Extremos condicionados

Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II Página 1 de 12

Extremos condicionados - Método de los Multiplicadores de Laplace Ejercicios seleccionados de los textos: • Cálculo, Trascendentes tempranas – J. Stewart – 6° edición • Calculus – T. Apostol – Vol II • Cálculo Vectorial – J. Marsden, A. Tromba – 3° edición 1) Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera de radio r . 2) Calcule los valores extremos de xyeyxf ),( en la región descripta por la desigualdad

14 22 yx . 3) Mediante multiplicadores de Lagrange encuentre los valores máximo y mínimo de la función

xyzzyxf ),,( sujeta a la restricción 632 222 zyx . 4) Hallar los puntos de la curva intersección de las dos superficies 1222 zyxyx y

122 yx que están más próximos al origen. 5) Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de

un punto de la elipse 44 22 yx a la recta 4 yx . 6) Considerar la función 22),( yxyxyxf en el disco unitario 1/),( 22 yxyxD .

Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar los puntos máximo y mínimo para la f en el círculo unitario. Usar esto para determinar los valores máximo y mínimo absolutos de f en D.

Soluciones 1) Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera de radio r Comencemos con un esquema. Llamemos con a, b y c a las dimensiones de la caja rectangular inscripta en la esfera. Cómo la esfera de radio r y la caja rectangular son simétricas respecto al origen, podemos dibujar un corte con un plano que pase por el origen de coordenadas y obtenemos el esquema siguiente (el eje x está saliendo de la hoja):

La función volumen queda expresada por xyzzyxV 8),,( con 0,0,0 zyx Llamemos 222),,( zyxzyxg . Nuestro problema queda expresado así:

La función que debemos maximizar es el volumen de la caja, es decir, a.b.c, sujeto a la restricción de que los vértices de la caja estén sobre la esfera. Una vez ubicado el sistema de coordenadas, observamos que

zcybxa

222

Y la restricción está dada por la ecuación 2222 rzyx

b

c

r


Apliquemos el método de multiplicadores de Lagrange a éste problema. El sistema que debemos resolver es:

2),,(

),,(),,(rzyxg

zyxgzyxV

2222

282828

rzyxzxyyxzxyz

Como x , y y z son positivos, λ es no nulo y podemos multiplicar la primer ecuación por x, la segunda por y y la tercera por z y dividir por λ para obtener el sistema equivalente:

2222

2

2

2

/4/4/4

rzyxzxyzyxyzxxyz

Las primeras tres ecuaciones nos dicen que 222 zyx y reemplazando en la última ecuación obtenemos

0

34,3/3 22

xryrxrx

Además

30,0,0

222

rzyxzyx

zyx

Luego el volumen máximo es 33/8),,( 3

333rV rrr 33

98 r

2) Calcule los valores extremos de xyeyxf ),( en la región descripta por la desigualdad

14 22 yx

Buscaremos los puntos críticos de f resolviendo el sistema )0,0(f y nos quedaremos sólo

con aquellos puntos que sean interiores a B (puntos que verifican 14 22 yx ).

Observemos que la región 14/),( 222 yxRyxB

es una región cerrada y acotada, por lo tanto la función f alcanzará en B su máximo y mínimo en el interior o en la frontera. Para hallarlos, trabajaremos en dos etapas:

Maximizar ),,( zyxV Sujeto a g(x,y,z) = r2


Buscaremos valores extremos en la frontera de la región B (elipse de ecuación 14 22 yx ) mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.

Busquemos los valores extremos interiores a la región B:

2),(0)0,0(),(00

)0,0(),(

),(),(

Ryxepuesyxexey

yxf

exeyyxf

yxyx

yx

yxyx

Punto crítico: (0,0) B. Analizaremos ahora si es un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto silla, mediante la prueba de la segunda derivada:

1)0,0(

),(),(

0)0,0(,),(

0)0,0(,),(2

2

xy

yxyxyx

xy

yyyx

yy

xxyx

xx

f

yxfeeyxyxf

fexyxf

feyyxf

10110

)0,0()0,0()0,0()0,0(

yyyx

xyxx

ffff

D < 0

Como D < 0, f(0,0) no es un máximo relativo ni un mínimo relativo. (0,0) es un punto silla de f y la gráfica de f cruza el plano tangente en (0,0, f(0,0)) Si representamos la superficie de ecuación yxez podemos ver que en el punto crítico (0,0) no hay máximo ni mínimo:

-0.2-0.1

00.1

0.2

x

-0.2-0.1

00.1

0.2y

0.96

0.98

1

1.02

1.04

z

0.96

Busquemos los valores extremos en la frontera de la región B: La frontera de B está formada por los puntos de la elipse de ecuación 14 22 yx . Nuestro problema ahora es hallar los máximos o mínimos de la función f sujeta a la condición 14 22 yx . Sea 22 4),( yxyxg . La condición 14 22 yx equivale a 1),( yxg . Nuestro problema queda expresado:

Claramente se ve que en el punto (0,0) la función no posee un extremo


Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar valores extremos, tenemos que resolver el siguiente sistema:

1),(),(),(

yxgyxgyxf

)3(14)2(8)1(2

22 EyxEyexExey

yx

yx

El sistema con incógnitas yx, y no es lineal. • Sabemos que 0 yxe y podemos deducir que 0 , dado que en caso contrario de las ecuaciones E1 y E2 obtendríamos que x = 0 e y = 0 pero estos valores no verifican E3. • Razonando de manera muy similar obtenemos que 0x e 0y . ¿Por qué razonamos primero de esta manera, en vez de empezar a resolver el sistema? Porque ahora tenemos la libertad de dividir por cualquiera de estas expresiones, dado que ninguna es nula! Ahora vamos a resolver el sistema. La forma de resolver este tipo de sistemas (no lineales) no es única, dependerá del sistema y de la forma particular en que cada persona decida como comenzar. Dividiendo miembro a miembro la ecuación E2 por la E1 obtenemos:

22 4428 yx

xy

yx

xy

eyex

yx

yx

(*)

Reemplazando x2 en la ecuación E3 por la expresión obtenida en (*) tenemos:

42

4218

144

212

22

22

yoyy

yxyx

La expresión (*) también puede expresarse así: yx 2 , por lo cual obtenemos cuatro puntos en

los que evaluar la función:

42,

22,

42,

22,

42,

22,

42,

22

Para saber cual es el máximo y el mínimo, evaluamos f en cada uno de estos puntos:

),( yx ),( yxf Conclusión

)0,0( 1 Punto silla

42,

22 ,

42,

22

41e Máximo Absoluto

42,

22 ,

42,

22

41e Mínimo Absoluto

Maximizar / Minimizar f (x,y)

Sujeta a g (x,y) = 1


Veamos el problema desde el punto de vista geométrico. Grafiquemos la superficie de ecuación

yxeyxfz ),( y la restricción:

-1-0.5

00.5

1

x

-2-1

0

1

2y

01

2

3

4

z

01

2

Superficie

-1-0.5

00.5

1

x-0.5-0.2500.250.5y

0

1

2

3

z

-1-0.5

00.5

1

x0

1

2

Restricción: cilindro elíptico

Observación: es importante destacar la diferencia entre el valor máximo o mínimo y el punto donde se alcanza ése valor:

- el mínimo de f en la región B vale 41e y lo alcanza en los puntos

42,

22

42,

22 y

- el máximo de f en la región B vale 41

e y lo alcanza en los puntos

42,

22

42,

22 y

IMPORTANTE: no debemos olvidar que el sistema tiene tres incógnitas: x, y y . Al resolver el sistema debemos hallar ternas ),,( yx que verifiquen TODAS las ecuaciones. En este ejercicio, si

despejamos de la primer ecuación tenemos yex yx

8

y reemplazamos con los valores

obtenidos para x e y anteriormente llegamos a las soluciones

),( yx

42,

22 4

1

41 e

42,

22 4

1

41 e

42,

22 4

1

41 e

42,

22 4

1

41 e

En el contexto del problema nos interesan los puntos ),( yx por eso no hacemos énfasis en los valores de , pero no debe olvidarse que las ternas deben verificar el sistema.


Juntemos ahora ambas superficies en un mismo gráfico:

-1

-0.5

0

0.5

1

x

-1

-0.5

0

0.5

1

y

0

1

2

3

z

-1

-0.5

0

0.5

1

x

0

1

2

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

00.5

1

0.5

1

1.5

2

-0.50

0.5

1

0.5

1

1.5

3) Mediante multiplicadores de Lagrange encuentre los valores máximo y mínimo de la función

xyzzyxf ),,( sujeta a la restricción 632 222 zyx Llamemos ),,( zyxg 222 32 zyx El problema queda expresado por: Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange, el sistema que debemos resolver es

El ejercicio resuelto previamente nos dio los extremos de la función (hojuela) en el interior y la frontera del cilindro elíptico.

Si graficamos ahora la curva intersección del cilindro y la superficie junto con la superficie veremos algo así: El método de los multiplicadores de Lagrange nos dio los extremos de la función sobre dicha curva.

Maximizar / Minimizar ),,( zyxf Sujeta a g(x, y, z) = 6


6),,(),,(),,(

zyxgzyxgzyxf

)4(632)3(6)2(4)1(2

222 ezyxezxyeyxzexyz

Caso 1: si suponemos que x, y y z son no nulas, podemos multiplicar la primera ecuación por x, la segunda por y y la tercera por z obtenemos una relación entre los cuadrados de las variables:

222

2

2

2

32642

zyxzzxyyyxzxxyz

Reemplazando en la cuarta ecuación tenemos

263 22 xx 2x 32,1 zy

Los puntos críticos son 8. Para evaluar la función en cada punto, es útil ver que el valor absoluto va a ser el mismo para todos los puntos (porque se multiplican las coordenadas) y lo único distinto va a ser el signo, de acuerdo a la cantidad de factores positivos o negativos. De esta manera tenemos que: • 32,1,2f 32,1,2f 32,1,2f 32,1,2f

3

323

2

En todos estos puntos 63

321

2

xzy

• 32,1,2f 32,1,2f 32,1,2f 32,1,2f

3

323

2

En estos otros cuatro puntos 63

321

2

xzy

Caso 2: ¿Qué sucede si alguna de las variables es nula? Supongamos que x = 0. El sistema quedaría:

)4(632)3(60)2(40

)1(0

22 ezyezey

eyz

De (e1) tenemos: 000 zyyz y no simultáneamente nulas pues sino no se verificaría (e4).

2,00 zy

3,00 yz

Obtenemos los puntos )0,3,0()2,0,0( y

Razonando de manera similar con y = 0 o z = 0 se pueden obtener los puntos )0,0,6(


La función f evaluada en cada uno de estos puntos da 0. Resumiendo todo lo razonado anteriormente:

• Valor máximo de f: 3

323

2 = 32,1,2f 32,1,2f

= 32,1,2f 32,1,2 f

• Valor mínimo de f: 3

323

2 = 32,1,2f 32,1,2f

= 32,1,2f 32,1,2 f 4) Hallar los puntos de la curva intersección de las dos superficies 1222 zyxyx y

122 yx que están más próximos al origen. Para resolver este problema no es necesario que busquemos la curva intersección de las superficies, sino que podemos comprender que imponen dos restricciones al problema: que los puntos más próximos al origen pertenezcan a las dos superficies. Sean ),,( zyxg 222 zyxyx y ),,( zyxh 22 yx

La función a minimizar es la distancia al origen: 222 zyxd , pero trabajaremos con el

cuadrado de la distancia por ser más sencillos los cálculos: ),,( zyxf 222 zyx Nuestro problema queda expresado: Apliquemos el método de multiplicadores de Lagrange, teniendo ahora dos restricciones:

1),,(1),,(

),,(),,(),,(

zyxhzyxg

zyxhzyxgzyxf , R

11

100)1(0.)2(22)2(22)2(2

22

222

yxzyxyx

zzzzzzyxyyxyxx

Minimizar ),,( zyxf Sujeto a ),,( zyxg 1 ),,( zyxh 1


1° CASO: 0z Analizando las dos últimas ecuaciones del sistema, obtenemos 000 yxxy y no simultáneamente nulas, pues sino no se verificaría la última ecuación. 10 yx , 1,0 (verificar) 10 xy , 1,0 (verificar) Obtenemos los puntos )0,1,0(0,0,1 y . Evaluando la función distancia tenemos:

1)0,1,0()0,0,1( dd 2° CASO: 1

Reescribimos el sistema:

11

)24()24(

11

0.)2(22)2(22)2(2

22

222

22

222

yxzyxyx

zzxyyx

yxzyxyx

zzyxyyxyxx

La expresión 024 pues en caso contrario, de la primer ecuación obtendríamos y=0 y de la segunda x=0, pero esos valores no verifican la ultima ecuación del sistema. Trabajemos con las dos primeras ecuaciones (y luego veremos si los resultados obtenidos verifican las restantes ecuaciones):

1240)24()24(

)24()24(

2

xxxyx

xyyx

0y yx pues no verifica la última ecuación del sistema Reemplazando la igualdad obtenida en la última ecuación del sistema, obtenemos

2

1 yx

Reemplazando estos valores en la ecuación 1222 zyxyx , vemos que no existe solución real para este caso:

• 211

21

21 22 zzyx no tiene solución real.

• La misma situación se obtiene para 2

1 yx

Conclusión: la mínima distancia vale 1 y se alcanza en los puntos )0,1,0(0,0,1 y


5) Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un punto de la elipse 44 22 yx a la recta 4 yx La función que vamos a maximizar y minimizar es la distancia de un punto de la elipse a la recta dada. Recordando lo aprendido en Algebra I, si tenemos la recta dada en la forma 0 cbyax , la

distancia de un punto ),( oo yxP a la recta está dada por la expresión 2

2 ba

cbyax ood

.

Sean 2

4),(

yxyxd , 22 4),( yxyxg

Nuestro problema puede expresarse: Como para aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange necesitamos las derivadas parciales de f, nos será útil prescindir del valor absoluto, analizando el problema primero.

Resolveremos el problema El sistema esta expresado por:

44

82

1

22

1

22 yx

y

x

De las dos primeras ecuaciones podemos deducir que 00,0 yyx

Maximizar / minimizar d(x,y)

Sujeta a g(x,y) = 1

Como se puede observar en el gráfico, los puntos que estamos buscando están ubicados en el semiplano definido por inecuación 04 yx . Entonces podemos trabajar con la función

2/)4(),( yxyxf en vez de la expresión de d(x,y) con el valor absoluto.

Maximizar / minimizar 2

4),(

yxyxf

Sujeta a 44 22 yx

mínima distancia

máxima distancia


Igualando las dos primeras ecuaciones obtenemos la relación yx 4 que junto con la tercer ecuación

nos da los valores 5

4x

16100,

16100 daxdax

Los puntos encontrados son:

5

1,5

45

1,5

4 y

Finalmente,

distancia mínima: 247,12

545

1,5

4

f

distancia máxima: 409.42

545

1,5

4

f

que corresponden a las longitudes de los segmentos perpendiculares a la recta de color rosa y azul respectivamente. 6) Considerar la función 22),( yxyxyxf en el disco unitario 1/),( 22 yxyxD . Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar los puntos máximo y mínimo para la f en el círculo unitario. Usar esto para determinar los valores máximo y mínimo absolutos de f en D Para buscar los extremos en el interior del disco unitario, procedemos a resolver la ecuación

)0,0(),( yxf para buscar los puntos críticos de la función, y nos quedaremos con aquellos que estén dentro del círculo.

)0,0(),(

0202

)0,0(),(

)2,2(),(

yxyxyx

yxf

yxyxyxf

Para saber si la función tiene un máximo, mínimo o punto silla en (0,0) evaluamos:

02)0,0(

032112

)0,0()0,0()0,0()0,0(

xx

yyyx

xyxx

f

ffff

D

Más aún, 0)0,0( f Busquemos los extremos en la circunferencia unitaria 122 yx utilizamos el método de los multiplicadores de Lagrange. Sea 22),( yxyxg . Debemos resolver el problema

El sistema que debemos resolver es

f (0,0) es un mínimo relativo

Maximizar / Minimizar f ( x , y )

Sujeta a g ( x , y ) = 1


)3(1)2(22)1(22

1),(),(),(

22 eyxeyyxexyx

yxgyxgyxf

Reescribiendo el sistema:

1)1(2

)1(2)1(2

22 yxxy

xyyx

Observemos que 1 pues sino de las dos primeras ecuaciones obtenemos x = 0, y = 0 y no se verifica la tercer ecuación. Reemplazando la expresión para y obtenida en la primer ecuación en la segunda tenemos: 4

1222 )1(001)1(4)1(4)1()1(22 xxxxxx Caso 1: 00 yx por la primer ecuación del sistema pero 10)0,0( g . Se descarta este caso. Caso 2: 2

321

412)1(

•

12221

yxxyyx

2

1 yx

Obtenemos los puntos y

21,

21

21,

21

•

12223

yxxyyx

2

1 yx

Obtenemos los puntos y

2

1,2

1

21,

21

Resumamos todo el análisis en una tabla:

),( yx ),( yxf Conclusión

( 0,0 ) 0 Mínimo absoluto

2

1,2

1 ½ Mínimo relativo

2

1,2

1 ½ Mínimo relativo

2

1,2

1 3/2 Máximo absoluto

21,

21 3/2 Máximo absoluto

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