1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MEXICALI, Equipo Rojo, Ing. Química

PRÁCTICA #2

“Flujo Reptante (Ley de Stokes)”

OBJETIVO GENERAL:

Determinar la viscosidad de una sustancia con respecto a la velocidad con la que

desciende un objeto sumergido dentro de la misma.

Objetivos Específicos:

- Obtener una fórmula en base a variables conocidas para la determinación de la

viscosidad de la sustancia.

- Observar el comportamiento del objeto sumergido en la sustancia.

MARCO TEÓRICO:

Número de Reynolds

El número de Reynolds (Re) es un parámetro adimensional cuyo valor indica si el flujo

sigue un modelo laminar o turbulento. El número de Reynolds depende de la velocidad

del fluido, del diámetro de tubería, o diámetro equivalente si la conducción no es circular,

y de la viscosidad cinemática o en su defecto densidad y viscosidad dinámica.

𝑅𝑒 =𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠

𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠 =

𝜌𝐷𝑉

𝜇

En una tubería circular se considera:

• Re < 2300 El flujo sigue un comportamiento laminar.

• 2300 < Re < 4000 Zona de transición de laminar a turbulento.

• Re > 4000 El fluido es turbulento.

Rozamiento.

Recibe el nombre de rozamiento, la fuerza en dirección del flujo, que el fluido ejerce

sobre el sólido. De acuerdo con la tercera ley de Newton, el cuerpo ejerce sobre el fluido

una fuerza igual y opuesta. Cuando la pared del cuerpo es paralela a la dirección del flujo,

como en el caso de una lámina delgada y plana, la única fuerza de rozamiento es el

esfuerzo cortante de la pared. Sin embargo, lo más corriente es que la pared del cuerpo

sumergido, forme un ángulo con la dirección de flujo. En este caso la componente del

esfuerzo cortante de pared en la dirección de flujo contribuye al rozamiento. Por otra

parte, la presión del fluido, que actúa en dirección normal a la pared, posee una

componente en la dirección de flujo y esta componente contribuye también al rozamiento.

El rozamiento total integrado, debido al esfuerzo cortante en la pared, se llama rozamiento

de pared y la magnitud correspondiente debida a la presión recibe el nombre de

rozamiento de forma. Los fenómenos que dan lugar a rozamiento, tanto de pared como

de forma, en fluidos reales, son complicados y, en general no se pueden predecir. Para

esferas y otras formas regulares a bajas velocidades del fluido, se pueden estimar los

modelos de flujo y las fuerzas de rozamiento por métodos numéricos, para formas

irregulares y velocidades elevadas es preciso recurrir a medidas experimentales.

Coeficientes de Rozamiento.

El factor de fricción se define como la relación entre el esfuerzo cortante y el producto de

la carga de la velocidad por la densidad. En el caso de sólidos sumergidos, se emplea un

factor análogo, llamado coeficiente de rozamiento. Considérese una esfera lisa, sumergida

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en un fluido en movimiento y situada a una distancia suficientemente alejada de las

superficies sólidas, que limitan la corriente, con el fin de que la corriente que se aproxima

a la misma lo haga con flujo potencial. El área proyectada por un cuerpo sólido, se define

como el área que se obtiene al proyectar el cuerpo sobre un plano perpendicular a la

dirección del flujo. Para una esfera, el área proyectada es igual a la de un círculo máximo,

o sea (𝜋

4)𝐷𝑝

2 siendo 𝐷𝑝 el diámetro. Si 𝐹𝐷 es la fuerza de rozamiento total, la fuerza de

rozamiento media por unidad de área proyectada es 𝐹𝐷 𝐴𝑝⁄ . De la misma forma que el

factor de fricción, 𝑓, se define como la

relación entre 𝜏𝑤 y el producto de la

densidad del fluido por la carga de la

velocidad, el coeficiente de

rozamiento, que se representa por 𝐶𝐷,

se define como la relación entre

𝐹𝐷 𝐴𝑝⁄ y el producto indicado

anteriormente, o sea:

𝐶𝐷 ≡ 𝐹𝐷 𝐴𝑝⁄

𝜌𝑢02 2𝑔𝑐⁄

Siendo 𝑢0la velocidad de la corriente que se aproxima (suponiendo que 𝑢0 = �̅�0).

Para partículas no esféricas es necesario especificar el tamaño y la forma geométrica del

cuerpo, así como su orientación con respecto a la dirección de flujo del fluido.

Flujo Reptante (Ley de Stokes)

Para números de Reynolds bajos, la fuerza de frotamiento que actúa sobre una esfera

cumple la ecuación teórica, llamada Ley de Stokes, que puede escribirse:

𝐹𝐷 = 3𝜋𝜇𝑢0𝐷𝑝

𝑔𝑐

Un tercio del frotamiento total se debe al frotamiento de forma y los otros dos tercios

corresponden al frotamiento de pared. El coeficiente de frotamiento que predice la ley de

Stokes es:

𝐶𝐷 = 24

𝑁𝑅𝑒,𝑝

En teoría, la ley de Stokes es válida solamente cuando 𝑁𝑅𝑒,𝑝 es considerablemente menor

que la unidad. En la práctica, pueden utilizarse las dos ecuaciones anteriores con un error

pequeño, para números de Reynolds menores que 1. A las velocidades más bajas, para las

que se cumple la ley, la esfera se mueve a través del fluido deformándolo. El esfuerzo

cortante de pared es el resultado de las fuerzas viscosas solamente, mientras que las

fuerzas de inercia son despreciables. El movimiento de la esfera afecta al fluido a

distancias considerables de la misma, y si a una distancia inferior a 20 o 30 diámetros de

la esfera existe alguna pared sólida, es preciso corregir la ley de Stokes para tener en

cuenta el efecto de dicha pared. El tipo de flujo descrito por la ley de Stokes se denomina

flujo reptante. La ley es especialmente útil para calcular la resistencia de partículas

pequeñas, tales como polvo o niebla, moviéndose a través de gases o líquidos poco

viscosos, o bien para el movimiento de partículas mayores a través de líquidos muy

viscosos. En general la ley de Stokes es válida en el movimiento de partículas esféricas

pequeñas moviéndose a velocidades bajas.

Figura 1 Flujo alrededor de una esfera sumergida.

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La condición de bajos números de Reynolds implica un flujo

laminar lo cual puede traducirse por una velocidad relativa entre la

esfera y el medio inferior a un cierto valor crítico. En estas

condiciones la resistencia que ofrece el medio es debida casi

exclusivamente a las fuerzas de rozamiento que se oponen al

deslizamiento de unas capas de fluido sobre otras a partir de la capa

límite adherida al cuerpo. La ley de Stokes se ha comprobado

experimentalmente en multitud de fluidos y condiciones.

Si las partículas están cayendo verticalmente en un fluido

viscoso debido a su propio peso puede calcularse su velocidad de

caída o sedimentación igualando la fuerza de fricción con el peso

aparente de la partícula en el fluido. Un cuerpo que cumple la ley

de Stokes se ve sometido a dos fuerzas, la gravitatoria y la de arrastre. En el momento

que ambas se igualan su aceleración se vuelve nula y su velocidad constante.

donde:

Vs = velocidad de caída de las partículas (velocidad límite) (m/s)

g = aceleración de la gravedad (m/s2)

ρp = densidad de las partículas (kg/m3)

ρf = densidad del fluido (kg/m3)

η = viscosidad del fluido (Pa*s)

r = radio equivalente de la partícula (m)

En teoría, la ley de Stokes es válida solamente cuando Re es considerablemente menor

que la unidad, es decir, que la esfera se desplace en fluidos altamente viscosos.

Aplicaciones.

La ley de Stokes es importante para el entendimiento de la natación de microorganismos

y espermas, también la sedimentación, bajo la fuerza de gravedad, de pequeñas partículas

y organismos en el agua. En el aire, la misma teoría puede ser usada para explicar por qué

las pequeñas gotitas acuáticas (o cristales de hielo) pueden permanecer suspendidas en el

aire (como nubes) hasta que crezcan a una talla crítica y comiencen a caerse como la

lluvia (o nieve). El uso similar de la ecuación se puede hacer en el establecimiento de

partículas finas en el agua u otros fluidos.

Experimento para la Ley de Stokes

El experimento consiste en lanzar una esfera (material variable)

cuyo diámetro sea conocido o pueda ser determinado, en la parte

superior de un tubo dispuesto verticalmente donde en el interior del

mismo se encuentre la sustancia a la cual se desea determinar la

viscosidad. Una vez lanzada la esfera dentro del tubo, se mide la

distancia recorrida desde el punto inicial hasta que toca el fondo del

tubo y el tiempo que ésta tardó. Una vez determinadas estas

variables se procede a determinar la viscosidad del fluido con la

Ley de Stokes.

En la mayoría de los textos se sugiere, solamente de forma

cualitativa, que las esferas utilizadas sean de radio pequeño y

algunos ponen otra condición y es que el número de Reynolds sea

Figura 2 Fuerzas, Ley de

Stokes

Figura 3 Esfera cayendo

en una sustancia viscosa

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mucho menor que 1. Finalmente, se indica que la velocidad límite medida

experimentalmente debe corregirse, mediante la ecuación conocida con el nombre de

Ladenburg, debido a que la esfera se mueve en un medio limitado y no en un fluido de

extensión infinita.

𝜈𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎 = 𝜈𝑙 = (1 + 2.4𝐷

𝜑)𝜈𝑝𝑟𝑜𝑚

En la que 𝜑 es el diámetro interno del cilindro donde se ha determinado la velocidad

límite y D el diámetro de la esfera.

MATERIALES:

- Glicerina.

- Miel de Maple marca Karo.

- 3 canicas de diferentes tamaños.

- 2 probetas de 100ml.

- 1 Vernier.

- 1 Piseta.

- 1 Cronómetro.

- 7 lentes de seguridad.

- 1 regla.

- 1 vaso de precipitado 50ml.

PROCEDIMIENTO:

1. Lavar adecuadamente el material a utilizar.

2. Pesar las canicas a utilizar.

3. Medir los diámetros de las canicas utilizar.

4. Pesar cierto volumen de las sustancias a utilizar.

5. Calcular las densidades de las sustancias y canicas.

6. Vaciar la sustancia (miel o glicerina) en la probeta hasta llenarla a 100ml.

7. Delimitar una distancia en la probeta por la cual se empezará y terminará de contar

el tiempo en el que cae el objeto (de 40ml a 80ml).

8. Medir el radio de las canicas a utilizar.

9. Dejar caer una canica dentro de la probeta.

10. Contar el tiempo al momento que el objeto pase por la primer línea.

11. Dejar de contar el tiempo cuando el objeto pase por la línea final.

12. Capturar datos de distancia y tiempo.

13. Repetir los pasos 3, 4 y 5 varias veces y anotar datos.

14. Lavar el material utilizado.

15. Obtener viscosidades a partir de las fórmulas.

16. Realizar comparaciones y observaciones de los resultados obtenidos.

Figura 4 Canica "Galaxia" Figura 5 Canica

"Mediana"

Figura 6 Canica

"Roja"

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Figura 7 Líneas de distancia recorrida. Figura 8 Tomando el tiempo de caída.

Figura 9 Canica roja en miel de maple. Figura 10 Canica mediana en miel de maple.

Figura 11 Canica galaxia empezando recorrido. Figura 12 Canica galaxia en miel de maple.

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CÁLCULOS Y RESULTADOS:

Fórmulas a utilizar.

Para el cálculo de la viscosidad del fluido:

𝜂 = 2

9

𝑟2𝑔(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓)

𝜈𝑙𝑖𝑚

Para el cálculo de la velocidad límite:

1. Se obtiene una velocidad promedio con un dato de distancia y el tiempo en el que

la canica atraviesa esa distancia. 𝜐𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑥

𝑡

2. Se calcula la velocidad límite utilizando la fórmula de corrección empírica de

Landenburg. 𝜐𝑙𝑖𝑚 = (1 + 2.4𝐷

𝜑) 𝜐𝑝𝑟𝑜𝑚

Para el cálculo de las densidades (𝜌𝑝 y 𝜌𝑓):

1. Pesar el objeto, obtener el radio del mismo para sacar su volumen, y calcular la

densidad.

2. Pesar cierta cantidad de sustancia en un vaso de precipitado de cierto volumen y

calcular la densidad.

Diámetro interno de la probeta (𝜑): 27mm

Objeto Radio

(m)

Volumen

(m3)

Peso

(kg)

Densidad del

objeto (kg/m3)

Canica

“Galaxia”

0.0105 4.84x10-6 0.0138 2862.78

Canica

“Mediana”

0.008 2.14x10-6 0.0059 2767.47

Canica

“Roja”

0.00675 1.29x10-6 0.0038 2976.67

Sustancia Volumen

(ml)

Peso (gr) Densidad del

fluido (gr/ml)

Densidad del

fluido (kg/m3)

Miel de Maple

“Karo”

40 55.3603 1.384 1384.0075

Glicerina 40 49.7722 1.244 1244.305

Sustancia: Miel de Maple marca Karo

Densidad de la Sustancia: 1384.0075 kg/m3

PRIMER MEDICIÓN.

Objeto Tiempo

(s)

Distancia

(m)

Velocidad

media

(m/s)

Velocidad

límite

(m/s)

Viscosidad

(Pa*s)

Canica

“Galaxia”

98.52 0.085 8.62x10-4 2.47x10-3 143.70

Canica

“Mediana”

11.2 0.085 7.59x10-3 1.84x10-2 10.5

Canica

“Roja”

8.19 0.085 1.03x10-2 2.28x10-2 6.93

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SEGUNDA MEDICIÓN.

Objeto Tiempo

(s)

Distancia

(m)

Velocidad

media

(m/s)

Velocidad

límite

(m/s)

Viscosidad

(Pa*s)

Canica

“Galaxia”

99.79 0.085 8.51x10-4 2.44x10-3 145.55

Canica

“Mediana”

11.68 0.085 7.27x10-3 1.76x10-2 10.95

Canica

“Roja”

8.14 0.085 1.04x10-2 2.29x10-2 6.88

TERCER MEDICIÓN.

Objeto Tiempo

(s)

Distancia

(m)

Velocidad

media

(m/s)

Velocidad

límite

(m/s)

Viscosidad

(Pa*s)

Canica

“Galaxia”

98.79 0.085 8.6x10-4 2.46x10-3 144.09

Canica

“Mediana”

10.72 0.085 7.93x10-3 1.92x10-2 10.05

Canica

“Roja”

7.17 0.085 1.18x10-2 2.6x10-2 6.06

Sustancia: Glicerina

Densidad de la Sustancia: 1244.305 kg/m3

PRIMER MEDICIÓN.

Objeto Tiempo

(s)

Distancia

(m)

Velocidad

media

(m/s)

Velocidad

límite

(m/s)

Viscosidad

(Pa*s)

Canica

“Galaxia”

11.3 0.077 6.81x10-3 1.95x10-2 19.91

Canica

“Mediana”

2.74 0.077 2.81x10-2 6.8x10-2 3.12

Canica

“Roja”

1.99 0.077 3.87x10-2 8.51x10-2 2.02

SEGUNDA MEDICIÓN.

Objeto Tiempo

(s)

Distancia

(m)

Velocidad

media

(m/s)

Velocidad

límite

(m/s)

Viscosidad

(Pa*s)

Canica

“Galaxia”

9.16 0.077 8.4x10-3 2.41x10-2 16.14

Canica

“Mediana”

2.56 0.077 3.0x10-2 7.28x10-2 2.91

Canica

“Roja”

1.8 0.077 4.27x10-2 9.41x10-2 1.83

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TERCER MEDICIÓN.

Objeto Tiempo

(s)

Distancia

(m)

Velocidad

media

(m/s)

Velocidad

límite

(m/s)

Viscosidad

(Pa*s)

Canica

“Galaxia”

9.26 0.077 8.31x10-3 2.38x10-2 16.32

Canica

“Mediana”

2.41 0.077 3.19x10-2 7.74x10-2 2.74

Canica

“Roja”

1.75 0.077 4.4x10-2 9.68x10-2 1.77

PROMEDIO DE VISCOSIDADES

Sustancia/Viscosidad (Pa*s) Canica

“Galaxia”

Canica

“Mediana”

Canica

“Roja”

Miel de Maple “Karo” 144.45 10.50 6.62

Glicerina 17.46 2.93 1.87

ANÁLISIS:

En los cálculos del experimento realizado es posible percatarse de que, dependiendo del

radio de la canica, los valores de viscosidad obtenidos varían demasiado, pero en las

repeticiones del experimento utilizando la misma canica no cambian de gran manera.

Como datos bibliográficos es posible encontrar en fuentes de internet que la viscosidad

dinámica de la glicerina a temperatura ambiente es aproximadamente de 1.5Pa*s, es

posible darse cuenta que con la canica “roja” se obtuvo un resultado parecido, 1.87Pa*s.

De igual forma, es probable encontrar que la viscosidad dinámica de la miel de maple a

temperatura ambiente es aproximadamente de 6Pa*s (variando también dependiendo de

la empresa productora de miel), y se obtuvo en la práctica un resultado parecido con la

canica “roja”, de 6.62Pa*s. Además de ello, con el experimento realizado se puede

corroborar que el fundamento teórico es cierto, mientras más pequeña sea la partícula a

utilizar mucho más acertado será el resultado, ¿cómo es posible darnos cuenta? La

fórmula para estimar la velocidad límite nos indica que, cuando el diámetro de la probeta

es mucho más grande que el de la canica o partícula, la velocidad promedio obtenida será

mucho más acercada a la velocidad límite, por lo tanto, a mayor diámetro de la canica o

partícula, mucho mayor es el rango de error.

OBSERVACIONES:

La inexactitud obtenida en el cálculo de las viscosidades puede deberse a errores de tipo

humano en mediciones, cálculo de pesos y cronometraje. Además de ello en ocasiones la

canica utilizada se acercó mucho a las paredes de la probeta y eso pudo ocasionar ligeras

variaciones en los resultados. Otra observación es que una de las probetas tenía un tenue

grado de inclinación y pudo haber afectado.

FUENTES DE INFORMACIÓN:

Libros:

- McCabe, Julian. (1991). Operaciones Unitarias en Ingeniería Química. Cuarta

Edición. Editorial McGraw Hill. España.

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Internet:

- Cruz de San Pedro, Julio Cesar. Laboratorio de Fenómenos Colectivos: La

viscosidad de los líquidos. Consultado el 4 de Febrero del 2015 en:

http://www.lawebdefisica.com/files/practicas/fluidos/viscosidadliquidos.pdf

- Gatica, Carlos. Experimento para determinar la viscosidad de un fluido.

Consultado el 4 de Febrero del 2015 en:

http://algodeu.blogspot.mx/2011/10/experimento-para-determinar-la.html

- Número de Reynolds. Consultado el 4 de Febrero del 2015 en:

http://www.valvias.com/numero-de-reynolds.php

- La ley de Stokes. Consultado el 10 de Febrero en:

http://es.knowledger.de/0544872/LaLeyDeStokes

- Fernández, Ricardo; Hernández, José & Solá, Jaime. (2014). Puntualizaciones en

las aplicaciones didácticas de la ley de Stokes. Latin-American Journal of Physics

Education. Artículo consultado el 10 de Febrero en:

http://www.lajpe.org/march14/16_LAJPE_880_Ricardo_Fernandez.pdf