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Capítulo 3Descripción de datos, medidas de tendencia central

Objetivos: Al terminar este capítulo podrá:

1. Calcular la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geométrica.

2. Explicar las características, uso, ventajas y desventajas de cada medida de tendencia central.

3. Identificar la posición de la media aritmética, la mediana y la moda, tanto en distribuciones simétricas como asimétricas.

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Características de la media

La media aritmética es, con mucho, la medida de localización más usada.

Es calculada sumando los valores y dividiendo entre el número de valores.

Las principales características de la media son:- Requiere de una escala de intervalo.

- Todos los valores son utilizados. - Es única. - La suma de las desviaciones con respecto a la media

es cero.

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Media poblacional

Para datos no agrupados, la media poblacional es la suma de todos los valores de la población divididos entre el número total de valores de la población: donde µ es la media poblacional, N es el total de observaciones de la población y X un valor particular.

N

X

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Ejemplo 1

Un parámetro es una medida característica de la población.

Ejemplo 1: La familia Castro es propietaria de cuatro autos. Los siguientes datos corresponden al kilometraje de cada uno de ellos:56,000 23,000 42,000 73,000Encuentre la media aritmética del kilometraje de los autos:

µ = (56,000 + … + 73,000)/4 = 48,500

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Media muestral

Para datos no agrupados, la media muestral es la suma de todos los valores de la muestra dividida por el número de valores de la muestra. Donde n es el número total de valores en la muestra.

n

XX

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Ejemplo 2

Un estadístico es una medida característica de una muestra.

Ejemplo 2: Una muestra de cinco ejecutivos recibió los siguientes bonos el último año ($000):

14.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0

4.155

77

5

0.15...0.14

n

XX

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Propiedades de la media aritmética

Todos los datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tienen una media.

Para evaluar la media se consideran todos los valores. Un conjunto de datos sólo tiene una media la cual es un

valor único. La media es afectada por valores inusualmente grandes

o pequeños. La media aritmética es la única medida de tendencia

central donde la suma de las desviaciones de cada valor, respecto de la media, siempre es igual a cero.

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Ejemplo 3

Considere el siguiente conjunto de valores: 3, 8, y 4. La media es 5. Ilustrando la quinta propiedad:

0)54()58()53()( XX

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Media ponderada

La media ponderada de un conjunto de números X1, X2, …,Xn con pesos correspondientes w1, w2, …,wn es calculada con la siguiente fórmula:

)21

)2211

...(

...(

n

nnw

www

XwXwXwX

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Ejemplo 6

Durante el periodo de una hora, en una tarde calurosa de sábado, Cristina sirvió 50 refrescos. Ella vendió 5 bebidas de $0.50, 15 de $0.75, 15 de $0.90, y 15 de $1.15. Calcule la media ponderada para el precio de estas bebidas.

89.0$50

50.44$1515155

)15.1($15)90.0($15)75.0($15)50.0($5

wX

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La mediana

La mediana es el valor que corresponde al punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor.

Cincuenta por ciento de las observaciones son mayores que la mediana, y 50% son menores que ella.

Para un conjunto par de valores, la mediana será el promedio aritmético de los dos valores centrales.

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Ejemplo 4

Las edades de una muestra de 5 estudiantes del colegio son:

21, 25, 19, 20, 22 Ordenando los datos en forma ascendente, tenemos: 19, 20, 21, 22, 25. Entonces la mediana es 21. Las estaturas de 4 jugadores de basquetbol, en

pulgadas, son: 76, 73, 80, 75 Entonces la mediana es 75.5

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Propiedades de la mediana

Es única; esto es, a semejanza de la media, sólo existe una mediana para un conjunto de datos.

No se ve afectada por valores extremadamente grandes o muy pequeños, y por tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando se presenta esta clase de valores.

Puede calcularse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal.

Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en tal clase.

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La moda

La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia.

Ejemplo 5: Las calificaciones de 10 estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87

Dado que 81 es el dato que aparece con más frecuencia, éste es la moda.

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La media geométrica

La media geométrica (GM) de un conjunto de n números se define como la raíz enésima del producto de n números.

La media geométrica es útil para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento.

La fórmula es:

n nXXXXGM ))...()()(( 321

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Ejemplo 7

La tasa de interés de tres bonos son: 5, 21 y 4 por ciento.

La media aritmética es (5+21+4)/3 =10.0 La GM da una utilidad más conservadora porque no

está demasiado influenciada por la tasa del 21 por ciento.

La media geométrica es:

49.7)4)(21)(5(3 GM

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Media geométrica (Continuación)

Otro uso de la media geométrica es determinar el aumento porcentual en ventas, producción o series económicas de un periodo de tiempo a otro.

(Valor al principio del periodo)

Valor al final del periodo)( nGM

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Ejemplo 8

El número total de mujeres contratadas en Colegios Americanos se incrementó de 755,000 en 1992 a 835,000 en 2000. Esto es, la media geométrica o tasa de incremento es 1.27%.

0127.1000,755

000,8358 GM

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La media para datos agrupados

La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias es calculada por la siguiente fórmula:

n

XfX

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Ejemplo 9

Una muestra de 10 cines en una gran área metropolitana contó el número total de películas en exhibición la última semana. Calcule el número medio de películas en exhibición.

6.610

66

n

XX

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Ejemplo 9 (Continuación)

Películas en cartelera

Frecuencia

f

Punto medio de clase (X)

(f)(X)

1 hasta 3 1 2 2

3 hasta 5 2 4 8

5 hasta 7 3 6 18

7 hasta 9 1 8 8

9 hasta 11 3 10 30

Total 10 66

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La mediana para datos agrupados

La mediana de una muestra de datos agrupados en una distribución de frecuencias se calcula con:

donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, n es el número total de frecuencias, CF es la frecuencia acumulada precedente a la clase mediana, f es la frecuencia de la clase que contiene a la mediana, e i es la amplitud de la clase en que se encuentra la mediana.

)(2 if

CFn

LMediana

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Encontrar la clase que contiene a la mediana

Para determinar la clase que contiene a la mediana para datos agrupados:

Construya una distribución de frecuencias acumuladas.

Divida el número total de datos entre 2. Determine cuál clase contiene este valor. Por ejemplo, si n = 50, 50/2 =25, entonces

determine cuál clase contiene el valor en la posición 25.

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Ejemplo 10

Películas en cartelera

Frecuencia Frecuencia acumulada

1 hasta 3 1 1

3 hasta 5 2 3

5 hasta 7 3 6

7 hasta 9 1 7

9 hasta 11 3 10

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Ejemplo 10 (Continuación)

De la tabla, tenemos: L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, CF = 3

33.6)2(3

32

10

5)(2

if

CFn

LMediana

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La moda en datos agrupados

Para datos agrupados en una distribución de frecuencias, es posible aproximar la moda usando el punto medio de la clase que contiene el mayor número de frecuencias de clase.

Las modas en el ejemplo 10 son 8 y 10. Cuando dos valores ocurren un gran número de veces, la distribución es llamada bimodal, como en el ejemplo 10.

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Distribución simétrica

Cero asimetría moda = mediana = media

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Distribución con sesgo positivo

Asimetría positiva: media y mediana están a la derecha de la moda.

Moda<Mediana<Media

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Distribución con sesgo negativo

Asimetría negativa: media y mediana están a la izquierda de la moda.

Media<Mediana<Moda