mostaza de

dimensiones 𝑥 × 𝑦 × 1 (parte superior izquierda de la Fig. 4). La pieza 𝑥2𝑦 es el prisma

mostasa de dimensiones 𝑥 × 𝑥 × 𝑦 (parte superior derecha de la Fig. 4, cerca de 𝑦3). La pieza

𝑥𝑦2 es el prisma mostasa de dimensiones 𝑥 × 𝑦 × 𝑦 (parte central derecha de la Fig. 4, arriba

de 𝑥).

Está diseñado para que el estudiante desarrolle conceptos matemáticos desde una

perspectiva constructivista. Mediante el uso de dichas piezas, los estudiantes exploran y

conceptualizan las nociones básicas de Preálgebra y Álgebra, pueden crear reglas en forma

inductiva, es decir, van de lo concreto a lo abstracto.

Con este material se pueden trabajar las operaciones básicas con números enteros,

adición, sustracción, multiplicación, división y factorización de polinomios, traducción de

expresiones lingüísticas a expresiones matemáticas, resolución de ecuaciones lineales, de

inecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales en dos variables (Hernández et al, 2008).

2.3.4 Puzzle Algebraico

El Puzzle Algebraico está formado por 132 fichas que se distribuyen en 66 positivas de

color azul claro y 66 piezas negativas de color azul oscuro. Cada pieza positiva tiene su

correspondiente pieza negativa. Las 132 piezas rectangulares se clasifican en 11 fichas diferentes

y se denominan, de acuerdo a sus dimensiones, así:


Figura 5. Piezas del Puzzle Algebraico.

Doce cuadrados de medidas 1 × 1 son las fichas 𝟏 • 𝟏, doce rectángulos de medidas 𝑥 ×

1 son las fichas 𝒙 • 𝟏, doce rectángulos de medidas 𝑦 x 1 son las fichas 𝒚 • 𝟏, doce rectángulos

b•1

1•1 -1.1 X•1

1

-X•1 -Y•1 Y•1

-b•1

X•X -X•X b•X -b•X

(b/2)•X -(b/2)•X −𝑏

4. 𝑋 𝑏

4•X

(b/2)•(b/2) -(b/2)•(b/2)

b•b -b•b

𝑏

4.𝑏

4 −

𝑏

4.𝑏

4


de medidas 𝑏 × 1 son las fichas 𝒃 • 𝟏, doce cuadrados de medidas 𝑥 × 𝑥 son las fichas 𝒙 • 𝒙,

doce rectángulos de medidas 𝑏 × 𝑥 son las fichas 𝒃 • 𝒙, doce rectángulos de medidas 𝑏2⁄ × 𝑥

son las fichas 𝒃𝟐⁄ • 𝒙, doce rectángulos de medidas 𝑏

4⁄ × 𝑥 son las fichas 𝒃𝟒⁄ • 𝒙, doce

rectángulos de medidas 𝑏2⁄ × 𝑏

2⁄ son las fichas 𝒃𝟐⁄ • 𝒃

𝟐 ⁄ , doce rectángulos de medidas

𝑏 × 𝑏 son las fichas 𝒃 • 𝒃 y doce rectángulos de medidas 𝑏4⁄ × 𝑏

4⁄ son las fichas 𝒃𝟒⁄ •

𝒃 𝟒⁄ . En cada clase de fichas hay 6 positivas y 6 negativas (Fig. 5).

El Puzzle es una representación semiótica de carácter bidimensional no paradigmática, es

decir que no se ajusta a algún modelo estandarizado. Está basada en la noción de magnitud

orientada, que permite abordar el tratamiento de los siguientes objetos matemáticos: cantidades

numéricas positivas y negativas, expresiones algebraicas elementales, ecuaciones lineales,

ecuaciones de segundo grado y otras situaciones (sistemas de ecuaciones e inecuaciones).

Aunque se trata de una representación semiótica no paradigmática, o sea que no es el

resultado de modelos que se hayan estado usando comúnmente, respeta el principio de

extensión algebraica, especialmente con la regla de los paréntesis, en la que aparece asociada a

dos ideas: la resta como acción de quitar (formación de ceros, ceros relativos,…) y la resta como

suma del opuesto. La regla de los paréntesis dice que: + (𝑥) = 𝑥; +(−𝑥) = −𝑥; −(𝑥) =

−𝑥; −(−𝑥) = 𝑥. Además, también respeta la regla de los signos y el Álgebra geométrica griega,

es decir, que permite resolver ecuaciones de hasta 2º grado.

Como ejemplo se va a calcular (+4) − (−1) utilizando la idea de quitar.

Representamos (+4). A (+4) no podemos quitarle (−1). Se crean tantos ceros como sea

necesario hasta poder quitar (−1). Para ello se adicionan dos unidades más, una positiva y una

negativa, que se anulan (Fig. 6).


Figura 6. (+4) − (−1) = 5, utilizando la idea de quitar.

Ahora si se calcula (+4) − (−1) utilizando la idea de opuesto. Se representa (+4) y el

opuesto de (−1). Se hace la suma y se aplica la regla de simplificación si es necesario (en este

caso no lo es) (Fig. 7).

Por tanto, (+4) − (−1) = (+4) + (+1) = 5

Figura 7. (+4) − (−1) = (+4) + (+1) = 5 utilizando la idea de opuesto.

El Puzzle no es una estrategia de enseñanza. Es una representación más del objeto

algebraico que se quiere estudiar, que puede ser utilizada con cualquier método, y bajo cualquier

concepción que se tenga de la enseñanza y aprendizaje del Álgebra (Hernández et al, 2007b).

La factorización, que es la base de este proyecto no está dentro de las aplicaciones de “El

Puzzle Algebraico”, por lo tanto no es del caso profundizar en los otros temas.

-1•1

1•1 1•1

1•1

1•1

1•1

1•1 1•1

1•1

1•1

1•1


2.3.5 Tabletas Algebraicas

Este trabajo titulado “Propuesta didáctica: Tabletas Algebraicas como una alternativa de

enseñanza del proceso de factorización de algunos polinomios de segundo grado” escrito por

Jiménez y Salazar (2013) va dirigido a aquellos docentes de matemáticas y maestros en

formación interesados en el tema de factorización de algunos polinomios de segundo grado. La

idea se inspira en el trabajo de los árabes (e incluso Euclides, sin ser explícito) al relacionar

términos de un polinomio con áreas, usar figuras para representarlas y posteriormente encontrar

sus factores y la solución a algunas ecuaciones relacionadas con problemas propios de su

cotidianidad.

.

Figura 8. Tabletas Algebraicas y un ejemplo de unión correcta.

El objetivo de cada configuración es formar rectángulos con las Tabletas Algebraicas de manera

tal que no queden espacios vacíos entre ellas. Una vez formado el rectángulo, se debe deducir las

longitudes de los lados (comúnmente llamados base y altura) de acuerdo a las longitudes de los

lados de los rectángulos que lo conforman; para esto, se sumará la longitud de cada uno de los

lados que componen el lado total, ... (Jiménez & Salazar, 2013, p.72)


Las Tabletas Algebraicas son 65 fichas planas que especifican el tamaño, el color y el

área de cada una.

2.3.6 Álgebra Geométrica

“El álgebra geométrica como recurso didáctico para la factorización de polinomios de

segundo grado” es una propuesta de Ballén (2012). En su tesis de grado Ballén afirma:

La experiencia desde el aula nos muestra que los estudiantes de octavo grado de la educación

básica secundaria presentan dificultades en el aprendizaje de polinomios y, sobre todo, en su

factorización. En la historia de la matemática y en especial en el álgebra geométrica encontramos

un recurso didáctico que permite visualizar la factorización de polinomios cuadráticos que tienen

raíces enteras, para mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje en la resolución de problemas

que involucran ecuaciones de segundo grado. A partir del álgebra geométrica, como recurso

didáctico y ambientación a diferentes temas, se pueden mejorar los procesos de enseñanza

aprendizaje. (p.6)

Se plantean ejercicios para tener un acercamiento al álgebra geométrica a partir de

situaciones reales relacionadas con geometría. A continuación se presenta un ejemplo:

Figura 9. Terreno cuadrangular que se va a cultivar (azul).


Los antiguos egipcios cultivaban la estrecha franja de tierra junto al río Nilo, que

atraviesa el desierto del Sáhara. El Nilo se desbordaba cada invierno, inundando los campos.

Año tras año, los egipcios tenían que delimitar de nuevo sus terrenos. Por eso se convirtieron en

excelentes topógrafos. Si en la gráfica (Fig. 9), 𝑥 nos representa el lado del terreno cuadrangular

que se va a cultivar, y 𝑧 el lado de terreno que es arrasado por el invierno, ¿cuál podría ser la

expresión que represente el área cultivada por los egipcios? El propósito es acudir a estrategias

que resulten llamativas para los estudiantes como plantear problemas que involucren

representaciones geométricas que se relacionen con el álgebra. En términos del propio autor:

Los temas de enseñanza del álgebra, en especial los que tienen que ver con los procesos de

factorizar, con nuestros estudiantes no son fáciles de abordar, por lo que debemos acudir a diferentes

estrategias que nos permitan mejorar los resultados con nuestros niños. El álgebra geométrica realmente

logra que exista una mejor comprensión de los temas a pesar de las limitaciones que pueda tener, pero la

parte visual que tiene este recurso genera una mayor motivación porque se logra manipular los conceptos

algebraicos de una manera más atractiva sin dejar a un lado su fundamentación teórica. La historia nos

permite comprender y enriquecer nuestros saberes para generar nuevos materiales que ayudarán a

nuestros estudiantes en su aprendizaje. (Ballén, 2012, p.49)

Se plantea también la factorización con álgebra geométrica a partir de varias actividades.

A continuación se presenta la actividad 1:

La compañía casa segura quiere ofrecer tres tipos de vivienda, para este fin ha comprado

un terreno rectangular el cual debe dividir de tal forma que se utilice la totalidad del área. Una de

las condiciones es que se deben respetar los modelos tipo A (Fig. 10), B (Fig. 11) y C (Fig. 12).


Fig. 10. Modelo A. Fig. 11. Modelo B. Fig. 12. Modelo C.

Para este fin se ha hecho una convocatoria en un colegio a los alumnos del grado octavo

con el fin de que hagan la distribución del terreno teniendo en cuenta las siguientes

características: Una casa de tipo A, 6 casas de tipo B y 8 casas de tipo C. Una de 15 soluciones

fue la siguiente.

Figura 13. Terreno con 15 casas.

El área de la distribución anterior (Fig. 13) se relaciona con el polinomio 𝑥2 + 6𝑥 + 8 y

los lados con las expresiones (𝑥 + 4) y (𝑥 + 2). Por lo tanto 𝑥2 + 6𝑥 + 8 = (𝑥 + 4)(𝑥 + 2).

2.3.7 El Álgebra es un Juego

Los estudiantes presentan muchos errores tanto conceptuales como procedimentales

cuando están aprendiendo conceptos algebraicos, estos se perciben usualmente como complejos,

en exceso abstractos para su edad e inclusive desarticulados. Cuando deben aplicarlos en grados


posteriores se evidencia la falta de comprensión de los procesos a pesar de reconocer la

importancia que tienen en trigonometría y cálculo para eliminar indeterminaciones. Al observar

esta situación surge la pregunta: ¿Es posible, a través del lenguaje geométrico y representaciones

físicas, contribuir a mejorar el aprendizaje del álgebra, o por lo menos, encontrar una alternativa

de enseñanza que sirva como instrumento de mediación entre el pensamiento concreto y el

abstracto?

A pesar de conocer el problema de los estudiantes, para el autor de este trabajo pasó

mucho tiempo antes de que surgiera una solución. La idea de utilizar un material manipulativo,

con figuras de diferente color, forma y tamaño, surgió en el Colegio Granadino, utilizando textos

en Inglés donde apareció un ejercicio de investigación: Hall y Fabricant (1993), en su texto

Algebra with Trigonometry, dan un ejemplo y proponen una serie de ejercicios como este:

Investigation. Did you know that the product of two polynomial can be represented by a

rectangle?

The length and width of the rectangle represent the factors, and their product is the area of the

rectangle. The large rectangular region can be separated into smaller rectangular regions, and

the sum of the areas of these rectangles is equal to the area of the large rectangle (Hall &

Fabricant, 1993).

El ejemplo y los ejercicios se pueden consultar en el anexo 7.1.1 (p. 143).

Esta situación desencadenó una serie de acciones. Primero se construyó un plano

cartesiano con cartón paja y fichas planas. Luego fueron 150 fichas de madera que simbolizan la

unidad y las variables 𝑥, 𝑦, 𝑥2, 𝑥3 𝑦 𝑥4. Después se cambió el tablero por uno de madera con

las mismas dimensiones (21 cm × 21cm) y se conservaron las 150 fichas: 72 unidades,


18 𝑥, 18 𝑦, 24 𝑥2, 12 𝑥3 𝑦 6 𝑥4 (Fig. 14). La explicación de los ejercicios realizados en la

figura 14 se pueden ver en el anexo 7.1.5 (p. 151).

Figura 14. Planos cartesianos de versiones anteriores.

Figura 15. “El Álgebra es un Juego” versión 2005.

El juego se aplicó para resolver operaciones básicas (+, −,×,÷) con enteros y expresiones

algebraicas, raíz cuadrada de enteros y expresiones algebraicas, productos y cocientes notables,

factorización y ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas de ecuaciones 2× 2.

Se encontró mucha similitud entre “El Álgebra es un Juego” con los manipulativos de

Lab Gear y Algeblocks y con los principios de las Tabletas Algebraicas y el Álgebra

Geométrica, con la diferencia que “El Álgebra es un Juego”, en este trabajo, tiene mayor


número de aplicaciones puesto que trabaja con exponentes de grado mayor que tres (Ver anexo

7.1.4, página 147, con ejercicios que incluyen 𝑥4, 𝑥5 y 𝑥6).

“El Álgebra es un Juego” se presentó en varios eventos nacionales e internacionales:

Conferencias, Talleres de Capacitación y Ponencias con el tema “El Álgebra es un Juego”.

Además, recibió mención de Honor del Premio Compartir al Maestro en los años 2001 y 2003.

La propuesta “El Álgebra es un Juego” fue una de las 2316 postulaciones que se estudiaron

dentro del proceso de selección en el Premio Compartir al Maestro 2003. La primera fase

consistió en seleccionar las 73 propuestas más sobresalientes y ésta fue una de esas 73

postulaciones seleccionadas o sea que superó al 96.8% de los trabajos presentados (Ver anexo

7.6, figuras 53, 54, 55, 56 y 57).


3. METODOLOGÍA Y ESTRATEGIAS SEGUIDAS POR LA INVESTIGACIÓN

3.1 METODOLOGÍA

3.1.1 Tipo de estudio

Este trabajo se puede considerar como de investigación – acción y descriptiva. El

docente autor realiza una aplicación de la propuesta y evalúa los hallazgos particulares al

aplicar un material en unos temas específicos en un grado específico, en este sentido esta acción

metodológica estará ligada a utilizar el material didáctico “El Álgebra es un Juego” con el tema

de factorización. En la fase descriptiva se tiene la acción de documentar de manera global lo

que ocurre al plantear unas actividades específicas con un grupo de estudiantes particular de

acuerdo a un cronograma de intervención propuesto.

3.1.2 Propuesta Metodológica

La propuesta se desarrolló en tres fases:

Primera fase: En la práctica docente del autor a lo largo de muchos años se detectaron los

problemas principales que presenta el estudiante de Álgebra. Por las experiencias vividas, se

coincide con Ballén (2012) al afirmar:

La enseñanza del álgebra en el contexto escolar está acompañada de algunas dificultades que

presentan los niños; éstas pueden ser de tipo cognitivo, pues no todos los estudiantes que inician el

curso de álgebra cuentan con sólidos dominios en aritmética y en este sentido surgen errores como

consecuencia del uso abusivo de la generalización. Otras son de tipo actitudinal, ya que muchos

consideran que es difícil y que basta con operar aritméticamente unas letras; situación que no permite

ver en el lenguaje algebraico, un elemento dinamizador del lenguaje de las matemáticas, ni el

verdadero significado de la variable, de las expresiones equivalentes, y de las operaciones con


expresiones equivalentes. Más aun deja el álgebra en un escenario árido y descontextualizado. Como

consecuencia, los estudiantes se limitan a memorizar conceptos sin comprender su significado ni

establecer relaciones entre ellos. (p. 4)

Segunda etapa: Se diseñó el material concreto de “El Álgebra es un Juego” para

representar, visualizar y manipular unas fichas que simbolizan las variables y los números

enteros. Al principio se escribió una cartilla (Fig. 15, p.66) con instrucciones, ejemplos y

ejercicios, luego se dio paso a una versión más completa del libro (Fig. 16).

Figura 16. “El Álgebra es un Juego” versión 2007.

Tercera etapa: Se aplicó durante varios años en las clases de Algebra la propuesta

presentada y para adelantar el presente trabajo de maestría se realizó una práctica con un grupo

de estudiantes que hacía parte de unas actividades extracurriculares denominada Tiempo libre

“El Álgebra es un Juego” (ver informe en anexo 7.3, p. 161). Se analizaron los resultados y se

extractaron algunas conclusiones.


3.1.3 Breve descripción del material didáctico “El Algebra es un juego”

El presente trabajo propone la ayuda didáctica que se ha llamado “El Álgebra es un

Juego” para la enseñanza de la factorización en las instituciones educativas, dirigido

especialmente a los profesores de matemáticas y estudiantes de grados octavo y noveno.

El juego, basado en figuras geométricas tridimensionales, está compuesto por un tablero

que representa el plano cartesiano donde los semiejes son 4 regiones rectangulares de

dimensiones 10 cm× 1cm, llamadas ejes ampliados, (Fig. 17a) y un conjunto de 160 fichas: 72

cubos verdes (cada cubo representa la unidad), 18 prismas azules (cada prisma representa la

variable 𝑥), 6 prismas grises (cada prisma representa la variable 𝑦), 24 prismas amarillos

(cada prisma representa la variable 𝑥2), 12 cubos naranja (cada cubo representa la variable 𝑥3),

6 prismas de color café (cada prisma representa la variable 𝑦2), 6 prismas de color verde (cada

prisma representa la expresión 𝑥2𝑦), 6 prismas de color azul (cada prisma representa la

expresión 𝑥𝑦2), 8 prismas de color rojo (cada prisma representa la expresión 𝑥𝑦) y 2 cubos de

color blanco (cada cubo representa la variable 𝑦3). ..

Fig.17a Plano cartesiano con los ejes ampliados Fig. 18 Fichas que simbolizan la unidad y

y algunas casillas (𝑥, 𝑦). las variables.


Las variables 𝑥4, 𝑥5 y 𝑥6 y otros registros de 𝑥2, 𝑥3 y 𝑥4 se modelizarán y aplicarán

en los ejercicios incluidos en los anexos 7.1.4 (p.149) y 7.2.1 (p. 153).

Si “El Álgebra es un Juego” se utiliza en primaria las fichas correspondientes a la

variable 𝑥 tendrán un valor numérico, así:

Cada ficha verde vale 1, cada ficha azul vale 10 (𝑥 = 10), cada ficha amarilla vale

100 (𝑥2 = 100), cada ficha naranja vale 1000 (𝑥3 = 1000). El polinomio 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1

representado por cuatro fichas tiene un valor de 1111.

A manera de ejemplo, la siguiente gráfica muestra la vista superior de uno de los

ejercicios resuelto por los alumnos:

Ejemplo. Realizar con el material didáctico la operación 112 = 11 × 11 y luego hacer la

transición al Álgebra y a la Geometría.

Figura 19. 11 × 11 = 121.

Como 112 = 11 × 11 𝑦 11 = 10 + 1, entonces 112 = (10 + 1)(10 + 1). Cada factor

se puede representar con una ficha azul que vale 10 y una verde que vale 1. Se coloca un factor


en el semieje positivo horizontal y el otro factor en el semieje positivo vertical. Como 10 × 10 =

100, en el espacio interceptado por las dos fichas azules debe colocarse una ficha amarilla que

vale 100. Como 10 × 1 = 10, en el espacio interceptado por la ficha azul en el eje horizontal y la

verde en el eje vertical debe colocarse una ficha azul. Como 1 × 10 = 10, en el espacio

interceptado por la ficha verde en el eje horizontal y la azul en el eje vertical debe colocarse una

ficha azul. Como 1 × 1 = 1, en el espacio interceptado por la ficha verde en el eje horizontal y la

verde en el vertical debe colocarse una ficha verde.

Si se observa la figura que se formó en el cuadrante I, se puede ver que su valor es 121

que corresponde a la suma de los valores de una ficha amarilla (100), dos fichas azules (20) y

una ficha verde (1). Por lo tanto 11 × 11 = 112 = 121 (Fig. 19).

Para hacer la transición al Álgebra, la ficha verde vale 1, la ficha azul representa la 𝑥 y la

ficha amarilla representa 𝑥2. Los factores serán (𝑥 + 1) en el eje horizontal y (𝑥 + 1) en el eje

vertical y el resultado será 𝑥2 + 2𝑥 + 1. Por lo tanto (𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)2 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1.

Por su parte, para hacer la transición a la Geometría, basta con observar la figura que se

formó en el cuadrante I que corresponde a un cuadrado, por ser el resultado de una cantidad

elevada al cuadrado.

3.2 MARCO TEÓRICO DE LA PROPUESTA DIDÁCTICA

A continuación se hace una breve descripción del material didáctico y se exponen unas

teorías que justifican que este es apropiado de acuerdo a la evolución de la estructura de

pensamiento de las personas desde su nacimiento hasta la adolescencia y a los procesos

cognitivos que el individuo desarrolla y que fueron estudiados por Piaget (1975). Además,


cumple con los requisitos o condiciones de las representaciones sociales para que un estudiante

lo pueda utilizar como un instrumento semiótico para asimilar conceptos algebraicos. Se hace un

paralelo entre el Pensamiento Matemático Elemental (PME) y el Pensamiento Matemático

Avanzado (PMA) para dejar claro que este trabajo privilegia el aspecto didáctico, que es lo que

está necesitando el estudiante para entender los temas, sacrificando un poco el rigor matemático

que es lo que le corresponde al profesor.

3.2.1 Desarrollo de la inteligencia

Piaget estudió el proceso de maduración intelectual en los seres humanos y consolidó

sus posturas en una teoría perfectamente estructurada y reconocida por la comunidad científica.

Según su teoría cuando nacemos sólo disponemos de unas cuantas conductas innatas: succionar,

agarrar, moverse, etc.; estos reflejos son la base sobre la que el niño, en contacto con el entorno,

irá desarrollando esquemas de actuación, resolviendo los problemas que se le presenten y

construyendo así su inteligencia. Para explicar cómo evoluciona la estructura de pensamiento de

las personas desde su nacimiento hasta la adolescencia y poder dar cuenta de los procesos

cognitivos que el individuo desarrolla y que en últimas también puede asumir el individuo,

Piaget dividió el desarrollo de la inteligencia del niño en 4 etapas:

1) estadio sensorio-motriz (0-2 años)

2) estadio pre-operacional (2-7 años)

3) estadio de las operaciones concretas (7-12 años)

4) estadio de las operaciones formales (12-16 años)


A continuación se presenta una breve descripción de dos de las etapas, en particular la de

las operaciones concretas y la de las operaciones formales, ya que son las que interesan dentro

del desarrollo del presente trabajo.

3.2.1.1 Las operaciones concretas (7-12 años).

La etapa en que el niño tiene de 6-7 años coincide, en la mayoría de los países y por

legislación, con el inicio de la enseñanza básica primaria. Esto es así porque se considera que es

en ese momento cuando el niño comienza a desarrollar un pensamiento lógico, su egocentrismo

intelectual ha desaparecido y ya es capaz de distinguir su punto de vista del de los demás. Esto

permite una percepción más equilibrada del mundo, el desarrollo de trabajo cooperativo, la

discusión y el razonamiento con los otros, se logra aceptar y entender normas que hacen posible

los juegos organizados, etc. Todo ello se ve reflejado en un progreso en la inteligencia.

A este repertorio de conductas respecto a los demás, y que resultan tan importantes para

el progreso intelectual, Piaget los denomina socialización, donde el elemento clave es la

discusión de las posturas, conductas y razonamientos del individuo con otros niños. Escuchar

otros puntos de vista e intentar comprender sus razones provoca la reflexión, y reflexionar es una

conducta clave en el desarrollo del pensamiento y la inteligencia.

El progreso del pensamiento más relevante que se da en esta etapa, es el paso de las

intuiciones a las operaciones concretas. Una operación concreta es entendida como cualquier

acción conducente a reunir, organizar o clasificar series de objetos. Aquí el término

‘Concretas’ hace referencia al hecho de que para poder “pensar” estas operaciones hace falta

tener los elementos delante, o sea, verlos y tocarlos, hacerlos tangibles. Son las operaciones que

emergen de procesos como sumar palitos o pelotas, pero no números; o bien, de hacer

razonamientos sobre personas que están delante del niño, personas a las que él ve. En esta etapa,


las unidades del material didáctico “El Álgebra es un Juego” se puede utilizar para sumar

asociando esta operación a los términos juntar y contar.

Este razonamiento lógico, va evolucionando para llegar a hacer tareas consistentes en

hacer series más grandes o más pequeñas, en agrupar elementos que estén incluidos unos dentro

de otros y en relacionar la igualdad de dos elementos siguiendo uno intermedio; o sea, la

estructura silogística básica de la propiedad transitiva: Si 𝐴 = 𝐵 y 𝐵 =C, entonces 𝐴 = 𝐶. Este

esquema lógico lo utilizamos continuamente en la vida diaria y nos facilita la comprensión del

mundo, aun cuando a veces se emplea de manera inadecuada o asociado más a un proceso de

generalización. Aquí se ve más la utilidad de “El Álgebra es un Juego” cuando el estudiante es

capaz de sumar “llevando” y restar “prestando” ya que los estudiantes cambiarán 10 fichas

verdes (10 unidades) por una azul (1 decena), 10 fichas azules (10 decenas) por una amarilla (1

centena), 10 fichas amarillas (10 centenas) por una naranja (1 millar) y así sucesivamente (Ver

anexo 7.4, p. 164).

El esquema intelectual que más cuesta adquirir, según lo reportado por los investigadores

que han cotejado y ampliado la propuesta de Piaget, y que se adquiere durante esta etapa, es el

de la conciencia del proceso de reversibilidad: ser capaz de invertir las operaciones lógicas. La

reversibilidad es fundamental en las operaciones matemáticas, por ejemplo para entender

procesos algorítmicos como 7 + 4 = 11; 11 – 4 = 7. Con el “El Álgebra es un Juego” es posible

trabajar y entender la reversibilidad; si se suma se juntan fichas y el proceso de restar se asocia

al término quitar o retirar fichas.

Este esquema y proceso cognitivo de la reversibilidad se construye, precisamente, al

mismo tiempo que el de la socialización, entendida esta como la capacidad de admitir los otros


puntos de vista y de generar empatía hacia los otros, sus ideas o sus argumentos. Estas

estructuras y procesos se van fortaleciendo y articulando en torno al trabajo con entes concretos

hasta que se tiene la posibilidad de dar el paso hacia el siguiente estadio, el de las operaciones

formales.

3.2.1.2 Las operaciones formales (12-16 años).

El último cambio en la maduración intelectual es el paso del pensamiento concreto al

pensamiento abstracto. Como ya se mencionó hasta los 11 ó 12 años, las operaciones

intelectuales son concretas, sin embargo, a partir de esa edad, los niños ya pueden hacer

operaciones sin tener los objetos delante, solamente con sus símbolos o representaciones; es

decir, haciendo uso de las palabras y símbolos que representan a los objetos. A este

razonamiento, que no necesita la presencia de las cosas y que puede funcionar con palabras o

símbolos matemáticos, se le denomina pensamiento formal o hipotético-deductivo. Con él se

puede, en particular, extraer conclusiones ante una situación problema, a partir de unas

premisas incluso aún sin que el problema exista realmente.

El sujeto que se encuentra en el estadio de las operaciones concretas tiene dificultad en

aplicar sus capacidades a situaciones abstractas. Es a partir de los 12 años cuando el cerebro

humano está potencialmente capacitado (desde la expresión de los genes y de esta teoría

cognitiva), para formular pensamientos realmente abstractos, o lo que se denomina un

pensamiento de tipo hipotético deductivo.

La importancia otorgada por Piaget al análisis del cambio conceptual, no sólo en las

mentes infantiles sino que también es asociada a la manera en que se dio el desarrollo de la

ciencia a lo largo de la historia, aporta los presupuestos teóricos y metodológicos que dieron


lugar al estudio de la génesis y desarrollo de nociones fundamentales relacionadas con el

conocimiento lógico matemático y con saberes relativos a otras disciplinas.

Como ya se mencionó, para realizar las demostraciones o verificaciones de las

identidades algebraicas asociadas a los procesos de factorización haciendo uso de “El Álgebra es

un Juego”, se debe tener en cuenta que la factorización alberga una estructura multiplicativa que

permite expresar ciertos polinomios; por lo tanto desde el punto de vista conceptual se explica

primero cómo multiplicar con el juego (operación concreta), para luego deducir el proceso de

factorización, dando la respuesta (operación formal). “El Álgebra es un Juego” facilita la

transición del pensamiento concreto al abstracto.

Las características del alumno, como sujeto que tiene conceptos y modos concretos de

enfrentarse a la realidad y que ha ido construyendo a lo largo de su desarrollo, junto con el

principio de que el conocimiento se construye activamente, supone, de hecho, un cambio crucial

en los procesos de enseñanza. En este sentido Piaget hace posible la construcción de una ciencia

del conocimiento, la epistemología genética, que no se limita a estudiar el desarrollo individual

de las estructuras de pensamiento y de los procesos para llegar a conocerlo, sino que abarca

también el desarrollo del pensamiento científico de los individuos.

3.2.2 Representaciones Sociales

Se propone una estructura que se constituya en marco de la investigación en enseñanza

de las ciencias, y que tenga unos elementos teóricos que permitan enfrentar los constructos que

se sitúan en la intersección de la ciencia y la sociedad ya que estos pueden convertirse en

verdaderos obstáculos para el aprendizaje de nuestros estudiantes. La teoría que emerge para


proponer respuestas y campos de estudio en este sentido es la Teoría de las Representaciones

Sociales.

Fue precisamente en los inicios de la década del sesenta del siglo pasado cuando sale a

la luz pública esta teoría que estaba dirigida a las personas preocupadas por entender la

naturaleza del pensamiento social. Exactamente fue en París, en 1961 que su autor, Serge

Moscovici presenta su Tesis Doctoral titulada “La Psychoanalyse son imàge et son public”

(“El Psicoanálisis, su imagen y su público”) como culminación de años de estudios teóricos y

empíricos.

Sin embargo resulta más interesante ahondar en el estudio de uno de los modelos más

recientes en psicología social, que al decir de su principal exponente Serge Moscovici, es fácil

para captar las representaciones sociales más no su concepto.

Muchos autores han definido este constructo teórico de maneras muy diversas: para

Lacolla (2005) “Son una manera de entender las ideas de nuestros alumnos”, y en este sentido

Moscovici (1986) les había asignado un papel relevante ya que “…aprendemos principalmente

lo que somos capaces de representar. Esta afirmación da pié para considerar que “El Álgebra es

un Juego” es capaz de representar en forma concreta conceptos algebraicos que para los

estudiantes presentan mucha dificultad, y por lo tanto, puede considerarse, en este sentido,

como una representación social.

Representación social es un conjunto de conceptos, enunciados y explicaciones

originados en la vida diaria, en el curso de las comunicaciones interindividuales. Constructos

cognitivos compartidos en la interacción social cotidiana que proveen a los individuos de un


entendimiento de sentido común, ligadas con una forma especial de adquirir y comunicar el

conocimiento, una forma que crea realidades y sentido común.

El devenir histórico de la Teoría de las Representaciones Sociales está influenciado por

Durkheim, quien desde la Sociología propuso el concepto de Representación Colectiva referido

a “… la forma en que el grupo piensa en relación con los objetos que lo afectan…” (Durkheim,

citado por Perera, M., 2005, p. 26); y las considera hechos sociales de carácter simbólico,

producto de la asociación de las mentes de los individuos.

Si bien es cierto que Durkheim no fue el primero en señalar el factor social como

determinante del pensamiento y acción del hombre, como se había explicitado con anterioridad,

es indiscutible que sentó las bases para una concepción de la mente humana como un producto

de la historia y la cultura.

Lacolla (2005) plantea que las representaciones sociales emergen ante objetos, procesos

o hechos sociales que demandan “normalización”, es decir, transformarse, ajustarse en algo

conocido y concreto, o explicar aquello que resulta negativo. “El Álgebra es un Juego” emerge

ante objetos algebraicos como variables y operaciones que requieren transformarse en algo

concreto como fichas con formas geométricas conocidas para poder explicar esas operaciones

de una manera más comprensible para los estudiantes.

Fundamentalmente las representaciones se estructuran alrededor de tres componentes:

la actitud hacia el objeto, la información sobre ese objeto y un campo de representación donde

se organizan jerárquicamente una serie de contenidos.

Actitud: Es el elemento afectivo de la representación. Se manifiesta como la disposición

más o menos favorable que tiene una persona hacia el objeto de la representación; “El Álgebra


es un Juego” es una representación agradable a la vista por sus formas y colores y cumple como

elemento afectivo.

La información: Es la dimensión que refiere los conocimientos en torno al objeto de

representación; su cantidad y calidad es variada en función de varios factores. “El Álgebra es

un Juego” representa números, variables y operaciones en forma muy diversa porque con esta

ayuda didáctica se pueden realizar ejercicios sobre la mayoría de temas algebraicos que se ven

en los grados octavo y noveno del sistema educativo colombiano.

Campo de representación: Este es el tercer elemento constitutivo de la representación

social. Nos sugiere la idea de “modelo” y está referido al orden que toman los contenidos

representacionales, que se organizan en una estructura funcional determinada. “El Álgebra es

un Juego” fue concebido con la idea de crear modelos concretos para representar conceptos

abstractos.

Para llegar a que una representación se conforme es imprescindible que ocurran dos

procesos: la objetivación y el anclaje, fases que se encuentran muy ligadas por el hecho que

una presupone a la otra. Tan solo la representación objetivada, naturalizada y anclada es la

que permite explicar y orientar nuestros comportamientos.

La objetivación. Podría definirse como aquel proceso a través del cual llevamos a

imágenes concretas que nos permiten comprender mejor lo que se quiere decir, aquellos

conceptos que aparecen de manera abstracta. Consiste en transferir algo que está en la mente

en algo que existe en el mundo físico.

Lacolla (2005) sostiene que “... se trata del proceso mediante el cual se concreta, se

materializa el conocimiento en objetos concretos”.


“El Álgebra es un Juego” lleva a imágenes concretas y tangibles, el tablero y las fichas,

conceptos abstractos como la factorización y transfiere lo que en la mente está confuso en

representaciones geométricas claras que explican el concepto. Es decir, cumple con la

objetivación que es uno de los objetivos del presente trabajo.

El anclaje. Moscovici (citado por Alfonso, 2005) refiere que “...es el mecanismo que

permite afrontar las innovaciones o la toma de contacto con los objetos que no son familiares.

Utilizamos las categorías que nos son ya conocidas para interpretar y dar sentido a los nuevos

objetos que aparecen en el campo social”. Este es otro de los objetivos de “El Álgebra es un

juego” o sea asimilar el concepto que para el alumno era abstracto y que el juego posibilita y

permite la transición entre el pensamiento concreto y el formal.

Tanto el anclaje como la objetivación hacen familiar lo no familiar; el primero

transfiriéndolo a nuestra esfera particular donde somos capaces de compararlo e interpretarlo, y

el segundo, reproduciendo entre las cosas que podemos tocar y en consecuencia, controlar.

Lacolla (2005) afirma que: Una Representación Social (RS) puede considerarse como "la

transformación de lo no familiar en familiar". El pensamiento de sentido común, plagado de teorías

implícitas y basadas fundamentalmente en lo perceptivo, intenta recepcionar todo el cúmulo de

información acerca de los descubrimientos, las nociones y los lenguajes propios de la ciencia. Aparecen

así, en este contexto, las representaciones sociales que inciden sobre la manera de ver las cosas y de

actuar de todos quienes pertenecen a una determinada sociedad.

En el aula, “El Álgebra es un Juego” incide sobre la manera de ver las variables,

facilitando el aprendizaje en la mayoría de los casos, y eventualmente a veces puede hacerlo de

manera negativa, cuando algunos estudiantes no se acomodan al material. Comprender los


mecanismos de formación de las representaciones sociales puede contribuir a mejorar la

enseñanza de las ciencias y en especial de las matemáticas.

Lacolla (2005) afirma que: “Resulta importante poner en claro que las representaciones

sociales aparecen en la intersección entre “el juego de la ciencia y el juego del sentido común”,

como una forma por la cual, la mayoría de los individuos no instruidos en cuestiones científicas

se maneja en la vida cotidiana ante la gran difusión de términos y teorías científicas.” (p. 2)

O sea que el sentido común se maneja en el entorno de la vida cotidiana para dar

respuesta a la gran difusión de términos y teorías científicas que a diario se dan y que poco a

poco requieren que las personas los y las conozcan.

3.2.3 Pensamiento Matemático Elemental y Pensamiento Matemático

Avanzado.

La factorización, objeto del presente trabajo, y muchos temas algebraicos yacen en la

frontera entre lo que se conoce como el Pensamiento Matemático Elemental (PME) y el

Pensamiento Matemático Avanzado (PMA). Las definiciones de estos dos ámbitos aún no

presentan acotaciones muy precisas pero sí aproximaciones muy prometedoras. Piaget (1975)

fue el primero en intentar describir los aspectos formales que separan ambos tipos de

pensamiento, como se vio en el apartado 3.2.1 (Desarrollo de la inteligencia).

El cambio hacia un pensamiento matemático avanzado supone una transición difícil, desde una

posición donde los conceptos tienen una base intuitiva fundada en la experiencia hasta otra en la


que vienen especificados por definiciones formales y propiedades que se han reconstruido a

través de deducciones lógicas. Durante esta transición coexisten en la mente del estudiante las

experiencias más tempranas y el nuevo corpus de conocimiento deductivo. Las investigaciones

empíricas han mostrado que esto da lugar a una amplísima variedad de conflictos cognitivos que

puede actuar como un obstáculo para el aprendizaje. (Belmonte, 2009, p. 40)

El conocimiento nuevo contradice a menudo al viejo y un aprendizaje efectivo precisa de

estrategias para tratar tal conflicto. Durante el PME el niño aprende manipulando objetos, basado

en la experiencia y aquí es donde toma valor estratégico la propuesta “El Álgebra es un juego”

porque actúa como un puente entre el PME y el PMA para pasar a definiciones formales,

propiedades que puede deducir analizando el desarrollo y la respuesta propuestos a los

ejercicios.

El PMA aparece en edades tempranas, en las matemáticas elementales donde los objetos

matemáticos se entienden como poseedores de una serie de propiedades que pueden ser

descubiertas estudiando los objetos y los procesos relacionados. Así, el paso de la construcción

objeto definición a la construcción definición objeto es considerado como una parte esencial de

la transición del pensamiento matemático elemental al avanzado. Para el presente trabajo se

coincide con el punto de vista que sostiene que las raíces del pensamiento matemático para las

matemáticas avanzadas deben favorecerse durante el estudio de las matemáticas elementales.

Formas generales de pensamiento, construidas sobre formas ricas de comprensión en

matemáticas elementales pueden colaborar simbióticamente con formas posteriores de

comprensión y de pensamiento en matemáticas avanzadas. (Belmonte, 2009, p.43)

Lo anterior reafirma que se le debe dar mucha importancia al trabajo que se haga durante

el PME ya que son las bases para estructurar el PMA, en el cual se generan procesos como


representar, visualizar y generalizar, así como clasificar, conjeturar, inducir, analizar, sintetizar,

abstraer o formalizar. “El Álgebra es un Juego” facilita estos procesos porque permite

representar con material concreto las variables, se visualizan geométricamente esos procesos y se

pueden plantear conjeturas, buscar explicaciones sustentadas y sacar conclusiones.

3.3 Material Didáctico “El Álgebra es un Juego”

En los ejemplos anteriores (pp. 42-50), se hizo un repaso de los casos de factorización

que se estudian en bachillerato y se anunció que también se pueden resolver utilizando el

material didáctico “El Álgebra es un Juego”, destacando algunas características especiales del

material. A continuación se explicará cómo resolver las operaciones básicas para luego entrar de

lleno en la aplicación objeto de este trabajo, la factorización.

El estudiante podrá usar esta herramienta lúdica como un complemento didáctico para

entender y comprobar por medio de la geometría muchos conceptos algebraicos. Cualquier

persona puede desarrollar su capacidad de razonamiento y cultivar su creatividad al jugar con

este material, con una metodología agradable y de fácil acceso, que lo motivará a acercarse a esta

materia, y que lo llevará a aprender haciendo y por supuesto, a realizar un aprendizaje por

descubrimiento.

Una vez materializadas las variables, se puede utilizar para realizar las operaciones

algebraicas básicas: suma, resta, multiplicación y división. También se puede utilizar en

factorización y en solucionar ecuaciones con una o dos variables. La aplicación que más interesa

en este trabajo es la factorización, y como esta operación está muy ligada a la multiplicación y a

la división, a continuación se ejemplificará cómo multiplicar y dividir con el juego. Las reglas

y ejemplos de suma y resta se pueden ver en el anexo 7.1.2 (p.143).


3.3.1 Multiplicación

Cada casilla de los cuadrantes tiene las coordenadas (𝑥, 𝑦), el origen (cuadrado negro)

tiene las coordenadas (0,0), las casillas del eje horizontal tienen ordenada cero y las del eje

vertical tienen abscisa cero.

Fig. 17 b. Ampliación de la fig. 17a rotulando algunas casillas de coordenadas (𝑥, 𝑦).

3.3.1.1 Para multiplicar se deben tener en cuenta las siguientes reglas:

Regla 1. El producto de una unidad por una unidad es igual a la unidad. Se

considera que si una ficha verde está ubicada en una posición correspondiente a la casilla

horizontal (𝑥, 0) y otra ficha verde está ubicada en una posición correspondiente a la casilla

vertical (0, 𝑦), el producto (una ficha verde) estará localizado en la casilla (𝑥, 𝑦). La casilla

(𝑥, 𝑦), ubicada en el cuadrante, corresponde al espacio interceptado por las fichas que están en

los ejes 𝑋 y 𝑌, si la que está en el eje 𝑋 se desplaza verticalmente y la que está en el eje 𝑌 se

desplaza horizontalmente.

En forma inversa, una ficha verde ubicada en la posición (𝑥, 𝑦) implica que debe haber

una ficha verde en la posición (𝑥, 0) en el eje horizontal y una ficha verde en la posición (0, 𝑦),

en el eje vertical.


Figura 20. Verde ×Verde=Verde

Como 1 × 1 = 1, en el espacio interceptado por la ficha verde en el semieje horizontal

positivo y la verde en el semieje vertical positivo (casilla (4,6) en la Fig.20, izquierda y casilla

(1,1), derecha), debe colocarse una ficha verde, en el cuadrante I, por el lado positivo. Como

−1 × 1 = −1, en el espacio interceptado por la ficha verde en el semieje horizontal negativo y la

verde en el semieje vertical positivo, debe colocarse una ficha verde, en el cuadrante II, por el

lado negativo. Como −1 × −1 = 1, en el espacio interceptado por la ficha verde en el semieje

horizontal negativo y la verde en el semieje vertical negativo debe colocarse una ficha verde, en

el cuadrante III, por el lado positivo. Como 1 × −1 = −1, en el espacio interceptado por la

ficha verde en el semieje horizontal positivo y la verde en el semieje vertical negativo debe

colocarse una ficha verde, en el cuadrante IV, por el lado negativo.

Regla 2a. El producto de la variable 𝒙 por la unidad es igual a la variable 𝒙. Se

considera que si una ficha azul está ubicada en las casillas horizontales (𝑥, 0) y (𝑥 + 1,0) y


otra ficha verde está ubicada en la casilla vertical (0, 𝑦), el producto (una ficha azul) estará

localizado en las casillas (𝑥, 𝑦) y (𝑥 + 1, 𝑦). Las casillas (𝑥, 𝑦) y (𝑥 + 1, 𝑦) ubicadas en el

cuadrante, corresponden al espacio interceptado por las fichas que están en los ejes 𝑋 y 𝑌, si la

que está en el eje 𝑋 se desplaza verticalmente y la que está en el eje 𝑌 se desplaza

horizontalmente.

Fig. 21. Azul ×Verde= 𝐴𝑧𝑢𝑙 (𝑥 × 1 = 𝑥). Fig. 22 Gris× 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑒 = 𝐺𝑟𝑖𝑠 (𝑦 × 1 = 𝑦).

Una ficha azul ubicada en un cuadrante implica, de acuerdo a lo explicado anteriormente,

que debe haber una ficha azul y una ficha verde ubicadas en los ejes, en las posiciones

correspondientes.

Como 𝑥 × 1 = 𝑥, en el espacio interceptado por la ficha azul en el semieje horizontal

positivo, en las casillas (4,0) y (5,0) de la fig. 21 y la verde en el semieje vertical positivo

(casilla (0,6)), debe colocarse una ficha azul por el lado positivo, en el cuadrante I, en las

casillas (4,6) y (5,6). Como −𝑥 × 1 = −𝑥, en el espacio interceptado por la ficha azul en el

semieje horizontal negativo y la verde en el semieje vertical positivo, debe colocarse una ficha


azul, en el cuadrante II, por el lado negativo. Como −𝑥 × −1 = 𝑥, en el espacio interceptado por

la ficha azul en el semieje horizontal negativo y la verde en el semieje vertical negativo, debe

colocarse una ficha azul, en el cuadrante III, por el lado positivo. Como 𝑥 × −1 = −𝑥, en el

espacio interceptado por la ficha azul en el semieje horizontal positivo y la verde en el semieje

vertical negativo, debe colocarse una ficha azul, en el cuadrante IV, por el lado negativo.

Regla 2b. El producto de la variable “𝒚” por la unidad es igual a la variable “𝒚”. Si

se utiliza la variable "𝒚" (ficha gris) en lugar de la 𝒙 (ficha azul), se cumple la misma regla, pero

en lugar de la ficha azul se coloca la gris (Fig.22). Se cumple que 𝒚 × 𝟏 = 𝒚, −𝒚 × 𝟏 = −𝒚,

−𝒚 × −𝟏 = 𝒚 y 𝒚 × −𝟏 = −𝒚.

Regla 2c. El producto de la variable 𝒙 por la variable “𝒚” es igual a la expresión 𝒙𝒚.

Como 𝑥 × 𝑦 = 𝑥𝑦, en el espacio interceptado por la ficha azul (𝒙) en el semieje horizontal

positivo, en las casillas (4,0) y (5,0) y la gris (𝒚) en el semieje vertical positivo (casillas

(0,5), (0,6) y (0,7)) debe colocarse una ficha roja (𝒙𝒚) por el lado positivo, en el cuadrante I,

en las casillas (4,5), (5,5), (4,6), (5,6), (4,7) 𝑦 (5,7) (Fig. 23 izquierda). Se cumple que 𝒙 ×

𝒚 = 𝒙𝒚, −𝒙 × 𝒚 = −𝒙𝒚, −𝒙 × −𝒚 = 𝒙𝒚 y 𝒙 × −𝒚 = −𝒙𝒚.

Una ficha roja (𝒙𝒚) ubicada en un cuadrante implica, de acuerdo a lo explicado

anteriormente, que debe haber una ficha azul (𝒙) y una ficha gris (𝒚) ubicadas en los ejes, en las

posiciones correspondientes.


Figura 23. Azul× 𝐺𝑟𝑖𝑠 = 𝑅𝑜𝑗𝑜 y Rojo× 𝑉erde = 𝑅ojo.

Regla 2d. El producto de la expresión 𝒙𝒚 por la unidad es igual a la expresión

𝒙𝒚. El término 𝒙𝒚 se representa con la ficha roja. Se cumple 𝒙𝒚 × 𝟏 = 𝒙𝒚, −𝒙𝒚 × 𝟏 = −𝒙𝒚,

−𝒙𝒚 × −𝟏 = 𝒙𝒚 y 𝒙𝒚 × −𝟏 = −𝒙𝒚. La ficha roja se puede colocar en varias posiciones (Fig.

23, derecha).

Regla 3a. El producto de la variable 𝒙𝟐 por la unidad es igual a la variable 𝒙𝟐. Se considera

que si una ficha amarilla, en posición vertical, está ubicada en el eje horizontal en las casillas

(𝑥, 0) y (𝑥 + 1,0) y otra ficha verde está ubicada en el eje vertical en la casilla (0, 𝑦), el

producto (una ficha amarilla) estará localizado en las casillas (𝑥, 𝑦) y (𝑥 + 1, 𝑦) en posición

vertical. Las casillas (𝑥, 𝑦) y (𝑥 + 1, 𝑦) ubicadas en el cuadrante, corresponden al espacio

interceptado por las fichas que están en los ejes 𝑋 y 𝑌, si la que está en el eje 𝑋 se desplaza

verticalmente y la que está en el eje 𝑌 se desplaza horizontalmente.

Una ficha amarilla ubicada en un cuadrante, en posición vertical (parada), implica, de

acuerdo a lo explicado anteriormente, que debe haber una ficha amarilla y una ficha verde

ubicadas en los ejes, en las posiciones correspondientes.


Figura 24. Amarilla×Verde= 𝐴marilla.

Como 𝑥2 × 1 = 𝑥2, en el espacio interceptado por la ficha amarilla, en posición vertical,

en el semieje horizontal positivo (casillas (4,0) y (5,0)) y la verde en el semieje vertical positivo

(casilla (0,6)), debe colocarse una ficha amarilla, en posición vertical, en el cuadrante I, por el

lado positivo (casillas (4,6) y (5,6)) (Fig. 24). Para analizar los resultados en los otros

cuadrantes, se deben tener en cuenta los signos (ver reglas 1 y 2 cuyo procedimiento es similar).

Regla 3b. El producto de la variable 𝒚𝟐 por la unidad es igual a la variable 𝒚𝟐. Si se

utiliza la variable 𝑦2 en lugar de 𝑥2, se cumple la misma regla, pero en lugar de la ficha amarilla

se coloca la café (Fig.25). Se cumple que 𝑦2 × 1 = 𝑦2, −𝑦2 × 1 = −𝑦2, − 𝑦2 × −1 = 𝑦2 y

𝑦2 × −1 = −𝑦2.


Figura 25. Café × Verde = Café.

Regla 4a: El producto de la variable 𝒙 por la variable 𝒙 es igual a la variable 𝒙 al

cuadrado (𝒙𝟐). Se considera que si una ficha azul está ubicada en las casillas horizontales

(𝑥, 0) y (𝑥 + 1,0) y otra ficha azul está ubicada en las casillas verticales (0, 𝑦) y (0, 𝑦 +

1), el producto (una ficha amarilla) estará localizado en las casillas (𝑥, 𝑦), (𝑥 + 1, 𝑦), (𝑥, 𝑦 + 1)

y (𝑥 + 1, 𝑦 + 1). Dichas casillas ubicadas en el cuadrante, corresponden al espacio interceptado

por las fichas que están en los ejes 𝑋 y 𝑌, si se desplazan vertical y horizontalmente.

Una ficha amarilla ubicada en un cuadrante, en posición horizontal (acostada), implica,

de acuerdo a lo explicado anteriormente, que debe haber una ficha azul en un eje y otra azul en

el otro eje, ubicadas en las posiciones correspondientes.

Como 𝑥 × 𝑥 = 𝑥2, en el espacio interceptado por la ficha azul, en el semieje horizontal

positivo y la azul en el semieje vertical positivo, debe colocarse una ficha amarilla, en el

cuadrante I, por el lado positivo (Fig. 26).


Figura 26. Azul×Azul= 𝐴marilla

Para analizar los resultados en los otros cuadrantes, se deben tener en cuenta los signos

(ver reglas 1 y 2 cuyo procedimiento es similar).

Regla 4b. El producto de la variable “𝒚” por la variable “𝒚” es igual a la variable

“𝒚” al cuadrado (𝒚𝟐). Se cumple la misma regla pero en lugar de las fichas azules se colocan

grises y en lugar de la amarilla se coloca la café. Una ficha café ubicada en un cuadrante,

implica que debe haber una ficha gris en un eje y otra gris en el otro eje, ubicadas en las

posiciones correspondientes. Se pueden ubicar de dos maneras (Fig. 27).

Figura 27. Gris × Gris = Café.


Regla 5a. El producto de la variable 𝒙 por su cuadrado (𝒙𝟐) es igual a la variable 𝒙

al cubo (𝒙𝟑). Se considera que si una ficha azul (𝑥) está ubicada en las casillas horizontales

(𝑥, 0) y (𝑥 + 1,0) y otra ficha amarilla (𝑥2) está ubicada en posición vertical, en las casillas

verticales (0, 𝑦) y (0, 𝑦 + 1), el producto, una ficha naranja (𝑥3), estará localizado en las

casillas (𝑥, 𝑦), (𝑥 + 1, 𝑦), (𝑥, 𝑦 + 1) y (𝑥 + 1, 𝑦 + 1). Dichas casillas ubicadas en el cuadrante,

corresponden al espacio interceptado por las fichas que están en los ejes 𝑋 y 𝑌, si se desplazan

vertical y horizontalmente.

Figura 28. Azul×Amarillo=Naranja.

Como 𝑥 × 𝑥2 = 𝑥3, en el espacio interceptado por la ficha azul, en el semieje horizontal

positivo y la amarilla en el semieje vertical positivo, debe colocarse una ficha naranja, en el

cuadrante I, por el lado positivo (Fig. 28). Para analizar los resultados en los otros cuadrantes,

se deben tener en cuenta los signos (ver reglas 1 y 2).

Regla 5b. El producto de la variable “𝒚” por su cuadrado (𝒚𝟐) es igual a la variable

“𝒚” al cubo (𝒚𝟑). Se sigue la misma regla 5a pero reemplazando la ficha azul por la gris, la

amarilla por la café y la naranja por la blanca (ver Fig. 29).


Figura 29. Café×Gris=Blanco ( 𝑦2 × 𝑦 = 𝑦3 y −𝑦2 × 𝑦 = −𝑦3).

Otras Reglas para multiplicar dos variables. Cuando interactúan dos variables y

constantes se dan muchas combinaciones:

Regla 6a. Una ficha de color azul claro que representa 𝒙𝒚𝟐, ubicada en un cuadrante,

implica que se debe colocar una ficha azul, que representa 𝒙, en un eje y una ficha café, que

representa 𝒚𝟐, en el otro eje, en las posiciones correspondientes. Se cumple que 𝑥 × 𝑦2 = 𝑥𝑦2,

−𝑥 × 𝑦2 = −𝑥𝑦2, − 𝑥 × −𝑦2 = 𝑥𝑦2 𝑦 𝑥 × −𝑦2 = −𝑥𝑦2 (Fig. 30, izquierda).

Figura 30. Azul oscuro × Café = Azul claro y Rojo× 𝐺𝑟𝑖𝑠 =Azul claro.

Regla 6b. También, una ficha de color azul claro que representa 𝒙𝒚𝟐, ubicada en un

cuadrante, implica que se debe colocar una ficha roja, que representa 𝒙𝒚, en un eje y una ficha


gris, que representa 𝒚, en el otro eje, en las posiciones correspondientes. Se cumple que 𝑥𝑦 ×

𝑦 = 𝑥𝑦2, −𝑥𝑦 × 𝑦 = −𝑥𝑦2, − 𝑥𝑦 × −𝑦 = 𝑥𝑦2 𝑦 𝑥𝑦 × −𝑦 = −𝑥𝑦2 (Fig. 30, derecha).

Regla 7a. Una ficha de color verde claro que representa el término 𝒙𝟐𝒚, ubicada en un

cuadrante, implica que se debe colocar una ficha amarilla, que representa 𝒙𝟐, en un eje y una

ficha gris, que representa 𝒚, en el otro eje, en las posiciones correspondientes. Se cumple que

𝑥2 × 𝑦 = 𝑥2𝑦, −𝑥2 × 𝑦 = −𝑥2𝑦, −𝑥2 × −𝑦 = 𝑥2𝑦 y 𝑥2 × −𝑦 = −𝑥2𝑦 (Fig. 31,

izquierda).

Fig. 31. Amarilla × Gris =Verde claro. Azul × Rojo = Verde claro.

Regla 7b. También se puede visualizar el término 𝒙𝟐𝒚 con una ficha azul (𝒙) y otra roja

(𝒙𝒚) colocadas en los ejes. En la figura 31 (derecha), se aprecian dos posiciones para 𝒙𝒚 y para

𝒙𝟐𝒚 y se cumple que 𝑥 × 𝑥𝑦 = 𝑥2𝑦, −𝑥 × 𝑥𝑦 = −𝑥2𝑦, −𝑥 × −𝑥𝑦 = 𝑥2𝑦 y 𝑥 × −𝑥𝑦 =

−𝑥2𝑦.

En la figura 32, aparecen las fichas que representan 𝑥5 (rosada), 𝑥6 (negra), y otros

registros para 𝑥2 (amarilla), 𝑥3 (naranja) y 𝑥4 (violeta). Al lado derecho se ven cuatro


operaciones: se cumple que 𝑥2 × 𝑥4 = 𝑥6 , − 𝑥 × 𝑥4 = −𝑥5 , − 𝑥 × −𝑥 = 𝑥2 y 𝑥2 ×

−𝑥 = −𝑥3. Ver ejercicios en anexos 7.1.4 (p. 149) y 7.2.1 (p. 153).

Fig. 32. Fichas nuevas: 𝑥2 (amarilla), 𝑥3 (naranja), 𝑥4 (violeta), 𝑥5 (rosada), 𝑥6 (negra).

3.3.1.2 Ejemplos de multiplicación con el juego.

Ejemplo 1: Hallar el resultado de 𝟏𝟐𝟏 × 𝟏𝟏. Hacer la transición al Álgebra y a la

Geometría.

Figura 33. Producto 121 × 11.


El primer factor 121, se representa con una ficha amarilla (100), dos fichas azules (20) y

una ficha verde, se colocan esas cuatro fichas como primer factor en el semieje horizontal

positivo y como segundo factor se coloca una ficha azul (10) y una ficha verde (1) en el eje

vertical. Como 100 × 10 = 1000, en el espacio interceptado por la ficha amarilla que se colocó

en posición vertical y la ficha azul se coloca una ficha naranja que vale 1000. Como 10 × 10 =

100, en los espacios interceptados por las dos fichas azules en el eje horizontal y la ficha azul en

el eje vertical se deben colocar dos fichas amarillas que valen 100 cada una. Como 1 × 10 = 10,

en el espacio interceptado por la ficha verde en el eje horizontal y la ficha azul en el eje vertical se

debe colocar una ficha azul que vale 10. Como 100 × 1 = 100, en el espacio interceptado por la

ficha amarilla en el eje horizontal y la ficha verde en el eje vertical se debe colocar una ficha

amarilla que vale 100, en posición vertical. Como 10 × 1 = 10, en los espacios interceptados por

las dos fichas azules en el eje horizontal y la ficha verde en el eje vertical se deben colocar dos

fichas azules que valen 10 cada una. Como 1 × 1 = 1, en el espacio interceptado por la ficha

verde en el eje horizontal y la ficha verde en el eje vertical se debe colocar una ficha verde que

vale 1.

Si se observa la figura que se formó en el cuadrante I (Fig. 33), se puede ver que su valor

es 1331 que corresponde a la suma de los valores de una ficha naranja (1000), tres fichas

amarillas (300), tres fichas azules (30) y una ficha verde (1). Por lo tanto 11 × 11 × 11 =

113 = 1331.

Para hacer la transición al Álgebra, la ficha verde representa 1, la ficha azul representa la

variable 𝑥, la ficha amarilla representa 𝑥2 y la ficha naranja representa 𝑥3. Los factores serán

(𝑥2 + 2𝑥 + 1) en el eje horizontal y (𝑥 + 1) en el eje vertical y el resultado, que se obtiene de


las fichas que se colocaron en el cuadrante I, será 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1. Por lo tanto (𝑥2 + 2𝑥 +

1)(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)2(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)3 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1.

Para hacer la transición a la Geometría y como (𝑥 + 1)3 es una cantidad elevada al cubo,

la figura que debemos formar tiene que ser un cubo.

Figura 34. (𝑥2 + 2𝑥 + 1)(𝑥 + 1)

Se puede colocar el primer factor (𝑥2 + 2𝑥 + 1) en el eje horizontal formando el

cuadrado que representa y el otro factor (𝑥 + 1) se coloca en el eje vertical (Fig.34). Como

(𝑥2)(𝑥) = 𝑥3, en el espacio interceptado por la ficha amarilla (𝑥2) en el eje horizontal y la ficha

azul (𝑥) en el eje vertical se debe colocar una ficha naranja (𝑥3). Como (𝑥2)(1) = 𝑥2, en el

espacio interceptado por la ficha amarilla (𝑥2) en el eje horizontal y la ficha verde (1) en el eje

vertical se debe colocar una ficha amarilla (𝑥2) en posición vertical (parada). Como (𝑥)(𝑥) = 𝑥2,

en el espacio interceptado por la ficha azul (𝑥) situada al lado de la amarilla en el eje horizontal

y la ficha azul (𝑥) en el eje vertical se debe colocar una ficha amarilla (𝑥2) al lado de la ficha

naranja en posición vertical (parada) coincidiendo una cara cuadrada de la ficha amarilla con un

lado del cubo (Fig.34). Como (𝑥)(1) = 𝑥, en el espacio interceptado por la ficha azul (𝑥) situada

al lado de la amarilla en el eje horizontal y la ficha verde (1) en el eje vertical se debe colocar


una ficha azul (𝑥) en posición vertical coincidiendo una cara rectangular con una de las fichas

amarillas y la otra cara rectangular con la otra ficha amarilla.

Como se está formando un cubo, las otras cuatro fichas deben ir encima de las cuatro ya

ubicadas, así:

Como (𝑥)(𝑥) = 𝑥2, en el espacio correspondiente a la ficha azul (𝑥) situada encima de la

amarilla en el eje horizontal y la ficha azul (𝑥) en el eje vertical se debe colocar una ficha

amarilla (𝑥2), encima de la ficha naranja en posición horizontal (acostada). Como (𝑥)(1) = 𝑥, en

el espacio correspondiente a la ficha azul (𝑥) situada encima de la amarilla en el eje horizontal y

la ficha verde (1) en el eje vertical se debe colocar una ficha azul (𝑥) encima de la ficha amarilla

en posición horizontal (acostada). Como (1)(𝑥) = 𝑥, en el espacio correspondiente a la ficha

verde situada encima de la ficha azul en el eje horizontal y la ficha azul (𝑥) situada en el eje

vertical se debe colocar una ficha azul (𝑥) en posición horizontal coincidiendo una cara

rectangular con la ficha amarilla que está encima de la ficha naranja. Como (1)(1) = 1, en el

espacio correspondiente a la ficha verde (1) situada encima de la ficha azul (𝑥) en el eje

horizontal y la ficha verde (1) en el eje vertical se debe colocar una ficha verde (1) en el

espacio limitado por las tres fichas azules.

También se le puede solicitar a los estudiantes que, como el resultado de (𝑥 + 1)3 = 𝑥3 +

3𝑥2 + 3𝑥 + 1 consta de 8 fichas, con esas fichas se tiene que formar un cubo perfecto y que lo

deben hacer (Fig. 35).


Figura 35. Cubo formado por las 8 fichas.

La importancia del ejercicio anterior es ver la integración entre la Aritmética, el Álgebra y

la Geometría y esto mismo se puede hacer con todos los ejercicios.

Ejemplo 𝟐. Multiplicar −𝟑(−𝒙 + 𝟑).

Se procede de la siguiente forma:

- Coloque las fichas correspondientes al primer factor en el semieje horizontal negativo,

que para nuestro ejemplo es −3, representado por tres fichas verdes.

- Coloque las fichas correspondientes al segundo factor en el eje vertical teniendo en

cuenta que los términos positivos van hacia arriba (+3), representado por tres fichas

verdes y los negativos hacia abajo (−𝑥), representados por una ficha azul.

- Como 3 × −3 = −9, se colocan 9 fichas verdes, por el lado negativo en el cuadrante II,

formando un cuadrado con los factores 3 y −3. Como −3 × −𝑥 = 3𝑥, se colocan tres

fichas azules en el cuadrante III, formando un rectángulo con los factores (−3) y (−𝑥). El

origen también forma parte del cuadrado y del rectángulo.

- La respuesta se obtiene de los cuadrantes de acuerdo a los signos. Se observa (Fig. 36)

que hay tres prismas azules en el cuadrante III (3𝑥) y nueve cubos verdes en el cuadrante

II (−9); luego la respuesta es 3𝑥 − 9.


Figura 36. −3(−𝑥 + 3) = 3𝑥 − 9

En la respuesta anterior, −3(−𝑥 + 3) = 3𝑥 − 9, si se lee de izquierda a derecha es una

multiplicación y si se lee de derecha a izquierda es una factorización: 3𝑥 − 9 = −3(−𝑥 + 3).

Ver más ejemplos en el anexo 7.1.3 (p. 147).

3.3.2 Reglas de la División

Para dividir expresiones algebraicas se siguen los siguientes pasos:

- Ubique las fichas que simbolizan el denominador o divisor en uno de los ejes,

generalmente se utiliza el eje 𝑋, términos positivos a la derecha y negativos a la

izquierda.

- Construya un rectángulo colocando las fichas correspondientes al numerador o

dividendo en los cuadrantes respectivos, de tal manera que uno de los lados del

rectángulo sea la medida de la expresión que representa el denominador.

- Por último coloque las fichas que hagan falta en el otro eje, de tal manera que cumplan

las reglas de la multiplicación. Este factor será la respuesta.

Ejemplo 𝟏. Dividir (4𝑥 − 8) ÷ 4


Se ubican cuatro cubos verdes en el semieje horizontal positivo, luego se colocan cuatro

prismas azules (4𝑥) en el cuadrante I (+) y ocho cubos verdes por el lado negativo (−8) en el

cuadrante IV (−). Para completar el rectángulo se colocan en el eje “y” un prisma azul positivo

(𝑥) y dos cubos verdes negativos (−2) que corresponde a la respuesta: 𝑥 − 2 (Fig. 37).

Figura 37. División (4𝑥 − 8) ÷ 4 = (𝑥 − 2).

En la respuesta anterior (4𝑥 − 8) ÷ 4 = (𝑥 − 2), si se lee de izquierda a derecha es una

división y si se pasa el divisor 4 a multiplicar a 𝑥 − 2, se tiene la factorización del dividendo:

4𝑥 − 8 = 4(𝑥 − 2).

Ejemplo 2. Dividir (−8𝑥2 + 2𝑥) ÷ (−2𝑥)

El divisor (−2𝑥), ubicado en el semieje horizontal negativo, define una de las

dimensiones del rectángulo. El dividendo (−8𝑥2 + 2𝑥) sugiere que se ubiquen ocho prismas

amarillos en el cuadrante II y dos prismas azules en el cuadrante III. Para completar el

rectángulo, siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior, se deben colocar, en el eje “y”,

cuatro prismas azules (4𝑥) positivos y un cubo verde negativo (−1), que corresponde a la

respuesta: (4𝑥 − 1) (Fig. 38).


Figura 38. Dividir (−8𝑥2 + 2𝑥) ÷ (−2𝑥)

En la respuesta anterior (−8𝑥2 + 2𝑥) ÷ (−2𝑥) = (4𝑥 − 1), si se lee de izquierda a

derecha es una división y si se pasa el divisor (−2𝑥) a multiplicar a (4𝑥 − 1), se tiene la

factorización del dividendo: (−8𝑥2 + 2𝑥) = (−2𝑥) (4𝑥 − 1).

3.3.3 Reglas de la factorización y ejemplos.

Hasta este punto se han definido los procedimientos para realizar las operaciones

fundamentales, particularmente se centra el análisis en la multiplicación, y se vio cómo

colocando los factores en los ejes se obtiene la respuesta de los cuadrantes. También se notó

que si las respuestas son observadas de derecha a izquierda se ven los factores.

En este punto se quiere aplicar el material didáctico para construir la mayoría de los

procesos que fueron presentados en el apartado Casos de Factorización (pp. 42-50) y

aprovechar la visualización que brinda el material para interpretar algunas sumas algebraicas

como un producto.


A continuación se presentan los procesos que dan respuesta al cómo se factoriza

utilizando el material didáctico “El Álgebra es un Juego”, aplicándolo a los ejemplos y teniendo

en cuenta el marco teórico.

Las reglas del juego para factorizar son las mismas de la multiplicación, ya vistas, la

cuales deben ser interiorizadas tras un proceso de manipulación con el material.

En la multiplicación se colocan los factores en los ejes ampliados y la respuesta se

obtiene de los cuadrantes, después de aplicar las reglas, para formar un rectángulo. Para

factorizar primero se forma el rectángulo con las fichas que representan el polinomio, fichas

positivas en cuadrantes positivos y fichas negativas en cuadrantes negativos. Se completa el

rectángulo colocando las fichas en los ejes, aplicando las reglas de la multiplicación, en forma

inversa y finalmente se obtienen los factores, un factor está sobre el eje 𝑋 y el otro factor sobre

el eje 𝑌.

Para verificar que el rectángulo que simboliza el polinomio y los factores cumplen las

reglas, imagine pasar un bisturí horizontal y verticalmente por las líneas que se forman entre

ficha y ficha, incluyendo las que están en los ejes. Si el bisturí pasa libremente de un extremo al

otro, sin chocarse contra ninguna ficha, el rectángulo está bien construido.

Solo se pueden ubicar fichas consecutivas cuando los lados compartidos sean de la misma

longitud.

Ejemplo: El trinomio 2𝑥2 + 6𝑥 + 4 puede ser representado con cualquiera de los

siguientes arreglos rectangulares. Se puede ver que cumplen la regla del bisturí.


Figura 39. Trinomio 2x2 + 6x +4 Figura 40. El trinomio y sus factores.

En los dos primeros ejemplos (fig. 39) se representó solamente el polinomio de dos

maneras diferentes y en los otros dos (Fig. 40) se representó el polinomio

Ya conocidas las reglas, se procede a presentar con ejemplos los diferentes casos de

factorización.

3.3.3.1 Ejemplo Caso 𝟏: Factorizar 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙

Primero se organizan las 14 fichas tal que la base total sea un rectángulo, de acuerdo con

las reglas del juego y teniendo en cuenta que los dos primeros términos se colocan por el lado

positivo en un cuadrante positivo y los 8 prismas azules van en un cuadrante negativo, por el

lado negativo. Luego se ubican las fichas en los ejes ampliados, colocando 2 prismas azules

positivos (2𝑥) en el eje vertical, que será el primer factor y en el eje horizontal un prisma


amarillo positivo, que debe ir en posición vertical, 2 prismas azules positivos y 4 cubos

verdes negativos (𝑥2 + 2𝑥 − 4) , que será el segundo factor.

Figura 41. 2𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥 = 2𝑥(𝑥2 + 2𝑥 − 4).

Solución Algebraica

2𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥 = 𝟐𝒙 × 𝑥2 + 𝟐𝒙 × 2𝑥 + 𝟐𝒙 × (−4) = 2𝑥(𝑥2 + 2𝑥 − 4)

En la Fig. 41 se puede ver que los términos de la primera expresión están bien definidos,

por regiones de diferente color y su correspondiente signo; en la segunda expresión, el término

en negrilla corresponde a las fichas azules ubicadas en el eje vertical o sea el factor común y en

la tercera expresión , el trinomio entre paréntesis, corresponde al segundo factor.

3.3.3.2 Ejemplo Caso 2: Factorizar 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟗

Primero se escogen los grupos como la suma de dos binomios, pueden ser (2𝑥3 −

6𝑥2) + (−3𝑥 + 9). Luego se ubican las fichas del primer binomio, 2 cubos naranja en el

cuadrante I, por el lado positivo y 6 prismas amarillos en el cuadrante II, por el lado negativo, en


posición vertical. Después se ubican las fichas del segundo binomio, 3 prismas azules en el

cuadrante IV, por el lado negativo y 9 cubos verdes en el cuadrante III, por el lado positivo. Para

obtener la respuesta se ubican las fichas en los ejes ampliados, colocando un prisma azul en el

semieje horizontal positivo y tres cubos verdes en el semieje horizontal negativo, que

corresponden al primer factor (𝑥 − 3). Para obtener el segundo factor se colocan 2 prismas

amarillos, en posición vertical, en el semieje vertical positivo y 3 cubos verdes en el semieje

vertical negativo (2𝑥2 − 3).

Figura 42. 2𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)(2𝑥2 − 3).

Solución Algebraica 1.

En el polinomio 2𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 + 9 = 2𝑥2 × 𝑥 − 2𝑥2 × (3) − 3 × 𝑥 − (−3) × (3), se

puede ver que los dos primeros términos tienen el factor común 2𝑥2 y los dos últimos el factor

común −3. Agrupando tenemos: 2𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 + 9 = [2𝑥2𝑥 − 2𝑥2(3)] + [−3𝑥 − (−3)3] =

2𝑥2(𝑥 − 3) − 3(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)(2𝑥2 − 3).


En la Fig. 42 se observa que el primer grupo está formado por las fichas naranja y

amarillas y que el factor común son las dos fichas amarillas que las conectan (2𝑥2). También se

observa que el segundo grupo está formado por las fichas azules y verdes y que el factor común

son las tres fichas verdes que las conectan (−3). También se aprecian la ficha azul positiva y las

tres fichas verdes negativas en el eje horizontal, que conectan los dos grupos (𝑥 − 3), o sea el

primer factor de la factorización. El segundo factor se obtiene reuniendo los factores comunes de

cada grupo (2𝑥2 − 3).

Solución Algebraica 2.

Si se agrupa de otra manera, los términos primero y tercero tienen el factor común 𝑥 y

los términos segundo y cuarto tienen el factor común −3: 2𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 + 9 = (2𝑥3 − 3𝑥) +

(−6𝑥2 + 9) = 𝑥(2𝑥2 − 3) − 3(2𝑥2 − 3) = (2𝑥2 − 3)(𝑥 − 3).

En la Fig. 42 se observa que el primer grupo está formado por las fichas naranja y azul y

que el factor común es la ficha azul, en el eje horizontal, que las une (𝑥). También se observa

que el segundo grupo está formado por las fichas amarillas y verdes y que el factor común son

las tres fichas verdes, en el eje horizontal, que las conectan (−3). También se aprecian las dos

fichas amarillas positivas y las tres fichas verdes negativas en el eje vertical, que conectan los

dos grupos (2𝑥2 − 3), o sea el primer factor de la factorización. El segundo factor se obtiene

reuniendo los factores comunes de cada grupo (𝑥 − 3).

Solución Algebraica de un ejercicio que involucra dos variables.

Factorizar 𝐞𝐥 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐨 𝐱𝟑 + 𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝒚𝟐. Se puede ver que los dos primeros

términos tienen el factor común 𝑥2 y los dos últimos el factor común 𝑥𝑦. Agrupando tenemos

(𝑥3 + 𝑥2𝑦) + (𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2) = 𝑥2(𝑥 + 𝑦) + 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦).


A continuación se presenta la solución con el juego, donde la variable 𝒚 se representa

con la ficha gris, el término 𝒙𝒚 con la ficha roja, el término 𝒙𝟐𝒚 con la ficha de color verde

claro y el término 𝒙𝒚𝟐 con la ficha de color azul claro. El polinomio se ubica en el cuadrante I y

los factores se obtienen de los ejes (Fig. 43).

Figura 43. 𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦).

3.3.3.3 Ejemplo Caso 𝟑: Factorizar 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟓.

Como la expresión 4𝑥2 − 25 es una diferencia de cuadrados, se deben formar dos

cuadrados, uno en un cuadrante positivo (4𝑥2) y otro en uno negativo (25).

En este ejemplo se escogieron los cuadrantes II (para−25) y III (para 4𝑥2). Se adicionan

10 prismas azules positivos en el cuadrante III y 10 negativos en el II para completar el

rectángulo. Se completan los ejes, siguiendo las reglas de la multiplicación: cuatro fichas

amarillas en el cuadrante III (4𝑥2) implican dos fichas azules negativas en el semieje negativo

horizontal (−2𝑥) y dos en el semieje negativo vertical (−2𝑥), porque (−2𝑥)(−2𝑥) = 4𝑥2. Así

mismo, 25 unidades negativas en el cuadrante II, implican 5 unidades negativas en el semieje

horizontal negativo y 5 unidades positivas en el semieje vertical positivo, porque (−5)(5) =

−25. También se puede verificar que (−2𝑥)(5) = −10𝑥 y que (−5)(−2𝑥) = 10𝑥.


La respuesta (−2𝑥 − 5)(−2𝑥 + 5) se obtiene de los ejes, el primer factor del eje 𝑋 y el

segundo factor del eje 𝑌.

Figura 44. 4𝑥2 − 25 = (−2𝑥 − 5)(−2𝑥 + 5).

Para verificar la factorización se realiza el producto de los factores: (−2𝑥 − 5)(−2𝑥 +

5) = 4𝑥2 − 10𝑥 + 10𝑥 − 25. En la Fig. 44 se observa que aparecen el segundo y tercer

términos simbolizados con 10 fichas azules negativas en el cuadrante II y 10 fichas azules

positivas en el cuadrante III, que se cancelan, por lo que la respuesta es 4𝑥2 − 25.

Solución Algebraica

Para factorizar una diferencia de cuadrados, se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al

sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de las mismas:

4𝑥2 − 25 = (2𝑥 + 5)(2𝑥 − 5)

La respuesta (2𝑥 + 5)(2𝑥 − 5) es equivalente a la primera. Se obtiene al colocar las

fichas en los cuadrantes I y IV o en los cuadrantes I y II. Al colocar las fichas en los cuadrantes


II y III, se visualizó la primera respuesta 4𝑥2 − 25 = (−2𝑥 − 5)(−2𝑥 + 5) que,

generalmente, los profesores y estudiantes no la consideran.


Factorizar el binomio 𝟒𝒙𝟐 − 𝒚𝟐. Para factorizar esta diferencia de cuadrados, se extrae

la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas

por la diferencia de las mismas: 𝟒𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = (𝟐𝒙 + 𝒚)(𝟐𝒙 − 𝒚).

A continuación se presenta la solución con el juego, donde los términos 4𝒙𝟐 y 𝒚𝟐 se

representan con las fichas amarillas en un cuadrante positivo (4𝒙𝟐) y la café en un cuadrante

negativo (−𝒚𝟐) y los términos 𝒙𝒚 con las fichas rojas para completar el cuadrado (Fig. 45).

Figura 45. 4𝑥2 − 𝑦2 = (2𝑥 + 𝑦)(2𝑥 − 𝑦).

Si se procede en forma inversa: (𝟐𝒙 + 𝒚)(𝟐𝒙 − 𝒚) = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝟐𝒙𝒚 − 𝒚𝟐. Los

factores se ven en los ejes. La respuesta tiene 4 términos que se pueden visualizar en la Fig. 45 y

se aprecia que los términos −2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦 (fichas rojas) se cancelan por tener signos opuestos.


3.3.3.4 Ejemplo Caso 𝟒: Factorizar 𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏.

Este trinomio es un cuadrado perfecto porque los términos primero y tercero son

cuadrados y el segundo término es el doble del producto de las raíces cuadradas de los otros dos.

En este ejemplo se utiliza el cuadrante I. Aunque existen varias maneras de ubicar las fichas

siguiendo las reglas del juego, siempre se deberá formar un cuadrado.

Figura 46. 9𝑥2 + 6𝑥 + 1 = (3𝑥 + 1)(3𝑥 + 1) = (3𝑥 + 1)2.

Se colocaron los 9 prismas amarillos formando un cuadrado y con los 6 prismas azules y

el cubo verde se completó el trinomio cuadrado perfecto. Observe que el número de fichas en el

cuadrante I (16) es un cuadrado y geométricamente con ese trinomio, por ser un trinomio

cuadrado perfecto, se tiene que formar un cuadrado (Fig. 46).

Se completan los ejes colocando las fichas correspondientes de acuerdo a las reglas de la

multiplicación. Las fichas en cada semieje positivo son las mismas (3𝑥 + 1), por lo tanto la

respuesta es: 9𝑥2 + 6𝑥 + 1 = (3𝑥 + 1)(3𝑥 + 1) = (3𝑥 + 1)2.



Factorizar el trinomio 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐. El primero y tercer términos son cuadrados y el

segundo término es el doble del producto de las raíces cuadradas de los otros dos, por lo tanto

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = (𝒙 + 𝒚)(𝒙 + 𝒚) = (𝒙 + 𝒚)𝟐.

A continuación se presenta la solución con el juego, donde la variable 𝒚𝟐 se representa

con la ficha de color café y los términos 𝒙𝒚 con las fichas rojas (Fig. 47).

Figura 47. 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2.

3.3.3.5 Ejemplo Caso 𝟓𝒂: Factorizar 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔.

No siempre es posible utilizar uno o dos cuadrantes, a veces es necesario utilizar los

cuatro cuadrantes como en este ejemplo. Se ubica primero el prisma amarillo en el cuadrante I,

luego se ubican las unidades positivas (6) en el cuadrante III, en forma de rectángulo (3 × 2) o

(2 × 3).


Figura 48. 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)

Como el objetivo es construir un rectángulo, una vez colocados el primer término y el

término independiente, ya quedan definidas las dimensiones del rectángulo y para completarlo se

colocan 3 prismas azules negativos en el cuadrante II (−3𝑥), y 2 prismas azules negativos en el

cuadrante IV (−2𝑥), formando el rectángulo con las 12 fichas (Fig. 48). Al completar los ejes,

siguiendo las reglas de la multiplicación, se obtiene la respuesta (𝑥 − 3)(𝑥 − 2).

“El Álgebra es un juego” sirve para visualizar los cuatro términos que resultan al

multiplicar los dos factores, cada uno en un cuadrante diferente, es decir, si realizamos la

operación de derecha a izquierda: (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 𝑥2 − 3𝑥 − 2𝑥 + 6.

Solución Algebraica de un ejercicio que involucra dos variables

Factorizar el trinomio 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 + 𝟐𝒚𝟐

El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la raíz

cuadrada de 𝑥2 o sea 𝑥 y cuyo segundo, inicialmente, es la raíz cuadrada de 𝑦2 o sea 𝑦:


𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 2𝑦2 = (𝑥 𝑦)(𝑥 𝑦)

En el primer binomio después de 𝑥 se pone el signo + porque el segundo término del

trinomio +3𝑥𝑦 tiene signo + . En el segundo binomio, después de 𝑥, se escribe el signo que

resulta de multiplicar el signo de +3𝑥𝑦 por el signo de +2𝑦2. Se tiene que + × += + o sea:

𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 2𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦).

Como los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números

cuya suma sea el valor absoluto de 3 y cuyo producto sea el valor absoluto de 2. Esos números

son 2 y 1. Por lo tanto 𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 2𝑦2 = (𝑥 + 2𝑦)(𝑥 + 1𝑦) (Fig. 49).

Figura 49. 𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 2𝑦2 = (𝑥 + 2𝑦)(𝑥 + 𝑦).

3.3.3.6 Ejemplo Caso 𝟓𝒃: Factorizar 𝟔𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟑

En ocasiones se requiere de la capacidad de análisis para ubicar las fichas, sobre todo

cuando las fichas correspondientes al polinomio no completan el rectángulo y es necesario

colocar fichas adicionales que, al colocarlas en cuadrantes de diferente signo y en igual número,

se anulan.


Figura 50. 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1).

Se recomienda ubicar primero el término cuadrático, 6 prismas amarillos en el cuadrante

I (6𝑥2) y el término independiente, 3 cubos verdes (−3) en el cuadrante II en las casillas

(−1,7), (−2,7) y (−3,7). Las fichas verdes sugieren colocar 9 prismas azules en el cuadrante

II, por el lado negativo. Como hay un excedente de dos fichas azules negativas, se deben colocar

2 fichas azules positivas en el cuadrante I por el lado positivo para que el segundo término no se

altere (−9𝑥 + 2𝑥 = −7𝑥). Se completan los ejes, siguiendo las reglas de la multiplicación, para

obtener la respuesta (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1) (Fig.50). Existen otras tres maneras de colocar las fichas

que simbolizan el trinomio dado.

Para verificar la respuesta, se realiza el producto de los factores: (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1) =

6𝑥2 + 2𝑥 − 9𝑥 − 3. Los cuatro términos de la respuesta se aprecian perfectamente en la figura y

justifica el uso de las fichas adicionales.


3.3.3.7 Ejemplo Caso 𝟔: Factorizar 𝒙𝟑 + 𝟖.

Se puede empezar el ejercicio ubicando un cubo naranja y 8 cubos verdes en el cuadrante

I. Como las raíces cúbicas de los términos del binomio 𝑥3 + 8 son 𝑥 y 2, en el semieje positivo

𝑋 debe ir una ficha azul y dos verdes que corresponden al primer factor (𝑥 + 2). Como el cubo

naranja y los cubos verdes no se pueden unir porque los lados compartidos deben ser de la

misma longitud, se coloca el cubo naranja en las casillas (1,1), (2,1), (1,2) y (2,2) y se colocan

las ocho fichas verdes formando un rectángulo de 4 filas y 2 columnas en las casillas (3,3),

(4, ,3), (3,4), (4,4), (3,5), (4,5), (3,6) y (4,6) (Fig. 51).

Figura 51. 𝑥3 + 8 = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4)


Las posiciones de las fichas naranja (𝑥3) y azul (𝑥) implica que debe ir una ficha

amarilla en la posición correspondiente, en el eje vertical. La colocación de la ficha amarilla

(𝑥2) implica que se deben adicionar dos fichas amarillas (2𝑥2) en posición vertical, una en las

casillas (3,1) y (3,2) y otra en las casillas (4,1) y (4,2). Como se adicionaron dos fichas

amarillas positivas, se deben anular con dos fichas amarillas negativas (−2𝑥2), en posición

horizontal, que se deben colocar, una en las casillas (1, −1), (2, −1), (1, −2) y (2, −2) y la otra

en las casillas (1, −3), (2, −3), (1, −4) y (2, −4).

La ubicación de las dos fichas verdes en el eje horizontal y las ocho verdes en el

cuadrante I implica que se deben colocar 4 cubos verdes en el eje vertical, en las posiciones

correspondientes, por el lado positivo. La ubicación de la ficha azul en el eje horizontal y las dos

amarillas en el cuadrante IV implica que se deben colocar 2 fichas azules en el eje vertical, en

las posiciones correspondientes, por el lado negativo. La ubicación de la ficha azul en el eje

horizontal y las cuatro verdes en el eje vertical implica que se deben colocar 4 fichas azules en

el cuadrante I, en las posiciones correspondientes, por el lado positivo. La ubicación de las dos

fichas verdes en el eje horizontal y las dos azules en el eje vertical negativo implica que se

deben colocar 4 fichas azules, por el lado negativo, en el cuadrante IV, en las posiciones

correspondientes. Las fichas que se colocaron en el eje 𝑌 corresponden al segundo factor

(𝑥2 − 2𝑥 + 4).


Figura 52. 𝑥3 + 8 = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4) antes y después de cancelar términos.

“El Álgebra es un Juego” ofrece una representación geométrica donde se ven los dos

cubos, los factores y aparecen los seis términos del producto (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4) = 𝑥3 −

2𝑥2 + 4𝑥 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 8 (Fig. 52, izquierda) y otra donde sólo aparecen los dos cubos y los

factores, después de cancelar términos semejantes(Fig. 52, derecha). Observe que las 8 unidades,

en el cuadrante uno, forman un cubo y las 4 unidades, en el eje vertical, forman un cuadrado

(vista lateral) que, al multiplicarlo por las 2 unidades del eje horizontal, se obtiene el cubo.

3.3.3.8 Ejemplo Caso 𝟕: Factorizar 𝒙𝟑 − 𝟏

Utilizando los cuadrantes I y II; se ubica el cubo naranja en el cuadrante I y el verde en el

II. Se utilizan fichas auxiliares para completar la base rectangular, una ficha amarilla, en posición

horizontal, en el cuadrante I y otra amarilla, en posición vertical, en el cuadrante II. También se

deben adicionar una ficha azul en el cuadrante I y otra azul en el II. Los factores se ubican

siguiendo un procedimiento similar al ejercicio anterior Observe que todas las fichas se alcanzan

a ver (Fig. 53): las correspondientes a la expresión 𝑥3 − 1, a la respuesta (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)

y a las adicionales 𝑥2, −𝑥2, 𝑥 y −𝑥.


Figura 53. 𝑥3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)

Solución de un ejercicio que involucra dos variables

Factorizar el trinomio 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑

Utilizando los cuadrantes I y II; se ubica el cubo naranja en el cuadrante I y el blanco en

el II. Se utilizan fichas auxiliares para completar la base rectangular, una ficha de color verde

claro, en posición horizontal, en el cuadrante I y otra verde clara, en posición horizontal, en el

cuadrante II. También se deben adicionar una ficha de color azul claro en el cuadrante I, en

posición vertical y otra azul clara en el II, en posición horizontal. Los factores se ubican

siguiendo un procedimiento similar al ejercicio anterior Observe que todas las fichas se alcanzan

a ver (Fig. 54): las correspondientes a la expresión 𝑥3 − 𝑦3, a la respuesta (𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 +

𝑦2) y a las adicionales 𝑥2𝑦, −𝑥2𝑦, 𝑥𝑦2 y −𝑥𝑦2.


Figura 54. 𝑥3 − 𝑦3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) antes y después de cancelar términos.

3.3.3.9 Ejemplo Caso 𝟖: Factorizar 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏.

Se ubican las 8 fichas formando un rectángulo: el cubo naranja se coloca en las casillas

(1,1), (2,1), (1,2) y (2,2), una ficha amarilla se coloca, en posición vertical, a la derecha del

cubo naranja; se colocan las otras dos fichas amarillas, en posición horizontal, hacia arriba del

cubo naranja, la ficha verde se coloca en la casilla (3,7) y las tres fichas azules se colocan en los

espacios que se generaron. Se completan los ejes, siguiendo las reglas de la multiplicación, para

obtener la respuesta: (𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 1) (Fig. 55). Como el segundo factor es un cuadrado

perfecto, se factoriza como el ejemplo Caso 4 para obtener (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)3 .


Figura 55. 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 1).

Como la respuesta es una expresión al cubo, con las 8 fichas se debe formar un cubo

geométrico (Fig. 56).

Figura 56. (𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 1)=(𝑥 + 1)3.


Solución Algebraica de un ejercicio que involucra dos variables

Factorizar el polinomio 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐𝒚+𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟑. Cumple las condiciones para ser una

expresión que resulta de elevar (𝑥 + 𝑦) al cubo. Por lo tanto 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐𝒚+𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 =

(𝑥 + 𝑦)3. Con las 8 fichas se tiene que formar el cubo (𝑥 + 𝑦)3.

Figura 57. 𝑥3 + 3𝑥2𝑦+3𝑥𝑦2 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2).

4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Después de identificar las dificultades históricas y epistemológicas relacionadas con la

factorización de polinomios de segundo grado, y de haber mostrado diferentes ejemplos con

factorizaciones, vemos que “El álgebra es un juego” es una herramienta especialmente útil

porque permite la “visualización” de la factorización. Siendo una investigación aplicada, ya que

se trata de aplicar un material en unos temas ya conocidos, la metodología estuvo ligada a

utilizar el material didáctico “El Álgebra es un Juego” con el tema de factorización. Se

plantearon las actividades de acuerdo a un cronograma.


4.1. Resultados

Primero se hizo una evaluación diagnóstica, incluyendo ejercicios de factorización porque

en el Taller Tiempo Libre “El Álgebra es un Juego” se habían inscrito alumnos de octavo y

noveno.

El siguiente documento corresponde a las preguntas que se hicieron como conducta de

entrada (conocimientos previos) (Fig. 58). Se esperaba que los alumnos resolvieran

correctamente el 75% de los ejercicios propuestos. El rendimiento fue del 80% para los de

noveno y del 60% para los de octavo.

Figura 58. Evaluación diagnóstica.

Se presentaron algunos talleres para estudiantes de grados octavo y noveno, que buscan

que los niños logren comprender y afianzar el significado de la factorización, naturalmente sin

descuidar los demás métodos analizados.


OBJETIVO ESPECÍFICO 2 ACCIÓN REGISTRO MATERIALES

Usar “El Álgebra es un

Juego” para visualizar si un

polinomio tiene factores

comunes y así factorizar los

casos factor común,

agrupación de términos…

Familiarizar al

estudiante con el

juego.

Factorizar

polinomios

usando el juego.

- Diario de

campo

- Fotos

- Informe de

Actividades

- “El Álgebra es

un Juego”

- Cámara

Fotográfica

- Fotocopias con

ejercicios

Tabla 4. Casos 1 y 2 de factorización: Factor Común.

Producto: El día 12 de Julio resolvieron correctamente el 75% de los ejercicios (Ver

anexo 7.3: Informe de Actividades Tiempo libre Tercer período, 2013).

Figura 59. Ejercicios de factorización caso 1: Factor Común.


Figura 60. Desarrollo del ejercicio de factorización 5𝑥 + 10 = 5(𝑥 + 2).

La figura 59 corresponde a la fotocopia con los ejercicios y la figura 60 al desarrollo del

primer ejercicio. El procedimiento para realizar el ejercicio empieza por ubicar las fichas

correspondientes a la expresión que se va a factorizar, 5x + 10 (Primera Fig. 60), luego se

completan los ejes (Segunda Fig. 60) y finamente se retiran las fichas del cuadrante. El primer

factor se puede obtener del eje 𝑋 (5) y el segundo factor del eje 𝑌 (𝑥 + 2) (Tercera Fig.60).


Factorizar trinomios de la

forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑥𝑦 +

𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈

𝑍 utilizando el material

concreto “El Álgebra es un

juego”.

Factorizar

diferencia de

cuadrados

utilizando “El

Álgebra es un

juego”.

- Diario de

campo

- Fotos

- Informe de

Actividades

- Videocámara

- “El Álgebra es

un Juego”

- Fotocopias con

ejercicios

- Informe de

Actividades

Tabla 5. Caso 3 de factorización: Diferencia de cuadrados.



La figura 61 corresponde a la fotocopia de los ejercicios sobre diferencia de cuadrados y

la figura 62 muestra el desarrollo del primer ejercicio.


Figura 61. Ejercicios diferencia de cuadrados. Figura 62. 9𝑥2 − 4 = (3𝑥 − 2)(3𝑥 + 2).

La figura 62 muestra que 6 fichas azules positivas se pueden cancelar con las 6 fichas

azules negativas y por lo tanto se verá que la expresión que se está factorizando es 9x2 – 4. Los

estudiantes han notado que al multiplicar los factores (3x – 2) y (3x + 2) se obtiene la expresión

9x2 + 6x – 6x – 4 y los cuatro términos se ven perfectamente en la gráfica.



forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,

𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍 utilizando el

material concreto “El

Álgebra es un juego”.

Factorizar

trinomios

cuadrados

perfectos

utilizando el

material didáctico

- Diario de

campo

- Fotos

- Informe de

Actividades

- “El Álgebra es

un Juego”

- Cámara

Fotográfica

- Fotocopias con

ejercicios

- Informe de

Actividades

Tabla 6. Caso 4 de factorización: Trinomios Cuadrados Perfectos.




Figura 63. Guía de trabajo. Figura 64. 4𝑥4 − 8𝑥2 + 4 = (2𝑥2 − 2)2.

Este ejercicio corresponde al número 7 de la fotocopia que resolvieron los estudiantes

(lado derecho de la figura 63) y aunque al principio no identificaron 4𝑥4 − 8𝑥2 + 4 como un

cuadrado perfecto, después vieron que cumplía las condiciones de un trinomio cuadrado

perfecto. Entonces se dedicaron a formar el cuadrado, completar los ejes y sacar la respuesta

correcta (Fig. 64): 4𝑥4 − 8𝑥2 + 4 = (2𝑥2 − 2) (2𝑥2 − 2) = (2𝑥2 − 2)2.



forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con

𝑎 = 1 utilizando el material


Juego”.

Factorizar

trinomios 𝑎𝑥2 +

𝑏𝑥 + 𝑐,

con 𝑎 = 1

utilizando el

material didáctico

- Diario de

campo

- Fotos

- Informe de

Actividades

- “El Álgebra es

un Juego”

- Cámara

Fotográfica

- Fotocopias con

ejercicios

- Informe de

Actividades

Tabla 7. Caso 5 de factorización: Trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 = 1.

Producto: El día 1 de Agosto resolvieron correctamente el 85% de los ejercicios (Ver



Figura 65. Práctica del caso 5 de factorización.

Los estudiantes resolvieron el ejercicio 1 de la fotocopia (Fig. 65, izquierda) así:

Figura 66. Desarrollo del ejercicio de factorización 𝑥2 − 7𝑥 + 12 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 3).

El procedimiento para realizar los ejercicios empieza por ubicar las fichas

correspondientes a la expresión que se va a factorizar 𝑥2 − 7𝑥 + 12 (Primera Fig. 66), luego se

completan los ejes colocando una ficha azul positiva y cuatro fichas verdes negativas en el eje

𝑋 (𝑥 − 4) y colocando una ficha azul positiva y tres fichas verdes negativas en el eje 𝑌 (𝑥 − 3)


(Segunda Fig. 66) y finamente se retiran las fichas de los cuadrantes. El primer factor se puede

obtener del eje 𝑋 (𝑥 − 4) y el segundo factor del eje 𝑌 (𝑥 − 3) (Tercera Fig. 66).



forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con

𝑎 ≠ 1 utilizando el material


Juego”.

Factorizar trinomios

de la forma 𝑎𝑥2 +

𝑏𝑥 + 𝑐,

con 𝑎 ≠ 1.

utilizando el material

didáctico

- Diario de

campo

- Fotos

- Informe de

Actividades

- “El Álgebra es

un Juego”

- Cámara

Fotográfica

- Fotocopias con

ejercicios

- Informe de

Actividades

Tabla 8. Caso 5 de factorización: Trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1.



El siguiente ejercicio corresponde al ejemplo de la fotocopia que resolvieron los estudiantes:

Figura 67. Tres registros para factorizar: −4𝑥2 − 14𝑥 − 12 = (2𝑥 + 4)(−2𝑥 − 3).


En la figura 67 se puede apreciar tres formas para representar el trinomio −4𝑥2 −

14𝑥 − 12, existen muchas maneras; depende de la creatividad del estudiante. Además, se puede

utilizar el cuadrante II o el IV. Todas las respuestas son equivalentes: (2𝑥 + 4)(−2𝑥 − 3).


Usar “El Álgebra es un Juego”

para factorizar los casos suma

y diferencia de cubos y

expresiones que son el cubo de

un binomio.

Factorizar suma

y diferencia de

cubos utilizando

“El Álgebra es

un juego”.

- Diario de

campo

- Fotos

- Informe de

Actividades

- Videocámara

- “El Álgebra es

un Juego”

- Fotocopias con

ejercicios

- Informe de

Actividades

Tabla 9. Caso 6 de factorización: Suma y diferencia de cubos.



Figura 68. Guía y solución del ejercicio 3: 8𝑥3 + 8 = (2𝑥 + 2)(4𝑥2 − 4𝑥 + 4).



… encontrar el otro factor sin

utilizar el material didáctico.

Utilizar el material “El

Álgebra es un Juego”

solamente para verificar

geométricamente el resultado

Factorizar

polinomios sin

utilizar el juego.

- Fotos

- Diario de

campo

- Informe de

Actividades

- Cámara

Fotográfica

- Fotocopias con

ejercicios

- Informe de

Actividades

Tabla 10. Factorizar polinomios en forma natural.

Producto: Resolver correctamente el 90% de los ejercicios (Documento escrito

relacionando los resultados de los ejercicios propuestos). El grupo de Actividades Tiempo libre

no alcanzó a realizar este taller, pero se puede analizar el ejemplo del Anexo 7.2.1 (p. 152).

4.2 Discusión.

Muchos de nuestros estudiantes de Álgebra tienen pensamiento concreto. En un alto

porcentaje, los estudiantes que se inscribieron en el proyecto de tiempo libre “El Álgebra es un

Juego” pertenecen a ese grupo. La mayoría de los estudiantes inscritos en ese proyecto

estuvieron motivados, realizaron las actividades con entusiasmo y aprobaron las asignaturas

Álgebra y Geometría con mejores notas.

La actividad “El Álgebra es un Juego”, que se realizó los jueves de 3:00 a 5:00 P.M.

también generó un grado de satisfacción en los Padres de Familia.

El grupo de estudiantes del taller Tiempo Libre tuvo mejoría en habilidades cognitivas,

pero en cuanto al desarrollo de los ejercicios planteados, 6 alumnos (la mayoría de inclusión)


resolvieron los 4 primeros ejercicios con relativa facilidad y en los últimos tres encontraron

obstáculos.

El material didáctico fue bien recibido por todos los estudiantes, manifestando que era

más fácil aprender con su uso.

El material permitió que la mayoría aclarara las operaciones básicas con expresiones

algebraicas y comprendieran los casos de factorización mucho mejor que los que no lo usaron.

Los estudiantes que usaron el material se mostraron más motivados para recibir las clases

de Álgebra.

En los antecedentes de la investigación frente al uso de materiales manipulativos (p.52)

se analizaron varios materiales manipulativos para la enseñanza y el aprendizaje de temáticas

asociadas al objeto de estudio del presente trabajo. Se pueden establecer las siguientes

semejanzas y diferencias:

“El Álgebra es un Juego”, comparado con el LAB GEAR (p.53), no utiliza las piezas 5,

25, 5𝑥, 5𝑦; utiliza las piezas 𝑥, 𝑦, 𝑥𝑦, 𝑥2, 𝑦2, 𝑥2𝑦, 𝑥𝑦2, 𝑥3, 𝑦3 en las factorizaciones que

se muestran en las páginas 109, 111, 113, 115, 121 y 123 y utiliza un tablero para representar el

plano cartesiano con ejes ampliados, al que están articulados todos los ejercicios.

Analizando los 5 objetivos de Lab Gear (p. 53) se puede concluir que “El Álgebra es un

Juego” también los cumple, especialmente el 4: Facilitar los procesos de conversión de

representación semiótica entre el lenguaje algebraico y el natural.

“El Álgebra es un Juego” permite trabajar los mismos temas que las piezas de

“ALGEBRA TILES” y otros más; además puede trabajar con dos variables y con polinomios de


grado mayor que 3, lo que implica dar interpretación geométrica a más casos de factorización

que es el objetivo principal del proyecto (ver anexos 7.1.4, 7.2.1, 7.2.4, pp.149- 159).

El manipulativo ALGEBLOCKS es el más similar al material “El Álgebra es un Juego”

con algunas diferencias en tamaños, formas y colores, pero no utiliza un tablero. Además, los

Algeblocks no trabajan polinomios de grado mayor a tres y “El Álgebra es un Juego” si lo hace

(ver anexo 7.1.4, p. 149), aunque todavía no resuelve inecuaciones.

De las piezas que utiliza “EL PUZZLE ALGEBRAICO”, “El Algebra es un Juego” usa

las fichas equivalentes a las fichas 1 • 1, 𝑥 • 1, 𝑦 • 1, 𝑥 • 𝑥 y las otras 7 fichas no las considera,

además, utiliza el plano cartesiano. Las aplicaciones de “El Puzzle Algebraico” también son

trabajadas en “El Algebra es un Juego”, excepto inecuaciones.

Las TABLETAS ALGEBRAICAS son 65 fichas planas que especifican el tamaño, el

color y el área de cada una. En “El Álgebra es un Juego” cada ficha es tridimensional y tiene un

tamaño y color diferente; en total son 160 y están articuladas al plano cartesiano representado

por el tablero.

Las tres figuras que utiliza EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA, que representan los modelos

de las casas, tienen su equivalente en “El Álgebra es un Juego”, el prisma amarillo simbolizando

𝒙𝟐, el prisma azul simbolizando 𝒙 y el cubo verde simbolizando la unidad. La diferencia está en

que en el Álgebra Geométrica las figuras son planas y en “El Álgebra es un Juego” son

tridimensionales y existe material concreto también para 𝑥3, 𝑦, 𝑦2, 𝑦3, 𝑥𝑦, 𝑥2𝑦 y 𝑥𝑦2, con

el que se puede factorizar más casos.


Las preguntas de investigación:

¿Cómo ayudar a los estudiantes de grado octavo a superar el problema de incomprensión

de temas que requieren un pensamiento formal ya que ellos todavía no han superado el estadio de

las operaciones concretas?

¿Es posible, a través del lenguaje geométrico y representaciones físicas, contribuir a

mejorar el aprendizaje del álgebra, o por lo menos, encontrar una alternativa de enseñanza que

sirva como instrumento de mediación entre el pensamiento concreto y el abstracto?

Se lograron responder utilizando el material didáctico “El Álgebra es un Juego”,

justificando su uso en los trabajos de: Piaget J. P. (1975): El desarrollo de la inteligencia;

Alfonso (2007): La Teoría De Las Representaciones Sociales; Lacolla, L. (2005):

Representaciones sociales: una manera de entender las ideas de nuestros alumnos; Moscovici,

(1986): La teoría de las Representaciones Sociales “… aprendemos principalmente lo que

somos capaces de representar"; Bartolini, M. & Mariotti, M. (2010): Mediación semiótica en el

aula de matemáticas; Aristizabal, W, (2014): Procesos de Conversión de Registros Semióticos en

el Aprendizaje de la Lógica Matemática en Estudiantes Universitarios; de Duval, R. (1999):

Semiosis y pensamiento humano: Registros semióticos y aprendizajes intelectuales y de otros

autores que también trabajaron los mismos temas.

Los estudiantes usaron diferentes sistemas semióticos de representación y

expresión como el lenguaje natural, diferentes notaciones simbólicas para las expresiones

algebraicas, figuras geométricas, representaciones en perspectiva, plano cartesiano, figuras

geométricas tridimensionales que representan las variables y las unidades. Haciendo la


conversión entre esos registros semióticos se lograron los objetivos. Estoy de acuerdo con

Aristizabal (2014), quien afirma:

A partir de la década de los ochenta, la teoría de los registros de representación semiótica ha

tomado auge entre los docentes e investigadores de la didáctica de la matemática en áreas tan diversas

como la aritmética, la geometría, el álgebra, el cálculo entre otras y se han abordado una diversidad de

problemas como las operaciones elementales de la aritmética, la suma y el producto de números naturales

y racionales, la aprehensión de los conceptos geométricos y algebraicos, el papel de los procesos de

tratamiento y conversión de registros de representación semiótica algebraicos, …(p. 14)

Según lo anterior, era necesario encontrar registros de representación semiótica para las

variables, un material didáctico, manipulable de tal manera que los conceptos algebraicos

llegaran más fácilmente a los estudiantes. El material que propongo en el presente trabajo es “El

Álgebra es un Juego”.

Termino la discusión citando de nuevo la conclusión de un investigador que también hizo

un trabajo sobre factorización:

El álgebra geométrica realmente logra que exista una mejor comprensión de los temas a pesar de las

limitaciones que pueda tener, pero la parte visual que tiene este recurso genera una mayor motivación

porque se logra manipular los conceptos algebraicos de una manera más atractiva sin dejar a un lado su

fundamentación teórica. A partir del álgebra geométrica como recurso didáctico y ambientación a

diferentes temas creemos se pueden mejorar estos procesos de enseñanza aprendizaje. (Ballén, 2012,

p.49).

Se evidencia una concordancia con lo expresado por Ballén, en cuanto a que, utilizando

“El Álgebra es un Juego”, también se logran los objetivos que él alcanzó ya que se logra

manipular la factorización y muchos temas más de una manera agradable y motivadora sin dejar

a un lado su fundamentación teórica, por el contrario, la refuerza.


5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El objetivo general de este trabajo se cumple plenamente porque se utiliza el artefacto,

“El Álgebra es un Juego”, que permite como mediador instrumental hacer la transición entre las

estructuras del pensamiento concreto a las del pensamiento abstracto para realizar ejercicios

sobre diferentes tópicos algebraicos, partiendo del lenguaje geométrico para luego hacer la

conversión al lenguaje simbólico, y que al resolverlos los hacen comprendiendo el concepto y en

forma correcta.

También fue fundamental las consultas realizadas sobre los temas Desarrollo de la

Inteligencia, Representaciones Sociales y Procesos de tratamiento y conversión de Registros

Semióticos. Es aquí donde se justifica plenamente el uso del material propuesto ya que se

cumple el primer objetivo específico o sea utilizar “El Álgebra es un Juego” para hacer el

tránsito entre el pensamiento concreto y el pensamiento abstracto. Las consultas sobre

Pensamiento Matemático Elemental y Pensamiento Matemático Avanzado dejan claro que el

presente trabajo enfatiza en el aspecto didáctico, sacrificando un poco el rigor matemático en lo

que tiene que ver con la representación, mediante fichas, de los términos 𝑥4, 𝑥5 y 𝑥6.

El principal mérito de “El Álgebra es un Juego”, comparado con todos los manipulativos

analizados, es que todas las operaciones, especialmente la factorización están ligadas al plano

cartesiano que ninguno de los otros manipulativos tiene. En el apartado 4 Resultados y Discusión

se muestra detalladamente que se cumplen los objetivos.

La maestría en Didáctica de las Matemáticas aportó muchos más elementos a este

proyecto y se pudo resolver la limitación de utilizar una sola variable (𝑥) y se crearon nuevas


fichas para 𝑦, 𝑥𝑦, 𝑥2𝑦, 𝑥𝑦2, 𝑦2, 𝑦3, 𝑥5, 𝑥6 y otros registros semióticos para 𝑥2, 𝑥3 y 𝑥4. Ver

anexo 7.2.

También, durante el desarrollo del trabajo de grado, se creó una tabla para sumar y restar

naturales hasta 20,000 utilizando el tablero modificado y las fichas de “El Álgebra es un Juego”.

Dicha tabla puede ser utilizada en primaria, incluso desde preescolar. Ver anexo 7.4.

La recomendación principal es utilizar este material didáctico “El Álgebra es un juego”

en las clases. No se pretende reemplazar la enseñanza tradicional del Álgebra, sino que sea una

ayuda poderosa en la medida que los profesores la utilicen para convertir conceptos abstractos en

concretos y viceversa –lo que con el juego se hace concreto, después es más fácil hacerlo

abstracto- y así los alumnos manipulando fichas en un tablero, no solo refuerzan lo aprendido

sino que también desarrollan el pensamiento tridimensional y, lo principal, aprenden a amar y a

disfrutar las matemáticas, especialmente el Álgebra.


6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Manizales, Colombia.

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Aristizabal, W. (2014) Procesos de Conversión de Registros Semióticos en el Aprendizaje de la

Lógica Matemática en Estudiantes Universitarios. Universidad de Caldas, Manizales,

Colombia.

Baldor, A. (1977). Álgebra. Madrid: Ediciones y Distribuciones Codice, S.A.

Ballén, J. O. (2012). El álgebra geométrica como recurso didáctico para la factorización de

polinomios de segundo grado. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia.

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Bartolini, M., & Mariotti, M. (2010). Mediación semiótica en el aula de matemáticas. En Perry,

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edición revisada, pp. 746-783). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. (Trabajo original

publicado en 2008).

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intelectuales. Cali: Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía.


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Enseñanza Del Proceso De Factorización De Algunos Polinomios De Segundo Grado.

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7. ANEXOS

7.1. EJEMPLOS ADICIONALES

7.1.1 Investigation- Exercises

7.1.2 Operaciones de suma y resta

7.1.3 Otros ejemplos de multiplicación

7.1.4 Multiplicaciones con 𝑥4, 𝑥5 y 𝑥6 y otros registros de 𝑥2, 𝑥3 𝑦 𝑥4.

7.1.5 Explicación de los ejercicios que aparecen en la página 67.

7.2 EJEMPLOS COMPLEMENTARIOS DE FACTORIZACIÓN

7.2.1 Buscar el factor (𝑥 − 𝑐) y encontrar el otro factor sin el juego. Factorización

con 𝑥4, 𝑥5 y otras representaciones de 𝑥4, 𝑥3 y 𝑥2.

7.2.2 Factorización completando cuadrados.

7.2.3 Resolver la ecuación 𝑥2 + 10𝑥 = 39 completando cuadrados

7.2.4 Factorización de un caso especial de Diferencia de Cuadrados.

7.3 INFORME DEL SEGUNDO PERÍODO TIEMPO LIBRE “EL ÁLGEBRA

ES UN JUEGO”

7.4 NUEVA APLICACIÓN DE “EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO”

7.4.1 Nueva Tabla para sumar números naturales.

7.4.2 Nueva Tabla para restar números naturales

7.5 PRESENTACIÓN EN POWER POINT DE “EL ÁLGEBRA ES UN

JUEGO”

7.6 CONFERENCIAS, TALLERES Y PONENCIAS

7.1 EJEMPLOS ADICIONALES


7.1.1 Investigation. La siguiente consulta, sacada del texto de Álgebra con el que se

trabajaba en el Colegio Granadino de Manizales, fue la que motivó la investigación de “El

Álgebra es un Juego”. Fue complementada con un CD que contenía ejercicios y juegos, donde

apareció el plano cartesiano con los ejes ampliados.

Figura 1. Investigation: Cómo representar (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) = 𝑥2 + 3𝑥 + 2


7.1.2. Suma y resta. Para sumar y restar polinomios debemos tener en cuenta que dos

fichas del mismo color representan la misma variable y si tienen signo diferente se anulan entre

sí, es decir, se pueden cancelar. Las fichas que simbolizan términos positivos se colocan en el

cuadrante I o en el III y las que simbolizan términos negativos se colocan en el II o en el IV. En

la suma y resta no es indispensable agrupar las fichas formando bases rectangulares.

Ejemplo 1. Sumar (3𝑥2 + 5𝑥 − 4) + (−𝑥2 − 8𝑥 + 3)

Siga los siguientes pasos:

1. Se aplica la regla de los signos para quitar paréntesis: 3𝑥2 + 5𝑥 − 4 − 𝑥2 −

8𝑥 + 3

2. Se colocan 3 prismas amarillos y 5 prismas azules en el cuadrante I por el lado

positivo; un prisma amarillo, 8 prismas azules y 4 cubos verdes en el cuadrante II por el

lado negativo y 3 cubos verdes en el cuadrante III por el lado positivo.

3. Se retiran (cancelan) las parejas de fichas iguales con diferente signo.

Figura 2. (3𝑥2 + 5𝑥 − 4) + (−𝑥2 − 8𝑥 + 3) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 1


4. La respuesta se obtiene de las fichas que sobran, teniendo en cuenta que si quedan

en los cuadrantes I y III, los términos serán positivos y si quedan en los cuadrantes II y

IV serán negativos.

Observe (Fig.2) que un prisma amarillo positivo se anula con otro prisma amarillo

negativo, 5 prismas azules positivos se anulan con 5 prismas azules negativos y 3 cubos verdes

positivos se anulan con 3 cubos verdes negativos. Las figuras que no se cancelaron corresponden

a la respuesta: (3𝑥2 + 5𝑥 − 4) + (−𝑥2 − 8𝑥 + 3) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 1

Ejemplo 2. Sumar (3𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 4) + (−2𝑥3 + 4𝑥2 − 3𝑥 + 7)

Siguiendo los pasos del ejemplo anterior, se observa que dos cubos naranjas negativos se

anulan con dos cubos naranja positivos, también en cada cuadrante se anulan dos prismas

amarillos, un prisma azul y cuatro cubos verdes. Las fichas que no se cancelan corresponden a la

respuesta (Fig. 3): 𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 3

Figura 3. (3𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 4) + (−2𝑥3 + 4𝑥2 − 3𝑥 + 7) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 3


Ejemplo 3. Restar: (−3𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 + 10) − (−𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥)

Así como en la suma, el primer paso es suprimir paréntesis sin olvidar la regla de los signos:

−3𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 + 10 + 𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥

Luego proceda con los pasos 2, 3 y 4 indicados en la suma. Recuerde que este método

para sumar o restar es equivalente a reducir términos semejantes.

Observe (Fig. 4) que en cada cuadrante se anulan un cubo naranja, tres prismas amarillos

y cuatro prismas azules. Las fichas que no se anulan corresponden a la respuesta: −2𝑥3 +

3𝑥2 + 10

Figura 4. (−3𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 + 10) − (−𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 + 10


7.1.3. Otros ejemplos de multiplicación:

Ejemplo 𝟏. Multiplicar 𝑥(4𝑥 − 3).

Figura 5. 𝑥(4𝑥 − 3)= 4𝑥2 − 3𝑥.

Por la Ley Conmutativa 𝑥(4𝑥 − 3)= (4𝑥 − 3)𝑥, por lo tanto cualquier factor se puede

ubicar en el eje horizontal y el otro en el vertical. Analice la gráfica (Fig. 5) y observe que

(4𝑥)(𝑥) = 4𝑥2 (cuadrante I) y (−3)(𝑥) = −3𝑥 (cuadrante II). Por lo tanto la respuesta es

4𝑥2 − 3𝑥.

En la respuesta anterior, 𝑥(4𝑥 − 3) = 4𝑥2 − 3𝑥, si se lee de izquierda a derecha es una

multiplicación y si se lee de derecha a izquierda es una factorización: 4𝑥2 − 3𝑥 = 𝑥(4𝑥 − 3).

Ejemplo 2. Multiplicar (𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒).

Como en los ejemplos anteriores, se colocan las fichas correspondientes a cada factor en

los ejes. Se completa el rectángulo y antes de dar la respuesta se retiran las fichas que se puedan

cancelar. La respuesta es 𝑥3 − 8 (Fig. 6).


Figura 6. Producto (𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4) = 𝑥3 − 8

En la respuesta anterior (𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4) = 𝑥3 − 8, si se lee de izquierda a

derecha es una multiplicación y si se lee de derecha a izquierda es una factorización: 𝑥3 − 8 =

(𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4). Se observa que el resultado es una diferencia de cubos, uno de los casos

de factorización.


7.1.4. Ejemplos de multiplicación con las variables 𝒙𝟒, 𝒙𝟓, 𝒙𝟔 y otros registros

manipulables de 𝒙𝟐, 𝒙𝟑 𝒚 𝒙𝟒.

7.1.4.1 Multiplicar (𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 − 8)(𝑥 + 2).

En el eje horizontal se coloca el primer factor (𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 − 8) y en el eje vertical se

ubica el segundo factor (𝑥 + 2). Se completa el rectángulo siguiendo las reglas de la

multiplicación. Al cancelar figuras que representan la misma variable con diferente signo, la

respuesta es 𝑥4 − 16.

Figura 7. (𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 − 8)(𝑥 + 2) = 𝑥4 − 16.

Solución Algebraica: . (𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 − 8)(𝑥 + 2) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 2𝑥3 − 4𝑥2 + 4𝑥2 +

8𝑥 − 8𝑥 − 16. En la figura 7 se pueden ver todos los 8 términos y los factores.

7.1.4.2 Multiplicar (𝑥2 + 1) (𝑥2 + 1)(𝑥2 + 1).


Primero se coloca un factor en el eje 𝑋 y el otro en el eje 𝑌. Como los factores son iguales

el resultado es un cuadrado (𝑥4 + 2𝑥2 + 1). En la figura 8 se puede observar el cuadrado con

otro registro concreto de 𝑥4 (prisma morado) y otro registro de 𝑥2 (prisma amarillo alargado).

Figura 8. (𝑥2 + 1)(𝑥2 + 1). Figura 9. (𝑥4 + 2𝑥2 + 1)(𝑥2 + 1) = (𝑥2 + 1)3

En la figura 9 se puede apreciar que, como la operación es un binomio al cubo, la figura

resultante es un cubo. También se puede ver que la representación de 𝑥6 es un cubo negro.

Figura 10. (𝑥4 + 2𝑥2 + 1)(𝑥2 + 1) = 𝑥6 + 3𝑥4 + 3𝑥2 + 1

En la figura 10 se puede ver otra forma de indicar la operación con el juego para

identificar todos los términos del producto.


7.1.4.3 Multiplicar (𝑥2 + 2𝑥 + 1) (𝑥3 − 2)

Figura 11. (𝑥2 + 2𝑥 + 1) (𝑥3 − 2) = 𝑥5 + 2𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 − 2

En la figura 11 se ve que el producto se puede representar de dos maneras diferentes,

utilizando diferentes registros para 𝑥2 y colocando 𝑥3 en otra posición. Los factores se ubican

en los ejes, en este caso (𝑥2 + 2𝑥 + 1) en el eje 𝑋, representado por una ficha amarilla 𝑥2, dos

fichas azules 2𝑥 y una ficha verde (la unidad) y el otro factor (𝑥3 − 2) en el eje 𝑌,

representado por una ficha naranja 𝑥3 y dos fichas verdes en la parte negativa (−2). La

respuesta 𝑥5 + 2𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 − 2 se obtiene siguiendo las reglas de la multiplicación.

7.1.5 Explicación de los ejercicios que aparecen en la página 66.

El primer ejercicio es la multiplicación (𝑥2 + 𝑥) (𝑥2 − 𝑥). El primer factor (𝑥2 + 𝑥)

se coloca en el eje horizontal, representado por una ficha amarilla en posición vertical (𝑥2) y

una ficha azul (𝑥) y el segundo factor (𝑥2 − 𝑥) se coloca en el eje vertical, teniendo en cuenta

que la ficha azul se ubica en la parte negativa del eje.. El resultado es 𝑥4 − 𝑥2 representado por


una ficha violeta (𝑥4) y una amarilla (−𝑥2). Observe (Fig. 12) que los términos 𝑥3 y −𝑥3,

representados por fichas naranja se cancelan por estar en cuadrantes de diferente signo.

Figura 12. (𝑥2 + 𝑥)(𝑥2 − 𝑥) = 𝑥4 − 𝑥2 y (𝑥 + 3)(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)2 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9.

El segundo ejercicio es el producto (𝑥 + 3)(𝑥 + 3). El primer factor (𝑥 + 3) se coloca

en el eje horizontal, representado por una ficha azul (𝑥) y tres fichas verdes (3) y el segundo

factor (𝑥 + 3) se coloca en el eje vertical. Se completa el cuadrado (los factores son iguales)

siguiendo las reglas de la multiplicación (p.86). La respuesta representada por las fichas que se

encuentran en el cuadrante I es 𝑥2 + 6𝑥 + 9, que corresponde a un trinomio cuadrado perfecto,

por lo tanto la figura debe ser un cuadrado (Fig. 12).


7.2 EJEMPLOS COMPLEMENTARIOS DE FACTORIZACIÓN

7.2.1 Buscar el factor (𝑥 − 𝑐) y encontrar el otro factor sin utilizar el material

didáctico. Utilizar el material “El Álgebra es un Juego” solamente para verificar

geométricamente el resultado.

Factorizar 𝒙𝟓 + 𝟏.

Un polinomio 𝑃(𝑥) tiene un factor (𝑥 − 𝑐) si y sólo si 𝑃(𝑐) = 0. Aplicar el Teorema

del factor para mostrar que 𝑥 + 1 es un factor de 𝑥5 + 1.

𝑥 + 1 = 𝑥 − (−1), por lo tanto 𝑐 = −1

Como 𝑃(−1) = (−1)5 + 1 = 0

Por el Teorema del factor queda demostrado que (𝑥 + 1) es un factor de 𝑃(𝑥).

Efectivamente (𝑥5 + 1) ÷ (𝑥 + 1) = (𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1).

Por lo tanto, 𝑃(𝑥) = (𝑥5 + 1) = (𝑥 + 1)(𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1).

A continuación se utiliza el material “El Álgebra es un Juego” solamente para verificar

geométricamente el resultado. Se ubica el polinomio (𝑥5 + 1) en el cuadrante I. Se conoce que

un factor es 𝑥 + 1 , por lo tanto se puede colocar una ficha azul y una verde en el eje 𝑋. Se

siguen las reglas de la multiplicación para obtener el otro factor (𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1).


Figura 13. Factorizar 𝑥5 + 1 Figura 14. 𝑥5 + 1 = (𝑥 + 1)( )

Figura 15. 𝑥5 + 1 = (𝑥 + 1)(𝑥4 + ⋯ + 1)

Figura 16. . 𝑥5 + 1 = (𝑥 + 1)(𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1)


Al analizar las figuras 13, 14, 15 y 16 se ve el proceso para obtener la respuesta: 𝑥5 +

1 = (𝑥 + 1)(𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1). En la figura 16 se ve que se cancelan 𝑥4 y −𝑥4, 𝑥3 y

−𝑥3, 𝑥2 y −𝑥2 y 𝑥 con −𝑥, quedando solamente 𝑥5 + 1.

7.2.2 Factorizar, completando cuadrados, el trinomio (𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟗).

En la parte izquierda de la figura 17 se ve que el trinomio no es un cuadrado perfecto.

Para que el trinomio dado sea un cuadrado perfecto el segundo término debe ser el doble

producto de las raíces cuadradas de los otros dos (6𝑥2), por lo tanto se debe sumar 4𝑥2 y para

que el trinomio no cambie, se debe restar 4𝑥2 (fig. 17, derecha). El trinomio dado se puede

escribir así: 𝑥4 + 2𝑥2 + 9 = (𝑥4 + 6𝑥2 + 9) − 4𝑥2.

Figura 17. 𝑥4 + 2𝑥2 + 9 = (𝑥4 + 6𝑥2 + 9) − 4𝑥2.

El segundo miembro de la ecuación anterior se puede indicar como una diferencia de

cuadrados, así: (𝑥4 + 6𝑥2 + 9) − 4𝑥2 = (𝑥2 + 3)2 − (2𝑥)2, que al factorizarla es igual a la

suma de las raíces cuadradas por la diferencia de las mismas: 𝑥4 + 2𝑥2 + 9 = (𝑥2 + 3 +

2𝑥)(𝑥2 + 3 − 2𝑥) (Fig. 18).


Figura 18. (𝑥2 + 3)2 − (2𝑥)2 = (𝑥2 + 3 + 2𝑥)(𝑥2 + 3 − 2𝑥).

Para probar el resultado se puede realizar el producto de los dos factores obtenidos:

= (𝑥2 + 3 + 2𝑥)(𝑥2 + 3 − 2𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 3𝑥2 + 9 − 6𝑥 + 2𝑥3 + 6𝑥 − 4𝑥2. En la

figura 19 (lado izquierdo) se ven los factores en los ejes y 9 grupos en los cuadrantes, definidos

por el color y la posición que corresponden a los 9 términos.

Figura 19. (𝑥2 + 3)2 − (2𝑥)2 = (𝑥2 + 3 + 2𝑥)(𝑥2 + 3 − 2𝑥).


También se puede apreciar que los términos 2𝑥3 + 6𝑥 y −2𝑥3 − 6𝑥 se cancelan y si se

retiran se ven los dos cuadrados como se mostró en la figura 18. El primer factor (𝑥2 + 3 + 2𝑥)

se visualiza en el eje 𝑌 y el segundo factor (𝑥2 + 3 − 2𝑥) en el eje 𝑋. El lado derecho muestra

otro ángulo del mismo ejercicio.

7.2.3 Resolver la ecuación 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 = 𝟑𝟗 completando cuadrados.

La ecuación se puede escribir 𝑥2 + 10𝑥 − 39 = 0. Se factoriza el trinomio 𝑥2 + 10𝑥 −

39 por el método de completar cuadrados como en el ejemplo anterior. En la figura 20 está

representado el trinomio y se ve que para completar los cuadrados se debe sumar y restar 25

unidades: 𝑥2 + 10𝑥 + 25 − 39 − 25 = (𝑥2 + 10𝑥 + 25) − 64 = (𝑥 + 5)2 − (8)2 (fig. 21).

Figura 20. 𝑥2 + 10𝑥 − 39 Figura 21. (𝑥2 + 10𝑥 + 25) − 64

Como (𝑥 + 5)2 − (8)2 es una diferencia de cuadrados, la expresión factorizada es igual

a la suma de las raíces cuadradas por la diferencia de las mismas: (𝑥 + 5)2 − (8)2 = (𝑥 +

13)(𝑥 − 3) (Fig. 22).


Fig. 22. 𝑥2 + 10𝑥 − 39 = (𝑥 + 13)(𝑥 − 3) Figura 23. 𝑥 − 3 = 0

Como el trinomio es igual a cero, entonces (𝑥 + 13)(𝑥 − 3) = 0 y por lo tanto 𝑥 +

13 = 0 𝑦 𝑥 − 3 = 0.

Para resolver la ecuación 𝑥 − 3 = 0, se utilizan los cuadrantes I y II, en el cuadrante

II se coloca el primer miembro de la ecuación 𝑥 − 3 y en el cuadrante I se coloca el segundo

miembro (0) y se supone que el eje 𝑌 es el igual (=) (Fig. 23). Se suman en ambos miembros

+3 (Fig. 24), luego se cancelan en el primer miembro +3 y −3. La primera solución es 𝑥 = 3

(Fig. 25).

Figura 24. 𝑥 − 3 + 3 = 0 + 3 Figura 25. 𝑥 = 3


Para hallar la segunda solución se hace un procedimiento similar: 𝑥 = −13 (Figuras 26,

27 y 28).

Fig. 26. 𝑥 + 13 = 0 Figura 27. (𝑥 + 13 − 13) = −13 Figura 28. 𝑥 = −13

Si 𝑥2 + 10𝑥 − 39 = 0, entonces 𝑥 = 3 y 𝑥 = −13.

7.2.4. Resolver el caso especial de Diferencia de Cuadrados 𝟒𝒙𝟐 − (𝒙 + 𝒚)𝟐.

Figura 29. 4𝑥2 − (𝑥 + 𝑦)2 Fig. 30. 4𝑥2 − (𝑥 + 𝑦)2 = (3𝑥 + 𝑦)(2𝑥 − 𝑦 − 𝑥)

Como 4𝑥2 − (𝑥 + 𝑦)2 es una diferencia de cuadrados (Fig. 29), sus factores son:

(2𝑥 + 𝑥 + 𝑦) y (2𝑥 − 𝑥 − 𝑦), que se pueden apreciar en la Fig. 30.


Si se realiza el producto (2𝑥 + 𝑥 + 𝑦)(2𝑥 − 𝑥 − 𝑦) = 4𝑥2 − 2𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑥2 − 𝑥2 −

𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑦2, todos los términos se pueden ver en la Fig. 31, lado izquierdo, donde cada

uno ocupa un lugar especial. Reduciendo términos semejantes en los factores queda el producto

(3𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦), cuyos factores se pueden ver en la Fig. 31, lado derecho, después de retirar

figuras iguales de diferente signo.

Respuesta: 4𝑥2 − (𝑥 + 𝑦)2 = 3𝑥2 − 2𝑥𝑦 − 𝑦2 = (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦).

Figura 31. 4𝑥2 − 2𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑥2 − 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑦2 = (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)


7.3. Informe de las actividades realizadas durante el tercer período de 2013.

MINISTERIO DE DEFENSA NACIONAL

POLICÍA NACIONAL

DIBIE - COLEGIO NUESTRA SEÑORA DE FÀTIMA (DECAL)

No. 1016 / NUSEFA – CORAC – 1-29.25

Manizales, 26 de Agosto de 2013

Señora GLORIA DEL PILAR HOYOS ESCOBAR Coordinadora Académica E. S. D. ASUNTO: Actividades Tiempo Libre “El Algebra es un Juego”

Respetuosamente me permito enviar las actividades realizadas en el colegio NUSEFA de Manizales, durante el

tercer periodo de 2013.

FECHA LUGAR ACTIVIDAD FOTO BENEFICIO

INSTITUCIONAL

12-07-13 Sección

Secundaria

Explicación y ejercicios

sobre Factorización (Factor

Común).

Reforzar conceptos

algebraicos y

geometricos.

Motivar a los estudiantes

a resolver ejercicios de

factorizacion, mediante

material lúdico.

MINISTERIO DE DEFENSA

POLICÍA NACIONAL

Unidad:

__________________________


19-07-13

Sección

Secundaria


sobre Factorización

(Diferencia de Cuadrados).

Motivar a otros

estudiantes a inscribirse

en el taller de tiempo

libre “El Algebra es un

Juego”.

26-07-13 Sección

Secundaria



(Trinomio cuadrado

perfecto).

Mejorar en los

estudiantes su capacidad

de relacionar álgebra con

aritmetica.

01-08-13

Sección

Secundaria



(Trinomio de la forma

ax2+bx+c, donde a=1).

Desarrollar en los

estudiantes su capacidad

de razonamiento lógico y

el gusto por las

matemáticas y la

geometría.

08-08-13

Sección

Secundaria



(Trinomio de la forma

ax2+bx+c, donde a≠1).

Utilizar productivamente

el tiempo libre, al mismo

tiempo que refuerza

conceptos algebraicos en

forma entretenida y

agradable.

15-08-13

Sección

Secundaria



(Repaso casos anteriores).

Concéntrese con

conceptos matemáticos y

premios (dulces) y puntos.

Motivar a los estudiantes

del taller a asistir

cumplidamente a las

prácticas de tiempo libre.


Atentamente,

Original firmado

Hernando Acevedo Ríos Profesor Encargado de Tiempo Libre Elaborado por: Lic. Gloria del Pilar Hoyos Escobar Revisado por: ST. Nohelia Rojas Duran Fecha de elaboración: 15-10-12 Ubicación c:\\Comunicaciones Oficiales 2012

Calle 63 No 13-23 Barrio Viveros

Teléfono(s) 8751116 - 8753655

[email protected]

www.policia.gov.co

22-08-13 Sección

Secundaria



(Expresión que es el cubo

de un binomio).

Reforzar conceptos

algebraicos y desarrollar

el pensamiento

tridimensional.

27-07-13

Sección

Secundaria

Asesoría de la Universidad

de Caldas en la Maestría

“Didáctica de la

Matemática” al profesor

Hernando Acevedo Ríos,

encargado del taller de

tiempo libre.

Actualizar al docente

en temas relacionados

con la Didáctica de la

Matemática.


7.4. Cómo sumar y restar naturales.

Para sumar y restar, utilizando “El Álgebra es un Juego”, el tablero se puede adaptar

escribiendo con marcador borrable la tabla que aparece en la figura 30. También se puede

elaborar la tabla en cartulina, cartón paja, madera o cualquier material y utilizar las fichas del

juego.

7.4.1 Suma de números naturales.

7.4.1.1 Sumar 436 + 144 + 299 + 512 + 2400.

El tablero está dividido en 4 sectores: la franja verde corresponde a las unidades y está

numerada del 1 al 100; la franja azul corresponde a las decenas y está numerada del 10 al 500,

de 10 en 10; la franja amarilla corresponde a las centenas y está numerada del 100 al 3000, de

100 en 100 y la franja naranja corresponde a las unidades de mil y está numerada del 1000 al

20000, de 1000 en 1000 (Fig. 32).

Figura 32. Tabla para sumar y restar. Figura 33. 436 + 144


El primer sumando 436 se ubica en el tablero de tal manera que las 4 centenas llenen las

casillas del 100 al 400 de la franja amarilla, utilizando 4 fichas amarillas que valen 100 cada una

; las 3 decenas llenen las casillas del 10 al 30 de la franja azul, utilizando 3 fichas azules que

valen 10 cada una; las 6 unidades llenen las casillas del 1 al 6 de la franja verde, utilizando 6

fichas verdes que vale una unidad cada una (Fig. 33). Observe que el segundo sumando (144)

está listo al lado derecho de la tabla.

Figura 34. 436 + 144 + 299 Figura 35. 436 + 144 + 299 + 512

En la figura 34, el segundo sumando (144) se ubicó de tal manera que la centena llene la

casilla 500 de la franja amarilla, utilizando 1 ficha amarilla que vale 100; las 4 decenas llenen las

casillas del 40 al 70 de la franja azul, utilizando 4 fichas azules que valen 10 cada una; las 4

unidades llenen las casillas del 7 al 10 de la franja verde, utilizando 4 fichas verdes. Observe que

el tercer sumando (299) está listo al lado derecho de la tabla.

En la figura 35, el tercer sumando (299) se ubicó de tal manera que las 2 centenas llenen

las casillas 600 y 700 de la franja amarilla, utilizando 2 fichas amarillas que valen 100 cada una;

las 9 decenas llenen las casillas del 80 al 160 de la franja azul, utilizando 9 fichas azules que


valen 10 cada una; las 9 unidades llenen las casillas del 11 al 19 de la franja verde, utilizando 9

fichas verdes. Observe que el cuarto sumando (512) está listo al lado derecho de la tabla.

Fig. 36 436 + 144 + 299 + 512 + 2400 Fig. 37 … + 2400 y cambio de fichas (10 por 1).

En la figura 36, el cuarto sumando (512) se ubicó de tal manera que las 5 centenas llenen

las casillas del 800 al 1200 de la franja amarilla, utilizando 5 fichas amarillas que valen 100 cada

una; la decena llene la casilla 170 de la franja azul, utilizando 1 ficha azul que vale 10; las 2

unidades llenen las casillas 20 y 21 de la franja verde, utilizando 2 fichas verdes. Observe que el

quinto sumando (2400) está listo al lado derecho de la tabla.

En la figura 37, el quinto sumando (2400) se ubicó de tal manera que las 2 unidades de

mil llenen las casillas 1000 y 2000 de la franja naranja, utilizando 2 fichas naranja que valen

1000 cada una; las 4 centenas llenen las casillas del 1300 al 1600 de la franja amarilla, utilizando

4 fichas amarillas que valen 100 cada una; no hay decenas ni unidades para ubicar en la tabla.

En la misma figura 37 se cambiaron 10 fichas amarillas (1000) por 1 naranja (1000), 10

azules (100) por una amarilla (100) y 20 verdes (20) por 2 azules (20).


En la figura 38, la ficha naranja que se cambió se colocó en la casilla 3000, las 6 fichas

amarillas y la que se cambió se colocaron en las casillas del 100 al 700 y las 7 fichas azules con

las dos que se cambiaron se colocaron en las casillas del 10 al 90. La única ficha verde que

quedó se colocó en la casilla 1.

Figura 38. 436 + 144 + 299 + 512 + 2400 = 3791

Analizando la figura 38 se puede obtener la respuesta final. Suma total =3791

7.4.1.2 Sumar 2425 + 1678 + 543 +309 +87.

Se sigue un procedimiento similar al ejercicio 1.

Figura 39. 2425 + 1678 Figura 40. 2425 + 1678 + 543


En las figura 39 se ubicó el primer sumando (2425) y está listo el segundo (1678). En la

figura 40 se ubicó el segundo sumando (1678) y se alistó el tercero (543). En la figura 41 se

ubicó el tercer sumando y se cambiaron 10 fichas amarillas por una naranja, 10 fichas azules por

una amarilla y 10 verdes por una azul y se alistó el cuarto sumando (309).

Figura 41. 2425 + 1678 + 543 +309 Figura 42. 2425 + 1678 + 543 +309 +87

En la figura 42 se ubicó el cuarto sumando (309) y la ficha naranja que se cambió se

colocó en la casilla 4000, la ficha amarilla que se cambió se colocó en la casilla 1900 y la ficha

azul que se cambió con las tres que habían se colocaron en las casillas del 10 al 40. Las fichas

verdes que quedaron se colocaron en las casillas del 1 al 15.

En la figura 43 ya está ubicado el último sumando (87), se cambiaron 10 fichas azules por

una amarilla y 20 verdes por 2 azules. En la figura 44 la amarilla que se cambió con las 9

amarillas que habían se cambiaron por una ficha naranja y se ubicaron bien las azules y las

verdes.


Figura 43. 2425 + 1678 + 543 +309 +87 Figura 44. Ya se ve la respuesta=5042

En la figura 45 se ubicó bien la ficha naranja y queda clara la respuesta: 5042.

Figura 45. 2425 + 1678 + 543 +309 +87=5042

7.4.2 Resta de números naturales.

7.4.2.1 Restar 5968 − 1245.


Para restar dos números naturales se ubica el minuendo (5968) de la misma manera que

para sumar (Fig. 46). Como restar es quitar, se retira una ficha naranja (1000), 2 fichas amarillas

(200), 4 azules (40) y 5 verdes (5). La respuesta se obtiene de las fichas que quedaron: 4723.

Figura 46. 5968 − 1245 = 4723

7.4.2.2 Restar 1465 − 528.

Del minuendo (1465), que se ubica de la misma manera que en los ejercicios anteriores

(Fig. 47), se debe restar 5 centenas, 2 decenas y 8 unidades (528).

Figura 47. 1465 − 528

Como el minuendo sólo tiene 5 unidades, no se pueden retirar 8, por lo tanto se cambia una

ficha azul por 10 verdes para completar 15 unidades, de las que sí se pueden retirar 8. Como el


minuendo sólo tiene 4 centenas, no se pueden retirar 5, por lo tanto se cambia la ficha naranja

por 10 amarillas para completar 14, de las que sí se pueden retirar 5. En la figura 48 se puede

ver que, después de los cambios, se pueden retirar las 5 centenas, las 2 decenas y las 8 unidades.

La respuesta se puede obtener de la figura 49.

Figura 48. Tabla con los cambios. Figura 49. 1465 − 528 = 937

7.4.2.3 Restar 20000 − 13579

Como el minuendo tiene 0 unidades, 0 decenas, 0 centenas y 0 unidades de mil y 2

unidades de diez mil (Fig. 50), no se pueden retirar las fichas correspondientes al sustraendo.

Figura 50. 20000 − 13579


La figura 51 muestra los cambios que se hicieron: una ficha morada (10000) por 10

naranjas (10000), una naranja (1000) por 10 amarillas (1000) y una azul por 10 verdes, quedando

1 ficha morada, 9 fichas naranja, 9 fichas amarillas, 9 fichas azules y 10 fichas verdes. Ya se

pueden retirar 1 ficha morada, 3 naranjas, 5 amarillas, 7 azules y 9 verdes.

Figura 51. Cambio de fichas (1 por 10). Figura 52. 20000 − 13579 = 6421

La figura 52 muestra en la tabla la diferencia (6421) y al lado derecho el sustraendo

(13579). Si se vuelven a sumar todas las fichas a la tabla se obtiene el minuendo (20000).


7.5 PRESENTACIÓN EN POWER POINT DE “EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO” (Ver

la presentación en el CD adjunto).

7.6 CONFERENCIAS, TALLERES Y PONENCIAS

Conferencias con el tema “El Álgebra es un Juego”:

Cámara de Comercio de Manizales, Universidad Nacional de Colombia, Asociación Colegio

Granadino, Colegio San Luis de Manizales, Normal Superior de Riosucio, Profesores de

Aranzazu, Tercer Foro para la Enseñanza y Aprendizaje en el Colegio Bolívar de Cali,

Colegio Champagnat de Popayán, Universidad Católica de Manizales, Instituto Universitario de

Caldas (en las tres jornadas), Universidad de Caldas, Normal Superior de Caldas, Normal de

Aranzazu, Institución Educativa La Trinidad, Institución Educativa San Antonio de Arma,

Institución Educativa Marino Gómez de Aguadas, Colegio Autónoma de Manizales.

Talleres con el tema “El Álgebra es un Juego”:

CAPACITACIÓN DIRIGIDA A PROFESORES DEL MUNICIPIO DE AGUADAS,

COLEGIO MARINO GÓMEZ ESTRADA, Febrero 16 de 2007.

CAPACITACIÓN DIRIGIDA A PROFESORES DE SECUNDARIA DE LA UNIVERSIDAD

PONTIFICIA BOLIVARIANA, Mayo de 2007, Medellín.

CAPACITACIÓN DIRIGIDA A PROFESORES DE MATEMÁTICAS DEL ITM (INSTITUTO

TECNOLÓGICO METROPOLITANO), Noviembre 7 de 2007, Medellín.

CAPACITACIÓN DIRIGIDA A PROFESORES DE PRIMARIA Y SECUNDARIA

DE LA INSTUCIÓN EDUCATIVA SANTA ISABEL, Febrero de 2009,

Dosquebradas, Risaralda. .. ..


CAPACITACIÓN DIRIGIDA A PROFESORES DE PRIMARIA Y

SECUNDARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA LA DIVINA PROVIDENCIA, Febrero

de 2010, La Virginia, Risaralda.

Ponencias con el tema “El Álgebra es un Juego”:

THE 3rd ANNUAL FORUM ON TEACHING & LEARNING, March 31–April 1,

2000, Colegio Bolívar, Cali. ENCUENTROS DE PROFESORES LATINOAMERICANOS,

Palacio de Convenciones de La Habana, Cuba, Enero de 2001 y Enero de 2003 (Ver Figuras 53 y

54). VII ENCUENTRO NACIONAL DE PROFESORES INVESTIGADORES E

INNOVADORES EN LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, Octubre 17 de 2003,

Expociencia Bogotá. PREMIO COMPARTIR AL MAESTRO 2001, 2003, Fundación

Compartir, Bogotá (El trabajo fue reconocido con Mención de Honor en los años 2001 y 2003 y

la postulación de 2003 fue una de las 73 seleccionadas entre 2316, ver Figuras 55, 56 y 57).

Figura 53. Exposición del Juego en Cuba


Figura 54. Demostración con el Juego en Cuba.

Figura 55. Propuesta entre las mejores 73.


Figura 56. Mención de Honor 2001.


Figura 57. Mención de Honor 2003.

Education

Trabajo final maestria