Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC20Propiedades de los Materiales I Captulo 1 1.Estructura atmica y cristalina de los materiales. Introduccin. En el captulo anterior se definieron los cuatro niveles estructurales de los cuales dependen las propiedades de los materiales. Sin embargo, puesto que el objetivo que se persigue en este tema de estudio, es el de comprendery controlar losniveles delamicroymacroestuctura de losdiversosmateriales,conelfindemejorarsuspropiedadesyhacerlostilesenciertas aplicacionesespeciales;resultanecesarioconocerenprincipio,laestructuraatmicayla cristalinayaqueambasinfluyenenlaformaenquelostomosseenlazanysearreglan; permitiendo as clasificarlos en metales, cermicos y polmeros. Estructura atmica. Enteoraeltomopuedeserconsideradocomounpequeocuerpoesfrico;elcualesta constituido por un ncleo que contiene pequeas partculas denominadas protones y neutrones. Elncleoestarodeadoporpartculasmsdiminutasllamadaselectrones,loscualesse encuentranalrededordelncleo,ocupandonivelesenergticosdistintos.Porsereltomoen su conjunto elctricamente neutro, la carga de cada protn y electrn tiene el mismo valor y es igual a 1.6 x 1019C. El nmero atmico de un tomo en particular, se define como el nmero de protones o de electrones contenidos en l. Adems, toda la masa del tomo (M), se encuentra en el ncleoy es un valor promedio entre los protones y neutrones; y tiene como unidad al (gm/gm.mol). Lafigura 1.1muestra elcaso dela estructura atmica del aluminio, el cual segnla tabla peridicatieneunnmeroatmicode13;esdecir,contiene13protonesy13electrones.Y cuya masa atmica es de 26.98 gm/gm.mol.

Figura 1.1Estructura atmica del aluminiomostrando los electrones en las capas K, L, M Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC21Propiedades de los Materiales I Segn la figura anterior la configuracin electrnica del aluminio puede ser escrita como: 1s22s22p63s23p1, por lo tanto la valencia de este elemento es +3; y tiene la capacidad de ceder sus 3 electrones de valencia. Cuandountomopresentalatendenciadeganarelectrones,esdecircompletarsunivel externodeenerga,sedicequeeselectronegativo.Porelcontrario,sitienelatendenciade ceder sus electrones y con ello dejar su nivel externo de energa vaco es electropositivo. Si su nivelexternoestacompleto,esdecirtiene8electrones,suvalenciaesceroyelelementoes inerte o qumicamente estable. 1.1 Enlace atmico de slidos. Existen cuatro mecanismos por medio delos cuales se enlazan o unenlos tomos. En los tres primeros la unin se logra cuando los tomos llenan sus niveles externos s y p. Estos son: 1.1.1Uninmetlica:Loselementosmetlicosqueexhibenunavalenciabaja,puede cederconfacilidadsuselectronesparaformarunmaronubedeelectronesquerodeaalos centros de tomos. El aluminio es un ejemplo tpico de esta clase de elementos, pues al liberar sus tres electrones de valencia; deja un cuerpo central o ndulo constituido por el ncleo y los electrones internos. Dicho cuerpo central se convierte en un in con carga positiva igual a 3. Los electrones de valenciaqueformanlanube,seliganadiversosndulosdetomos,mantenindolosunidos poratraccinmutua,producindoseaslafuerteuninmetlica.Lafigura1.1.1muestrala unin entre los tomos del aluminio. Los enlaces metlicos son no direccionales, los electrones que mantienen unidos a los ndulos no estn fijos en una posicin. Cuandosedoblaunmetalylostomosintentancambiarsurelacinentreellos;la direccindelenlacesedeslizaenlugarderomperse.Estopermitequeestosmaterialessean conformados en configuraciones tiles. Adems al ceder con facilidad sus electrones, permite tambin que sean buenos conductores elctricos. 1.1.2Enlacecovalente:Estetipodeenlaceesmuyfuertedebidoaquesecomparten electrones entre dos o ms tomos. El germanio con valencia + 4, acepta ocho electrones en su nivel externo (ley del octeto); cuando comparte electrones con otros cuatro tomos vecinos. La figura 1.1.2.a, muestra el enlace covalente del germanio. Figura 1.1.1 Unin metlica del aluminio. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC22Propiedades de los Materiales I Enestetipodeenlacelostomosseacomodandetalmaneraquelosenlacescovalentes tenganunarelacindireccionalfijaentreellos.Enelcasodelgermaniolostomosse acomodanformando un tetraedro con ngulos de 109 entre los enlaces covalentes. La figura 1.1.2.b ilustra la estructura tetradrica del germanio. Debidoa que las uniones covalentes son muy fuertes, los materiales slidos enlazados de estemodotienenpocaductilidadyescasaconductividadelctrica.Alpretenderdoblaruna barradegermaniolosenlacescovalentesserompendebidoaquelostomoscambiansu relacin entre ellos. Al igual, para que fluya o se mueva un electrn, y se forme una corriente elctricaesnecesarioqueserompaelenlace;siendonecesarioaplicaraltastemperaturaso voltajes en el material. Porlotantolosmaterialesenlazadoscovalentementesonfrgilesenvezdedctiles, comportndosecomoaislanteselctricosynocomoconductores.Muchoscermicosy polmeros estn unidos por este tipo de enlace; lo que explica, el porqu una loza se rompe al ser golpeada y porque el ladrillo es mal conductor del calor y de la electricidad. 1.1.3 Enlace inico: Existenmateriales como elCloruro de sodio (NaCl) o sal comn, en el cual se encuentran presentes ms de un tipo de tomos. Estos elementos tienen la facilidad depoderdonaroaceptarelectrones.Altomoquedonaelectronesseleconocecomo electropositivo, y el que los acepta como electronegativo. En este compuesto, el tomo de sodio con valencia +1 dona su electrn al tomo de cloro y seconvierteenunincargadopositivamente,mientraselcloroconvalencia-1aceptaun electrn y se convierte en un in negativo. En estas condiciones, ambos tomos tienen su nivel energtico externo lleno o vaco. Figura1.1.2.aEnlacecovalentedelgermanio,mostrandoalos electronescompartidosentrelostomos,conelnivel externo completo. Figura 1.1.2.b Estructura tetradrica del germanio, con un ngulo de enlace de aproximadamente 109. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC23Propiedades de los Materiales I El tomo que aporta el o los electrones se le conoce como catin, y el que lo o los acepta, comoanin.As,losionesconcargasopuestasseatraenentres,producindoseelenlace inico. La figura 1.1.3 muestra el tipo de enlace en el cloruro de sodio. Cuando se aplica una carga a un cristal de cloruro de sodio, se rompe el equilibrio elctrico entrelosiones;porestaraznlosmaterialesenlazadosinicamentesecomportancomo frgiles. Adems tienen baja conductividad elctrica, ya que la carga elctrica es transportada por el movimiento de iones enteros y no de electrones, lo que resta movilidad. Muchos materiales cermicos y minerales, estn parcialmente unidos en forma inica. Sin embargo se debe notar que muchos materiales incluyendo los metales se unen combinando los tres mecanismos de enlace. Como ejemplo citemos al hierro, el cual adems de estar unido porelenlacemetlico,tambintieneenlacescovalentes,locualleproporcionacierta fragilidad. 1.1.4 Enlace de Van der Waals: Este enlace une molculas o grupos de tomos mediante atraccioneselectrostticasdbiles.Molculasdeplsticos,cermicos,gasescomoelmetano, elaguayotrassustanciasms,presentanlatendenciadepolarizarsepermanentementeo instantneamenteenalgunaparteoporcin.Esdecir,partedeunamolculaadquierecarga positiva y la otra negativa. La atraccin electrosttica entre las porciones positivas y negativas entreellas,produceeldbilenlacedeVanderWaals.Lafigura1.1.4muestralaunindela molcula de agua mediante la polarizacin intermolecular. Figura 1.1.3La unin inica ocurre cuando el sodio y el cloro quedancon distintos tipos de carga. Siendo el sodio un catin y el cloro un anin. En la figura se muestra con rojo al electrn cedido por el sodio y aceptado por el cloro. Figura 1.1.4El enlace de Van der Waals se forma mediante la polarizacin de molculas o grupos de tomos. En el agua los electrones de oxgeno tienden a concentrarse lejos del hidrgeno. Esta diferencia de carga resultante permite la dbil unin.Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC24Propiedades de los Materiales I Por lo tanto este tipo enlace es secundario, puesto que los tomos estn unidos por enlaces covalentes formando molculas; y estas a su vez por el enlace de Van der Waals. Comoejemploconsideremoslaformacindelpolietilenoapartirdelasmolculasde etileno.Eletileno,ungas,cuyafrmulaesC2H4,tienesustomosdecarbonounidospor enlacescovalentesdoblesconlosdehidrgeno,paraformarlamolculaomonmerode etileno.Enpresenciadelcalor,presinouncatalizadorladobleunincovalenteentrelos tomosdecarbonoserompe,ocasionandoquecadatomodecarbonotengaunenlace incompleto,ahoralamolculadeetilenosedenominameroounidad.Estosenlacesse completan cuando se enlazan dbilmente (Van der Waals) los meros de etileno, formando largas cadenas moleculares o polmeros. El cromo, que tiene un nmero atmico igual a 24; presenta cuatro istopos: 4.31% de los tomosdecromotienen26neutrones,83.76%tienen28neutrones,en9.55%existen29 neutrones, y en 2.38% hay 30 neutrones. Calcule la masa atmica (M) del cromo. Respuesta: Como los tomos de cromo tienen diferente nmero de neutrones en el ncleo, ste se comporta como unistopo, y sumasa atmica puede calcularse como el promedio de lasmasasatmicasdelosdiversostomos(istopos),porloquesuvalorpuedenoserun nmero entero; as: La masa atmica de los tomos con 26 neutrones es; (M) = 24 + 26 = 50 gm/gm.mol. La masa atmica de los tomos con 28 neutrones es; (M) = 24 + 28 = 52 gm/gm.mol. La masa atmica de los tomos con 26 neutrones es; (M) = 24 + 29 = 53 gm/gm.mol. La masa atmica de los tomos con 26 neutrones es; (M) = 24 + 30 = 54 gm/gm.mol. Y la masa atmica del cromo es: (M) = (0.0431) (50) + (0.8376) (52) + (0.0955) (53) + (0.0238) (54) = 52.0569 gm/gm.mol. Parauntomocualquiera,calculeelnmeromximodeelectronesenlacapaO,y determine su nmero atmico si estn completos todos los niveles de energa enlas capas K, L, M, N y O. Respuesta: Para este tomo hay cinco capas cunticas, as (n = 5); aplicando la frmula 2n2 para encontrar los electrones en cada capa, se tiene: 2 (5)2 = 50 electrones. Otra manera de encontrar el nmero de electrones en la capa O, es a travs del nmero de niveles de energa que hay en cada capa cuntica; aplicando la frmula 2 (l ) + 1 as: l = 0, 1, 2, 3, 4. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC25Propiedades de los Materiales I Entonces paral = 0, se tiene: 2 (0) + 1 = 1 orbital. l = 1, se tiene: 2 (1) + 1 = 3 orbitales. l = 2, se tiene: 2 (2) + 1 = 5 orbitales. l = 3, se tiene: 2 (3) + 1 = 7 orbitales.l = 4, se tiene: 2 (4) + 1 = 9 orbitales. Comolasuma total de orbitales esigual 25,entonces elnmero total de electrones enla capa O, es: Total de electrones = (25 orbitales) (2 electrones/orbital) = 50. Elnmeroatmicodeeseelemento,eselnmerodeelectronesubicadosalrededordel ncleo del tomo, en los cinco orbitales, estando completos todos los niveles de energa; as: En las cinco capas estarn ubicados segn la frmula 2n2. Capa K = 1 --------------------- 2 electrones. L = 2 ----------------------8 electrones. M = 3 ---------------------18 electrones. N = 4 ---------------------- 32 electrones. O = 5 ---------------------- 50 electrones. Por lo tanto, hay un total de 110 electrones en el tomo. Calcular el nmero de tomos en 100 gm. de aluminio, si todos los electrones de valencia pueden conducir corriente elctrica. Determine tambin, el nmero de estos portadores en los 100 gm. de aluminio. Respuesta: Puesto que en un gm.mol de aluminio hay 6.02 x 1023 tomos, y segnla tabla peridica tiene una masa atmica de 26.98 gm/gm.mol, con una valencia de +3;entonces: . 10 31 . 22.) 98 . 29 () . () . () 10 02 . 6 () 100 ( min .2323tomos xgmmol gmmol gmtomos xgm io alu de tomos de No = = Y el nmero de portadores de carga elctrica es: . 10 693 . 6) () 3 () 10 31 . 22 ( .24 23electrones xtomoelectronestomos x electrones de No = = Ejemplo 3 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC26Propiedades de los Materiales I Sinrecurriralatablaperidica,utilizarlaestructuraelectrnicaparadeterminarsiun elementoconnmeroatmico35;eselectropositivo,electronegativooinerte.Considereque todos los niveles internos de energa estn ocupados. Respuesta:Utilizandoelsiguienterecursonemotcnico,podemosobtenerlaestructura electrnica del elemento, as: 1s2 2s2p6 3s2p6d10 4s2p6d10 f14 5s2p6d10f14 6s2p6d10 7s2 Puestoque,enlacuartacapacunticasolohay7electrones,elelementoes electronegativo. 1.2 Estructura cristalina. Lamayoradelosmaterialestecnolgicos,exceptolamayoradelosvidriosylos polmeros;sondenaturalezacristalina.Esdecirposeenunarreglobidimensionalo tridimensionalrepetitivoentresustomos.Estearregloodisposicindelostomos, desempea un papel importante en las propiedades y el comportamiento de un material slido. Comoporejemploenlosmetales,ciertotipodeordenamientopermiteunaexcelente ductilidad;mientrasqueenotrosproducenunagranresistencia.Losmaterialestecnolgicos puedenorganizarsustomosdetresmanerasdistintasasaber,sinconsiderarlas imperfecciones naturales en el material. Desordenamiento:Engasesinertesyenlamayoradeloslquidos,lostomosy molculas se distribuyen aleatoriamente, es decir carecen de un arreglo ordenado. En el argn, los tomos se distribuyen de manera aleatoria ocupando el espacio donde se confina el gas. La figura 1.2.1 muestra el desordenamiento bidimensional atmico del argn. Ejemplo 4 X35 = 1s22s22p63s23p63d104s24p5 Figura 1.2.1El argn por ser un gas inerte, no presenta un ordenamiento regular entre sus tomos. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC27Propiedades de los Materiales I Ordenamientodecortoalcance:Enloscristalescermicoscomoelvidrio(SiO2),cada molculaformadaporcuatrotomosdeoxgenoyunodesilicio;tieneunordenamiento particularentresustomos,conunngulodeaproximadamente109entrelosenlaces covalentes,describiendounaestructuratetradrica.Sinembargolasmolculasnopresentan unarregloespacialdefinido,sinoquetiendenaunirsedemaneraaleatoria.Lafigura1.2.2 muestra la forma en que se ordenan bidimensionalmente los tomos y molculas del vidrio. Porloconsiguiente,unmaterialpresentaordenamientodecortoalcancesielarreglo caractersticoentresustomosserestringesolamenteatomoscircunvecinos.Elvaporde agua,algunascermicasylamayoradelospolmerospresentanunordenamientodecorto alcance. Ordenamientodelargoalcance:Cuandolostomossedistribuyenportodoelslido, formando un patrn reticular repetitivo, se dice que los tomos o agrupan en un ordenamiento general o de largo alcance. La figura 1.2.3 ilustra un arreglo bidimensional de los tomos de un material slido. Laredoretcula(ltice)estaformadaporunconjuntodepuntosonodos(puntos reticulares),loscualessiguenunmismopatrnregular,demaneraquelasinmediacionesde cada punto en la red son idnticas. Adems uno o ms tomos pueden estar asociados con cada punto de red. As,cadatomotieneunordenamientoparticulardecortoalcancerespectoalosotros, peroadems,existeunordenamientogeneralodelargoalcancealestarlareddistribuida uniformemente en todo el material. Figura 1.2.2Ordenamiento particular de los tomos del vidrio (enlace covalente), sin embargo las molculas tienden a unirse de manera aleatoria. Figura 1.2.3 Representacin bidimensional del ordenamiento de largo alcance. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC28Propiedades de los Materiales I Losmetales,lamayoradelascermicasyciertospolmeros,presentanestetipode ordenamiento, y son de naturaleza cristalina. La configuracin de la retcula (red) difiere de un materialaotroenformaydimensin,dependiendodeltamaodelostomosydeltipode enlaceinteratmico.Laretcula(red)cristalinadeunmaterialserefierealtamao,formay ordenamiento atmico dentro de la red. 1.2.1 Sistemas cristalogrficos. La celdaunitaria eslamenor subdivisin, que conserva todaslas caractersticas generales de la retcula o red. Los puntos o nodos reticulares, se encuentran en los vrtices (esquinas) de la celda unitaria, y en algunos casos en el centro, caras y bases de la celda. Los parmetros que describeneltamaoylaformadelaceldaunitariasonlasdimensionesdelosladosylos ngulosqueformanlosejes.Porserlaceldaunitariamicroscpicalasdimensionesdelos lados suelen medirse en ngstrom, el cual tiene una equivalencia de: 1 Angstrom ( A) = 1 x 10-8 cm = 1 x 10-10 m = 1 x 10-1. m Segn el tipo de geometra que tenga la celda unitaria, sern las dimensiones de los lados quesenecesitenparadefinirla:as,paralacbicasimplesloserequiereunladopara describirla completamente, puesto quelos tres ngulos soniguales a 90. Enlahexagonalse requierendosdimensiones;losladosdelasbasesylaalturadelhexgono,ademsdedos ngulos de 90 y uno de 120. Mientras ms compleja sea la geometra de la celda mayor ser el nmero de dimensiones requeridas, como de ngulos diferentes. Existenciertascaractersticasdistintivasenlaceldaunitaria,comoporejemplo:El parmetrodered,elnmerodetomosopuntosderedcontenidosenlacelda,elradiodel tomo, la relacin entre el radio del tomo y el parmetro de red, el nmero de coordinacin, elfactordeempaquetamientoyladensidad,lascualescoadyuvanenladescripcindela estructura del material y su comportamiento.Aunque existen catorce tipos de celdas unitarias o redes de Bravais, agrupadas en siete sistemas cristalinos; como seindican enla tabla 1.2.1.1, solonosconcentraremosenlossistemascbicoyhexagonal,debidoaqueincluyenacasi todos los materiales tecnolgicos cristalinos de importancia comercial. Tabla 1.2.1.1 Caractersticas de los siete sistemas cristalinos. Sistema Longitud de los ejesngulos axiales. Cbicoa1 = a2 = a3Todos los ngulos son de 90. Tetragonala1 = a2 a3Todos los ngulos son de 90. Ortorrmbicoa1 a2 cTodos los ngulos son de 90. Hexagonala1 = a2 cDos ngulos de 90 y uno de 120. Rombodricoa1 = a2 = a3Todos los ngulos son iguales y diferentes de 90. Monoclnicoa b cDos ngulos de 90 y uno diferente de 90. Triclnicoa b cTodos los ngulos distintos entre s y diferentes de 90. Lafigura1.2.1.1ilustralascatorceretculasoredesdeBravaisentresdimensiones, haciendo hincapi en las variantes de los sistemas cbico y hexagonal. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC29Propiedades de los Materiales I Cbico simple.Cbico centrado en el cuerpo Cbico centrada en las caras. Tetragonal centrado en el cuerpo Tetragonal simple. Hexagonal. Ortorrmbico simple. Ortorrmbico centrado en el cuerpo. Ortorrmbico centrado en las bases. Ortorrmbicocentrado en las caras. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC30Propiedades de los Materiales I 1.2.2Estructuras cristalogrficas. Sistema cbico simple (CS). Este sistema o retculo no es representativo de ningn tipo de materialmetlicotecnolgico,sinembargoesunmodeloexcelenteparaintroducirciertos conceptos de inters concernientes a la celda unitaria, debido a su simplicidad. Parmetro de red: Bsicamente el cristal cbico simple (CS), es una caja cuadrada con los tomos ubicados en los ocho vrtices. Los ocho tomos localizados en los vrtices se arreglan de modo que la distancia entre sus centros sea a. A esta distancia se le denomina parmetro de Figura 1.2.1.1 Los siete sistemas cristalinos con sus variantes, suman las catorce retculas o redes de Bravais. Rombodrico Monoclnico simple.Monoclnico centrado en las bases. Triclnico. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC31Propiedades de los Materiales I redoconstantederetcula( )0a .Lafigura1.2.2.1muestraalcristalcbicoenforma esquemtica y compacta en tres dimensiones. Radioatmico:Sedefinecomoladistanciadelcentrodeuntomoasuperiferiayse denota por la letra (R). Relacinentreelparmetroderedyelradioatmico:Paradeterminarestarelacines necesarioconsiderarelsistemacristalinoenformacompacta,yobservarlaaristadelcubo, diagonaldelcuboodiagonaldelacara,parasaberencualdeelloslostomossejuntano estn en contacto ntimo. En el caso del sistema cbico simple, enlafigura 1.2.2.2 se observa quelostomossejuntanenlasaristasdelcubo.Porloconsiguiente,porsimpleinspeccin tenemos que a = 2R. Nmero de tomos o puntos de red contenidos en la celda unitaria: Puesto que en cada vrticedelaCS,haysituadountomo,steescompartidopor ochocubos(octantes),porlo tanto, a cada celda unitaria le corresponde un tomo; es decir: unitaria celdatomounitaria celdavrticesxvrticetomo1 881= La figura 1.2.2.3 muestra en color rojo la fraccin de cada tomo por vrtice incluido en la celda unitaria. Figura 1.2.2.1 Celda unitaria cbica simple esquematizada y compactada. R a 2 =Figura 1.2.2.2 Relacin entre el parmetro de red y el radio atmicopara una celda cbica simple. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC32Propiedades de los Materiales I Nmero de coordinacin: Se define como el nmero de tomos en contacto o los tomos ms cercanos a un tomo en particular, situado en la celda unitaria o en la red. Este nmero de coordinacin indica la eficiencia con la que los tomos se acomodan para formar la estructura. Enelcasodelaceldacbicasimplelacualcontieneslountomoopuntoderedpor celda unitaria, por simple inspeccin se observa que tiene un nmero de coordinacin de 6; es decir, cada tomo de la celdilla esta en contacto con otros 6. Esto se ilustra en la figura 1.2.2.4. Factordeempaquetamiento:Seentiendeporfactordeempaquetamiento(FE),ala fraccin del volumen de la celdilla que ocupan los tomos; considerando que estos son esferas slidas. La siguiente expresin sirve para calcular elfactor de empaquetamiento de cualquier celda unitaria. Calcule el factor de empaquetamiento para la celda cbica simple (CS). Figura 1.2.2.3Celda unitaria cbica simple en la cual se muestra en color rojola fraccin de cada tomo (1/8 de tomo) por vrtice que se incluye en la celda. Figura1.2.2.4Eltomorojoenlaceldilladereferenciatieneseisvecinosencolorazul, trescorrespondientesalamismaceldillaylosrestantesaceldillas contiguas a la de referencia. unitaria celda la de volumentomo cada de volumen celda tomos de nmeroFE) )( / (=Ejemplo 5 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC33Propiedades de los Materiales I Respuesta: Puesto que existe un tomo o punto de red en la celda unitaria, adems de que elvolumendeuntomoconsiderndolocomounaesferaslidaes(4 R3/3),ysiendoel volumen de la celda unitaria a3 y teniendo en cuenta la relacin a = 2R, se tiene: 52 . 0) 2 () 3 / 4 )( 1 (33= =RRFE En los materiales metlicos, el factor de empaquetamiento ms eficiente tiene un valor de 0.74ycorrespondealosmetalesconestructuracristalinacentradaenlascaras(CCC)y Hexagonal compacta (HC). Las celdas con estructura centrada en el cuerpo (CC) tienen unfactor de 0.68 yla cbica simpleunfactorde0.52.Latabla1.2.2.1muestraalgunasdelascaractersticasdecristales metlicos comunes. Tabla 1.2.2.1 Caractersticas generales de algunos metales tpicos. Estructuraa en funcin de R tomos por celda Nmero de coordinacin Factor de empaquetamiento Metales tpicos Cbica Simple (CS) a = 2R160.52Ninguno Cbica centrada en el cuerpo (CC) a = 4R/ 3280.68Fe, Ti, W, Mo, Nb, Ta, Cr,Zr. Cbica centrada en las caras (CCC) a = 4R/ 24120.74Fe, Cu, Al, Au, Ag, Ni. Hexagonal Compacta (HC) a = 2R co = 1.633 ao 6120.74Zn, Co, Mg. Densidad:Ladensidad( )deunmaterialpuedeserdefinidacomorealyterica;la densidadrealesaquellaenlaculsecontemplanlasimperfeccionesdelmaterial,yporlo tanto resultasermenorquelaterica.Ladensidadtericapuedesercalculadautilizandolas propiedades de la estructura cristalina, mediante la siguiente expresin: DetermineladensidadtericadelaluminioCCC,cuyoparmetroderedesde0.404958 m . Respuesta:ElaluminioCCC,tiene4tomosporceldaunitariayunamasaatmicade 26.981 gm/gm.mol.As la densidad terica del aluminio es: ) )( () )( / (Avogadro de nmero unitaria celda la de volumenelemento del atmica masa unitaria celda tomos= Ejemplo 6 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC34Propiedades de los Materiales I 323 3 8/ 7 . 2) 10 02 . 6 ( ) 10 04958 . 4 () 981 . 26 )( 4 (cm gmx x= = . La densidad reales de 2.69 gm/cm3. Laligera discrepancia entrelas densidades tericay real, es consecuencia de los defectos o imperfecciones en la red. Lafigura1.2.2.5ilustralasvariantesdelasceldasunitariascbicayhexagonal,entres dimensiones tanto en su forma esquemtica como compacta. Fi gura 1.2.2.5 Modelos di dcti cos de las celdas uni tari as cbi ca y hexagonal en sus formas esquemti ca y compacta. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC35Propiedades de los Materiales I

Ningnmetaltecnolgicotienelaestructuracbicasimple(CS);aunqueestetipode estructura se encuentra en los materiales cermicos. Determine el factor de empaquetamiento para la celda Hexagonal compacta ilustrada en la figura 1.2.2.5 Respuesta:Lasolucindelproblemapuedefacilitarsemedianteladeterminacindelos siguientestrminos:Nmerodetomoscontenidosenlaceldaunitariaoredhexagonal,el volumen de un tomo y el volumen de la celda unitaria. Enprimerlugarrepresentemosalaceldahexagonalcompactaenformaesquematizada como se ilustra en la figura siguiente, y observemos que esta formada por tres prismas igualescoloreadosdeazul,amarilloyazulturquesa.Ademssusejes(a1,a2,a3yco)formandos ngulos de 90 y uno de 120. A cualquiera de los prismas se le denomina celda unitaria de la red hexagonal. Dicha celda (Red)seilustraenseguidaencolorazul.Enellahaycuatrotomosopuntosdered,cuyos vrtices forman ngulos de 120. Lostomossoncompartidosconlosotros prismasyporestaraznsolo1/6detomoesta contenido en el prisma. Deigualformaexistentambincuatrotomoso puntos de red, cuyos vrtices forman ngulos de 60. Estosalsercompartidosconlosotrosprismas,solo 1/12 de tomo queda encerrado dentro del prima. Detalsuertequeelnmerodetomosque correspondenalprismapuedesercalculadodela siguiente forma: Ejemplo 7 Red Hexagonal Compacta Esquematizada Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC36Propiedades de los Materiales I 2 1 )121( 4 )61( 4 . = + + = tomos de No Puesto que la red hexagonal esta compuesta tres prismas, entonces hay 6 tomos en la red o celda hexagonal compacta (HC). Porotraparteeltomopuedeserconsideradopara propsitosdeclculocomounaesferaperfecta,asquesu volumen, se calcula con la siguiente expresin: 3) (34R tomo un de Volumen = Para calcular el volumen de la celda unitaria, es necesario calcular el rea de la base del prisma y multiplicarla por la altura co, as: Elreadelabasesecalculaconsiderandolafigura,enlacualseobservaquedicharea esta dada por el producto de (ao x h), y es igual a (ao x ao sen 60): Por lo tanto el rea de la base del prisma es: Ab = (ao)2 cos 30 Por ltimo el volumen de la celda unitaria (prisma) es igual al rea de la base Ab multiplicada por la altura, es decir: 30 cos ) (2o oc a unitaria celda la de Volumen = Unavezencontradoslostrestrminos,sesustituyenenlaecuacincorrespondientedel factor de empaquetamiento, como sigue: unitaria celda la de volumentomo cada de volumen celda tomos de nmeroFE) )( / (= 74 . 0 30 cos ) 2 633 . 1 ( ) 2 )( 3 () (34) 6 ( 30 cos ) 633 . 1 ( ) )( 3 () (34) 6 (2323= = =R x RRa aRFEo o Celda unitaria de la red HC Nota: El trmino co = 1.633 aose toma de la tabla 2.6.1 y al compactar la red hexagonal, se observa que ao = 2R. El valor 0.74 indica que el 74% de la red o celda unitaria est ocupado por tomos. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC37Propiedades de los Materiales I 1.2.3 Alotropa y polimorfismo. Eltrminoalotropaseadjudicaalosmaterialesquepuedentenermsdeunaestructura cristalina,adistintastemperaturasypresiones.Elementospuros,comoelhierroyeltitanio pueden presentar ms de una estructura cristalina cuando cambia su temperatura. Por ejemplo el titanio tiene una estructura HC por debajo de los 882C y por encima tiene una estructura CC. Dichotransformacinestructuralvaacompaadadeuncambioporcentualenvolumen, durante el calentamiento o enfriamiento del material. Sin embargo, s este cambio en volumen; no se controla adecuadamente, ste puede agrietarse y fallar. Cabemencionarqueestastransformaciones,sonlabaseparaeltratamientotrmicodel hierroydeltitanio.Eltrminopolimorfismo,esdeusomsgeneral;porquemuchos materiales cermicos, tales como el Slice (SiO2), son llamados polimrficos.

Por encima de los 882C, el titanio tiene una estructura cristalina CC; con ao = 0.332m . Por debajo de esta temperatura tiene una estructura HC con ao = 0.2978m y co = 0.4735m . a)DetermineelporcentajedecambioenvolumencuandoeltitanioCCsetransformaen titanioHC. b) Se trata de una contraccino de una expansin? Respuesta:PuestoqueeltitanioCC,setransformaentitanioHCaldescenderla temperatura por debajo de 882 C; entonces observandolafigura dela celda unitaria CC, se tiene: El volumen de la celda unitaria se calcula como:Vcc = (ao)3 = (0.332m )3 = 0.03659 m 3. Adems como se sabe dicha celda contiene 2 tomos o puntos de red. Por otra parte, la celda unitaria HC est formada por tres prismas sesgados, como el ilustrado en la figura; as, el volumen de la celda unitaria HC, puede calcularse como: VHC =(ao)2 co cos 30, as; VHC= (0.2978m )2 (0.4735m ) cos 30 = 0.03636 m 3. AdemslaceldaunitariaHC,tambincontiene2tomoso puntos de red. Ejemplo 8 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC38Propiedades de los Materiales I Por ltimo se observa que para formar una celda HC, a partir de una celda CC; se necesita la misma cantidad de tomos. Por lo tanto: a) Para calcular el porcentaje de cambio en volumen, se requiere conocer tanto el volumen final como el inicial, de ambas celdas; as: %62 . 0 10003659 . 003659 . 0 03636 . 0100 === A x xVV VVoo f% b) El signo negativo indica que el titanio se contrae al enfriarse. 1.3 Puntos, direcciones y planos cristalogrficos. Ciertasdireccionesyplanosenlaceldaunitariarevistenparticularimportancia.Los materiales,principalmentelosmetalessedeforman,enaquellasdireccionesalolargodelas cuales los tomos estn en contacto ms estrecho. De igual forma, estos se deforman a travs de aquellos planos de tomos que estn empaquetados ms estrechamente. 1.3.1 Direcciones en la celda unitaria. Una direccin representada dentro de un cristal o celda unitaria, es un vector dirigido de un punto o posicin de algn tomo a otro tomo o punto de red. Para ello es necesario localizar ciertospuntos,loscualesestnrepresentadosporcoordenadas(x,y,z),enunsistema dextrgiro. La figura 1.3.1 ilustra una celda cbica, cuyo origen es el sistema coordenado dextrgiro. Paralocalizarlospuntosoposicindelos tomos,esconvenientemedirlasdistanciasen funcin del parmetro de red a partir del origen y moverse en cada una de las coordenadas x, y, z;lascoordenadasdelospuntosseexpresan como tres distancias numricas encerradas entre parntesis circular y separndolas por comas. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC39Propiedades de los Materiales I Trace una celda cbica y localice los puntos o posicin de los tomos en todos los vrtices. Respuesta:Lospuntoslocalizadosentodoslos vrticessemuestranenlafigurasiguiente,notecomo las distancias fueron medidas en funcin del parmetro de red, a partir del origen. Trace una celda cbica y localice los siguientes puntos: a). (, 0, 0) b). (, 1, 0)c). (0, 0, )d). (0, , 1)e). (, 1, 0) Respuesta:Lospuntoslocalizadossemuestranenlafigura.Notequetodosellosson positivosyporlotantoseencuentranlocalizadosenelprimeroctantedelsistemacbico tridimensional. En caso de alguna distancia sea negativa es necesario trasladar el origen a otro punto que convenga, como se mostrar mas adelante. Paratrazarunadireccindentrodeunaceldaunitaria,esnecesariocumplirconlos siguientes pasos: Ejemplo 9 Ejemplo 10 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC40Propiedades de los Materiales I 1.Utilizando un sistema de coordenadas dextrgiro, localizar las coordenadas de dos puntos que estn en esa direccin. 2.Restarlascoordenadasdelpuntoinicial(cola),alascoordenadasdelpuntofinal (cabeza); para obtener el nmero de parmetros de red recorridos en la direccin de cada eje del sistema de coordenadas. 3.Reducir las fracciones y/o los resultados obtenidos de la reta a los mnimos enteros. 4.Encerrarlos nmeros entre corchetes| |, no utilice comas. En caso de obtener un signo negativo, represntelo con una barra sobre el nmero. Esimportanterecalcarqueladireccinpuedeestarrepresentadaenlaceldillaypor consiguienteelproblemasereduceenencontrarlosnmerosencerradosentrecorchetes;es decirlanotacindeladireccin,oensucasodadalanotacintrazarladireccindentrodela celdilla. Determinelanotacinparalassiguientesdireccionesmostradasenelsistemacbico mostrado en la figura 11.a Respuesta:Paraencontrarlanotacindecadadireccin,esnecesariolocalizarlas coordenadas de los puntos cola y cabeza de cada vector, midiendo el valor de cada coordenada a partir del origen O, los cuales se ilustran en la figura 11.b. Ejemplo 11 Figura 11.a Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC41Propiedades de los Materiales I Posteriormenteseprocedearestarlascoordenadasdelospuntos,lascualessern encerradasentrecorchetes,testandolaolascoordenadasnegativasparaquefinalmentese eliminen fracciones si es necesario. Por lo tanto: DireccinA: (0, 1, 0) (1, 1, 1) = -1, 0, -1 = [1 0 1]; no hay fracciones que eliminar. Direccin B: (1/2, 0, 0) (0, 0, 1) = , 0, -1 = [,0 1]; si hay fracciones que eliminar.

2[,0 1] =[1 02 ] DireccinC: (1, 0,1/2) (1/2, 1, 0) =, -1, = [,1, ]; si hay fracciones que eliminar. 2 [,1, ]= [121]

Trace la direccin [133]; en un sistema cbico. Traslade el origen si es necesario. Respuesta:Paratrazarestadireccin,esnecesarioenprimerlugar;convertirlosvalores enteros a fracciones. Esto es con el propsito de ocupar un solo octante o bien que la direccin quepa dentro de la celdilla. As: [133] = () [133]= [ 1 1] Posteriormente se observa, que hay dos coordenadas negativas, locualintuyetrasladarelorigencomoseilustraenlafigura;a partirdelcualsemedirnlosvaloresdelascoordenadas, obtenindose finalmente el trazo del vector. 1.3.2 Planos en la celda unitaria. Dado un plano en el interior de una celdilla se requiere encontrar una notacin que represente dicho plano, para ello debe utilizarse el procedimiento siguiente: 1.Identificar los puntos en los cuales el plano interseca a los ejescoordenados x, y, z; en funcin del nmero de parmetros de red. Si el plano pasa a travs del origen, el origen del sistema de coordenadas deber ser trasladado. 2.Enseguida, tomar los recprocos de estas intersecciones. 3.Elimine las fracciones pero no reduzca a los mnimos enteros. 4.Encierre el resultado entre parntesis( ), no utilice comas. De nuevo, los nmeros negativos se testarn. Ejemplo 12 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC42Propiedades de los Materiales I Un sistema cbico contiene el siguiente plano, como se muestra en la figura. Encontrar la notacin correspondiente para dicho plano. Respuesta: Utilizando el procedimiento anterior, se tiene quelasintersecciones del plano con los ejes, a partir del origen O son: x =1, y =1, Z = . Obsrvese que el plano no pasa por el origen. En seguida se toman los recprocos de estas intersecciones, quedando de esta manera: 2211 1111 1111 1321= = == = == = =zayaxa En el siguiente paso no hay fracciones que eliminar, y por ltimo estos recprocos (valores), se encierran entre parntesis; quedando el plano representado por la siguiente notacin:( ). 2 1 1 Un sistema cbico contiene el siguiente plano, como se muestra en la figura. Encontrar la notacin correspondiente para dicho plano. Ejemplo 13 Ejemplo 14 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC43Propiedades de los Materiales I Respuesta: En este caso, se sugiere trasladar el origen O, al origen (0, 0, 0); entonces a partir de este nuevo origen, se tiene que las intersecciones son: x = -1/2,y = , Z = 1. Observe que la coordenaday es un valor muy grande, es decir; el plano es paralelo al eje y. As los recprocos de las coordenadas son:

102321===aaa Puesto que no hay fracciones que eliminar, el plano tendr la notacin( ) 1 0 2 . Dada la notacin( ) 1 0 1en un sistema cbico, trace el plano correspondiente. Respuesta: Segn la notacin del plano, tenemos que1 , 0 , 13 2 1= = = a a a; entonces los recprocosdeestosvaloresdarnlasinterseccionesdelplanoconlosejesx,y,z;asdichas interseccionesson:x=1,y=,z=1.Porlotantoelplanoquedarepresentado,dela siguiente manera. Notequeelorigendelplanoeselpunto(0,0,0)yque adems el plano es paralelo al eje y. Recuerde tambin, que cuando el plano pasa por el origen del sistemacoordenado,esnecesariotrasladardichoorigen,segn convenga a nuestro inters. Direcciones y planos cristalogrficos en la celda hexagonal compacta. Se ha diseado unanotacinespecialparalasceldashexagonales compactas, debido ala simetrasingularquepresentaestecuerpogeomtrico.En elcasodelasdireccionescristalogrficaselprocedimiento empleadoeselmismoqueparalaceldacbica;sin embargo,puedeutilizarsetantounsistemacoordenadode tresejescomounodecuatro;comoseindicaenlafigura siguiente. En este sistema coordenado a1 representa al eje x, a2 al ejey,ya3esunejeredundante,elcualcomplementala profundidad de la celda HC. En la figura se observa que la Ejemplo 15 Figura 1.3.2Sistema coordenadode cuatro ejes.Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC44Propiedades de los Materiales I suma vectorial de a1 + a2 = -a3, donde el eje a3 es redundante. Por ltimo c, representa al eje z. Recordemos que todos estas distancias estnmedidas en funcin del nmero de parmetros de red. LasdireccionesenlasceldasHC,sedenotanmedianteelsistemadetresejes,pudiendo cambiar la notacin de ste, aldecuatro ejes, utilizando las siguientes ecuaciones: c ca a aa a aa a a' =' ' =' ' =' ' =) (31) 2 (31) 2 (312 1 31 2 22 1 1

Trace la direccin| | 1 2 2 en una celda hexagonal, utilice el sistema coordenado de cuatro ejes;ycompruebequeseobtieneunadireccin equivalente si se utiliza un sistema de tres ejes. Respuesta:Puestoqueladireccinesten coordenadas para tres ejes, donde, 21 = ' a , 22 = ' a 1 = c ; enseguidaseobtieneapartirdelasecuacioneslas coordenadasparacuatroejes;as: . 1 , 0 , 2 , 23 2 1= = = = c a a a Porloconsiguientela direccinquedadenotadaparacuatroejescomo | | 1 0 2 2 ;sinembargoesnecesarioreduciralos mnimosenteros,porlotantoladireccinqueda | | 2 / 1 0 1 1 . Para trazar la direccin se traslada el origen O hacia abajo en direccin de,1a un parmetro de red;ya partir deestenuevoorigenserecorreunparmetroderedsobreeleje,1a unparmetrodered sobre el eje,2aninguno sobre el eje,3ay medio parmetro de red sobre el; c este recorrido se hace uniendo la cabeza del primer vector con la cola del segundo, y as sucesivamente. Por ltimo se une el nuevo origen con la cabeza del ltimo vector; como se muestra en la figura en color azul turquesa. Donde( ) c a a a , , ,3 2 1 son las coordenadas para el sistema de cuatro ejes y( ) c a a ' ' ' , ,2 1son para el sistema de tres ejes. Despus de la transformacin, los valores de( ) c a a a , , ,3 2 1, Pueden requerir simplificacin de fracciones o reduccin a los mnimos enteros. Ejemplo 15 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC45Propiedades de los Materiales I Porotraparte,sitrazamosladireccinentresejes,solodebemosdeseguirelmtodo convencionalapartirdelorigenOyseobtieneelvectorencolorrojo.Porlotantola direccin| | 2 / 1 0 1 1es equivalente a la direccin| | 1 2 2 . Distancia de repeticin, densidad y fraccin de empaquetamiento lineal. Anteriormente se menciono que los materiales se deforman en aquellas direcciones en las cualeslostomosestnencontactomsestrecho.Esdecir,unadireccinpuedeserms compacta que otra; si sus tomos estn ms juntos o ms separados.Para determinar ste hecho, se definela distanciaderepeticin, como el recorrido alolargo de la direccin, medido de centro a centro de los tomos contenidos en ella.La densidad lineal es el nmero de tomos o puntos de red por unidad de longitud a lo largo de una direccin en particular.Asimismosedefinelafraccindeempaquetamientolineal,comolafraccindela direccin verdaderamente cubierta por tomos. Calcularladistanciaderepeticin,ladensidadlinealylafraccindeempaquetamiento para el hierro CC., que tiene un parmetro de red. 2866 . 00m a = en la direccin| | 1 0 1 . Respuesta:Enprimerlugarsetrazalaceldacbicacentradaenelcuerpo,enseguidase representaladireccinendichacelda,juntoconlostomosquecontenidosatravsdesu longitud. En la figura se muestra que la direccin es la diagonal de la cara lateral izquierda del cubo y que la distancia de repeticin medida es solo una (centro a centro de los tomos). Observando que la direccin tienecomolongitud ( 20a ). La densidad lineal se calcula como el cocienteque resulta de dividir elnmerodedistanciasderepeticincontenidasalo largodeladireccin,entrelalongituddeladireccin; segn la relacin: 21.tan0a direccin la de Longitudrepeticin de cias dis de Nmerol= = ( ) mred de puntosl 467 . 22 2866 . 01= = Ladensidadlineal,tambinpuedecalcularseenfuncindelostomosquecontienela direccinporcadacm.desulongitud.Observequehaymediotomoenunvrticeyotro medio tomo en el otro vrtice; por consiguiente hay un tomo contenido en dicha direccin. La relacin para el clculo es la siguiente:Ejemplo 16 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC46Propiedades de los Materiales I ( ) cmtomosxx direccin la de Longituddireccin la en contenidos tomos de nmerol7810 467 . 22 10 866 . 21= = = Por ltimo para calcular la fraccin de empaquetamiento lineal en la direccin, es decir; la fraccin dela direccinverdaderamente cubierta por tomos, semultiplicala densidadlineal por el dimetro del tomo correspondiente (dos veces el radio atmico en. m ); as: 612 . 0 1241 . 0 ) 2 ( 467 . 2 =||.|

\|||.|

\|=red de puntommred de puntosFel El resultado indica que el 61% de la longitud de la direccin esta cubierta por tomos, y el 39%restanteestvaca;porlotantolostomosnoestnencontactoestrechoenesta direccin. Densidad y fraccin de empaquetamiento planar. Se define la densidad planar como el nmero de tomos por unidad de superficie cuyo centro estsobreelplano.Lafraccindeempaquetamientoplanareselreasobredichoplanocubierta por dichos tomos. Calculeladensidadplanaryelfactordeempaquetamientoplanar,paraelmagnesioHC; quetienecomoparmetroderedA a2087 . 30 = yunaalturaA co209 . 5 = ,enelplano | | 0 1 1 2 . Respuesta:Setrazalaceldahexagonalcompacta,luegoconlosrecprocosdelas coordenadas del plano, se obtienen las interseccionesdel plano con los ejes; estos valores son: = = = = c a a a , 1 , 1 ,213 2 1 Esdecir,elplanocortaaleje 1a en 21,aleje 2a en1,aleje 3a en 1 y es paralelo al ejec . La figura ilustra tanto la celda como el plano. Observe que en elplano,semuestranlostomosopuntosderedcontenidosen l. Observequeno todoslostomoscorrespondenalplano,por ejemplo;enlosvrticessoloestcontenidounacuartapartedel tomocorrespondiente,mientrasenelladoderechodelplano Ejemplo 17 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC47Propiedades de los Materiales I existe uno. Note que este tomo, corresponde a uno de los tres tomos que forman el tringulo equiltero interno en dicha celda. Esto quiere decir que el plano contiene un total de: Nmero de tomos contenidos en el plano =( ) 2 1414 = + |.|

\| El rea del plano se calcula multiplicando la base por la altura, esto es:h x b Ap = Labasedelplanocorrespondealabasedeuntringuloissceles,comoseilustraenla mismafigura.stetringulotienedosladosiguales,cuyovalores 0a yunodesigualcuyo valor es desconocido; ademstiene dos ngulos de 30 y uno de 120. Aplicando principios de geometra plana y trigonometra, se obtiene el valor desconocido, el cual corresponde a labase del plano. Dicho valor esA b557 . 5 = . As, el rea del plano es ( )( )2 15 8 810 89 . 2 10 209 . 5 10 557 . 5 cm x x x Ap = = . Con el nmero de tomos contenidos en el plano y el rea del plano, se calcula la densidad planar con la siguiente relacin: 2141510 92 . 610 89 . 22cmtomosxx plano del reaplano el en contenidos tomos de Nmerop= = = Para calcular la fraccin de empaquetamiento planar, es necesario considerar la geometra deltomocomouna esfera perfecta cuyarea es 2r Aa = .Puesto que el radio atmico es 1.604 A,entonceselreadeuntomoes 2 1610 08 . 8 cm x Aa= .As,lafraccinde empaquetamiento planar se calcula a travs de la relacin: ( )( )56 . 010 89 . 210 08 . 8 21516= = =xxplano del reatomos los ocupan que reaFep Este valor indica que el 56% del rea del plano esta ocupada por tomos, mientras el 44% esta vaca. Siendo este un plano donde los tomos no estn en contacto estrecho. Note que el empaquetamiento en un plano nunca puede ser igual al 100%, porque an los tomos estn juntos, estos dejarn siempre espacios vacos. Adems escomn enla prctica, compararlas densidadeslinealesy planares de distintas direcciones y planos; con el propsito de conocer cual de ellas es la ms compacta. Porque al aplicar una fuerza en esa direccin o plano el material se deformar o deslizar, hasta fallar.

Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC48Propiedades de los Materiales I 1.3.3 Notacin para direcciones y planos en la celda unitaria. Enelapartadoanterior,seutilizunanotacinpararepresentaralasdireccionesylos planos en la celda unitaria. Recordemos que para las direcciones representadas en tres ejes, la notacinseindic| |3 2 1a a a ,paracuatroejes| | c a a a3 2 1.Asimismolosplanosse representaron con la notacin( ) c a a a3 2 1, sin embargo esta notacin no resulta prctica. Para simplificarelproblemaseideunanotacinabreviadaparaestoscasos,conocidacomolos ndices de Miller-Bravais.

1.3.4 Importancia de los ndices de Miller. Es posible asignar una notacin abreviada para indicar direcciones y planos cristalogrficos en la celda unitaria. Dicha notacin es conocida como los ndices de Miller-Bravais, los cuales sustituyen a la notacin anterior. Utilice la notacin| | l k h para indicar una direccin en un sistema coordenado de tres ejes. En un sistema decuatro ejes la notacin para una direccin es| | l i k h . En sistema de cuatro ejes un plano se representa con la notacin( ) l i k h . As:

| | l k h=| |3 2 1a a a

| | l i k h=| | c a a a3 2 1 ( ) l i k h= ( ) c a a a3 2 1; dondei k h = + . Determine los ndices de Miller para las direcciones mostradas en la celda unitaria cbica, que aparece en la figura. Ejemplo 18 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC49Propiedades de los Materiales I Respuesta: Direccin A: El punto de la cola se resta del de la cabeza, y se obtiene; (0, 0, 1) (1, 0, 0) =1 0 1 Estos valores se encierran entre corchetes, quedando la direccin representada por| | 1 0 1.Observandoquenohayfraccionesqueeliminar;losndicesdeMillerquerepresentanala direccin A, son| | | | 1 0 1 , , = l k h Direccin B: ste mismo procedimiento se aplica para la direccin B, y se obtiene; (1, 0, 1) (1/2, 1, 0) = ,. 1 , 1 As los ndices de Miller para esta direccin son| | 1 121. Eliminandofraccionessetienefinalmente,| | 1 , 2 , 2 quesonlosndicesdeMillerdela direccin B. Determine los ndices de Miller para el plano mostrado en la figura. Respuesta: Encontrando las intersecciones del plano con los ejes coordenados, se tiene; el plano corta al eje x a una distancia de un parmetro de red, corta al eje y a una distancia de un parmetro de red y es paralelo al eje z. Es decir: x = 1,y = 1,z = Enseguidaseobtienenlosrecprocosdeestasintersecciones,obtenindoselosndicesde Miller. 0 , 1 , 1 = = = l k h ,encerrandoentreparntesis,seobtienenfinalmentelosndicesde Miller para el plano, como( ) 0 , 1 , 1 . No hay fracciones que eliminar. Ejemplo 19 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC50Propiedades de los Materiales I Imperfecciones cristalinas. En todos los materiales el arreglo de los tomos contiene imperfecciones. Estas ejercen un efectoprofundorespectoalcomportamientodelosmateriales,controlandodichas imperfecciones cristalinas se pueden mejorar las propiedades mecnicas y fsicas y crear ms y mejores materiales. Las imperfecciones se clasifican en: defectos de punto, defectos lineales (dislocaciones), defectos de superficie y defectos de volumen. Es oportuno aclarar que dichasimperfecciones slo representan defectosenrelacinconelarregloatmico,ynoconelmaterialmismo.Dehechoestos defectospudieranhabersidoagregadosintencionalmenteconelpropsitodeobtenerun conjunto deseado de propiedades. Los defectos de punto se clasifican a su vez en: Vacancias,laculseproducecuandofaltauntomoenunsitionormaldelaredocelda unitaria. Defectosintersticiales,cuandoseinsertauntomoadicionalenunaposicinnormalmente desocupada dentro de la estructura cristalina. Defectossustitucionales, cuando se remplaza un tomo que ocupa una posicinnormal enla red,porotrodetipodistinto,grandeopequeo.Seltomoesgrande,lostomos circundantes se comprimen; s el tomo es pequeo, stos se tensionan. EldefectoFrenkelesundefectovacancia-intersticio(sloenmaterialesinicos)formado cuando un in que ocupa una posicin normal en la red, abandona dicha posicin para ocupar un sitio intersticial, dejando detrs una vacancia. El defecto Schottky (slo en materiales inicos) es un par de vacancias; donde a falta de un anin debefaltartambinuncatin,conelpropsitodeasegurarlaneutralidadelctricadel material. Este defecto es comn en materiales cermicos. Dislocaciones o defectos de lnea, hacen presencia en la red durante el proceso de solidificacindelmaterialodurantesudeformacin.Estedefectoexplicaladeformacinyel endurecimientoenlosmaterialesmetlicos,aunquetambinestapresenteenlosmateriales cermicos y polmeros. Estas se clasifican en dislocaciones de tornillo, de borde y mixtas. Elprocesomedianteelculsemueveunadislocacincausandoquesedeformeun materialseconocecomodeslizamiento.Cualquiertipodedislocacinpuedeproducir deslizamiento en el material. Cualquierdefectopuntualalteraelarregloperfectodelared,distorsionndolaapartir del defecto. Por lo consiguiente, cualquier dislocacin que se mueva a travs de las cercanas deundefectopuntual,encontrarunaredenlacullostomosnoestnenposicionesde equilibrio.Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC51Propiedades de los Materiales I Estehechorequierequeseapliqueunesfuerzomayorenelmaterialparaquela dislocacinvenzaaldefectoystepuedaseguirsumovimiento;incrementndoseas,la resistencia mecnica del material. Losdefectossuperficialessonlasfronterasoplanosqueseparanunmaterialenregioneso zonasquetienenlamismaestructuracristalinaperoconorientacionescristalogrficas distintas. Dichasregionesozonasrecibenelnombredegranos,lascualestienenelmismoarreglo atmico,siendodistintasuorientacin.Losgranosestnseparadosporsuperficiesestrechas en las cuales los tomos no estn correctamente espaciados denominadas fronteras de grano. En ellaslostomospuedenestarmuyjuntosomuyseparadoscreandoregionesozonasde compresin y tensin respectivamente. Unmtodoparamodificarlaspropiedadesdeunmaterialesmedianteelcontroldel tamaodegrano.Ungranopequeoimplicaunmayornmerodegranos,yporendeun mayor nmero de fronteras de grano y viceversa. Sicualquierdislocacinsemueveunadistanciacortaenelinteriordeunmaterial,se encontraraenseguidaconunafronteradegranolaculleimpedirsumovimiento, incrementndose as la resistencia del material. Se puede controlar el tamao de grano a travs de la solidificacin, la generacin de aleaciones y el tratamiento trmico. Existeunatcnicaconocidacomomicroscopiaptica,laculesutilizadaparadetectar caractersticasmicroestructurales,comolasfronterasdegranoquerequierenunaampliacin menor a los 2000 aumentos. Elprocesoparaprepararunamuestradeciertometalparaobservaryregistrarsu microestructura se conoce como metalografa. Elprocesoconsisteenlijarypulirunamuestradelmaterial,hastaobtenerunacabado espejo en su superficie. Enseguida, sta se expone a un ataque qumico o grabado; por lo que las fronteras de grano se disuelven en mayor grado que el resto de cada grano. Un rayo de luz proveniente de un microscopio ptico se refleja o dispersa sobre la superficie de la muestra. Dependiendo de la forma en que la superficie fue atacada qumicamente, la luz se dispersa en mayor grado en las fronteras de grano que en el resto de muestra; apareciendo como lneas oscuras. Una forma mediante la cul se especifica el tamao de grano es el nmero de tamao de grano ASTM (American Society Testing & materials), dado por la siguiente ecuacin: 12 =nN Donde:N =Nmerodegranosporpulgadacuadradaapartirdeunafotografatomadaenuna ampliacin x 100. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC52Propiedades de los Materiales I n =ndiceotamaodegrano.Unndicegrandeindicaqueelmaterialestaconstituidopor muchosgranos,esdecir,losgranossonmuypequeosyporlotantoelmaterialtieneuna resistencia mecnica alta. Ademsdelasfronterasdegrano,existenotrostiposdeimperfeccionesdesuperficiede menoreficacia,comosonlosbordesdegranodengulopequeo,fallasdeapilamientoybordesde macla,loscualespuedenserconsultadosporellectorencualquieradelasreferencias bibliogrficas recomendadas al final del captulo. Losdefectosdevolumensonproducidosdurantelasolidificacin,yseclasificanen contraccin y porosidad gaseosa. Durante la solidificacin el material se contrae y se encoge hasta en un 7% de su volumen produciendo cavidades, si la contraccin se inicia en la superficie del material. Sunadelassuperficiessesolidificamslentamentequelasdems,entoncesla contraccin aparece en forma de rechupe. Es posible controlar la formacin de cavidades y rechupes mediante la tcnica del rebosadero, lacul consiste en una reserva demetallquido conectada alafundicin.Conforme elmetal solidifica y se contrae, fluye metal lquido del rebosadero hacia la fundicin, con el propsito de llenar el hueco reducido por la contraccin. Laporosidadgaseosaconsisteenladisolucindegasescuandoelmetalseencuentraen estadolquido.Esdecir,muchosmetalestienenlacapacidaddepermitirlaincorporacinde ciertosgasesensolucin.Sinembargo,alsolidificarseslounafraccindeellosqueda atrapadaensuestructuracristalina.Laparteexcedentequedaatrapadaenelmetalslido produciendo el defecto de porosidad gaseosa. Existen diversas formas de controlar la porosidad gaseosa en fundiciones, y son: -Mantener baja la temperatura del lquido. -Agregar material al lquido para que se combine con dicho gas formando un slido. -Mantener baja la presin parcial de dicho gas. Resumen Esdeimportancianotarquelaspropiedadesfsicas,mecnicasyqumicasdelos materialesdependendeloscuatronivelesestructurales,sinembargolaestructuracristalina ejerceunagraninfluenciasobrelaspropiedadesmecnicas.Laestructuracristalinadelos materialesseresumeencatorcetiposdeceldasunitarias,oredesdeBravais,agrupadasen sietesistemascristalinos.Lamayoradelosmaterialestecnolgicostienenestructurasdel tipocbicayhexagonal.Lasdireccionesyplanoscompactosenlaceldaunitariapermiten conocer si el material se deforma con facilidad o si es altamente resistente. Dichas direcciones yplanosserepresentanmediantelosndicesdeMiller-Bravaisencoordenadasdetresy cuatroejes.Elcontroldelasimperfeccionescristalinaspermitemejorarlaspropiedadesdel material. Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC53Propiedades de los Materiales I Ejercicios. 1. Calcule el radio atmico en cm. Para un metal CCC., con un parmetro de red de 3.5161A y con un tomo por punto de red. De que metal se trata? 2. La densidad del litio que tiene una estructura CC. y un tomo por punto de red es de 6.94 gm/cm3. Calcule el parmetro de red y el radio atmico del litio. 3.Elbismutotieneunaestructurahexagonal,conm a 4546 . 00 = y. 186 . 1 m co = La densidadesde9.808gm/cm3.Determine:a)elvolumendelaceldaunitaria,b)cuantos tomos existen en cada celda unitaria. 4. Por encima delos 912 C, elhierro tiene una estructura cristalina CCC; con ao = 0.3589 m .PordebajodeestatemperaturatieneunaestructuraCC,conao=0.2866m .a) DetermineelporcentajedecambioenvolumencuandoelhierroCCsetransformaen hierro CCC. b) Se trata de una contraccino de una expansin? 5.Unalminadecobretieneunespesorde3mm.Stodaslasceldasunitariasdelcobre estnorganizadasdemaneraque 0a esperpendicularalasuperficiedelalmina. Determine:a)elnmerodeceldasunitariasenlalmina,b)elespesordelamismaen funcin de celdas unitarias. 6. Dados los siguientes ndices de Miller, trace las direcciones en una celda cbica. | | 1 0 1 ,| | 0 1 0 , | | 2 2 1 , | | 3 1 2 ,| | 2 1 3 7.DadoslossiguientesndicesdeMiller,tracelasdireccionesenunaceldahexagonal compacta. | | 0 1 1 0 , | | 0 2 1 1 ,| | 1 2 1 1 ,| | 0 1 0 1 ,| | 0 1 1 2 8.ObtengalosndicesdeMillerparalasdireccionesilustradasenlaceldacbicaunitaria, mostrada en la figura. 9. Obtenga los ndices de Miller para los planos ilustrados en la celda cbica unitaria, mostrada en la figura. Problema 8Problema 9 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC54Propiedades de los Materiales I 10. Obtenga los ndices de Miller para las direcciones ilustradas en la celda hexagonal compacta, mostrada en la figura. 11.ObtengalosndicesdeMillerparalosplanosilustradosenlaceldahexagonalcompacta, mostrada en la figura. 12. Determine la distancia de repeticin, la densidad lineal, y la fraccin de empaquetamiento paraelaluminioCCC.,quetieneunparmetroderedde0.4049. m enlassiguientes direcciones:| | | |, 0 1 1 , 0 0 1 y | | 1 1 1 . Cul de estas direcciones es la ms compacta? 13. Determinela densidad planarylafraccin de empaquetamiento para elhierro CC., en los planos( ) ( ), 0 1 1 , 0 0 1y( ) 1 1 1 .Cul de estos planos es el ms compacto? 14.DetermineladensidadplanarylafraccindeempaquetamientoparaelzincHC.,enlos planos( ) ( ), 0 0 1 1 , 1 0 0 0y( ) 2 2 1 1 .Cul de estos planos es el ms compacto? 15. Determine la distancia de repeticin, la densidad lineal, y la fraccin de empaquetamiento paraelmagnesioHC.,quetieneunparmetroderedde0.32087. m yunaalturade 0.5209. m enlassiguientesdirecciones:| | | |, 0 1 1 , 0 0 1 y| | 1 1 1 .Culdeestas direcciones es la ms compacta? 16. Suponga que se cuentan 20 granos por pulgada cuadrada en una fotomicrografa tomada en una ampliacin x 100 de un metal. Determine el ndice de tamao de grano. 17. Suponga que se cuentan 18 granos por pulgada cuadrada en una fotomicrografa tomada en una ampliacin x 250 de un metal. Determine el ndice de tamao de grano. 18. Haga una investigacin documental referente a las estructuras cristalinas complejas 19. Establezca la diferencia entre un material anisotrpico y uno isotrpico. Problema 10Problema 11 Instituto Tecnolgico de Mrida DGEST RNC55Propiedades de los Materiales I 20.Medianteprincipiosbsicosdemuestrequeladistanciaentredosplanosdetomos paralelosadyacentes,conlosmismosndicesdeMillerdenominadadistanciainterplanar ( )hkld , para los cristales cbicos; est dada por la expresin:

2 2 20l k hadhkl+ +=

Donde oa es el parmetro de red yl k h , , son los ndices de Miller de los planos adyacentes considerados. Referencias. Donald R. Askeland, Ciencia e Ingeniera de los Materiales, Internacional Thomsom, 1998. Schaffer-Saxena-Antolovich-Sanders-Warner, Ciencia y Diseo de Materiales para Ing., CECSA, 1999. Novelo Coral Ramn, Apuntes de clase, 2003. Meter A. Thornton &Vito J.Colangelo, Ciencia de materiales para Ingeniera, Prentice-Hall, 1987. Van Vlack, Materiales para Ingeniera, CECSA, 1985.