Acciones horizontales

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 ACCIONES HORIZONTALES ABSORBIDAS POR LO MUROS

Hipótesis:Las deformadas de cada muro son curvas afinesTodos los muros tienen igual modulo de elasticidad , la misma altura e igualescondiciones de apoyoPodemos reemplazar la rigidez por el momento de inercia de cada muro

Distribución de las acciones horizontales

F

V0 V0 

 b

C.T.

 N

F

MO

S

a

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Método del centro de Torsión

Centro de torsión: Es un punto tal, que una fuerza que pasa por el,

solamente provoca traslaciones de los muros, paralelas a la direcciónde la misma.Un momento cuyo eje de rotación coincide con el centro de torsiónprovoca solamente rotaciones de los muros.

F1 F2 F = F1 + F2

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21111 I.r..SK .r..SH"

N!N!

S = coeficiente de proporcionalidad

22222 I.r..SK .r..SH" N!N!

Condición de equilibrio:

2211 rHrHM ""§ §!

Reemplazando

'H

1 y

'H

2 : de todos los muros

J

M

rIrI

MS

SrIrIM

!

!N

N!

§ §

§ §

222

211

222

211

de donde

J

IrMH 

J

IrMH

"2

" 22111 !

H 

a 

r 1

N

r1

r 2

.T. 

2

1¶ 

X 

 Y 

r 2 

"H1  2¶

"H2  

M H

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X A

YC

XD YT

XT

T

X' A

X'D

H''B

H' A

I'YA

H'' YA I*XC H'XC H''XC

X'

Y'

I'B H'B

I*YD

H'YD

H''YD

YB

Y'C

Y'B

X

Y

D

B

 A

C

M

H Y

H X

H

§

§!

*

 yi I 

i.x*

 yi I 

T  x

§

§!

*

.*

 xi I 

i y

 xi I 

  y

*

*.'

 xi I 

 xi I  x H 

 xi H 

7!

§!

*

*.

 yi I 

 y I  y

¡ 

 yi

¡ 

 J 

 xi I 

i y M 

 xi

¢ 

*..!

 J 

 yi I 

i x M 

 yi M 

*..

!

§ ! 2).(*2).(*

i x

 yi I 

i y

 xi I  J 

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Método de la rigidez

 Analicemos uno de los tabiques deun conjunto. En la forma matricial: ? A ? A

¼

¼¼

½

»

¬

¬¬«

U

(

(

!(

¼¼

¼¼

½

»

¬¬

¬¬«

! y

x

y

x

M

H

H

H

 yH  

xH  

M  

r i

B

r i

i

xi

yi

x

i

x cosi

y

y sen i 

i

x

y 

H¶i 

i

Z

Xi 

Hi = H¶i + H¶¶i 

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iiiixi Ir.ysencosH UE(E(!

El esfuerzo absorbido por el muro i será:

itg

yzisezr i

iiE

!E!

ise

itg

yiseiseser iiii E

E

E!EE!

iiiii cosyser EE! xi

xi - z

i

r i z

i

i

yi

x

iix cosHH E7!

iiy senHH E7!

ii r.HM 7!

iiiii x r  ysen x I  E UE(E(7! cos.cos

Reemplazando en las ecuaciones anteriores

el valor de Hi

iiiii y senr  ysen x I  H  EUE(E(7! .cos

iiiii r r  ysen x I  .cos UE(E(7!

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 xiiiiiiii H r  I  y sen I  x I  !EU7(EE7(E7 coscoscos2

Operando:

 yiiiiiii H  senr  I  y sen I  x sen I  !U7(E7(EE7 2cos

M r  I  yr  sen I  xr  I  iiiiiiii !U7(E7(E7 2cos

Si llamamos:

iix cosII E! 2

iiy seII E! 2

iiixy cossenII EE!

2iit rII !

iiixt rcosII E!

iiiyt serII E!

Con lo cual quedan así:

 x xt  xy x H  I  y I  x I  !U7(7(7

 y yt  y xy H  I  y I  x I  !U7(7(7

M  I  y I  x I  t  yt  x !U7(7(7

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(52)

Podemos escribir esta expresión en forma matricial:

? AI ? A( =  ? AM

Donde cada término será:

? AI = ¼¼¼

½

»

¬¬¬«

tytxt

ytyxy

xtxyx

III

III

III

? AH = ¼¼¼

½

»

¬¬¬«

M

H

H

y

x

obtenemos:

? A!( ? AH ? A 1I

Finalmente:

? Aii IH ! ? A

iii r;sen;cos EE ? A!( ? AiI ? Aiii r;sen;cos EE ? AH ? AI

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Para aplicar cualquiera de los métodos de distribución de esfuerzos debemos calcular el momento de inercia del elemento resistente.

En el caso de muros macizos es inmediato

12

3ba

I !

q f 

H

b

a

La flecha en el extremo será:

IE

Hq

f  8

2

!

DETERMINACION DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN MURO

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Muro con una fila de agujeros

IE8

HV

I

mc

IIE

HV

f 

3

ba

30

2

00

1

2

E

]

!

Muros perforados

V0

Ia I b

q

E

¶f 1 

h

H

z

Ie

f 2

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Para simplificar, podemos suponer un muro macizo de momento de inercia Ie,cuya flecha en el extremo es:

e

3

IE8

HV

f 

0

2 !

Si hacemos f  = f 2, obtendremos el valor de:

116

2

E

]!

ba

0e

II

 mc

II

2a

a

Ia

cg2c

b

Ib

Y g 

Ia = momento de inercia aIb = momento de inercia b

a= área de la sección a

b = área de la sección b y coeficientes

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Determinaremos el centro de gravedad de las secciones llenas tomandomomentos respecto al centro de gravedad de b

gbaa y.c. ;;!; 2

y g  =

ba

a c.

;;

; 2

El momento estático de la sección b respecto al centro de gravedad de la seccióntotal será:

m = b. y 

g =

baba

ba cc..

;;

!;;

;;

11

22

El momento de inercia del conjunto será (por Steiner ):

I = Ia + Ib + b. yg2 + a (2c ± yg)2

I = Ia + Ib + 2mc

Coeficiente = W.H

h.a

c 

m

I 

II

i'EW

3ba

!32

W = coeficienteh : altura del pisoE¶ = modulo elástico del dintelE = módulo elástico del muro0 = coeficiente de Tabla cuando = 0

=  HZ

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En la Tabla se entra con = 0 y = W H

H

Z! ^

H

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DEFORMACIONES EN TABIQUES LINEALES PARA CARGAS APLICADASEN LOS PISOS.

Deformaciones por flexión

 F 

 P  U =

 I  E 

h M 

..2

.=

 I  E 

h P 

..2

.2

 F 

 P H =

3

.2.

..2

. h

 I  E 

h M  

 F £ H =

 I  E 

h M 

..3

.2

= I  E 

h P 

..3

.3

 F 

 M  U = h

 I  E 

 M .

.

 F 

 M H =

2

hh

 I ¤ 

¥ 

 F ¦ 

H=

 I  E 

h M 

..2

.2

h

h

P

U

HP

23

ME.I = P.h

E.I

H TM

U

M

ME.I

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Muro sometido a la acción de la fuerza

IIIdd 3323 HH!

!3d deformación absoluta a nivel

!2d deformación absoluta a nivel 2

!HI3 deformación relativa producida por P y M en el piso

!HII3 deformación relativa producida por la rotación del piso inferior 

h4

h3

h2

h11

d1

1 2

2

¶3

3́

d2

d2

3

2

1

0

V4

V3

V2

V1

V0  V10 b

1 

2 

3 

4 

Vi

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I

hM

I

h.VI

)

)!H

23

233

333

3 3213

h.II ..!H

¹¹

 º

 ¸

©©

ª

¨

)

)!.

I

hM

I

hV 112

111

2¹

¹

 º

 ¸

©

©

ª

¨

)

)

!.

I

hM

I

hV 222

222

2

La deformación relativa a nivel será:

321

233

333

33323

hI

hM

I

hVIII ..)

)

!HH!H

Generalizando

hi.i.I

hM

I

hVi

iiiiIIi

Iii §

 U)

)

!HH!H1

1

23

23

4

3

2

1 

0

d1 "2H

'2H

1+2

"3H d2

'3H

d4'4H

'3H

'2H

'1H d1 

d2 

d3 

c

4H

c3H

c2H

c1H

cd4  

cd3  

cd2  

cd1  

D m D m D m D m

l v p l p l v p l p

l ó l ó

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Deformaciones por corte

E;

!HG

hV c

3

333

Generalizando

La deformación relativa es:

coeficiente for ado

sec. Rectang 1.2

Perfiles 2 a unidad e ectr.

E;

!HG

hV 

i

iic

i

La deformación absoluta es :

ci

m

u

cid H7!

! 1

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=2 m

2

EI = 334000 = 3,34. 05;

P =P2 = P3

= P4

= 0, MNh =h2 = h

3= h

4= 4 M

b = 10 ME = 20000 MN/m2

G = 8000 MN/m2

L = 0,20 mI = 16,7 m4

D

Ejemplo

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NIVEL 1

000038

3,00000287

,000000958

,010.34,3

4.4,2

10.34,3.2

4.4,0

2 55

2

11

2

11

1 !!!!  E  I 

hM 

 E  I 

hV  F 

.

!!!!H 00005750000025550103432

442

103433

440

23 5

2

5

3211

311

1,,

.,.

.,

.,.

.,

EI

hM

EI

hVF

cm,m, 008400000840 !!

NIVEL 2

0000216,00000144,0000072,010.34,3

4.2,1

10.34,3.2

4.3,0

2 55

2

22

2

222 !!!!

 E  I 

h M 

 E  I 

h§ 

.

!!!! 4,0000383,010.34,3.2

4.2,1

10.34,3.3

4.3,0

23 5

2

5

3

11

222

322

2 h E  I 

h M 

 E  I 

h f   ̈

.H 

cmm 02,000020,00001532,00000287,00000192,0 !!!

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NIVEL 3

00000958,000000479,000000479,010.34,3

4.4,0

10.34,3.2

4.2,0

2 55

233

2

333 !!!!

 E  I 

h M 

 E  I 

h© 

.

4.0000216,00000383,010.34,3.2

4.4,0

10.34,3.3

4.2,0)(

23 5

2

5

3

121

2

33

3

333 !! h

 E  I 

h M 

 E  I 

h 

..H 

cmm 0262,0000262,00002396,00000958,00000128,0 !!!

NIVEL 4

4.0000216,00000383,000000958,010.34,3.3

4.1,0)(

3 5

3

3321

3

444 !! h

 E  I 

hV  F UUUU

cmm 0284,0000284,00002779,0000006388,0 !!!

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 Analicemos un muro aislado de altura H, donde se aplica una carga q repartidauniforme horizontal

2

206H.

dx.x.dxP

HH

C E!E!E!H ´´GAA.G.

H.C

2

2

E!H 21,!E

EI.

H.qf 

8

4

!H Establecemos la relación entre :y Cf  HH

21

2

8 2

4

,.H.

A.G..

EI.

H.

C

f  !H

HE,G 40! L.tA !

1212

23L.AL.t

I !!

2

22

4

21

402

8

12¹ º

 ¸©ª

¨!!

H

H

L

H

,.H.q

A..,..

L.A.E.

.H.q

C

f 

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Trazamos un grafico colocando en abscisa H/L y en ordenadasC

f 

H

H

para H/L = 1 Cf  H!H ; Para H/L = 2 Cf  H!H 4

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En cuanto a la deformación por corte, debemos hacer una corrección

CCH

K!H

11

p,2511 !K

factor de reducción por abertura

Ao

= área e la abertura del piso

!K

A = área total del piso

A

Ap O

!

 Aplicación de las formulas en muros perforados

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M0

h

0300

012

baE

M

h

!E

E!HE

a0

b0

Modulo edométricoLa masa del sueloafectada por 

esfuerzossignificativos no varíadurante la aplicaciónde la carga.

Rotación de la base

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Modelo edométrico

TIPO de suelo Pe t/m3 E0 t/m2

 Arena 1,8 2000 a 5000

 Arena 1,9 5000 a 10000

Grava sin arena 1,6 10000 a 20000

Limo 1,8 300 a 1000

 Arcilla dura 1,9 500 a 1000

 Arcilla blanda 1,7 100 a 250

Pe = peso específico

Los valores de E0 debencorregirse multiplicando por .

Esta deformación se suma alas de flexión y corte y setiene en cuentaespecialmente en caso deacción sísmica.TOTAL

= f + 

c+ 

Coeficiente correcto

1 0,82

1,5 0,68

2 0,50

3 0,40

.b

.a

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DETERMINACION DE SOLICITACIONES EN MUROS

Muros Macizos

F A a la fuerza que absorbe el muro A

Esta fuerza es la resultante de una cargauniformemente repartida q cuyo momento es:

2

2H.q

M !

La carga concentrada será

22

2H.H

.M H. AA !!!

Podemos determinar 1 y 2 

Por lo tanto es una parábola.

12

bdI y

I

MN3

!{;

!W 21

H/2

q

Q A

d

 b

1

  2

A

UR A

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MUROS PERFORADOS

Método de Fuentes

Hipótesis:Dos puntos A1 y B1 ubicados en las fibras medias de los muros parciales situados enun plano horizontal antes de la deformación permanecen en el mismo plano horizontal ytienen el mismo desplazamiento después de deformados.Una sección plana de los muros ( A1C1 a B1D1) perpendicular a la fibra mediapermanece plano y perpendicular a la deformada después de las deformación.

h

21

z

2c

z

A1

  1

2c

a

1

1

h

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 Al deformarse la estructura, el dintel se flexiona y podemos suponer que estáempotrada en C1 y D1 con lo cual:

i E 

a F 

h

..32

2

3

¹ º

 ¸©ª

¨

!(

La fuerza que provoca la deformación será:

33

12

82

3

a

.i.E.

a

.i.E.F hh (

!(

!h( = desplazamiento relativo entre C

1y D

1

i = momento de inercia del dintel

Tomamos momento respecto a C1

N

(!U

(!! a 

h

21

...6

2

.

a

i E a F M 

h

C 

 U

! .

..621

a

a E  M C 

N

1

B1

h

C1

a

F

1

/2

/2

F

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La rotación por M es

 I  E 

h K 

 I  E 

 M h

.

..

.

1 U!

La rotación por P:

I.E

h.P

2

2

Tomamos momentos respecto a A1:

aa

.i.E.a.

a

.i.E.a.M

hhA

(!

(!

! N

NN

3316

2

12

2

U!U

! ..

...63

2

1 K a

ai E M 

 A

N

Momento producido por el dintel en A1 en función de la rotación.

Si trazamos las tangentes a la elástica en cada piso, obtendremos en susintersecciones con la vertical ángulos  U . La variación de  U entre cada piso será(U(fig. 38).

Por efecto de la carga P en el punto 1 obtendremos un diagrama de momentos.

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El momento enel punto 2 será:La rotación

en 2 será

Podemos escribir una ley general:

M2 = P.h ±K. U1 

 U1 =  U2 + I 

h P 

.2

.2

-  I .

.K . U1.h =  U2 + I  E 

hV 

.2

.2

2- 

 I  E .

1. K . U1.h

M3 = P.2.h + P.h ± K. U1 ± K. U2 = V2.h + M2 ± K.(  U1 ±  U2 ) U2 =  U3 +

 I  E 

h P 

..2

)..2(2

+ I  E 

 M 

.

2 .h - K.(  U1 +  U ) I  E 

h

. 

 U2 =  U3 + I  E 

hV 

..2

. 22 +

 I  E 

 M 

.

2.h - K .(  U1 +  U2 )

 I  E 

h

. 

Mn Mn 1 Vn 1 ±  .( U1 U Un 1

 Un 1 Un  I  E 

hV n

..2

.2

1

+  I 

 M n

.

1

.h - K .(  U1 +  U2 + ... +Un-1    I .  

P

P

1

2

 3

  M 3

M2

1

2

P

P  

V = 2P2  

h

h

h

h

P

P

2

(U

4

0

KU1

KU2

KU3

M V

V = P 

V = 3P 3

1

+

-

M el 

stica

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 ACCIONES HORIZONTALES SOBRE PORTICOS

ESTRUCTURAS RIGIDAS

P4

h4

h3

h2

h1

M ElásticaV

P3

P2

P1

N

Las columnas son más rígidas que los entrepisos y la estructura sedeforma como un muro macizo.

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ESTRUCTURAS FLEXIBLES

Hipótesis dedeformada

F

h4

h3

h2

h1

ElásticoM

fórmula de BLUME

Si p > 0,10 estructura flexibleSi p < 0,10 estructura rígidaSi 0,01 < p < 0,10 es un caso

intermedio

p = índice de r otación = rigidez de la viga 

rigidez de la columna 

p = §§

 /hI

 /lI

c

v  Iv = momento de iner cia de las vigas 

Ic = momento de iner cia de las columnas 

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Deformación de flexión en estructuras flexibles

a

 b

c

C  

V2c

V2c

P4

P3

P2

P1

V2c

h4 

h3 

h2 

h1 

c

ent 2

ent 1

iso 2

V4 

V3 

V2 

V1 

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El desplazamiento de cada sector será:

rigidez cK 

EI

h

V

EI

hV

EI

hV

EI

h

V

EI

hV

2cc

ccc

c

!H

!H

!

!!¹ º ¸©

ª¨

!H

¹ º ¸

©ª¨

!H

2

12

1224

2

3

2

3

2

2

32

2

32

2

32

2

32

2

32

2

Generalizando:

Si entre el punto i-1 e i existe una columna:

columnacadaderigidezK  

K 

V

K K .VV

ijm

 j

ij

ii

m

 jijijij

m

 j

m

 jijiji

!!H

H!H!!

§

§§ §

!

!! !

1

11 1

1

2

i - 1

i

nm

VimVijVi2Vi1

Vi

 j21

m = número total de columnas j = número genérico de columnasn = número total de pisosi = número genérico de pisos

h2/2

V2c

2

1

/2 /2 

V2c

V2c

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Si lo que buscamos es el valor de ijV reemplazamos el valor anterior 

i

ij

ijijiij V

K 

K K .V

§

!H!

CT

CM

MT

Pi

x

Deben coincidir el centro demasa que es el centro degravedad de las masas deledificio solo el nivel i.Llamamos CT (centro detorsión) al punto que es elcentro de gravedad de lasrigideces de todas lascolumnas.

La fuerza horizontal siempre se aplica en el CM

pero la estructura tiende a girar alrededor delCT

produciendo unMT

mediante una excentricidadTN

.Si Pi pasa por CT

, solamente habrá una traslación y MT

= 0.

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DETERMINACION DE SOLICITACIONESMétodos "exactos"Cualquiera de los métodos de cálculo conocidos: Rotaciones, Fuerzas y lossimplificados Cross, Kani, etc.

Métodos aproximadosEstos métodos pueden ser útiles para un predimensionamiento o una verificación rápidade los cálculos realizados por computadora.-

Hipótesis básicas:-Las fuerzas horizontales se reparten proporcionalmente a los momentos de inercia

de cada pilar -Los pilares están empotrados en las losas-No se tienen en cuenta los esfuerzos axiales en los pilares

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iiii .K h

I.E.Q

i

H!H!3

12

K i = rigidez de piso

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Método de BOWMAN

un pórtico de dos vanos y n pisos

La fuerza actuante en el nudo será §n

i

Hi

.

Hi entrepiso

piso i

i

kinivel

§

§

!

!!

III

 j

i

n

 j

i

ii

K 

H

.K Q

1

1

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Si tomamos como valor de la rigidez el momento de inercia de la columna (E = cte;h = cte. En cada piso):

§§ !

!

!

n

 j

iIII

 j

i

ii H

I

IQ

1

1

(de cada columna)

Columna de borde:

iIIIiA h,.M

i50!

11 501 ! i

IIIiA h,.M

i

1!

iiVAAA MMM

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Columna interna:

1!(

ii BB MMM

iIIiB h,.QM

i50!

11 501 !

iIIiB h,.QM

i

Las rigideces de una viga doblemente empotrada serán:

1

1

1

4

L

I.E.K 

ii !

2

2

2

4

L

I.E.K 

ii !

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Los coeficientes de distribución serán:

21

1

1ii

i

K K 

K 

!K

21

2

2ii

i

K K 

K 

!K

M.M BV (K! 11 M.M BV (K! 22

Las operaciones se simplifican para hallar por cuanto al hacer el cociente de los K seanulan el número 4 y E, por lo cual:

1K y 2K

1

1

1 L

IK 

ii !

2

2

2

L

IK 

ii !

21

11

21

1

L/IL/I

L/I

ii

i

!K21

2

21

12

L/ii

i

IL/I

L/I

!K

diagrama de momentosdel sector analizado

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Verificación de la Estabilidad h.R M v !

P1

P2 P3

P4

± cargas verticalesEl momento de vuelco será :Llamamos a la sección transversal de cada columna.El baricentro de las áreas será:

;

i

iiG

x

x 7;

7;!

di = distancia deleje neutro a lafibra considerada

Suponemos la estructura como una viga empotrada y queel diagrama de tensiones es triangular:

i

ivi

I

dM!W

Pero también se cumplirá quela tensión por compresión otracción de la columna es:

i

ii

´P

;!W

i

i

i

ivi

´P

I

dM

;!sW

ii

ivi .

I

dM´P ;!

De donde el esfuerzo enla columna será: Siendo

§!

;!4

1

2

i

iii dI

iiit ´!

Estos valores debemos sumarlos

algebraicamente a los Pi provocadospor las cargas verticales

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NÚCLEO MUROS PARALELOS

Es un fenómeno de flexión compuestaO = centro de gravedad de las inerciasde muros y núcleo.Hipótesis: los pisos no se deforman enplano horizontalComo la fuerza externa actúa a una

distancia d de O, aparece un momentode torsión.Cada elemento abosberá una parte deH.

H4

x3

x2

x1

I2

x4

I4

1

1

H1 H2

H

H3

§

§§§

!

!

!R

!R

!X

2

2

ii

i

ii

iii

xII 

IA 

xv xx.I

Mt.H

I

H

I

.Mt

A

H(En lugar de áreastomamos lasinercias) 

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MUROS PORTICOS EN PLANO PARALELOS

Se debe buscar el equilibrio entre pórticos y pantallas, sustituyendo lospórticos por un sistema de fuerzas, función de desplazamiento impuesto a

los pórticos por las pantallas.En primera aproximación se pueden calcular el giro y desplazamiento decada piso con las fórmulas correspondientes

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MUROS PORTICOS EN UN MISMO PLANO